离散数学第三章集合的基本概念和运算知识点总结
离散知识点公式总结
离散知识点公式总结1. 集合论集合是离散数学中的基本概念，它是由一些确定的对象所组成的一个整体。
集合之间的运算包括并集、交集、差集、补集等。
其相关公式如下：- 并集：对于集合A和B，它们的并集定义为包含A和B中所有元素的集合，记作A∪B。
公式：A∪B={x|x∈A或x∈B}- 交集：对于集合A和B，它们的交集定义为同时属于A和B的所有元素的集合，记作A∩B。
公式：A∩B={x|x∈A且x∈B}- 差集：对于集合A和B，A与B的差集定义为属于A但不属于B的元素所组成的集合，记作A-B。
公式：A-B={x|x∈A且x∉B}- 补集：对于集合A，相对于全集合U而言，A的补集定义为全集合中不属于A的元素所组成的集合，记作A'。
公式：A'={x|x∈U且x∉A}2. 关系和函数关系是一种描述元素之间的对应关系的数学工具，而函数则是一种特殊的关系。
在离散数学中，关系和函数的定义和性质是非常重要的内容。
其相关公式如下：- 关系R：对于集合A和B，关系R定义为A和B的笛卡尔积中的元素对所组成的集合。
公式：R={(a,b)|a∈A且b∈B}- 函数f：对于集合A和B，如果f是从A到B的一个映射，那么对于任意元素a∈A，都有唯一的元素b∈B与之对应。
公式：f:A→B3. 图论图论是离散数学中的一个重要分支，它研究的是由顶点和边组成的数学结构。
图论的基本概念包括图的类型、路径和回路、连通性、树等。
其相关公式如下：- 有向图：对于图G=(V,E)，如果E中的边是有方向的，则称G为有向图。
公式：G=(V,E)，E={(u,v)|u,v∈V，u→v}- 无向图：对于图G=(V,E)，如果E中的边是无方向的，则称G为无向图。
公式：G=(V,E)，E={{u,v}|u,v∈V，u≠v}- 路径：在图G中，顶点v1,v2,...,vn的一个路径是图G中的一个顶点序列，其中相邻的顶点用一条边连接。
公式：v1,v2, (v)- 回路：在图G中，如果一条路径的起点和终点是同一个顶点，则称其为回路。
《离散数学》集合的基本概念和运算
（2）若AB,BC,则AC
解 错误。举反例如下：设A={a}，
B={{a},b}，C={{a},b,{c}}，显然AB， BC，但A不是C的子集。因为aA，但aC。
定义3.7 A、B是任意集合，由属于A或属于B的
所有元素组成的集合称为A与B的并集，记
3.2 作 A B 。即
集
A B u | u A或u B
推论 空集是惟一的. 证 假设存在1和2，则12 且12，因此
1=2 全集 在一个具体问题中，如果所涉及的集合都是某个
集合的子集，则称这个集合为全集，记作E
全集具有相对性
在给定问题中，全集包含任何集合，即A (AE )
三、幂集（PowerSet）
定义1.2.2 给定集合A，以A的所有子集为元素
- 命题演算法 - 包含传递法
的
- 等价条件法
基
- 反证法
(A B) A B
算 对偶原理：把一个等式中的中的∪，∩，E和
的分别代以∩，∪，和E后得到另一等式
二、对称差运算的性质：
① AA= ②A =A ③ A E= A
3.2 ④A B＝B A
集 ⑤(A B) C A (B C)
合 ⑥A I (B C) (A I B) (A I C)
一、集合运算的十条定律
3.2
对于全集合E的任意子集A、B、C，有：
集 交换律 AB B A AB B A
合 的 结合律 A(B C) (A B) C
基
A(B C) (A B) C
本 分配律 A(B C) (A B) (AC)
运 算
A(B C) (A B) (AC)
概 念
(5)A ( )
集合的知识点总结2篇
集合的知识点总结2篇一、集合的定义和运算集合是离散数学中最基础的概念，是由一些确定的不同元素组成的整体。
比如，全班学生、一天内所有的降雨量等都是集合。
通常用大括号{}括住集合中的元素，并用逗号隔开。
例如，{1，2，3}表示包含数字1、2、3的集合。
集合有几个基本的运算，包括：1. 并集并集是两个或多个集合中的所有元素的组合，它们以∪符号表示。
例如，{1,2}∪{2,3} = {1,2,3}。
2. 交集交集是两个或多个集合中共同元素的集合，它们以∩ 符号表示。
例如，{1，2}∩{2，3}={2}。
3. 补集一个集合减去它与其他集合的交集，称为该集合相对于其他集合的补集，补集用符号∁表示。
例如，如果A={1,2,3}，B={2,3,4}，则A∁B={1}。
4. 包含如果一个集合的元素都在另一个集合中，那么它就是被包含在另一个集合中。
例如，如果集合A={1,2}，B={1,2,3}，则A 是B的子集。
集合的运算通常遵循各种定律，比如交换律、结合律等。
这些定律可以用来加速计算和简化复杂的集合表达式。
二、集合的常见关系集合之间存在着不同的关系，我们可以通过这些关系来描述它们之间的联系。
以下是常见的集合关系：1. 相等关系当两个集合所包含的元素完全相同时，它们就是相等的。
例如，{1，2}={2，1}。
2. 子集关系如果一个集合的所有元素都在另一个集合中，那么该集合就是被包含在另一个集合中。
例如，{1，2}是{1，2，3}的子集。
3. 真子集关系如果一个集合是另一个集合的子集，并且两个集合不相等，那么该集合就是另一个集合的真子集。
例如，{1，2}是{1，2，3}的真子集。
4. 交叉关系两个集合之间不存在任何元素相同的情况称为交叉关系。
例如，{1，2}与{3，4}之间存在交叉关系。
5. 并集关系如果两个集合有相交的元素，它们就形成了并集关系。
例如，{1，2}与{2，3}之间存在并集关系。
6. 包含关系如果一个集合包含另一个集合，并且两个集合不相等，那么该集合就是另一个集合的超集。
离散数学知识点整理
离散数学知识点整理离散数学是现代数学的一个重要分支，它在计算机科学、信息科学、数理逻辑等领域都有着广泛的应用。
下面为您整理了一些离散数学的关键知识点。
一、集合论集合是离散数学中最基本的概念之一。
集合是由一些确定的、彼此不同的对象组成的整体。
比如，｛1, 2, 3}就是一个集合。
集合的运算包括并集、交集、差集和补集。
并集是将两个集合中的所有元素合并在一起组成的新集合；交集则是两个集合中共同拥有的元素组成的集合；差集是从一个集合中去掉另一个集合中的元素所剩下的元素组成的集合；补集是在给定的全集范围内，某个集合的补集是全集中不属于该集合的元素组成的集合。
集合之间的关系有包含、相等、真包含等。
如果集合 A 的所有元素都属于集合 B，那么 A 包含于 B；如果 A 和 B 的元素完全相同，则 A和 B 相等；如果 A 包含于 B 且 A 不等于 B，那么 A 真包含于 B。
二、关系关系是集合中元素之间的某种联系。
比如在集合{1, 2, 3}中，“小于”就是一种关系。
关系可以用矩阵和图来表示。
矩阵表示法通过 0 和 1 来表示元素之间是否存在关系；图表示法则用节点代表元素，用边表示关系。
关系的性质包括自反性、对称性、反对称性和传递性。
自反性是指每个元素都与自身有关系；对称性是指如果 a 与 b 有关系，那么 b 与 a 也有关系；反对称性是指如果 a 与 b 有关系且 b 与 a 有关系，那么 a ＝b；传递性是指如果 a 与 b 有关系，b 与 c 有关系，那么 a 与 c 有关系。
三、函数函数是一种特殊的关系，对于定义域中的每个元素，在值域中都有唯一的元素与之对应。
函数的类型有单射、满射和双射。
单射是指不同的自变量对应不同的函数值；满射是指函数的值域等于其到达的集合；双射则是既单射又满射。
四、数理逻辑数理逻辑包括命题逻辑和谓词逻辑。
命题是可以判断真假的陈述句。
命题逻辑中的基本运算有与（并且）、或、非、蕴含和等价。
离散数学第3章 集合
任取x， xX … xY (2) 证X=Y
方法一 分别证明 XY 和 YX 方法二 任取x，xX … xY
注意：在使用方法二的格式时，必须保证每步推理都是充分 必要的
27
第三章 集合
命题演算法
例3-3.2 证明A(AB) = A （吸收律）
元素a属于A，记作aA； 或者a不属于A，记作aA，也可以记作┓(aA)。
（4）任意性：集合的元素也可以是集合。 例：A={1，{2}，2，{3，4}，{6}} A=5，2A，{2}A，6A,{6}A
6
第三章 集合 例如：A={{a,b}，d，{{b}}}。可以用一种树形图来表示这种
隶属关系，该图分层构成，每一层上的结点都表示一个集 合，它的儿子就是它的元素。 集合的树型层次结构
32
第三章 集合
§3-3-3 笛卡儿积
定义3-3.2 两个元素a，b组成二元组，若它们有次序 之别，称为二元有序组，或称为有序对或序偶，记为<a， b>，称a为第一分量，b为第二分量；若它们无次序区分， 称为二元无序组，或称为无序对，记为（a，b）。
有序对具有如下性质。 （1）有序性：当x≠y时<x，y>≠<y，x>。 （2）<x，y>与<u，v>相等的充分必要条件是
A
B
11
第三章 集合
§3-2 集合之间的关系
§3-2-1 集合之间的关系 （1）相等关系： • 两集合A和B相等，当且仅当它们有相同的元素。 • 若A与B相等，记为A=B；否则，记为A≠B。 • 可形式化为：A=B(x)(xAxB)。
12
第三章 集合
《离散数学》课件-第3章集合的基本概念
例题
计算以下幂集：
，{}；{，{}}
解：
P()={} P({})={，{}} P({，{}})= {, {}，{{}},{，{}}}
18
3.3 集合的运算
集合的运算 并，交，补（绝对补），差（相对补－），和对称差等。
19
集合的并运算
• 定义3.3.1 设A，B为集合，由A和B的所有元素组成的集 合称为A与B的并集， 可表示为： AB={x|xAxB} 其文氏图：
其文氏图如下：
~E = ， ~ = E， ~（~A）= A A ~A = ， A ~A = E
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德.摩根定律
• 定理3.3.5 设A，B为任意二个集合，则有： • （1） （AB）= A B • （2） （A B）= A B • 证明 设E为全集，显然有AE=A，AE=E成立。 • （1） （AB）= {x | xEx（AB）}= {x |
据的增加、删除、修改、排序，以及数据间关系的描述。
集合论在计算机语言、数据结构、编译原理、数据库与
知识库、形式语言及人工智能等许多领域得到广泛的应
用。
2
3.1 集合及其表示
• 集合是由一些对象聚集在一起构成的。 例如，全体整数 全体中国人 26个英文字母
• 构成集合的对象可以是各种类型的事物。 • 定义3.1.1 集合中的对象叫集合的元素，或成员。
• 集合中的元素可以具有共同性质，也可以表面上看起来不相干。
• 如{2，Tom，计算机，广州}
• 在集合论中，规定元素之间是彼此相异的，并且是没有次序关 系的。
例如，{3,4,5},{3,4,4,5,5},{5,3,4}都是同一个集合。
• 例如，A={3,4,5},
离散数学集合论基础知识
离散数学集合论基础知识离散数学是计算机科学中一门重要的基础学科，集合论是离散数学的基础之一。
在这篇文章中，我们将介绍离散数学集合论的基础知识，包括集合的定义、运算、关系等内容。
一、集合的定义与表示集合是具有确定性的事物或对象的总体，它是数学中的一个基本概念。
我们可以用不同的方式表示一个集合，包括列举法、描述法和图形法。
（一）列举法列举法是通过列举集合中的元素来表示一个集合。
例如，可以用列举法表示自然数集合N={1, 2, 3, 4, …}，表示所有正整数的集合。
（二）描述法描述法是通过描述集合中元素的性质来表示一个集合。
例如，可以用描述法表示偶数集合E={x | x是整数，且x能被2整除}，表示所有能被2整除的整数的集合。
（三）图形法图形法是用图形的方式表示一个集合。
例如，可以用图形法表示平面上所有整数坐标点构成的集合。
二、集合的运算集合的运算包括并集、交集、差集和补集等。
（一）并集集合A与集合B的并集，记作A∪B，表示由所有属于集合A或集合B的元素组成的集合。
例如，设A={1, 2, 3}，B={3, 4, 5}，则A∪B={1, 2, 3, 4, 5}。
（二）交集集合A与集合B的交集，记作A∩B，表示由既属于集合A又属于集合B的元素组成的集合。
例如，设A={1, 2, 3}，B={3, 4, 5}，则A∩B={3}。
（三）差集集合A与集合B的差集，记作A-B，表示由属于集合A但不属于集合B的元素组成的集合。
例如，设A={1, 2, 3}，B={3, 4, 5}，则A-B={1, 2}。
（四）补集对于给定的全集U，集合A相对于全集U的补集，记作A'或者A^c，表示由全集U中不属于集合A的元素组成的集合。
例如，设全集U为自然数集合N，A={2, 4, 6}，则A'={1, 3, 5, 7, ...}（即不是偶数的自然数）。
三、集合的关系集合的关系包括包含关系、相等关系和互斥关系等。
离散数学第3章-集合与关系
员，或A包含a，a在A之中，a属于A。即 a A a A
（2）集合中元素具有互异性和无序性。如{a,b,c,d}={a,b,b,c,d}
3-1 集合的概念和表示法
(3) 集合的元素个数可以是有限个也可以是无限个，具有有限个元素的集 合的为有限集，否则称为无限集。 (4) 集合中的元素也可以是集合，如
称为A和B的笛卡尔积，记作：A B
例：A {、、 、、
则：
3-4 序偶和笛卡尔积
5、多重直积：
A1 A2 A3是集合，A1 A2是笛卡尔集，也是集合仍可再作笛卡尔积
A A A A A A ( ) { , , | , , }
1
2
3
1
2
3
1
1
2
2
3
3
A A A { , , | , , }
E AB
S={x∣(x∈A)∧（xB）}
={x∣（x∈A）∧ （x∈B）}
3-2 集合的运算
b）集合A关于全集E的补。 E-A称为A的绝对补，记作~A。
E A
~A={x∣(x∈E）∧（x A）}
~ A有下列性质： ⑴ ~（ ~A）=A
⑵ ~E=
⑶~ =E
⑷A∪~A=E
⑸A∩~A=
3-2 集合的运算
* 以后判断两集合相等就主要用这一重要定理。
定理：对任一Set A， A
3-1 集合的概念和表示法
例：若A={a,b,c},写出其所有子集。 解：Ø 、{a}、{b}、{c}、{a，b}、{a，c}、{b，c}、{a，b，c}均是A的子 集
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集合基本运算的定义
并
AB = { x | xA xB }
交
AB = { x | xA xB }
相对补
AB = { x | xA xB }
对称差
AB = (AB)(BA)
= (AB)(AB)
绝对补
A = EA
文氏图（John Venn）
关于运算的说明
运算顺序： 和幂集优先，其他由括号确定 并和交运算可以推广到有穷个集合上，即
相等
A=BABBA
不相等
AB
真包含
ABABAB
不真包含
AB
思考： 和 的定义
注意 和 是不同层次的问题
空集 不含任何元素的集合
实例 {x | x2+1=0xR} 就是空集
定理 空集是任何集合的子集
A x (xxA) T
推论 空集是惟一的.
证 全集 E
假设存在 1 和 2，则 12 且 12，因此 1=2
集合论部分 第三章、集合的基本概念和运算 3.1 集合的基本概念集合的定义与表示 集合与元素 集合 没有精确的数学定义 理解：一些离散个体组成的全体组成集合的个体称为它的元素或成员 集合的表示 列元素法 A={ a, b, c, d } 谓词表示法 B={ x | P(x) } B 由使得 P(x) 为真的 x 构成常用数集 N, Z, Q, R, C 分别表示自然数、整数、有理数、 实数和复数集合，注意 0 是自然数.
A AB 所以 AB AB
利用包含的等价条件证 XY：
例 5 ACBC ABC 证 AC AC=C
BC BC=C (AB)C=A(BC)=AC=C (AB)C=C ABC 命题得证 反证法证 XY：欲证 XY, 假设命题不成立，必存在 x 使得 xX 且 xY. 然 后推出矛盾. 例 6 证明 AC BC ABC 证 假设 AB C 不成立， 则 x (xABxC) 因此 xA 或 xB，且 xC 若 xA, 则与 AC 矛盾； 若 xB, 则与 BC 矛盾. 利用已知包含式并交运算：由已知包含式通过运算产生新的包含式 XY XZYZ, XZYZ 例 7 证明 ACBC ACBC AB 证 ACBC， AC BC 上式两边求并，得 (AC)(AC) (BC)(BC)
A1A2…An= {x | xA1xA2…xAn} A1A2…An= {x | xA1xA2…xAn} 某些重要结果 ABA AB AB=（后面证明） AB= AB=A
命题演算法证 XY：任取 x ， xX … xY 例 3 证明 AB P(A)P(B)
任取 x xP(A) xA xB xP(B) 任取 x xA {x}A {x}P(A) {x}P(B) {x}B xB 包含传递法证 XY：找到集合 T 满足 XT 且 TY，从而有 XY 例 4 AB AB 证 AB A
例 9 证明 A(AB)=A （吸收律）
证 (假设交换律、分配律、同一律、零律成立)
A(AB)
=(AE)(AB)
同一律
=A(EB)
分配律
=A(BE)
交换律
=AE
零律
=A
同一律
反证法证明 X=Y：假设 X=Y 不成立，则存在 x 使得 xX 且 xY，或者存在 x 使
得 xY 且 xX，然后推出矛盾.
例 1 求 1 到 1000 之间（包含 1 和 1000 在内）既不能被 5 和 6 整除，也不能
被 8 整除的数有多少个？ 解：S ={ x | xZ, 1 x 1000 },
如下定义 S 的 3 个子集 A, B, C： A={ x | xS, 5 | x }， B={ x | xS, 6 | x }， C={ x | xS, 8 | x } 对上述子集计数： |S|=1000, |A|= 1000/5 =200, |B|=1000/6=133， |C|= 1000/8 =125, |AB|= 1000/30 =33, |BC| = 1000/40 =25, |BC|= 1000/24 =41, |ABC| = 1000/120 =8, 代入公式 N = 1000(200+133+125)+(33+25+41)8=600
(AC)(AC) (BC)(BC)
A(CC) B(CC)
AE BE
AB
命题演算法证明 X=Y：任取 x ，
xX … xY
xY … xX
或者
xX … xY
例 8 证明 A(AB)=A （吸收律）
证 任取 x,
xA(AB) xA xAB
xA (xA xB) xA
等式替换证明 X=Y：不断进行代入化简，最终得到两边相等
A=A(AB) A=AB
（将 AB 用 B 代入)
(3) (4)
假设 AB, 即xAB，那么 xA 且 xB. 而
xB xAB.
从而与 AB=A 矛盾.
(4) (1)
假设 AB 不成立，那么
x (xA xB) xAB AB
与条件（4）矛盾.
集合运算法证明 X=Y：由已知等式通过运算产生新的等式
例 10 证明以下等价条件
AB AB=B AB=A AB=
(1)
(2)
(3)
(4)
证明顺序：
(1) (2), (2) (3), (3) (4), (4) (1)
(1) (2)
显然 BAB，下面证明 ABB.
任取 x，
xAB xAxB xBxB xB
因此有 ABB. 综合上述（2）得证.
(2) (3)
相对性 在给定问题中，全集包含任何集合，即A (AE )
幂集定义 P(A) = { x | xA } 实例
P() = {}， P({}) = {,{}} P({1,{2,3}})={,{1},{{2,3}},{1,{2,3}}} 计数 如果 |A| = n，则 |P(A)| = 2n
3.2 集合的基本运算
X=Y XZ=YZ, XZ=YZ，X-Z=Y-Z
例 11 证明 AC=BC AC=BC A=B
证 由 AC=BC 和 AC=BC 得到
(AC)-(AC)=(BC)-(BC)
从而有
AC=BC
因此
AC=BC (AC)C =(BC)C
A(CC) =B(CC) A=B A=B
3.3 集合中元素的计数 集合的基数与有穷集合 集合 A 的基数：集合 A 中的元素数，记作 cardA 有穷集 A： cardA=|A|=n，n 为自然数. 有穷集的实例：
证明要点：任何元素 x，如果不具有任何性质，则对等式右边计数贡献为１，否
则为０ 证 设 x 不具有性质 P1, P2, … , Pm ,
xAi , i = 1, 2, … , m xAiAj , 1 i < j m … xA1A2…Am , x 对右边计数贡献为
1 0 + 0 0 + … + (1)m · 0 = 1
例2
24 名科技人员，每人至少会 1 门外语.
英语：13； 日语：5； 德语：10； 法语：9
英日：2;
英德：4； 英法：4ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ 法德：4
会日语的不会法语、德语
求：只会 1 种语言人数，会 3 种语言人数
x+2(4-x)+y1+2=13 x+2(4-x)+y2=10 x+2(4-x)+y3=9 x+3(4-x)+y1+y2+y3=19 x=1, y1=4, y2=3, y3=2
A={ a,b,c}, cardA=|A|=3； B={ x | x2+1=0, xR}, cardB=|B|=0 无穷集的实例： N, Z, Q, R, C 等
包含排斥原理：定理 设 S 为有穷集，P1, P2, …, Pm 是 m 种性质， Ai 是 S 中具有性质 Pi 的元素构成的子集，i=1, 2, …, m.则 S 中不具有性质 P1, P2, …, Pm 的元素数为
元素与集合的关系：隶属关系 属于 ，不属于
实例 A={ x | xRx2-1=0 }, A={-1,1} 1A, 2A
注意：对于任何集合 A 和元素 x (可以是集合)， xA 和 xA 两者成立其一，且仅成立其一.
集合之间的关系
包含（子集） A B x (xA xB)
不包含
A ⊈ B x (xA xB)