北师大版数学高一-必修4学案 1.3 弧度制

§3弧度制

1．了解角的另外一种度量方法——弧度制．

2.能够熟练地在角度制和弧度制之间进行换算．(重点)

3.掌握弧度制中扇形的弧长公式和面积公式．(难点)

[基础·初探]

教材整理弧度制

阅读教材P9～P11，完成下列问题．

1．弧度制的定义

在单位圆中，长度为1的弧所对的圆心角称为1弧度角．它的单位符号是rad，读作弧度．以弧度作为单位来度量角的单位制，叫作弧度制．

2．角度制与弧度制的互化

(1)弧度数

①正角的弧度数是一个正数；

②负角的弧度数是一个负数；

③零角的弧度数是0；

④弧度数与十进制实数间存在一一对应关系．

(2)弧度数的计算

|α|＝l

r.如图1－3－1：

图1－3－1 (3)角度制与弧度制的换算

图1－3－2

(4)一些特殊角的度数与弧度数的对应关系

度0°1°30°45°60°90°120°135°150°180°270°360°

弧度0

π

180

π

6

π

4

π

3

π

2

2π

3

3π

4

5π

6

π

3π

2

2π

已知r为扇形所在圆的半径，n为圆心角的度数，α为圆心角的弧度数.

角度制弧度制

弧长公式l＝|n|πr

180°

l＝|α|r

扇形面积公式S＝|n|πr2

360°S＝

1

2l·r＝

1

2|α|r

2

判断(正确的打“√”，错误的打“×”)

(1)“度”与“弧度”是度量角的两种不同的度量单位．()

(2)1度的角是周角的

1

360，1弧度的角是周角的

1

2π.()

(3)根据弧度的定义，180°一定等于π弧度．()

(4)不论是用角度制还是用弧度制度量角，角的大小均与圆的半径长短有关．()

【解析】(1)正确．

(2)正确.1度的角是周角的

1

360

，1弧度的角是周角的1

2π.

(3)正确．根据弧度的定义，180°一定等于π弧度．

(4)错误．根据角度制与弧度制的定义，无论是用角度制还是用弧度制度量角，角的大小均与圆的半径长短无关，而是与弧长和半径的比值有关．

【答案】(1)√(2)√(3)√(4)×

[质疑·手记]

预习完成后，请将你的疑问记录，并与“小伙伴们”探讨交流：

疑问1：_________________________________________________________ 解惑：___________________________________________________________ 疑问2：_________________________________________________________ 解惑：___________________________________________________________ 疑问3：_________________________________________________________ 解惑：___________________________________________________________

[小组合作型]

弧度制与角度制的互

化

将下列角度与弧度进行互化．

(1)20°；(2)－15°；(3)7π

12；(4)－

11

5π.

【精彩点拨】本题主要考查角度与弧度的换算．直接套用角度与弧度的换

算公式，即度数×π

180＝弧度数，弧度数×180°

π

＝度数．

【自主解答】(1)20°＝20π180

＝π

9.

(2)－15°＝－15

180π＝－

π

12.

(3)7

12π＝

7

12×180°＝105°.

(4)－11

5π＝－

11

5×180°＝－396°.

角度制与弧度制互化的策略1．原则

牢记180°＝π rad.充分利用1°＝π180 rad 和1 rad ＝180°

π进行换算． 2．方法

设一个角的弧度数为α，角度数为n .则α rad ＝α·180°π；n °＝n ·

π180 rad. 3．注意事项

(1)将角度化为弧度，当角度中含有“分”“秒”单位时，应先将它们统一转化为“度”，再利用1°＝

π

180

rad 化为弧度便可． (2)以弧度为单位表示角时，常把弧度写成多少π的形式，如无特殊要求，不必把π写成小数．

[再练一题]

1．将112°30′化为弧度，将－5

12π化为度.

【导学号：66470003】

【解】 112°30′＝112.5°＝112.5×π180＝5π8rad ，又1 rad ＝180°π，∴－512π rad ＝－512π×180°

π＝－75°.

用弧度制表示终边相同的角

几象限角；

(2)在0°～720°范围内，找出与角2π

5终边相同的角．

【精彩点拨】 (1)把角度换算为弧度，表示成2k π＋α(k ∈Z )的形式即可求解；

(2)把弧度换算为角度，写出与其终边相同的角，调整k 使待求角在[0°，720°)