第 六 章 一 阶 电 路
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电路讲义第六章_new
f (t ) f (0 ) e
t
2）一阶电路的零输入响应和初始值成正比，称为零输入线性。 3） 零输入响应的衰减快慢取决于时间常数τ，其中RC 电路τ=RC , RL 电 路τ=L/R ，R 为与动态元件相连的一端口电路的等效电阻。 4） 同一电路中所有响应具有相同的时间常数。
【例6-5】 电路中开关SW闭合已久， t=0时SW断开，试求电流 iL(t)，t0。
diL (t ) d u L (t ) L dt dt
C R ） (1) i 的大小取决于 u 的变化率, 与 u 的大
1 1 t uc (t ) ic d uc (t 0 ) ic d C C t0
1 t 1 t iL (t ) u L d iL (t 0 ) u L d L L t0
§6-1 动态电路的方程及其初始条件
跳变（跃变）：
换路定则：
当 i C 和 u L 为有限值时，状态变量电容电压 u C 和电感电流 i L 无跳变， 即有 u C ( 0 )
u C ( 0 ) ； i L (0 ) i L (0 ) ；
过渡过程：动态电路的特点是，当电路状态发生改变后（换 路后）需要经历一个变化过程才能达到新的稳定状态，这个 变化过程称为电路的过渡过程。
§6-1 动态电路的方程及其初始条件
基本概念：
动态电路：含有动态元件电容和电感的电路称动态电路。 一阶电路：用一阶微分方程描述的电路（或只含一个独立 的动态元件的电路）
换路：电路结构、状态发生变化，即支路接入或断开或电 路参数变化； 若换路在t=0时刻进行，则换路前的最终时刻记为t=0- ；换 路后最初时刻记为t=0+ ；换路经历的时间为0-～0+ ；
第六章 一阶电路
20 - 3 + t=0 2 3v -
+
uR2
C 0.1F
0.5i1 1F
i1
uc -
§6-3完全响应
N uc(0)=U0 N0 Uc(0)=U0 N Uc(0)=0
初始状态和输入共同作用下的响应称为完全响应. 初始状态和输入共同作用下的响应称为完全响应. 一,完全响应 du + R0 c uc(t) + Us - - uc (t ) = (U 0 uc(0)=U0 τ=R0C
§6-1零输入响应
初始值的计算: 时的值称初始值. 4,初始值的计算:t=0+时的值称初始值. u(0+),i(0 (0+)和 如:u(0+),i( +), uc(0+), iL(0+).而uc(0+)和 又可称为初始状态. iL(0+)又可称为初始状态. 计算的理论依据:电容电压,电感电流不跃变, 计算的理论依据:电容电压,电感电流不跃变, + + _ 即
t
i +
+ R C-
uc
τ
) = uc (∞)(1 e τ ) t ≥ 0
t
称为电容电压的稳态值. 称为电容电压的稳态值.
uc(t)
u c( ∞) 0 4τ τ t
Us/R 0
i(t)
4τ 稳态 过程
暂态 过程
稳态 过程
暂态 过程
t
t
t
Us e 后再求i(t): 求出uc(t)后再求 : i ( t ) = 后再求 R 的讨论: 二,对uc(t)的讨论: 的讨论
得:l (t ) = il (0 )e i
+
天津理工电路习题及答案 第六章 一阶电路
第六章一阶电路——经典分析法（微分方程描述）——运算分析法（代数方程描述）见第十三章一、重点和难点1. 动态电路方程的建立和动态电路初始值的确定；2. 一阶电路时间常数、零输入响应、零状态响应、冲激响应、强制分量、自由分量、稳态分量和暂态分量的概念及求解；3. 求解一阶电路的三要素方法；电路初始条件的概念和确定方法；1.换路定理（换路规则）仅对动态元件（又称储能元件）的部分参数有效。
①电容元件：u C(0-) = u C(0+)；（即：q C(0-) = q C(0+)）；i C(0-) ≠i C(0+)。
②电感元件：i L(0-) = i L(0+)；（即：ΨL(0-) = ΨL(0+)）；u C(0-) ≠u C(0+)。
③电阻元件：u R(0-) ≠u R(0+)；i R(0-) ≠i R(0+)。
因此，又称电容的电压、电感的电流为状态变量。
电容的电流、电感的电压、电阻的电压和电流为非状态变量。
如非状态变量的数值变化前后出现相等的情况则视为一种巧合，并非是一种规则。
2.画t=0+时刻的等效电路画t=0+时刻等效电路的规则：①对电容元件，如u C(0-) = 0，则把电容元件短路；如u C(0-) ≠ 0，则用理想电压源（其数值为u C(0-)）替代电容元件。
②对电感元件，如i L(0-) = 0，则把电感元件开路；如i L(0-) ≠ 0，则用理想电流源（其数值为i L(0-)）替代电感元件。
画t=0+时刻等效电路的应用：一般情况下，求解电路换路后非状态变量的初始值，然后利用三要素法求解非状态变量的过渡过程。
3. 时间常数τ①物理意义：衡量过渡过程快慢的技术指标(即等于一阶微分方程的特征方程的特征根)。
仅取决于电路的结构和元件的参数。
②几何意义：状态变量变化曲线中时间坐标轴上任意一点次切距的长度（即曲线上任意一点，如果以该点的斜率为固定变化率衰减，则经过τ时间后为零值）。
③单位：m(秒)、ms(毫秒)。
第六章 一阶电路-讲稿
第六章一阶电路第一节电路中的过渡现象一、过渡现象及产生的原因：前面讲的稳态电路。
稳态电路的最大特点是当电路中的激励为恒定或作周期性变化时，电路中的响应也为恒定或作周期性变化。
在一定的条件下,电路有一种稳定状态，但当电路结构、电路参数或电源发生变化时，电路就会从一种稳态变化到另一种稳态。
在某些电路中，电压、电流的变化不会在一瞬间完成，要有一个变化的过程，称为过渡过程。
如图6-1-1（a）中电流的变化、(b)中电容的电压的变化。
过渡过程产生的原因：是由于惯性元件L、C的存在。
而电感中磁场能量的不能跃变，导致了电感中电流的连续变化；电容中电场能量的的不能跃变，导致了电容中电压的连续变化即过渡过程的产生。
二、一阶电路：由于L、C中电压、电流的约束关系是通过导数、或积分的关系来表示的，因此描述电路性状的方程将是以电压或电流为变量的微分方程或积分方程来表示的。
如果电路中只有一个储能元件，则微分方程是一阶的，相应的电路称为一阶电路。
如果有两个储能元件，则微分方程是二阶的，相应的电路称为二阶电路。
第二节换路定律及初始条件的确定一、关于换路：为了叙述方便，把引起过渡现象的电路参数、电路结构、电源的变化统称为换路。
二、换路定律解决的问题：求解微分方程必须知道初始条件，数学中的初始条件是给定的，而在电路理论中，是待定的。
必须通过换路前的电路状态得到换路后的初始时刻的电路状态，就要建立起换路前后的瞬间有关物理量之间的关系。
为了表达方便，把换路的瞬间记为t=0，换路前的终了时刻记为t=0_，换路后的初始时刻记为t=0+，因此换路定律解决的是换路前后的瞬间有关物理量之间的关系。
三、换路定律：有两条。
（1）对于线性电容：选择电容的端电压u（电荷q）、电流i之间满足关联参考方向，则：(2)对于线性电感：选择电感的电流i 与端电压u 之间满足关联参考方向或电流与磁链之间满足右螺旋关系，用同样的方法可以证明：结论：在换路的瞬间，如果电容的电流保持为有限值，则电容的电荷、电压保持换路前终了时刻的数值而不能跃变；如果电感的电压保持为有限值，则电感的磁链、电流保持换路前终了时刻的数值而不能跃变。
第6章 一阶电路分析
● 电路中的过渡过程及换路定律 ● 零状态响应 ● 零输入响应 ● 完全响应 ● 三要素法
● 电路中的过渡过程及换路定律
一、过渡过程 【演示实验 演示实验】 演示实验
1 S A 2
●
r
●
1 V
●
U0
+ –
R
U0
+ –
S
A 2
●
r
●
C
●
V
S合于 ： A 合于1： 合于 S合于 ： A 合于2： 合于
零输入响应
与电阻电路的电压电流仅仅由独立电源所产生不同， 与电阻电路的电压电流仅仅由独立电源所产生不同，动态 电路的完全响应则由独立电源 动态元件的储能共同产生 独立电源和 共同产生。 电路的完全响应则由独立电源和动态元件的储能共同产生。
仅由独立电源引起的响应称为零状态响应。 仅由独立电源引起的响应称为零状态响应。
零状态响应变化的快慢取决于时间常数τ =RC。当 。 越大，充电过程就越长。 时间常数τ 越大，充电过程就越长。
电容充电过程的实质：就是从电源提供的能量， 电容充电过程的实质：就是从电源提供的能量，逐渐 充电过程的实质 储存在电容的电场中，并转换为电场能量的过程。 储存在电容的电场中，并转换为电场能量的过程。 即 电能 → WC
电路如图6-11(a)所示，已知电容电压 C(0-)=0。t=0 所示， 例6-1 电路如图 所示 已知电容电压u 。 打开开关， ≥ 的电容电压 的电容电压u 电容电流i 以及 打开开关，求t≥0的电容电压 C(t),电容电流 C(t)以及 电容电流 电阻电流i 。 电阻电流 1(t)。 uC(0-)=0
uC(0-)=0
图6-5
其电压电流的变化规律，可以通过以下计算求得。 其电压电流的变化规律，可以通过以下计算求得。
大学物理电路分析基础第6章一阶电路分析.ppt
t
iC d 1(V)
1
其波形如图6-5(c)所示。
第6章 一阶电路分析
6.1.2
通常把由导线绕成的线圈称为电感器或电感线圈。 当 线圈通过电流时, 即在线圈内外建立磁场并产生磁通Φ， 如 图6-6所示。 各线匝磁通的总和称为磁链φ(若线圈匝数为N， 则φ=NΦ )。 可见， 电感器是一种能建立磁场、 储存磁场 能量的器件。
从本例可以看出： (1) 电容电流是可以跳变的。 (2) 电容的功率也是可以跳变的，这是由于电容电流跳 变的原因。 功率值可正可负: 功率为正值， 表示电容从电 源us(t)吸收功率； 功率为负值， 表示电容释放功率且交还 电源。 (3) wC(t)总是大于或等于零，储能值可升可降， 但为连 续函数。
第6章 一阶电路分析
图6-4 例6-1波形图
第6章 一阶电路分析
例 6-2 在图6-5(a)所示电路中， is(t)的波形如图6-5(b)所 示， 已知电容C=2 F， 初始电压uC(0)=0.5 V， 试求t≥0时的 电容电压， 并画出其波形。
第6章 一阶电路分析
图6-5 例6-2题图
第6章 一阶电路分析
dq dt
和电容的定义q(t)=Cu(t)，
可得
i C du
(6-2)
dt
第6章 一阶电路分析
这就是电容元件微分形式的VCR。 若电容端电压u与电流i 参考方向不关联， 则上式右边应加负号， 即
du i C
(6-3)
dt
式(6-2)表明， 任一时刻通过电容的电流i取决于该时刻电容
两端的电压的变化率 du 。若电压恒定不变， 则虽有电压 dt
与电阻元件相类似， 若约束电容元件的q—u平面上的 曲线为通过原点的直线， 则称它为线性电容； 否则， 称为 非线性电容。 若曲线不随时间而变化， 则称为非时变电容； 否则， 称为时变电容。
第六章一阶电路
R t L R t L
di u L L RI0e dt
L 与RC电路类似，令 R 称为RL电路的时间常数。
右图所示曲线为i、 uL和uR随时间变 化的曲线。
从以上求得的RC和RL电路零输入响应进一步 分析可知，对于任意时间常数为非零有限值的一 阶电路，不仅电容电压、电感电流，而且所有电 压、电流的零输入响应，都是从它的初始值按指 数规律衰减到零的。且同一电路中，所有的电压、 电流的时间常数相同。若用f (t)表示零输入响应， 用f (0+)表示其初始值，则零输入响应可用以下通 式表示为
6 iL A 3 A 2 L 2s Req
由三要素法可得：
iL [3 (2 3)e (3 0.5e
根据KCL可求得：
0.5t
1t 2
]A
)A
i I S iL (5 5e
例6-1
下图所示电路中直流电压源的电压为Uo。当电路中的 电压和电流恒定不变时，打开开关S。试求uC(0+)、iL(0+)、 ic(0+)、 uL(0+)、uR2(0+)。
解 根据t=0-时刻的电路状 态计算u (0-)和i (0-)
c
L
U 0 R2 u c (0 ) R1 R2 U0 iL (0 ) R1 R2
已知历次绕组的电阻R=0.189，电感L=0.398H， 直流电压U=35V。电压表的量程为50V，内阻 RV=5k。开关未短=断开时，电路中电流已经 恒定不变。在t=0时，断开开关。 求：（1）电阻、电 感回路的时间常数； （2）电流i的初始值 和断开开关后电流i的 最终值；（3）电流i 和电压表处电压uV； （4） 开 关 刚 断 开 时 ，电压表处电压。
一阶电路
d
由KVL，得
i1(t) 4 uab (t) i2 (t) 3 0
uab (t)
25 24
t
e 12
t0
2020年4月19日星期信日息学院
24
结束结束
第6章 一阶电路
电路分析基础
6-2 零状态响应 定义：电路的初始状态为零，仅由t≥0时的外加激励 所产生的响应。
一、一阶RC电路的零状态响应 t<0时，电路处于稳定状态，t=0 时，开关闭合，求t≥0时电容两端 的电压。
2020年4月19日星期信日息学院
6
结束结束
第6章 一阶电路
三、过渡过程的定性分析
电路分析基础
电阻电路
+ i R1
us
-
R2
（t = 0） i
i U S / R2
i U S ( R1 R2 )
t 0
2020年4月19日星期信日息学院
过渡期为零
7
结束结束
第6章 一阶电路
电容电路
(t = 0) R i
2)做出t=0+时的初始值等效电路。 在t=0+瞬间，电容元件可用电压等于uC(0+)的电压源代替； 电感元件可用电流等于iL(0+) 的电流源代替。画出t=0+的初 始值等效电路如图所示。
2020年4月19日星期信日息学院
12
结束结束
第6章 一阶电路
3)由0+等效电路可求得 uL (0 ) Us uC (0 ) 10 10 0
t
uc (0)e
其中uc(0)为电容电压的初始值，τ＝RC
一阶电感电路的零输入响应
1t
iL (t) I0e
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t0
uV (0+)= - 10000V
造成
V 损坏。
小结：
1. 一阶电路的零输入响应是由储能元件的初值引起的响 应 , 都是由初始值衰减为零的指数衰减函数。
y(t ) y(0 )e
t
2. 衰减快慢取决于时间常数 RC电路 = RC , RL电路
= L/R
3. 同一电路中所有响应具有相同的时间常数。
1 uC (0 ) uC (0 ) C
结论
1 0 ( )d uC (0 ) C
0
uC (0 )
换路瞬间，若电容电流保持为有限值， 则电容电压（电荷）换路前后保持不变。
iL
+
u
L
-
1 t i L u( )d L 1 0 1 t i L u( )d u( ))d L L 0
§6-3 电路的初始条件
一. 关于 t = 0+与t = 0-
换路在 t=0时刻进行
00+ t = 0 的前一瞬间 t = 0 的后一瞬间
二. 换路定律
i
+ uc -
C
1 t uC ( t ) i ( )d C 1 0 1 t i ( )d i ( )d C C 0 1 t uC (0 ) i ( )d C 0
3
U0 e -3
5
U0 e -5 0.007 U0
uc U 0 e
U0 U0 e -1 U0 0.368 U0
0.135 U0 0.05 U0
工程上认为 , 经过 3 - 5 , 过渡过程结束。
：电容电压衰减到原来电压36.8%所需的时间。
能量关系： 设uC(0+)=U0 电容放出能量
iL(0+)= iL(0-) =2A
uL (0 ) 2 4 8V
10V
求初始值的步骤
2A
uL
-
1. 由换路前电路（稳定状态）求 uC(0-) 和 iL(0-)。 2. 由换路定律得 uC(0+) 和 iL(0+)。
3. 画0+等值电路。 电容（电感）用电压源（电流源）替代。 取0+时刻值，方向同原假定的电容电压、 电感电流方向。 4. 由0+电路求所需各变量的0+值。
d ni d n 1 i di an n an1 n1 a1 a0 i u t 0 dt dt dt
经典法 拉普拉斯变换法
状态变量法
数值法
§6-2 阶跃函数和冲激函数
一 单位阶跃函数
1. 定义
0 (t 0) (t ) 1 (t 0)
(t)
1 t iL ( 0 ) 0 u( )d L
(0 ) u( )d
t 0
当u为有限值时
L (0+)= L (0-)
iL(0+)= iL(0-)
磁链守恒
当uL为冲激函数时
1 0 i L (0 ) i L (0 ) u( )d i L (0 ) L 0 结论 换路瞬间，若电感电压保持为有限值，
（1） 0 t0 t
4. 函数的筛分性
f (t ) (t )dt f (0) (t )dt f (0)
f(0)(t)
同理有：
(t)
(1) f(0) 0
f(t) t
f ( t ) (t t 0 )dt f (t 0 )
* f(t)在 t0 处连续
di uL L RI 0 e dt
t L/ R
t0
令 = L/R , 称为一阶RL电路时间常数 -RI 0
L 亨 韦 伏秒 [ ] [ ] [ ] [ ][ ] [秒] R 欧 安欧 安欧
i(0)一定： L大 R小
起始能量大 放电过程消耗能量小
放电慢 大
0 (t ) 0 ( t 0) ( t 0)
(t) (1)
(t )dt 1
0
t
3. 单位冲激函数的延迟 (t-t0)
(t t 0 ) 0 (t t 0 ) ( t t 0 )dt 1
(t-t0)
4.一阶电路的零输入响应和初始值成正比，称为零输入线性。
时间常数 的简便计算： 例1 + R2 L R1 R1
R2
L
= L / R等 = L / (R1// R2 )
例2 R等 C
= R等C
§6-5 一阶电路的零状态响应
零状态响应：储能元件初始能量为零的电路在输入激励作用 下产生的响应 一. RC电路的零状态响应 K(t=0) US R
duC i C 解 dt duC RC uC 0 dt uC (0 ) U 0
uC
–
+
uR
–
+
特征方程 RCp+1=0
特征根
p
1 RC
uC Ae pt Ae 则
1 t RC
uc Ae
U 0 Ae
1 t RC
1 t RC
t 0
初始值 uC (0+)=uC(0-)=U0 U0 uC A=U0 0
R
i
+ C
列方程：
+u –
uC
–
duC RC uC U S dt
非齐次线性常微分方程
齐次方程的通解 齐次方程的特解
uC (0-)=0
' " 解答形式为： uc uc uc
uC ：特解（强制分量） uC = US
与输入激励的变化规律有关，某些激励时强制分量为 电路的稳态解，此时强制分量称为稳态分量
二. 过渡过程产生的原因
1. 电路内部含有储能元件 L 、M、 C
2. 电路结构发生变化 换路
三. 稳态分析和动态分析的区别 稳 态 动 态
换路发生很长时间
IL、 UC ( U C 、I L ) 不变
换路刚发生 iL 、 uC 随时间变化
微分方程组描述电路
代数方程组描述电路
四. 分析方法
uC ：通解（自由分量，暂态分量）
duC 齐次方程 RC uC 0 的通解 dt
uC Ae
全解
t RC
变化规律由电路参数和结构决定
t RC
uC uC uC U S Ae
由起始条件 uC (0+)=0 定积分常数 A
uC (0+)=A+US= 0
特征根 p =
R L
t0
特征方程 Lp+R=0
i (t ) Ae pt
由初始值 i(0+)= I0 定积分常数A
A= i(0+)= I0
得 i (t ) I 0 e pt I 0 e
R t L
t0
i
i I0
R t e L
I 0e
t L/ R
t0
I0
0 t uL t
t RC
uc U 0 e
t RC
t0
t RC
t i
uC U 0 i e R R
I 0e
t0
I0 0
令 =RC , 称为一阶电路的时间常数
t
库 安秒 RC 欧法 欧 欧 秒 伏 伏
t=
0+时刻
1 uC (0 ) uC (0 ) C
0 0
i ( )d
q
当i()为有限值时
(0+)
=q
(0-)
+
0 0
i()d
0 0
i()d
0
uC (0+) = uC (0-) q (0+) = q (0-)
当iC为冲激函数时，即
电荷守恒
iC (t )
uL ( 0 ) 3Em REm 2 2L
例4
L +u –
L
iL
R
iC + C
求 iC(0+) , uL(0+)
IS
K(t=0)
uC
–
iL(0+) = iL(0-) = IS uC(0+) = uC(0-) = RIS uL(0+)=
- RIS
0+电路 I S +u –
L
R
iC + R IS –
RI S iC ( 0 ) I s 0 R
§6-4 一阶电路的零输入响应
一阶电路：只含有一个因变量的一阶微分方程描述 的电路 零输入响应：激励(独立电源)为零，仅由初始储能作用于 电路产生的响应。
一
RC放电电路
C
uC = uR= Ri
K(t=0)
i
R
已知 uC (0-)=U0 求 uC和 i .
例3
+ uR R K us L iL
+
+
uL
已知 us Em sin(t 60 )V
-
-
求iL (0 ), uL (0 ), uR (0 ).
Em iL sin(t 30 ) L E E Em iL ( 0 ) m sin(t 30 ) t 0 m i L (0 ) i L (0 ) L 2L 2L