特殊变换及其矩阵
线性变换与二阶矩阵 课件
x' y'
k1x, k2 y.
对应的二阶矩阵为
k1 0
0 k2 .
4.投影变换
设l是平面内一条给定的直线.对平面内的任意一点P作直线l
y p(x, y)
的垂线，垂足为点P' , 则称点P' 为点P在直线l上的投影.
将平面上每一点P变成它在直线l上的投影P' , 这个变换称为 关于直线l的投影变换.
例1 在直角坐标系xoy内，将每个点绕原点O按逆时针
方向旋转300的变换称为旋转角是300的旋转变换. (1)求点A(1，0)在这个旋转变换作用下的像A'； （2）写出这个旋转变换的表达式.
(1) A'( 3 , 1) 22
(2)x'
3 x 1 y, 2 2 (2)
y'
1 2
x
3 y. 2
是
x' y,
y'
x.
0 对应的二阶矩阵为 1
10.
一般地，我们把平面上的任意一点P变成它关于直线l的对称点 P'的线性变换叫做关于直线l的反射.
探究
在直角坐标系xoy内，直线l过原点，倾斜角为.
你能求出关于直线l的反射变换的坐标变换公式吗？
3.伸缩变换 在直角坐标系xoy内，将每个点的横坐标变为 原来的k1倍，纵坐标变为原来的k2倍，其中k1, k2 均为非零常数，我们称这样的几何变换为伸缩变换.
q2,且A B，求p, q, x, y.
在直角坐标系xoy内，每个点都绕原点O按逆时针方向旋转
1800.设点P(x, y)经过旋转后变成点P（' x', y' ), x', y'与x, y
线性代数6-3线性变换及其矩阵
,,
n与1,
2
,,
是线性空间
n
V
中的两组基 ,并且由基 1,2 ,,n到基1, 2 ,, n
的过渡矩阵为 P,V中的线性变换在两组基 下的矩阵
分别为A, B,则有B P1AP.
证明
1, 2 ,, n 1,2 ,,n P T 1,2,,n 1,2,,n A, T 1, 2,, n 1, 2,, n B
该基下的坐标(x1, x2 ,, xn )和该基的像T (1),T (2 )
,T (n )所确定 3.线性变换矩阵
由于T (1),T (2 ),T (n )是V中的向量,所以可由1,
2 ,n线性表示.所以有
T 1 a111 a21 2 an1 n ,
a22
an2
a2n
(
,
1
ann
,,
2
),
n
a
i
2i
,
a ni
定义Rn中的变换 y T (x)为 T( x) Ax,( x Rn),
则T为线性变换.
总结:要证一个变换 T 是线性变换，必须证 T 保持 加法和数量乘法，即
证毕.
定理表明：A 与B 相似,且两个基之间的过渡矩阵 P 就是相似变换矩阵．
例４ 设V 2中的线性变换T在基 1 , 2下的矩阵为
A a11 a12 , a21 a22
求T在基 2 , 1下的矩阵.
解
(
2
,
1)
(
1 ,
2)
0 1
1 , 0
线性代数中的矩阵的特殊类型与性质
线性代数中的矩阵的特殊类型与性质矩阵是线性代数中的重要概念，它在各个领域都有广泛的应用。
在线性代数中，矩阵可以分为多种特殊类型，每种类型都有其独特的性质和特点。
本文将介绍几种常见的矩阵特殊类型以及它们的性质。
一、对角矩阵对角矩阵是一种具有特殊形式的矩阵，其除了主对角线上的元素外，其余元素均为零。
对角矩阵的主对角线上的元素可以是任意值，也可以是相同的值。
对角矩阵的性质如下：1. 对角矩阵的乘法：两个对角矩阵相乘仍然得到一个对角矩阵，且新矩阵的主对角线上的元素等于原矩阵对应位置元素的乘积。
2. 对角矩阵的逆矩阵：对角矩阵的逆矩阵存在当且仅当主对角线上的元素均不为零。
逆矩阵的主对角线上的元素等于原矩阵对应位置元素的倒数。
3. 对角矩阵的转置：对角矩阵的转置等于其本身。
二、上三角矩阵和下三角矩阵上三角矩阵是一种特殊的矩阵，其主对角线及其以上的元素均不为零，而主对角线以下的元素均为零。
下三角矩阵与上三角矩阵相反，其主对角线及其以下的元素均不为零，而主对角线以上的元素均为零。
上三角矩阵和下三角矩阵的性质如下：1. 上三角矩阵和下三角矩阵的乘法：两个上三角矩阵或两个下三角矩阵相乘仍然得到一个上三角矩阵或下三角矩阵。
2. 上三角矩阵和下三角矩阵的逆矩阵：上三角矩阵和下三角矩阵的逆矩阵存在当且仅当其主对角线上的元素均不为零。
3. 上三角矩阵和下三角矩阵的转置：一个上三角矩阵的转置是一个下三角矩阵，一个下三角矩阵的转置是一个上三角矩阵。
三、对称矩阵对称矩阵是一种特殊的矩阵，其转置等于其本身。
也就是说，如果矩阵A是一个对称矩阵，那么A的转置矩阵等于A本身。
对称矩阵的性质如下：1. 对称矩阵的特征值：对称矩阵的特征值均为实数。
2. 对称矩阵的特征向量：对称矩阵的特征向量相互正交。
3. 对称矩阵的对角化：对称矩阵可以通过正交相似变换对角化，即可以找到一个正交矩阵P，使得P的逆矩阵乘以对称矩阵A再乘以P等于一个对角矩阵。
四、单位矩阵单位矩阵是一种特殊的矩阵，其主对角线上的元素均为1，其余元素均为零。
《线性代数》课件-第二章 矩阵及其运算
a11
A
A
a21
am1
a12 a22
am1
a1n
a2n
amn
数乘矩阵的运算规律
a, b, c R 结 合 (ab)c a(bc) 律 分 (a b) c ac bc 配 律 c (a b) ca cb
设 A、B是同型矩阵， , m 是数 (m)A (m A)
a11
a12
a13
a14
4
c11 a1kbk1
b11
b21
b31
b41
k 1
4
c12 a11b12 a12b22 a13b32 a14b42 a1k bk 2 k 1
一般地，
4
cij ai1b1 j ai 2b2 j ai 3b3 j ai4b4 j aikbkj k 1
行列式
矩阵
a11 a12
a1n
a21 a22
a2n
an1 an2
ann
(1) a a t( p1 p2 pn ) 1 p1 2 p2
p1 p2 pn
行数等于列数
共有n2个元素
a11 a12
a21
a22
am1 am1
anpn
a1n
a2n
amn
行数不等于列数 共有m×n个元素 本质上就是一个数表
第二章 矩阵及其运算
§1 矩阵
一、矩阵概念的引入 二、矩阵的定义 三、特殊的矩阵 四、矩阵与线性变换
B
一、矩阵概念的引入
例 某航空公司在 A、B、C、D 四座 A
城市之间开辟了若干航线，四座城市 之间的航班图如图所示，箭头从始发 地指向目的地.
城市间的航班图情况常用表格来表示:
幺正变换和酉矩阵
幺正变换和酉矩阵幺正变换和酉矩阵是量子力学中与矩阵和向量运算密切相关的概念。
它们在量子力学中具有重要的地位和应用。
本文将介绍幺正变换和酉矩阵的基本概念、性质和应用，并探讨它们在量子力学中的重要性。
一、幺正变换的定义和性质幺正变换是指在向量空间中的线性变换，它保持内积不变，并且保持向量的模不变。
设有一个幺正变换U，对于任意的两个向量|x>和|y>，有以下性质：1. 内积不变性： <x|y> = <Ux|Uy>，其中<|>表示内积运算。
2. 模不变性： ||x|| = ||Ux||。
幺正变换在量子力学中具有广泛应用，特别是在描述量子态演化时。
它能够保持态矢量的归一性，同时保持量子态之间的内积关系，具有非常重要的物理意义。
二、酉矩阵的定义和性质酉矩阵是一类具有特殊性质的方阵。
如果矩阵U满足U†U = I，其中U†表示矩阵U的厄米共轭转置，I表示单位矩阵，那么矩阵U就被称为酉矩阵。
酉矩阵具有以下重要性质：1. 逆存在性：对于任意的酉矩阵U，它的逆矩阵也是酉矩阵，即U†也是酉矩阵。
2. 特征值性质：酉矩阵的特征值的模等于1，即|λ| = 1，其中λ表示酉矩阵的特征值。
3. 列正交性：酉矩阵的列向量两两正交，并且模长为1。
酉矩阵在量子力学中广泛应用于变换算符的表示、量子系统的演化和测量等方面。
由于酉矩阵的特殊性质，它能够保持向量的长度和内积，保证量子力学中的概率守恒和信息的完整性。
三、幺正变换与酉矩阵的关系幺正变换和酉矩阵是密切相关的概念。
实际上，幺正变换可以通过酉矩阵来表示。
设U是一个幺正变换，它可以表示为U = e^(iH)，其中H是一个厄米矩阵。
通过数学推导和证明，我们可以得知，对于幺正变换U来说，其对应的矩阵表示就是一个酉矩阵。
在量子力学中，我们常常通过酉矩阵来描述量子态的变换和演化过程。
对于一个量子系统，如果我们知道了它的初始态和变换算符（或演化算符），那么我们可以通过酉矩阵的性质来计算系统的最终态。
第3讲线性变换及其矩阵
第三讲 线性变换及其矩阵一、线性变换及其运算定义：设V 是数域K 上的线性空间，T 是V 到自身的一个映射，使得对于V 中的任意元素x 均存在唯一的V y ∈与之对应，则称T 为V 的一个变换或算子，记为=Tx y称y 为x 在变换T 下的象，x 为y 的原象。
若变化T 还满足()()()+=+T kx ly k Tx l Ty ,,,∀∈∈x y V k l K称T 为线性变换。
[例1] 二维实向量空间12i 2R R ξξξ⎧⎫⎡⎤⎪⎪=∈⎨⎬⎢⎥⎪⎪⎣⎦⎩⎭，将其绕原点旋转θ角的操作就是一个线性变换。
[证明] 12x ξξ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦ 12y Tx ηη⎡⎤==⎢⎥⎣⎦112212cos sin sin cos ηξθξθηξθξθ=-⎧⎨=+⎩ 1122cos sin sin cos ηξθθηξθθ-⎡⎤⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦2R ∈θ1η2η1ξ2ξxyo可见该操作为变换，下面证明其为线性变换12x x x ⎡⎤∀=⎢⎥⎣⎦ 12z z z ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦2R ∈，,R k l ∈11112222=kx lz kx lz kx lz kx lz kx lz +⎡⎤⎡⎤⎡⎤++=⎢⎥⎢⎥⎢⎥+⎣⎦⎣⎦⎣⎦11221122cos sin ()sin cos cos sin cos sin sin cos sin cos ()()kx lz T kx lz kx lz x z k l x z k Tx l Tz θθθθθθθθθθθθ+-⎡⎤⎡⎤+=⎢⎥⎢⎥+⎣⎦⎣⎦--⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤=+⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦=+ ∴ T 是线性变换。
[例2] 次数不超过n 的全体实多项式n P 构成实数域上的一个1n +维的线性空间，其基可选为{}n x x x ,,,,12 ，微分算子dD dx=是n P 上的一个线性变换。
[证明] 显然D 对n P 而言是变换，要证明D 满足线性变换的条件n ,P f g ∀∈，,R k l ∈()()()D kf lg k Df l Dg +=+∴ D 是n P 上的线性变换。
关于几类特殊变换矩阵的性质
阵。 称置换，所对应 的 ｎ阶二 元矩阵为，的置换矩阵 ， 称循环
．
当且仅 当 Ｍ ＝ 且 ≠，ｊ ） ＂ － Ｉ （ ． ． ｝
证 ： 阶二元矩 阵 ｊ－啊 ） ， ｌ Ｉ （ 是一个 ，阶循环矩 阵当且仅 当 ｆ ｌ 是—个 ｎ阶循环 映射．的循环矩阵 ， 厂 则有 』２ —个 ｎ阶循 Ｉ是 ｆ
的变换．与 ｎ阶二元矩阵 （ 中元素取值 为 ０和 １ 之 间是 一 厂 其 ）
一
时 儡 吩 是集 合 Ａ ｈ ， … ， 的一一变换 即置换 ， ） ） ＝ ， ｝ 因此 肘是 ．的置换矩阵． 厂
定理 ３ 臊＝％ ） （ 是—个 ，阶置换矩 阵 ， ｌ 则 一定是正交 矩 阵 ， Ｍ Ｍ－ 即 ＝ ‘ ．
＾＾
一
换矩阵 ，ｌ １ 为元素全为 １ ， 列向量 ， （ ） Ｅ （ ）。 ＿ 的 ｌ 元 Ｅ＝ １－ 为元 素全为 １ ｒ 行向量 ，为 ｌ阶单位矩阵［ 的 ｔ 元 ， ， ｔ ３ １ ． 定理 １ ｎ 阶二元矩 阵 胁＝ 是一 个变换矩 阵 当且 仅 （ ） ｍ
当 ＭＥ Ｅ ＝．
证 ：必要性 ） 是一个变换矩阵 ，则 由定义知 Ｊ 的每一 （ Ｉ Ｉ ｆ 行仅有 一个 ｌ ， 为 ０因此有 Ｍ ＝ ． 其余 ， Ｅ Ｅ （ 充分性 ） 阶二元矩阵 满足 Ｍ ＝ ， Ｉ Ｅ Ｅ时 ， 的每一行仅
因 Ｊ， 是单位矩阵 ， ） ； ｌ， ｆ ． ＝ （
厂 所对应 的 ｎ 阶二元矩 阵为， 的循 环矩 阵． 由映射 关系有循 环矩 阵是特殊 的置换矩 阵 ， 置换矩 阵是
特殊 的变换矩阵【１ １． ．下面关于这几类矩 阵进行讨论． ２ 设 ， 集合 Ａ ｛ ， … ， 的一个 变换 ， （ 是 ，的变 是 ＝ａ ， ｌ ）
可逆线性变换与可逆矩阵的性质与判定
可逆线性变换与可逆矩阵的性质与判定可逆线性变换与可逆矩阵在线性代数中占据重要地位。
它们在矩阵变换、线性方程组求解以及向量空间中的运算中都具有重要的应用。
本文将介绍可逆线性变换与可逆矩阵的性质与判定方法。
一、可逆线性变换的定义与性质可逆线性变换是指线性变换中存在逆变换的一类特殊变换。
对于线性变换T: V → W，如果存在另一个线性变换T'：W → V满足T'T = I （恒等变换），即T'是T的逆变换，则称T为可逆线性变换，T'为T的逆变换。
1.1 可逆性质：可逆线性变换具有以下性质：- 存在唯一性：当且仅当可逆线性变换T的逆变换T'存在且唯一时，T才是可逆的。
- 逆变换的可逆性：若T是可逆的，则T'也是可逆的，并且(T')^-1 = T。
- 双射性质：可逆线性变换是双射的，即对于任意w ∈ W，存在唯一的v ∈ V，使得T(v) = w。
- 保持线性运算：可逆线性变换保持线性运算，即对于任意v1, v2∈ V和k ∈ R（实数域）或C（复数域），有T(v1 + v2) = T(v1) +T(v2)和T(kv1) = kT(v1)。
针对给定的线性变换T: V → W，判定其可逆性，可以通过以下方法进行：- 零空间法：如果T的零空间只包括零向量，即ker(T) = {0}，则T是可逆的。
- 值域法：如果T的值域等于整个目标空间W，即range(T) = W，则T是可逆的。
二、可逆矩阵的定义与性质可逆矩阵是指方阵中存在逆矩阵的一类特殊矩阵。
对于n阶矩阵A，如果存在另一个n阶矩阵B满足AB = BA = I，即B是A的逆矩阵，则称A为可逆矩阵，B为A的逆矩阵。
2.1 可逆性质：可逆矩阵具有以下性质：- 存在唯一性：当且仅当矩阵A的逆矩阵存在且唯一时，A才是可逆的。
- 逆矩阵的性质：若A是可逆的，则其逆矩阵A^-1也是可逆的，并且(A^-1)^-1 = A。
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角矩阵)。
数学系 李继根（jgli@）
证明： 充分性。 因为 A 是正规矩阵，所以存在 酉矩阵 U 及对角阵 D ，使得
(ε1,ε2 , (ε1,ε2 ,
, εn ) AU , εn )U H AU
所以 B U H AU ，结论成立。
根据定理1，正规变换在任一标准正交基下的矩阵 表示必定酉相似于对角阵。
数学系 李继根（jgli@）
二、正规矩阵的等价定义
定理 2 ( Schur 引理 ) 任何方阵 A 必酉相似于
数学系 李继根（jgli@）
第三章 特殊变换及其矩阵
数学系 李继根（jgli@）
§1、正规变换与正规矩阵
正规变换（正规矩阵）可以说是对称变换 （对称矩阵）、正交变换（正交矩阵）等 的推广和抽象，即只关心永恒的主题----
“对角化”的问题。这又一次体现出现代
(ε1,ε2 , , εn ) (ε1,ε2 , , εn )U
显然过渡矩阵 U 是酉矩阵。
数学系 李继根（jgli@）
因为 (ε1 , ε2 , , εn ) B
(T (ε1 ),T (ε2 ), , T (εn )) (T (ε1 ),T (ε2 ), , T (εn ))U
AH A AAH
数学系 李继根（jgli@）
定理 4 方阵 A 是正规的，当且仅当 A 有 n 个
两两正交的单位特征向量。
证明：必要性。如果 A 是正规矩阵，那么存在酉
矩阵 U (u1, , un ) 及对角阵 diag(1, , n ) 使得 U H AU ，即 AU U 因此 A(u1, , un ) ( Au1, , Aun ) (1u1, , nun )
满足
(T (ε1 ),T (ε2 ), ,T (εn )) (ε1,ε2, , εn ) D
并称 T 在标准正交基下的矩阵表示为正规矩阵。
数学系 李继根（jgli@）
定义2 对于复方阵（或实方阵）A、B，如果存在酉
矩阵 U 或正交矩阵 Q ，使得 U H AU U 1 AU B
定义2 设 T 是酉空间（或欧氏空间）V 上的线 性变换，称 T 为 V 上的 反Hermite 变换（或反对
称变换），如果对任意 、 V ， 都有
(T( ), ) (,T( )) .
并称 T 在 V 的任意一组标准正交基下的矩阵表示
为反Hermite 矩阵（反对称矩阵）。
数学系 李继根（jgli@）
或
QT AQ Q 1 AQ B
则称 A 酉相似（或正交相似）于 B 。
数学系 李继根（jgli@）
定理1 正规变换在不同标准正交基下的矩阵表示是 酉相似的。
证明：设正规变换 T 在 V 的两组标准正交基
ε1,ε2 , , εn 和 ε1,ε2 , 分别为 A、B ，并设
, εn 下的矩阵表示
的，并且Cayley变换矩阵
S ( I A)( I A)1
是正交矩阵。
数学系 李继根（jgli@）
证明： 因为 AT A ，所以对任意的 x Rn， 有 xT Ax ( xT Ax)T xT ( A)T x xT A x 因此 xT Ax 0 。对于 (E A)x 0 由于 xT x xT (E A)xT 0 ，从而方程组 只有零解，所以 ( I A) 是非奇异的。
（4）酉矩阵（ AH A1 ）；
（5）Hermite 矩阵（ AH A ）；
（6）反Hermite 矩阵（ AH A ）；
（7）形如
a
1 1
1
1
,
a
R
or
C
的矩阵。
数学系 李继根（jgli@）
定理 3 方阵 A 是正规的，当且仅当 A 与对角矩
阵酉相似，并且对角矩阵的对角元就是正规矩阵的特 征值。
所谓极点（pole), 是我们已经计算出的特征值
的近似值,即所谓零点（zero），那么经过Cayley变
换
TC ( A B)1 ( A B)
可得到标准特征值问题 TC x t x
并且
t ( )1 ( )
数学系 李继根（jgli@）
二、 Hermite矩阵及对称矩阵的性质
数学系 李继根（jgli@）
证明： 充分性。 设 T 在V 的一组标准正交基
1,
，
2
， n
下的矩阵表示为
A
且
AH A 。
任取 、 V ，设
=
( 1 ,
，
2
，n )x,
=
( 1 ,
，
2
，n ) y
则
T (
)
( 1 ,
，
2
，n ) Ax,
T(
)
( 1 ,
，
2
， n ) Ay,
§2、Hermite变换及Hermite矩阵
单从变换的角度我们很难把Hermite变换 （对称变换）与正规变换联系起来，但从 Hermite矩阵（对称矩阵）的定义，或者 从Hermite矩阵（对称矩阵） 都可对角化 上却能找到两者的关联，这似乎可以作为 数学的“奇异美”的一个例证。
数学系 李继根（jgli@）
证明： 对任意 V ，同样有
1 2 , 1 V1, 2 V1 ,
因此 ( ( ), ) (1 1 2 ) (1 1 )
另外显然有
(1 2, 1 ) ( , ( ( ))
2( ) ( ( )) (1 ) 1 ( )
这说明正交投影变换的矩阵表示 P（称为正交投影 矩阵）既是Hermite 矩阵也是幂等矩阵( P 2 P )
一、 Hermite变换（对称变换）
定义1 设 T 是酉空间（或欧氏空间）V 上的线 性变换，称 T 为V 上的 Hermite 变换（对称变
换） ，如果对任意 、 V ， 都有
(T( ), ) (,T( )) .
并称 T 在 V 的任意一组标准正交基下的矩阵表示
为Hermite 矩阵（对称矩阵）。
| ti i |2 | ti n |2 | t1i |2 | ti i |2 当 i 1 时，有 | t11 |2 | t12 |2 | t1 n |2 | t11 |2
可知 t1 j 0 ( j 2, 3, , n)
对 i 施行归纳法，可得 ti j 0 (i j) ，证毕。
数学高度的抽象和统一。
链接：《现代数学的特点与意义》，孙小礼、杜珣， 《工科数学》，1992年第2期
数学系 李继根（jgli@）
一、正规变换(Normal Transformation)
定义1 酉空间 V 上的线性变换 T 称为 V上的一个
正规变换，如果存在 V的标准正交基 ε1,ε2 , , εn 及对角矩阵 D diag(d1,d2 , , dn )
上三角阵 T ，使得 A UTU H
显然 AH A AAH 当且仅当 T HT T T H。
根据引理1，T 是对角矩阵。故 A 是正规阵。
数学系 李继根（jgli@）
例 1 判断下列矩阵是不是正规矩阵：
（1）实对称矩阵（ AT A ）；
（2）实反对称矩阵（ AT A ）； （3）正交矩阵 （AT A1 ）；
证明：必要性。如果 A 是正规矩阵，那么存在酉
矩阵 U (u1, , un ) 及对角阵 diag(1, ) ( Au1, , Aun ) (1u1, , nun )
充分性。若有 U H AU ，显然可验证
定理 2 酉空间（或欧氏空间）V 上的线性变 换 T 是 反Hermite 变换（或反对称变换）的充要 条件是 T 在V 的任意一组标准正交基下的矩阵
A 满足
AH A ( AT A)
数学系 李继根（jgli@）
例 3 (Cayley变换)
方阵 A 是反对称实矩阵，那么 I A 是非奇异
一个上三角阵T 。即存在酉矩阵U ，使
U H AU T. 并称 A UTU H 为方阵 A 的Schur分解。
100年前(1909年)给出的Schur 引理是矩阵理论中的 重要定理，是很多其他重要结论的基础。在矩阵计 算中也具有相当重要的地位。
数学系 李继根（jgli@）
根据Schur引理，可以推出正规矩阵的一个相当美妙 的性质，此性质经常被当作正规矩阵的等价定义。
由于 S (I A) (I A)1 (I A)1 (I A) 所以 ST (I AT ) (I AT )1 (I A) (I A)1
从而可推出 ST S I
数学系 李继根（jgli@）
例 4 (广义特征值问题的Cayley变换)
对于广义特征值问题 Ax Bx ，如果 是
(T ( ), ) yH Ax ( yH AH )x
( A y)H x ( , (T ( ))
数学系 李继根（jgli@）
例 1 (方阵的Cartesian分解)
任意方阵 A 可分解为 A H1 i H2 ,
其中 H1, H2 都是Hermite矩阵。
数学系 李继根（jgli@）
数学系 李继根（jgli@）
定 必要性。如果 A 是正规矩阵，那么存在酉
理 矩阵 U 及对角阵 D ，使得 A UDU H 3 的 因此 AAH (UDU H )(UDU H )H UDDU H
证
U DDU H (U DU H )(UDU H ) AH A
明 充分性。根据Schur引理，存在酉矩阵 U 及
充分性。若 A 有 n 个两两正交的单位特征向量 1, ,n ，取 U (1, ,n ) 即可。
数学系 李继根（jgli@）
思考：
1、实正规矩阵是否正交相似于实 对角矩阵？ 2、实正规矩阵是否正交相似于 复对角矩阵？