第三章行波法
合集下载
数理方程第三章行波法与积分变换法-PPT课件
t2
2019/3/8
3
数学物理方程与特殊函数
第3章行波法与积分变换法
x a t 1 1 u ( x , t ) ( x a t ) ( x a t ) ( ) d x a t 2 2 a
4 解的物理意义
u (,) x t ( x a t ) ( x a t ) a. 只有初始位移时，
2 2 u u 2 1 1 a , x ,t 0 2 2 t x u ( x ,0 ) 1 u ( x ,0 ) ( x ) , ( x ) , x 1 t 2 2 u u 2 2 2 a f (xt ,) , x ,t 0 2 2 t x u x ,0 ) 2( u ( x ,0 ) 0 , 0 , x 2 t x a t 1 1 u ( x , t ) ( x a t ) ( x a t ) ( ) d 1 x a t 2 2 a
u u u u u y y y
2 2 2 2 u u u u u u u u 2 2 2 y y y 2
数学物理方程与特殊函数
第3章行波法与积分变换法
第三章 行波法与积分变换法
一 行波法
1 基本思想： 先求出偏微分方程的通解，然后用定解条件确定 特解。这一思想与常微分方程的解法是一样的。 2 关键步骤： 通过变量变换，将波动方程化为便于积分的齐 次二阶偏微分方程。 3 适用范围：
数学物理方程第三章_行波法和积分变换法
[x − at , x + at ] 上的值,而与其他点上的初始条件无关,这个区间称为点 (x, t ) 的依赖区间,
它是过 ( x, t ) 点分别作斜率为 ±
1 的直线与 x 轴相交所截得的区间,如图 3-2 所示. a
(x,t0)
y
x O x-at0 x+at0
图 3-1
初 始 时 刻 t = 0 时 , 取 x 轴 上 的 一 个 区 间 [x1 , x 2 ] , 过 点 x1 作 斜 率 为
同理可得
2 ∂ 2u ∂ 2u ∂ 2u ⎤ 2⎡∂ u = + a + 2 ⎢ 2 ∂ξ∂η ∂η 2 ⎥ ∂t 2 ⎣ ∂ξ ⎦
将其代入式(3.1.1),得
∂ 2u =0 ∂ξ∂η
对 ξ 积分,得
∂u = f (η ) ∂η
对此式再关于η 积分,得
u = ∫ f (η )dη + f1 (ξ ) = f1 (ξ ) + f 2 (η )
第三章 行波法与积分变换法 本章我们介绍两个常用的解题方法：行波法和积分变换法。行波法只用于求解无界区 域上的波动方程定解问题， 积分变换法不受方程类型的限制， 一般应用于无界区域的定界问 题，有时也应用于有界域的定解问题.
3.1 达朗贝尔公式及波的传播 在求解常微分方程的特解时,一般先求出方程的通解,然后利用所给的定解条件去解出 通解中含有的任意常数,最后得到了满足所给条件的特解.这个想法能否推广到求解偏微分方 程的过程中呢?一般情况下,随着自变量个数的增加,偏微分方程的通解非常难求,并且偏微分 方程的通解一般都含有任意函数,这种任意函数很难由定解条件确定为具体的函数.所以在求 解数学物理方程时,主要采用通过分析各类具体的定解问题,直接求出符合定解条件的特解的 方法.但事情没有绝对的,在有些情况下,我们可以先求出含任意函数的通解,然后根据定解条 件确定出符合要求的特解.本节我们研究一维波动方程的求解,就采用这种方式. 3.1.1 达朗贝尔公式 如果我们所考察的弦无限长,或者我们只研究弦振动刚一开始的阶段,且距弦的边界较远 的一段,此时可以认为弦的边界,对此端振动的弦不产生影响.这样,定解问题就归结为如下形 式
第三章行波法(2)
，
显然取 时可以满足边界条件
于是
2．半无限长的杆，其端点受到纵向力 作用，求解杆的纵振动。
解：泛定方程 ，
的初始条件：
边界条件
对 的地方，端点的影响未传到，所以
。
对 的地方，需要考虑端点的影响。对a<0, 和 未定义，现将它们延拓。
其中 和 待定，应用达朗伯公式；
它应满足边界条件
显然，取 而 即可满足条件。
由条件（4）， 。应用衔接条件（5）（6），得
将（8）对t积分，且由于 。
由（7）（9）消去 行
再得 。
所以解为：
反射波
透射波
补充：
4．求解半无限长理想传输线上电报方程的解，端点通过电阻 相接，初始电压分布为 ，初始电流分布 ，在什么条件下端点没有反射（这种情况叫作匹配）？
解：∵是理想传输线，∴ 。因此，定解问题是
球外为零。无论何时，压缩率与速度势的关系为 ，并且速度势满足方程
试对所有的 ，确定压缩率。
解：该问题的定解问题为：
上题的结果有：
讨论：(1)若 点在球外，则 ，所以 ，即 ，此时有
（2）若 点在球内，则 ，
（ⅰ）当 时，更有 ，得
（ⅱ）当当 时，而当 时， ，
（ ）当 ，更有 ，所以， ，此时有：
3．利用泊松公式求解下列定解问题
（1）
故原方程的解为：
补充：
6．应用泊松公式计算下述定解问题的解. ⊿ ，初始速度为零.初始位移在某个单位球内为1，在球外为零。
解：取单位球的球心为坐标原点，则定解问题为：
由泊松公式
（i）当点 （以 为矢径的点简称为点 ，下同）在单位球内时：
a.若 ，球面 完全在单位球内，从而
，
显然取 时可以满足边界条件
于是
2．半无限长的杆，其端点受到纵向力 作用，求解杆的纵振动。
解：泛定方程 ，
的初始条件：
边界条件
对 的地方，端点的影响未传到，所以
。
对 的地方，需要考虑端点的影响。对a<0, 和 未定义，现将它们延拓。
其中 和 待定，应用达朗伯公式；
它应满足边界条件
显然，取 而 即可满足条件。
由条件（4）， 。应用衔接条件（5）（6），得
将（8）对t积分，且由于 。
由（7）（9）消去 行
再得 。
所以解为：
反射波
透射波
补充：
4．求解半无限长理想传输线上电报方程的解，端点通过电阻 相接，初始电压分布为 ，初始电流分布 ，在什么条件下端点没有反射（这种情况叫作匹配）？
解：∵是理想传输线，∴ 。因此，定解问题是
球外为零。无论何时，压缩率与速度势的关系为 ，并且速度势满足方程
试对所有的 ，确定压缩率。
解：该问题的定解问题为：
上题的结果有：
讨论：(1)若 点在球外，则 ，所以 ，即 ，此时有
（2）若 点在球内，则 ，
（ⅰ）当 时，更有 ，得
（ⅱ）当当 时，而当 时， ，
（ ）当 ，更有 ，所以， ，此时有：
3．利用泊松公式求解下列定解问题
（1）
故原方程的解为：
补充：
6．应用泊松公式计算下述定解问题的解. ⊿ ，初始速度为零.初始位移在某个单位球内为1，在球外为零。
解：取单位球的球心为坐标原点，则定解问题为：
由泊松公式
（i）当点 （以 为矢径的点简称为点 ，下同）在单位球内时：
a.若 ，球面 完全在单位球内，从而
，
课件：第三章 行波法
0(3 .1)(3.2)
对于上述初值问题，由于微分方程现定解条件都是 线性的，所以叠加原理同样成立，即如果函数和 分
别是下ux述,0初 值utt问x,题aut2uxx,x0 x (3.3)
(3.4)
•和
uuxtt,0a20u,xux txf,0x((,33t..650))
的解，则 u u1x,t u2x就,t是 原初值问题 (3.1)(3.2)的解，这
1
2 1
2
x x
1
2a 1
2a
x
x0 x
x0
d d
c
2a c
2a
( 3.17)
把它们代入(3.13) 得初值问题(3.3)(3.4)的解
ux, t
x
at
2
x
at
1 2a
xat(3.1d8) xat
这个公式称为无限长弦自由振动的达朗贝尔公式，或称为达 朗贝尔解。这种求解方法称为达朗贝尔解法。
题大
有有
其局
特限
殊 的 优 点
性
， 但 对
，
内 波 动 方 程 的 定
解 问
题 ，
波 法 只 能 用 于 求
解 无
界 区
波解 法定 ，解 二问 是题 积和 分方
变法 换，
法一 。是
本 章 我 们 将 介
绍 另 外
两 个
引 言
3.2 达朗贝尔（D’Alembert）公式 波的传播
• 本章我们将介绍另外两个求解定解问题和方法， 一是行波法，二是积分变换法。行波法只能用于 求解无界区域内波动方程的定解问题，虽然有很 大有局限性，但对于波动问题有其特殊的优点， 所以该法是数理方程的基本之一。我们只注重解 决问题的思路，导出形式解，不追求分析的条件 与验证。积分变换法不受方程的类型限制，主要 用于无界区域，但对于有界区域也能应用
数学物理方程：第3章 波动问题的行波法
第3章 波动问题的行波法§3.1 二阶线性方程的分类与化简本节讨论：①两个自变量方程的分类与化简，②多个自变量方程的分类与化简⒈ 两个自变量方程的分类与化简二阶方程的一般形式 二阶变系数方程可写为1112220(,)2(,,,,)(,)xx xy yy x y Lu x y a u a u a u x y u u u f x y =+++Φ= (3.1.1)式中：11a 、12a 、22a 为x 、y 的函数，0(,,,,)x y x y u u u Φ为低阶导数项。
公式关于二阶导数项为线性的，即称方程为准线性的。
若0(,,,,)x y x y u u u Φ关于u 及其x u 、y u 为线性的，则称方程为线性的。
方程的变换 为了简化上述方程，作可逆变换：(,)(,)x y x y ξξηη=⎧⎨=⎩， (,)0(,)J x y ξη∂=≠∂， (,)(,)x x y y ξηξη=⎧⎨=⎩(3.1.2) 代入方程中，不难得到：11122212(,,,,)(,)Lu A u A u A u u u u f ξξξηηηξηξηξη=+++Φ= (3.1.3)式中： 22111112222x x y yA a a a ξξξξ=++ (3.1.4) 12111222()x x x y y x y y A a a a ξηξηξηξη=+++ (3.1.5)22221112222x x y yA a a a ηηηη=++ (3.1.6) 我们化简的目的是使得二次项的项数尽量少，并且值尽量为简单（如0ij A =或1ij A =±）。
顾及ij A 的表达式，取关于z 的一阶非线性偏微分方程2211122220x x y y a z a z z a z ++= (3.1.7)若该方程有解),(1y x z ϕ=、),(2y x z ψ=，则110A =及220A =；公式大大简化了。
行波法
+ c2 e
px +α y − iβ y
(12)
3．1 达朗贝尔公式
本节以行波解法为依据，介绍求解定解问题的达朗贝尔公式.
例子. 一维波动方程的达朗贝尔公式
设有一维无界弦自由振动（即无强迫力）定解问题为
泛定方程 u tt − a 2 u xx = 0 初始条件
(1) (2) (3)
u t =0 = ϕ ( x ), ut
第三章 行波法与积分变换法 3.0 二阶线性偏微分方程的行波解
通解法中有一种特殊的解法―行波法, 即以 自变量的线性组合作变量代换，进行求解 的一种方法，它对波动方程类型的求解十 分有效.
1.简单的含实系数的二阶线性偏微分方程 为了方便起见，我们首先讨论如下的含实常系数的 简单二阶线性偏微分方程
au xx + bu xy + cu yy = 0
，则
u( x, y) = c1e
2
px+q1 ( p ) y
+ c2e
px+q2 ( p ) y (10)
(ii) b − 4ac = 0, 抛物型，上述方程有相等的实根
q1 ( p ) = q2 ( p )
，则
u(x, y) = c1e
px+q1 ( p) y
+ c2 xe
px+q1 ( p) y
（11）
⎧ 根据(10)得 ⎪0,( x ≤ x1 ) ⎪ x 1 ⎪1 Φ( x) = ∫−∞ψ (ξ )dξ = ⎨ 2a ( x − x1 )ψ 0 ,( x1 ≤ x ≤ x2 ) 2a ⎪ ⎪1 ⎪ 2a ( x2 − x1 )ψ 0 ,,( x ≥ x2 ) ⎩
这里
数学物理方程课件第三章行波法与积分变换法
U (,0)
a 2 2U (, t), (), dU (,0)
dt
(),
t0
U (,t) Acosat Bsin at
U (,0) A ()
B () a
U (,t) () cos at () sin at
a
f(x ) F ()e j
x
f()d
F ()
0
j
数学物理方程与特殊函数
u(x,t) 1 (x at) (x at) 1
xat
( )d
t2
2a xat
t
P( x, t )
依赖区间
x
x at x at
x x1 at
x x2 at
决定区域
x1
x2
x
t
x x1 at
影响区域
x1
x2
x x2 at
x at C 特征线 x at x at 特征变换
第3章行波法与积分变换法
补充作业： 解定解问题
4
2u t 2
25
2u x2
,
u(
x,
0)
sin
x,
u ( x, t
0)
3x,
y 0, x x
数学物理方程与特殊函数
第3章行波法与积分变换法
二 积分变换法
1 傅立叶变换法
傅立叶变换的定义
U (, t) u(x, t)e jxdx
数学物理方程与特殊函数
第3章行波法与积分变换法
u(x,t) 1 (x at) (x at) 1
xat
( )d
2
2a xat
5 达朗贝尔公式的应用
utt
a
u |t0
数学物理方程chpt3_行波法
由达朗贝尔公式（11）可见，解在( x, t )这一点的数值仅仅依赖于 x轴上的区间[x-at,x at]内的初始条件，而与其它点上的初始条件 无关。这个区间[x-at,x at]称为点(x,t)的依赖区间。它是由过(x,t) 的两条斜率分别为 1 的直线在x轴上所围成的区间。如图3所示。
a
t
(x,t)
1
x at
( )d
⑾
2
2a xat
问题：定解问题(Ⅰ)的解在点(x,t)上的值跟初始条件在x轴上哪些点有关？
§3.2 行波法—一维波动方程的达朗贝尔解
三、依赖区间与影响区域
u(x, t) 1 [(x at) (x at)]
1
x at
( )d
2
2a xat
⑾
问题：定解问题(Ⅰ)的解在点(x,t)上的值跟初始条件在x轴上哪些点有关？
在此区域之外的波动不受区间[x1, x2 ]上初始扰动的影响(仍为静止状态)，称这个不等式 确定的区域为区间[x1, x2 ]的影响区域。如图4所示。 在上面的讨论中，平面上的直线x at c(常数)对波动方程的研究起着重要的作用，称
它们为波动方程(Ⅰ)的特征线。 t
影响区域
x=x0-at
x=x0+at x
• 齐次波动方程反映了介质经过扰动后，激 发的波一直向前传播，形成行波，故使用
这种原理的方法称为行波法。 • 本章将要介绍的行波法（Travelling wave
method）是求解波动方程初值问题的一种 有效方法，它只能够求解无界区域波动方 程的定解问题。
本章主要内容
• 能够导出并且记住一维波动方程的通解 （达朗贝尔公式）；
§3.2 行波法—一维波动方程的达朗贝尔解
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
总之 和 两个函数不是独立的，这样（1）和（2）应代之以
（3）和（4）应满足边界条件 即
由此解得
以此代入（3）和（4）得到解答
右边第二项是反射波，要想没有反射波，应令右边第二项的系数为零，即
，
端点没有反射波，意味着电波的能量全部被电阻吸收，
这叫做阻抗匹配，这时负载阻抗R等于传输线的特性阻抗 。
5．在弦的x=0处悬挂着质量为M的载荷，有一行波 ，从x<0的区域向悬挂点行进，试求反射波和透射波，
补充：（习题2.1）
10．求解无限长理想传输线上电压和电流的传播情况，设始电压分布为 ，初始电流分布为 。
解：（1）电压的传播情况：
传输线方程： ，式中 。
初始条件：
由达朗伯公式有：
（2）电流的传播情况：
传输线方程： ，式中 ，初始条件：
应用一维无界空间解达朗伯公式：
11．在G/C=R/L条件下求无限长传输线上的电报方程的通解。
解：关于j和v的电报方程为
以j的方程为代表求其通解。直接求其通解是比较困难的，因此要作函数变换，以消去一阶微分项。
令 ，
则 ，
代入关于j的方程，并约去公共因子 后得：
+
如果选取 ， 并注意 ，
则 代入上式，方程化简为：
，即 ，其中
如果初始条件为
，
则
，
利用达朗伯公式，可以得到关于 的通解为：
∴
12．无限长弦在点x=x0受到初始冲击，冲量为I，试求解弦的振动。
解：根据三维泊松公式有：
因为：
,
,
,
所以：
4．在泊松公式中，若将球面 上的积分代一 平面上的圆 的积分，并注意球面上下两半都投影于同一圆，便可导出二维空间的泊松公式。试推导二维空间的泊松公式：
解：将三维泊松公式中球面 上的积分代一 平面上的圆 的积分，而积分面积元 则应以 在 上的投影代替，即
又球面 上下两半部都投影于同一圆，所以，
c.若 ，则 与单位球相交，设它在球内的部分为 ，因在球外 而在 上， .
∴ .
∵
，
∴
.
（ii）当点 在单位球外时
a.若 ，与单位球分离，在 上 ，∴ .
b.若 将单位球包含于内，在 上 ，∴ .
c.若 与单位球相交，设它在球内的部分为 ，与（i）之c相同的计算，得
综上述，在球内
在球外
7．应用泊松公式计算下述定解问题的解. ⊿ ，初始速度为零，初始位移在球 以内为 ，在球外为零。
（x<0）
电压 和电流 在 点有。
（i）对于 端点的影响尚未到达，由达朗伯公式；
同理
这就是从 的区域沿x轴正方向朝着端点x=0行进的入射波。
（ii）对于 ，必须考虑到端点的反射，直接从通解出发有
（1）
（2）
其中 和 是待求的反射波，因传输是理想的，故
（1）和（2）应满足 和 。
即
由于 所以上列两式即
（1）
故原方程的解为：
补充：
6．应用泊松公式计算下述定解问题的解. ⊿ ，初始速度为零.初始位移在某个单位球内为1，在球外为零。
解：取单位球的球心为坐标原点，则定解问题为：
由泊松公式
（i）当点 （以 为矢径的点简称为点 ，下同）在单位球内时：
a.若 ，球面 完全在单位球内，从而
，
b.若 ，单位球将在球面 内，这时 ，从而 .
，
显然取 时可以满足边界条件
于是
2．半无限长的杆，其端点受到纵向力 作用，求解杆的纵振动。
解：泛定方程 ，
的初始条件：
边界条件
对 的地方，端点的影响未传到，所以
。
对 的地方，需要考虑端点的影响。对a<0, 和 未定义，现将它们延拓。
其中 和 待定，应用达朗伯公式；
它应满足边界条件
显然，取 而 即可满足条件。
∴
将上式对t积分，并利用 得
，
∴
而反射波 。
故本题之解透射波为：
当 时，
当 时，
反射波
当 ， 时，
当 ， 时，
习题2.3（P162）
1．证明球面问题
的解为：
解：将该问题利用球坐标转换为一维问题。在球对称的情况下原方程可变为：
令 ，则原方程变为：
得通解为：
即，原方程的通解为
将初始条件代入有
求解并整理
2．以半径为 的球内含有气体，在初始时刻时是静止的，在球内的初始压缩率为 ，在
解：设波传到分界点x=0处的时刻为t=0，则依题意
衔接条件为
上式中 是荷载Mg的位移，在x＜0的区域中，方程（1）的通解为
其中 是待求的反射波。由条件（2）知
即
由 的解知
。
在 的区域，只有透射波，而没有反射波，故（3）的解为
其中 是待求的反射波，由条件（4），可知
即
由 可得
。
应用衔接条件（5），（6），可得
。
3．平面偏振的平面光波沿x轴行进而垂直地投射于两种介质的分界面上，入射光波的电场强度 ，其中 是第一种介质的折射率。求反射光波和透射光波[提示：在分界面上，E连续， 。
解：入射光波传到分界面x=0处的时刻为t=0，得定解问题：
衔接条件
在x<0的区域中，（1）之解为
由条件（2）可得
在区域x>0，没有反射波，只有透射波。因此（3）的解为
[提示： ]。
解：
习题2.2（P154）
1．一根无限长的弦与 轴的正半轴重合，处于平衡状态中，左端位于原点，当 时左端点最微小的振动 ，求弦的振动规律。
解：当 显然有
当 ，将初始条件延拓到x<0半无界区域，
其中 和 尚未确定。
将达朗伯公式应用于延拓后的无界弦。
且令其满足边界条件得到：
即
记 at为 ，则
球外为零。无论何时，压缩率与速度势的关系为 ，并且速度势满足方程
试对所有的 ，确定压缩率。
解：该问题的定解问题为：
上题的结果有：
讨论：(1)若 点在球外，则 ，所以 ，即 ，此时有
（2）若 点在球内，则 ，
（ⅰ）当 时，更有 ，得
（ⅱ）当当 时，而当 时， ，
（ ）当 ，更有 ，所以， ，此时有：
3．利用泊松公式求解下列定解问题
将其代入三维波送公式有：
+
即：
5．利用二维泊松公式求解下面的定解问题
解：根据二维泊松公式有：
思考：能否用简单的方法求解第2题和第5题
第2题：由于该方程为线性方程，故可以利用叠加原理来求解。于是该题可以变为下面三个一维波动方程的解的叠加。
（1） （2） （3）
故原方程的解为：
第5题：由初始条件可知 ，将二维波动方程分解为一维波动方程的叠加
由条件（4）， 。应用衔接条件（5）（6），得
将（8）对t积分，且由于 。
由（7）（9）消去 行
再得 。
所以解为：
反射波
透射波
补充：
4．求解半无限长理想传输线上电报方程的解，端点通过电阻 相接，初始电压分布为 ，初始电流分布 ，在什么条件下端点没有反射（这种情况叫作匹配）？
解：∵是理想传输线，∴ 。因此，定解问题是
（3）和（4）应满足边界条件 即
由此解得
以此代入（3）和（4）得到解答
右边第二项是反射波，要想没有反射波，应令右边第二项的系数为零，即
，
端点没有反射波，意味着电波的能量全部被电阻吸收，
这叫做阻抗匹配，这时负载阻抗R等于传输线的特性阻抗 。
5．在弦的x=0处悬挂着质量为M的载荷，有一行波 ，从x<0的区域向悬挂点行进，试求反射波和透射波，
补充：（习题2.1）
10．求解无限长理想传输线上电压和电流的传播情况，设始电压分布为 ，初始电流分布为 。
解：（1）电压的传播情况：
传输线方程： ，式中 。
初始条件：
由达朗伯公式有：
（2）电流的传播情况：
传输线方程： ，式中 ，初始条件：
应用一维无界空间解达朗伯公式：
11．在G/C=R/L条件下求无限长传输线上的电报方程的通解。
解：关于j和v的电报方程为
以j的方程为代表求其通解。直接求其通解是比较困难的，因此要作函数变换，以消去一阶微分项。
令 ，
则 ，
代入关于j的方程，并约去公共因子 后得：
+
如果选取 ， 并注意 ，
则 代入上式，方程化简为：
，即 ，其中
如果初始条件为
，
则
，
利用达朗伯公式，可以得到关于 的通解为：
∴
12．无限长弦在点x=x0受到初始冲击，冲量为I，试求解弦的振动。
解：根据三维泊松公式有：
因为：
,
,
,
所以：
4．在泊松公式中，若将球面 上的积分代一 平面上的圆 的积分，并注意球面上下两半都投影于同一圆，便可导出二维空间的泊松公式。试推导二维空间的泊松公式：
解：将三维泊松公式中球面 上的积分代一 平面上的圆 的积分，而积分面积元 则应以 在 上的投影代替，即
又球面 上下两半部都投影于同一圆，所以，
c.若 ，则 与单位球相交，设它在球内的部分为 ，因在球外 而在 上， .
∴ .
∵
，
∴
.
（ii）当点 在单位球外时
a.若 ，与单位球分离，在 上 ，∴ .
b.若 将单位球包含于内，在 上 ，∴ .
c.若 与单位球相交，设它在球内的部分为 ，与（i）之c相同的计算，得
综上述，在球内
在球外
7．应用泊松公式计算下述定解问题的解. ⊿ ，初始速度为零，初始位移在球 以内为 ，在球外为零。
（x<0）
电压 和电流 在 点有。
（i）对于 端点的影响尚未到达，由达朗伯公式；
同理
这就是从 的区域沿x轴正方向朝着端点x=0行进的入射波。
（ii）对于 ，必须考虑到端点的反射，直接从通解出发有
（1）
（2）
其中 和 是待求的反射波，因传输是理想的，故
（1）和（2）应满足 和 。
即
由于 所以上列两式即
（1）
故原方程的解为：
补充：
6．应用泊松公式计算下述定解问题的解. ⊿ ，初始速度为零.初始位移在某个单位球内为1，在球外为零。
解：取单位球的球心为坐标原点，则定解问题为：
由泊松公式
（i）当点 （以 为矢径的点简称为点 ，下同）在单位球内时：
a.若 ，球面 完全在单位球内，从而
，
b.若 ，单位球将在球面 内，这时 ，从而 .
，
显然取 时可以满足边界条件
于是
2．半无限长的杆，其端点受到纵向力 作用，求解杆的纵振动。
解：泛定方程 ，
的初始条件：
边界条件
对 的地方，端点的影响未传到，所以
。
对 的地方，需要考虑端点的影响。对a<0, 和 未定义，现将它们延拓。
其中 和 待定，应用达朗伯公式；
它应满足边界条件
显然，取 而 即可满足条件。
∴
将上式对t积分，并利用 得
，
∴
而反射波 。
故本题之解透射波为：
当 时，
当 时，
反射波
当 ， 时，
当 ， 时，
习题2.3（P162）
1．证明球面问题
的解为：
解：将该问题利用球坐标转换为一维问题。在球对称的情况下原方程可变为：
令 ，则原方程变为：
得通解为：
即，原方程的通解为
将初始条件代入有
求解并整理
2．以半径为 的球内含有气体，在初始时刻时是静止的，在球内的初始压缩率为 ，在
解：设波传到分界点x=0处的时刻为t=0，则依题意
衔接条件为
上式中 是荷载Mg的位移，在x＜0的区域中，方程（1）的通解为
其中 是待求的反射波。由条件（2）知
即
由 的解知
。
在 的区域，只有透射波，而没有反射波，故（3）的解为
其中 是待求的反射波，由条件（4），可知
即
由 可得
。
应用衔接条件（5），（6），可得
。
3．平面偏振的平面光波沿x轴行进而垂直地投射于两种介质的分界面上，入射光波的电场强度 ，其中 是第一种介质的折射率。求反射光波和透射光波[提示：在分界面上，E连续， 。
解：入射光波传到分界面x=0处的时刻为t=0，得定解问题：
衔接条件
在x<0的区域中，（1）之解为
由条件（2）可得
在区域x>0，没有反射波，只有透射波。因此（3）的解为
[提示： ]。
解：
习题2.2（P154）
1．一根无限长的弦与 轴的正半轴重合，处于平衡状态中，左端位于原点，当 时左端点最微小的振动 ，求弦的振动规律。
解：当 显然有
当 ，将初始条件延拓到x<0半无界区域，
其中 和 尚未确定。
将达朗伯公式应用于延拓后的无界弦。
且令其满足边界条件得到：
即
记 at为 ，则
球外为零。无论何时，压缩率与速度势的关系为 ，并且速度势满足方程
试对所有的 ，确定压缩率。
解：该问题的定解问题为：
上题的结果有：
讨论：(1)若 点在球外，则 ，所以 ，即 ，此时有
（2）若 点在球内，则 ，
（ⅰ）当 时，更有 ，得
（ⅱ）当当 时，而当 时， ，
（ ）当 ，更有 ，所以， ，此时有：
3．利用泊松公式求解下列定解问题
将其代入三维波送公式有：
+
即：
5．利用二维泊松公式求解下面的定解问题
解：根据二维泊松公式有：
思考：能否用简单的方法求解第2题和第5题
第2题：由于该方程为线性方程，故可以利用叠加原理来求解。于是该题可以变为下面三个一维波动方程的解的叠加。
（1） （2） （3）
故原方程的解为：
第5题：由初始条件可知 ，将二维波动方程分解为一维波动方程的叠加
由条件（4）， 。应用衔接条件（5）（6），得
将（8）对t积分，且由于 。
由（7）（9）消去 行
再得 。
所以解为：
反射波
透射波
补充：
4．求解半无限长理想传输线上电报方程的解，端点通过电阻 相接，初始电压分布为 ，初始电流分布 ，在什么条件下端点没有反射（这种情况叫作匹配）？
解：∵是理想传输线，∴ 。因此，定解问题是