第五章测量误差及数据处理基本知识

◆测量与观测值
◆观测与观测值的分类
● 观测条件：
人、仪器、客观环境总称观测条件，它们 是引起观测误差的主要因素
● 等精度观测和不等精度观测 ● 直接观测和间接观测 ● 独立观测和非独立观测
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§6.1 测量误差概述
◆ 测量误差及其来源
● 测量误差（真误差=观测值-真值） l X
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(1) f1x1(1) f2x2(1) fnxn(1)
对Z观测 了k次，
(2) f1x1(2) f2x2(2) fnxn(2)
(d)
有k个式
(k) f1x1(k) f2x2(k) fnxn(k)
对(d)式中的一个式子取平方：（i，j=1~n且i≠j）
设 xi有真误差 xi ，函数 Z 也产生真误差
对(a)全微分：
dZ
F x1
dx1
F x2
dx2
F xn
dxn
(b)
由于xi和是一个很小的量，可代替上式中的dxi 和dz ：
代入(b)得
F x1
x1
F x2
x2
F xn
xn
(c)
令
xi 的系数为 fi
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F xi
， (c)式为：
分析结果表明，当观测次数很多时，偶然 误差的出现，呈现出统计学上的规律性。而 且，观测次数越多，规律性越明显。
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用频率直方图表示的偶然误差统计：
频率直方图中，每一条形的面积表示误差出现在该区 间的频率k/n，而所有条形的总面积等于1。
计算该两点实地距离S及其中误差ms： 解：列函数式 S 1000 l
求全微分 dS 1000dl
mS 1000ml 1000 0.2 200mm 0.2m
中误差式 S 168.5m 0.2m
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2.线性函数的中误差 设有函数式 Z k1x1 k2 x2 kn xn
xix j K
(g)
由偶然误差的抵偿性知：
i j
lim xix j 0
n
n
(g)式最后一项极小于前面各项， 可忽略不计，则：
2
K
f12
x12 K
f
2 2
x22 K
f
2 n
xn2 K
即
mz2
f12mx21
f
m 2 2
2 x2
f
2 n
mx2n
பைடு நூலகம்
(h)
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衡量精度的标准
• 在测量工作中，常采用以下几种标准评定测 量成果的精度。 – 中误差 – 相对中误差 – 极限误差
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§6.4 衡量精度的指标
1.方差与标准差
由正态分布密度函数
y
x
1
e
xa 2
2 2
n
n
观测次数n有限时，用中误差m表示偶然误差的离散情形：
m 21 22 2n []
n
n
上式中，偶然误差为观测值 与真值X之差：
i= i - X
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P123表5-2
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m1=2.7是第一组观测值的中误差； m2=3.6是第二组观测值的中误差。
2 lim 21 22 2n lim [2 ]
n
n
n n
称为标准差：
lim
[2 ] lim
[]
n n
n n
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测量工作中，用中误差作为衡量观测值精度的标准。
中误差:
观测次数无限多时，用标准差 表示偶然误差的离散情形：
lim []
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偶然误差具有正态分布的特性
当观测次数n无限增多(n→∞)、误差区间d无限缩小 (d→0)时，各矩形的顶边就连成一条光滑的曲线， 这条曲线称为 “正态分布曲 线”，又称为 “高斯误差分 布曲线”。 所以偶然误差 具有正态分布 的特性。
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§6.2 测量误差的种类
测量误差分为：粗差、系统误差和偶然误差
1.粗差(错误)——超限的误差
2.系统误差 —— 误差出现的大小、符号相同，或按
规律性变化，具有积累性。
例： 误差
处理方法
钢尺尺长误差ld 钢尺温度误差lt
计算改正 计算改正
水准仪视准轴误差I 操作时抵消(前后视等距)
经纬仪视准轴误差C 操作时抵消(盘左盘右取平均)
图6-1 误差统计直方图
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衡量精度的标准
• 测量成果中都不可避免地含有误差，在测量工作中， 使用“精度”来判断观测成果质量好坏的。所谓精 度，就是指偶然误差分布的密集或离散程度。误差 分布密集，误差就小，精度就高；反之，误差分布 离散，误差就大，精度就低。
• 一组观测值对应一种分布，也就代表这组观测值精 度相同。不同组观测值，分布不同，精度也就不同。 一组观测值具有相同的分布，但偶然误差各不相同。
解： K1=—01.00—02 =5—00—10 ； K2= —02.00—02 = —101—000
K2<K1，所以距离S2精度较高。
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§6.5 误差传播定律
一.一般函数的中误差
设有函数： Z F(x1, x2, , xn )
(a)
xi为独立观测值
|容|=3|m| 或 |容|=2|m|
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3.相对误差(相对中误差)
——误差绝对值与观测量之比。
用于表示距离的精度。 用分子为1的分数表示。 分数值较小相对精度较高；分数值较大相对精度较低。
例2：用钢尺丈量两段距离分别得S1=100米,m1=0.02m； S2=200米,m2=0.02m。计算S1、S2的相对误差。
解：对上式全微分：
由中误差式得：
dz
4 14
dx1
9 14
dx2
1 14
dx3
mZ f1mx1 2 f2mx2 2 f3mx3 2
测量的基本任务
高差测量
1.水准仪的使用及其普通 水准测量步骤
2.水准测量成果计算表 （闭合、附合）按距离 调整、按测站数调整
3.水准仪的检校。重点是i 角的校验与校正
角度测量
距离测量
1.测回法测水平角，记录、 计算过程
2.竖直角的观测，记录、计 算
3.盘左、盘右观测法的好处
1.钢尺量距 2.视距测量计算公式 3.直线定向与直线定线
全微分 dz k1dx1 k2dx2 kndxn
中误差式 mZ k12m12 k22m22 kn2mn2 例：设有某线性函数
Z
4 14
x1
9 14
x2
1 14
x3
其中 x1、x2 、x3分别为独立观测值，它们的中误差分
别为m1 3mm, m2 2mm, m3 6mm求Z的中误差 mZ 。
频率直方图的中间高、两边低，并向横轴逐渐逼近， 对称于y轴。
各条形顶边中点 连线经光滑后的曲 线形状，表现出偶 然误差的普遍规律
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图6-1 误差统计直方图
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◆从误差统计表和频率直方图中，可以归纳出偶然误 差的四个特性：
3.偶然误差的特性
(1)在一定的观测条件下，偶然误差的绝对值不会超过一定 的限值(有界性)；
前面章节小结（重点掌握内容）
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测量学
第6章
测量误差及数据处理的基本知识
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本章主要内容
1
测量误差的概念
2
评定精度的标准
3
观测值的精度评定
4
误差传播定律
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§5.1 测量误差概述
正态分布曲线(a=0)
2
式中 a 、 为常数；e =2.72828…
令： x a ，上式为：
x=
y f ()
1
2
e 2 2
2
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标准差 的数学意义
y f ()
1
e
2
2 2
2
y 较小 较大
上式中， 2称为方差：
表示的 x=
离散程度
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n
2
f12 x12
f
2 2
x22
f
2 n
xn2
2
fi f j xix j (f)
(f)式两边除以K，得(g)式：
i, j1
i j
<<前面各项
2
K
f12
x12 K
f