22平方根(2)
八年级数学上册《第二章2 平方根》讲解与例题
《第二章2 平方根》讲解与例题1．平方根(1)平方根的概念：若是一个数x 的平方等于a ，即x 2＝a ，那么那个数x 就叫做a 的平方根(也叫做二次方根).32＝9，因此3是9的平方根．(－3)2＝9，因此－3也是9的平方根，因此9的平方根是3和－3.(2)平方根的表示方式：正数a 的平方根可记作“±a ”，读作“正、负根号a ”．“ ”读作“根号”，“a ”是被开方数．例如：2的平方根可表示为± 2. (3)平方根的性质：假设x 2＝a ，那么有(－x )2＝a ，即－x 也是a 的平方根，因此正数a 的平方根有两个，它们互为相反数；只有02＝0，故0的平方根为0；由于同号的两个数相乘得正，因此任何数的平方都可不能是负数，故负数没有平方根．综合上述：一个正数有两个平方根，它们互为相反数；0只有一个平方根，它是0本身；负数没有平方根．如：4的平方根有两个：2和－2，－4没有平方根．我明白了，一个数a 的平方根能够表示成±a .你可要警惕哦！（1）不是任何数都有平方根，负数可没有平方根，（2）式子a 只有当a ≥0时才成心义,因为负数没有平方根.【例1－1】 求以下各数的平方根：(1)81；(2)(－7)2；(3)11549. 分析：依照平方根的概念，求一个数a 的平方根可转化为求一个数的平方等于a 的运算，更具体地说，确实是找出平方后等于a 的数．解：(1)∵(±9)2＝81，∴81的平方根是±9，即±81＝±9.(2)∵(－7)2＝72＝49，∴(－7)2的平方根是±7，即±49＝±7. (3)∵11549＝6449，又⎝ ⎛⎭⎪⎫±872＝6449， ∴11549的平方根是±87， 即±11549＝±87. 【例1－2】 以下各数有平方根吗？若是有，求出它的平方根；假设没有，请说明理由．(1)94；(2)0；(3)－9；(4)|－0.81|；(5)－22. 分析：序号存在情况 原因 (1)有2个 正数有两个平方根 (4)有2个 (3)无 负数没有平方根 (5)无 (2) 有1个 0的平方根是它本身解：(1)∵94是正数，∴94有两个平方根． 又∵⎝ ⎛⎭⎪⎫±322＝94，∴94的平方根是±32. (2)0只有一个平方根，是它本身．(3)∵－9是负数，∴－9没有平方根．(4)∵|－0.81|＝(±0.9)2，是正数，∴|－0.81|的平方根是±0.9.(5)∵－22＝－4，是负数，∴－22没有平方根．2.算术平方根(1)算术平方根的概念：若是一个正数x 的平方等于a ，即x 2＝a ，那么那个正数x 就叫做a 的算术平方根．(2)算术平方根的表示方式：正数a 的算术平方根记作“a ”，读作“根号a ”．(3)算术平方根的性质：正数有一个正的算术平方根；0的算术平方根是0；负数没有平方根，固然也没有算术平方根．淡重点 算术平方根的性质(1)只有正数和0(即非负数)才有算术平方根，且算术平方根也是非负数；(2)一个正数a 的正的平方根确实是它的算术平方根．若是明白一个数的算术平方根，就能够够写出它的负的平方根．【例2】 求以下各数的算术平方根：(1)0.09；(2)121169. 分析：依照算术平方根的意义，求一个非负数a 的算术平方根，第一要找出平方等于a 的数，写出平方式；从平方式中确信a 的算术平方根的值．解：(1)∵0.32＝0.09，∴0.09的算术平方根是0.3，即0.09＝0.3；(2)∵⎝ ⎛⎭⎪⎫11132＝121169， ∴121169的算术平方根是1113. 析规律 如何确信一个数的算术平方根 求一个数的算术平方根与求一个数的平方根类似，先找到一个平方等于所求数的数，再求算术平方根，应专门注意数的符号．3．开平方求一个数a (a ≥0)的平方根的运算，叫做开平方，其中a 叫做被开方数．开平方运算是已知指数和幂求底数．(1)因为平方和开平方互逆，故可通过平方来寻觅一个数的平方根，也能够利用平方验算所求平方根是不是正确．(2)开平方与平方互为逆运算，正数、负数、0能够进行“平方”运算，且“平方”的结果只有一个；但“开平方”只有正数和0才能够，负数不能开平方，且正数开平方时有两个结果．(3)关于生活和生产中的已知面积求长度的问题，一样可用开平方加以解决．【例3】 小明家打算用80块正方形的地板砖铺设面积是20 m 2的客厅，试问小明家需要购买边长是多少的地板砖？解：设正方形的地板砖的边长为x m ，由题意，得80x 2＝20，那么x 2＝0.25.故x ＝±0.5.∵地板砖的边长不能为负数，∴x ＝0.5.∴小明家应购买边长为0.5 m 的地板砖．4.a 2与(a )2的关系a 表示a 的算术平方根，依据算术平方根的概念，(a )2＝a (a ≥0).a 2表示a 2的算术平方根，依据算术平方根的概念，假设a ≥0，那么a 2的算术平方根为a ；假设a ＜0，那么a 2的算术平方根为－a ，即a 2＝|a |＝⎩⎪⎨⎪⎧ a ，a ≥0，－a ，a <0. (1)区别：①意义不同：(a )2表示非负数a 的算术平方根的平方；a 2表示实数a 的平方的算术平方根．②取值范围不同：(a )2中的a 为非负数，即a ≥0；a 2中的a 为任意数．③运算顺序不同：(a )2是先求a 的算术平方根，再求它的算术平方根的平方；a 2是先求a 的平方，再求平方后的算术平方根．④写法不同．在(a )2中，幂指数2在根号的外面；而在a 2中，幂指数2在根号的里面．⑤运算结果不同：(a )2＝a ；a 2＝|a |＝⎩⎪⎨⎪⎧ a ，a ≥0，－a ，a <0.(2)联系：①在运算时，都有平方和开平方的运算．②两式运算的结果都是非负数，即(a )2≥0，a 2≥0.③仅当a ≥0时，有(a )2＝a 2. 点技术 巧用(a )2＝a 将(a )2＝a 反过来确实是a ＝(a )2，利用此式可使某些运算更为简便．【例4】 化简：(6)2＝__________；(－7)2＝__________. 解析：(－7)2＝|－7|＝7.答案：6 75．平方根与算术平方根的关系(1)区别：①概念不同平方根的概念：若是一个数x 的平方等于a ，即x 2＝a ，那么那个数x 叫做a 的平方根．算术平方根的概念：若是一个正数x 的平方等于a ，即x 2＝a ，那么那个正数x 叫做a 的算术平方根． ②表示方式不同平方根：正数a 的平方根用符号±a 表示．算术平方根：正数a 的算术平方根用符号a 表示，正数a 的负的平方根－a 能够看成是正数a 的算术平方根的相反数．③读法不同a读作“根号a”；±a读作“正、负根号a”．④结果和个数不同一个正数的算术平方根只有一个且必然为正数，而一个正数的平方根有两个，它们一正一负且互为相反数．(2)联系：①平方根中包括了算术平方根，确实是说算术平方根是平方根中的一个，即一个正数的平方根有一正一负两个，其中正的那一个确实是它的算术平方根，如此要求一个正数a的平方根，只要先求出那个正数的算术平方根a，就能够够直接写出那个正数的平方根±a了．②在平方根±a和算术平方根a中，被开方数都是非负数，即a≥0.严格地讲，正数和0既有平方根，又有算术平方根，负数既没有平方根，又没有算术平方根．③0的平方根和算术平方根都是0.【例5－1】(1)求(－3)2的平方根；(2)计算144；(3)求(π－3.142)2的算术平方根；(4)求16的平方根．错解(1)因为(－3)2＝9，故(－3)2的平方根是－3；(2)因为(±12)2＝144，所以144＝±12；(3)(π－3.142)2的算术平方根是(π－3.142)2＝π－3.142；〔或±(π－3.142)〕(4)16的平方根是±4.剖析(1)一个正数的平方根是互为相反数的两个数，而这里(－3)2的平方根只有一个数，只表明两个平方根中的一个负的平方根，漏掉了一个正的平方根；(2)混淆了平方根与算术平方根的概念，144表示144的算术平方根，它是一个非负数，错解中出现了增解－12；(3)错在忽视了π＜3.142，即π－3.142＜0；或混淆了平方根与算术平方根的概念；(4)这里错误地将16的平方根当成16的平方根，其实这里是求16的算术平方根的平方根，该题将两个相近概念“算术平方根”和“平方根”含在一个小题中.正解(1)±(－3)2＝±9＝±3；【例(1)±81；(2)－16；(3)925；(4)(－4)2.分析：±81表示81的平方根，故其结果是一对相反数；－16表示16的负平方根，故其结果是负数；925表示925的算术平方根，故其结果是正数；(－4)2表示(－4)2的算术平方根，故其结果必为正数． 解：(1)∵92＝81，∴±81＝±9. (2)∵42＝16，∴－16＝－4.(3)∵⎝ ⎛⎭⎪⎫352＝925，∴925＝35. (4)∵42＝(－4)2，∴(－4)2＝4. 释疑点 与平方根相关的三种符号 弄清与平方根有关的三种符号±a ，a ，－a 的意义是解决这种问题的关键．±a 表示非负数a 的平方根，a 表示非负数a 的算术平方根，－a 表示非负数a 的负平方根．注意a ≠±a .在具体解题时，“ ”的前面是什么符号，其计算结果确实是什么符号，既不能漏掉，也不能多添．6．巧用算术平方根的两个“非负性”众所周知，算术平方根a 具有双重非负性：(1)被开方数具有非负性，即a ≥0. (2)a 本身具有非负性，即a ≥0.这两个非负性形象、全面地反映了算术平方根的本质属性．在解决与此相关的问题时，假设能认真观看、认真地分析题目中的已知条件，并挖掘出题目中隐含的这两个非负性，就可幸免用常规方式造成的繁杂运算或误解，从而收到事半功倍的成效．由于初中时期学习的非负数有三类，即一个数的绝对值，一个数的平方(偶次方)和非负数的算术平方根．关于算术平方根和平方数的非负性相关的求值问题，一样情形下都是它们的和等于0的形式．此类问题能够分成以下几种形式：(1)算术平方根、平方数、绝对值三种中的任意两种组成一题〔| |＋( )2＝0，| |＋ ＝0，( )2＋＝0〕，乃至同一道题目中同时显现这三个内容〔| |＋( )2＋＝0〕．(2)题目中没有直接给出平方数，而是需要先利用完全平方公式把题目中的某些内容进行变形，然后再利用非负数的性质进行计算．【例6－1】假设－x2＋y＝6，那么x＝__________，y＝__________.解析：由－x2成心义得x＝0，故y＝6.答案：0 6【例6－2】假设|m－1|＋n－5＝0，那么m＝__________，n＝__________.解析：依照题意，得m－1＝0，n－5＝0，因此m＝1，n＝5.答案：1 5注：假设几个非负数的和为0，那么每一个数都为0.【例6－3】若是y＝x2－4＋4－x2x＋2＋2 013成立，求x2＋y－3的值．分析：由算术平方根被开方数的非负性知，x2－4≥0，4－x2≥0，因此，x2－4＝0，即x＝±2；又x＋2≠0，即x≠－2，因此x＝2，y＝2 013，于是得解．解：由题可知x2－4≥0，且4－x2≥0，∴x2－4＝0，即x＝±2.又∵x＋2≠0，即x≠－2，∴x＝2.将x＝2代入y＝x2－4＋4－x2x＋2＋2 013，可得y＝2 013.∴x2＋y－3＝22＋2 013－3＝2 014.点评：解答这种问题时，先确信题目中非负数的类型，然后依照类型“对症下药”．不要误以为x＝±2.。
二次根式计算专题——30题(教师版含答案)
（2） 3 12 3 1 1 48 27 32
【答案】（1）0；（2） 4 3 ．
【解析】
试题分析：（1）原式=1 5 2 3 1 0 ；
（2）原式= 6 3 3 2 3 3 3 4 3 ．
试题解析：原式=1 3 3 2 1 3 2 2 3
考点：1．实数的运算；2．零指数幂；3．分母有理化． 20．计算：
①
8
2
1 2
0
②
6 3 2
1 3
48
12
③
3a2 3
a 2
1 2
2a 3
【答案】① 2 1；② 14 ；③ a .
考点：二次根式化简.
14．计算 (3 2 24 8) 12 3
【答案】 -
2+
6
.
23
试卷第 4 页，总 10 页
【解析】 试题分析：先化简二次根式，再合并同类二次根式，最后算除法即可求出答案. 试题解析：
(3 2 - 24 + 8) ¸ 12 = ( 6 - 2 6 +2 2) ¸ 2 3 = (2 2 - 6) ¸ 2 3 3
5
3
3 2 1；
（2） (6 x 2x 1 ) 3 x
4xBiblioteka (6 x 2x x ) 3 x 2x
(3 x 2 x ) 3 x
x 3 x
试卷第 1 页，总 10 页
1. 3
考点: 二次根式的混合运算.
3．计算： 3 12 2
2022八年级数学上册第11章数的开方11.1平方根与立方根2算数平方根授课课件新版华东师大版61
感悟新知
总结
知3－讲
(1)算术平方根和数的平方、绝对值一样，都是非负 数，即 a ≥0，a2≥0，|a|≥0；当几个非负数的和 为0时，其中每一个非负数都为0.
(2)只有非负数才有算术平方根，因此当出现 a ， a ，
即被开方数互为相反数时，a只有为0才都有意义．
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1． 若 a2(b2)20，则ab的值等于( )
谢谢观赏
You made my day!
复习提问
引的出问一题个，那么立即可以得到另一个.
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知识点 1 算数平方根的定义
知1－导
定义：正数a的正的平方根，叫做a的算术平方根． 规定：0的算术平方根是0.
表示方法：a的算术平方根记为 a ，读作“根号 a”； a叫做被开方数．
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例 1 下列说法正确的是( A ) A．3是9的算术平方根 B．－2是4的算术平方根 C. (－ 2)²的算术平方根是－2 D．－9的算术平方根是3
知1－练
感悟新知
知1－练
导引：要正确把握算术平方根的定义．因为3的平方等于 9，所以3是9的算术平方根；因为－2不是正数， 所以－2不是4的算术平方根；因为(－2)²＝4，而 22＝4，所以2是(－2)2的算术平方根；负数没有算 术平方根．
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归纳
知1－讲
算术平方根具有双重非负性，被开方数是非 负数，它的算术平方根也是非负数．
1、书籍是朋友,虽然没有热情,但是非常忠实。2022年3月22日星期二2022/3/222022/3/222022/3/22 2、科学的灵感，决不是坐等可以等来的。如果说，科学上的发现有什么偶然的机遇的话，那么这种‘偶然的机遇’只能给那些学有素养的人，给那些善于 独立思考的人，给那些具有锲而不舍的人。2022年3月2022/3/222022/3/222022/3/223/22/2022 3、做老师的只要有一次向学生撒谎撒漏了底，就可能使他的全部教育成果从此为之失败。 2022/3/222022/3/22March 22, 2022
北师大版数学八年级上册 平方根
0
.
如何用字母表示你所发现的规律呢？
归纳总结
a2 (a≥0) 的性质：
一般地， a2 ＝ a (a ≥0).
思考：当 a＜0 时， a2 = ？
例3 化简：
(1) 16 ；
(2) (5)2 .
你还有其 它算法吗？
解：(1) 16 42 4. (2) (5)2 25 5.
(5)2 52 5.
填一填(2)
写出左圈和右圈中的“？”表示的数：
x
-88
3
4
-43
-1111
0.6
？ ？ ？
-0.6 ？
0
？ ？
没有？ ？
x2 ？64
9 ？16
121 0.36
0 -4
概念学习
平方根的定义： 一般地，如果一个数 x 的平方等于 a，即
x2 = a，那么这个数 x 就叫做 a 的平方根（或二 次方根）.
解：(1) ( 1.5)2 1.5.
想一想：本小题 用到了幂的哪条 基本性质呢？
(2) (2 5)2 22 ( 5)2 4 5 20.
积的乘方： (ab)2 = a2b2
思考2：根据前面得出的性质填一填，
并说明理由．
22 =
2
；
0.12 = 0.1 ；
2 3
2
=
2 3 ； 02 =
第二章 实数
2.2 平方根
第2课时 平方根
1. 什么叫算术平方根？ 若一个正数的平方等于 a，则这个数叫做 a 的
算术平方根，表示为 a(a≥0) .
2. 我们已经学习过哪些运算？它们中互为逆运算
的是什么？ 答：已学过加法、减法、乘法、除法、乘方五种运算. 其中加法与减法互逆；乘法与除法互逆. 思考：乘方有没有逆运算？
人教新版 七年级(下)第二学期 第6章 实数章节 单元测试A卷 含答案
七年级（下）第二学期 第6章 实数章节 单元测试卷一．选择题（共10小题）1．下列四个实数中，最小的是( )A ．2B ．2-C ．0D ．1-2．立方根是3-的数是( )A ．9B ．27-C ．9-D ．273．下列各数：3.1415926，117-，327，12π，4.217，2，2.1010010001⋯（相邻两个1之间依次增加1个0)中，无理数有( )A ．4个B ．3个C ．2个D ．1个4．下列四个式子：9，327-，|3|-，(3)--，化简后结果为3-的是( )A ．9B ．327-C ．|3|-D ．(3)--5．若x 的算术平方根有意义，则x 的取值范围是( )A ．一切数B ．正数C ．非负数D ．非零数6．在数轴上，表示实数52-的点落在( )A ．①B ．②C ．③D ．④7．估计5624-( )A ．8和9之间B ．7和8之间C ．6和7之间D ．5和6之间8．下列判断：①一个数的平方根等于它本身，这个数是0和1；②实数包括无理数和有理数；③22；④无理数是带根号的数．正确的有( )A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个 9．在数轴上，点A 表示实数3，以点A 为圆心，25+的长为半径画弧，交数轴于点C ，则点C 表示的实数是( )A ．5B ．1C 1-或5+D ．1-或5+10( )A ．3和4B ．4和5C ．5和6D ．6和7二．填空题11的算术平方根是 ．12．如果某数的一个平方根是2-，那么这个数是 ．13；-．14．若6a b -+的算术平方根是2，21a b +-的平方根是4±，则53a b -+的立方根是 ．15与b a = ．16．已知a 的整数部分，b 22(4)b a +-的值是 ．17．观察下列表格：3.32=a =b =，则a b +的值（保留一位小数）是 ．18．对于实数a ，b ，给出以下判断：①若||||a b ==；②若||||a b <，则a b <；③若a b =-，则22()a b -=；④若33()a b -=-，则a b =，其中正确的判断的序号是 ．三．解答题19|．20．计算：2019311|(2)10|(0.5)3-+--⨯+ 21．求下列各式中x 的值：（1）2(1)64x -=；（2）3(8)270x ++=．22．已知21a -的算术平方根是3，39a b +-的立方根是2，c 是的整数部分，求722a b c --的平方根．23．观察下列等式：①133⨯=：②3515⨯=：③5735⨯=；④7963⨯=；⋯（1）写出第n 个等式(n 为正整数）（2）是否存在正整数n ，使等式右边等于2499，如果存在，求出n ；若不存在，请说明理由.24．定义一种新运算“*”满足下列条件：①对于任意的实数a ，b ，*a b 总有意义；②对于任意的实数a ，均有*0a a =；③对于任意的实数a ，b ，c ，均有*(*)*a b c a b c =+．（1）填空：1*(1*1)= ，2*(2*2)= ，3*0= ；（2）猜想*0a = ，并说明理由；（3）*a b = （用含a 、b 的式子直接表示）．25．[阅读材料]Q <<23<<，112∴<<．∴1-的整数部分为1∴1-2-[解决问题]（1的小数部分是 ；（2）已知a b 的小数部分，求代数式1(a b -的平方根为 ．26．对于实数a ，我们规定：用符号称为a 的根整数，例如：3=，3=．（1）仿照以上方法计算：= ；= ．（2）若1=，写出满足题意的x 的整数值 ．如果我们对a连续求根整数，直到结果为1为止．例如：对10连续求根整数2次=→=，这时候结果为1．31（3）对120连续求根整数，次之后结果为1．（4）只需进行3次连续求根整数运算后结果为1的所有正整数中，最大的是．参考答案一．选择题1．下列四个实数中，最小的是( )A ．2B ．C ．0D ．1- 解：根据实数大小比较的方法，可得102<-<<，所以四个实数中，最小的数是．故选：B ．2．立方根是3-的数是( )A ．9B ．27-C ．9-D ．27解：Q 3=-， ∴立方根是3-的数是27-．故选：B ．3．下列各数：3.1415926，117-12π，4.217，2.1010010001⋯（相邻两个1之间依次增加1个0)中，无理数有( )A ．4个B ．3个C ．2个D ．1个解：无理数有12π 2.1010010001⋯（相邻两个1之间依次增加1个0)，共3个， 故选：B ．4|3|-，(3)--，化简后结果为3-的是( )AB C ．|3|- D ．(3)--解：Q3=，3=-，|3|3-=，(3)3--=，-，∴化简后结果为3-的是327故选：B．5．若x的算术平方根有意义，则x的取值范围是()A．一切数B．正数C．非负数D．非零数解：xQ的算术平方根有意义，∴的取值范围是：0xx…．故选：C．6．在数轴上，表示实数52-的点落在()A．①B．②C．③D．④解：Q459<<<<，∴253<-<，∴0521-的点落在②处．∴52故选：B．7．估计5624-()A．8和9之间B．7和8之间C．6和7之间D．5和6之间解：562456263654===，Q495464<<∴-7和8之间．624故选：B．8．下列判断：①一个数的平方根等于它本身，这个数是0和1；②实数包括无理数和有理数；③22；④无理数是带根号的数．正确的有()A．1个B．2个C．3个D．4个解：①一个数的平方根等于它本身，这个数是0，错误；②实数包括无理数和有理数，正确；③2，正确；④故选：B．9．在数轴上，点A表示实数3，以点A为圆心，2+的长为半径画弧，交数轴于点C，则点C表示的实数是()A．5B．1C1-或5+D．1-或5+解：根据题意得：325-+=-，++=+3(21则点C表示的实数是5+1-，故选：D．10() A．3和4B．4和5C．5和6D．6和7解：Q<<∴的值在两个连续整数之间，这两个连续整数是：4和5．故选：B．二．填空题（共8小题）11的算术平方根是2．解：Q4=，=．∴2故答案为：2．12．如果某数的一个平方根是2-，那么这个数是4．解：Q某数的一个平方根是2-，∴这个数为4．故答案为：4．13 2；-．解：2=Q <∴2<；-=Q -=，∴->-，故答案为：<；>．14．若6a b -+的算术平方根是2，21a b +-的平方根是4±，则53a b -+的立方根是 3- ． 解：6a b -+Q 的算术平方根是2，21a b +-的平方根是4±， 64a b ∴-+=，2116a b +-=，解得5a =，7b =，53535327a b ∴-+=-+=-，53a b ∴-+的立方根3-．故答案为：3-15与b a 2 ．解：Q 互为相反数，(31)(12)0a b ∴-+-=，32a b ∴=，∴32b a =． 故答案为：32．16．已知a 的整数部分，b 22(4)b a +-的值是 1 ．解：a Q 的整数部分，b4a ∴=，4b -，22(4)b a ∴+-2244)4=-+-1716=-1=，故答案为：1．17．观察下列表格：3.32=a =b =，则a b +的值（保留一位小数）是 33.5 ．3.32=a =b =，则0.33233.233.53233.5a b +=+=≈， 故答案为：33.5．18．对于实数a ，b ，给出以下判断：①若||||a b ==；②若||||a b <，则a b <；③若a b =-，则22()a b -=；④若33()a b -=-，则a b =，其中正确的判断的序号是 ③④ ．解：a Q 、b 有一个小于0或都小于0，但是它们的绝对值相等时，||||a b =不一定有意义，∴若||||a b ==不一定成立，∴选项①不符合题意；Q 若||||a b <，0a <，0b <时，a b >，∴选项②不符合题意；Q 若a b =-，则22()a b -=，∴选项③符合题意；Q 若33()a b -=-，则a b =，∴选项④符合题意，∴其中正确的判断的序号是③④．故答案为：③④．三．解答题（共8小题）19|．|22=+-=．20．计算：2019311|(2)10|(0.5)3-+--⨯+解：2019311|(2)10|(0.5)3-+--⨯+-511856=-+⨯- 1155=-+-9=21．求下列各式中x 的值：（1）2(1)64x -=；（2）3(8)270x ++=．解：（1）2(1)64x -=，18x -==±，解得9x =或7-；（2）3(8)270x ++=，3(8)27x +=-，83x +==-，解得11x =-．22．已知21a -的算术平方根是3，39a b +-的立方根是2，c 是的整数部分，求722a b c --的平方根．解：21a -Q 的算术平方根是3，219a ∴-=，5a ∴=，39a b +-Q 的立方根是2，398a b ∴+-=，2b ∴=，c Q 的整数部分，34<<，3c ∴=，722354625a b c ∴--=--=，722a b c ∴--的平方根是5±．23．观察下列等式：①133⨯=：②3515⨯=：③5735⨯=；④7963⨯=；⋯（1）写出第n 个等式(n 为正整数） 2(21)(21)(2)1n n n -+=-（2）是否存在正整数n ，使等式右边等于2499，如果存在，求出n ；若不存在，请说明理由解：（1）21321⨯=-Q ；2351541⨯==-；2573561⨯==-；2796381⨯==- ∴第n 个等式(n 为正整数）应为：2(21)(21)(2)1n n n -+=-．（2）2(2)12499n -=，解得：25n =．故答案为：2(21)(21)(2)1n n n -+=-．24．定义一种新运算“*”满足下列条件：①对于任意的实数a ，b ，*a b 总有意义；②对于任意的实数a ，均有*0a a =；③对于任意的实数a ，b ，c ，均有*(*)*a b c a b c =+．（1）填空：1*(1*1)= 1 ，2*(2*2)= ，3*0= ；（2）猜想*0a = ，并说明理由；（3）*a b = （用含a 、b 的式子直接表示）．解：（1）1*(1*1)1*111=+=，2*(2*2)2*222=+=，3*03*(3*3)3*333==+=故答案为：1，2，3；（2）*0(*)*a a a a a a a a ==+=，故答案为a ；（3）*(*)*a b b a b b =+，即*0*a a b b =+，而*0a a =，故*a b a b =-．25．[阅读材料]Q <<23<<，112∴<<．∴1-的整数部分为1∴1-2-[解决问题]（12- ；（2）已知a b 的小数部分，求代数式1(a b -的平方根为 ． 解：（1）479<<Q ，∴的整数部分是2，∴2-；（2）a Q b 的小数部分，91016<<，3a ∴=，3b -，∴1(9a b --=，9的平方根为3±．2；3±．26．对于实数a ，我们规定：用符号称为a 的根整数，例如：3=，3=．（1）仿照以上方法计算：= 2 ；= ．（2）若1=，写出满足题意的x 的整数值 ．如果我们对a 连续求根整数，直到结果为1为止．例如：对10连续求根整数2次31=→=，这时候结果为1．（3）对120连续求根整数， 次之后结果为1．（4）只需进行3次连续求根整数运算后结果为1的所有正整数中，最大的是 ． 解：（1）224=Q ，2636=，2749=，67∴<<，2∴=；6=，故答案为：2，6；（2）211=Q ，224=，且1=，1x ∴=，2，3，故答案为：1，2，3；（3）第一次：10=，第二次：3=，第三次：1=，故答案为：3；（4）最大的正整数是255，理由是：15=Q ，3=，1=，∴对255只需进行3次操作后变为1，=，1=，=，2Q，416=∴对256只需进行4次操作后变为1，∴只需进行3次操作后变为1的所有正整数中，最大的是255，故答案为：255．。
平方根和算术平方根
平⽅根和算术平⽅根平⽅根和算术平⽅根1、什么叫做平⽅根？如果⼀个数的平⽅等于9，这个数是⼏？±3是9的平⽅根；9的平⽅根是±3。
⼀般地，如果⼀个数的平⽅等于a ，那么这个数叫做的a 平⽅根,也称为⼆次⽅根。
数学语⾔：如果a x =2，那么x 就叫做a 的平⽅根。
4的平⽅根是；149的平⽅根是。
的平⽅根是0.81。
如果225x =，那么x = 。
2的平⽅根是？2、平⽅根的表⽰⽅法：⼀个正数a 的正的平⽅根，记作“a ”，正数a 的负的平⽅根记作“a -”。
这两个平⽅根合起来记作“a ±”，读作“正，负根号a ”.表⽰，= 。
2的平⽅根是；如果22x =，那么x = 。
3、平⽅根的性质：⼀个正数的平⽅根有2个，它们互为相反数；0只有1个平⽅根，它是0本⾝；负数没有平⽅根。
求⼀个数的平⽅根的运算叫做开平⽅。
4、算术平⽅根：正数有两个平⽅根,其中正数的正的平⽅根,叫的算术平⽅根. 例如，4的平⽅根是2±，2叫做4的算术平⽅根，记作4=2；2的平⽅根是2±，2叫做2的算术平⽅根，记作22=。
5、算术平⽅根的性质：（双重⾮负性）⑴ 0≥0a ≥。
⑵),0(2≥=a a a )0(2≤-=a a a ， )0()(2≥=a a a⼆、【题型分类讲解】题型⼀、求平⽅根1、36的平⽅根是；2、的算术平⽅根是；3、下列计算正确的是（）A 2B = C.636=± D.992-=-4、下列说法中正确的有。
①只有正数才有平⽅根；②-2是4的平⽅根；③的平⽅根是；④的算术平⽅根是；⑤的平⽅根是-6 ⑥5、如果a 是b 的⼀个平⽅根，则b 的算术平⽅根是；6平⽅根是； 25 的平⽅根是___，4的算术平⽅根是_____，7、2)8(-= ；2)8(= ；若72=x ，则=x _____。
8、22)4(+x 的算术平⽅根是（）A 、 42)4(+xB 、22)4(+xC 、42+x D 、42+x 9、⼀个⾃然数的算术平⽅根是a ，则下⼀个⾃然数的算术平⽅根是（）A ．()1+aB ．()1+±aC ．12+aD ．12+±a10、若9,422==b a ，且0A. 2-B.5±C. 5D. 5-题型⼆、运⽤算术平⽅根进⾏运算计算下列各式的值1、811441691+-；2、()3616512522?--??-题型三、平⽅根性质的运⽤1、⼀个正数x 的平⽅根分别是a+1和a-3，则a= ；x= 。
根号1到100最简二次根式表
根号1到100最简二次根式表全文共四篇示例，供读者参考第一篇示例：根号1到100的最简二次根式表是数学中常见的一类问题，我们可以通过化简根号内的数字来得到最简二次根式。
在这份表格中，我们将罗列从根号1到根号100的最简二次根式，并附上详细的化简过程。
希望读者能通过这份表格更加深入地理解二次根式的化简规律。
1. 根号1 = 1化简过程：√220. 根号20 = 2√534. 根号34 = √3466. 根号66 = √6677. 根号77 = √7789. 根号89 = √89第二篇示例：根号是数学中一个常见的符号，表示开平方操作。
在平方根中，最简二次根式是指不能再进行开平方操作的根式，即无法再化简的根式。
在这篇文章中，我们将制作一份关于根号1到100最简二次根式表，帮助读者更好地理解这些数学概念。
在这份表格中，我们将列出根号1到100的最简二次根式，并对每个根式进行解释和化简。
让我们开始吧！1. 根号1（√1）= 1解释：1的平方根是1，所以√1=1。
1是一个完全平方数，因此它的平方根是整数。
2. 根号2（√2）解释：2是一个质数，无法化为整数的平方根。
因此，√2是一个无限不循环小数，不能被完全表示为分数。
3. 根号3（√3）解释：3也是一个质数，无法被化为整数的平方根。
因此，√3是一个无限不循环小数，不能以分数形式完全表示。
4. 根号4（√4）= 2解释：4的平方根是2，所以√4=2。
4是一个完全平方数，因此它的平方根是整数。
5. 根号5（√5）解释：5同样是一个质数，无法化为整数的平方根。
因此，√5也是一个无限不循环小数，不能被完全表示为分数。
6. 根号6（√6）解释：6不是一个完全平方数，它的平方根不能化为整数。
因此，√6是一个无限不循环小数，不能被分数完全表示。
7. 根号7（√7）解释：7也是一个质数，无法化为整数的平方根。
因此，√7是一个无限不循环小数，不能被完全表示为分数。
8. 根号8（√8）= 2√2解释：8的平方根可以化为2的平方根乘以2。
(完整版)平方根、算术平方根、立方根重点例题讲解
6.1平方根、算术平方根、立方根例题讲解第一部分：知识点讲解1、学前准备【旧知回顾】2.平方根（ 1）平方根的定义：一般的，若是一个数的平方等于a ，那么这个数叫做 a 的平方根，也叫做二次方根。
即若 x2 a ，( a0) ，则x叫做a的平方根。
即有 x a ，（a0 ）。
（ 2）平方根的性质：（ 3）注意事项：x a ， a 称为被开方数，这里被开方数必然是一个非负数（a0 ）。
（ 4）求一个数平方根的方法：（5）开平方：求一个数平方根的运算叫做开平方。
它与平方互为逆运算。
3.算术平方根（ 1）算术平方根的定义：若x2 a ， (a 0) ，则x叫做a的平方根。
即有x a ，（ a 0 ）。
其中x a 叫做 a 的算术平方根。
（ 2）算术平方根的性质：（ 3）注意点：在今后的计算题中，像22， 5 分别指的是 2 和25 （ - 2），其中5的算术平方根。
4.几种重要的运算：①ab a ? b a 0, b 0, a ? b ab a 0,b0②a a0),a a0,b0) b(a 0,bb(ab b③(a )2a ( a 0) ,2，2aaa（ - a）★★★ 若 a b 0，则(a b)2 a b a b a b5.立方根（1）立方根的定义：一般地，若是一个数的立方等于 a ，那么这个数叫做 a 的立方根，也叫做三次方根。
即若x3 a ，则x叫做a的立方根。
即有x 3 a。
（2）立方根的性质：（3）开立方求一个数的立方根的运算叫做开立方，它与立方互为逆运算。
6.几个重要公式：3ab 33,33b3ab③ a ?b a ?a 33a a3a(b 0),3(b 0) b33b bb④3333，33( a ) a (a可以为任何数）,a a（- a）-a 第二部分：例题讲解题型 1：求一个数的平方根、算术平方根、立方根。
1.求平方根、算术平方根、立方根。
（1） 0 的平方根是，算术平方根是.（2） 25 的平方根是，算术平方根是.（3）1的平方根是，算术平方根是. 64（4）(9) 2的平方根是，算术平方根是.（5） 23 的平方根是，算术平方根是.（6）16的平方根是，算术平方根是.(6)（2，算术平方根是. 16）的平方根是(8)- 9的平方根是，算术平方根是.（9）8。
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【课题】 §2.2 平方根（2）
编写人：王晓玲 审核组长：陈鲜艳 审核领导：张金山
温馨寄语：有志者事竟成。
【学习目标】
1、知道掌握住平方根的概念、开平方的概念。
2、了解平方根与算术平方根的区别与联系。
3、了解开方与乘方是互逆的运算，会利用这个互逆运算关系求某些非负数的算术平方根和平
方根。
【学习过程】
一、尝试指导，学生自学
1. 若一个正数x 的平方等于a ，即_________，则x 叫a 的____________，记作x=a ，而且a 也是非负数，如正数22=4，则2叫4的_____________，4叫2的平方，但是(－2)2=4，
则－2叫4的什么根呢？
2. 一般地，如果一个_______x 的平方等于a ，即x 2=a ，那么这个________就叫a 的平方根(square
root)，也叫____________，如：3和－3的平方都等于9，由定义可知_____和_____都是9的
平方根，即9的平方根有_______个，是_________，9的算术平方根只有_____个是______.
3. 平方根的性质
(1)一个正数有________个平方根.
(2)0只有_______个平方根，它是_______本身。
(3)负数________________。
4.正数a 有_______个平方根，一个是a 的算术平方根表示为_______,另一个是_______，它们
互为相反数。
这两个平方根合起来可以记作__________，读作“正、负根号a ”。
5.求一个数a 的平方根的运算，叫做_________。
其中a 叫做_________。
6. 平方根与算术平方根的联系与区别：
联系：
区别：
二、典例探究，质疑辩驳
典例精析1：求下列各数的平方根.
(1)64；(2)121
49；(3)0.0004；(4)(－25)2；(5)11.
专项练习：求下列各数的平方根
(1)10－6； (2)169；(3) 4
9 .(4)18
典例精析2：(1)(64)2等于多少？(
121
49)2等于多少？ (2)(2.7)2等于多少？
(3)对于正数a ，(a )2等于多少？
专项练习：(1) (25)2=_________；(2)2)5(- =_________；(3)(5)2=_________.
.
三、课堂小结
想一想：本节课我们都学到了哪些知识点？
四、当堂检测
1. 求下列各数的平方根.
(1)0.01；(3)29
7；(4)(－13)2；(5)－(－4)3
2.
24 =_________ 24-=_________ (8.0)2=_________
五、课后反思
1. 本节课我掌握最好的知识点是____________________________________
2. 本节课我感到困惑的知识点是____________________________________。