测量误差及数据处理(7)
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《误差理论与数据处理(苐7版)》费业泰 第1章 绪论
最大相对误差为
xm xm r s% （公式2） x x x
选定仪表后，被测量的值越接近于标 称范围（或量程）上限，测量的相对 误差越小，测量越准确
合肥工业大学
误差理论与数据处理
一、误差的定义及表示法 【例1-3 】
检定一只2.5级、量程为100V的电压表，发现在 50V处误差最大，其值为2V，而其他刻度处的误差均 小于2V，问这只电压表是否Байду номын сангаас格？ 由公式2，该电压表的引用误差为 【解】
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二、误差的来源 测量方法误差
指使用的测量方法不完善，或采用近似的计 算公式等原因所引起的误差 ，又称为理论误 差
如用均值电压表测量交流电压时，其读数是 按照正弦波的有效值进行刻度，由于计算公式 K FU U / 2 2 中出现无理数 和 2，故 取近似公式 1.11U ，由此产生的误差即为理 论误差。
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一、误差的定义及表示法
引用误差（Fiducial Error of a Measuring Instrument）
定义
xm rm xm
仪器某标称范围（或量程） 内的最大绝对误差
该标称范围（或量程）上限 引用误差
引用误差是一种相对误差，而且该相对误差是 引用了特定值，即标称范围上限（或量程）得到 的，故该误差又称为引用相对误差、满度误差。
r
L
L0
绝对误差 被测量的真值，常用约定 真值代替，也可以近似用 测量值 L 来代替 L0 相对误差
特点：
1） 相对误差有大小和符号。 2） 无量纲，一般用百分数来表示。
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测量误差和数据处理的意义与方法教程
（1）测量不适用于标称特性； （2）测量意味着量的比较并包括实体的计数； （3）测量的先决条件是对测量结果预期用途相适 应的量的描述、测量程序以及根据规定测量程序 进行操作的经校准的测量系统。
概
述
计量器具出厂检验评定是否合格所 1、测量结果由测得值及有关其可信程度的信息组成 得到的测得值； 测量得到的仅仅是被测量的估计 人们一般在使用合格的计量器具进 值，其可信程度由测量不确定度 2、对于某些用途而言，如果认为测量不确定度可以忽 行测量中，所得到的测得值都是测 来定量表示。因此通常情况下， 略不计，则测量结果可以仅用被测量的估计值表示，也 量结果，都不需要附有测量不确定 测量结果表示为被测量的估计值 就是此时测量结果可表示为单个测得的量值。在许多领 度信息，如在医院测量体温，知道 域中这是表示测量结果的常用方式 及其测量不确定度，必要时还要 多少度即可，不会再说体温计测得 给出不确定度的自由度。 3、对于间接测量，被测量的估计值是由各直接测量的 值的测量不确定度是多少。 输入量的量值经计算获得的，其中各直接测量的量值的 单个测得的量值或对重复测量的算 不确定度都会对被测量的测量结果的不确定度有贡献 术平均值、经修正或未经修正都是 4、在传统文献和VIM的以前版本中，测量结果定义为赋 测得值，均代表测量结果的量值。 予被测量的量值，并根据上下文说明是指示值、未修正 结果还是已修正结果。
举
例
设某一被测电流约为70mA，现有两块表， 一块是0.1级，标称范围为0～300mA；另 一块是0.2级，标称范围为0 ～ 100mA， 问采用哪块表测量准确度高? 对第一块表：
r (rmax x N ) / x (0.1% 300) / 70 0.43%
对第二块表
测量误差与数据处理
ε=n lim ∞
∑(x −m)
i=1 i
n
2
t
sx =
x
(xi − x)2 ∑
i=1
n
−
n
n −1
实验中先用贝塞尔公式计算测量列的标准偏差,然后,用t分布因 子对标准偏差进行修正,从而获得测量列的标准偏差.实验中常用 的t因子如表: 当n>6时,ε≈s 证明见后 ε=sχT0.683统误差大
准确度高
正确度好但精密度差 正确度好但精密度
不确定度(uncertainty) 不确定度
不确定度是测量结果带有的一个参数,用以表征合理赋予被测量值的分散性.不确定度提
供了测量分散范围的一个量度,它以很大的可能性包含了真值.它包含有A类不确定 度分量(随机误差统计分析所获)和B类不确定度分量(非统计方法所获).
δ仪
-δ仪 δ
Δ仪
均匀分布
对于正态分布:仪器不确定度 对于正态分布 仪器不确定度 u仪与仪器误差限的关系为 与仪器误差限的关系为:u 仪=kp×δ仪/C 为置信因子, kp为置信因子,在一倍标准偏 差下的置信概率0.683,C=3, 差下的置信概率0.683,C=3, 故uB=δ仪/3.
综上所述,所谓 类不确定度应由贝塞尔公式 算出有限次测量的标准偏差,然后 综上所述 所谓A类不确定度应由贝塞尔公式 算出有限次测量的标准偏差 然后 所谓 类不确定度应由贝塞尔公式S算出有限次测量的标准偏差 用平均标准偏差S 作为A类不确定度 类不确定度u 再由u 乘以因子t 用平均标准偏差 X作为 类不确定度 A = S X 再由 A乘以因子 p来求得扩展不 n 确定度UA.所以 确定度 所以: UA=uA×tP 所以 B类不确定度的评估 类不确定度的评估: 类不确定度的评估
大学物理实验—误差及数据处理
误差及数据处理物理实验离不开测量，数据测完后不进行处理，就难以判断实验效果，所以实验数据处理是物理实验非常重要的环节。
这节课我们学习误差及数据处理的知识。
数据处理及误差分析的内容很多，不可能在一两次学习中就完全掌握，因此希望大家首先对其基本内容做初步了解，然后在具体实验中通过实际运用加以掌握。
一、测量与误差1. 测量概念：将待测量与被选作为标准单位的物理量进行比较，其倍数即为物理量的测量值。
测量值：数值+单位。
分类：按方法可分为直接测量和间接测量；按条件可分为等精度测量和非等精度测量。
直接测量：可以用量具或仪表直接读出测量值的测量，如测量长度、时间等。
间接测量：利用直接测量的物理量与待测量之间的已知函数关系，通过计算而得到待测量的结果。
例如，要测量长方体的体积，可先直接测出长方体的长、宽和高的值，然后通过计算得出长方体的体积。
等精度测量：是指在测量条件完全相同（即同一观察者、同一仪器、同一方法和同一环境）情况下的重复测量。
非等精度测量：在测量条件不同（如观察者不同、或仪器改变、或方法改变，或环境变化）的情况下对同一物理量的重复测量。
2.误差真值A：我们把待测物理量的客观真实数值称为真值。
一般来说，真值仅是一个理想的概念。
实际测量中，一般只能根据测量值确定测量的最佳值，通常取多次重复测量的平均值作为最佳值。
误差ε：测量值与真值之间的差异。
误差可用绝对误差表示，也可用相对误差表示。
绝对误差＝测量值－真值，反应了测量值偏离真值的大小和方向。
为了全面评价测量的优劣, 还需考虑被测量本身的大小。
绝对误差有时不能完全体现测量的优劣, 常用“相对误差”来表征测量优劣。
相对误差＝绝对误差/测量的最佳值×100%分类：误差产生的原因是多方面的，根据误差的来源和性质的不同，可将其分为系统误差和随机误差两类。
（1）系统误差在相同条件下，多次测量同一物理量时，误差的大小和符号保持恒定，或按规律变化，这类误差称为系统误差。
互换性与技术测量 测量误差及数据处理
L L 2 t2 20 - 1 t1 20
测量误差的来源.4
（4）人为误差
指测量人员的主观因素（技术熟练程度、疲 劳程度、测量习惯等）引起的误差。 总之，产生误差的因素很多，分析时应找出 主要因素，采取相应措施，设法消除减小其 影响，以保证测量结果的精确。
二、测量误差的分类及数据处理
0
100%
xi
100%
上例千分尺测量的相对误差为
0.007 100% 0.02% 35.012
注解1
在实际测量中，虽真值不能得到，但往往要
求分析或估算测量误差的范围，即求出真值 必落在测得值附近的最小范围，称之为测量 极限误差δlim。
它应满足
x-︱δlim︱≤μ0≤x+︱δlim︱
（1）绝对误差（Δ）
是指被测量的实际值x与真值μ0之差。 Δ=x -μ0 绝对误差是代数值，即它可能是正值、 负值或零。
如千分尺测得某轴35.005mm，高精度测量结 果35.012mm（看作是约定真值），千分尺 测量的绝对误差为-0.007mm。
（2）相对误差（ε）
定义：绝对误差的绝对值与被测量的真 值（或约定测得值xi代替）之比。
指在一定的条件下进行多次测量时，各测得 值与其真值的一致程度。 表示系统误差和随机误差对测量结果的综 合影响。
(a) (b) 靶示测量精度与测量误差 (c) (d)
精密度低 正确度低
精密度高 正确度高
四、等精度直接测量列的数据处理
等精度测量是指采用相同的测量基准、
测量工具与测量方法，在相同的测量 环境下，由同一个测量者进行的测量。
实际测量，被测真值μ0未知，δi也未知，故 无法求出标准偏差ζ。 假设有测量列x1、x2、……xn，则有 ① 算术平均值 x1 x2 ...... xn 1
《误差理论与数据处理(第7版)》费业泰习题解答
误差理论与数据处理》习题及参考答案（第七版）第一章绪论1 — 5测得某三角块的三个角度之和为180°00' 02” ,试求测量的绝对误差1-8在测量某一长度时，读数值为 2.31m ，其最大绝对误差为 20 m ，试求其最大相对误差。
8.66 10-4%1-10检定2.5级（即引用误差为 2.5%）的全量程为100V 的电压表，发现 50V 刻度点的示值误差 2V 为最大误差，问该电压表是否合格？I 1 I 2 所以L 2=80mm 方法测量精度高。
1 — 13多级弹导火箭的射程为 10000km 时，其射击偏离预定点不超过0.1km ，优秀射手能在距离 50m 远处准确地射中直径为 2 cm 的靶心，试评述哪一个射和相对误差 解： 绝对误差等于: 相对误差等于: 180°00 02 180o 2222 180o 180 60 60 6480000.00000308641 0.000031%相对误差max绝对误差max测得值 100%20 10-62.31 100%最大引用误差某量程最大示值误差测量范围上限100%2100100% 2% 2.5%该电压表合格 1-12用两种方法分别测量L1=50mm L2=80mm 测得值各为50.004mm,80.006mm 。
试评定两种方法测量精度的高低。
相对误差 L 1：50mmI 150.004 50 50 100% 80.006 8080100% 0.008% 0.0075%击精度高? 解：多级火箭的相对误差为： ----------------------------0 10.00001 0.001% 10000射手的相对误差为：1cm°.°1m 0.0002 0.002% 50m 50m多级火箭的射击精度高。
1-14若用两种测量方法测量某零件的长度L1=110mm 其测量误差分别为11 m和9 m ;而用第三种测量方法测量另一零件的长度L2=150mm其测量误差为 12 m ，试比较三种测量方法精度的高低。
3.2测量误差和数据处理
若误差落在区间（-∞，+ ∞ ）之中，则其概率 p=1； 若误差落在（-δ，+δ ）之中，则上式可改写为：
将上式进行变量置换，设： 则： =2Φ(t)
在实践中常认为δ=±3σ的概率约等于1， 从而将±3σ 称为随机误差的极限误差 随机误差的极限误差。 随机误差的极限误差 即：
δlim=±3σ
算术平均值的极限误差： 算术平均值的极限误差：δlimL=±3σ L
——若某一|υi|>3σ ，则该残余误差为粗大误差，应剔除。 该准则主要适有用于服从正态分布的误差，且重复测量 次数又比较多的情况。
（2）狄克逊准则 ） （3）格罗布斯准则 ） （4）t检验法等 ） 检验法等
§3.2.6 等精度测量结果的处理
步骤如下： （1）判断有无系统误差存在 （2）求算术平均值 （3）计算残余误差 （4）计算标准偏差 σ （5）判断粗大误差并将其剔除 |υ ∣≤3σ （6）求算术平均值的标准偏差 测量结果的表达式： （7）测量结果的表达式： 单次测量时： 单次测量时： L= li±3σ 多次测量时： 多次测量时： 例：（见书P.60）
二、随机误差的评定指标 1．算术平均值 ．
对某量进行等精度测量时，由于随机误差的存在，其 获得的测量值不完全相同，此时应以其算术平均值作为最 后的测量结果。即：
由正态分布的性质④可知，当测量次数ｎ增大时，算术平均 值愈趋近于真值。因此——用算术平均值作为最后的测
量结果比用其它任一测量值作为测量结果更可靠。
1、测量器具误差 、 2、方法误差 、 3、标准件误差 、 4、环境误差 、 5、人为误差 、
§ 3.2.2
1．误差分类 ．
误差的分类
(1)系统误差 系统误差 在相同条件下，多次测量同一量值时，误差的绝对值和符号 保持不变或按一定规律变化着的误差。 系统误差可分为定值系统误差 变值系统误差 定值系统误差和变值系统误差 定值系统误差 变值系统误差。 (2)随机误差 随机误差 在相同条件下，多次测量同一量值时，绝对值和符号以不可 预定的方式变化着的误差。误差的出现是无规律可循的。 (3)粗大误差 粗大误差 由于测量不正确等原因引起的大大超出规定条件下预计误差 限的那种误差。
电气测试4 2_6测量数据处理 7误差合成与分配
6
1
2017-02-17
例 2-12
用一块 U m =100V，s＝0.5级电压表进行测量，其示值为 85.35V，试确定有效数字位数。 解：该量程的最大误差为： •
2.6.5 等精密度测量结果的处理步骤
对某一被测量进行等密度测量时，其测量值可能同时含 有随机误差、系统误差和粗大误差。为了合理估算其测 量结果，写出正确的测量报告，必须对测量数据进行分 析和处理。 数据处理的基本步骤如下： ① 用修正值等方法，减小恒值系统误差的影响。 n ② 求算术平均值 x 1 x i n i 1 式中，x 是指可能含有粗差在内的平均值。
i xi x
i 1
i 0
n
若 i 的代数和约等于零，说明 的代数和约等于零 说明 x 的计算是正确的；否则 的计算是正确的 否则 说明计算 x 时有错，要重新计算。 ˆ 。利用贝赛尔公式 ④ 求标准差的估计值
ˆ
1 n 2 i n 1 i 1
9
10
ˆx ⑧ 求算术平均值标准差估计值
3
2.6.2 有效数字的位数
• 所谓有效数字的位数，是指在一个数值中，从第一个非零 的数算起，到最末一位数为止，都叫有效数字的位数。例 如，0.27是两位有效数字；10.30和2.102都是四位有效数 字。 • 可见，数字“0”在一个数值中，可能是有效数字，也可能 不是有效数字。
4
2.6.3 有效数字的运算规则 • 在数据处理中，常需要对一些精度不相等的数进 行四则运算。为了使计算简单准确，可首先将参 加 算的各个数 以精度最差的 个为基准进行 加运算的各个数，以精度最差的一个为基准进行 舍入处理（也可多保留一位欠准数字），计算结 果也按精度最差的那个数为基准作舍入处理（也 可以多保留一位或两位欠准数字）。这样使计算 简便准确。
1
2017-02-17
例 2-12
用一块 U m =100V，s＝0.5级电压表进行测量，其示值为 85.35V，试确定有效数字位数。 解：该量程的最大误差为： •
2.6.5 等精密度测量结果的处理步骤
对某一被测量进行等密度测量时，其测量值可能同时含 有随机误差、系统误差和粗大误差。为了合理估算其测 量结果，写出正确的测量报告，必须对测量数据进行分 析和处理。 数据处理的基本步骤如下： ① 用修正值等方法，减小恒值系统误差的影响。 n ② 求算术平均值 x 1 x i n i 1 式中，x 是指可能含有粗差在内的平均值。
i xi x
i 1
i 0
n
若 i 的代数和约等于零，说明 的代数和约等于零 说明 x 的计算是正确的；否则 的计算是正确的 否则 说明计算 x 时有错，要重新计算。 ˆ 。利用贝赛尔公式 ④ 求标准差的估计值
ˆ
1 n 2 i n 1 i 1
9
10
ˆx ⑧ 求算术平均值标准差估计值
3
2.6.2 有效数字的位数
• 所谓有效数字的位数，是指在一个数值中，从第一个非零 的数算起，到最末一位数为止，都叫有效数字的位数。例 如，0.27是两位有效数字；10.30和2.102都是四位有效数 字。 • 可见，数字“0”在一个数值中，可能是有效数字，也可能 不是有效数字。
4
2.6.3 有效数字的运算规则 • 在数据处理中，常需要对一些精度不相等的数进 行四则运算。为了使计算简单准确，可首先将参 加 算的各个数 以精度最差的 个为基准进行 加运算的各个数，以精度最差的一个为基准进行 舍入处理（也可多保留一位欠准数字），计算结 果也按精度最差的那个数为基准作舍入处理（也 可以多保留一位或两位欠准数字）。这样使计算 简便准确。
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我国电工仪表共分七级：0.1，0.2，0.5，1.0，1.5，2.5 及5.0。如果仪表为S级，则说明该仪表的最大引用误差不 超过S% ，则仪表在测量点的最大相对误差
x
xm x
S%
在使用这类仪表测量时，应选择适当的量程，使示值尽可 能接近于满度值，指针最好能偏转在不小于满度值2/3以上 的区域。
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2.2 测量误差的分类和测量结果的表征
本节要求： （1）掌握测量误差的分类，随机误差、系统误差、 粗大误差的概念和来源。 （2）了解准确度、精密度、精确度，及它们与系 统误差、随机误差、总误差的关系。
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2.2 测量误差的分类和测量结果的表征
2.2.1 测量误差的分类
➢ 根据测量误差的性质，测量误差可分为随机误差、系 统误差、粗大误差三类。
1.随机误差
➢ 定义: 在同一测量条件下（指在测量环境、测量人员、 测量技术和测量仪器都相同的条件下），多次重复测 量同一量值时（等精度测量），每次测量误差的绝对 值和符号都以不可预知的方式变化的误差，称为随机 误差或偶然误差，简称随差。
➢ 随机误差主要由对测量值影响微小但却互不相关的大 量因素共同造成。这些因素主要是噪声干扰、电磁场 微变、零件的摩擦和配合间隙、热起伏、空气扰动、 大地微震、测量人员感官的无规律变化等。
（2）影响误差：由于各种环境因素（温度、湿度、振动、电 源电压、电磁场等）与测量要求的条件不一致而引起的误差。
（3）理论误差和方法误差：由于测量原理、近似公式、测量 方法不合理而造成的误差。
（4）人身误差：由于测量人员感官的分辨能力、反应速度、 视觉疲劳、固有习惯、缺乏责任心等原因，而在测量中使用 操作不当、现象判断出错或数据读取疏失等而引起的误差。
x 100%
A0 相对误差是两个有相同量纲的量的比值，只有大小和符号，
没有单位。
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2.1.3 测量误差的表示方法（续）
实际相对误差： 示值相对误差：
A
x A
1用00实%际值A代替真值A0
x
x x
用测量值X
100%
代替实际值A
Байду номын сангаас
第8页
2.1.3 测量误差的表示方法（续）
（2）满度相对误差（引用相对误差，衡量仪表或仪器的准 确度）
分贝误差是用对数形式（分贝数）表示的一种相对误差，单位为分贝
（dB）。
电压增益的测得值为： A x
Vo Vi
误差为： AAx A
用对数表示为增益测得值的分贝值
分贝误差
Gx20lgAx(dB)
ΔA γd BG x -G 2l0 ( g 1 A) 2l0 ( g 1 γA )
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2.1.3 测量误差的表示方法（续）
（5）测量对象变化误差：测量过程中由于测量对象变化而使 得测量值不准确，如引起动态误差等。
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2.1.3 测量误差的表示方法
测量误差有绝对误差和相对误差两种表示方法。 1.绝对误差 （1）定义： 由测量所得到的被测量值与其真值之差，称
为绝对误差。 xxA0
x 有大小，又有符号和量纲
实际应用中常用实际值（约定真值）A（高一级以上的测量 仪器或计量器具测量所得之值）来代替真值。
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2.1.3 测量误差的表示方法（续）
[例] 某待测电流约为100mA，现有0.5级量程为 0～400mA和1.5级量程为0～100mA的两个电
流表，问用哪一个电流表测量较好？
➢解：用0.5级量程为0～400mA电流表测100mA时，
最大相对误差为
x1
xms% 4000.5% 2% x 100
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第2章 测量误差理论及数据处理
2.1 测量误差的基本概念 2.2 测量误差的分类和测量结果的表征2.3
测量误差的估计和处理 2.4 测量不确定度 2.5 测量数据处理
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2．1 （1.3）测量误差的基本概念
本节要求 （1）掌握测量误差的定义和误差的来源。 （2）掌握绝对误差和相对误差的定义和几种表示方法， 会计算相对误差和绝对误差。
绝对误差： xxA
绝对误差表明了被测量的测量值与实际值间的偏离 程度和方向。
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2.1.3 测量误差的表示方法（续）
（2）修正值 与绝对误差的绝对值大小相等，但符号相反的量值，称为
修正值
C xAx
测量仪器的修正值可以通过上一级标准的检定给出，修正 值可以是数值表格、曲线或函数表达式等形式。
➢ 用测量仪器在一个量程范围内出现的最大绝对误差 与该量程值（上限值－下限值）之比来表示的相对 误差，称为满度相对误差（或称引用相对误差）
x
m
m 100% xm
仪表各量程内绝对误差的最大值为：
xmmxm
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2.1.3 测量误差的表示方法（续）
电工仪表就是按引用误差 m 之值进行分级的。是仪表在工 作条件下不应超过的最大引用相对误差
2.1.1 测量误差的定义 测量的目的: 获得被测量的真值。
测量误差 : xxA
真值: 在一定的时间和空间环境条件下，被测 量本身所具有的真实数值。包括理论真值和约 定真值．
所有测量结果都带有误差 。
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2.1.2 测量误差的来源
（1）仪器误差：由于测量仪器及其附件的设计、制造、检定 等不完善，以及仪器使用过程中老化、磨损、疲劳等因素而 使仪器带有的误差。
第2章 测量误差理论及数据处理
研究误差理论的目的？ 1、充分利用测量数据，合理正确地处理数据，以
在给定的测量条件下得出被测量的最佳估计值。 2、根据数据处理的结果正确表示测量不确定度。 3、正确分析误差来源及规律，以便在测量中合理
地选择仪器、方法及环境，消除不利因素，完善 检测手段，提高测量精度。
➢用1.5级量程为0～100mA电流表测量100mA时的最
大相对误差为
x2
xmS%1001.5%1.5% x 100
结论：应选用1.5级量程为0～100mA电流表。不能片面追求 仪表的等级，应根据被测量的大小，兼顾仪表的满度值和级别。
第11页
2.1.3 测量误差的表示方法（续）
（3）（自己看）分贝误差——相对误差的对数表示
被测量的实际值
AxC
第6页
2.1.3 测量误差的表示方法（续）
2.相对误差（反映测量结果的准确程度）
➢ 一个量的准确程度，不仅与它的绝对误差的大小，而 且与这个量本身的大小有关。
例：测量足球场的长度和武汉市到黄石市的距离，若绝对 误差都为1米，测量的准确程度是否相同？
（1）相对真误差、实际相对误差、示值相对误差 相对（真）误差：绝对误差与被测量的真值之比