探索勾股定理(3)课件PPT
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探索勾股定理(公开课课件)
数学领域中的应用
三角函数
勾股定理与三角函数密切相关， 它可以用于求解三角函数的值， 以及推导三角函数的性质和公式。
解析几何
在解析几何中，勾股定理可以用于 求解直线、圆和曲线的方程，以及 解决几何问题。
数论
勾股定理在数论中也有应用，例如 在证明一些数学定理和猜想时，勾 股定理可以提供重要的思路和方法。
公式表示
勾股定理的公式可以表示为 a² + b² = c²，其中a和b是直角三角形的两条直角 边，c是斜边。
勾股定理的重要性
01
几何学基础
勾股定理是几何学中的一个基础定理，它为解决与直角三角形相关的问
题提供了重要的工具。
02 03
实际应用
勾股定理在现实生活中有着广泛的应用，例如建筑、航海、航空等领域。 通过应用勾股定理，我们可以解决与直角三角形相关的问题，从而更好 地理解和设计各种实际结构。
数学发展史
勾股定理在数学发展史上具有重要地位。它的证明和推广对于数学的发 展起到了重要的推动作用，也激发了人们对数学研究的兴趣和热情。
02 勾股定理的起源与历史
CHAPTER
毕达哥拉斯学派
毕达哥拉斯学派是古希腊时期的一个重要哲学和数学学派， 他们发现了音乐、政治、宇宙和数学之间的联系，并提出了 “万物皆数”的哲学思想。
CHAPTER
勾股定理的逆定理
勾股定理的逆定理
如果一个三角形的三边满足勾股定理 ，则这个三角形是直角三角形。
逆定理的证明
假设三角形ABC的三边满足勾股定理， 即$a^2 + b^2 = c^2$，根据余弦定 理，有$cos C = frac{a^2 + b^2 c^2}{2ab} = 0$，因此角C是直角。
勾股定理数学优秀ppt课件
实际应用
在建筑、工程等领域，经常需要利用勾股定理求解直角三角形的边长问题，如计算梯子抵墙 时的长度等。
判断三角形类型问题
判断是否为直角三角形
01
若三角形三边满足勾股定理公式，则该三角形为直角三角形。
判断直角三角形的直角边和斜边
02
在直角三角形中，斜边是最长的一边，通过勾股定理可以判断
哪条边是斜边，哪条边是直角边。
06
总结回顾与展望未来
关键知识点总结回顾
勾股定理的定义和表达式
在直角三角形中，直角边的平方和等于斜边的平方，即a²+b²=c²。
勾股定理的证明方法
通过多种几何图形（如正方形、梯形等）的面积关系来证明勾股定 理。
勾股定理的应用场景
在几何、三角学、物理学等领域中广泛应用，如求解三角形边长、 角度、面积等问题。
勾股定理与其他数学定理关系探讨
与三角函数关系
勾股定理是三角函数的基础，通 过勾股定理可以推导出正弦、余 弦、正切等三角函数的基本关系。
与向量关系
在向量空间中，勾股定理可以表示 为两个向量的点积等于它们模长的 平方和，这进一步揭示了勾股定理 与向量的紧密联系。
与几何图形关系
勾股定理在几何图形中有着广泛的 应用，如求解直角三角形、矩形、 菱形等图形的边长、面积等问题。
勾股定理是数学中的基本定理之一， 也是几何学中的基础概念，对于理 解三角形、圆等几何形状的性质具 有重要意义。
历史发展及应用
历史发展
勾股定理最早可以追溯到古埃及时期，但最为著名的证明是由 古希腊数学家毕达哥拉斯学派给出的。在中国，商高在周朝时 期就提出了“勾三股四弦五”的勾股定理的特例。
应用
勾股定理在几何、三角、代数、物理等多个领域都有广泛应用， 如求解三角形边长、角度、面积等问题，以及力学、光学等领 域的计算。
在建筑、工程等领域，经常需要利用勾股定理求解直角三角形的边长问题，如计算梯子抵墙 时的长度等。
判断三角形类型问题
判断是否为直角三角形
01
若三角形三边满足勾股定理公式，则该三角形为直角三角形。
判断直角三角形的直角边和斜边
02
在直角三角形中，斜边是最长的一边，通过勾股定理可以判断
哪条边是斜边，哪条边是直角边。
06
总结回顾与展望未来
关键知识点总结回顾
勾股定理的定义和表达式
在直角三角形中，直角边的平方和等于斜边的平方，即a²+b²=c²。
勾股定理的证明方法
通过多种几何图形（如正方形、梯形等）的面积关系来证明勾股定 理。
勾股定理的应用场景
在几何、三角学、物理学等领域中广泛应用，如求解三角形边长、 角度、面积等问题。
勾股定理与其他数学定理关系探讨
与三角函数关系
勾股定理是三角函数的基础，通 过勾股定理可以推导出正弦、余 弦、正切等三角函数的基本关系。
与向量关系
在向量空间中，勾股定理可以表示 为两个向量的点积等于它们模长的 平方和，这进一步揭示了勾股定理 与向量的紧密联系。
与几何图形关系
勾股定理在几何图形中有着广泛的 应用，如求解直角三角形、矩形、 菱形等图形的边长、面积等问题。
勾股定理是数学中的基本定理之一， 也是几何学中的基础概念，对于理 解三角形、圆等几何形状的性质具 有重要意义。
历史发展及应用
历史发展
勾股定理最早可以追溯到古埃及时期，但最为著名的证明是由 古希腊数学家毕达哥拉斯学派给出的。在中国，商高在周朝时 期就提出了“勾三股四弦五”的勾股定理的特例。
应用
勾股定理在几何、三角、代数、物理等多个领域都有广泛应用， 如求解三角形边长、角度、面积等问题，以及力学、光学等领 域的计算。
北师大版八年级数学上册《探索勾股定理》课件(24张PPT)
勾是6， 62=36, 勾是5，
股是8， 82=64, 股是12，
弦一定是10；
102=100
62+82=102
弦一定是13，
52=25, 122=144, 132=169 52+122=132 等等. 是不是所有的直角三角形都有这个性质呢？世界上许
多数学家，先后用不同方法证明了这个结论. 我国把它称 为勾股定理.
正方形C的面积是__1_8__ 个单位面积.
（图中每个小方格代表1个单位面积）
C A
B
S正方形C 4 1 33 2
=18个单位面积
把正方形C分割成若干 个直角边为整数的三角 形来求
（图中每个小方格代表1个单位面积）
C A
B
S正方形C
1 2
62
=18个单位面积
把正方形C看成边长为 6的正方形面积的一半
第一章 勾股定理
1 探索勾股定理
1.经历探索勾股定理及验证勾股定理的过程，了解勾股 定理的探究方法及其内在联系. 2.掌握勾股定理，并能运用勾股定理解决一些实际问题.
这是1955年希腊为纪念一个数学学派发行的邮票.
P
C
A
Q
R B
如图，小方格的边长为1.
正方形P 正方形Q 正方形R 的面积 的面积 的面积
2
通过本课时的学习，需要我们掌握： 勾股定理： 直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方，即
a2 b2 c2
没有智慧的头脑，就像没有蜡烛的灯笼.
•不习惯读书进修的人，常会自满于现状，觉得再没有什么事情需要学习，于是他们不进则退。经验丰富的人读书用两只眼睛，一只眼睛看到纸面上的话，另 一眼睛看到纸的背面。2022年4月12日星期二2022/4/122022/4/122022/4/12 •书籍是屹立在时间的汪洋大海中的灯塔。2022年4月2022/4/122022/4/122022/4/124/12/2022 •正确的略读可使人用很少的时间接触大量的文献，并挑选出有意义的部分。2022/4/122022/4/12April 12, 2022 •书籍是屹立在时间的汪洋大海中的灯塔。
《探索勾股定理》第三课时上课课件
2.如图在△ABC中，∠ACB=90º， CD⊥AB， 如图在△ 如图在 中 ⊥ ， A D为垂足，AC=2.1cm,BC=2.8cm. 为 D 的面积； 求① △ABC的面积； 的面积 斜边AB的长 的长； ②斜边 的长； 上的高CD的长 ③斜边AB上的高 的长。 斜边 上的高 的长。
B C
动手操作
五巧板的制作： 五巧板的制作：
I H D G
F E
练一练
1 、下列阴影部分是一个正方形，求此正方形的面积 下列阴影部分是一个正方形，
15厘米 厘米 17厘米 厘米
设正方形的边长为x厘米 解：设正方形的边长为 厘米 , 则 x2=172-152 x2=64 正方形的面积是64平方厘米 平方厘米。 答：正方形的面积是 平方厘米。
拓展练习 如图，受台风麦莎影响， 2、如图，受台风麦莎影响，一棵高 18m的大树断裂 的大树断裂， 18m的大树断裂，树的顶部落在离树根 折断后有多高 底部6米处，这棵树折断后有多高？ 底部6米处，这棵树折断后有多高？
6米 米
补充练习： 补充练习：
1、放学以后，小红和小颖从学校分手，分别沿着东 、放学以后，小红和小颖从学校分手， 南方向和西南方向回家， 南方向和西南方向回家，若小红和小颖行走的速度都 分钟到家， 分钟到家， 是40米/分，小红用 分钟到家，小颖用 分钟到家， 米 分 小红用15分钟到家 小颖用20分钟到家 小红和小颖家的距离为 （ C ） A、600米； B、800米； C、1000米； D、不能确定 、 米 、 米 、 米 、 2、直角三角形两直角边分别为 厘米、12厘米，那么 、直角三角形两直角边分别为5厘米 厘米、 厘米 厘米， 斜边上的高是 （ D ） A、6厘米； 、 厘米 厘米； B、 8厘米； 厘米； 、 厘米 D、 60/13厘米； 厘米； 、 厘米 C、 80/13厘米； 、 厘米； 厘米
B C
动手操作
五巧板的制作： 五巧板的制作：
I H D G
F E
练一练
1 、下列阴影部分是一个正方形，求此正方形的面积 下列阴影部分是一个正方形，
15厘米 厘米 17厘米 厘米
设正方形的边长为x厘米 解：设正方形的边长为 厘米 , 则 x2=172-152 x2=64 正方形的面积是64平方厘米 平方厘米。 答：正方形的面积是 平方厘米。
拓展练习 如图，受台风麦莎影响， 2、如图，受台风麦莎影响，一棵高 18m的大树断裂 的大树断裂， 18m的大树断裂，树的顶部落在离树根 折断后有多高 底部6米处，这棵树折断后有多高？ 底部6米处，这棵树折断后有多高？
6米 米
补充练习： 补充练习：
1、放学以后，小红和小颖从学校分手，分别沿着东 、放学以后，小红和小颖从学校分手， 南方向和西南方向回家， 南方向和西南方向回家，若小红和小颖行走的速度都 分钟到家， 分钟到家， 是40米/分，小红用 分钟到家，小颖用 分钟到家， 米 分 小红用15分钟到家 小颖用20分钟到家 小红和小颖家的距离为 （ C ） A、600米； B、800米； C、1000米； D、不能确定 、 米 、 米 、 米 、 2、直角三角形两直角边分别为 厘米、12厘米，那么 、直角三角形两直角边分别为5厘米 厘米、 厘米 厘米， 斜边上的高是 （ D ） A、6厘米； 、 厘米 厘米； B、 8厘米； 厘米； 、 厘米 D、 60/13厘米； 厘米； 、 厘米 C、 80/13厘米； 、 厘米； 厘米
《勾股定理》PPT(第3课时利用勾股定理作图和计算)
第十七章 勾股定理
17.1 勾股定理
第3课时
利用勾股定理作图和计算
- .
知识要点
1.勾股定理与数轴、坐标系
2.勾股定理与网格
3.勾股定理与几何图形
新知导入
想一想：
我们知道数轴上的点有的表示有理数，有的表示无理数，你
能在数轴上画出表示 13 的点吗？
如果能画出长为 13 的线段，就能在数轴上画出表示 13 的
2
2
2
D
∵ = 12 + 22 = 5，
CD
3
5
3 5
.
5
课程讲授
2
勾股定理与网格
归纳：1.勾股定理与网格的综合求线段长时，通常是把线段放
在与网格构成的直角三角形中，利用勾股定理求其长度.
2.网格中求格点三角形的高的题，常用的方法是利用网格
求面积，再用面积法求高.
课程讲授
3
勾股定理与几何图形
两点恰好落在AD边的P点处，若∠FPH＝90°，PF＝8，
115.2
PH＝6，则长方形ABCD的面积为________．
课堂小
结
在数轴上表示出无理数
的点
利用勾股定理
作图或计算
在网格中利用勾股定理
解决问题
勾股定理在几何图形中
的应用
如图所示．作法：
解：
(1)在数轴上找出表示4的点A，则OA＝4；
(2)过A作直线l垂直于OA；
O
(3)在直线l上取点B，使AB＝1；
(4)以原点O为圆心，以OB为半径作弧，弧与
数轴的交点C即为表示
B
17 的点．
0
1 2
•
3 4
17.1 勾股定理
第3课时
利用勾股定理作图和计算
- .
知识要点
1.勾股定理与数轴、坐标系
2.勾股定理与网格
3.勾股定理与几何图形
新知导入
想一想：
我们知道数轴上的点有的表示有理数，有的表示无理数，你
能在数轴上画出表示 13 的点吗？
如果能画出长为 13 的线段，就能在数轴上画出表示 13 的
2
2
2
D
∵ = 12 + 22 = 5，
CD
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课程讲授
2
勾股定理与网格
归纳：1.勾股定理与网格的综合求线段长时，通常是把线段放
在与网格构成的直角三角形中，利用勾股定理求其长度.
2.网格中求格点三角形的高的题，常用的方法是利用网格
求面积，再用面积法求高.
课程讲授
3
勾股定理与几何图形
两点恰好落在AD边的P点处，若∠FPH＝90°，PF＝8，
115.2
PH＝6，则长方形ABCD的面积为________．
课堂小
结
在数轴上表示出无理数
的点
利用勾股定理
作图或计算
在网格中利用勾股定理
解决问题
勾股定理在几何图形中
的应用
如图所示．作法：
解：
(1)在数轴上找出表示4的点A，则OA＝4；
(2)过A作直线l垂直于OA；
O
(3)在直线l上取点B，使AB＝1；
(4)以原点O为圆心，以OB为半径作弧，弧与
数轴的交点C即为表示
B
17 的点．
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探索勾股定理-勾股定理PPT精品教学课件3
1．习题1.1. 2．阅读《读一读》——勾股世界. 3．观察下图，探究图中三角形的三边长是否满足 a 2 b 2 c 2?
a
c b
a c
b
● 只有天才和科学结了婚才能得到最好的结果。 ──斯宾塞 ● 最可怕的敌人，就是没有坚强的信念。 ──罗曼·罗兰 ● 在科学上没有平坦的大道，只有不畏劳苦沿着陡峭山路攀登的人，才有希望达到光辉的顶点。 ──马克思 ● 人只有为自己同时代人的完善，为他们的幸福而工作，他才能达到自身的完善。─马克思 ● 生活就像海洋，只有意志坚强的人，才能到达彼岸。 ──马克思 ● 人的价值蕴藏在人的才能之中。 ──马克思 ● 万事开头难，每门科学都是如此。 ──马克思 ● 一切节省，归根到底都归结为时间的节省。 ──马克思 ● 辛苦是获得一切的定律。 ──牛顿 ● 提出一个问题往往比解决一个问题更重要，因为解决问题也许仅是一个数学上或实验上的技能而已。而提出新的问题、新的可能性，从新的角度去看旧的问题，都需要有 创造性的想象力，而且标志着科学的真正进步。 ──爱因斯坦 ● 天才出于勤奋。 ──高尔基 ● 天才的十分之一是灵感，十分之九是血汗。 ──列夫·托尔斯泰 ● 天才就是这样，终身努力，便成天才。 ──门捷列夫 ● 天才免不了有障碍，因为障碍会创造天才。 ──罗曼.罗兰 ● 天才是百分之一的灵感，百分之九十九的血汗。 ──爱迪生 ● 天才是由于对事业的热爱而发展起来的。简直可以说，天才──就其本质而论──只不过是对事业，对工作的热爱而已。 ──高尔基 ● 天生我材必有用。 ──李白 ● 天下兴亡，匹夫有责。 ──顾炎武 ● 青年时种下什么，老年时就收获什么。 ──易卜生 ● 人并不是因为美丽才可爱，而是因为可爱才美丽。 ──托尔斯泰 ● 人的美德的荣誉比他的财富的荣誉不知大多少倍。──达·芬奇 ● 人的生命是有限的，可是，为人民服务是无限的，我要把有限的生命，投入到无限的为人民服务之中去。 ──雷锋 ● 人的天职在勇于探索真理。 ──哥白尼 ● 人的知识愈广，人的本身也愈臻完善。──高尔基 ● 人的智慧掌握着三把钥匙，一把开启数字，一把开启字母，一把开启音符。知识、思想、幻想就在其中。 ──雨果 ● 人们常觉得准备的阶段是在浪费时间，只有当真正机会来临，而自己没有能力把握的时候，才能觉悟自己平时没有准备才是浪费了时间。 ──罗曼.罗兰 ● 勇于探索真理是人的天职。 ──哥白尼 ● 有很多人是用青春的幸福作成功代价的。 ──莫扎特 ● 越学习，越发现自己的无知。 ──笛卡尔 ● 在观察的领域中，机遇只偏爱那种有准备的头脑。 ──巴斯德 ● 在天才和勤奋两者之间，我毫不迟疑地选择勤奋，她是几乎世界上一切成就的催产婆。 ──爱因斯坦
a
c b
a c
b
● 只有天才和科学结了婚才能得到最好的结果。 ──斯宾塞 ● 最可怕的敌人，就是没有坚强的信念。 ──罗曼·罗兰 ● 在科学上没有平坦的大道，只有不畏劳苦沿着陡峭山路攀登的人，才有希望达到光辉的顶点。 ──马克思 ● 人只有为自己同时代人的完善，为他们的幸福而工作，他才能达到自身的完善。─马克思 ● 生活就像海洋，只有意志坚强的人，才能到达彼岸。 ──马克思 ● 人的价值蕴藏在人的才能之中。 ──马克思 ● 万事开头难，每门科学都是如此。 ──马克思 ● 一切节省，归根到底都归结为时间的节省。 ──马克思 ● 辛苦是获得一切的定律。 ──牛顿 ● 提出一个问题往往比解决一个问题更重要，因为解决问题也许仅是一个数学上或实验上的技能而已。而提出新的问题、新的可能性，从新的角度去看旧的问题，都需要有 创造性的想象力，而且标志着科学的真正进步。 ──爱因斯坦 ● 天才出于勤奋。 ──高尔基 ● 天才的十分之一是灵感，十分之九是血汗。 ──列夫·托尔斯泰 ● 天才就是这样，终身努力，便成天才。 ──门捷列夫 ● 天才免不了有障碍，因为障碍会创造天才。 ──罗曼.罗兰 ● 天才是百分之一的灵感，百分之九十九的血汗。 ──爱迪生 ● 天才是由于对事业的热爱而发展起来的。简直可以说，天才──就其本质而论──只不过是对事业，对工作的热爱而已。 ──高尔基 ● 天生我材必有用。 ──李白 ● 天下兴亡，匹夫有责。 ──顾炎武 ● 青年时种下什么，老年时就收获什么。 ──易卜生 ● 人并不是因为美丽才可爱，而是因为可爱才美丽。 ──托尔斯泰 ● 人的美德的荣誉比他的财富的荣誉不知大多少倍。──达·芬奇 ● 人的生命是有限的，可是，为人民服务是无限的，我要把有限的生命，投入到无限的为人民服务之中去。 ──雷锋 ● 人的天职在勇于探索真理。 ──哥白尼 ● 人的知识愈广，人的本身也愈臻完善。──高尔基 ● 人的智慧掌握着三把钥匙，一把开启数字，一把开启字母，一把开启音符。知识、思想、幻想就在其中。 ──雨果 ● 人们常觉得准备的阶段是在浪费时间，只有当真正机会来临，而自己没有能力把握的时候，才能觉悟自己平时没有准备才是浪费了时间。 ──罗曼.罗兰 ● 勇于探索真理是人的天职。 ──哥白尼 ● 有很多人是用青春的幸福作成功代价的。 ──莫扎特 ● 越学习，越发现自己的无知。 ──笛卡尔 ● 在观察的领域中，机遇只偏爱那种有准备的头脑。 ──巴斯德 ● 在天才和勤奋两者之间，我毫不迟疑地选择勤奋，她是几乎世界上一切成就的催产婆。 ──爱因斯坦
数学七上3.1《探索勾股定理》课件(3)
本文介绍了旧北京街大街小巷各种吆 喝声。围绕吆喝声，介绍了吆喝声所代表 的经营品种、介绍了各种吆喝声的具体内 容、表现方式以及音韵节奏
课文讲解
1、作者围绕北京的吆喝声介绍了什么?他对 北京的吆喝声怀有怎样的感情?
在作者看来，北京小贩货郎的叫卖声简直就 是一种“戏剧性”的艺术。作者介绍了从白天的 叫卖声到夜晚的叫卖声，从卖吃食的、放留声机 的，到乞讨的，还有富有四季特色的叫卖声等等， 从中流露出作者对北京的吆喝声怀有一种特殊的 感情，那就是愉悦和怀想。
2、给下列加横线的字注音。 招徕（ lái ） 囿（yòu ） 钹（ bó ） 铁铉（xuàn） 饽饽（bō） 荸荠（bíqí） 佐料（ zuǒ） 秫秸秆（shú jiē）
3、找出错误的字并改正。 合辙压韵 油嘴滑舌 隔合 荸荠 佐料 随机应变 招徕 吹虚 口齿伶厉 铁铉
改正：压一押 合一阂 虚一嘘 厉一俐
萧乾(1910—1999)原名萧丙乾，蒙 古族，北京人。作家、记者、翻译家。 早年毕业于燕京大学。曾任《大公报》 编辑、记者，伦敦大学讲师，《大公报》 驻英特派员。1946年回国后，历任复旦 大学教授、《人民中国》(英文)副总编 辑，《文艺报》副总编辑、中央文史馆 馆长。萧乾因心肌梗塞及肾衰竭，于 1999年2月11日在北京医院逝世，享年 九十岁。
5、阅读文章第十自然段。思考：这一段结构 有何特点?找出本段的中心句。
本段的中心句“四季叫卖的货色自然都不 同”，本段的结构可以说是总分式。这一段写吆 喝声按从春到冬的顺序展开。春天一到，万物复 萌，小贩们走街串巷卖春鲜儿。夏天卖西瓜和雪 花糕，秋天卖“喝了蜜的大柿子”。到了冬天， 热乎乎的烤白薯和一串串糖葫芦，经小贩们一叫 卖，也颇为诱人。
过程与方法目标：
北师大版八年级数学上册《勾股定理3》课件
1
1
•1、“手和脑在一块干是创造教育的开始，手脑双全是创造教育的目的。” •2、一切真理要由学生自己获得，或由他们重新发现，至少由他们重建。 •3、反思自我时展示了勇气，自我反思是一切思想的源泉。 •4、好的教师是让学生发现真理，而不只是传授知识。 •5、数学教学要“淡化形式，注重实质.
6、“教学的艺术不在于传授本领，而在于激励、唤醒、鼓舞”。2021年11月2021/11/72021/11/72021/11/711/7/2021
▪ 1876年4月1日，伽菲尔德 在《新英格兰教育日志》 上发表了他对勾股定理的 这一证法。
▪ 1881年，伽菲尔德就任美 国第二十任总统。后来， 人们为了纪念他对勾股定 理直观、简捷、易懂、明 了的证明，就把这一证法 称为“总统”证法。
青九
刘
朱章 出算
徽
入术
图
无字证明
④
bc
⑤
③aຫໍສະໝຸດ ①②青无朱字出证入明图
▪ 赵爽：东汉末至三国时 代吴国人
▪ 为《周髀算经》作注， 并著有《勾股圆方图 说》。
▪ 赵爽的这个证明可谓别 具匠心，极富创新意识。 他用几何图形的截、割、 拼、补来证明代数式之 间的恒等关系。
毕达哥拉斯
在国外，相传勾股 定理是公元前500多年 时古希腊数学家毕达哥 拉斯首先发现的。因此 又称此定理为“毕达哥 拉斯定理”。法国和比 利时称它为“驴桥定 理”，埃及称它为“埃 及三角形”等。但他们 发现的时间都比我国要 迟得多。
青出
青方
青 出
青 入
朱
朱方 出
朱入 青入
青出
五巧板的制作 A
④
E
⑤
G
b
Hc
③
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h
12
第三种类型：以刘徽的“青朱出入图”为代表，证明不需用
任何数学符号和文字，更不需进行运算，隐含在图中的勾股定理 便清晰地呈现，整个证明单靠移动几块图形而得出，被称为“无 字证明”。
约公元学2科6网 3 年，三国时代魏国的数学家 刘徽为古籍《九章算术》作注释时，用 “出入相补法”证明了勾股定理。
bc a
bc a
b
c
这种证明方法从几何图形的面积变化入手，运用了数形结 合的思想方法。
h
19
<四>练习提升
1.议一议:观察下图,用数格子的方法判断图中 三角形的三边长是否满足a2+b2=c2
2.一个直角三角形的斜边为20cm ,且两直角边
长度比为3:4，求两直角h边的长。
20
<五>勾股定理的文化价值
青 入
朱朱
朱方 出出
朱朱入入 青入
青出
h
华罗庚
34
2、直角三角形两直角边分别为5厘米、
12厘米，那么斜边上的高是（ ）
A、6厘米
B、 8厘米；
C、 80/13厘米； D、 60/13厘米；
h
35
c a
b
a
c b
议一议：用数格子的方法判断图中三角形的三
边长是否满足a2+b2=c2？h
36
3、等腰三角形底边上的高为8，
单击图片打开
h
15
第三种类型：
A
方法三:意大利文 艺复兴时代的著名
a
画家达·芬奇对勾
股定理进行了研究。 B
F
c
O
b
C
E
h
D
16
A
a
B
F
O
Cb E D
Ⅰ
Ⅱ
Ⅱ
A′
F′ B′
E′
C′
D′
Ⅰ
h
17
<三>尝试拼图,验证勾股定理
五巧板的制作 A
④
E
⑤
G
b
Hc
③
I
F
a
C
B
①②
D
h
18
利用五巧板拼图验证勾股定理:
周长为32，求这个三角形的面积
解：设这个三角形为ABC，
A
高为AD，设AB为X，则BC
为（32-2X），
BD是（16－x)
8
由勾股定理得：
C
X2=(16-X)2 +82 即X2=256-32X+X2 +64
zxxk
h
1
1.经历探索勾股定理及验证勾股 定理的过程，发展合情推理能 力，体会数形结合的思想。 2.掌握勾股定理，了解利用拼图 验证勾股定理的方法，并能运 用勾股定理解决一些实际问题。
h
2
<一>课前自主探究活动
具体的做法是： 请各个学习小组从网络或书籍上，尽可
能多地寻找和了解验证勾股定理的方法. 探究报告 《勾股定理证明方法汇总》
如图，梯形由三个直角三角形组合而
成，利用面积公式，列出代数关系式,
得
1(ab)(ba)21ab1c2.
2
22
化简,得 a2 b2 c2.
a
bc c
a b
h
9
第一种类型：
方 法 据传是当年毕达哥拉斯发现勾股定理时做出的证明。 三
将4个全等的直角三角形拼成边长
为(a＋b)的正方形ABCD，使中间留下
边长c的一个正方形洞．画出正方形
何的基本定理进行证明，反映了勾股定理的几何意义。
如图，过 A 点画一直线 AL
使其垂直于 DE， 并交 DE
于 L，交 BC 于 M。通过证
明△BCF≌△BDA，利用三
角形面积与长方形面积的关
系，得到正方形ABFG与矩
形BDLM等积，同理正方形
ACKH与 矩形MLEC也等积，
于是推得
A B2A C2B C2
h
13
第三种类型：以刘徽的“青朱出入图”为代表，证明不需用
任何数学符号和文字，更不需进行运算，隐含在图中的勾股定理 便清晰地呈现，整个证明单靠移动几块图形而得出，被称为“无 字证明”。
④
b
c
⑤
③
a
①
②
无字证明
h
14
第三种类型：在印度、在阿拉伯世界和欧洲出现
的一种拼图证明
做法是将一条垂直线和一条水 平线，将较大直角边的正方形分成 4 分。之后依照图中的颜色,将两 个直角边的正方形填入斜边正方形 之中，便可完成定理的证明。
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4
问题思考
对某一验证方法
<1> 运用了哪些数学知识？ <2> 体现了哪些数学思想方法？ <3> 这种方法与其他方法比较，有什么 共同点和不同点？
h
5
h
6
第一种类型：
方法一:三国时期吴国数学家赵爽在为《周髀算经》作注 解时，创制了一幅“勾股圆方图”，也称为“弦图”， 这是我国对勾股定理最早的证明.
ABCD．移动三角形至图2所示的位置中，
图1
于是留下了边长分别为a与b的两个正方
形洞．则图1和图2中的白色部分面积必
定相等，所以c2=a2+b2
图2
h
10
第二种类型：以欧几里得的证明方法为代表，运用欧氏几
何的基本定理进行证明，反映了勾股定理的几何意义。
h
11
第二种类型：以欧几里得的证明方法为代表，运用欧氏几
h
25
勾股定理:
直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方
a2+b2=c2
b2
a2
h
26
证明
a2
b2
h
27
证明
h
28
证明
h
29
证明
h
30
证明
a2 + b2 = c2
c2
h
31
无字证明
青出
青方
青 出
青 入
朱
朱方 出
朱入 青入
青出
h
32
⑤
④
b
c
③
a
①②
无字证明
h
33
青朱出入图
青出
青方
青 出
2002年世界数学家大会在北京召开，这届大会会标的中央图案正
是经过艺术处理的“弦图”，标志着中国古代数学成就.
h
7
c
由面积计算,得 c2 41ab(ba)2. 2
展开,得 c 2 2 a b b 2 2 a b a 2 .
化简,得 c2 a2 b2.
h
8
第一种类型：
方法二:美国第二十任总统伽菲尔德的证法，被称为“总 统证法”.
方法种类及历史背景 验证定理的具体过程 知识运用及思想方法
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3
<二>验证过程的分析与欣赏
第一种类型：以赵爽的“弦图”为代表 z.x.x.k ，用几何 图形的截、割、拼、补，来证明代数式之间的恒 等关系;
第二种类型：以欧几里得的证明方法为代表，运 用欧氏几何的基本定理进行证明;
第三种类型：以刘徽的“青朱出入图”为代表， “无字证明”.
21
ห้องสมุดไป่ตู้
<六>小结反思
学生反思：
我最大的收获； 我表现较好的方面； 我学会了哪些知识； 我还有哪些疑惑……
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<七> 课题拓展
（1）写数学日记并发挥你的聪明才智， 去探索勾股定理、去研究勾股定理， 你又有什么新的发现？
（2）尝试利用意大利著名画家达·芬 奇的方法验证勾股定理？
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23
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勾股定理的有关证明
(1) 勾股定理是联系数学中数与形的第一定理。
(2) 勾股定理反映了自然界基本规律,有文明的宇宙 “人”都应该认识它，因而勾股定理图被建议作为与 “外星人”联系的信号。
(3)勾股定理导致不可通约量的发现，引发第一次数学危机。
(4)勾股定理公式是第一个不定方程，为不定方程的解 题程序树立了一个范式。
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