全国通用2019版版高考数学大一轮复习第六章不等式推理与证明第31讲不等关系与不等式优盐件
2018-2019高考新课标数学(理)大一轮复习讲义课件：第6章-第1节不等关系与不等式
答案：B
【小结归纳】 比较大小的常用方法 (1)作差法：其基本步骤为：作差、变形、判断符号、得 出结论．用作差法比较大小的关键是判断差的正负，常采用 配方、因式分解、分子(分母)有理化等变形方法．
b， b， b； b（a∈R，b>0）， b（a∈R，b>0）， b（a∈R，b>0）.
答案 1．> 2．> ＝ < ＝ <
1．判断正误 (1)两个实数 a，b 之间，有且只有 a>b，a＝b，a<b 三 种关系中的一种( a (2)若b>1.则 a>b(
答案：(1)√ (2)×
) )
a b 1 1 2 ． 已 知 a ＋ b>0 ， 则 2 ＋ 2 与 a ＋ b 的 大 小 关 系 是 b a ________．
(2)已知 a>b>0，比较 aabb 与 abba 的大小．
【解析】
(1)∵M－N＝a1a2－a1－a2＋1＝a1(a2－1)－
(a2－1)＝(a1－1)(a2－1) 又 a1，a2∈(0，1)，故(a1－1)(a2－1)>0，故 M>N.
a －b aabb a a a－b (2)解：∵abba＝ a－b＝(b) ， b
答案 2．a>c 3.> > 5.>
3．判断正误 (1)一个不等式的两边同加上或同乘以同一个数，不等 号方向不变．( ) )
(2)一个非零实数越大，则其倒数就越小．( (3)同向不等式具有可加和可乘性．( a b (4)a>b>0，c>d>0⇒d>c .( 1 1 (5)若 ab>0，则 a>b⇔a<b.( ) ) )
解析：当 c＝0 时，①不成立；当|a|＝1，b＝－2 时，④ 不成立．
2019-2020年高考数学大一轮复习第六章不等式推理与证明课时达标31不等关系与不等式
2019-2020年高考数学大一轮复习第六章不等式推理与证明课时达标31不等关系与不等式[解密考纲]主要考查不等式及其性质，以选择题或填空题的形式出现，位于选择题或填空题的中间位置，难度较易或中等．一、选择题1．设a ，b 为实数，则“a <1b 或b <1a”是“0<ab <1”的( D )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析 可通过举反例说明，当a ＝b ＝－10时，a ＜1b ，b ＜1a，但ab ＝100＞1，所以不是充分条件；反之，当a ＝－1，b ＝－12时，0＜ab ＜1，但a ＞1b ，b ＞1a ，所以不是必要条件．综上可知“a ＜1b 或b ＜1a”是“0＜ab ＜1”的既不充分也不必要条件．2．若1a <1b<0，则下列结论不正确的是( D )A ．a 2<b 2B ．ab <b 2C ．a ＋b <0D ．|a |＋|b |>|a ＋b |解析 令a ＝－1，b ＝－2，代入选项验证可知D 项错误．3．如果a ，b ，c 满足c <b <a ，且ac <0，那么下列选项中不一定成立的是( C ) A ．ab >ac B ．bc >ac C ．cb 2<ab 2D ．ac (a －c )<0解析 因为c ＜b ＜a ，且ac ＜0，所以a ＞0，c ＜0，所以ab －ac ＝a (b －c )＞0，bc －ac ＝(b －a )c ＞0，ac (a －c )＜0，所以A ，B ，D 项均正确．因为b 可能等于0，也可能不等于0，所以cb 2＜ab 2不一定成立．4．已知0<a <b <1，则( D ) A ．1b >1aB ．⎝ ⎛⎭⎪⎫12a <⎝ ⎛⎭⎪⎫12b C ．(lg a )2<(lg b )2D ．1lg a >1lg b解析 因为0＜a ＜b ＜1，所以1b －1a ＝a －b ab ＜0，可得1b ＜1a ；⎝ ⎛⎭⎪⎫12a ＞⎝ ⎛⎭⎪⎫12b；(lg a )2＞(lg b )2；lg a ＜lg b ＜0，可得1lg a ＞1lg b.综上可知，只有D 项正确．5．设α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，β∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2，那么2α－β3的取值范围是( D )A ．⎝⎛⎭⎪⎫0，5π6 B ．⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6，5π6C ．(0，π)D ．⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6，π解析 由题设得0＜2α＜π，0≤β3≤π6，∴－π6≤－β3≤0，∴－π6＜2α－β3＜π.6．(xx·湖北重点高中联考)已知0＜c ＜1,1＞a ＞b ＞0，下列不等式成立的是( D ) A ．c a＞c bB ．aa ＋c ＜bb ＋cC ．ba c＞ab cD ．log a c ＞log b c解析 对于A 项，构造函数y ＝c x，因为0<c <1，故函数是减函数，a >b >0，根据单调性得知c a<c b，故A 项错误；对于B 项，aa ＋c <bb ＋c，两边取倒数得a ＋c a ＝1＋c a ，b ＋c b ＝1＋cb，因为0<c <1,1>a >b >0，故c a <c b ⇒a ＋c a <b ＋c b ，取倒数得a a ＋c >bb ＋c，故B 项错误；对于C 项，ba c >ab c ，两边变形得⎝ ⎛⎭⎪⎫a b c <a b，整理得ba c <ab c ，故C 项错误；对于D 项，由条件和结论知log a c >0，log b c >0，利用对数函数的换底公式，则有1log c a >1log c b⇒log a c >log b c ，故D 项正确．故选D ．二、填空题7．已知a ＋b >0，则a b2＋b a2与1a ＋1b的大小关系是__a b2＋b a2≥1a ＋1b__.解析a b 2＋b a 2－⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋1b ＝a －b b 2＋b －a a2 ＝(a －b )⎝ ⎛⎭⎪⎫1b 2－1a 2＝a ＋b a －b 2a 2b 2.因为a ＋b ＞0，(a －b )2≥0， 所以a ＋ba －b2a 2b2≥0，所以a b2＋b a2≥1a ＋1b.8．若－1<a ＋b <3,2<a －b <4，则2a ＋3b 的取值范围为__⎝ ⎛⎭⎪⎫－92，132__. 解析 设2a ＋3b ＝x (a ＋b )＋y (a －b )，则⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝2，x －y ＝3，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝52，y ＝－12.又因为－52＜52(a ＋b )＜152，－2＜－12(a －b )＜－1，所以－92＜52(a ＋b )－12(a －b )＜132，即－92＜2a ＋3b ＜132.9．已知下列结论：①若a >|b |，则a 2>b 2；②若a >b ，则1a <1b；③若 a >b ，则a 3>b 3；④若a <0，－1<b <0，则ab 2>a . 其中所有正确结论的序号是__①③④__.解析 对于①，因为a ＞|b |≥0，所以a 2＞b 2，即①正确； 对于②，当a ＝2，b ＝－1时，显然不正确； 对于③，显然正确；对于④，因为a ＜0，－1＜b ＜0，ab 2－a ＝a (b 2－1)＞0，所以ab 2＞a ，即④正确．三、解答题10．若实数a ≠1，比较a ＋2与31－a 的大小．解析 ∵a ＋2－31－a ＝－a 2－a －11－a ＝a 2＋a ＋1a －1，∴当a ＞1时，a ＋2＞31－a ；当a ＜1时，a ＋2＜31－a.11．已知x ，y 为正实数，满足1≤lg xy ≤2,3≤lg x y≤4，求lg(x 4y 2)的取值范围． 解析 设a ＝lg x ，b ＝lg y ，则lg xy ＝a ＋b ， lg x y＝a －b ，lg (x 4y 2)＝4a ＋2b . 设4a ＋2b ＝m (a ＋b )＋n (a －b )，∴⎩⎪⎨⎪⎧m ＋n ＝4，m －n ＝2，解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝3，n ＝1.∴lg(x 4y 2)＝3lg (xy )＋lg xy. ∵3≤3lg (xy )≤6,3≤lg x y≤4，∴6≤lg(x 4y 2)≤10，即lg(x 4y 2)的取值范围是[6,10]．12．已知函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c 满足f (1)＝0，且a >b >c ，求c a的取值范围． 解析 ∵f (1)＝0，∴a ＋b ＋c ＝0， ∴b ＝－(a ＋c )． 又a ＞b ＞c ，∴a ＞－(a ＋c )＞c ，且a ＞0，c ＜0，∴1＞－a ＋c a ＞c a ，即1＞－1－c a ＞ca ，∴⎩⎪⎨⎪⎧2ca ＜－1，ca ＞－2，解得－2＜c a ＜－12，即c a 的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫－2，－12.2019-2020年高考数学大一轮复习第六章不等式推理与证明课时达标32一元二次不等式及其解法[解密考纲]考查一元二次不等式的解法，常利用判别式讨论解集，常以选择题或填空题的形式出现．一、选择题 1．不等式2x ＋1<1的解集是( A ) A ．(－∞，－1)∪(1，＋∞) B ．(1，＋∞) C ．(－∞，－1) D ．(－1,1)解析 ∵2x ＋1＜1，∴2x ＋1－1＜0，即1－x x ＋1＜0，该不等式可化为 (x ＋1)(x －1)＞0，∴x ＜－1或x ＞1.故选A ．2．(xx·湖南株洲期中)在R 上定义运算⊙：a ⊙b ＝ab ＋2a ＋b ，则满足x ⊙(x －2)＜0的实数x 的取值范围为( B )A ．(0,2)B ．(－2,1)C ．(－∞，－2)∪(1，＋∞)D ．(－1,2)解析 根据条件由x ⊙(x －2)<0，得(x ＋2)(x －1)<0，解得－2<x <1.故选B ．3．函数y ＝ln ⎝⎛⎭⎪⎫1＋1x ＋1－x 2的定义域为( C )A ．{x |－1<x <2}B ．{x |0<x <1}C ．{x |0<x ≤1}D ．{x |－1<x ≤2}解析 由题意知⎩⎪⎨⎪⎧1＋1x＞0，1－x 2≥0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＞0或x ＜－1，－1≤x ≤1，所以函数y ＝ln ⎝⎛⎭⎪⎫1＋1x ＋1－x 2的定义域为{x |0＜x ≤1}．故选C ．4．(xx·辽宁庄河联考)不等式ax 2＋bx ＋2>0的解集为{x |－1<x <2}，则不等式2x 2＋bx ＋a >0的解集为( A )A ．⎩⎨⎧x ⎪⎪⎪⎭⎬⎫x <－1或x >12B ．⎩⎨⎧x ⎪⎪⎪⎭⎬⎫－1<x <12C ．{x |－2<x <1}D ．{x |x <－2或x >1}解析 ∵不等式ax 2＋bx ＋2>0的解集为{x |－1<x <2}， ∴ax 2＋bx ＋2＝0的两根为－1,2，且a <0，即－1＋2＝－b a，(－1)×2＝2a，解得a ＝－1，b ＝1，则所求不等式可化为2x 2＋x －1>0，解得x <－1或x >12.故选A ．5．若ax 2＋bx ＋c <0的解集为{x |x <－2或x >4}，则对于函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c 应有( B )A ．f (5)<f (2)<f (－1)B ．f (5)<f (－1)<f (2)C ．f (－1)<f (2)<f (5)D ．f (2)<f (－1)<f (5)解析 ∵ax 2＋bx ＋c ＜0的解集为{x |x ＜－2或x ＞4}，∴a ＜0，而且函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c 的图象的对称轴方程为x ＝4－22＝1， ∴f (－1)＝f (3)．又∵函数f (x )在[1，＋∞)上是减函数， ∴f (5)＜f (3)＜f (2)，即f (5)＜f (－1)＜f (2)．故选B ．6．若不等式(a －a 2)(x 2＋1)＋x ≤0对一切x ∈(0,2]恒成立，则a 的取值范围是( C ) A ．⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，1－32B ．⎣⎢⎡⎭⎪⎫1＋32，＋∞C ．⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，1－32∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫1＋32，＋∞D ．⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－32，1＋32解析 ∵x ∈(0,2]，∴a 2－a ≥x x 2＋1＝1x ＋1x.要使a 2－a ≥1x ＋1x在x ∈(0,2]时恒成立，则a 2－a ≥⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫1x ＋1x max ，由基本不等式得x ＋1x≥2，当且仅当x ＝1时，等号成立，即⎝⎛⎭⎪⎪⎫1x ＋1x max ＝12.由a 2－a ≥12， 解得a ≤1－32或a ≥1＋32.二、填空题7．在如图所示的锐角三角形空地中，欲建一个面积不小于300 m 2的内接矩形花园(阴影部分)，则其边长x (单位：m)的取值范围是__[10,30]__.解析 矩形的一边长为x ，则由相似三角形可得其邻边长为40－x ，故矩形面积S ＝x (40－x )＝－x 2＋40x ，由S ≥300，得－x 2＋40x ≥300，解得10≤x ≤30.8．若对任意实数p ∈[－1,1]，不等式px 2＋(p －3)x －3>0成立，则实数x 的取值范围为__(－3，－1)__.解析 不等式可变形为(x 2＋x )p －3x －3＞0，令f (p )＝(x 2＋x )p －3x －3，p ∈[－1,1]．原不等式成立等价于f (p )＞0，p ∈[－1,1]，则⎩⎪⎨⎪⎧f－＞0，f ＞0，即⎩⎪⎨⎪⎧－x 2－x －3x －3＞0，x 2＋x －3x －3＞0，解得－3＜x ＜－1.9．已知二次函数f (x )的二次项系数为a ，且不等式f (x )>0的解集为(1,2)，若方程f (x )的最大值小于1，则a 的取值范围是__(－4,0)__.解析 由题意知a ＜0，可设f (x )＝a (x －1)(x －2)＝ax 2－3ax ＋2a ，∴f (x )max ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫32＝－a4＜1，∴a ＞－4，故－4＜a ＜0. 三、解答题10．已知f (x )＝－3x 2＋a (6－a )x ＋6. (1)解关于a 的不等式f (1)>0；(2)若不等式f (x )>b 的解集为(－1,3)，求实数a ，b 的值． 解析 (1)由题意知f (1)＝－3＋a (6－a )＋6＝－a 2＋6a ＋3＞0， 即a 2－6a －3＜0，解得3－23＜a ＜3＋2 3. ∴不等式的解集为{a |3－23＜a ＜3＋23}． (2)∵f (x )＞b 的解集为(－1,3)，∴方程－3x 2＋a (6－a )x ＋6－b ＝0的两根为－1,3，∴⎩⎪⎨⎪⎧－＋3＝a－a3，－＝－6－b 3，解得⎩⎨⎧a ＝3±3，b ＝－3.11．解关于x 的不等式ax 2－(2a ＋1)x ＋2<0(a ∈R )． 解析 原不等式可化为(ax －1)(x －2)＜0.①当a ＞0时，原不等式可以化为a (x －2)⎝⎛⎭⎪⎫x －1a ＜0，等价于(x －2)·⎝ ⎛⎭⎪⎫x －1a ＜0.因为方程(x －2)⎝ ⎛⎭⎪⎫x －1a ＝0的两个根分别是2，1a ，所以当0＜a ＜12时，2＜1a ，则原不等式的解集是⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪2＜x ＜1a ；当a ＝12时，原不等式的解集是∅；当a ＞12时，1a ＜2，则原不等式的解集是⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪1a＜x ＜2. ②当a ＝0时，原不等式为－(x －2)＜0，解得x ＞2，即原不等式的解集是{x |x ＞2}．③当a ＜0时，原不等式可以化为a (x －2)⎝⎛⎭⎪⎫x －1a ＜0，根据不等式的性质，这个不等式等价于(x －2)⎝⎛⎭⎪⎫x －1a ＞0，由于1a＜2，故原不等式的解集是⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x ＜1a或x ＞2.综上所述，当a ＜0时，不等式的解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x ＜1a 或x ＞2；当a ＝0时，不等式的解集为{x |x ＞2}；当0＜a ＜12时，不等式的解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪2＜x ＜1a ；当a ＝12时，不等式的解集为∅；当a ＞12时，不等式的解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪1a＜x ＜2.12．已知二次函数f (x )的二次项系数为a ，且不等式f (x )>－2x 的解集为(1,3). (1)若方程f (x )＋6a ＝0有两个相等的实根，求f (x )的解析式； (2)若f (x )的最大值为正数，求a 的取值范围． 解析 (1)因为f (x )＋2x ＞0的解集为(1,3)，f (x )＋2x ＝a (x －1)(x －3)，且a ＜0，因而f (x )＝a (x －1)(x －3)－2x ＝ax 2－(2＋4a )x ＋3a . ① 由方程f (x )＋6a ＝0， 得ax 2－(2＋4a )x ＋9a ＝0. ② 因为方程②有两个相等的实根， 所以Δ＝[－(2＋4a )]2－4a ·9a ＝0， 即5a 2－4a －1＝0，解得a ＝1或a ＝－15.由于a ＜0，舍去a ＝1，将a ＝－15代入①，得f (x )＝－15x 2－65x －35.(2)由f (x )＝ax 2－2(1＋2a )x ＋3a ＝a ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －1＋2a a 2－a 2＋4a ＋1a 及a ＜0，可得f (x )的最大值为－a 2＋4a ＋1a.由⎩⎪⎨⎪⎧－a 2＋4a ＋1a ＞0，a ＜0，解得a ＜－2－3或－2＋3＜a ＜0.故当f (x )的最大值为正数时，实数a 的取值范围是(－∞，－2－3)∪(－2＋3，0)．。
2019年高考数学一轮复习：不等关系与不等式
.
【点拨】 ①需要注意的是，两同向不等式可以相
加但不可以相减，所以不能直接由
1＜
α ＜
3和－
4＜
β
222
α ＜ 2 两式相减来得到 － β的范围． ② 此类题目用线性
2
规划也可解．
若 a＞ b＞ 0， c＜ d＜ 0，则一定有 ( )
A.
a＞ c
b d
B.ac＜
b d
C.ad＞
b c
D.ad＜
b c
选项， 当 a>0> b 时，显然 B 不正确； C 选项， 当 a＝ 1， b＝－ 2 时， a2<b2， C 不正确； D 选项，因 y＝ x3 是单 调增函数，所以当 a>b 时，有 a3>b3， D 正确． 故选
D.
2．(2015 ·浙江 )设 a，b 是实数，则“ a＋ b＞0”是 “ ab＞ 0”的 ( )
明，得出正确选项．
类型三 不等式性质的应用
α (1) 若 1<α<3 ， － 4< β<2 ， 则 2 － β 的 取 值 范 围 是
________ ．
解：
由
1＜
α＜
3
得
12＜
α 2＜
32，由－
4＜ β＜ 2
得－ 2
α ＜－ β＜ 4 ，所以 2 － β 的取值范围是
－ 3， 11 22
. 故填
－ 3，11 22
故填 (－ 5，－ 2]∪ [2， 5)．
类型二 不等式的性质
(2016 ·湖南模拟 )用一段长为 30 m 的篱笆围成一个一边
靠墙的矩形菜园，墙长 18 m，要求菜园的面积不小于
108 m2，靠墙的一边长为 x m，其中的不等关系可用不
(新课标)高考数学大一轮复习第六章不等式、推理与证明6.1不等关系与不等式课件文
【调研5】 (1)设f(x)＝ax2＋bx，且1≤f(－ 1)≤2,2≤f(1)≤4，则f(－2)的取值范围是________．
【解析】 方法1：由已知12≤ ≤aa－ ＋bb≤ ≤24， .②① 设4a－2b＝m(a－b)＋n(a＋b)(m，n为待定系数)， 即4a－2b＝(m＋n)a－(m－n)b， 于是得mm＋－nn＝＝42，. 解得m＝3，n＝1.
（重基础送分型——自主练透）
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1．作差法aa－－bb>＝00⇔⇔aa
b； b；
a－b<0⇔a
b.
ab>1⇔a 2．作商法ab＝1⇔a
ab<1⇔a
1.> ＝ <
ba∈R，b>0； ba∈R，b>0； ba∈R，b>0. 2.> ＝ <
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【调研1】 (1)(2014·山东卷)已知实数x，y满足 ax<ay(0<a<1)，则下列关系式恒成立的是( )
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(2)(2016·河北八校第一次联考)设a＝2－0.5，b＝log3π，c＝ log42，则( )
A．b>a>c B．b>c>a C．a>b>c D．a>c>b
第十九页，共39页。
【解析】 ∵a＝2－0.5，b＝log3π，c＝log42,1>2－0.5＝
1 2
>12，log3π>1，log42＝12，∴b>a>c.故选A.
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由①×3＋②×1，得5≤4a－2b≤10. 即5≤f(－2)≤10， 方法2：由aa－＋bb＝＝ff－1，1， 得ab＝＝1212[[ff11＋－ff－－11]]，. ∴f(－2)＝4a－2b＝3f(－1)＋f(1)，后面同方法1. 【答案】 [5,10]
2019版高考数学(理)一轮复习全国经典版：第6章 不等式 第1讲 不等关系与不等式
第1讲 不等关系与不等式板块一 知识梳理·自主学习[必备知识]考点1 比较两个实数的大小两个实数的大小是用实数的运算性质来定义的，有a －b >0⇔a >b ；a －b ＝0⇔a ＝b ；a －b <0⇔a <b .另外，若b >0，则有a b >1⇔a >b ；ab ＝1⇔a ＝b ；ab <1⇔a <b .考点2 不等式的性质 1.对称性：a >b ⇔b <a ； 2.传递性：a >b ，b >c ⇒a >c ；3.可加性：a >b ⇔a ＋c >b ＋c ；a >b ，c >d ⇒a ＋c >b ＋d ；4.可乘性：a >b ，c >0⇒ac >bc ；a >b ，c <0⇒ac <bc ；a >b >0，c >d >0⇒ac >bd ；5.可乘方性：a >b >0⇒a n >b n (n ∈N ，n ≥2)；6.可开方性：a >b >0⇒n a >nb (n ∈N ，n ≥2)． [必会结论] 1.a >b ，ab >0⇒1a <1b .2.a <0<b ⇒1a <1b . 3.a >b >0,0<c <d ⇒a c >bd .4.0<a <x <b 或a <x <b <0⇒1b <1x <1a .5.若a >b >0，m >0，则b a <b ＋m a ＋m ；b a >b －m a －m (b －m >0)；a b >a ＋m b ＋m ；a b <a －mb －m (b －m >0)．[考点自测]1.判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)两个实数a ，b 之间，有且只有a >b ，a ＝b ，a <b 三种关系中的一种．( )(2)若ab >1，则a >b .( )(3)一个不等式的两边同加上或同乘以同一个数，不等号方向不变．( )(4)一个非零实数越大，则其倒数就越小．( ) (5)a >b >0，c >d >0⇒a d >bc .( ) (6)若ab >0，则a >b ⇔1a <1b .( )答案 (1)√ (2)× (3)× (4)× (5)√ (6)√2.[课本改编]设M ＝x 2，N ＝－x －1，则M 与N 的大小关系是( ) A.M >N B ．M ＝N C ．M <N D ．与x 有关 答案 A解析 M －N ＝x 2＋x ＋1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋122＋34>0，所以M >N .故选A.3.[课本改编]若a >b >0，c <d <0，则一定有( )A.a c >b dB.a c <b dC.a d >b cD.a d <b c答案 D解析 由c <d <0，得－1d >－1c >0，又a >b >0，故由不等式性质，得－ad >－b c >0，所以a d <bc .故选D.4.[课本改编]若a ，b ，c ∈R ，且a >b ，则下列不等式一定成立的是( )A.a ＋c >b －c B ．(a －b )c 2>0 C.a 3>b 3 D ．a 2>b 2答案 C解析 对于A ，由于不知道c 的正负，故无法判断a ＋c 与b －c 的大小关系，所以错误；对于B ，当c ＝0时，(a －b )c 2>0不成立，所以错误；对于D ，需要保证a >b >0，才能得到a 2>b 2，所以错误．故选C.5.[2018·浙江模拟]设a ，b 是实数，则“a ＋b >0”是“ab >0”的( ) A.充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C.充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件 答案 D解析 若a ＋b >0，取a ＝3，b ＝－2，则ab >0不成立；反之，若a ＝－2，b ＝－3，则a ＋b >0也不成立，因此“a ＋b >0”是“ab >0”的既不充分也不必要条件．故选D.6.已知－1<x <4,2<y <3，则x －y 的取值范围是________，3x ＋2y 的取值范围是________．答案 (－4,2) (1,18)解析 ∵－1<x <4,2<y <3，∴－3<－y <－2， ∴－4<x －y <2.由－1<x <4,2<y <3，得－3<3x <12,4<2y <6， ∴1<3x ＋2y <18.板块二 典例探究·考向突破考向不等式的性质例1 (1)对于任意实数a ，b ，c ，d ，下列命题中正确的是( ) A.若a >b ，c ≠0，则ac >bc B.若a >b ，则ac 2>bc 2 C.若ac 2>bc 2，则a >b D.若a >b ，则1a <1b 答案 C解析 对于选项A ，当c <0时，不正确； 对于选项B ，当c ＝0时，不正确；对于选项C ，∵ac 2>bc 2，∴c ≠0，∴c 2>0，∴一定有a >b .故选项C 正确；对于选项D ，当a >0，b <0时，不正确．(2)已知四个条件：①b >0>a ；②0>a >b ；③a >0>b ；④a >b >0，能推出1a <1b 成立的是________．答案 ①②④解析 运用倒数法则，a >b ，ab >0⇒1a <1b ，②④正确．又正数大于负数，所以①正确.触类旁通利用不等式性质进行命题的判断(1)判断不等式是否成立，需要逐一给出推理判断或反例说明．常用的推理判断需要利用不等式的性质．(2)在判断一个关于不等式的命题真假时，先把要判断的命题和不等式性质联系起来考虑，找到与命题相近的性质，并应用性质判断命题真假，判断的同时还要用到其他知识，比如对数函数，指数函数的性质等．【变式训练1】 (1)已知a ，b ，c 满足c <b <a ，且ac <0，那么下列选项中一定成立的是( )A.ab >ac B ．c (b －a )<0 C.cb 2<ab 2 D ．ac (a －c )>0答案 A解析 由c <b <a 且ac <0知c <0且a >0. 由b >c 得ab >ac 一定成立．故选A. (2)若1a <1b <0，则下列不等式：①a ＋b <ab ；②|a |>|b |；③a <b ；④ab <b 2中，正确的不等式有________．答案 ①④ 解析 因为1a <1b <0，所以b <a <0，a ＋b <0，ab >0，所以a ＋b <ab ，|a |<|b |，在b <a 两边同时乘以b ， 因为b <0，所以ab <b 2.因此正确的是①④.考向比较代数式的大小命题角度1 作差法 例2 (1)[2018·上海徐汇区模拟]若a <0，b <0，则p ＝b 2a ＋a 2b 与q ＝a ＋b 的大小关系为( )A.p <q B ．p ≤q C ．p >q D ．p ≥q 答案 B解析 (作差法)p －q ＝b 2a ＋a 2b －a －b＝b2－a2a＋a2－b2b＝(b2－a2)·⎝⎛⎭⎪⎫1a－1b＝(b2－a2)(b－a)ab＝(b－a)2(b＋a)ab，因为a<0，b<0，所以a＋b<0，ab>0.若a＝b，则p－q＝0，故p＝q；若a≠b，则p－q<0，故p<q.综上，p≤q.故选B.(2)已知a<0，－1<b<0，则a，ab，ab2的大小关系是________．答案a<ab2<ab解析∵a－ab＝a(1－b)<0，∴a<ab.∵ab－ab2＝ab(1－b)>0，∴ab>ab2.∵a－ab2＝a(1－b2)<0，∴a<ab2.综上，a<ab2<ab.故填a<ab2<ab.命题角度2作商法例3已知a>0，b>0，且a≠b，试比较a a b b与(ab) a＋b2的大小．命题角度3放缩法例4 (1)[2018·九江模拟]已知a ＝312 ，b ＝log 1312，c ＝log 213，则( )A.a >b >c B ．b >c >a C.c >b >a D ．b >a >c答案 A 解析∵a ＝312 >1,0<b ＝log 1312＝log 32<1，c ＝log 213<0，∴a >b >c .故选A.(2)设x >0，P ＝2x ＋2－x ，Q ＝(sin x ＋cos x )2，则( ) A.P >Q B ．P <Q C ．P ≤Q D ．P ≥Q 答案 A解析 因为2x ＋2－x ≥22x ·2－x ＝2(当且仅当x ＝0时等号成立)，而x >0，所以P >2；又(sin x ＋cos x )2＝1＋sin2x ，而sin2x ≤1，所以Q ≤2.于是P >Q .故选A.触类旁通比较大小的常用方法 (1)作差法； (2)作商法；(3)放缩法：在代数式的比较大小问题中，一般是通过放缩变形，得到一个中间的参照式(或数)，其放缩的手段可能是基本不等式、三角函数的有界性等．有时，等号成立的条件是比较大小的关键所在.考向不等式性质的应用例5 已知－1<x ＋y <4且2<x －y <3，则z ＝2x －3y 的取值范围是________．(答案用区间表示)答案 (3,8)解析 解法一：设2x －3y ＝λ(x ＋y )＋μ(x －y )＝(λ＋μ)x ＋(λ－μ)y ，对应系数相等，则⎩⎪⎨⎪⎧λ＋μ＝2，λ－μ＝－3⇒⎩⎪⎨⎪⎧λ＝－12，μ＝52.∴2x －3y ＝－12(x ＋y )＋52(x －y )∈(3,8)．解法二：令⎩⎪⎨⎪⎧a ＝x ＋y ，b ＝x －y ，∴⎩⎨⎧x ＝a ＋b 2，y ＝a －b 2.∴2x －3y ＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋b 2－3⎝ ⎛⎭⎪⎫a －b 2＝－a 2＋52b ∈(3,8)．解法三：由⎩⎪⎨⎪⎧－1<x ＋y <4，2<x －y <3确定的平面区域如图阴影部分． 目标函数z ＝2x －3y 可化为y ＝23x －z3，由线性规划知识可求出2x －3y ∈(3,8). 触类旁通利用不等式性质求代数式的取值范围由a <f (x ，y )<b ，c <g (x ，y )<d ，求F (x ，y )的取值范围，可利用待定系数法解决，即设F (x ，y )＝mf (x ，y )＋ng (x ，y )(或其他形式)，通过恒等变形求得m ，n的值，再利用不等式的同向可加和同向同正可乘的性质求得F (x ，y )的取值范围.【变式训练2】 若实数x ，y 满足3≤xy 2≤8,4≤x 2y ≤9，则x3y 4的最大值是________．答案 27解析 解法一：由3≤xy 2≤8,4≤x 2y ≤9，可知x >0，y >0，且18≤1xy 2≤13，16≤x 4y 2≤81，由性质6，得2≤x 3y 4≤27，故x 3y 4的最大值是27.解法二：设x 3y 4＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2y m (xy 2)n，则x 3y －4＝x 2m ＋n y 2n －m ，所以⎩⎪⎨⎪⎧ 2m ＋n ＝3，2n －m ＝－4，即⎩⎪⎨⎪⎧m ＝2，n ＝－1.又∵16 ≤⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2y 2≤81，18≤(xy 2)－1≤13，∴2≤x 3y 4≤27，故x 3y 4的最大值为27.核心规律1.用同向不等式求差的范围．⎩⎨⎧a <x <b ，c <y <d ⇒⎩⎪⎨⎪⎧a <x <b ，－d <－y <－c ⇒a －d <x －y <b －c .这种方法在三角函数中求角的范围时经常用到．2.比较法是不等式性质证明的理论依据，是不等式证明的主要方法之一．作差法的主要步骤：作差—变形—判断正负．在所给不等式完全是积、商、幂的形式时，可考虑作商．3.求某些代数式的范围可考虑采用整体代入的方法．满分策略1.a >b ⇒ac >bc 或a <b ⇒ac <bc ，当c ≤0时不成立．2.a >b ⇒1a <1b 或a <b ⇒1a >1b ，当ab ≤0时不成立． 3.a >b ⇒a n >b n 对于正数a ，b 才成立． 4.ab >1⇔a >b ，对于正数a ，b 才成立．5.注意不等式性质中“⇒”与“⇔”的区别，如：a >b ，b >c ⇒a >c ，其中a >c 不能推出⎩⎪⎨⎪⎧a >b ，b >c .板块三 启智培优·破译高考题型技法系列 8——巧用特殊值判断不等式问题[2016·山东高考]已知实数x ，y 满足a x <a y (0<a <1)，则下列关系式恒成立的是( )A.ln (x 2＋1)>ln (y 2＋1)B.sin x >sin yC.x 3>y 3D.1x 2＋1>1y 2＋1解题视点 (1)采用边选边排除的思想；(2)在选与排除的过程中采用特值法验证，简化了过程，提高了准确率．解析 解法一：因为实数x ，y 满足a x <a y (0<a <1)，所以x >y . 对于A ，取x ＝1，y ＝－3，不成立； 对于B ，取x ＝π，y ＝－π，不成立；对于C ，由于f (x )＝x 3在R 上单调递增，故x 3>y 3成立； 对于D ，取x ＝2，y ＝－1，不成立．故选C.解法二：根据指数函数的性质得x >y ，此时x 2，y 2的大小不确定，故选项A ，D 中的不等式不恒成立；根据三角函数的性质，选项B 中的不等式也不恒成立；根据不等式的性质知，选项C 中的不等式成立．答案 C答题启示 (1)当选择题中包含不止一个结论时，宜采用边选边排除的方法.,(2)在判断多个不等式是否成立时，可采用特值法验证，若取值不能代表所有情况，可采用多次赋值法验证结论是否成立.跟踪训练[2018·烟台模拟]若1a <1b <0，则下列不等式：①1a ＋b <1ab ；②|a |＋b >0；③a －1a >b －1b ；④ln a 2>ln b 2中，正确的不等式是( )A.①④ B ．②③ C ．①③ D ．②④ 答案 C解析 解法一：因为1a <1b <0，故可取a ＝－1，b ＝－2， 显然1a ＋b ＝－13，1ab ＝12，故①正确，排除B 、D ，对于③中，a －1a ＝－1－1－1＝0，又b －1b ＝－2－1－2＝－32，故a －1a >b －1b 成立，排除A.选C. 解法二：由1a <1b <0，可知b <a <0.①中，a ＋b <0，ab >0，所以1a ＋b <0，1ab >0，故有1a ＋b <1ab ，故①正确，排除B 、D ；③中，因为b <a <0，又因为1a <1b <0，所以a －1a >b －1b ，故③正确，排除A.选C.板块四 模拟演练·提能增分[A 级 基础达标]1.[2018·金版创新]设c >0，则下列各式成立的是( ) A.c >2cB ．c >⎝ ⎛⎭⎪⎫12cC.2c<⎝ ⎛⎭⎪⎫12cD ．2c>⎝ ⎛⎭⎪⎫12c答案 D解析 c >0时，2c >1，⎝ ⎛⎭⎪⎫12c <1，所以2c >⎝ ⎛⎭⎪⎫12c .故选D.2.[2018·宁波模拟]若a <b <0，则下列不等式错误的是( ) A.1a >1b B.1a －b >1a C.|a |>|b | D ．a 2>b 2答案 B解析 ∵a <b <0，∴1a >1b ，故A 对．∵a <b <0，∴0<－b ，a <a －b <0，∴1a >1a －b ，故B 错．∵a <b <0，∴－a >－b >0，即|－a |>|－b |，∴|a |>|b |，故C 对．∵a <b <0，∴－a >－b >0，∴(－a )2>(－b )2，即a 2>b 2，故D 对．故选B.3.若x ，y 满足－π4<x <y <π4，则x －y 的取值范围是( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，0B.⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π2 C.⎝ ⎛⎭⎪⎫－π4，0 D.⎝ ⎛⎭⎪⎫－π4，π4 答案 A解析 由x <y ，得x －y <0.又∵－π2<x －y <π2，∴－π2<x －y <0.故选A.4.设a >b >0，下列各数小于1的是( ) A.2a －bB.⎝ ⎛⎭⎪⎫a b 12C.⎝ ⎛⎭⎪⎫a b a －b D.⎝ ⎛⎭⎪⎫b a a －b 答案 D解析 解法一：(特殊值法) 取a ＝2，b ＝1，代入验证． 解法二：y ＝a x (a >0且a ≠1)．当a >1，x >0时，y >1；当0<a <1，x >0时，0<y <1. ∵a >b >0，∴a －b >0，a b >1,0<ba <1. 由指数函数性质知，D 成立．故选D.5.[2018·广西模拟]若a ，b 为实数，则1a <1b 成立的一个充分而不必要的条件是( )A.b <a <0 B ．a <b C.b (a －b )>0 D ．a >b答案 A解析 由a >b ⇒1a <1b 成立的条件是ab >0，即a ，b 同号时，若a >b ，则1a <1b ；a ，b 异号时，若a >b ，则1a >1b .故选A.6.设0<b <a <1，则下列不等式成立的是( ) A.ab <b 2<1 B ．log 12b <log 12a <0C.2b <2a <2 D ．a 2<ab <1答案 C解析 解法一：(特殊值法)取b ＝14，a ＝12. 解法二：(单调性法)0<b <a ⇒b 2<ab ，A 不对；y ＝log 12x 在(0，＋∞)上为减函数，∴log 12b >log 12a ，B 不对；a >b >0⇒a 2>ab ，D 不对．故选C.7.若a ＝20.6，b ＝log π3，c ＝log 2sin 2π5，则( ) A.a >b >c B ．b >a >c C.c >a >b D ．b >c >a答案 A解析 因为a ＝20.6>20＝1，又log π1<log π3<log ππ，所以0<b <1.c ＝log 2sin 2π5<log 21＝0，于是a >b >c .故选A.8.已知有三个条件：①ac 2>bc 2；②a c >bc ；③a 2>b 2，其中能成为a >b的充分条件的是________．答案 ①解析 由ac 2>bc 2，可知c 2>0，即a >b ，故“ac 2>bc 2”是“a >b ”的充分条件；②当c <0时，a <b ；③当a <0，b <0时，a <b ，故②③不是a >b 的充分条件.9.已知a ，b ，c ∈R ，有以下命题：①若1a <1b ，则c a <c b ；②若a c 2<bc 2，则a <b ；③若a >b ，则a ·2c >b ·2c . 其中正确的是________(请把正确命题的序号都填上)． 答案 ②③解析 ①若c ≤0，则命题不成立．②由a c 2<b c 2得a －b c 2<0，于是a <b ，所以命题正确．③中由2c >0知命题正确.10.[2018·临沂模拟]若x >y ，a >b ，则在①a －x >b －y ，②a ＋x >b ＋y ，③ax >by ，④x －b >y －a ，⑤a y >bx 这五个式子中，恒成立的所有不等式的序号是________．答案 ②④解析 令x ＝－2，y ＝－3，a ＝3，b ＝2， 符合题设条件x >y ，a >b ，∵a －x ＝3－(－2)＝5，b －y ＝2－(－3)＝5， ∴a －x ＝b －y ，因此①不成立．又∵ax ＝－6，by ＝－6，∴ax ＝by ，因此③也不正确． 又∵a y ＝3－3＝－1，b x ＝2－2＝－1，∴a y ＝bx ，因此⑤不正确． 由不等式的性质可推出②④成立.[B 级 知能提升]1.已知a 1，a 2∈(0,1)，记M ＝a 1a 2，N ＝a 1＋a 2－1，则M 与N 的大小关系是( )A.M <N B ．M >N C.M ＝N D ．不确定答案 B解析 M －N ＝a 1a 2－(a 1＋a 2－1)＝a 1a 2－a 1－a 2＋1＝(a 1－1)(a 2－1)，又∵a 1∈(0,1)，a 2∈(0,1)，∴a 1－1<0，a 2－1<0.∴(a 1－1)(a 2－1)>0，即M －N >0，∴M >N .故选B.2.已知a ，b ∈R ，下列四个条件中，使ab >1成立的必要不充分条件是( )A.a >b －1 B ．a >b ＋1 C.|a |>|b | D ．ln a >ln b 答案 C解析 由a b >1⇔ab －1>0⇔a －b b >0⇔(a －b )b >0⇔a >b >0或a <b <0⇒|a |>|b |，但由|a |>|b |不能得到a >b >0或a <b <0，即得不到ab >1，故|a |>|b |是使ab >1成立的必要不充分条件．故选C.3.[2018·金版创新]设α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12，T 1＝cos(1＋α)，T 2＝cos(1－α)，则T 1与T 2的大小关系为________．答案 T 1<T 2解析 T 1－T 2＝(cos1cos α－sin1sin α)－(cos1cos α＋sin1sin α)＝－2sin1sin α<0.4.[2018·大连段考]若a >b >0，c <d <0，e <0.求证：e (a －c )2>e(b －d )2.证明 ∵c <d <0，∴－c >－d >0. 又∵a >b >0，∴a －c >b －d >0，∴(a －c )2>(b －d )2>0，∴0<1(a －c )2<1(b －d )2.又∵e <0，∴e (a －c )2>e(b －d )2. 5.[2018·昆明模拟]设f (x )＝ax 2＋bx ，若1≤f (－1)≤2，2≤f (1)≤4，求f (－2)的取值范围．解 解法一：设f (－2)＝mf (－1)＋nf (1)(m ，n 为待定系数)，则4a －2b ＝m (a －b )＋n (a ＋b )，即4a －2b ＝(m ＋n )a ＋(n －m )b .于是得⎩⎪⎨⎪⎧ m ＋n ＝4，n －m ＝－2，解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝3，n ＝1，∴f (－2)＝3f (－1)＋f (1)． 又∵1≤f (－1)≤2,2≤f (1)≤4，∴5≤3f (－1)＋f (1)≤10，故5≤f (－2)≤10.解法二：由⎩⎪⎨⎪⎧f (－1)＝a －b ，f (1)＝a ＋b ，得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝12[f (－1)＋f (1)]，b ＝12[f (1)－f (－1)]，∴f (－2)＝4a －2b ＝3f (－1)＋f (1)． 又∵1≤f (－1)≤2,2≤f (1)≤4，∴5≤3f (－1)＋f (1)≤10，故5≤f (－2)≤10.。
2019-2020年高考数学大一轮复习第六章不等式推理与证明课时达标31不等关系与不等式
2019-2020年高考数学大一轮复习第六章不等式推理与证明课时达标31不等关系与不等式［解密考纲］主要考查不等式及其性质，以选择题或填空题的形式出现，位于选择题或填空题的中间位置，难度较易或中等.一、选择题1 11•设a, b 为实数，则“ a<b或b<a” 是“ 0<ab<1 ”的（D ）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件1 1解析可通过举反例说明，当a= b=- 10时，a v亏b v孑但ab= 100> 1，所以不是、 1 1 1充分条件；反之，当a=- 1, b=—：时，0v ab v 1,但a>=, b>-,所以不是必要条件. 综2 b a1 1上可知“a v或b v a”是“0v ab v1”的既不充分也不必要条件.2.若a<j b<0,则下列结论不正确的是（D ）A. a2<b2B. ab<b2C. a+ b<0D. | a| + | b|>| a+ b|解析令a=—1, b= —2,代入选项验证可知D项错误.3.如果a, b, c满足c<b<a，且ac<0，那么下列选项中不一定成立的是（C ）A. ab>ac C. cb2<ab2B. bc>acD. ac(a—c)<0解析因为c v b v a,且ac v0,所以a>0, c v 0,所以ab—ac= a( b—c) > 0, bc—ac=（b—a）c> 0, ac（a—c）v 0,所以A, B, D项均正确.因为b可能等于0,也可能不等于0, 所以cb2v ab2不一定成立.4.已知0<a<b<1，则（D ）A. 1 1 >- baC .2(lg a) <(lg b) lg a>lg b解析因为0v a v b v 1,所以1—1b aa—b v0,ab可得b v1；£)>&(lg a)2>(lg b)2；a bB a +C V b+C7t € y, ，‘ i 0, nn ，那么2 a —-B 的取值范围是（D ） A. 0,B. C. (0 ,D .7t解析 B n 由题设得0V 2 a Vn , 0W — WBe n3T w °」—V 2a —亏 vn.6. （xx •湖北重点高中联考）已知 O v c v 1,1 > a > b >0，下列不等式成立的是 （D ）A.C. ba c > ab cD. log a c > log b e解析对于A 项，构造函数y = c ，因为0<c <1，故函数是减函数，a >b >0,根据单调性得知c a<c b,故A 项错误；对于B 叽a ba + c cb +c ca^<b +?两边取倒数得盲二1 + a -^=1 + b ,c c a + c b + c a b因为0<c <1,1> a >b >0,故a <b ? ，取倒数得a +c >b +c ，故B 项错误；对于 C 项, ba c >ab c ,两边变形得a c <b ，整理得bac <ab c ,故C 项错误；对于D 项，由条件和结论知log a c >0. log b c >0,利用对数函数的换底公式，则有1 1> ? log a C >log b C ,故D 项正确.故选 D.log c a log c b 二、填空题a b 1 1 5 2^7.已知a + b >0,则+E 与a + b 的大小关系是 _卞+孑七+£ .(1 1、a +b a — b 2=(a —b )E —a 2 = 矿, , 2因为 a + b > 0, ( a — b )》0,2a + ba —b a b 11所以r"2>0,所以 口+ 2> +-.a bb a a b(9 13、& 若一1<a + b <3,2<a — b <4,贝U 2a + 3b 的取值范围为 —二2，丁卜-. 解析 设 2a + 3b = x (a + b ) + y (a — b ),1 ,—2<- |(a - b ) <- 1, 9 5 113所以一|<|(a + b ) -|(a - b ) <-|, 9 13 即- |< 封 3b < 亍 9.已知下列结论：2 21 1①若a >| b |，则a >b ;②若a >b ,则一<匚; a b③若 a >b ，则 a 3>b 3 ；④若 a <0，- 1<b <0，则 ab >a . 其中所有正确结论的序号是—①③④__.解析对于①，因为a >|b | >0,所以『>b ：即①正确; 对于②，当a = 2, b =- 1时，显然不正确； 对于③，显然正确；对于④，因为a < 0, - 1< b < 0,ab 2- a = a ( b 2- 1) >0,所以 ab 2>a ,即④正确.三、解答题310. 若实数a -X 比较a + 2与三的大小.2 |3— a — a — 1 a + a + 1 1 - a = 1 - a = a - 1 ,•••当 a > 1 时，a + 2>辟一 1 - a , ,3 当 a <1 时，a + 2<. 1 - aX , c11. 已知x , y 为正实数，满足 K lg xy < 2,3 < lg 4,求lg( x 4y 2)的取值范围.解析 设 a = lg x , b = lg y ，贝U lg xy = a + b ,x 4 2lg y = a - b , lg ( xy ) = 4a + 2b .设 4a + 2b = m a + b ) + n ( a - b ),x + y = i , 则*x - y = 3,5 x = 2,解得y =1 2.15又因为一|<|(a + b ) v~2, 解析4 2X ••• lg( xy ) = 3lg ( xy ) + lg y . x•/ 3< 3lg ( xy ) < 6,3 < lg y < 4,•6w lg( x 4y 2) w 10,即 lg( x 4y 2)的取值范围是[6,10]2C12 .已知函数f ( x ) = ax + bx + c 满足f (1) = 0,且a >b >c ，求 的取值范围. a 解析 ••• f (1) = 0,.・.a + b + c = 0, • b =- (a + c ). 又 a >b >c ,a >- (a + c ) >c ,且 a >0, c v 0,2019-2020年高考数学大一轮复习第六章不等式推理与证明课时达标32一元二次不等式及其解法n = 4, m- n = 2,解得3,|n = 1.a + c a cc c>a ,即1 >-1 -a >a「2C一v — a1,c 1 c解得-2v c v- 2,即c 的取值范围是 ［解密考纲］考查一元二次不等式的解法, 的形式出现.一、选择题常利用判别式讨论解集，常以选择题或填空题2 1 .不等式xn<1的解集是（A ） A. ( —s, — 1) U (1 ,+s)C. ( —s, — 1)B. (1 ,+s) D. ( — 1,1)解析v 1, 21 一 x.一1v 0即x+7 v 0，该不等式可化为(x + 1)( x — 1) >0,. x v — 1 或 x > 1.故选 A.2. (xx •湖南株洲期中)在R 上定义运算O ： a O b = ab + 2a + b ,则满足x O (x — 2) v 0a >-解析 根据条件由x O (x — 2)<0，得(x + 2)( X — 1)<0，解得—2<x <1.故选B .的实数X 的取值范围为(B )A. (0,2)B. ( — 2,1)C. ( —s,— 2) U (1 ,+s)D. ( — 1,2)3.函数y = In A. {x | — 1<x <2}C. {x |0<x w 1} B. {x |0< x <1}D. {x | — 1<x w 2}解析由题意知P + x >0， J — x 2> 0,x > 0 或 x v — 1,解得—1W x < 1,所以函数 y = In1 — x 2的定义域为{x |0 v x w 1}.故选C.2 24 . (xx •辽宁庄河联考)不等式ax + bx + 2>0的解集为{x | — 1<x <2},则不等式2x + bx + a >0的解集为(A )「I 、 T rA. c x x <— 1 或 x >2 fB.宅 xC. {x | — 2<x <1}D. {x |x < — 2 或 x >1} 解析 T 不等式ax 2 + bx + 2>0的解集为{x | — 1<x <2},2••• ax + bx + 2= 0 的两根为—1,2，且 a <0,即一1+ 2=— b , ( — 1) x 2=彳，解得 a =— 1, b = 1,2 1则所求不等式可化为 2x + x — 1>0,解得x <— 1或x >^. 故选A. 2一一_25.若ax + bx + c <0的解集为{x | x <— 2或x >4}，则对于函数 f (x ) = ax + bx + c 应有 (B ) A. f (5)< f (2)< f ( — 1)B. f (5)< f ( — 1)<f (2)C. f ( — 1)<f (2)< f (5)D. f (2)< f ( — 1)<f (5)解析 ■/ ax + bx + c v 0 的解集为{x | x v — 2 或 x >4}, • a v 0，而且函数 f (x ) = ax + 4— 2bx + c 的图象的对称轴方程为 x =—厂=1 , • f ( — 1) = f (3).又•••函数f (x )在［1 ,+s )上是减函数， • f (5) v f (3) v f (2)，即 f (5) v f ( — 1) v f (2).故选 B. 1 +—x 2的定义域为(2 26.若不等式（a — a ）（x + 1） + x wo 对一切x € （0,2 ]恒成立，则a 的取值范围是（C ）2 x 1-x € (0,2]，…a — a 》~=x + 11x+ —x1由基本不等式得x + 2,当且仅当x = 1时，等号成立，x解析 矩形的一边长为x ，则由相似三角形可得其邻边长为 —x ) =— x 2 + 40x ，由 S >300,得—x 2+ 40x >300,解得 10< x <30.&若对任意实数p € [ — 1,1]，不等式px 2 + (p — 3)x — 3>0成立，则实数x 的取值范围要使a 2— a >1在x € （0,2]广1 、x +-max=2.解得 1+ *3 2、填空题7•在如图所示的锐角三角形空地中，欲建一个面积不小于 影部分），则其边长x （单位：m ）的取值范围是[10,30].300 m 2的内接矩形花园（阴40 — x ，故矩形面积 S = x （40 解析则为(—3,—1)解析不等式可变形为(x2+ x) p—3x — 3 > 0，令f ( p) = (x2+ x) p —3x —3 , p € [—f — ]> 0,1,1].原不等式成立等价于f (p ) > 0 , p € [ — 1,1],贝U即f 1 > 0，一 x — x — 3x 一 3 > 0, 2 解得—3< x v — 1. x + x — 3x — 3 > 0,9.已知二次函数f (x )的二次项系数为a,且不等式f (x )>0的解集为(1,2)，若方程f (x )的最大值小于1，则a 的取值范围是 _( — 4,0)一解析 由题意知 a <0,可设 f (x ) = a (x — 1)( x — 2) = ax 2 — 3ax + 2a ,- f (x )max = f j 2 = a “—4< 1，二 a >— 4，故—4<a <0.三、解答题__ 210 .已知 f (x ) = — 3x + a (6 — a ) x + 6. (1) 解关于a 的不等式f (1)>0 ;(2) 若不等式f (x )>b 的解集为(一1,3)，求实数a , b 的值.解析 (1)由题意知 f (1) = — 3 + a (6 — a ) + 6= — a + 6a + 3> 0, 即 a 2— 6a — 3< 0，解得 3 — 2 3< a < 3+ 2 3. •••不等式的解集为{a |3 — 2 3< a < 3 + 2 3}. (2) T f (x ) > b 的解集为(—1,3),2•方程一3x + a (6 — a ) x + 6 — b = 0 的两根为一1,3 ,211. 解关于 x 的不等式 ax — (2 a + 1)x + 2<0(a € R). 解析 原不等式可化为(ax — 1)( x — 2) < 0. ①当a >0时，原不等式可以化为a (x — 2) i x — <0，等价于(x —2) •f 1、 1 1 1方程(x — 2) x —匚=0的两个根分别是 2, -，所以当0< a <；时，2<-,则原不等式的解集\ a ) a 2 a;当a =寸时，原不等式的解集是 ?;.a 6 — a一1 +3=—'沁——导解得,a = 3 ± 汎：3, b = — 3.x — - < 0.因为a②当a = 0时，原不等式为一(x — 2) < 0,解得x > 2,即原不等式的解集是{x |x > 2}. ③当a < 0时，原不等式可以化为a (x — 2) i x —- <0,根据不等式的性质，这个不等式匕 a1 1当a > 1时，孑2,则原不等式的解集是x - < x < 2 a等价于(x -2) x —a > °,i由于a <2,故原不等式的解集是综上所述，当a v 0时，不等式的解集为jx x v aa1 1当a = 0时，不等式的解集为｛x |x > 2｝；当0v av ：时，不等式的解集为「X 2 v xv ；-2 a 1 1 ‘1 当a = §时，不等式的解集为？；当a >时，不等式的解集为j x - v x v 2,< 12. 已知二次函数f (x )的二次项系数为 a ,且不等式f (x )> -2x 的解集为(1,3). (1)若方程f (x ) + 6a = 0有两个相等的实根，求f (x )的解析式;⑵若f (x )的最大值为正数，求a 的取值范围.解析(1)因为f (x ) + 2x > 0的解集为(1,3),f (x ) + 2x = a ( x - 1)( x - 3)，且 a v 0,因而 f (x ) = a (x - 1)( x -3) -2x = ax 2-(2 + 4a )x + 3a . ①由方程 f (x ) + 6a = 0,2得 ax - (2 + 4a ) x + 9a = 0. ②因为方程②有两个相等的实根， 所以△ = [ — (2 + 4a )] 2-4a ・9 a = 0,2 1 即 5a -4a - 1 = 0,解得 a = 1 或 a =-.51由于a v 0,舍去a =I ，将a =-5代入①,I 2 6 得 f (x ) =— 5X - g x -(2)由 f (x ) = ax 2-2(1 + 2a )x + 3a = a及a v 0,可得f (x )的最大或x > 22 , /a + 4a +1 a等价于(x -2) x —a > °,2 , /a + 4a + 1a2a + 4a + 1- > 0, 由 a a v 0,故当f (x )的最大值为正数时，实数 a 的取值范围是(一汽一2- ,3) U ( - 2+ . 3, 0). 值为— 解得 a v-2- ,3或—2+ 3v a v 0.。
2019年高考数学一轮复习 第六章 不等式、推理与证明 第32讲 不等关系与不等式实战演练 理
2019年高考数学一轮复习 第六章 不等式、推理与证明 第32讲 不等关系与不等式实战演练 理1．(2016·北京卷)已知x ，y ∈R ，且x ＞y ＞0，则( C )A ．1x －1y ＞0B ．sin x －sin y ＞0C ．⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －⎝ ⎛⎭⎪⎫12y ＜0 D ．ln x ＋ln y ＞0 解析：函数y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 在(0，＋∞)上为减函数，∴当x ＞y ＞0时，⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ＜⎝ ⎛⎭⎪⎫12y ，即⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －⎝ ⎛⎭⎪⎫12y ＜0，故C 正确；函数y ＝1x 在(0，＋∞)上为减函数，∴由x ＞y ＞0⇒1x ＜1y ⇒1x －1y＜0，故A 错误；函数y ＝sin x 在(0，＋∞)上不单调，当x ＞y ＞0时，不能比较sin x 与sin y 的大小，故B 错误；x ＞y ＞0⇒/ xy >1⇒/ ln(xy )>0⇒/ ln x ＋ln y ＞0，故D 错误．2．(2016·浙江卷)已知a ，b >0且a ≠1，b ≠1，若log a b >1，则( D )A ．(a －1)(b －1)<0B ．(a －1)(a －b )>0C ．(b －1)(b －a )<0D ．(b －1)(b －a )>0解析：讨论a 的取值范围，可以利用指数式、对数式的互化将条件转化为a 与b 的关系，再判断即可．∵a ，b >0且a ≠1，b ≠1，∴当a >1，即a －1>0时，不等式log a b >1可化为a log a b >a 1，即b >a >1，∴(a －1)(a －b )<0，(b －1)(a －1)>0，(b －1)(b －a )>0，(b －1)(b －a )>0.当0<a <1，即a －1<0时，不等式log a b >1可化为a log a b <a 1，即0<b <a <1，∴(a －1)·(a －b )<0，(b －1)(a －1)>0，(b －1)(b －a )>0.综上可知，选D ．3．(2014·山东卷)已知实数x ，y 满足a x ＜a y (0＜a ＜1)，则下列关系式恒成立的是( D )A ．1x 2＋1＞1y 2＋1B ．ln(x 2＋1)＞ln(y 2＋1)C ．sin x ＞sin yD ．x 3＞y 3解析：∵a x ＜a y,0＜a ＜1，∴x ＞y ，∴x 3＞y 3.4．(2015·浙江卷)有三个房间需要粉刷，粉刷方案要求：每个房间只用一种颜色，且三个房间颜色各不相同．已知三个房间的粉刷面积(单位：m 2)分别为x ，y ，z ，且x <y <z ，三种颜色涂料的粉刷费用(单位：元/m 2)分别为a ，b ，c ，且a <b <c .在不同的方案中，最低的总费用(单位：元)是( B )A ．ax ＋by ＋czB ．az ＋by ＋cxC．ay＋bz＋cx D．ay＋bx＋cz解析：(ax＋by＋cz)－(az＋by＋cx)＝a(x－z)＋c(z－x)＝(a－c)(x－z)>0.故选项A中的不是最低费用；(ay＋bz＋cx)－(az＋by＋cx)＝a(y－z)＋b(z－y)＝(a－b)(y－z)>0，故选项C中的不是最低费用；(ay＋bx＋cz)－(az＋by＋cx)＝a(y－z)＋b(x－y)＋c(z－x)＝a(y－z)＋b(x－y)＋c(z－y＋y－x)＝(a－c)(y－z)＋(b－c)(x－y)>0，选项D中的不是最低费用．综上所述，选项B中的为最低费用．。
2019年高考数学一轮复习 第六章 不等式、推理与证明 课时达标32 不等关系与不等式 理
2019年高考数学一轮复习 第六章 不等式、推理与证明 课时达标32不等关系与不等式 理[解密考纲]主要考查不等式及其性质，以选择题或填空题的形式出现，位于选择题或填空题的中间位置，难度较易或中等．一、选择题1．设a ，b 为实数，则“a <1b 或b <1a”是“0<ab <1”的( D )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析：可通过举反例说明，当a ＝b ＝－10时，a ＜1b ，b ＜1a，但ab ＝100＞1，所以不是充分条件；反之，当a ＝－1，b ＝－12时，0＜ab ＜1，但a ＞1b ，b ＞1a ，所以不是必要条件．综上可知“a ＜1b 或b ＜1a”是“0＜ab ＜1”的既不充分也不必要条件．2．若1a <1b<0，则下列结论不正确的是( D )A ．a 2<b 2B ．ab <b 2C ．a ＋b <0D ．|a |＋|b |>|a ＋b |解析：令a ＝－1，b ＝－2，代入选项验证可知选项D 错误，故选D ．3．(2017·浙江富阳模拟)如果a ，b ，c 满足c <b <a ，且ac <0，那么下列选项中不一定成立的是( C )A ．ab >acB ．bc >acC ．cb 2<ab 2D ．ac (a －c )<0解析：因为c ＜b ＜a ，且ac ＜0，所以a ＞0，c ＜0，所以ab －ac ＝a (b －c )＞0，bc －ac ＝(b －a )c ＞0，ac (a －c )＜0，所以A ，B ，D 均正确．因为b 可能等于0，也可能不等于0，所以cb 2＜ab 2不一定成立．4．(2017·广东实验中学模拟)已知0<a <b <1，则( D ) A ．1b >1a B ．⎝ ⎛⎭⎪⎫12a <⎝ ⎛⎭⎪⎫12 b C ．(lg a )2<(lg b )2D ．1lg a >1lg b解析：因为0＜a ＜b ＜1，所以1b －1a ＝a －b ab ＜0，可得1b ＜1a ；⎝ ⎛⎭⎪⎫12a ＞⎝ ⎛⎭⎪⎫12b；(lg a )2＞(lg b )2；lg a ＜lg b ＜0，可得1lg a ＞1lg b.综上可知，只有D 正确．5．(2017·四川成都模拟)已知a ，b 为非零实数，且a <b ，则下列不等式一定成立的是( C )A ．a 2<b 2B ．ab 2>a 2bC ．1ab 2<1a 2bD ．b a <a b解析：若a ＜b ＜0，则a 2＞b 2，故A 错；若0＜a ＜b ，则b a ＞a b，故D 错；若ab ＜0，即a ＜0，b ＞0，则a 2b ＞ab 2，故B 错．6．(2017·陕西西安检测)设α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，β∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2，那么2α－β3的取值范围是( D )A ．⎝ ⎛⎭⎪⎫0，5π6B ．⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6，5π6C ．(0，π)D ．⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6，π解析：由题设得0＜2α＜π，0≤β3≤π6，∴－π6≤－β3≤0，∴－π6＜2α－β3＜π.二、填空题7．(2017·山西四校联考)已知a ＋b >0，则a b2＋b a2与1a ＋1b的大小关系是a b2＋b a2≥1a ＋1b.解析：a b2＋b a2－⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋1b ＝a －b b 2＋b －a a2＝(a －b )⎝ ⎛⎭⎪⎫1b 2－1a 2＝a ＋b a －b 2a 2b 2.因为a ＋b ＞0，(a －b )2≥0， 所以a ＋ba －b2a 2b2≥0，所以a b2＋b a2≥1a ＋1b.8．(2017·江苏模拟)若－1<a ＋b <3,2<a －b <4，则2a ＋3b 的取值范围为⎝ ⎛⎪⎫－92，132. 解析：设2a ＋3b ＝x (a ＋b )＋y (a －b )，则⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝2，x －y ＝3，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝52，y ＝－12.又因为－52＜52(a ＋b )＜152，－2＜－12(a －b )＜－1，所以－92＜52(a ＋b )－12(a －b )＜132，即－92＜2a ＋3b ＜132.9．(2017·贵州遵义模拟)已知下列结论： ①若a >|b |，则a 2>b 2；②若a >b ，则1a <1b；③若 a >b ，则a 3>b 3；④若a <0，－1<b <0，则ab 2>a . 其中正确的是①③④(只填序号即可)．解析：对于①，因为a ＞|b |≥0，所以a 2＞b 2，即①正确； 对于②，当a ＝2，b ＝－1时，显然不正确；对于③，显然正确；对于④，因为a ＜0，－1＜b ＜0，ab 2－a ＝a (b 2－1)＞0，所以ab 2＞a ，即④正确．三、解答题10．若实数a ≠1，比较a ＋2与31－a 的大小．解析：∵a ＋2－31－a ＝－a 2－a －11－a ＝a 2＋a ＋1a －1，∴当a ＞1时，a ＋2＞31－a ；当a ＜1时，a ＋2＜31－a.11．已知x ，y 为正实数，满足1≤lg xy ≤2,3≤lg xy≤4，求lg(x 4y 2)的取值范围． 解析：设a ＝lg x ，b ＝lg y ，则lg xy ＝a ＋b ，lg x y＝a －b ，lg x 4y 2＝4a ＋2b ，设4a ＋2b ＝m (a ＋b )＋n (a －b )，∴⎩⎪⎨⎪⎧m ＋n ＝4，m －n ＝2，解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝3，n ＝1.∴lg x 4y 2＝3lg xy ＋lg xy.∵3≤3lg xy ≤6,3≤lg xy≤4，∴6≤lg(x 4y 2)≤10，即lg(x 4y 2)的取值范围是[6,10]．12．已知函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c 满足f (1)＝0，且a >b >c ，求c a的取值范围． 解析：∵f (1)＝0，∴a ＋b ＋c ＝0，∴b ＝－(a ＋c )． 又a ＞b ＞c ，∴a ＞－(a ＋c )＞c ，且a ＞0，c ＜0， ∴1＞－a ＋c a ＞c a ，即1＞－1－c a ＞ca ，∴⎩⎪⎨⎪⎧2c a ＜－1，ca ＞－2，解得－2＜c a ＜－12，即c a 的取值范围是⎝⎛⎭⎪⎫－2，－12.。
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3．不等式的一些常用性质 (1)倒数的性质 ①a＞b，ab＞0⇒a1___＜___1b； ②a＜0＜b⇒1a___＜____1b； ③a＞b＞0，d>c>0⇒ac___＞___db； ④0＜a＜x＜b或a＜x＜b＜0⇒1b__＜____1x__＜____a1.
(2)有关分数的性质 若a＞b＞0，m＞0，则： ①ba＜ba＋ ＋mm，ba＞ba－ －mm(b－m＞0)； ②ab＞ab＋ ＋mm，ab＜ab－ －mm(b－m＞0)．
1．思维辨析(在括号内打“√”或“ Nhomakorabea”)． (1)两个实数a，b之间，有且只有a＞b，a＝b，a＜b三种关系中的一种．( √ ) (2)一个不等式的两边同加上或同乘以同一个数，不等号方向不变．( × ) (3)一个非零实数越大，则其倒数就越小．( × ) (4)同向不等式具有可加和可乘性．( × ) (5)两个数的比值大于1，则分子不一定大于分母．( √ )
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1．两个实数比较大小的方法
(1)作差法aa－ －bb＞ ＝00⇔ ⇔aa__＝__＞____bbaa， ，bb∈ ∈RR， ， a－b＜0⇔a_＜___ba，b∈R.
ab＞1⇔a__＞__ba∈R，b＞0， (2)作商法ab＝1⇔a_＝___ba∈R，b＞0，
ab＜1⇔a_＜___ba∈R，b＞0.
解析 (1)正确．两个实数a，b之间的大小关系只有三种． (2)错误．同乘以一个负数或0时不等号改变． (3)错误．如－2<2，而－12＜12. (4)错误．同向不等式具有可加性，但不一定具有可乘性，如1＜2，－3＜－2， 但－3>－4. (5)正确．当这个比值中的分母小于零时，分子小于分母，当这个比值中的分母 大于零时，分子大于分母．
①loga(1＋a)＜loga1＋1a； ②loga(1＋a)＞loga1＋1a；
③a1＋a＜a1＋1a；
④a1＋a＞a1＋1a.
其中成立的是( D )
A．①与③
B．①与④
C．②与③
D．②与④
(3)若a＝ln33，b＝ln22，则a与b的大小关系为__a_＞__b___.
解析 (1)M－N＝a1a2－(a1＋a2－1)＝a1a2－a1－a2＋1 ＝a1(a2－1)－(a2－1)＝(a1－1)(a2－1)， 又∵a1∈(0,1)，a2∈(0,1)，∴a1－1＜0，a2－1＜0. ∴(a1－1)(a2－1)＞0，即M－N＞0.∴M＞N. (2)当0＜a＜1时，(1＋a)－1＋1a＝a＋1aa－1＜0， 则1＋a＜1＋1a，因此②④成立． (3)∵a＝ln33＞0，b＝ln22＞0，∴ba＝ln33·ln22＝32llnn 23＝llnn 98＞1，∴a＞b.
(3)单调性法：利用有关函数的单调性比较大小． (4)特殊值验证法：对于一些题目，有的给出取值范围，可采用特殊值验证法比 较大小．
【例1】 (1)已知a1，a2∈(0,1)，记M＝a1a2，N＝a1＋a2－1，则M与N的大小关系 是( B )
A．M＜N
B．M＞N
C．M＝N
D．不确定
(2)对于0＜a＜1，给出下列四个不等式：
性质 同向可加性
同向同正可乘性 可乘方性 可开方性
性质内容 ac＞＞db⇒_a_＋__c_＞__b_＋__d__ ac＞＞db＞＞00⇒__a_c_＞__b_d_＞__0___ a＞b＞0⇒__a_n_＞__b_n _(n∈N，n≥1)
a＞b＞0⇒_n_a_＞__n__b_(n∈N，n≥2)
特别提醒 ⇒ ⇒
一 比较两个数(式)的大小
比较大小的常用方法 (1)作差法：其基本步骤为作差、变形、判断符号、得出结论．用作差法比较大 小的关键是判断差的正负，常采用配方、因式分解、分子(分母)有理化等变形方 法．
(2)作商法：即判断商与1的关系，得出结论．要特别注意当商与1的大小确定后 必须对商式分子分母的正负进行判断，这是用作商法比较大小时最容易漏掉的关键 步骤．
D．a3＞b3
解析 y＝x3在(－∞，＋∞)上为增函数，所以a3＞b3.
5．下列各组代数式所有正确的判断是__①__③__④____. ①x2＋5x＋6＜2x2＋5x＋9； ②(x－3)2＜(x－2)(x－4)； ③当x＞1时，x3＞x2－x＋1； ④x2＋y2＋1＞2(x＋y－1)． 解析 ①2x2＋5x＋9－x2－5x－6＝x2＋3>0， 所以x2＋5x＋6＜2x2＋5x＋9，故①正确．
②(x－3)2－(x－2)(x－4)＝1， 所以(x－3)2＞(x－2)(x－4)，故②错误． ③当x＞1时，x3－(x2－x＋1)＝(x－1)(x2＋1)＞0， 所以当x＞1时， x3＞x2－x＋1，故③正确． ④x2＋y2＋1－2(x＋y－1)＝(x－1)2＋(y－1)2＋1＞0， 所以x2＋y2＋1＞2(x＋y－1)，故④正确．
第六章
不等式、推理与证明
第31讲 不等关系与不等式
考纲要求
考情分析
命题趋势
1.了解现实世界和日常生活中的不 等关系． 2．了解不等式(组)的实际背景． 3．掌握不等式的性质及应用.
2016·北京卷，5 2016·浙江卷，8 2016·江苏卷，5
分值：5分
利用作差、作商法比较大小， 利用不等式的性质判断关于不 等式的命题的真假.
3．若a＞b＞0，c＜d＜0，则一定有( D )
A．ac＞bd
B．ac＜bd
C．da＞bc
D．ad＜bc
解析 因为c＜d＜0，所以－c＞－d＞0，即得－1d＞－1c＞0，又a＞b＞0，得－ad
＞－bc，从而有ad＜bc.
4．设a，b，c∈R，且a＞b，则( D )
A．ac＞bc
B．1a＜1b
C．a2＞b2
2．不等式的基本性质 性质
对称性 传递性 可加性
可乘性
性质内容 a＞b⇔___b_＜__a__ a＞b，b＞c⇒___a_＞__c__ a＞b⇔__a_＋__c_＞__b_＋__c_ ac＞＞0b⇒__a_c_＞__b_c_ ac＜＞0b⇒__a_c_＜__b_c_
特别提醒 ⇔ ⇒ ⇔
注意c的符号
2．下列四个结论，正确的是( D )
①a＞b，c＜d⇒a－c＞b－d；②a＞b＞0，c＜d＜0⇒ac＞bd；
③a＞b＞0⇒3 a＞3 b；④a＞b＞0⇒a12＞b12.
A．①②
B．②③
C．①④
D．①③
解析 利用不等式的同向可加性可知①正确；根据不等式的性质可知ac＜bd，
1
故②不正确；因为函数y＝x 3 是单调递增的，所以③正确；对④由a＞b＞0可知a2＞ b2＞0，所以a12＜b12，所以④不正确．故选D．