高考数学总复习第十单元 第三节 圆的方程练习
圆的方程练习题(学生版)
圆的方程练习题（学生版）1．求过点()()1,1,1,1A B --，且圆心在直线20x y +-=上的圆的方程.2．若圆过A （2，0），B （4，0），C （0，2）三点，求这个圆的方程．3．已知圆经过()()2,5,2,1-两点，并且圆心在直线12y x =上。
(1)求圆的方程；(2)求圆上的点到直线34230x y -+=的最小距离。
4．已知圆C 同时满足下列三个条件：①与y 轴相切；②在直线y x =上截得弦长为③圆心在直线30x y -=上.求圆C 的方程.5．求圆心在直线3x+y-5=0上，并且经过原点和点（4，0）的圆的方程6．求圆心为（1，1）并且与直线4=+y x 相切的圆的方程。
7．求与圆x 2+y 2−2x =0外切且与直线x +√3y =0 相切于点M(3,−√3)的圆的方程.8．求圆心在直线40x y --=上，并且过圆22640x y x ++-=与圆226280x y y ++-=的交点的圆的方程.9．已知圆心为C 的圆经过三个点O(0,0)、A(−2,4)、B(1,1)． (1)求圆C 的方程；(2)若直线l 的斜率为−43，在y 轴上的截距为−1，且与圆C 相交于P 、Q 两点，求△OPQ 的面积．10．已知圆C：x 2+y 2+10x+10y+34=0： ：I ）试写出圆C 的圆心坐标和半径；：II ）若圆D 的圆心在直线x=-5上，且与圆C 相外切，被x 轴截得的弦长为10，求圆D 的方程。
11．已知圆C 的圆心在直线y =12x 上，且过圆C 上一点M(1,3)的切线方程为y =3x .（Ⅰ）求圆C 的方程；（Ⅱ）设过点M 的直线l 与圆交于另一点N ，以MN 为直径的圆过原点，求直线l 的方程.12．已知圆C经过原点O：0：0）且与直线y=2x：8相切于点P：4：0：：：1）求圆C的方程；：2）已知直线l经过点（4, 5），且与圆C相交于M：N两点，若|MN|=2，求出直线l的方程．13．在ΔABC中，点A（7，4），B（2，9），C：5：8：(1)求ΔABC的面积.(2)求ΔABC的外接圆的方程.14．已知圆心在x轴非负半轴上，半径为2的圆C与直线x−√3y+2=0相切.(1)求圆C的方程；(2)设不过原点O的直线l与圆O:x2+y2=4相交于不同的两点A，B．①求△OAB的面积的最大值;②在圆C上，是否存在点M(m，n)，使得直线l的方程为mx+ny=1，且此时△OAB 的面积恰好取到①中的最大值?若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由.15．若圆C与y轴相切于点P(0,1),与x轴的正半轴交于A,B两点,且|AB|=2,求圆C的标准方程参考答案1．()()22114x y -+-=.【解析】试题分析：由,A B 的坐标计算可得AB 的垂直平分线方程y x =，进而得到：{ 20y x x y =+-=，解可得,x y 的值，即可得圆心坐标，而圆的半径22r ==，代入圆的标准方程计算即可得到答案。
北师大文科数学高考总复习教师用书：圆的方程 含答案
第3讲圆的方程最新考纲掌握确定圆的几何要素，掌握圆的标准方程与一般方程．知识梳理1．圆的定义和圆的方程定义在平面内，到定点的距离等于定长的点的集合叫作圆方程标准(x－a)2＋(y－b)2＝r2(r＞0)圆心C(a，b)半径为r一般x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(D2＋E2－4F＞0)充要条件：D2＋E2－4F＞0圆心坐标：⎝⎛⎭⎪⎫－D2，－E2半径r＝12D2＋E2－4F2.平面上的一点M(x0，y0)与圆C：(x－a)2＋(y－b)2＝r2之间存在着下列关系：(1)d＞r⇔M在圆外，即(x0－a)2＋(y0－b)2＞r2⇔M在圆外；(2)d＝r⇔M在圆上，即(x0－a)2＋(y0－b)2＝r2⇔M在圆上；(3)d＜r⇔M在圆内，即(x0－a)2＋(y0－b)2＜r2⇔M在圆内．诊断自测1．判断正误(在括号内打“√”或“×”)精彩PPT展示(1)确定圆的几何要素是圆心与半径．()(2)方程x2＋y2＝a2表示半径为a的圆．()(3)方程x2＋y2＋4mx－2y＋5m＝0表示圆．()(4)方程Ax2＋Bxy＋Cy2＋Dx＋Ey＋F＝0表示圆的充要条件是A＝C≠0，B＝0，D2＋E2－4AF>0.()解析(2)当a＝0时，x2＋y2＝a2表示点(0,0)；当a＜0时，表示半径为|a|的圆．(3)当(4m)2＋(－2)2－4×5m＞0，即m＜14或m＞1时才表示圆．答案(1)√(2)×(3)×(4)√2．(2015·北京卷)圆心为(1,1)且过原点的圆的方程是()A．(x－1)2＋(y－1)2＝1 B．(x＋1)2＋(y＋1)2＝1C．(x＋1)2＋(y＋1)2＝2 D．(x－1)2＋(y－1)2＝2解析由题意得圆的半径为2，故该圆的方程为(x－1)2＋(y－1)2＝2，故选D. 答案 D3．若点(1,1)在圆(x－a)2＋(y＋a)2＝4的内部，则实数a的取值范围是() A．(－1,1) B．(0,1)C．(－∞，－1)∪(1，＋∞) D．a＝±1解析因为点(1,1)在圆的内部，所以(1－a)2＋(1＋a)2<4，所以－1<a<1.答案 A4．(2016·浙江卷)已知a∈R，方程a2x2＋(a＋2)y2＋4x＋8y＋5a＝0表示圆，则圆心坐标是________，半径是________．解析由已知方程表示圆，则a2＝a＋2，解得a＝2或a＝－1.当a＝2时，方程不满足表示圆的条件，故舍去．当a＝－1时，原方程为x2＋y2＋4x＋8y－5＝0，化为标准方程为(x＋2)2＋(y＋4)2＝25，表示以(－2，－4)为圆心，半径为5的圆．答案(－2，－4) 55．(必修2P88A1(3)改编)圆C的圆心在x轴上，并且过点A(－1,1)和B(1,3)，则圆C的方程为________．解析设圆心坐标为C(a,0)，∵点A(－1,1)和B(1,3)在圆C上，∴|CA|＝|CB|，即(a＋1)2＋1＝(a－1)2＋9，解得a＝2，所以圆心为C(2,0)，半径|CA|＝(2＋1)2＋1＝10，∴圆C的方程为(x－2)2＋y2＝10.答案(x－2)2＋y2＝10考点一圆的方程【例1】 (1)过点A (4,1)的圆C 与直线x －y －1＝0相切于点B (2,1)，则圆C 的方程为________．(2)已知圆C 经过P (－2,4)，Q (3，－1)两点，且在x 轴上截得的弦长等于6，则圆C 的方程为________．解析 (1)法一 由已知k AB ＝0，所以AB 的中垂线方程为x ＝3.①过B 点且垂直于直线x －y －1＝0的直线方程为y －1＝－(x －2)，即x ＋y －3＝0，②联立①②，解得⎩⎨⎧x ＝3，y ＝0，所以圆心坐标为(3,0)，半径r ＝(4－3)2＋(1－0)2＝2，所以圆C 的方程为(x －3)2＋y 2＝2.法二 设圆的方程为(x －a )2＋(y －b )2＝r 2(r ＞0)， ∵点A (4,1)，B (2,1)在圆上，故⎩⎨⎧(4－a )2＋(1－b )2＝r 2，(2－a )2＋(1－b )2＝r 2， 又∵b －1a －2＝－1，解得a ＝3，b ＝0，r ＝2， 故所求圆的方程为(x －3)2＋y 2＝2.(2)设圆的方程为x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0(D 2＋E 2－4F ＝0)， 将P ，Q 两点的坐标分别代入得 ⎩⎨⎧ 2D －4E －F ＝20，3D －E ＋F ＝－10.①②又令y ＝0，得x 2＋Dx ＋F ＝0.③ 设x 1，x 2是方程③的两根， 由|x 1－x 2|＝6，得D 2－4F ＝36，④由①，②，④解得D ＝－2，E ＝－4，F ＝－8，或D ＝－6，E ＝－8，F ＝0. 故所求圆的方程为x 2＋y 2－2x －4y －8＝0或x 2＋y 2－6x －8y ＝0.答案 (1)(x －3)2＋y 2＝2 (2)x 2＋y 2－2x －4y －8＝0或x 2＋y 2－6x －8y ＝0 规律方法 求圆的方程时，应根据条件选用合适的圆的方程．一般来说，求圆的方程有两种方法：(1)几何法，通过研究圆的性质进而求出圆的基本量．确定圆的方程时，常用到的圆的三个性质：①圆心在过切点且垂直切线的直线上；②圆心在任一弦的中垂线上；③两圆内切或外切时，切点与两圆圆心三点共线； (2)代数法，即设出圆的方程，用待定系数法求解．【训练1】 (1)(2016·天津卷)已知圆C 的圆心在x 轴的正半轴上，点M (0，5)在圆C 上，且圆心到直线2x －y ＝0的距离为455，则圆C 的方程为________． (2)(2017·西安模拟)以抛物线y 2＝4x 的焦点为圆心，与该抛物线的准线相切的圆的标准方程为________．解析 (1)因为圆C 的圆心在x 轴的正半轴上，设C (a,0)，且a ＞0，所以圆心到直线2x －y ＝0的距离d ＝2a 5＝455，解得a ＝2，所以圆C 的半径r ＝|CM |＝4＋5＝3，所以圆C 的方程为(x －2)2＋y 2＝9.(2)抛物线y 2＝4x 的焦点为(1,0)，准线为x ＝－1，故所求圆的圆心为(1,0)，半径为2，所以该圆的标准方程为(x －1)2＋y 2＝4. 答案 (1)(x －2)2＋y 2＝9 (2)(x －1)2＋y 2＝4 考点二 与圆有关的最值问题【例2】 已知实数x ，y 满足方程x 2＋y 2－4x ＋1＝0. (1)求yx 的最大值和最小值； (2)求y －x 的最大值和最小值； (3)求x 2＋y 2的最大值和最小值．解 原方程可化为(x －2)2＋y 2＝3，表示以(2,0)为圆心，3为半径的圆． (1)yx 的几何意义是圆上一点与原点连线的斜率， 所以设yx＝k ，即y ＝kx .当直线y ＝kx 与圆相切时，斜率k 取最大值或最小值，此时|2k －0|k 2＋1＝3，解得k ＝±3(如图1)．所以yx 的最大值为3，最小值为－ 3.(2)y －x 可看作是直线y ＝x ＋b 在y 轴上的截距，当直线y ＝x ＋b 与圆相切时，纵截距b 取得最大值或最小值，此时|2－0＋b |2＝3，解得b ＝－2±6(如图2)． 所以y －x 的最大值为－2＋6，最小值为－2－ 6.(3)x 2＋y 2表示圆上的一点与原点距离的平方，由平面几何知识知，在原点和圆心连线与圆的两个交点处取得最大值和最小值(如图3)． 又圆心到原点的距离为(2－0)2＋(0－0)2＝2，所以x 2＋y 2的最大值是(2＋3)2＝7＋43，x 2＋y 2的最小值是(2－3)2＝7－4 3. 规律方法 把有关式子进行转化或利用所给式子的几何意义解题，充分体现了数形结合以及转化的数学思想，其中以下几类转化极为常见： (1)形如m ＝y －b x －a 的最值问题，可转化为动直线斜率的最值问题；(2)形如t ＝ax ＋by 的最值问题，可转化为动直线截距的最值问题；(3)形如m ＝(x －a )2＋(y －b )2的最值问题，可转化为两点间距离的平方的最值问题．【训练2】 (1)(2017·昆明诊断)圆心在曲线y ＝2x (x ＞0)上，与直线2x ＋y ＋1＝0相切，且面积最小的圆的方程为( )A ．(x －2)2＋(y －1)2＝25B ．(x －2)2＋(y －1)2＝5C ．(x －1)2＋(y －2)2＝25D ．(x －1)2＋(y －2)2＝5(2)(2014·全国Ⅱ卷)设点M (x 0,1)，若在圆O ：x 2＋y 2＝1上存在点N ，使得∠OMN ＝45°，则x 0的取值范围是________．解析 (1)设圆心坐标为C ⎝ ⎛⎭⎪⎫a ，2a (a ＞0)，则半径r ＝2a ＋2a ＋15≥22a ×2a ＋15＝5，当且仅当2a ＝2a ，即a ＝1时取等号．所以当a ＝1时圆的半径最小，此时r ＝5，C (1,2)，所以面积最小的圆的方程为(x －1)2＋(y －2)2＝5.(2)如图所示，过点O 作OP ⊥MN 交MN 于点P .在Rt △OMP 中，|OP |＝|OM |·sin 45°， 又|OP |≤1，得|OM |≤1sin 45°＝ 2.∴|OM |＝1＋x 20≤2，∴x 20≤1.因此－1≤x 0≤1. 答案 (1)D (2)[－1,1] 考点三 与圆有关的轨迹问题【例3】 设定点M (－3,4)，动点N 在圆x 2＋y 2＝4上运动，以OM ，ON 为邻边作平行四边形MONP ，求点P 的轨迹． 解如图所示，设P (x ，y )，N (x 0，y 0)，则线段OP 的中点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2，y 2，线段MN 的中点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫x 0－32，y 0＋42.由于平行四边形的对角线互相平分，故x 2＝x 0－32，y 2＝y 0＋42.从而⎩⎨⎧x 0＝x ＋3，y 0＝y －4.又N (x ＋3，y －4)在圆上， 故(x ＋3)2＋(y －4)2＝4.因此所求轨迹为圆：(x ＋3)2＋(y －4)2＝4，但应除去两点⎝ ⎛⎭⎪⎫－95，125和⎝ ⎛⎭⎪⎫－215，285(点P 在直线OM 上时的情况)．规律方法 求与圆有关的轨迹问题时，根据题设条件的不同常采用以下方法：(1)直接法，直接根据题目提供的条件列出方程； (2)定义法，根据圆、直线等定义列方程； (3)几何法，利用圆的几何性质列方程；(4)代入法，找到要求点与已知点的关系，代入已知点满足的关系式等． 【训练3】 (2014·全国Ⅰ卷)已知点P (2,2)，圆C ：x 2＋y 2－8y ＝0，过点P 的动直线l 与圆C 交于A ，B 两点，线段AB 的中点为M ，O 为坐标原点． (1)求M 的轨迹方程；(2)当|OP |＝|OM |时，求l 的方程及△POM 的面积．解 (1)圆C 的方程可化为x 2＋(y －4)2＝16，所以圆心为C (0,4)，半径为4. 设M (x ，y )，则CM→＝(x ，y －4)，MP →＝(2－x,2－y )． 由题设知CM →·MP →＝0，故x (2－x )＋(y －4)(2－y )＝0，即(x －1)2＋(y －3)2＝2.由于点P 在圆C 的内部，所以M 的轨迹方程是(x －1)2＋(y －3)2＝2.(2)由(1)可知M 的轨迹是以点N (1,3)为圆心，2为半径的圆．由于|OP |＝|OM |，故O 在线段PM 的垂直平分线上，又P 在圆N 上，从而ON ⊥PM . 因为ON 的斜率为3，所以l 的斜率为－13， 故l 的方程为x ＋3y －8＝0.又|OM |＝|OP |＝22，O 到l 的距离为4105， 所以|PM |＝4105，S △POM ＝12×4105×4105＝165， 故△POM 的面积为165.[思想方法]1．确定一个圆的方程，需要三个独立条件．“选形式、定参数”是求圆的方程的基本方法，是指根据题设条件恰当选择圆的方程的形式，进而确定其中的三个参数．2．解答圆的问题，应注意数形结合，充分运用圆的几何性质，简化运算．1．求圆的方程需要三个独立条件，所以不论是设哪一种圆的方程都要列出系数的三个独立方程．2．求轨迹方程和求轨迹是有区别的，求轨迹方程得出方程即可，而求轨迹在得出方程后还要指明轨迹表示什么曲线．基础巩固题组(建议用时：40分钟)一、选择题1．已知点A (1，－1)，B (－1,1)，则以线段AB 为直径的圆的方程是( ) A ．x 2＋y 2＝2 B ．x 2＋y 2＝ 2 C ．x 2＋y 2＝1 D ．x 2＋y 2＝4 解析 AB 的中点坐标为(0,0)， |AB |＝[1－(－1)]2＋(－1－1)2＝22， ∴圆的方程为x 2＋y 2＝2. 答案 A2．(2017·合肥模拟)圆(x －1)2＋(y －2)2＝1关于直线y ＝x 对称的圆的方程为( ) A ．(x －2)2＋(y －1)2＝1 B ．(x ＋1)2＋(y －2)2＝1 C ．(x ＋2)2＋(y －1)2＝1 D ．(x －1)2＋(y ＋2)2＝1解析 已知圆的圆心C (1,2)关于直线y ＝x 对称的点为C ′(2,1)，∴圆(x －1)2＋(y －2)2＝1关于直线y ＝x 对称的圆的方程为(x －2)2＋(y －1)2＝1，故选A. 答案 A3．方程x 2＋y 2＋ax ＋2ay ＋2a 2＋a －1＝0表示圆，则实数a 的取值范围是( ) A ．(－∞，－2)∪⎝ ⎛⎭⎪⎫23，＋∞ B.⎝ ⎛⎭⎪⎫－23，0C ．(－2,0) D.⎝ ⎛⎭⎪⎫－2，23解析 方程为⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋a 22＋(y ＋a )2＝1－a －3a 24表示圆，则1－a －3a 24＞0，解得－2＜a ＜23.4．(2017·淄博调研)点P (4，－2)与圆x 2＋y 2＝4上任一点连线的中点的轨迹方程是( )A ．(x －2)2＋(y ＋1)2＝1B ．(x －2)2＋(y ＋1)2＝4C ．(x ＋4)2＋(y －2)2＝4D ．(x ＋2)2＋(y －1)2＝1解析设圆上任一点为Q (x 0，y 0)，PQ 的中点为M (x ，y )，则⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4＋x 02，y ＝－2＋y 02，解得⎩⎨⎧x 0＝2x －4，y 0＝2y ＋2.因为点Q 在圆x 2＋y 2＝4上，所以x 20＋y 20＝4，即(2x －4)2＋(2y ＋2)2＝4，化简得(x －2)2＋(y ＋1)2＝1. 答案 A5．(2015·全国Ⅱ卷)已知三点A (1,0)，B (0，3)，C (2，3)，则△ABC 外接圆的圆心到原点的距离为( ) A.53 B.213 C.253 D.43解析 由点B (0，3)，C (2，3)，得线段BC 的垂直平分线方程为x ＝1，① 由点A (1,0)，B (0，3)，得线段AB 的垂直平分线方程为 y －32＝33⎝ ⎛⎭⎪⎫x －12，②联立①②，解得△ABC 外接圆的圆心坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫1，233， 其到原点的距离为 12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫2332＝213.故选B.答案 B 二、填空题6．若圆C 经过坐标原点和点(4,0)，且与直线y ＝1相切，则圆C 的方程是________． 解析 设圆心C 坐标为(2，b )(b <0)，则|b |＋1＝4＋b 2.解得b ＝－32，半径r ＝|b |＋1＝52，故圆C 的方程为：(x －2)2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y ＋322＝254.答案 (x －2)2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y ＋322＝2547．(2017·广州模拟)已知圆C ：x 2＋y 2＋kx ＋2y ＝－k 2，当圆C 的面积取最大值时，圆心C 的坐标为________．解析 圆C 的方程可化为⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋k 22＋(y ＋1)2＝－34k 2＋1.所以，当k ＝0时圆C 的面积最大． 答案 (0，－1)8．已知点M (1,0)是圆C ：x 2＋y 2－4x －2y ＝0内的一点，那么过点M 的最短弦所在直线的方程是________．解析 过点M 的最短弦与CM 垂直，圆C ：x 2＋y 2－4x －2y ＝0的圆心为C (2,1)，∵k CM ＝1－02－1＝1，∴最短弦所在直线的方程为y －0＝－(x －1)，即x ＋y －1＝0.答案 x ＋y －1＝0 三、解答题9．已知三条直线l 1：x －2y ＝0，l 2：y ＋1＝0，l 3：2x ＋y －1＝0两两相交，先画出图形，再求过这三个交点的圆的方程．解 l 2平行于x 轴，l 1与l 3互相垂直．三交点A ，B ，C 连线构成直角三角形，经过A ，B ，C 三点的圆就是以AB 为直径的圆．解方程组⎩⎨⎧x －2y ＝0，y ＋1＝0得⎩⎨⎧x ＝－2，y ＝－1.所以点A 的坐标是(－2，－1)．解方程组⎩⎨⎧ 2x ＋y －1＝0，y ＋1＝0得⎩⎨⎧x ＝1，y ＝－1.所以点B 的坐标是(1，－1)．线段AB 的中点坐标是⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，－1， 又|AB |＝(－2－1)2＋(－1＋1)2＝3.故所求圆的标准方程是⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋122＋(y ＋1)2＝94. 10．在△ABC 中，已知|BC |＝2，且|AB ||AC |＝m ，求点A 的轨迹方程，并说明轨迹是什么图形．解如图，以直线BC 为x 轴、线段BC 的中点为原点，建立直角坐标系．则有B (－1,0)，C (1,0)，设点A 的坐标为(x ，y )．由|AB ||AC |＝m ，得(x ＋1)2＋y 2＝m (x －1)2＋y 2.整理得(m 2－1)x 2＋(m 2－1)y 2－2(m 2＋1)x ＋(m 2－1)＝0.①当m 2＝1时，m ＝1，方程是x ＝0，轨迹是y 轴．当m 2≠1时，对①式配方，得⎝ ⎛⎭⎪⎫x －m 2＋1m 2－12＋y 2＝4m 2(m 2－1)2. 所以，点A 的轨迹是以⎝ ⎛⎭⎪⎫m 2＋1m 2－1，0为圆心，2m |m 2－1|为半径的圆(除去圆与BC 的交点)．能力提升题组(建议用时：20分钟)11．若直线ax ＋2by －2＝0(a >0，b >0)始终平分圆x 2＋y 2－4x －2y －8＝0的周长，则1a ＋2b 的最小值为( )A ．1B ．5C ．4 2D ．3＋2 2解析 由题意知圆心C (2,1)在直线ax ＋2by －2＝0上，∴2a ＋2b －2＝0，整理得a ＋b ＝1，∴1a ＋2b ＝(1a ＋2b )(a ＋b )＝3＋b a ＋2a b≥3＋2 b a ×2a b ＝3＋22，当且仅当b a ＝2a b ，即b ＝2－2，a ＝2－1时，等号成立． ∴1a ＋2b 的最小值为3＋2 2.答案 D12．已知圆心(a ，b )(a ＜0，b ＜0)在直线y ＝2x ＋1上的圆，其圆心到x 轴的距离恰好等于圆的半径，在y 轴上截得的弦长为25，则圆的方程为( )A ．(x ＋2)2＋(y ＋3)2＝9B ．(x ＋3)2＋(y ＋5)2＝25C ．(x ＋6)2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y ＋732＝499 D.⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋232＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y ＋732＝499 解析 由圆心到x 轴的距离恰好等于圆的半径知，所求圆与x 轴相切，由题意得圆的半径为|b |，则圆的方程为(x －a )2＋(y －b )2＝b 2.由圆心在直线y ＝2x ＋1上，得b ＝2a ＋1 ①，由此圆在y 轴上截得的弦长为25，得b 2－a 2＝5 ②，由①②得⎩⎨⎧ a ＝－2，b ＝－3或⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝23，b ＝73(舍去)．所以所求圆的方程为(x ＋2)2＋(y ＋3)2＝9.故选A.答案 A13．已知圆C ：(x －3)2＋(y －4)2＝1，设点P 是圆C 上的动点．记d ＝|PB |2＋|P A |2，其中A (0,1)，B (0，－1)，则d 的最大值为________．解析 设P (x 0，y 0)，d ＝|PB |2＋|P A |2＝x 20＋(y 0＋1)2＋x 20＋(y 0－1)2＝2(x 20＋y 20)＋2.x 20＋y 20为圆上任一点到原点距离的平方，∴(x 20＋y 20)max ＝(5＋1)2＝36，∴d max ＝74. 答案 7414．(2016·江苏卷)如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知以M 为圆心的圆M ：x 2＋y 2－12x －14y ＋60＝0及其上一点A (2,4)．(1)设圆N 与x 轴相切，与圆M 外切，且圆心N 在直线x ＝6上，求圆N 的标准方程；(2)设平行于OA 的直线l 与圆M 相交于B ，C 两点，且|BC |＝|OA |，求直线l 的方程；(3)设点T (t,0)满足：存在圆M 上的两点P 和Q ，使得TA→＋TP →＝TQ →，求实数t 的取值范围．解 (1)圆M 的方程化为标准形式为(x －6)2＋(y －7)2＝25，圆心M (6,7)，半径r ＝5，由题意，设圆N 的方程为(x －6)2＋(y －b )2＝b 2(b ＞0)，且(6－6)2＋(b －7)2＝b ＋5.解得b ＝1，∴圆N 的标准方程为(x －6)2＋(y －1)2＝1.(2)∵k OA ＝2，∴可设直线l 的方程为y ＝2x ＋m ，即2x －y ＋m ＝0.又|BC |＝|OA |＝22＋42＝25，由题意，圆M 的圆心M (6,7)到直线l 的距离为d ＝52－⎝ ⎛⎭⎪⎫|BC |22＝25－5＝25， 即|2×6－7＋m |22＋(－1)2＝25，解得m ＝5或m ＝－15. ∴直线l 的方程为2x －y ＋5＝0或2x －y －15＝0.(3)由TA→＋TP →＝TQ →，则四边形AQPT 为平行四边形， 又∵P ，Q 为圆M 上的两点，∴|PQ |≤2r ＝10.∴|TA |＝|PQ |≤10，即(t －2)2＋42≤10，解得2－221≤t≤2＋221.故所求t的范围为[2－221，2＋221].。
高中圆的方程基础练习题及讲解
高中圆的方程基础练习题及讲解### 高中圆的方程基础练习题及讲解#### 练习题一题目：已知圆心在原点的圆的方程为 \(x^2 + y^2 = r^2\)，求半径为3的圆的方程。
解答：将 \(r = 3\) 代入圆的标准方程，我们得到：\[ x^2 + y^2 = 3^2 \]\[ x^2 + y^2 = 9 \]这就是半径为3的圆的方程。
#### 练习题二题目：圆 \(x^2 + y^2 + 6x - 8y + 20 = 0\) 与直线 \(x + y - 1 = 0\) 相切。
求圆的半径。
解答：首先，将圆的方程化为标准形式：\[ (x + 3)^2 + (y - 4)^2 = r^2 \]\[ x^2 + 6x + y^2 - 8y + 20 = r^2 \]\[ x^2 + y^2 + 6x - 8y = r^2 - 20 \]由于圆与直线相切，圆心到直线的距离等于圆的半径。
圆心坐标为\((-3, 4)\)，直线方程可以写成 \(y = -x + 1\)。
使用点到直线距离公式：\[ \text{距离} = \frac{|-3 + 4 - 1|}{\sqrt{2}} \]将距离等于半径代入：\[ r = \frac{|-3 + 4 - 1|}{\sqrt{2}} \]\[ r = \frac{1}{\sqrt{2}} \]#### 练习题三题目：已知圆 \(x^2 + y^2 = 1\) 与直线 \(y = x + b\) 相切，求\(b\) 的值。
解答：由于圆与直线相切，圆心到直线的距离等于圆的半径，即1。
圆心坐标为 \((0, 0)\)，直线方程可以写成 \(x - y + b = 0\)。
使用点到直线距离公式：\[ 1 = \frac{|0 - 0 + b|}{\sqrt{1^2 + (-1)^2}} \]\[ 1 = \frac{|b|}{\sqrt{2}} \]解得：\[ b = \pm \sqrt{2} \]#### 练习题四题目：求圆 \(x^2 + y^2 - 4x - 6y + 9 = 0\) 的圆心坐标和半径。
圆的方程-高考数学练习
7.已知定点A(a，2)在圆x2＋y2－2ax－3y＋a2＋a＝0的外部，则实数a的取值范
围为__2_，__94___.
解析 因为点 A(a，2)在圆外，
所以（ a2＋－42－a）2a2＋ 2－（3×－23＋）a2－ 2＋4a（>0a，2＋a）>0，
a>2， 所以a<94，即
是( B )
A.x＋y－3＝0
B.x－y－3＝0
C.2x－y－6＝0
D.2x＋y－6＝0
解析 过点 M 的最长弦所在的直线应为过点 M 的直径所在的直线.易得圆 的圆心为(4，1)，则所求直线的方程为0y－－11＝3x－－44，即 x－y－3＝0.
Байду номын сангаас
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4.(多选)若圆 x2＋y2－2x－4y＝0 的圆心到直线 x－y＋a＝0 的距离为 22，则实数
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
9.若方程x2＋y2－ax＋by＋c＝0表示圆心为(1，2)，半径为1的圆，则a＋b＋c＝
___2_____.
解析
a2＝1， 根据题意，得－b2＝2，
14（a2＋b2－4c）＝1，
a＝2， 解得b＝－4，
c＝4.
∴a＋b＋c＝2.
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2<a<94，
所以 a 的取值范围是2，94.
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8.设A为圆(x－1)2＋y2＝1上的动点，PA是圆的切线且PA＝1，则P点的轨迹方程 是_(_x_－__1_)2_＋__y_2_＝__2_. 解析 设P(x，y)，圆(x－1)2＋y2＝1的圆心为B(1，0)，则PA2＋1＝PB2， 所以(x－1)2＋y2＝2.
高考数学总复习(基础知识+高频考点+解题训练)圆的方程
圆_的_方_程[知识能否忆起]1．圆的定义及方程2．点与圆的位置关系点M (x 0，y 0)与圆(x －a )2＋(y －b )2＝r 2的位置关系： (1)若M (x 0，y 0)在圆外，则(x 0－a )2＋(y 0－b )2>r 2. (2)若M (x 0，y 0)在圆上，则(x 0－a )2＋(y 0－b )2＝r 2. (3)若M (x 0，y 0)在圆内，则(x 0－a )2＋(y 0－b )2<r 2.[小题能否全取]1．(教材习题改编)方程x 2＋y 2＋4mx －2y ＋5m ＝0表示圆的充要条件是( ) A.14＜m ＜1 B ．m ＜14或m ＞1C ．m ＜14D ．m ＞1解析：选B 由(4m )2＋4－4×5m ＞0得m ＜14或m ＞1.2．(教材习题改编)点(1,1)在圆(x －a )2＋(y ＋a )2＝4内，则实数a 的取值范围是( ) A ．(－1,1)B ．(0,1)C ．(－∞，－1)∪(1，＋∞)D ．(1，＋∞)解析：选A ∵点(1,1)在圆的内部， ∴(1－a )2＋(1＋a )2＜4， ∴－1＜a ＜1.3．圆心在y 轴上，半径为1，且过点(1,2)的圆的方程为( ) A ．x 2＋(y －2)2＝1B ．x 2＋(y ＋2)2＝1 C ．(x －1)2＋(y －3)2＝1D ．x 2＋(y －3)2＝1解析：选A 设圆心坐标为(0，b )，则由题意知0－12＋b －22＝1，解得b ＝2，故圆的方程为x 2＋(y －2)2＝1.4．(2012·潍坊调研)圆x 2－2x ＋y 2－3＝0的圆心到直线x ＋3y －3＝0的距离为________． 解析：圆心(1,0)，d ＝|1－3|1＋3＝1.答案：15．(教材习题改编)圆心在原点且与直线x ＋y －2＝0相切的圆的方程为 ____________________．解析：设圆的方程为x 2＋y 2＝a 2(a ＞0) ∴|2|1＋1＝a ，∴a ＝2， ∴x 2＋y 2＝2. 答案：x 2＋y 2＝21.方程Ax 2＋Bxy ＋Cy 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0表示圆的充要条件是： (1)B ＝0；(2)A ＝C ≠0；(3)D 2＋E 2－4AF ＞0.2．求圆的方程时，要注意应用圆的几何性质简化运算． (1)圆心在过切点且与切线垂直的直线上． (2)圆心在任一弦的中垂线上．(3)两圆内切或外切时，切点与两圆圆心三点共线．典题导入[例1] (1)(2012·顺义模拟)已知圆C 关于y 轴对称，经过点(1,0)且被x 轴分成两段弧长之比为1∶2，则圆C 的方程为( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫x ±332＋y 2＝43B.⎝ ⎛⎭⎪⎫x ±332＋y 2＝13 C ．x 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y ±332＝43D ．x 2＋⎝⎛⎭⎪⎫y ±332＝13(2)已知圆C 经过A (5,1)，B (1,3)两点，圆心在x 轴上，则圆C 的方程为________________． [自主解答] (1)由已知知圆心在y 轴上，且被x 轴所分劣弧所对圆心角为2π3，设圆心(0，b )，半径为r ，则r sin π3＝1，r cos π3＝|b |，解得r ＝23，|b |＝33，即b ＝±33.故圆的方程为x 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y ±332＝43. (2)圆C 的方程为x 2＋y 2＋Dx ＋F ＝0，则⎩⎪⎨⎪⎧26＋5D ＋F ＝0，10＋D ＋F ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧D ＝－4，F ＝－6.圆C 的方程为x 2＋y 2－4x －6＝0. [答案] (1)C (2)x 2＋y 2－4x －6＝0由题悟法1．利用待定系数法求圆的方程关键是建立关于a ，b ，r 或D ，E ，F 的方程组．2．利用圆的几何性质求方程可直接求出圆心坐标和半径，进而写出方程，体现了数形结合思想的运用．以题试法1．(2012·浙江五校联考)过圆x 2＋y 2＝4外一点P (4,2)作圆的两条切线，切点分别为A ，B ，则△ABP 的外接圆的方程是( )A ．(x －4)2＋(y －2)2＝1 B ．x 2＋(y －2)2＝4 C ．(x ＋2)2＋(y ＋1)2＝5D ．(x －2)2＋(y －1)2＝5解析：选D 易知圆心为坐标原点O ，根据圆的切线的性质可知OA ⊥PA ，OB ⊥PB ，因此P ，A ，O ，B 四点共圆，△PAB 的外接圆就是以线段OP 为直径的圆，这个圆的方程是(x －2)2＋(y －1)2＝5.与圆有关的最值问题典题导入[例2] (1)(2012·湖北高考)过点P (1,1)的直线，将圆形区域{(x ，y )|x 2＋y 2≤4}分为两部分，使得这两部分的面积之差最大，则该直线的方程为( )A ．x ＋y －2＝0B ．y －1＝0C ．x －y ＝0D ．x ＋3y －4＝0(2)P (x ，y )在圆C ：(x －1)2＋(y －1)2＝1上移动，则x 2＋y 2的最小值为________．[自主解答] (1)当圆心与P 的连线和过点P 的直线垂直时，符合条件．圆心O 与P 点连线的斜率k ＝1，∴直线OP 垂直于x ＋y －2＝0.(2)由C (1,1)得|OC |＝2，则|OP |min ＝2－1，即(x 2＋y 2)min ＝2－1.所以x 2＋y 2的最小值为(2－1)2＝3－2 2.[答案] (1)A (2)3－2 2由题悟法解决与圆有关的最值问题的常用方法(1)形如u ＝y －bx －a的最值问题，可转化为定点(a ，b )与圆上的动点(x ，y )的斜率的最值问题(如A 级T 9)； (2)形如t ＝ax ＋by 的最值问题，可转化为动直线的截距的最值问题(如以题试法2(2))； (3)形如(x －a )2＋(y －b )2的最值问题，可转化为动点到定点的距离的最值问题(如例(2))．以题试法2．(1)(2012·东北三校联考)与曲线C ：x 2＋y 2＋2x ＋2y ＝0相内切，同时又与直线l ：y ＝2－x 相切的半径最小的圆的半径是________．(2)已知实数x ，y 满足(x －2)2＋(y ＋1)2＝1则2x －y 的最大值为________，最小值为________． 解析：(1)依题意，曲线C 表示的是以点C (－1，－1)为圆心，2为半径的圆，圆心C (－1，－1)到直线y ＝2－x 即x ＋y －2＝0的距离等于|－1－1－2|2＝22，易知所求圆的半径等于22＋22＝322.(2)令b ＝2x －y ，则b 为直线2x －y ＝b 在y 轴上的截距的相反数，当直线2x －y ＝b 与圆相切时，b 取得最值．由|2×2＋1－b |5＝1.解得b ＝5±5，所以2x －y 的最大值为5＋5，最小值为5－ 5.答案：(1)322 (2)5＋ 5 5－ 5与圆有关的轨迹问题典题导入[例3] (2012·正定模拟)如图，已知点A (－1,0)与点B (1,0)，C 是圆x 2＋y 2＝1上的动点，连接BC 并延长至D ，使得|CD |＝|BC |，求AC 与OD 的交点P 的轨迹方程．[自主解答] 设动点P (x ，y )，由题意可知P 是△ABD 的重心． 由A (－1,0)，B (1,0)，令动点C (x 0，y 0)， 则D (2x 0－1,2y 0)，由重心坐标公式得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1＋1＋2x 0－13，y ＝2y 03，则⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝3x ＋12，y 0＝3y2y 0≠0，代入x 2＋y 2＝1，整理得⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋132＋y 2＝49(y ≠0)，故所求轨迹方程为⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋132＋y 2＝49(y ≠0)．由题悟法求与圆有关的轨迹问题时，根据题设条件的不同常采用以下方法： (1)直接法：直接根据题目提供的条件列出方程． (2)定义法：根据直线、圆、圆锥曲线等定义列方程． (3)几何法：利用圆与圆的几何性质列方程．(4)代入法：找到要求点与已知点的关系，代入已知点满足的关系式等．以题试法3．(2012·郑州模拟)动点P 到点A (8,0)的距离是到点B (2,0)的距离的2倍，则动点P 的轨迹方程为( )A ．x 2＋y 2＝32 B ．x 2＋y 2＝16 C ．(x －1)2＋y 2＝16D ．x 2＋(y －1)2＝16解析：选B 设P (x ，y )，则由题意可得2x －22＋y 2＝x －82＋y 2，化简整理得x 2＋y 2＝16.1．圆(x ＋2)2＋y 2＝5关于原点P (0,0)对称的圆的方程为( ) A ．(x －2)2＋y 2＝5 B ．x 2＋(y －2)2＝5C ．(x ＋2)2＋(y ＋2)2＝5D ．x 2＋(y ＋2)2＝5解析：选A 圆上任一点(x ，y )关于原点对称点为(－x ，－y )在圆(x ＋2)2＋y 2＝5上，即(－x ＋2)2＋(－y )2＝5.即(x －2)2＋y 2＝5.2．(2012·辽宁高考)将圆x 2＋y 2－2x －4y ＋1＝0平分的直线是( ) A ．x ＋y －1＝0 B ．x ＋y ＋3＝0 C ．x －y ＋1＝0D ．x －y ＋3＝0解析：选C 要使直线平分圆，只要直线经过圆的圆心即可，圆心坐标为(1,2)．A ，B ，C ，D 四个选项中，只有C 选项中的直线经过圆心．3．(2012·青岛二中期末)若圆C 的半径为1，圆心在第一象限，且与直线4x －3y ＝0和x 轴都相切，则该圆的标准方程是( )A ．(x －3)2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y －732＝1B ．(x －2)2＋(y －1)2＝1C ．(x －1)2＋(y －3)2＝1D.⎝ ⎛⎭⎪⎫x －322＋(y －1)2＝1 解析：选B 依题意设圆心C (a,1)(a ＞0)，由圆C 与直线4x －3y ＝0相切，得|4a －3|5＝1，解得a ＝2，则圆C 的标准方程是(x －2)2＋(y －1)2＝1.4．(2012·海淀检测)点P (4，－2)与圆x 2＋y 2＝4上任一点连线的中点的轨迹方程是( ) A ．(x －2)2＋(y ＋1)2＝1 B ．(x －2)2＋(y ＋1)2＝4 C ．(x ＋4)2＋(y －2)2＝4D ．(x ＋2)2＋(y －1)2＝1解析：选 A 设圆上任一点为Q (x 0，y 0)，PQ 的中点为M (x ，y )，则⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4＋x 02，y ＝－2＋y2，解得⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝2x －4，y 0＝2y ＋2.因为点Q 在圆x 2＋y 2＝4上，所以(2x －4)2＋(2y ＋2)2＝4，即(x －2)2＋(y ＋1)2＝1.5．(2013·杭州模拟)若圆x 2＋y 2－2x ＋6y ＋5a ＝0，关于直线y ＝x ＋2b 成轴对称图形，则a －b 的取值范围是( )A ．(－∞，4)B ．(－∞，0)C ．(－4，＋∞)D ．(4，＋∞)解析：选A 将圆的方程变形为(x －1)2＋(y ＋3)2＝10－5a ，可知，圆心为(1，－3)，且10－5a ＞0，即a ＜2.∵圆关于直线y ＝x ＋2b 对称，∴圆心在直线y ＝x ＋2b 上，即－3＝1＋2b ，解得b ＝－2，∴a －b ＜4.6．已知点M 是直线3x ＋4y －2＝0上的动点，点N 为圆(x ＋1)2＋(y ＋1)2＝1上的动点，则|MN |的最小值是( )A.95 B ．1 C.45D.135解析：选C 圆心(－1，－1)到点M 的距离的最小值为点(－1，－1)到直线的距离d ＝|－3－4－2|5＝95，故点N 到点M 的距离的最小值为d －1＝45. 7．如果三角形三个顶点分别是O (0,0)，A (0,15)，B (－8,0)，则它的内切圆方程为________________． 解析：因为△AOB 是直角三角形，所以内切圆半径为r ＝|OA |＋|OB |－|AB |2＝15＋8－172＝3，圆心坐标为(－3,3)，故内切圆方程为(x ＋3)2＋(y －3)2＝9.答案：(x ＋3)2＋(y －3)2＝98．(2013·河南三市调研)已知圆C 的圆心与抛物线y 2＝4x 的焦点关于直线y ＝x 对称，直线4x －3y －2＝0与圆C 相交于A ，B 两点，且|AB |＝6，则圆C 的方程为__________．解析：设所求圆的半径是R ，依题意得，抛物线y 2＝4x 的焦点坐标是(1,0)，则圆C 的圆心坐标是(0,1)，圆心到直线4x －3y －2＝0的距离d ＝|4×0－3×1－2|42＋－32＝1，则R 2＝d 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫|AB |22＝10，因此圆C 的方程是x 2＋(y －1)2＝10.答案：x 2＋(y －1)2＝109．(2012·南京模拟)已知x ，y 满足x 2＋y 2＝1，则y －2x －1的最小值为________． 解析：y －2x －1表示圆上的点P (x ，y )与点Q (1,2)连线的斜率，所以y －2x －1的最小值是直线PQ 与圆相切时的斜率．设直线PQ 的方程为y －2＝k (x －1)即kx －y ＋2－k ＝0.由|2－k |k 2＋1＝1得k ＝34，结合图形可知，y －2x －1≥34，故最小值为34. 答案：3410．过点C (3,4)且与x 轴，y 轴都相切的两个圆的半径分别为r 1，r 2，求r 1r 2. 解：由题意知，这两个圆的圆心都在第一象限， 且在直线y ＝x 上，故可设两圆方程为(x －a )2＋(y －a )2＝a 2，(x －b )2＋(y －b )2＝b 2， 且r 1＝a ，r 2＝b .由于两圆都过点C ，则(3－a )2＋(4－a )2＝a 2，(3－b )2＋(4－b )2＝b 2即a 2－14a ＋25＝0，b 2－14b ＋25＝0. 则a 、b 是方程x 2－14x ＋25＝0的两个根． 故r 1r 2＝ab ＝25.11．已知以点P 为圆心的圆经过点A (－1,0)和B (3,4)，线段AB 的垂直平分线交圆P 于点C 和D ，且|CD |＝410.(1)求直线CD 的方程； (2)求圆P 的方程．解：(1)直线AB 的斜率k ＝1，AB 的中点坐标为(1,2)． 则直线CD 的方程为y －2＝－(x －1)， 即x ＋y －3＝0.(2)设圆心P (a ，b )，则由P 在CD 上得a ＋b －3＝0.① 又∵直径|CD |＝410，∴|PA |＝210， ∴(a ＋1)2＋b 2＝40.②由①②解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－3，b ＝6或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝5，b ＝－2.∴圆心P (－3,6)或P (5，－2)． ∴圆P 的方程为(x ＋3)2＋(y －6)2＝40 或(x －5)2＋(y ＋2)2＝40.12．(2012·吉林摸底)已知关于x ，y 的方程C ：x 2＋y 2－2x －4y ＋m ＝0.(1)当m 为何值时，方程C 表示圆；(2)在(1)的条件下，若圆C 与直线l ：x ＋2y －4＝0相交于M 、N 两点，且|MN |＝455，求m 的值． 解：(1)方程C 可化为(x －1)2＋(y －2)2＝5－m ，显然只要5－m ＞0，即m ＜5时方程C 表示圆． (2)因为圆C 的方程为(x －1)2＋(y －2)2＝5－m ，其中m ＜5，所以圆心C (1,2)，半径r ＝5－m ， 则圆心C (1,2)到直线l ：x ＋2y －4＝0的距离为d ＝|1＋2×2－4|12＋22＝15， 因为|MN |＝455，所以12|MN |＝255，所以5－m ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫152＋⎝ ⎛⎭⎪⎫2552， 解得m ＝4.1．(2012·常州模拟)以双曲线x 26－y 23＝1的右焦点为圆心且与双曲线的渐近线相切的圆的方程是( )A ．(x －3)2＋y 2＝1 B ．(x －3)2＋y 2＝3 C ．(x －3)2＋y 2＝3D ．(x －3)2＋y 2＝9解析：选B 双曲线的渐近线方程为x ±2y ＝0，其右焦点为(3,0)，所求圆半径r ＝|3|12＋±22＝3，所求圆方程为(x －3)2＋y 2＝3.2．由直线y ＝x ＋2上的点P 向圆C ：(x －4)2＋(y ＋2)2＝1引切线PT (T 为切点)，当|PT |最小时，点P 的坐标是( )A ．(－1,1)B ．(0,2)C ．(－2,0)D ．(1,3)解析：选B 根据切线长、圆的半径和圆心到点P 的距离的关系，可知|PT |＝|PC |2－1，故|PT |最小时，即|PC |最小，此时PC 垂直于直线y ＝x ＋2，则直线PC 的方程为y ＋2＝－(x －4)，即y ＝－x ＋2，联立方程⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝x ＋2，y ＝－x ＋2，解得点P 的坐标为(0,2)．3．已知圆M 过两点C (1，－1)，D (－1,1)，且圆心M 在x ＋y －2＝0上．(1)求圆M 的方程；(2)设P 是直线3x ＋4y ＋8＝0上的动点，PA 、PB 是圆M 的两条切线，A ，B 为切点，求四边形PAMB 面积的最小值．解：(1)设圆M 的方程为(x －a )2＋(y －b )2＝r 2(r ＞0)． 根据题意，得⎩⎪⎨⎪⎧ 1－a 2＋－1－b 2＝r 2，－1－a 2＋1－b2＝r 2，a ＋b －2＝0.解得a ＝b ＝1，r ＝2，故所求圆M 的方程为(x －1)2＋(y －1)2＝4.(2)因为四边形PAMB 的面积S ＝S △PAM ＋S △PBM＝12|AM |·|PA |＋12|BM |·|PB |， 又|AM |＝|BM |＝2，|PA |＝|PB |，所以S ＝2|PA |，而|PA |＝|PM |2－|AM |2＝|PM |2－4，即S ＝2|PM |2－4.因此要求S 的最小值，只需求|PM |的最小值即可，即在直线3x ＋4y ＋8＝0上找一点P ，使得|PM |的值最小，所以|PM |min ＝|3×1＋4×1＋8|32＋42＝3，所以四边形PAMB 面积的最小值为S ＝2|PM |2min －4＝232－4＝2 5.1．在圆x 2＋y 2－2x －6y ＝0内，过点E (0,1)的最长弦和最短弦分别为AC 和BD ，则四边形ABCD 的面积为( )A ．5 2B ．10 2C ．15 2D ．20 2 解析：选B 由题意可知，圆的圆心坐标是(1,3)，半径是10，且点E (0,1)位于该圆内，故过点E (0,1)的最短弦长|BD |＝210－12＋22＝25(注：过圆内一定点的最短弦是以该点为中点的弦)，过点E (0,1)的最长弦长等于该圆的直径，即|AC |＝210，且AC ⊥BD ，因此四边形ABCD 的面积等于12|AC |×|BD |＝12×210×25＝10 2.2．已知两点A (－2,0)，B (0,2)，点C 是圆x 2＋y 2－2x ＝0上任意一点，则△ABC 面积的最小值是________． 解析：l AB ：x －y ＋2＝0，圆心(1,0)到l 的距离d ＝32， 则AB 边上的高的最小值为32－1. 故△ABC 面积的最小值是12×22×⎝ ⎛⎭⎪⎫32－1＝3－ 2. 答案：3－ 23．(2012·抚顺调研)已知圆x 2＋y 2＝4上一定点A (2,0)，B (1，1)为圆内一点，P ，Q 为圆上的动点．(1)求线段AP 中点的轨迹方程；(2)若∠PBQ ＝90°，求线段PQ 中点的轨迹方程．解：(1)设AP 的中点为M (x ，y )，由中点坐标公式可知，P 点坐标为(2x －2,2y )．因为P 点在圆x 2＋y 2＝4上，所以(2x －2)2＋(2y )2＝4.故线段AP 中点的轨迹方程为(x －1)2＋y 2＝1.(2)设PQ 的中点为N (x ，y )，在Rt △PBQ 中，|PN |＝|BN |，设O 为坐标原点，连接ON ，则ON ⊥PQ ，所以|OP|2＝|ON|2＋|PN|2＝|ON|2＋|BN|2，所以x2＋y2＋(x－1)2＋(y－1)2＝4.故线段PQ中点的轨迹方程为x2＋y2－x－y－1＝0.。
圆的标准方程(经典练习及答案详解)
2.4 圆的方程 2.4.1 圆的标准方程1.已知圆的方程是(x-2)2+(y-3)2=4,则点P (3,2)( )A.是圆心B.在圆上C.在圆内D.在圆外(3-2)2+(2-3)2=2<4,∴点P 在圆内.2.已知点A (-4,-5),B (6,-1),则以线段AB 为直径的圆的方程是( ) A.(x+1)2+(y-3)2=29 B.(x+1)2+(y-3)2=116 C.(x-1)2+(y+3)2=29D.(x-1)2+(y+3)2=116A (-4,-5),B (6,-1),所以线段AB 的中点为C (1,-3),所求圆的半径r=12|AB|=12√102+42=√29,所以以线段AB 为直径的圆的方程是(x-1)2+(y+3)2=29,故选C .3.方程x=√1-y 2表示的图形是( ) A.两个半圆 B.两个圆 C.圆D.半圆x ≥0,方程两边同时平方并整理得x 2+y 2=1,由此确定图形为半圆,故选D .4.一个动点在圆x 2+y 2=1上移动时,它与定点A (3,0)的连线中点的轨迹方程是( ) A.(x+3)2+y 2=4 B.(x-3)2+y 2=1 C.(2x-3)2+4y 2=1D.x+322+y 2=12M (x 0,y 0)为圆上的动点,则有x 02+y 02=1,设线段MA 的中点为P (x ,y ),则x=x 0+32,y=y 0+02,则x 0=2x-3,y 0=2y ,代入x 02+y 02=1,得(2x-3)2+(2y )2=1,即(2x-3)2+4y 2=1.5.圆(x-2)2+(y+3)2=2的圆心是 ,半径是 .-3) √26.圆(x+1)2+y 2=5关于直线y=x 对称的圆的标准方程为 .(x+1)2+y 2=5的圆心坐标为(-1,0),它关于直线y=x 的对称点坐标为(0,-1),即所求圆的圆心坐标为(0,-1),所以所求圆的标准方程为x 2+(y+1)2=5.2+(y+1)2=57.若直线3x-4y+12=0与两坐标轴交点为A ,B ,则以线段AB 为直径的圆的方程是 .解析由题意得A (0,3),B (-4,0),AB 的中点-2,32为圆的圆心,直径AB=5,以线段AB 为直径的圆的标准方程为(x+2)2+y-322=254. 答案(x+2)2+y-322=2548.已知圆M 过A (1,-1),B (-1,1)两点,且圆心M 在直线x+y-2=0上. (1)求圆M 的方程;(2)若圆M 上存在点P ,使|OP|=m (m>0),其中O 为坐标原点,求实数m 的取值范围.设圆M 的方程为(x-a )2+(y-b )2=r 2(r>0),根据题意得{a +b -2=0,(1-a )2+(-1-b )2=r 2,(-1-a )2+(1-b )2=r 2,解得{a =1,b =1,r =2,所以圆M 的方程为(x-1)2+(y-1)2=4. (2)如图,m=|OP|∈[2-√2,2+√2].关键能力提升练9.若直线y=kx 与圆(x-2)2+y 2=1的两个交点关于直线2x+y+b=0对称,则k ,b 的值分别为( ) A.12,-4B.-12,4C.12,4D.-12,-4y=kx与圆(x-2)2+y2=1的两个交点关于直线2x+y+b=0对称,直线2x+y+b=0的斜率为-2,所以k=12,并且直线2x+y+b=0经过已知圆的圆心,所以圆心(2,0)在直线2x+y+b=0上,所以4+0+b=0,所以b=-4.故选A.10.已知圆O:x2+y2=1,点A(-2,0)及点B(2,a),从A点观察B点,要使视线不被圆O挡住,则实数a的取值范围是()A.(-∞,-1)∪(-1,+∞)B.(-∞,-2)∪(2,+∞)C.-∞,-4√33∪4√33,+∞D.(-∞,-4)∪(4,+∞)方法1)(直接法)写出直线方程,将直线与圆相切转化为点到直线的距离来解决.过A,B两点的直线方程为y=a4x+a2,即ax-4y+2a=0,令d=√a2+16=1,化简后,得3a2=16,解得a=±4√33.再进一步判断便可得到正确答案为C.(方法2)(数形结合法)如图,设直线AB切圆O于点C在Rt△AOC中,由|OC|=1,|AO|=2,可求出∠CAO=30°.在Rt△BAD中,由|AD|=4,∠BAD=30°,可求得BD=4√33,再由图直观判断,故选C.11.(2020四川成都石室中学高二上期中)已知实数x,y满足x2+y2=1,则√3x+y的取值范围是()A.(-2,2)B.(-∞,2]C.[-2,2]D.(-2,+∞)解析因为x2+y2=1,所以设x=sin α,y=cos α,则√3x+y=√3sin α+cos α=2sinα+π6,所以√3x+y的取值范围是[-2,2].故选C.12.(多选题)若经过点P(5m+1,12m)可以作出圆(x-1)2+y2=1的两条切线,则实数m的取值可能是()A.110B.113C.-113D.-12P 可作圆的两条切线,说明点P 在圆的外部,所以(5m+1-1)2+(12m )2>1,解得m>113或m<-113,对照选项知AD 可能.13.(多选题)设有一组圆C k :(x-k )2+(y-k )2=4(k ∈R ),下列命题正确的是( ) A.不论k 如何变化,圆心C 始终在一条直线上 B.所有圆C k 均不经过点(3,0) C.经过点(2,2)的圆C k 有且只有一个 D.所有圆的面积均为4π(k ,k ),在直线y=x 上,故A 正确;令(3-k )2+(0-k )2=4,化简得2k 2-6k+5=0,∵Δ=36-40=-4<0,∴2k 2-6k+5=0无实数根,故B 正确;由(2-k )2+(2-k )2=4,化简得k 2-4k+2=0,∵Δ=16-8=8>0,有两个不等实根,∴经过点(2,2)的圆C k 有两个,故C 错误;由圆的半径为2,得圆的面积为4π,故D 正确.故选ABD .14.已知点A (8,-6)与圆C :x 2+y 2=25,P 是圆C 上任意一点,则|AP|的最小值是 .82+(-6)2=100>25,故点A 在圆外,从而|AP|的最小值为√82+(-6)2-5=10-5=5.15.已知圆C 的半径为2,圆心在x 轴的正半轴上,且圆心到直线3x+4y+4=0的距离等于半径长,则圆C 的标准方程为 .(a ,0),且a>0,则点(a ,0)到直线3x+4y+4=0的距离为2,即√32+42=2,所以3a+4=±10,解得a=2或a=-143(舍去),则圆C 的标准方程为(x-2)2+y 2=4.x-2)2+y 2=416.矩形ABCD 的两条对角线相交于点M (2,1),AB 边所在直线的方程为x-2y-4=0,点T (-1,0)在AD 边所在直线上. (1)求AD 边所在直线的方程; (2)求矩形ABCD 外接圆的方程.因为AB 边所在直线的方程为x-2y-4=0,且AD 与AB 垂直,所以直线AD 的斜率为-2.又因为点T (-1,0)在直线AD 上,所以AD 边所在直线的方程为y-0=-2(x+1),即2x+y+2=0.(2)由{x -2y -4=0,2x +y +2=0,解得{x =0,y =-2,所以点A 的坐标为(0,-2),因为矩形ABCD 两条对角线的交点为M (2,1),所以M 为矩形外接圆的圆心.又|AM|=√(2-0)2+(1+2)2=√13,从而矩形ABCD 外接圆的方程为(x-2)2+(y-1)2=13.学科素养创新练17.设A(x A,y A),B(x B,y B)为平面直角坐标系内的两点,其中x A,y A,x B,y B∈Z.令Δx=x B-x A,Δy=y B-y A,若|Δx|+|Δy|=3,且|Δx|·|Δy|≠0,则称点B为点A的“相关点”,记作B=τ(A).(1)求点(0,0)的“相关点”的个数.(2)点(0,0)的所有“相关点”是否在同一个圆上?若在,写出圆的方程;若不在,请说明理由.因为|Δx|+|Δy|=3(Δx,Δy为非零整数),所以|Δx|=1,|Δy|=2或|Δx|=2,|Δy|=1,所以点(0,0)的“相关点”有8个.(2)是.设点(0,0)的“相关点”的坐标为(x,y).由(1)知|Δx|2+|Δy|2=5,即(x-0)2+(y-0)2=5,所以所有“相关点”都在以(0,0)为圆心,√5为半径的圆上,所求圆的方程为x2+y2=5.。
(完整版)圆的方程 习题(含答案)
一、单选题
1．以点P(2，－3)为圆心，并且与y轴相切的圆的方程是( )
A．(x＋2)2＋(y－3)2＝4
B．(x＋2)2＋(y－3)2＝9
C．(x－2)2＋(y＋3)2＝4
D．(x－2)2＋(y＋3)2＝9
2．当点 在圆 上运动时，连接它与定点 ，线段 的中点 的轨迹方程是（ ）
6．若点 为圆 上的一个动点，点 ， 为两个定点，则 的最大值为（ ）
A． B． C． D．
7．已知直线 ： 是圆 的对称轴.过点 作圆 的一条切线，切点为 ，则 （ ）
A．2B． C．6D．
8．若直线l：ax+by+1=0经过圆M： 的圆心则 的最小值为
A． B．5C． D．10
9．若 均为任意实数，且 ，则 的最小值为（ ）
21．已知点 在圆 上运动，且存在一定点 ，点 为线段 的中点.
（1）求点 的轨迹 的方程；
（2）过 且斜率为 的直线 与点 的轨迹 交于不同的两点 ，是否存在实数 使得 ，并说明理由.
22．已知圆经过 两点，并且圆心在直线 上。
(1)求圆的方程；
(2)求圆上的点到直线 的最小距离。
23．在平面直角坐标系 中，曲线 与坐标轴的交点都在圆 上．
A． B．
C． D．
3．圆x2＋y2－(4m＋2)x－2my＋4m2＋4m＋1＝0的圆心在直线x＋y－4＝0上，那么圆的面积为( )
A．9πB．πC．2πD．由m的值而定
4．圆 的半径是（ ）
A． B．2C． D．4
5．已知圆 与圆 相交于A、B两点，则线段AB的垂直平分线的方程为
A． B． C． D．
A． B． C． D．
圆的方程练习题
圆的方程练习题圆是几何学中常见的一种形状，其方程是描述圆的数学表达式。
在解决与圆相关的问题时，掌握圆的方程是非常重要的。
本文将介绍一些关于圆的方程的练习题，帮助读者巩固对圆的方程的理解和运用。
练习题1：已知圆心坐标和半径，求圆的方程已知圆的圆心坐标为(x₁, y₁)，半径为r，要求推导出圆的方程。
解答：圆的方程可以表示为：(x - x₁)² + (y - y₁)² = r²练习题2：已知圆上一点坐标和圆心坐标，求圆的方程已知圆上一点的坐标为(x₂, y₂)，圆心坐标为(x₁, y₁)，要求推导出圆的方程。
解答：根据题意，圆上一点到圆心的距离等于半径：√[(x₂ - x₁)² + (y₂ - y₁)²] = r进行平方运算得：(x₂ - x₁)² + (y₂ - y₁)² = r²练习题3：已知圆心和通过圆上两点的直径，求圆的方程已知圆的圆心坐标为(x₁, y₁)，通过圆上两点的直径坐标为[(x₂, y₂), (x₃, y₃)]，要求推导出圆的方程。
解答：通过圆上两点的直径可以求出圆心的坐标：圆心坐标(x₁, y₁) = [(x₂ + x₃) / 2, (y₂ + y₃) / 2]然后利用圆心和圆上一点坐标的求圆的方程公式：(x - x₁)² + (y - y₁)² = r²代入圆心坐标和圆上一点的坐标，可得：(x - [(x₂ + x₃) / 2])² + (y - [(y₂ + y₃) / 2])² = r²练习题4：已知圆在坐标轴上的截距，求圆的方程已知圆在x轴和y轴上的截距分别为a和b，要求推导出圆的方程。
解答：根据题意，圆在x轴和y轴上分别有两个点：(a, 0)和(0, b)。
圆心的坐标为(c, c)，其中c是圆心到x轴和y轴的距离，即c = (a + b) / 2。
第3节 圆的方程--2025年高考数学复习讲义及练习解析
第三节圆的方程1．圆的定义及圆的方程＝D 2＋E 2－4F2的圆；当D 2＋E 2－4F ＝0时，－D 2，D2＋E 2－4F <0时，不表示任何图形．2．点与圆的位置关系平面上的一点M (x 0，y 0)与圆C ：(x －a )2＋(y －b )2＝r 2或x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0之间存在着下列关系：位置关系判断方法几何法代数法(标准方程)代数法(一般方程)点在圆上|MC |＝r (x 0－a )2＋(y 0－b )2＝r 2x 20＋y 20＋Dx 0＋Ey 0＋F ＝0点在圆外|MC |>r (x 0－a )2＋(y 0－b )2>r 2x 20＋y 20＋Dx 0＋Ey 0＋F >0点在圆内|MC |<r(x 0－a )2＋(y 0－b )2<r 2x 20＋y 20＋Dx 0＋Ey 0＋F <01．确定圆的方程时，常用到的圆的两个性质(1)圆心在过切点且与切线垂直的直线上．(2)圆心在任一弦的中垂线上．2．以A(x1，y1)，B(x2，y2)为直径端点的圆的方程为(x－x1)(x－x2)＋(y－y1)(y－y2)＝0.1．概念辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)圆x2＋y2＝a2的半径为a.()(2)方程Ax2＋Bxy＋Cy2＋Dx＋Ey＋F＝0表示圆的充要条件是A＝C≠0，B＝0，D2＋E2－4AF>0.()(3)若点M(x0，y0)在圆x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0外，则x20＋y20＋Dx0＋Ey0＋F>0.()答案(1)×(2)√(3)√2．小题热身(1)圆x2＋y2－4x＋6y＝0的圆心坐标和半径分别是()A．(2，3)，3B．(－2，3)，3C．(－2，－3)，13D．(2，－3)，13答案D解析圆的方程可化为(x－2)2＋(y＋3)2＝13，所以圆心坐标是(2，－3)，半径r＝13.故选D.(2)(人教A选择性必修第一册2.4.1练习T1改编)圆心为(1，1)且过原点的圆的标准方程是________________．答案(x－1)2＋(y－1)2＝2解析因为圆心为(1，1)且过原点，所以该圆的半径r＝12＋12＝2，则该圆的标准方程为(x －1)2＋(y－1)2＝2.(3)(人教A选择性必修第一册复习参考题2T7改编)若圆C：x2＋y2－2(m－1)x＋2(m－1)y＋2m2－6m＋4＝0过坐标原点，则实数m的值为________．答案2解析∵x2＋y2－2(m－1)x＋2(m－1)y＋2m2－6m＋4＝0表示圆，∴[－2(m－1)]2＋[2(m－1)]2－4(2m2－6m＋4)>0，∴m>1.又圆C过原点，∴2m2－6m＋4＝0，∴m＝2或m＝1(舍去)，∴m＝2.(4)(人教A选择性必修第一册复习参考题2T6改编)圆心在直线x＋y＝0上，且过点(0，2)，(－4，0)的圆的标准方程为________________．答案(x＋3)2＋(y－3)2＝10解析点(0，2)与点(－4，0)确定直线的斜率为k＝2－00－（－4）＝12，其中点为(－2，1)，所以线段的中垂线方程为y－1＝－2(x＋2)，即2x＋y＋3＝0，又圆心在直线x＋y＝0上，由x＋y＋3＝0，＋y＝0，＝－3，＝3，所以圆心为(－3，3)，r＝（－3）2＋（3－2）2＝10，所以圆的标准方程为(x＋3)2＋(y－3)2＝10.考点探究——提素养考点一求圆的方程例1(1)已知圆的圆心为(－2，1)，其一条直径的两个端点恰好在两坐标轴上，则这个圆的一般方程是________________．答案x2＋y2＋4x－2y＝0解析设直径的两个端点分别为A(a，0)，B(0，b)，圆心C为点(－2，1)，由中点坐标公式，得a＋02＝－2，0＋b2＝1，解得a＝－4，b＝2.∴半径r＝（－2＋4）2＋（1－0）2＝5，∴圆的方程是(x＋2)2＋(y－1)2＝5，即x2＋y2＋4x－2y＝0.(2)(2024·江苏南京一中月考)已知△ABC的顶点A(0，0)，B(0，2)，C(－2，2)，则其外接圆的标准方程为________________．答案(x＋1)2＋(y－1)2＝2解析设△ABC的外接圆的方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2，因为△ABC的顶点A(0，0)，B(0，2)，C(－2，2)，2＋b2＝r2，2＋（2－b）2＝r2，2－a）2＋（2－b）2＝r2，＝－1，＝1，＝2，因此(x＋1)2＋(y－1)2＝2即为所求圆的方程．【通性通法】(1)直接法：直接求出圆心坐标和半径，写出方程．(2)待定系数法①若已知条件与圆心(a，b)和半径r有关，则设圆的标准方程，求出a，b，r的值；②若已知条件没有明确给出圆心和半径，则选择圆的一般方程，依据已知条件列出关于D，E，F的方程组，进而求出D，E，F的值．【巩固迁移】1．(2024·河北邯郸模拟)已知三点A(3，2)，B(5，－3)，C(－1，3)，以P(2，－1)为圆心作一个圆，使得A，B，C三点中的一个点在圆内，一个点在圆上，一个点在圆外，则这个圆的标准方程为________________．答案(x－2)2＋(y＋1)2＝13解析由题设知，|PA|＝10，|PB|＝13，|PC|＝5，∴|PA|<|PB|<|PC|，要使A，B，C三点中的一个点在圆内，一个点在圆上，一个点在圆外，则圆以|PB|为半径，故圆的标准方程为(x －2)2＋(y＋1)2＝13.2．已知圆的圆心在直线x－2y－3＝0上，且过点A(2，－3)，B(－2，－5)，则圆的一般方程为________________．答案x2＋y2＋2x＋4y－5＝0解析解法一：设所求圆的标准方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2，由题意，得2－a）2＋（－3－b）2＝r2，2－a）2＋（－5－b）2＝r2，－2b－3＝0，＝－1，＝－2，2＝10，故所求圆的方程为(x＋1)2＋(y＋2)2＝10，即x2＋y2＋2x＋4y－5＝0.解法二：线段AB的垂直平分线方程为2x＋y＋4＝0，x＋y＋4＝0，－2y－3＝0，解得交点坐标C(－1，－2)，又点C到点A的距离d＝10，所以所求圆的方程为(x＋1)2＋(y＋2)2＝10，即x2＋y2＋2x＋4y－5＝0.考点二与圆有关的轨迹问题例2(2024·山东枣庄八中月考)已知Rt△ABC的斜边为AB，且A(－1，0)，B(3，0)．求：(1)直角顶点C的轨迹方程；(2)直角边BC的中点M的轨迹方程．解(1)解法一：设C(x，y)，因为A，B，C三点不共线，所以y≠0.因为AC⊥BC，且直线AC，BC的斜率均存在，所以k AC k BC＝－1，又k AC＝yx＋1，k BC＝yx－3，所以yx＋1·yx－3＝－1，化简，得x2＋y2－2x－3＝0.因此直角顶点C的轨迹方程为x2＋y2－2x－3＝0(y≠0)．解法二：设AB的中点为D，由中点坐标公式得D(1，0)，由直角三角形的性质知|CD|＝12|AB|＝2.由圆的定义知，动点C的轨迹是以D(1，0)为圆心，2为半径的圆(由于A，B，C三点不共线，所以应除去与x轴的交点)．所以直角顶点C的轨迹方程为(x－1)2＋y2＝4(y≠0)．(2)设M (x ，y )，C (x 0，y 0)，因为B (3，0)，M 是线段BC 的中点，由中点坐标公式，得x ＝x 0＋32，y ＝y 0＋02，所以x 0＝2x －3，y 0＝2y .由(1)，知点C 的轨迹方程为(x －1)2＋y 2＝4(y ≠0)，将x 0＝2x －3，y 0＝2y 代入，得(2x －4)2＋(2y )2＝4，即(x －2)2＋y 2＝1(y ≠0)．所以直角边BC 的中点M 的轨迹方程为(x －2)2＋y 2＝1(y ≠0)．【通性通法】求与圆有关的轨迹问题的方法(1)直接法：直接根据题目提供的条件列出方程．(2)定义法：根据圆、直线等定义列方程．(3)几何法：利用圆的几何性质列方程．(4)相关点代入法：找到要求点与已知点的关系，代入已知点满足的关系式求解．【巩固迁移】3．已知两点A (－5，0)，B (5，0)，动点P 到点A 的距离是它到点B 的距离的3倍，则点P 的轨迹方程为________________．答案x 2＋y 2－252x ＋25＝0解析设P (x ，y )，由题意可知|PA |＝3|PB |，由两点间距离公式，可得（x ＋5）2＋y 2＝3（x －5）2＋y 2，化简，得x 2＋y 2－252x ＋25＝0.4．(2023·江苏淮安一模)已知点A (2，0)是圆x 2＋y 2＝4上一点，点B (1，1)是圆内一点，P ，Q 为圆上的动点．(1)求线段AP 的中点M 的轨迹方程；(2)若∠PBQ ＝90°，求线段PQ 的中点N 的轨迹方程．解(1)设AP 的中点为M (x ，y )，由中点坐标公式可知，点P 的坐标为(2x －2，2y )．因为点P在圆x 2＋y 2＝4上，所以(2x －2)2＋(2y )2＝4.故线段AP 的中点M 的轨迹方程为(x －1)2＋y 2＝1.(2)如图，设PQ 的中点N (x ，y )，在Rt △PBQ 中，|PN |＝|BN |，设O 为坐标原点，则ON ⊥PQ ，所以|OP |2＝|ON |2＋|PN |2＝|ON |2＋|BN |2，所以x 2＋y 2＋(x －1)2＋(y －1)2＝4.故线段PQ 的中点N 的轨迹方程为x 2＋y 2－x －y －1＝0.考点三与圆有关的最值问题(多考向探究)考向1借助几何性质求最值例3已知M(x，y)为圆C：x2＋y2－4x－14y＋45＝0上任意一点，且点Q(－2，3)．(1)求|MQ|的最大值和最小值；(2)求y－3x＋2的最大值和最小值；(3)求y－x的最大值和最小值．解(1)由圆C：x2＋y2－4x－14y＋45＝0，可得(x－2)2＋(y－7)2＝8，所以圆心C的坐标为(2，7)，半径r＝2 2.又|QC|＝（2＋2）2＋（7－3）2＝42，所以|MQ|max＝42＋22＝62，|MQ|min＝42－22＝22.(2)可知y－3x＋2表示直线MQ的斜率k.设直线MQ的方程为y－3＝k(x＋2)，即kx－y＋2k＋3＝0.因为直线MQ与圆C有交点，所以|2k－7＋2k＋3|k2＋1≤22，解得2－3≤k≤2＋3，所以y－3x＋2的最大值为2＋3，最小值为2－ 3.(3)设y－x＝b，则x－y＋b＝0.当直线x－y＋b＝0与圆C相切时，截距b取到最值，所以|2－7＋b|12＋（－1）2＝22，解得b＝9或b＝1，所以y－x的最大值为9，最小值为1.【通性通法】借助几何性质求最值的常见形式及求解方法(1)形如μ＝y －bx －a形式的最值问题，可转化为动直线斜率的最值问题．(2)形如t ＝ax ＋by 形式的最值问题，可转化为动直线截距的最值问题．(3)形如(x －a )2＋(y －b )2形式的最值问题，可转化为动点到定点的距离的平方的最值问题．【巩固迁移】5．已知半径为1的圆经过点(3，4)，则其圆心到原点的距离的最小值为()A ．4B ．5C ．6D ．7答案A解析设圆心为C (x ，y )，则（x －3）2＋（y －4）2＝1，化简得(x －3)2＋(y －4)2＝1，所以圆心C 的轨迹是以M (3，4)为圆心，1为半径的圆，如图．所以|OC |＋1≥|OM |＝32＋42＝5，所以|OC |≥5－1＝4，当且仅当C 在线段OM 上时取得等号．故选A.6．已知A (－2，0)，B (2，0)，点P 是圆C ：(x －3)2＋(y －7)2＝1上的动点，则|AP |2＋|BP |2的最大值为()A ．40B ．46C ．48D ．58答案D解析设O 为坐标原点，P (x ，y )，则|AP |2＋|BP |2＝(x ＋2)2＋y 2＋(x －2)2＋y 2＝2(x 2＋y 2)＋8＝2|PO |2＋8.圆C 的圆心为C (3，7)，半径为r ＝1，|OC |＝4，所以|PO |2的最大值为(|OC |＋r )2＝(4＋1)2＝25，所以|AP |2＋|BP |2的最大值为58.考向2构建目标函数求最值例4(2023·湘潭质检)设点P (x ，y )是圆x 2＋(y －3)2＝1上的动点，定点A (2，0)，B (－2，0)，则PA →·PB →的最大值为________．答案12解析由题意，得PA →＝(2－x ，－y )，PB →＝(－2－x ，－y )，所以PA →·PB →＝x 2＋y 2－4，由于点P (x ，y )是圆上的点，故其坐标满足方程x 2＋(y －3)2＝1，故x 2＝－(y －3)2＋1，所以PA →·PB →＝－(y －3)2＋1＋y 2－4＝6y －12.易知2≤y ≤4，所以当y ＝4时，PA →·PB →的值最大，最大值为6×4－12＝12.【通性通法】建立函数关系式求最值时，首先根据已知条件列出关于所求目标式子的函数关系式，然后根据关系式的特征选用配方法、判别式法、基本不等式法等求最值．【巩固迁移】7．等边三角形ABC 的面积为93，且△ABC 的内心为M ，若平面内的点N 满足|MN |＝1，则NA →·NB →的最小值为()A ．－5－23B ．－5－43C ．－6－23D ．－6－43答案A解析设等边三角形ABC 的边长为a ，则面积S ＝34a 2＝93，解得a ＝6.以AB 所在直线为x 轴，AB 的垂直平分线为y 轴建立如图所示的平面直角坐标系．由M 为△ABC 的内心，则M 在OC 上，且|OM |＝13|OC |，则A (－3，0)，B (3，0)，C (0，33)，M (0，3)，由|MN |＝1，则点N 在以M 为圆心，1为半径的圆上．设N (x ，y )，则x 2＋(y －3)2＝1，即x 2＋y 2－23y ＋2＝0，且3－1≤y ≤1＋3，又NA →＝(－3－x ，－y )，NB →＝(3－x ，－y )，所以NA →·NB →＝(x ＋3)(x －3)＋y 2＝x 2＋y 2－9＝23y －11≥23×(3－1)－11＝－5－2 3.考向3利用对称性求最值例5一束光线，从点A (－2，2)出发，经x 轴反射到圆C ：(x －3)2＋(y －3)2＝1上的最短路径的长度是()A ．52－1B ．52＋1C ．32＋1D ．32－1答案A解析如图，依题意知，圆C 的圆心C (3，3)，半径r ＝1，点A (－2，2)关于x 轴的对称点为A ′(－2，－2)，连接A ′C 交x 轴于点O ，交圆C 于点B ，圆外一点与圆上的点的距离的最小值是圆外这点到圆心的距离减去圆的半径，于是得点A ′与圆C 上的点的距离的最小值为|A ′B |＝|A ′C |－r ＝（－2－3）2＋（－2－3）2－1＝52－1.在x 轴上任取点P ，连接AP ，A ′P ，PC ，PC交圆C于点B′，而|AO|＝|A′O|，|AP|＝|A′P|，|AO|＋|OB|＝|A′O|＋|OB|＝|A′B|＝|A′C|－r≤|A′P|＋|PC|－r＝|AP|＋|PB′|，当且仅当点P与点O重合时取“＝”，所以最短路径的长度是52－1.故选A.【通性通法】求解形如|PA|＋|PB|且与圆C有关的折线段的最值问题的基本思路：(1)“动化定”，把与圆上动点的距离转化为与圆心的距离；(2)“曲化直”，即将折线段之和转化为同一直线上的两线段之和，一般要通过对称性解决．【巩固迁移】8．(2024·浙江金华模拟)已知圆C：x2＋(y－2)2＝1上一动点A和定点B(6，2)，点P为x轴上一动点，则|PA|＋|PB|的最小值为________．答案213－1解析根据题意画出圆C：x2＋(y－2)2＝1，以及点B(6，2)的图象如图，作B关于x轴的对称点B′，连接B′C，则当A，P分别是B′C与圆和x轴的交点时，|PA|＋|PB|最小，最小值|AB′|为点C(0，2)到点B′(6，－2)的距离减去圆的半径，即|AB′|＝（6－0）2＋（－2－2）2－1＝213－1.课时作业一、单项选择题1．(2023·甘肃酒泉模拟)已知点(1，1)在圆x2＋y2＋ax＋a＝0外，则实数a的取值范围为() A．(－1，＋∞)B．(－1，0)C．(－1，0)∪(4，＋∞)D．(－∞，0)∪(4，＋∞)答案C解析∵点(1，1)在圆x2＋y2＋ax＋a＝0外，∴a2－4a＞0，且12＋12＋a＋a＞0，解得－1＜a ＜0或a＞4.∴实数a的取值范围为(－1，0)∪(4，＋∞)．故选C.2．(2023·重庆九龙坡期中)在平面直角坐标系xOy中，已知P(－2，4)，Q(2，6)两点，若圆M 以PQ为直径，则圆M的标准方程为()A．x2＋(y＋5)2＝5B．x2＋(y－5)2＝5C．x2＋(y＋5)2＝25D．x2＋(y－5)2＝25答案B解析因为圆M以PQ为直径，所以圆心M的坐标为(0，5)，半径为|MQ|＝（0－2）2＋（5－6）2＝5，所以圆M的标准方程为x2＋(y－5)2＝5.故选B. 3．(2024·河南洛阳阶段考试)方程x2＋y2＋2x－m＝0表示一个圆，则m的取值范围是() A．(－1，＋∞)B．(－∞，－1)C．[－1，＋∞)D．(－∞，－1]答案A解析由方程x2＋y2＋2x－m＝0，可化为(x＋1)2＋y2＝m＋1，要使得方程x2＋y2＋2x－m＝0表示一个圆，则满足m＋1>0，解得m>－1，所以m的取值范围为(－1，＋∞)．故选A. 4．(2024·山东淄博淄川区期末)圆(x＋2)2＋(y－12)2＝4关于直线x－y＋6＝0对称的圆的方程为()A．(x＋6)2＋(y＋4)2＝4B．(x－4)2＋(y＋6)2＝4C．(x－4)2＋(y－6)2＝4D．(x－6)2＋(y－4)2＝4答案D解析由圆的方程(x＋2)2＋(y－12)2＝4可得，圆心坐标为(－2，12)，半径为2，由题意可得关于直线x－y＋6＝0对称的圆的圆心为(－2，12)关于直线对称的点，半径为2，设所求圆的圆心为(a，b)，－b＋122＋6＝0，1，解得a＝6，b＝4，故圆的方程为(x－6)2＋(y－4)2＝4.故选D.5．点A为圆(x－1)2＋y2＝1上的动点，PA是圆的切线，|PA|＝1，则点P的轨迹方程是() A．(x－1)2＋y2＝4B．(x－1)2＋y2＝2C．y2＝2x D．y2＝－2x答案B解析∵|PA |＝1，∴点P 和圆心的距离恒为2，又圆心坐标为(1，0)，设P (x ，y )，∴由两点间的距离公式，得(x －1)2＋y 2＝2.故选B.6．已知圆C ：(x －3)2＋(y －4)2＝1和两点A (－m ，0)，B (m ，0)(m >0)．若圆C 上存在点P ，使得∠APB ＝90°，则m 的最大值为()A ．7B ．6C ．5D ．4答案B解析∵在Rt △APB 中，原点O 为斜边中点，|AB |＝2m (m >0)，∴|OC |－r ≤m ＝|OP |≤|OC |＋r ，又C (3，4)，r ＝1，∴4≤|OP |≤6，即4≤m ≤6.故选B.7．若点P 为圆x 2＋y 2＝1上的一个动点，A (－1，0)，B (1，0)为两个定点，则|PA |＋|PB |的最大值为()A ．2B ．22C ．42D ．4答案B解析由已知，得线段AB 为圆的直径．所以|PA |2＋|PB |2＝4，由基本不等式，得≤|PA |2＋|PB |22＝2，所以|PA |＋|PB |≤22，当且仅当|PA |＝|PB |＝2时，等号成立．故选B.8．(2023·内蒙古赤峰模拟)已知圆O ：x 2＋y 2＝1，点P (x 0，y 0)是直线l ：3x ＋2y －4＝0上的动点，若在圆O 上总存在不同的两点A ，B ，使得直线AB 垂直平分OP ，则y 0的取值范围为()AB ，2413C－1013，D．－1013，答案C解析在圆O 上总存在不同的两点A ，B 使得AB 垂直平分OP .若P 为直线l 与y 轴的交点，得P (0，2)，此时圆O 上不存在不同的两点A ，B 满足条件；若P为直线l 与x 轴的交点，得此时直线AB 的方程为x ＝23，满足条件，y 0＝0；当直线AB 的斜率存在且不为0时，∵AB ⊥OP ，k OP ＝y 0x 0，∴k AB ＝－x 0y 0，∴直线AB 的方程为y －y 02＝－化为2x 0x ＋2y 0y－x 20－y 20＝0，由圆心到直线AB 的距离d ＝x 20＋y 202<1，得x 20＋y 20<4，又3x 0＋2y 0－4＝0，化为13y 20－16y 0－20<0，解得－1013<y 0<2，∴y 0－1013，故选C.二、多项选择题9．已知△ABC 的三个顶点为A (－1，2)，B (2，1)，C (3，4)，则下列关于△ABC 的外接圆圆M 的说法正确的是()A ．圆M 的圆心坐标为(1，3)B ．圆M 的半径为5C ．圆M 关于直线x ＋y ＝0对称D ．点(2，3)在圆M 内答案ABD解析设△ABC 的外接圆圆M 的方程为x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0，＋4－D ＋2E ＋F ＝0，＋1＋2D ＋E ＋F ＝0，＋16＋3D ＋4E ＋F ＝0，＝－2，＝－6，＝5.所以△ABC 的外接圆圆M 的方程为x 2＋y 2－2x －6y ＋5＝0，即(x －1)2＋(y －3)2＝5.故圆M 的圆心坐标为(1，3)，圆M 的半径为5，因为直线x ＋y ＝0不经过圆M 的圆心(1，3)，所以圆M 不关于直线x ＋y ＝0对称．因为(2－1)2＋(3－3)2＝1<5，故点(2，3)在圆M 内．故选ABD.10．设有一组圆C k ：(x －k )2＋(y －k )2＝4(k ∈R )，下列命题正确的是()A ．不论k 如何变化，圆心C 始终在一条直线上B ．所有圆C k 均不经过点(3，0)C ．经过点(2，2)的圆C k 有且只有一个D ．所有圆的面积均为4π答案ABD解析圆心C 的坐标为(k ，k )，在直线y ＝x 上，故A 正确；令(3－k )2＋(0－k )2＝4，化简，得2k 2－6k ＋5＝0，∵Δ＝36－40＝－4<0，∴2k 2－6k ＋5＝0无实数根，故B 正确；由(2－k )2＋(2－k )2＝4，化简，得k 2－4k ＋2＝0，∵Δ＝16－8＝8>0，有两个不相等实根，∴经过点(2，2)的圆C k 有两个，故C 错误；由圆的半径为2，得圆的面积为4π，故D 正确．故选ABD.三、填空题11．(2024·安徽蚌埠模拟)已知定点A (4，0)，P 是圆x 2＋y 2＝4上的一动点，Q 是AP 的中点，则点Q 的轨迹方程是________．答案(x －2)2＋y 2＝1解析如图所示，设P (x 0，y 0)，Q (x ，y )，则x 20＋y 20＝4①，因为Q 为AP 的中点，所以x ，y 0＝2x －4，0＝2y②，所以由①②得，(2x －4)2＋(2y )2＝4，即(x －2)2＋y 2＝1，所以点Q 的轨迹方程为(x －2)2＋y 2＝1.12．(2023·广东湛江三模)已知圆C 过点A (－2，0)，B (2，4)，当圆心C 到原点O 的距离最小时，圆C 的标准方程为________．答案(x －1)2＋(y －1)2＝10解析由A (－2，0)，B (2，4)，可得线段AB 中点的坐标为(0，2)，又k AB ＝4－02－（－2）＝1，所以AB 垂直平分线的方程为y ＝－x ＋2，则圆心C 在线段AB 的垂直平分线y ＝－x ＋2上，当圆心C 到原点O 的距离最小时，则OC 垂直于直线y ＝－x ＋2，则OC ∥AB ，所以直线OC的方程为y ＝x ，＝x ，＝－x ＋2＝1，＝1，所以圆心C (1，1)，又半径r 2＝|AC |2＝(－2－1)2＋(0－1)2＝10，所以圆C 的标准方程为(x －1)2＋(y －1)2＝10.13．(2024·福建泉州期中)已知点P (m ，n )在圆C ：(x －2)2＋(y －2)2＝9上运动，则(m ＋2)2＋(n ＋1)2的最大值为________．答案64解析由题意得，圆心C (2，2)，半径r ＝3.(m ＋2)2＋(n ＋1)2表示圆C 上的点P 到点M (－2，－1)的距离的平方，因为|CM |＝5，所以|PM |max ＝5＋3＝8，即(m ＋2)2＋(n ＋1)2的最大值为64.14．已知A (0，2)，点P 在直线x ＋y ＋2＝0上，点Q 在圆C ：x 2＋y 2－4x －2y ＝0上，则|PA |＋|PQ |的最小值是________．答案25解析因为圆C ：x 2＋y 2－4x －2y ＝0，故圆C 是以C (2，1)为圆心，半径r ＝5的圆．设点A (0，2)关于直线x ＋y ＋2＝0的对称点为A ′(m ，n )，＋n ＋22＋2＝0，1，＝－4，＝－2，故A ′(－4，－2)．由对称性可知|PA |＋|PQ |＝|A ′P |＋|PQ |≥|A ′Q |≥|A ′C |－r ＝2 5.四、解答题15．(2023·广东佛山期中)已知圆C 过点A (4，0)，B (0，4)，且圆心C 在直线l ：x ＋y －6＝0上．(1)求圆C 的方程；(2)若从点M (4，1)发出的光线经过直线y ＝－x 反射，反射光线l 1恰好平分圆C 的圆周，求反射光线l 1的一般方程．解(1)由A (4，0)，B (0，4)，得直线AB 的斜率为k AB ＝0－44－0＝－1，线段AB 的中点D (2，2)，所以k CD ＝1，直线CD 的方程为y －2＝x －2，即y ＝x ，＋y －6＝0，＝x ，＝3，＝3，即C (3，3)，所以半径r ＝|AC |＝（4－3）2＋（0－3）2＝10，所以圆C 的方程为(x －3)2＋(y －3)2＝10.(2)由l 1恰好平分圆C 的圆周，得l1经过圆心C (3，3)，设点M 关于直线y ＝－x 的对称点N (x ，y )，则直线MN 与直线y ＝－x 垂直，且线段MNy ＝－x 上，则有（－1）＝－1，＝－x ＋42，＝－1，＝－4，所以N (－1，－4)，所以直线CN 即为直线l 1，且k l 1＝k CN ＝3－（－4）3－（－1）＝74，反射光线l 1的方程为y －3＝74(x －3)，即7x －4y －9＝0.16．在平面直角坐标系xOy 中，曲线Γ：y ＝x 2－mx ＋2m (m ∈R )与x 轴交于不同的两点A ，B ，曲线Γ与y 轴交于点C .(1)是否存在以AB 为直径的圆过点C ？若存在，求出该圆的方程；若不存在，请说明理由；(2)求证：过A ，B ，C 三点的圆过定点．解由曲线Γ：y ＝x 2－mx ＋2m (m ∈R )，令y ＝0，得x 2－mx ＋2m ＝0.设A (x 1，0)，B (x 2，0)，由题意可得Δ＝m 2－8m >0.则m <0或m >8，x 1＋x 2＝m ，x 1x 2＝2m .令x ＝0，得y ＝2m ，即C (0，2m )．(1)若存在以AB 为直径的圆过点C ，则AC →·BC →＝0，得x 1x 2＋4m 2＝0，即2m ＋4m 2＝0，所以m ＝0(舍去)或m ＝－12.此时C (0，－1)，AB 的中点M －14，，半径r ＝|CM |＝174，＋y 2＝1716.(2)证明：设过A ，B 两点的圆的方程为x 2＋y 2－mx ＋Ey ＋2m ＝0，将点C (0，2m )代入可得E ＝－1－2m ，所以过A ，B ，C 三点的圆的方程为x 2＋y 2－mx －(1＋2m )y ＋2m ＝0，整理，得x 2＋y 2－y －m (x ＋2y －2)＝0.2＋y 2－y ＝0，＋2y －2＝0，＝0，＝1＝25，＝45.故过A ，B ，C 三点的圆过定点(0，1)17．(多选)已知圆C 过点M (1，－2)且与两坐标轴均相切，则下列叙述正确的是()A ．满足条件的圆C 的圆心在一条直线上B ．满足条件的圆C 有且只有一个C ．点(2，－1)在满足条件的圆C 上D ．满足条件的圆C 有且只有两个，它们的圆心距为42答案ACD解析因为圆C 和两个坐标轴都相切，且过点M (1，－2)，所以设圆心坐标为(a ，－a )(a >0)，故圆心在直线y ＝－x 上，故A 正确；圆C 的方程为(x －a )2＋(y ＋a )2＝a 2，把点M 的坐标代入可得a 2－6a ＋5＝0，解得a ＝1或a ＝5，则圆心坐标为(1，－1)或(5，－5)，所以满足条件的圆C 有且只有两个，故B 错误；圆C 的方程分别为(x －1)2＋(y ＋1)2＝1，(x －5)2＋(y ＋5)2＝25，将点(2，－1)代入这两个方程可知其在圆C 上，故C 正确；由C 项知，它们的圆心距为（5－1）2＋（－5＋1）2＝42，D 正确．故选ACD.18．(多选)(2023·浙江温州期末)已知圆C ：(x －2)2＋(y －3)2＝1，点M (4，2)，点P 在圆C 上，O 为原点，则下列命题正确的是()A ．M 在圆上B ．线段MP 的长度的最大值为5＋1C ．当直线MP 与圆C 相切时，|MP |＝2D ．MO →·MP →的最大值为25＋6答案BCD解析将M (4，2)代入圆的方程，(4－2)2＋(2－3)2＝5>1，所以M 在圆外，A 错误；线段MP的长度的最大值为|MC |＋1＝（4－2）2＋（2－3）2＋1＝5＋1，B 正确；当直线MP 与圆C 相切时，|MC |2＝|MP |2＋1＝[（4－2）2＋（2－3）2]2，∴|MP |＝2，C 正确；设动点P (x ，y )，点P 的轨迹是圆心为(2，3)，半径为1的圆，x ＝2＋cos θ，y ＝3＋sin θ，又M (4，2)，所以MO →·MP →＝(－4，－2)·(x －4，y －2)＝－4(x －4)＋(－2)·(y －2)＝－4x －2y ＋20，因为x ＝2＋cos θ，y ＝3＋sin θ，所以MO →·MP →＝－4cos θ－2sin θ＋6＝25sin(θ＋φ)＋6，θ∈[0，2π)，且sin φ＝－255，cos φ＝－55，则MO →·MP →的最大值为25＋6，D 正确．故选BCD.。
圆的方程 习题(含答案)
圆的方程习题（含答案）一、单选题1．以点P(2，－3)为圆心，并且与y轴相切的圆的方程是( )A．(x＋2)2＋(y－3)2＝4B．(x＋2)2＋(y－3)2＝9C．(x－2)2＋(y＋3)2＝4D．(x－2)2＋(y＋3)2＝92．当点P在圆x2+y2=1上运动时，连接它与定点Q(3,0)，线段PQ的中点M的轨迹方程是（）A．(x+3)2+y2=1B．(x−3)2+y2=1C．(2x−3)2+4y2=1D．(2x+3)2+4y2=13．圆x2＋y2－(4m＋2)x－2my＋4m2＋4m＋1＝0的圆心在直线x＋y－4＝0上，那么圆的面积为( )A．9πB．πC．2πD．由m的值而定4．圆x2+y2+2√2x=0的半径是（）A．√2B．2C．2√2D．45．已知圆C1:x2+y2−2x−4y−4=0与圆C2:x2+y2+4x−10y+4=0相交于A、B两点，则线段AB的垂直平分线的方程为A．x+y−3=0B．x+y+3=0C．3x−3y+4=0D．7x+ y−9=06．若点P为圆x2+y2=1上的一个动点，点A(−1,0)，B(1,0)为两个定点，则|PA|+|PB|的最大值为（）A．2B．2√2C．4D．4√27．已知直线l：x+ay−1=0(a∈R)是圆C:x2+y2−4x−2y+1=0的对称轴.过点A(−4,a)作圆C的一条切线，切点为B，则|AB|=（）A．2B．4√2C．6D．2√108．若直线l：ax+by+1=0经过圆M：x2+y2+4x+2y+1=0的圆心则(a−2)2+（b−2）2的最小值为A．√5B．5C．2√5D．109．若x,a,b均为任意实数，且(a+2)2+(b−3)2=1，则(x−a)2+(lnx−b)2的最小值为（ ）A ． 3√2B ． 18C ． 3√2−1D ． 19−6√2二、填空题10．如图，扇形AOB 的圆心角为90°，半径为1，点P 是圆弧AB 上的动点，作点P 关于弦AB 的对称点Q ，则OP⃑⃑⃑⃑⃑ ⋅OQ ⃑⃑⃑⃑⃑⃑ 的取值范围为____．11．已知x ,y 满足x 2－4x －4＋y 2＝0, 则x 2+y 2的最大值为____12．若直线l ：2ax −by +2=0(a >0,b >0)与x 轴相交于点A ，与y 轴相交于B ，被圆x 2+y 2+2x −4y +1=0截得的弦长为4，则|OA|+|OB|(O 为坐标原点)的最小值为______．13．设直线y =x +2a 与圆C:x 2+y 2−2ay −2=0相交于A,B 两点，若|AB |=2√3，则圆C 的面积为________.14．已知圆的圆心在曲线xy =1（x >0)上，且与直线x +4y +13=0相切，当圆的面积最小时，其标准方程为_______．15．在平面直角坐标系xOy 中，已知过点A(2,−1)的圆C 和直线 x +y =1相切，且圆心在直线 y =−2x 上，则圆C 的标准方程为______．16．已知圆C 的圆心在直线2x −y =0上，且经过A(6,2)，B(4,8)两点，则圆C 的标准方程是__________．17．在平面直角坐标系中，三点O(0,0),A(2,4)，B(6,2)，则三角形OAB 的外接圆方程是__________．18．如图，O 是坐标原点，圆O 的半径为1，点A （-1，0），B （1，0），点P ，Q 分别从点A ，B 同时出发，圆O 上按逆时针方向运动.若点P 的速度大小是点Q 的两倍，则在点P 运动一周的过程中，AP ⃑⃑⃑⃑⃑ ⋅AQ ⃑⃑⃑⃑⃑ 的最大值是_______.三、解答题19．设抛物线C ： y 2=4x 的焦点为F ，过F 且斜率为k(k >0)的直线l 与C 交于A ，B 两点，|AB| =8．（1）求l 的方程；（2）求过点A ，B 且与C 的准线相切的圆的方程．20．已知圆C:x 2+y 2+2x −7=0内一点P(−1,2)，直线l 过点P 且与圆C 交于A ，B 两点. （1）求圆C 的圆心坐标和面积；（2）若直线l 的斜率为√3，求弦AB 的长；（3）若圆上恰有三点到直线l 的距离等于√2，求直线l 的方程．21．已知点M (x 0,y 0)在圆O:x 2+y 2=4上运动，且存在一定点N (6,0)，点P (x,y )为线段MN 的中点.（1）求点P 的轨迹C 的方程；（2）过A (0,1)且斜率为k 的直线l 与点P 的轨迹C 交于不同的两点E,F ，是否存在实数k 使得OE ⃑⃑⃑⃑⃑ ⋅OF⃑⃑⃑⃑⃑ =12，并说明理由. 22．已知圆经过()()2,5,2,1-两点，并且圆心在直线 (1)求圆的方程；(2)求圆上的点到直线34230x y -+=的最小距离。
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第十单元 第三节
一、选择题
1．方程x 2＋y 2＋ax ＋2ay ＋2a 2＋a －1＝0表示圆，则a 的取值范围是( )
A ．－2<a <0
B ．－2<a <23
C ．a <－2
D ．－23
<a <0 【解析】 依题意，D 2＋E 2－4F ＝a 2＋4a 2－4(2a 2＋a －1)>0，即3a 2＋4a －4<0，解得－
2<a <23
. 【答案】 B
2．过点A (1，－1)，B (－1,1)且圆心在直线x ＋y －2＝0上的圆的方程是( )
A ．(x －3)2＋(y ＋1)2＝4
B ．(x ＋3)2＋(y －1)2＝4
C ．(x －1)2＋(y －1)2＝4
D ．(x ＋1)2＋(y ＋1)2＝4
【解析】 AB 中垂线方程为(x －1)2＋(y ＋1)2＝(x ＋1)2＋(y －1)2，即x ＝y ，解
⎩⎪⎨⎪⎧
x ＝y ，x ＋y －2＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝1，y ＝1. 半径r ＝02
＋22＝2， ∴圆的方程为(x －1)2＋(y －1)2＝4. 【答案】 C 3．如果圆x 2＋y 2＝3n 2至少覆盖函数f (x )＝3sin πx n
的两个最大值点和两个最小值点，则正整数n 的最小值为( )
A ．1
B ．2
C ．3
D ．4
【解析】 依题意：当πx n ＝－32π时，x ＝－32
n ，f (x )max ＝3， 当πx n ＝32π时，x ＝32n ，f (x )min ＝－3，则点⎝ ⎛⎭
⎪⎫－32n ，3应在圆内或圆上， ∴34n 2＋3≤3n 2，解得n 2≥43
，∴n min ＝2. 【答案】 B
4．已知点A 是圆C ：x 2＋y 2＋ax ＋4y ＋30＝0上任意一点，A 关于直线x ＋2y －1＝0的
对称点也在圆C 上，则实数a 的值( )
A ．等于10
B ．等于－10
C ．等于－4
D ．不存在
【解析】 依题意，直线x ＋2y －1＝0应过圆心，
∴－a
2
－4－1＝0，∴a ＝－10. 又∵x 2＋y 2＋ax ＋4y ＋30＝0表示圆C ，
∴D 2＋E 2－4F ＝a 2＋16－120>0，
解得a 2>104，∴a 不存在．
【答案】 D
5．设直线2x －y －3＝0与y 轴的交点为P ，点P 把圆(x ＋1)2＋y 2＝25的直径分为两
段，则其长度之比为( )
A.73或37
B.74或47
C.75或57
D.76或67
【解析】 依题意，点P (0，－3)，P 与圆心距离为1＋3＝2，∴点P 分直径两端长
为3和7，故选A.
【答案】 A
6．(精选考题·厦门质检)已知动圆圆心在抛物线y 2＝4x 上，且动圆恒与直线x ＝－1
相切，则此动圆必过定点( )
A ．(2,0)
B ．(1,0)
C ．(0,1)
D ．(0，－1)
【解析】 因为动圆的圆心在抛物线y 2＝4x 上，且x ＝－1是抛物线y 2＝4x 的准线，所
以由抛物线的定义知，动圆一定过抛物线的焦点(1,0)．
【答案】 B
7．(精选考题·潍坊模拟)圆心在曲线y ＝3x
(x >0)上，且与直线3x ＋4y ＋3＝0相切的面积最小的圆的方程为( )
A ．(x －1)2＋(y －3)2＝⎝ ⎛⎭
⎪⎫1852 B ．(x －3)2＋(y －1)2＝⎝ ⎛⎭
⎪⎫1652 C ．(x －2)2＋⎝ ⎛⎭
⎪⎫y －322＝9 D ．(x －3)2＋(y －3)2
＝9 【解析】 据题意设圆心为⎝ ⎛⎭
⎪⎫x ，3x (x >0)，若直线与圆相切，则圆心到直线的距离即为半径．故有R ＝3x ＋12x ＋35≥23x ×12x ＋35＝3，当且仅当3x ＝12x
，即x ＝2时取等号，即所求圆的最小半径为3，此时圆心为⎝ ⎛⎭⎪⎫2，32，故圆的方程为(x －2)2＋⎝ ⎛⎭
⎪⎫y －322＝9. 【答案】 C
二、填空题
8．已知直线l ：x －y ＋4＝0与圆C ：(x －1)2＋(y －1)2＝2，则C 上各点到l 的距离的最小值为________．
【解析】 ∵圆心(1,1)到直线l 的距离d ＝42
＝22>r ， ∴圆C 上各点到l 的距离最小值为22－2＝ 2.
【答案】 2
9．圆心在直线2x －y －7＝0上的圆C 与y 轴交于两点A (0，－4)，B (0，－2)，则圆C 的方程为________________．
【解析】 ∵圆心在AB 的中垂线上，∴设圆心(x 0，－3)，
∴2x 0＋3－7＝0，解得x 0＝2，半径r ＝4＋1＝ 5.
∴圆的方程为(x －2)2＋(y ＋3)2＝5.
【答案】 (x －2)2＋(y ＋3)2＝5
10．已知两定点A (－2,0)，B (1,0)，如果动点P 满足|PA |＝2|PB |，则点P 的轨迹所包围的图形的面积等于________．
【解析】 设P (x ，y )，由题知有：(x ＋2)2＋y 2＝4[(x －1)2＋y 2]，整理得x 2－4x ＋y
2＝0，配方得(x －2)2＋y 2＝4.可知圆的面积为4π.
【答案】 4π
三、解答题
11．圆C 通过不同的三点P (k,0)，Q (2,0)，R (0,1)，已知圆C 在点P 处的切线斜率为1，试求圆C 的方程．
【解析】 设圆C 的方程为x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0，
则k 、2为x 2＋Dx ＋F ＝0的两根，
∴k ＋2＝－D,2k ＝F ，
即D ＝－(k ＋2)，F ＝2k .
又圆过R (0,1)，故1＋E ＋F ＝0.
∴E ＝－2k －1.
故所求圆的方程为
x 2＋y 2－(k ＋2)x －(2k ＋1)y ＋2k ＝0， 圆心坐标为(k ＋22，2k ＋12)． ∵圆C 在点P 处的切线斜率为1，
∴k CP ＝－1＝2k ＋12－k
，∴k ＝－3，∴D ＝1，E ＝5，F ＝－6. ∴所求圆C 的方程为x 2＋y 2＋x ＋5y －6＝0.
12．已知定点A (0,1)，B (0，－1)，C (1,0)．动点P 满足：AP →·BP →＝k |PC →|2.求动点P
的轨迹方程，并说明方程表示的曲线类型．
【解析】 设动点P (x ，y )，则AP →＝(x ，y －1)，BP →＝(x ，y ＋1)，PC →＝(1－x ，－y )，
由AP →·BP →＝k |PC →|2得，
x 2＋(y ＋1)(y －1)＝k [(x －1)2＋y 2]，
即(1－k )x 2＋(1－k )y 2＋2kx ＝k ＋1.
∴当k ＝1时，点P 轨迹方程为x ＝1，
表示过(1,0)平行于y 轴的直线；
当k ≠1时，方程化为
x 2＋y 2＋2k 1－k x ＝k ＋11－k
， ⎝ ⎛⎭
⎪⎫x ＋k 1－k 2＋y 2＝k ＋11－k ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫k 1－k 2＝11－k 2. ∴点P 轨迹方程为⎝ ⎛⎭
⎪⎫x ＋k 1－k 2＋y 2＝11－k 2， 表示圆心⎝ ⎛⎭
⎪⎫－k 1－k ，0，半径1|1－k |的圆．。