2020-2021学年山东省泰安市宁阳一中高二(上)期末数学试卷 (解析版)

2020-2021学年山东省泰安市宁阳一中高二（上）期末数学试卷一、单项选择题（共8小题）.1．抛物线的准线方程是（）A．B．C．D．2．若直线l的方向向量为，平面α的法向量为，则能使l∥α的是（）A．＝（1，2，1），＝（1，0，1）B．＝（0，1，0），＝（0，3，0）C．＝（1，﹣2，3），＝（﹣2，2，2）D．＝（0，2，1），＝（﹣1，0，﹣1）3．已知双曲线，则（）A．双曲线C的焦距为B．双曲线C的虚轴长是实轴长的6倍C．双曲线与双曲线C的渐近线相同D．直线y＝3x与双曲线C有公共点4．以点（3，﹣1）为圆心，且与直线x﹣3y+4＝0相切的圆的方程是（）A．（x﹣3）2+（y+1）2＝20B．（x﹣3）2+（y+1）2＝10C．（x+3）2+（y﹣1）2＝10D．（x+3）2+（y﹣1）2＝205．如图所示，在四面体O﹣ABC中，，，，点M在OA上，且＝2，N为BC的中点，则＝（）A．﹣+B．﹣++C．D．6．已知四棱锥P﹣ABCD中，，，，则点P到底面ABCD的距离为（）A．B．C．1D．27．已知数列{a n}中，a1＝2，a n＝1﹣（n≥2），则a2021等于（）A．﹣1B．﹣C．D．28．已知椭圆和双曲线有共同的焦点F1，F2，P，Q分别是它们在第一象限和第三象限的交点，且∠QF2P＝60°，记椭圆和双曲线的离心率分别为e1，e2，则等于（）A．4B．2C．2D．3二、多项选择题（共4小题）.9．点P在圆C1：x2+y2＝1上，点Q在圆C2：x2+y2﹣6x+8y+24＝0上，则（）A．|PQ|的最小值为0B．|PQ|的最大值为7C．两个圆心所在的直线斜率为﹣D．两个圆相交弦所在直线的方程为6x﹣8y﹣25＝010．在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是正方形，PA⊥底面ABCD，PA＝AB，截面BDE 与直线PC平行，与PA交于点E，则下列判断正确的是（）A．E为PA的中点B．PB与CD所成的角为C．BD⊥平面PACD．三棱锥C﹣BDE与四棱锥P﹣ABCD的体积之比等于1：411．已知数列{a n}为等差数列，其前n项和为S n，且2a1+4a3＝S7，则以下结论正确的有（）A．a14＝0B．S14最小C．S11＝S16D．S27＝012．在平面直角坐标系xOy中，已知双曲线C：（a＞0，b＞0）的离心率为，抛物线的准线过双曲线的左焦点，A，B分别是双曲线C的左，右顶点，点P 是双曲线C的右支上位于第一象限的动点，记PA，PB的斜率分别为k1，k2，则下列说法正确的是（）A．双曲线C的渐近线方程为y＝±2xB．双曲线C的方程为C．k1k2为定值D．存在点P，使得k1+k2＝2三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13．设直线l1：ax+3y+12＝0，直线l2：x+（a﹣2）y+4＝0．当a＝时，l1⊥l2．14．已知向量＝（1，1，0），＝（﹣1，0，2），且k+与2﹣的夹角为钝角，则实数k的取值范围为．15．以抛物线C的顶点为圆心的圆交C于A，B两点，交C的准线于D，E两点．已知|AB|＝4，|DE|＝2，则C的焦点到准线的距离为．16．在我国古代著名的数学专著《九章算术》里有﹣段叙述：今有良马与驽马发长安至齐，齐去长安一千一百二十五里，良马初日行一百零三里，日增十三里：驽马初日行九十七里，日减半里，良马先至齐，复还迎驽马，二马相逢，问：需日相逢．四、填空题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17．已知直线l过点，且其倾斜角是直线的倾斜角的．（1）求直线l的方程；（2）若直线m与直线l平行，且点P到直线m的距离是3，求直线m的方程．18．已知圆C的圆心在直线y＝﹣2x上，且过点（2，﹣1），（0，﹣3）．（1）求圆C的方程；（2）已知直线l经过原点，且被圆C截得的弦长为2，求直线l的方程．19．在①S4＝20，②S3＝2a3，③3a3﹣a4＝b2，这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并作答．问题：已知等差数列{a n}的前n项和为S n，{b n}是各项均为正数的等比数列，a1＝b4，_____，b2＝8，b1﹣3b3＝4是否存在正整数k，使得数列的前k项和？若存在，求k的最小值；若不存在，说明理由．20．如图，在三棱锥P﹣ABC中，AB＝BC＝2，PA＝PB＝PC＝AC＝4，O为AC的中点．（1）证明：PO⊥平面ABC；（2）若点M在棱BC上，且二面角M﹣PA﹣C为30°，求PC与平面PAM所成角的正弦值．21．我国某西部地区进行沙漠治理，该地区有土地1万平方公里，其中70%是沙漠，从今年起，该地区进行绿化改造，每年把原有沙漠的16%改造为绿洲，同时原有绿洲的4%被沙漠所侵蚀又变成沙漠，设从今年起第n年绿洲面积为a n万平方公里．（1）求第n年绿洲面积a n与上一年绿洲面积a n﹣1（n≥2）的关系；（2）判断是否是等比数列，并说明理由；（3）至少经过几年，绿洲面积可超过60%？（lg2＝0.3010）22．已知椭圆的离心率为，且点在椭圆C上．（1）求椭圆C的方程；（2）设动直线l过椭圆C的右焦点F，且与椭圆C交于A，B两点．在x轴上是否存在定点Q，使得恒成立？若存在，求点Q的坐标；若不存在，请说明理由．参考答案一、单项选择题（共8小题）.1．抛物线的准线方程是（）A．B．C．D．解：因为抛物线的标准方程为：x2＝4y，焦点在y轴上；所以：2p＝，即p＝，所以：＝，∴准线方程y＝﹣，故选：A．2．若直线l的方向向量为，平面α的法向量为，则能使l∥α的是（）A．＝（1，2，1），＝（1，0，1）B．＝（0，1，0），＝（0，3，0）C．＝（1，﹣2，3），＝（﹣2，2，2）D．＝（0，2，1），＝（﹣1，0，﹣1）解：直线l的方向向量为，平面α的法向量为，则能使l∥α，只要满足即可，对于A：，对于B：、对于C：，对于D：．故选：C．3．已知双曲线，则（）A．双曲线C的焦距为B．双曲线C的虚轴长是实轴长的6倍C．双曲线与双曲线C的渐近线相同D．直线y＝3x与双曲线C有公共点解：由题意知，a＝1，b＝，∴c＝＝，∴双曲线C的焦距为2c＝2，即选项A错误；双曲线C的虚轴长为2b＝2，实轴长为2a＝2，∴虚轴长是实轴长的倍，即选项B 错误；双曲线C的渐近线方程为y＝±x，双曲线的渐近线方程为y＝±x，即选项C正确；联立，得x2＝﹣2，无解，∴直线y＝3x与双曲线C没有公共点，即选项D错误．故选：C．4．以点（3，﹣1）为圆心，且与直线x﹣3y+4＝0相切的圆的方程是（）A．（x﹣3）2+（y+1）2＝20B．（x﹣3）2+（y+1）2＝10C．（x+3）2+（y﹣1）2＝10D．（x+3）2+（y﹣1）2＝20解：r＝＝，所求圆的方程为（x﹣3）2+（y+1）2＝10．故选：B．5．如图所示，在四面体O﹣ABC中，，，，点M在OA上，且＝2，N为BC的中点，则＝（）A．﹣+B．﹣++C．D．解：连接ON，∵N是BC的中点，∴＝，∵＝2，∴＝，∴＝＝﹣＝﹣++，故选：B．6．已知四棱锥P﹣ABCD中，，，，则点P到底面ABCD的距离为（）A．B．C．1D．2解：四棱锥P﹣ABCD中，，，，设平面ABCD的法向量为＝（x，y，z），则，可得，不妨令x＝3，则y＝12，z＝4，可得＝（3，12，4）；则，在平面ABCD法向量上的射影就是这个四棱锥的高h，所以h＝|||cos＜，＞|＝||＝＝2；所以该四棱锥的高为2．故选：D．7．已知数列{a n}中，a1＝2，a n＝1﹣（n≥2），则a2021等于（）A．﹣1B．﹣C．D．2解：∵数列{a n}中，a1＝2，a n＝1﹣（n≥2），∴a2＝1﹣＝，a3＝1﹣＝﹣1，a4＝1﹣（﹣1）＝2，∴数列{a n}是以3为周期的周期数列，∵2021＝3×673+2，∴a2021＝a2＝．故选：C．8．已知椭圆和双曲线有共同的焦点F1，F2，P，Q分别是它们在第一象限和第三象限的交点，且∠QF2P＝60°，记椭圆和双曲线的离心率分别为e1，e2，则等于（）A．4B．2C．2D．3解：设椭圆的长半轴长为a1，双曲线的半实轴长为a2，P在双曲线的右支上，根据椭圆及双曲线的定义可得|PF1|+|PF2|＝2a1，|PF1|﹣|PF2|＝2a2，可得|PF1|＝a1+a2，|PF2|＝a1﹣a2，设|F1F2|＝2c，∠QF2P＝60°，四边形F1PF2Q是平行四边形，所以，∠F1PF2＝120°，在△PF1F2中由余弦定理得，4c2＝（a1+a2）2+（a1﹣a2）2﹣2（a1+a2）（a1﹣a2）cos 120°，化简得3a12+a22＝4c2，该式可化为：，结合e1＝，e2＝，∴则＝4．故选：A．二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得3分.9．点P在圆C1：x2+y2＝1上，点Q在圆C2：x2+y2﹣6x+8y+24＝0上，则（）A．|PQ|的最小值为0B．|PQ|的最大值为7C．两个圆心所在的直线斜率为﹣D．两个圆相交弦所在直线的方程为6x﹣8y﹣25＝0解：根据题意，圆C1：x2+y2＝1，其圆心C1（0，0），半径R＝1，圆C2：x2+y2﹣6x+8y+24＝0，即（x﹣3）2+（y+4）2＝1，其圆心C2（3，﹣4），半径r ＝1，圆心距|C1C2|＝＝5，则|PO|的最小值为|C1C2|﹣R﹣r＝3，最大值为|C1C2|+R+r＝7，故A错误，B正确；对于C，圆心C1（0，0），圆心C2（3，﹣4），则两个圆心所在的直线斜率k＝＝﹣，C错误，对于D，两圆圆心距|C1C2|＝5，有|C1C2|＞R+r＝2，两圆外切，不存在公共弦，D错误．故选：BC．10．在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是正方形，PA⊥底面ABCD，PA＝AB，截面BDE 与直线PC平行，与PA交于点E，则下列判断正确的是（）A．E为PA的中点B．PB与CD所成的角为C．BD⊥平面PACD．三棱锥C﹣BDE与四棱锥P﹣ABCD的体积之比等于1：4解：在A中，连结AC，交BD于点F，连结EF，则平面PAC∩平面BDE＝EF，∵PC∥平面BDE，EF⊂平面BDE，PC⊂平面PAC，∴EF∥PC，∵四边形ABCD是正方形，∴AF＝FC，∴AE＝EP，故A正确；在B中，∵CD∥AB，∴∠PBA（或其补角）为PB与CD所成角，∵PA⊥平面ABCD，AB⊂平面ABCD，∴PA⊥AB，在Rt△PAB中，PA＝AB，∴∠PAB＝，∴PB与CD所成角为，故B错误；在C中，∵四边形ABCD为正方形，∴AC⊥BD，∵PA⊥平面ABCD，BD⊂平面ABCD，∴PA⊥BD，∵PA∩AC＝A，∴BD⊥平面PAC，故C正确；在D中，设AB＝PA＝x，则＝，V C﹣BDE＝V E﹣BCD＝＝＝．∴V C﹣BDC：V P﹣ABCD＝＝1：4．故D正确．故选：ACD．11．已知数列{a n}为等差数列，其前n项和为S n，且2a1+4a3＝S7，则以下结论正确的有（）A．a14＝0B．S14最小C．S11＝S16D．S27＝0解：因为数列{a n}为等差数列，设其等差为d，由于2a1+4a3＝S7，即6a1+8d＝7a1+21d，即a1+13d＝a14＝0，故A正确；当d＜0时，S n没有最小值，故B错误；因为S16﹣S11＝a12+a13+a14+a15+a16＝5a14＝0，所以S11＝S16，故C正确；S27＝＝27（a1+13d）＝27a14＝0，故D正确．故选：ACD．12．在平面直角坐标系xOy中，已知双曲线C：（a＞0，b＞0）的离心率为，抛物线的准线过双曲线的左焦点，A，B分别是双曲线C的左，右顶点，点P 是双曲线C的右支上位于第一象限的动点，记PA，PB的斜率分别为k1，k2，则下列说法正确的是（）A．双曲线C的渐近线方程为y＝±2xB．双曲线C的方程为C．k1k2为定值D．存在点P，使得k1+k2＝2解：∵双曲线C：（a＞0，b＞0）的离心率为，∴e＝，，渐近线方程为y＝，故A错误；又c＝，则a＝2，b2＝1，则双曲线方程为，故B正确；∵A（﹣2，0），B（2，0），设P（x，y），则＝，故C 正确；＝，∵点P在第一象限，渐近线方程为y＝，∴0＜k OP＜，则＞2，∴k1+k2＞1，即存在点P，使得k1+k2＝2，故D正确．故选：BCD．三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13．设直线l1：ax+3y+12＝0，直线l2：x+（a﹣2）y+4＝0．当a＝时，l1⊥l2．解：因为直线l1：ax+3y+12＝0，直线l2：x+（a﹣2）y+4＝0，且l1⊥l2，所以a×1+3×（a﹣2）＝0，解得．故答案为：．14．已知向量＝（1，1，0），＝（﹣1，0，2），且k+与2﹣的夹角为钝角，则实数k的取值范围为k＜，且k≠﹣2．解：∵向量＝（1，1，0），＝（﹣1，0，2），∴•＝﹣1，且、不平行．∵k+与2﹣的夹角为钝角，设k+与2﹣的夹角为θ，k+与2﹣不共线且cosθ＜0，即≠，且（k+）•（2﹣）＜0，即k≠﹣2，且2k+（2﹣k）•﹣＜0．即k≠﹣，且4k﹣（2﹣k）﹣5＜0，求得k＜，且k≠﹣2．15．以抛物线C的顶点为圆心的圆交C于A，B两点，交C的准线于D，E两点．已知|AB|＝4，|DE|＝2，则C的焦点到准线的距离为4．解：设抛物线为y2＝2px，如图：|AB|＝4，|AM|＝2，|DE|＝2，|DN|＝，|ON|＝，x A＝＝，∵|OD|＝|OA|，∴＝∴+5＝+8，解得：p＝4，∴抛物线的方程为：y2＝8x，C的焦点到准线的距离为：4．故答案为：4．16．在我国古代著名的数学专著《九章算术》里有﹣段叙述：今有良马与驽马发长安至齐，齐去长安一千一百二十五里，良马初日行一百零三里，日增十三里：驽马初日行九十七里，日减半里，良马先至齐，复还迎驽马，二马相逢，问：需9日相逢．解：由题意知，良马每日行的距离成等差数列，记为{a n}，其中a1＝103，d＝13；驽马每日行的距离成等差数列，记为{b n}，其中b1＝97，d＝﹣0.5；设第m天相逢，则a1+a2+…+a m+b1+b2+…+b m＝103m++97m+＝2×1125，解得：m＝9．故答案为：9．四、填空题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17．已知直线l过点，且其倾斜角是直线的倾斜角的．（1）求直线l的方程；（2）若直线m与直线l平行，且点P到直线m的距离是3，求直线m的方程．解：（1）∵直线的方程为y＝﹣x+1，∴k＝﹣，倾斜角α＝120°，故所求直线的倾斜角为60°，即斜率为，∵直线l经过点（，﹣1），∴所求直线l方程为y+1＝（x﹣），即x﹣y﹣4＝0．（2）∵直线m与l平行，可设直线m的方程为x﹣y+c＝0，∴＝3，即|4+c|＝6，∴c＝2或c＝﹣10，∴所求直线m的方程为x﹣y+2＝0或x﹣y﹣10＝0．18．已知圆C的圆心在直线y＝﹣2x上，且过点（2，﹣1），（0，﹣3）．（1）求圆C的方程；（2）已知直线l经过原点，且被圆C截得的弦长为2，求直线l的方程．解：（1）设A（2，﹣1），B（0，﹣3），则AB的中点坐标为（1，﹣2），，则AB的垂直平分线方程为y+2＝﹣（x﹣1），即x+y+1＝0．联立，解得，∴圆C的圆心坐标为（1，﹣2），半径为．∴圆C的方程为（x﹣1）2+（y+2）2＝2；（2）①当直线l的斜率不存在时，直线l的方程为x＝0，此时直线l被圆C截得的弦长为2，满足题意；②当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为y＝kx，由题意，，解得k＝﹣，∴直线l的方程为y＝﹣．综上，满足题意的直线l的方程为x＝0或y＝﹣x．19．在①S4＝20，②S3＝2a3，③3a3﹣a4＝b2，这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并作答．问题：已知等差数列{a n}的前n项和为S n，{b n}是各项均为正数的等比数列，a1＝b4，_____，b2＝8，b1﹣3b3＝4是否存在正整数k，使得数列的前k项和？若存在，求k的最小值；若不存在，说明理由．解：等比数列{b n}的公比为q（q＞0），则b1＝，b3＝8q，于是﹣3×8q＝4，即6q2+q﹣2＝0，解得q＝，或q＝﹣（舍去），则b1＝16．若选①：则a1＝b4＝16×＝2，S4＝4a1+d＝20，解得d＝2．∴S n＝2n+×2＝n2+n，＝＝﹣，于是T k＝++…+＝（1﹣）+（﹣）+…+（﹣）＝1﹣，令1﹣＞，解得k＞3，∵k为正整数，∴k的最小值为4；若选②，则a1＝b4＝2，3a1+d＝2（a1+2d），解得a1＝d＝2．∴S n＝2n+×2＝n2+n，＝＝﹣，于是T k＝++…+＝（1﹣）+（﹣）+…+（﹣）＝1﹣，令1﹣＞，解得k＞3，∵k为正整数，∴k的最小值为4；若选③，则a1＝b4＝2，3（a1+2d）﹣（a1+3d）＝8，解得d＝．于是S n＝2n+×＝n2+n，＝×＝（﹣），于是T k＝[（1﹣）+（﹣）+…+（﹣）+（﹣）]＝﹣（+）．令T k＞，得+＜，得k2﹣k﹣4＞0，解得k＜或k＞．又k为正整数，得k≥3，即k的最小值为3．20．如图，在三棱锥P﹣ABC中，AB＝BC＝2，PA＝PB＝PC＝AC＝4，O为AC的中点．（1）证明：PO⊥平面ABC；（2）若点M在棱BC上，且二面角M﹣PA﹣C为30°，求PC与平面PAM所成角的正弦值．【解答】（1）证明：连接BO，∵AB＝BC＝2，O是AC的中点，∴BO⊥AC，且BO＝2，又PA＝PC＝PB＝AC＝4，∴PO⊥AC，PO＝2，则PB2＝PO2+BO2，则PO⊥OB，∵OB∩AC＝O，∴PO⊥平面ABC；（2）建立以O坐标原点，OB，OC，OP分别为x，y，z轴的空间直角坐标系如图：A（0，﹣2，0），P（0，0，2），C（0，2，0），B（2，0，0），＝（﹣2，2，0），设＝λ＝（﹣2λ，2λ，0），0＜λ＜1则＝﹣＝（﹣2λ，2λ，0）﹣（﹣2，﹣2，0）＝（2﹣2λ，2λ+2，0），则平面PAC的法向量为＝（1，0，0），设平面MPA的法向量为＝（x，y，z），则＝（0，﹣2，﹣2），则•＝﹣2y﹣2z＝0，•＝（2﹣2λ）x+（2λ+2）y＝0令z＝1，则y＝﹣，x＝，即＝（，﹣，1），∵二面角M﹣PA﹣C为30°，∴cos30°＝||＝，即＝，解得λ＝或λ＝3（舍），则平面MPA的法向量＝（2，﹣，1），＝（0，2，﹣2），PC与平面PAM所成角的正弦值sinθ＝|cos＜，＞|＝||＝＝．21．我国某西部地区进行沙漠治理，该地区有土地1万平方公里，其中70%是沙漠，从今年起，该地区进行绿化改造，每年把原有沙漠的16%改造为绿洲，同时原有绿洲的4%被沙漠所侵蚀又变成沙漠，设从今年起第n年绿洲面积为a n万平方公里．（1）求第n年绿洲面积a n与上一年绿洲面积a n﹣1（n≥2）的关系；（2）判断是否是等比数列，并说明理由；（3）至少经过几年，绿洲面积可超过60%？（lg2＝0.3010）解：（1）由题意得，a n＝（1﹣4%）a n﹣1+（1﹣a n﹣1）×16%＝0.96a n﹣1+0.16﹣0.16a n﹣1＝，∴；（2）由（1）得，，∴，又，，∴数列是首项为，公比为的等比数列；（3）由（2）可知，，即，由＞，得＜，两边取常用对数，得（n﹣1）lg＜lg，∴n﹣1＞＝≈4.1．∴n＞5.1．∴至少经过6年，绿洲面积可超过60%．22．已知椭圆的离心率为，且点在椭圆C上．（1）求椭圆C的方程；（2）设动直线l过椭圆C的右焦点F，且与椭圆C交于A，B两点．在x轴上是否存在定点Q，使得恒成立？若存在，求点Q的坐标；若不存在，请说明理由．解：（1）由题意得e＝＝＝，即b＝a，又椭圆经过点，可得+＝1，解得a＝，b＝c＝1，所以椭圆C的方程为+y2＝1；（2）假设存在符合条件的点Q（m，0），设A（x1，y1），B（x2，y2），则＝（x1﹣m，y1），＝（x2﹣m，y2），•＝（x1﹣m）（x2﹣m）+y1y2＝x1x2﹣m（x1+x2）+m2+y1y2，①当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为y＝k（x﹣1），由，得（2k2+1）x2﹣4k2x+（2k2﹣2）＝0，可得△＞0成立，且x1+x2＝，x1x2＝，∴y1y2＝k2[﹣（x1+x2）+x1x2+1]＝﹣，•＝，对于任意的k值，上式为定值，故2m2﹣4m+1＝2（m2﹣2），解得m＝，此时，•＝﹣为定值；②当直线l的斜率不存在时，直线l：x＝1，x1x2＝1，x1+x2＝2，y1y2＝﹣，由m＝，得•＝1﹣2×+﹣＝﹣为定值，综合①②知，符合条件的点Q存在，其坐标为（，0）．。