第四章 曲线积分与曲面积分 第一节 对弧长的曲线积分
线面积分
一、曲线积分、曲面积分的计算公式1. 对弧长的曲线积分(,)Lf x y ds ⎰的计算公式:(,)Lf x y ds ⎰中，L 为一段光滑的平面曲线，其参数方程为(),t (),x x t y y t αβ=⎧≤≤⎨=⎩ (,)f x y 为定义在曲线L 上的一连续函数.为熟练掌握计算公式，关键是把握以下两点：1)积分变量,x y 在曲线L 上，故,x y 满足曲线L 的方程；2)ds 是曲线L的弧长的微分，故ds =. 所以有如下的计算公式:(,)[(),(Lf x y ds f x t y t βα=⎰⎰.对L 是空间曲线段的情况，有类似的公式. 设L 的方程为 (),(), t (),x x t y y t z z t αβ=⎧⎪=≤≤⎨⎪=⎩(,,)f x y z 在L 上连续，则对弧长的曲线积分(,,)[(),(),(Lf x y z ds f x t y t z t βα=⎰⎰.弧微元 dt t z t y t x ds )(')(')('222++=2. 对坐标的曲线积分(,)(,)ABL P x y dx Q x y dy +⎰在(,)(,)ABL P x y dx Q x y dy +⎰中，AB L 是以A 为起点，以B 为终点，参数方程为 ()()x x t y y t =⎧⎨=⎩的平面曲线，A 点的坐标为((),())x y αα，B 点的坐标为((),())x y ββ.物理意义：变力F沿曲线L 所做的功⎰⎰+=∙=LLQdy Pdx r d F W其中 }.,{;}),(,),({dy dx r d y x Q y x P F ==为熟练掌握该积分的计算公式，关键是把握以下两点：1) 积分变量（,x y ）在AB L 上，故满足曲线方程(),()x x t y y t ==； 2) (),()dx x t dt dy y t dt ''==. 对坐标的曲线积分的计算公式为(,)(,){[(),()]()[(),()]()}ABL P x y dx Q x y dy P x t y t x t Q x t y t y t dt βα''+=+⎰⎰.,αβ分别对应于,A B 点的参数t 的值，可能,αβ<也可能αβ>.类似地，对于空间曲线AB L ，也有类似的计算公式.设AB L 是以A 为起点，以B 为终点，参数方程为 ()()()x x t y y t z z t =⎧⎪=⎨⎪=⎩的空间曲线，A 点的坐标为((),(),())x y z ααα，B 点的坐标为((),(),())x y z βββ，(,,),(,,),(,,)P x y z Q x y z R x y z 在曲线AB L 上连续，则(,,)(,,)(,,)ABL P x y z dx Q x y z dy z x y z dz ++⎰{[(),(),()]()[(),(),()]()[(),(),()]()}P x t y t z t x t Q x t y t z t y t R x t y t z t z t dt βα'''=++⎰.两类曲线积分之间的关系。
曲线积分与曲面积分
目录1对弧长的曲线积分 （扩展）对弧长曲线积分的应用2对坐标的曲线积分 3格林公式及其应用 4对面积的曲面积分课后典型题1对弧长的曲线积分之前已经学过计算曲线长度的积分（1）对于y=y(x)（2）对于参数方程()()x x t y y t =⎧⎨=⎩（3）对于极坐标方程是()r r θ=，转成直角坐标()cos ()sin x r y r θθθθ== ，则'()'cos sin '()'sin cos x r r y r r θθθθθθ=-=+。
代入上面3个都是求弧长，现在求的是在弧长上对某个被积函数f(x,y)积分。
那么，如果把被积函数f(x,y)看成是密度，那么得到的就是曲线质量。
当然如果密度均匀为1，则求的弧长积分就是弧长。
如果把被积函数f(x,y)看成是高度z,那么得到的就是一个柱面表面积。
对弧长的曲线积分，称为“第一类曲线积分”。
扩展到空间，若被积函数是f(x,y,z)那么，就表示在空间曲线L 的密度，求得的结果就是空间的线质量。
定义：01(,)lim (,)niiii Lf x y ds f s λξη→==∆∑⎰ 计算步骤 1画出图形2写出L 的方程，指出自变量范围，确定积分上下限（下限必须小于上限） 3由L 类型写出对应ds 的表达式4因被积函数f(x,y)的点x ，y 在L 上变动，因此x ，y 必须满足L 的方程。
即把L 中的x ，y 代入被积函数f(x,y)中。
5写出曲线积分的定积分表达式，并计算。
注，二重积分中xy 在投影域D 内动，而被积函数的xy 在L 上动，故(x ，y)必须满足L 。
如，L 的方程y=k,则()LLf x ds kds ks ==⎰⎰（保留。
还不太懂）参数方程设曲线有参数方程()()x x t L y y t =⎧⎨=⎩，则有：显式方程 设曲线为L ：y=y(x) ，则有：设曲线为L ：x=x(y) ，则有： 极坐标方程 设曲线为:(),([,])L rr θθαβ=∈ 则有：空间曲线方程设曲线为空间曲线():()()x x t L y y t z z t =⎧⎪=⎨⎪=⎩，则有： 设在L 上f(x,y)<=g(x,y)，则(,)(,)LLf x y dsg x y ds ≤⎰⎰，特别的，有(,)(,)LLf x y dsg x y ds ≤⎰⎰此性质不能用于第二类曲线积分扩展 对弧长曲线积分的应用（其实和二重积分一样，完全可以自己推导）质心坐标：LLx dsx dsρρ=⎰⎰ 、LLy dsy dsρρ=⎰⎰转动惯量：I=mr^2,因此有2(,)x LI y x y ds ρ=⎰设平面力场的力为(,)(,)(,)x y P x y Q x y =+F i j 求该力沿着曲线L 从a 到b 所做的功。
对弧长的曲线积分教案
第十章曲线积分与曲面积分 第一节 对弧长的曲线积分一．对弧长的曲线积分的概念 1．引入平面曲线构件L 的线密度ρ是常数，则平面曲线L 的质量为L M ρ=平面曲线构件L 的线密度ρ非均匀的，即ρ是非常数，却是曲线构件L 上点的函数),(y x f =ρ，则平面曲线构件L 质量的计算是把曲线弧L 分成n 个小段:n s s s ∆∆∆,,,21 ，其中i s ∆也表示第i 段小弧的长（0≥i s ）。
在小段弧i s ∆上任意取一点),(i i ηξ，则该小段弧的质量近似为i i i s f ∆),(ηξ曲线构件L 的质量近似为∑=→∆ni i i i s f 1),(lim ηξλ那么，曲线构件L 的质量为∑=→∆=ni i i i s f M 1),(lim ηξλ其中}{max 1i ni s ∆=≤≤λ2．对弧长的曲线积分的概念定义 设定义在平面曲线L 上的有界函数),(y x f ，将曲线弧L 任意分割成n 小段弧i s ∆，且并以i s ∆表示第i 段小弧的长，在每小段弧i s ∆上任意取一点),(i i ηξ，作和式∑=∆ni iiisf 1),(ηξ当最大小段弧的长趋于零时，和式的极限存在∑=→∆ni i i i s f 1),(lim ηξλ则此极限值称为函数),(y x f 在平面曲线L 上对弧长的曲线积分（或称为第一类曲线积分）。
记作⎰Lds y x f ),(∑=→∆=ni i i i s f 1),(lim ηξλ其中}{max 1i ni s ∆=≤≤λ，),(y x f 叫做被积函数，ds y x f ),(叫做被积表达式，ds 称为弧微分，L 称为积分路径。
如果L 是封闭曲线，则曲线积分记为⎰Lds y x f ),(3．对弧长的曲线积分的性质 对弧长的曲线积分与积分路径无关，即⎰⎰=BAABds y x f ds y x f 弧弧),(),(。
由于对弧长的曲线积分的定义与定积分、重积分的定义类似，因此也有与它们相类似的性质。
曲线积分
根据对弧长的曲线积分的计算公式,得 1 3 1 2 2 3 yds 3t t 1dt t 1d t 2 1 =…… L 0 2 0
例 3 设空间曲线 L 为螺旋线 x a cos t ﹑ y a sin t ﹑
z bt 上相应于 t 从 0 到 2π 的一段，试计算曲线积分
பைடு நூலகம்
L
( x 2 y 2 z 2 )ds .
解： 根据对弧长的曲线积分的计算推广公式,得
(x
L
0
2
y z )ds
2 2
[(a cos t ) 2 (a sin t ) 2 (bt ) 2 ] (a sin t ) 2 (a cos t ) 2 b 2 dt
L
二、对弧长的曲线积分的计算
定理1 设 L 是光滑曲线,其参数方程为 x (t ) , （ t ）, y (t ) , f ( x, y) 为定义在 L 上的连续函数,
则曲线积分 f ( x, y )ds ，并且
L
L
f ( x, y )ds f [ (t ), (t )] 2 (t ) 2 (t )dt
2π
2 2 1 2 3 a b a t b t π a2 b2 (3a2 4π2b2 ) 3 0 3
2 2
2π
例4 求 I 解
L
x2 y 2 ds, L : x2 y 2 2ax,(a 0).
(0 t 2π)
x a a cos t L: y a sin t
关；
4、 f ( x , y )ds = f [ ( t ), ( t )] 2 ( t ) 2 ( t ) dt
曲线积分与曲面积分
I2(2x yy2z)dx d2 y xyd x dd x(y 2x)d yy
1
D xy
a a2 x2
(3) I x2zdy d(xz2yz3)dz d(2xxy y2z)dxdy I1I2
2020/6/10
>> syms a x y z s r t >>P=x*z^2; >>Q=x^2*y-z^2; >>R=2*x*y+y^2*2; >>f=diff(P,z)+diff(Q,y)+diff(R,z); >>f=subs(f,{x,y,z},{'r*sin(s)*cos(t)',
逆时针方向。
2 、计算下列曲面积分
2020/6/10
(1) (2xy2x2xz)ds，其中Σ为平
(2) 面2x+2y+z=6在处一卦限中的部分.
(2) x2 y2zdxdy,其中Σ是球面x2+y2+z2=R2
的下半部分的下侧。
(3) xdydzydzdxzdx，d其y 中Σ是界于
z=0和z=3之间的圆柱体x2+y2≤9 的整个表面的外侧。
R[x(t),y(t),z(t)]z(t)}dt
[例2]计算∫Γx3dx+3zy2dy-x2ydz，其中 Γ是从点A（3，2，1）到点B（0，0，0）
的直线段 AB 。
2020/6/10
[解]直线段 AB 的方程为 x y z
321
x 3t
化为参数方程
y
2t
t：1→0
z t
x3dx3zy2dyx2ydz
y=rsint; (4)将曲面积分化为对r,t的二次积分
高等数学曲线积分与曲面积分
典
型
双 侧
n
曲
面
典型单侧曲面: 莫比乌斯带
播放
章曲线积分与曲面积分
一、主要内容 二、线、面积分的基本计算法
一、对弧长的曲线积分的概念
1.定义 设L为xoy面内一条光滑曲线,弧函数f (x, y)
在L上有界.用L上的点M1, M2,, Mn1把L分成n
个小段.设第i个小段的长度为si ,又(i ,i )为第
i个小段上任意取定的点一, y
i1ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
的直径的最大值0时, 这和式的极限存在,
则称此极限为函数f(x, y,z)在曲面上对面积
的曲面积分或第一类曲面积分.
记 为 f(x,y,z)d.S
n
即 f(x,y,z)d S l i0im 1f(i, i, i) S i
其中 f(x, y,z)叫被积函数 叫积 ，分曲.面
B
作乘积f (i ,i ) si ,
n
并作和 f (i ,i ) si ,
i1
L Mn1
(i,i) M i
M2
A M1
Mi1
o
x
如果当各小弧段长的度的最大值 0时, 这和的极限存, 在则称此极限为函f数 (x, y) 在曲线弧L上对弧长的曲线积分第或一类曲
线积分, 记作 f (x, y)ds, 即 被积函数 L
n
f(x ,y,z)d sl i0im 1f(i,i,i) si.
注意：
1 . 若 L (或 )是分,段 (L L 光 1L 2)滑
f ( x ,y ) d sf ( x ,y ) d s f ( x ,y ) d . s
L 1 L 2
曲线积分与曲面积分
曲线积分与曲面积分一、 知识要点 1、定义、定理(1)定理1(格林公式)：设分段光滑的有向闭曲线L 为有界闭区域D 的正向边界，函数P(x,y)，Q(x,y)在D 上具有一阶连续偏导数，则有：⎰⎰⎰+=∂∂-∂∂L DQdy Pdx dxdy yPx Q )((2) 定理2(曲线积分与路径无关的充要条件) ：设G 为平面单连通开区域，函数),(y x P ，),(y x Q 在G 内具有连续的一阶偏导数，那么曲线积分⎰+LQdy Pdx 与路径无关xQ yP ∂∂≡∂∂⇔在G 内成立。
(3) 定理3 ：设函数),(),,(y x Q y x P 在开区域G 内具有一阶连续偏导，则曲线积分()()dy y x Q dx y x P ,,+ 在G内为某一函数()y x u ,的全微分的充要条件是等式()()x y x Q y y x P ∂∂=∂∂,,在G 内恒成立。
（4）定理4（高斯公式）：设空间闭区域Ω是由分片光滑的闭曲面∑所围成，函数()z y x P ,,、()z y x Q ,,、()z y x R ,,在Ω上具有一阶连续偏导数，则有⎰⎰⎰⎰⎰Ω∑++=∂∂+∂∂+∂∂Rdxdy Qdxdz Pdydz dv z Ry P x Q )(或()⎰⎰⎰⎰⎰Ω∑++=∂∂+∂∂+∂∂dS R Q P dv z R y P x Q γβαcos cos cos )(,其中，γβαcos ,cos ,cos 为外法向量的方向余弦。
（5）定理4（斯托克斯公式）：设L 为分段光滑的空间有向闭曲线，∑是以L 为边界的分片光滑的有向曲面，L 的正向与∑的侧符合右手规则，函数()()()z y x R z y x Q z y x P ,,,,,,、、在包含∑在内的一个空间区域内具有一阶连续偏导数，则有⎰⎰⎰++=∂∂∂∂∂∂∑L Rdz Qdy Pdx R Q P z y x dxdy dzdx dydz ，或⎰⎰⎰++=∂∂∂∂∂∂∑L Rdz Qdy Pdx dS RQ P z y x γβαcos cos cos 2、 公式(1)对弧长的曲线积分的计算公式：(ψϕ,在相应区间上具有一阶连续导数)①若)( )()(:βαψϕ≤≤⎩⎨⎧==t t y t x L ，则dt t t t t f ds y x f L ⎰⎰'+'=βαψϕψϕ)()()](),([),(22 )(βα<②若)( )(:b x a x y L ≤≤=ϕ，则⎰⎰'+=b aL dx x x x f ds y x f )(1)](,[),(2ϕϕ)(b a < ③若)( )(:d y c y x L ≤≤=ψ，则⎰⎰+'=d cL dy x y y f ds y x f 1)()]),([),(2ψψ )(d c <(2)对坐标的曲线积分的计算公式：(ψϕ,在相应区间上具有一阶连续导数)①若):( )()(:βαψϕ→⎩⎨⎧==∧t t y t x AB ，则dt t t t Q t t t P dy y x Q dx y x P AB⎰⎰'+'=+∧βαψψϕϕψϕ)}()](),([)()](),([{),(),( ②若):( )(:b a x x y AB →=∧ϕ，则⎰∧+ABdy y x Q dx y x P ),(),(⎰'+=ba dx x x x Q x x P )}()](,[)](,[{ϕϕϕ ③若):( )(:d c y y x AB →=∧ψ，则⎰∧+ABdy y x Q dx y x P ),(),(()()⎰+'=dcdy y y Q y y y P ]},[)(],[{ψψψ(3)两类曲线积分的转换公式：①()⎰⎰+=+LLds Q P dy y x Q dx y x P βαcos cos ),(),(，其中，()()y x y x ,,βα、为有向曲线弧L 上点()y x ,处的切线向量的方向角。
重积分、曲线积分、曲面积分
重积分、曲线积分、曲面积分一、曲线积分第一型曲线积分(对弧长)定义：设L 为平面上可求长度的曲线段，(,)f x y 为定义在L 上的函数。
对曲线L 作分割T ，它把L 分成n 个可求长度的小曲线段(1,2,,),i L i n = i L 的弧长记为,i s ∆ 分割T的细度为1max ,i i nT s ≤≤=∆ 在i L 上任取一点(,)(1,2,,).i i i n ξη= 若极限1lim(,)niiiT i f s ξη→=∆∑存在，则称此极限值为(,)f x y 在L 上的第一型曲线积分（对弧长的积分），记作(,)Lf x y ds ⎰。
若L 为空间可求长曲线段，(,,)f x y z 为定义在L 上的函数，则可类似定义(,,)f x y z 在空间曲线L 上的第一型曲线积分，并且记为(,,)Lf x y z ds ⎰。
性质： 1. 若(,)(1,2,,)i Lf x y ds i k =⎰存在，(1,2,,)i c i k =为常数，则1(,)ki i Li c f x y ds =∑⎰也存在，且11(,)(,).kki i i i LLi i c f x y ds c f x y ds ===∑∑⎰⎰2. 若曲线段L 由曲线12,,k L L L 首尾相接而成，且(,)(1,2,,)i Lf x y ds i k =⎰都存在，则(,)Lf x y ds ⎰也存在，且1(,)(,).ikLL i f x y ds f x y ds ==∑⎰⎰3. 若(,)Lf x y ds ⎰与(,)Lg x y ds ⎰都存在，且在L 上(,)(,),f x y g x y ≤ 则(,)(,).LL f x y ds g x y ds ≤⎰⎰4. 若(,)Lf x y ds ⎰存在，则|(,)|Lf x y ds ⎰也存在，且|(,)||(,)|LLf x y ds f x y ds ≤⎰⎰。
5. 若(,)Lf x y ds ⎰存在，L 的弧长为s ，则存在常数c ，使得(,)Lf x y ds ⎰=cs 。
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n
M n1
数， 称为积分弧段 . d s 称为弧元素 L 曲线形构件的质量 M ( x , y )d s
-3L
M1 A M0
第一节
对弧长的曲线积分
存在条件： 当 f ( x , y ) 在 光 滑 曲 线 弧 L 上 连 续 时 ,
对弧长的曲线积分
第 十 章 曲 线 积 分 与 曲 面 积 分
a
0
4
解
I
4
0
2 2 a
y
yx
4
a
1 0d x
o
y0 a x
2 2 2 2 a sin a cos d
0
1 1 d x
- 11 -
第一节
例3 求 I
第 十 章 曲 线 积 分 与 曲 面 积 分
L
对弧长的曲线积分 x a co s t , x yd s , L : 椭 圆 ( 第 象 限 ). y b sin t ,
2
y
o
x
(1, 2 ) 曲 线 求 I x yzd s , 其 中 : x a co s , y a sin , 例5 积 分 与 z k 的 一 段 . ( 0 2 ) 曲 解 面 积 2 2 分 I a cos sin k a 2 sin 2 a 2 cos 2 k 2 d
第一节
对弧长的曲线积分
第一节 对弧长的曲线积分
第 十 章 曲 线 积 分 与 曲 面 积 分
一 对弧长的曲线积分的概念与性质
二 对弧长的曲线积分的计算与应用 三 几何与物理意义
-1-
第一节
对弧长的曲线积分
一 对弧长的曲线积分的概念与性质
第 十 章
1.引例: 曲线形构件的质量 假设曲线形细长构件在平面所 占弧段为AB , 其线密度为
第 十 章 曲 线 积则 分 与 曲 面 积 分
t
tk
k 1
(t ) (t ) d t
2 2
( k ) ( k ) t k ,
2 2
点 ( k , k ) 对应参数为
n
lim f [ ( k ) , ( k ) ]
0
k 1
其中为球面 所截的圆周.
被平面
第 十 章 曲 线 积 分 与 曲 面 积 分
解: 由对称性可知
1
2 x ds
2
y ds
2
z ds
2
x ds
2
3
( x y z ) ds
2 2
1
3 2 3
a ds
2
1 3
a 2 a
2
a
3
- 15 -
第一节
2
化为参数方程
x
:
y 2 sin
z
1 2
2 cos 1 2 2 cos
0 2
则
ds ( 2 sin )
I 9 2 0
2
2
( 2 sin ) d 2d
2
2 d 18
- 14 -
第一节
对弧长的曲线积分
例7. 计算
解 I
0
2
a cos t b sin t
( a sin t ) ( b cos t ) dt
2 2
ab 2 sin t cos t a sin t b cos
2 2 2 0
2
t dt
2 2 2 2
ab 2(a b
2 2
) 0
2
2
b ( a b ) sin t d ( b ( a b ) sin t )
0 x 0
1
1
y
1 4 x dx
2
3 2 1
B(1,1)
yx
2
x
L
0
1 2 (1 4 x ) 12
o
1 x
1 12
( 5 5 1)
- 10 -
第一节
对弧长的曲线积分
例2
第 十 章 曲 线 积 分 与 曲 面 积 分
设C 是由极坐标系下曲线 a , 0 及 所围区域的边界, 求 分段积分
0
1 2
ka
2
a k .
2 2
- 13 -
第一节
对弧长的曲线积分
例6. 计算
第 十 章 曲 线 积 分 与 曲 面 积 分
其中为球面
x y
2
2
z
2
9 2
与平面 x z 1的交线.
1 4
解:
1 ( x 1 )2 2 : 2 xz 1
y 1 ,
( k ,k )
B Mn
M n1
曲 线 为计算此构件的质量, 采用 积 分 “大化小, 常代变, 近似和, 与 曲 面 积 可得 n 分
M k 1
M sk
k
求极限”
M1 A M0
M2
M
k 1
-2-
第一节
对弧长的曲线积分
2.定义 设L 是平面中一条有限长的光滑曲线,
第 义在 L上的一个有界函数, 若通过对 L的任意分割 十 章 局部的任意取点, 下列“乘积和式极限”
3
- 18 -
和对
Mn
B 记作 曲 lim f ( k ,k ) sk 线 L f ( x, y) d s 0 k 1 积 分 则称此极限为函数 与 存在, 曲 Mk ( k , k ) 在曲线 L上对弧长的曲线积分, 或第 面 sk 积 M k 1 称为被积函 分 一类曲线积分. M2
注意 ( t ) ( t ) 连续
2 2
lim f [ ( k ) , ( k ) ]
0
k 1
n
-7-
第一节
对弧长的曲线积分
因此
f ( x, y) ds
第 十 章 曲 线 积 分 与 曲 面 积 分
f [ ( t ), ( t )]
2 2 ( t ) ( t )dt
对弧长的曲线积分
三
第 十 章
几何与物理意义
(1) 当 ( x , y ) 表 示 L的 线 密 度 时 ,
M
( x , y ) ds ;
L
曲 ( 2 ) 当 f ( x , y ) 1时 , L 弧 长 d s ; 线 L 积 z 分 ( 3 ) 当 f ( x , y ) 表 示 立 于 L上 的 与 曲 面 柱 面 在 点 ( x , y )处 的 高 时 , 积 分 o S 柱 面 面 积 f ( x , y )d s .
L
f ( x, y)
S y
( x, y)
L
x
- 16 -
第一节
对弧长的曲线积分
( 4 ) 曲 线 弧 对 x轴 及 y轴 的 转 动 惯 量
第 十 章 曲 线 积 分 与 曲 面 积 分
,
Ix
y ds,
2 L
Iy
x ds.
2 L
(5) 曲 线 弧 的 重 心 坐 标
x
x ds , ds
L
f ( x , y ) ds
1
L
f ( x , y ) ds
2
-4-
第一节
对弧长的曲线积分
类似可以将定义推广到三元函数 f ( x , y , z ) 在空间 曲线 上对弧长的曲线积分
第 十 章
n
f ( x , y , z )ds lim0 1 k
f ( k , k . k ) s k
L L
y
y ds . ds
L L
- 17 -
第一节
对弧长的曲线积分
例8. 计算半径为 R ,中心角为 的圆弧 L 对于它的对 称轴的转动惯量I (设线密度 = 1).
第 十 章 曲 线 积 分 与 曲 面 积 分
解: 建立坐标系如图, 则
I
y
L
y ds
( )
2 2 2 2
2
ab ( a ab b ) 3(a b )
.
- 12 -
第一节
对弧长的曲线积分
例4
第 十 章
求I
L
yds ,
其中 L : y 4 x , y
2
(1, 2 )
从 ( 1 , 2 ) 到 ( 1 , 2 ) 一段 .
x
y
2
4
解
I
2 y
2
1 ( ) dy 0 . 2
上的连续函数, 则曲线积分
且
2 2
L
f ( x, y) d s
f [ ( t ) , ( t )] ( t ) ( t ) d t
证: 根据定义
lim f ( k ,k ) sk
0
k 1 n
-6-
第一节
对弧长的曲线积分
设各分点对应 L: y R sin
o
L R x
3
R sin
2 2
( R sin ) ( R cos ) d
2
3
sin 2 R sin d 2 R 2 4 0