广东省阳江中学高中数学必修4导学案 第二章《平面向量》复习课

必修4平面向量（章节复习）

【课前导学】

一、知识结构：

二、知识梳理：

（一）向量的概念与几何运算

1．向量的有关概念

⑴向量：既有又有的量叫向量．

零向量：的向量叫零向量．单位向量：的向量，叫单位向量．

⑵平行向量（共线向量）叫平行向量，也叫共线向量．规定零向量与任一向量．

⑶相等向量：且的向量叫相等向量．

2．向量的加法与减法

⑴向量的加法法则：（Ⅰ）三角形法则：（四字概括）

（Ⅱ）平行四边形法则：（四字概括）

⑵向量的减法法则：三角形法则：由的终点指向的终点。

3．实数与向量的积

⑴实数λ与向量的积是一个向量，记作λ．它的长度与方向规定如下：

① | λ|＝．

②当λ＞0时，λ的方向与的方向；

当λ＜0时，λ的方向与的方向；

当λ＝0时，λ．

⑵λ(μ)＝．(λ＋μ)＝．λ(＋b)＝．

⑶共线向量定理：向量b与非零向量共线，当且仅当存在唯一个实数λ使得．

4．平面向量基本定理：如果1e、2e是同一平面内的两个不共线的向量，那么对于这一平面内的任一向量，有且只有一对实数

λ、2λ，使得．

1

（二）平面向量的坐标运算

1．平面向量的坐标表示

分别取与x轴、y轴方向相同的两个单位向量i、j作为基底，对于一个向量a，有且只有一对实数x、y，使得＝x i＋y j．我们把(x、y)叫做向量的直角坐标，记作．并且||＝．

P x y，则OP=

2．向量的坐标等于起点为的向量的终点坐标，即，若(,)

3．平面向量的坐标运算：

（1）若＝(x1、y1)，＝(x2、y2)，λ∈R，则：

＋b＝－b＝λ＝

（2）已知A(x1、y1)，B(x2、y2)，则＝．

4．两个向量＝(x1、y1)和b＝(x2、y2)共线的充要条件是．

P P的中点P的坐标为。

5．设P1（x1、y1），P2（x2、y2），线段

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（三）平面向量的数量积

1．两个向量的夹角：已知两个非零向量和b，过O点作＝，＝b，则∠AOB＝θ (0°≤θ≤180°) 叫做向量与b的．当θ＝0°时，与b；当θ＝180°时，与b；如果与b的夹角是90°，我们说a与b垂直，记作．

2．两个向量的数量积的定义：已知两个非零向量与b，它们的夹角为θ，则数量叫做与b的数量积（或内积），记作·b，即·b＝．规定零向量与任一向量的数量积为0．若＝(x1, y1)，b＝(x2, y2)，则·b＝．

3．向量的数量积的几何意义：

|b|cosθ叫做向量b在方向上的投影(θ是向量与b的夹角)．

a·b的几何意义是，数量a·b等于．

4．向量数量积的性质：设、b都是非零向量，是单位向量，θ是与b的夹角．

⑴·＝·＝⑵⊥b⇔

⑶当与b同向时，·b＝；当与b反向时，·b＝．

⑷cosθ＝．⑸ |·b|≤

5．向量数量积的运算律：

N

A B

D

M C

⑴ a ·b ＝ ；⑵ (λa )·b ＝ ＝a ·(λb ) ⑶ (a ＋b )·c ＝

【预习自测】

1. 若A （2，-1），B （-1，3），则AB 的坐标是 ( ) A.（1，2） B.（-3，4） C. （3，-4） D. 以上都不对 2、化简下列各式：

（1）()()AB CD AC BD ---= ；（2）MP MN -－ON QM += ； （3）BA CO BO OC OA -+++= ． （4）)(MB AB ++()BO BC OM ++=__________ 3. △ABC 中,BC =a , AC =b ,则AB 等于 ( )

A.a b +

B. ()a b -+

C. a b -

D. b a - 4. 若|a |=1,| b |=2,(a b -)⊥a ，则a 与b 的夹角为 ( ) A.300 B.450 C.600 D.750

5.一艘船从A 点出发以h km /32的速度向垂直于对岸的方向行驶，同时河水的流速为h km /2，则船实际航行的速度的大小和方向是 .

【课中导学】

例1：如图，

ABCD 中，点M 是AB 的中点，点N 在BD 上，且 BN =

3

1

BD ，a AB AD b ==设，

(1)试用a 与 b 表示出MC ， (2)求证：M 、N 、C 三点共线．

例2. 已知：→

a 、→

b 、→

c 是同一平面内的三个向量，其中→

a =（1，2） （1）若|→

c |=2

5，且→c ‖→a ，求→

c 的坐标

（2）若|→

b |=2

5

，且→a +2→b 与2→a -→b 垂直，求→a 与→b 的夹角θ.

例3、已知点O （0，0），A （1，2），B （4，5）,P 为一动点，及t +=， （1）t 为何值时，P 在x 轴上？P 在y 轴上？P 在第二象限？

（2）四边形OABP 能否成为平行四边形？若能，求出相应的t 值；若不能，请说明理由。

【课后作业】

1. 已知A(2,-2),B(4,3),向量p 的坐标为(2k-1,7)且p ∥,则k 的值为 ( )

A.109-

B.109

C.1019-

D.10

19 2. 已知AB AD AC +=，且,AC a BD b ==，用,a b 表示

,AB BD ==

3、已知(1,0),(1,1)a b ==，a b λ+与a 垂直，则λ=

4. 已知|a |=3，|b |=4，且|a －b ，则a 与b

的夹角为 ．

5、.已知△ABC 中,A(1,1),B(4,1),C(4,5)，则cos A =