云南师大附中2019届高考适应性月考卷理科数学试题试卷
云南省师范大学附属中学2019届高三适应性月考卷数学理试题Word版含解析
云南省师范大学附属中学2019届高三适应性月考卷数学理试题一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分） 1．函数f(x)＝ln （2x 一1)的定义域为A. ( 0，＋∞）B.（1，＋∞）C.（一1，1）D.（一∞，一1）U （1，＋∞）2.已知双曲线C ：22221(0,0)x y a b a b-=>>的一条渐近线过点（一1，2），则C 的离心率为ABCD3、已知等差数列｛n a ｝中，1n n a a +<，且37469,10a a a a =+== 9，则此等差数列的公差d ＝A 、－4B 、－3C 、－2D 、13-4、已知,*x y N ∈且满足约束条件1225x y x y x -<⎧⎪->⎨⎪<⎩，则x y +的最小值为A 、6B 、5C 、4D 、35、一个棱锥的三视图如图1所示，其中侧视图为正三角形，则四棱锥侧面中最大侧面的面积是 A 、1 BCD6、已知平行四边形ABCD 中，点E ，F 满足2AE EC =，3BF FD =，则A 、151212EF AB AD =- B 、511212EF AB AD =-+ C 、511212EF AB AD =- D 、151212EF AB AD =-+7、已知,*,()2x a b N f x e x ∈=-，则“()()f a f b >”是“a b >”的A 、充分不必要条件B 、必要不充分条件C 、充分必要条件D 、既不充分也不必要条件8、已知函数()cos(2)(||)f x x ϕϕπ=+<的图象向右平移12π个单位后得到()sin(2)3g x x π=-的图象，则ϕ的值为A 、－23π B 、－3πC 、3π D 、23π9、执行如图2所示的程序框图，若输入a ＝1，则输出的k ＝ A 、8 B 、9 C 、10 D 、1110、已知三棱锥O －ABC 的顶点A ，B ，C 都在半径为2的球面上，O 是球心，∠AOB ＝120°，当△AOC 与△BOC 的面积之和最大时，三棱锥O －ABC 的体积为A 、2B 、3C 、23 D 、1311、已知圆C ：222430x y x y +--+=，若等边△PAB 的一边AB 为圆C 的一条弦，则｜PC ｜的最大值为A B C 、 D 、12、已知函数ln |1|,1(),()(2)(2)0,1x x f x g x a x a x a x -≠⎧==+-+⎨=⎩，若f （x ）与g （x ）同时满足条件：①,()0()0x R f x g x ∀∈>>或；②000(,1],()()0x f x g x ∃∈-∞-<，则实数a 的取值范围是 A 、（－∞，－1）（12，2） B 、（－∞，－1）（0，23）（23，2） C 、（－∞，0）（12，2） D 、（－∞，0）（0，23）（23，2）第II 卷（非选择题，共90分）二、填空题（20分）13、已知复数(1)(2),z i i =+-则｜z ｜＝14、若函数23()21x x a f x +=-是奇函数，则a ＝15、已知集合A ＝｛（x ，y ）｜221,,x y x y Z +≤∈｝，B ＝｛（x ，y ）｜||2,||3,,x y x y Z ≤≤∈｝，设集合M ＝｛（x 1＋x 2，y 1＋y 2）｜1122(,),(,)x y A x y B ∈∈｝，则集合M 中元素的个数为 16．已知函数f （x ）的定义域为R ，对任意的x ，y 都有())()()2f x y f x f y +=+-，且当x ＞0时，f （x ）＜2，若数列{}n a 满足a 1=f （0），且1()4((1))n n n f a f a n +=----（*n N ∈），则a 2015＝＿＿＿＿＿·三、解答题（共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17．（本小题满分12分）在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c 。
云南师大附中2019届高考适应性月考卷(一)数学答案
理科数学参考答案·第1页（共9页）云南师大附中2019届高考适应性月考卷（一）理科数学参考答案一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 A A B D D C D D B C C B 【解析】1．由题意得{10}A =- ，Z ，故选A ． 2．由题意得i(43i)i 33i z =+-=-+，故选A ．3．由题意得(2264)OP m m =-+-，，又点P 在y 轴上，则1m =，故选B ．4．由~(31)X N ，，可知该正态分布密度曲线的对称轴为3X =，所以(4)(2)P X P X <=>，故选D ．5．设甜果、苦果的个数分别是x 和y ，则100011499997x y x y +=⎧⎪⎨+=⎪⎩，，解得657x =，故选D ． 6．由题意，该几何体是一个以底面为正方形的四棱锥挖去了一个半圆锥而得，四棱锥的体积为643，半圆锥的体积为8π3，所以该几何体的体积为648π3-，故选C ． 7．由题意得1154528210910362a d a d ⨯⎧+=⎪⎪⎨⨯⎪+=⎪⎩，，消去1a ，可得45d =-，故选D ． 8．由程序框图知，第一次循环：123m =+=，341n =-=-，1S =-，1i =；第二次循环：312m =-=，224n =+=，3S =，2i =；第三次循环：246m =+=，682n =-=-，1S =，3i =；第四次循环：624m =-=，448n =+=，9S =，4i =，故选D ．9．由于(2)(2)f x f x +=-，所以2x =是()f x 图象的对称轴；又e e2x x y -+=是偶函数，其图象关于y 轴对称，将e e 2x xy -+=的图象向右平移2个单位，可得()f x 的图象，则2a =-；所以22e e ()2x x f x --++=，则有2242e e e 12(20)e f -++==，故选B ．理科数学参考答案·第2页（共9页）10．由题意得π()sin 222sin 23f x x x x ⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭，将()y f x =的图象向左平移π6个单位长度得到函数ππ2sin 22sin 263y x x ⎡⎤⎛⎫=+-= ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，再将函数2sin 2y x =向上平移1个单位长度得到函数()y g x =的图象，即()2sin 21g x x =+，所以当ππ()4x k k =+∈Z 时，max ()3g x =，故选C ．11．如图1所示，设C 的准线为l '：12x =-，AB 的中点为N ，过点A作1AA l ⊥'于点1A ，过点B 作1BB l ⊥'于点1B ，则N l d '-= 11||||||||||222AA BB AF BF AB ++==，所以以N 为圆心，||AB 为直径的圆与l '相切．又点M 在l '上且90AMB ∠=︒，所以点M 在圆N 上且//MN x 轴．由于2222A B A B l A B A B y y y y k y y x x --==--22A By y ==+，所以1A B y y +=，N y = 122A B y y +=，则1122M ⎛⎫- ⎪⎝⎭，，所以||2FM ==，故选C ． 12．如图2所示，在三棱锥A BCD -中，1AB CD ==，AC BC AD BD ===2=，取CD 的中点为E ，连接AE ，BE ，则有AE CD ⊥，BE CD ⊥；又AE BE E = ，所以CD ⊥平面ABE ；过点A 作AH BE ⊥于点H ，又AH CD ⊥，CD BE E = ，所以AH ⊥平面BCD ，即AH 为三棱锥的高.因为在等腰BCD △中，BE ==，同理得AE =等腰ABE △中，AH ==，所以1133A BCD BCD V AH S -==⨯ △112=，故①正确； 设三棱锥A BCD -的内切球半径为r ，三棱锥A BCD -的表面积为S ，由题，知4BCD S S ==△；又由于13A BCD V r S -=，所以3A BCD V r S -==，故②正确；图1图2理科数学参考答案·第3页（共9页）设三棱锥A BCD -的外接球半径为R ，将三棱锥A BCD -补形为如图3所示的长方体1111A CB D AC BD -,由对称性可知球O 为三棱锥A BCD -的外接球，则球O 也是长方体1111A CB D AC BD -的外接球.由此得222242AB AC AD R ++==92，29=4ππ2O S R =球，故③错误，故选B . 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）【解析】13．如图4所示阴影部分为满足约束条件的可行域，当直线l：3122y x z =-过点(22)，时，12z -最小，z 取得最 大值2．14．由双曲线的定义可知a =ce a==3c =， 则2226b c a =-=，所以双曲线C 的方程为22136x y -=． 15．由题意，1121221222n n n n n n a a a a a a -----⎧-=⎪-=⎪⎨⎪⎪-=⎩，，，累加得112(12)2212n n n a a ---==--，由25a =，得13a =,于是*21()n n a n =+∈N .16．当1a =时，1y x =+是ln 2y x =+在点(12)，处的切线，1y x =+也是232y x x =++在点(10)-，处的切线，如图5所示．设过点(10)-，与点(02)，的直线为l '：2(1)y x =+．数形结合可知，[12]a ∈，时，函数()y f x =的图象与直线l ：(1)y a x =+有两个交点．图4图5图3理科数学参考答案·第4页（共9页）三、解答题（共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17．（本小题满分12分）解：（1）由题，得3sin 2sin()sin()A A B A B +-=+，可化得3sin cos sin cos A A B A =， ∵π2A ≠，∴cos 0A ≠，∴3sin sin A B =， 由正弦定理，得13a b =． …………………………………………………（6分）（2）由7c =，π3C =，及余弦定理得2249a b ab +-=， 又由（1）知3a b =，代入2249a b ab +-=中，解得a =，则b =∴1sin 24ABC S ab C ==△． ………………………………………（12分） 18．（本小题满分12分）解：（1）由甲种生产方式生产的100件零件的测试指标的频率分布直方图可知， 这100件样本零件中有一等品：(0.040.030.01)510040++⨯⨯=（件）， 二等品：1004060-=（件）， 所以按等级，利用分层抽样的方法抽取的10件零件中有一等品4件，二等品6件． 记事件A 为“这10件零件中随机抽取3件，至少有1件一等品”，则36310C 5()1C 6P A =-=． ……………………………………………………………（4分）（2）由乙种生产方式生产的100件零件的测试指标的频率分布直方图可知， 这100件样本零件中，一等品的频率为(0.040.060.040.02)50.8+++⨯=， 二等品的频率为0.2．将频率分布直方图中的频率视作概率，用样本估计总体，则从该厂采用乙种生产方式所生产的所有这种零件中随机抽取3件，其中所含一等品的件数4~35X B ⎛⎫⎪⎝⎭，，理科数学参考答案·第5页（共9页）所以3003141(0)C 55125P X ⎛⎫⎛⎫==⨯⨯= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，21131412(1)C 55125P X ⎛⎫⎛⎫==⨯⨯= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 12231448(2)C 55125P X ⎛⎫⎛⎫==⨯⨯= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，03331464(3)C 55125P X ⎛⎫⎛⎫==⨯⨯=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. X 的分布列为：所以412()355E X =⨯=． ………………………………（12分） 19．（本小题满分12分）（1）证明：如图6，连接PO .在菱形ABCD 中，O 是AC 的中点，且AC BD ⊥， ∵PA PC AC ==， ∴在PAC △中，PO AC ⊥.又∵PO BD O = ，PO ，BD ⊂平面PBD ，∴AC ⊥平面PBD. 又∵AC ⊂平面PAC ， ∴平面PAC ⊥平面PBD .…………………………………（4分）（2）解：∵在菱形ABCD 中，π3ABC ∠=，2AB=，则2AC =， 又AC BD ⊥，∴BD ==.∵在等边PAC △中，PO AC ⊥， ∴2PO AC ==∵O 是BD 的中点，PD =， ∴在POD △中，222PD PO OD =+， ∴PO BD ⊥.又∵AC BD O = ，AC ，BD ⊂平面ABCD ， ∴PO ⊥平面ABCD .…………………………………（6分）图6理科数学参考答案·第6页（共9页）以O 为坐标原点，分别以OB ，OC ，OP 所在直线为x 轴，y 轴，z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系O xyz -.由题知，(010)A -，，，00)B ，，(010)C ，，，(00)D ，，(00P ，. …………………………………（8分）∵E 为线段PA的中点，∴102E ⎛- ⎝⎭，，∴122DE =-⎭，，(00)BD =-，，(10)CD =- ，. 设111()n x y z = ，，是平面BDE 的一个法向量，则00DE n BD n ⎧=⎪⎨=⎪⎩，，即111110220y z -+=⎪-=⎩，，∴(01)n =. 设222()m x y z =，，是平面CDE 的一个法向量，则00DE m CD m ⎧=⎪⎨=⎪⎩ ，，即222221020y z y -+=⎪-=⎩，，∴(13)m =-． …………………………………（10分）∴cos ||||n m nm n m =，<>=∴二面角B DE C --的余弦值为13. ………………………………（12分）20．（本小题满分12分）解：（1）方法一：设椭圆C 的右焦点为2F ，由题意知1||PF ==，2||PF ==由椭圆的定义，得12||||2PF PF a +==，所以a =，又设椭圆C 的半焦距为c ，由题知3c =，所以2221293b a c =-=-=，所以C 的方程为221123x y +=. ……………………………………………………（4分） 方法二：设椭圆C 的半焦距为c ，由题知3c =，由题意得222222921a b ab ⎧=+⎪⎨+=⎪⎩，，解方程组得22123a b ⎧=⎪⎨=⎪⎩，， 所以C 的方程为221123x y +=． ……………………………………………………（4分）理科数学参考答案·第7页（共9页）（2）方法一：由点P 关于x 轴的对称点为点Q ，则PQ x ⊥轴． 如图7所示，由MPQ NPQ ∠=∠，得0AP BP k k +=． 设直线PA的方程为1(2)y k x =-1(0)k ≠， 则直线PB的方程为1(2)y k x =--． 设11()A x y ，，22()B x y ，．由122(2)1123y k x x y ⎧=-⎪⎨+=⎪⎩，得222211111(14)16)1640k x k x k ++-+--=，且2222211111116)4(14)(164)1)0k k k ∆=--+--=+>，即14k ≠． 由于直线PA 与C 交于P ，A 两点，所以2111218214k x k --=+，211111214(2)14k y k x k --=-+=+；同理可得2112218214k x k +-=+，211221414k y k -++=+，所以21214y y k x x -===-. 综上，得直线l 的斜率k为4． …………………………………………………（12分） 方法二：设直线l 的方程为y kx t =+，11()A x y ，，22()B x y ，． 由直线l 不经过P点，所以2t k ≠-+． 由221123y kx t x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，，得222(14)84120k x ktx t +++-=， 则222222644(14)(412)16(123)0k t k t k t ∆=-+-=-+>， 122814kt x x k +=-+，212241214t x x k -=+ ．又点P 关于x 轴的对称点为点Q ，则PQ x ⊥轴． 如图7所示，由MPQ NPQ ∠=∠，得0AP BP k k +=，所以121222AP BP y y k k x x --+=+--121222kx t kx t x x ++-=+--121212122(2)4(02()4kx x k t x x t x x x x +-++-==-++，图7理科数学参考答案·第8页（共9页）即222(412)8(24(14)(0k t kt k t k t ---+-+=，则260k t -+-+=，所以1)(20t k -+=，得4k =． 综上，得直线l 的斜率k． …………………………………………………（12分） 21．（本小题满分12分）（1）解：函数()f x 的定义域为(0)+∞，，1()f x x '==当0a ≤时，()0f x '>，()f x 在(0)+∞，上单调递增，()f x 无极值；……………………………………………………………………（2分）当0a >时，由()0f x '=，得24x a =， 当240x a <<时，()0f x '>，得()f x 的单调递增区间是240a ⎛⎫ ⎪⎝⎭，； 当24x a >时，()0f x '<，得()f x 的单调递减区间是24a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭，， 故()f x 的极大值为2244ln 2f a a ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，()f x 无极小值．……………………………………………………………………（6分）（2）证明：当4a =时，()ln f x x =-，1()0)f x x x '=->．依题意，1211x x =-，则1211x x -=，2=12120)x x x x +=>≠，，．①>，所以<，则有121x x >． …………………………………（8分）而121212()()8ln ln 8ln 8f x f x x x x x ++=-+-=-++，将①代入上式得1212()()8ln 8f x f x x x ++=-+．令12(1)x x t t =>，则()ln 8g t t =-+，11()g t t t -'==． ∵1t >，∴10-<，即()0g t '<，∴()g t 在(1)+∞，上单调递减， 于是()(1)0880g t g <=-+=，即12()()80f x f x ++<，得证．……………………………………………………………………（12分）理科数学参考答案·第9页（共9页）22．（本小题满分10分）【选修4-4：坐标系与参数方程】解：（1）曲线1C 的极坐标方程为4sin ρθ=，曲线2C 的直角坐标方程为2y x =．…………………………………………………（5分） （2）射线l ：θα=的倾斜角ππ43α⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，，由4sin ρθθα=⎧⎨=⎩，，得||4sin OA α=， 由2sin cos ρθθθα⎧=⎨=⎩，，得2cos ||sin OB αα=， 所以2cos 4||||4sin sin tan OA OB αααα==． 由ππ43α⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，，所以tan [1α∈， 故||||OA OB 的取值范围是43⎡⎤⎢⎥⎣⎦，． …………………………………（10分）23．（本小题满分10分）【选修4-5：不等式选讲】（1）解：由21x y +=，得12y x =-，所以不等式|21|2||3y x --<，即为|41|2||3x x --<，所以有01423x x x <⎧⎨-+<⎩，或1041423x x x ⎧⎪⎨⎪--<⎩，≤≤或144123x x x ⎧>⎪⎨⎪--<⎩，， 解得10x -<<或104x ≤≤或124x <<， 所以x 的取值范围为(12)x ∈-，． …………………………………………………………………………………（5分）（2）证明：∵0x >，0y >，21x y +=， 所以12124(2)4448y xx y x y x y x y ⎛⎫+=++=+++= ⎪⎝⎭≥，当且仅当4y x x y=，即122x y ==时取等号．又2122x y +-=-，当且仅当122x y ==时取等号，所以12152x y+，当且仅当122x y ==时取等号． ……………………（10分）（以上各题的解法仅供参考，若有其它解法，酌情给分．）。
云南省师范大学附属中学2019届高三第五次月考数学(理)答案
图2
4．图甲中菱形的面积为 sin( ) ，图乙中各矩形面积之和为 sin cos sin cos (sin sin )(cos cos ) ， 所以 sin( ) sin cos sin cos (sin sin )(cos cos ) sin cos cos sin ，故选 A． 5．由表可知，向矩形区域内随机抛掷 15 个点，其中有 7 个点在阴影部分的区域内，根据“随
2kπ(k Z) ，得
π 3kπ ≤ x ≤ π 3kπ(k Z) ，故选 B． 2
9．依题意， AM ，BN 是 △ABC 的两条中线，设它们相交于点 O ， 如图 3，则点 O 为 △ABC 的重心，因为 | AM | 2， | BN | 3 ，所
于是 O 在底面 BCD 面体 ABCD 的外接球的球心 O 在平面 MCA 上， 上的射影是正 △BCD 的中心，设为 Q ，而 O 在侧面 ABD 上的射影 是 M ， 易 得 MQ
3 1 ， 又 OMQ 30 ， 因 此 OQ ， 进 而 3 3
2 2
图4
2
2 13 52 π 13 1 2 3 R OC OQ QC ， 所以球 O 的表面积为 4 π 3 9 ， 3 3 3 2
2 | OB | 2 ， 在 △OBM 中 ， 由 余 弦 定 理 ， 得 以 | OM | ， 3
4 2 40 4 3 ， 于是 AB AC 2 AM ，AB AC CB 2 MB ， | BM |2 4 2 2 cos 30 9 3 9 3 2 两 式 平 方 相 减 ， 得 4 AB AC | 2 AM | | 2 MB |2 ， 即 AB AC | AM |2 | MB |2 ， 所 以
云南师大附中2019届高考适应性月考卷(三)理数-答案
理科数学参考答案·第1页（共8页）云南师大附中2019届高考适应性月考卷（三）理科数学参考答案一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）【解析】1．{(21)(31)(41)(32)(42)(43)}card()6P P ==，，，，，，，，，，，，，P 的非空子集的个数为621- 63=，故选C ．2．(i 1)(1i)(2i 1)(1i)13i z +-=--=+，1313i i 2222z z =+=-，，故选B ． 3．172635489229a a a a a a a a a +=+=+==+=，，∴916S =，故选B ． 4．由三视图可知该几何体是一个平行六面体，上下底面为俯视图的一半，各个侧面为平行四边形，故体积33654V Sh ==⨯⨯=，故选C ．5．213(sin cos )12sin cos 2sin cos 044A A A A A A A +=+==-<，，为钝角，2(sin cos )1A A -=-72sin cos sin cos 4A A A A =-=，，∴cos A =，故选A ．6．由题意可知22i x ==，；324i x ==+，；4246i x ==++，；；5524108i x ==+++，，最后输出的2461085554x ++++==，故选B ．7．2222|32|9||12||||cos604||132||3||20m n m m n n n n -=-︒+=--=，，解得||2n =，故选D ． 8．他只能再试两次，第一次试成功的概率是14，第二次试成功的概率是311434=，两次是互斥事件，∴111442P =+=，故选C ． 9．由题意知，当球与正三棱柱的部分面相切时，体积最大，若球与三个侧面都相切时，选取时球的半径为2，而2>理科数学参考答案·第2页（共8页）∴3max 44ππ33V R ==⨯=，故选D ．10．由题可知(1)1(0)0f f -==，，∴(1)(0)(1)011(2)(1)(0)1f f f f f f =--=-=-=-=--，01=-，(3)(2)(1)110(4)(3)(2)011f f f f f f =-=-+==-=+=，，(5)(4)(3)f f f =-=101(6)(5)(4)110f f f -==-=-=，，，当123n =，，，时，()f n 的取值依次是11--，，011011--，，，，，，，故()f x 的取值是以6为周期，且(1)(2)(6)f f f +++0=，∴(1)f (2)f +(2019)3360(1)(2)(3)2f f f f ++=⨯+++=-，故选A ．11．由题意可知12(0)(0)F c F c -，，，，一条渐近线方程为by x a=-，1F 到它的距离为d =b =，设1PF 与渐近线交于M ，因为线段1F P 被双曲线的渐近线垂直平分，则1||||F M MP b ==，连接2PF ，由双曲线的定义有122||||2||22PF PF a PF b a -=⇒=-，又O为12F F 的中点，∴2//OM F P ，∴21F PF ∠为直角，∴22244()4c b a b =-+，又22c b =+2a ， ∴22b a c =⇒224ca a e a-=⇒=，故选A ． 12．令()2()e x f x F x +=，则()()2()0e x f x f x F x '--'=>，∴()F x 在R 上为增函数，又(1)e 2f =-，∴(1)2(1)1e f F +==，∵()2e x f x +>可化为()21e xf x +>，即()(1)F x F >，∴(1)x ∈+∞，，故选B ．二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）【解析】13．如图1，画出不等式组的区域，(13)(11)(22)A B C ，，，，，，22(2)x y +-表示ABC △内部的点()M x y ，到(02)P ，的距离的平方，所以221(2)4x y <+-≤．理科数学参考答案·第3页（共8页）14．3e (31)e (32)e x x x y x x '=-+-+=--，所以0|2x k y ='==-，故切线方程为12(0)y x -=--，即21y x =-+． 15．在正项等比数列{}n a 中，12018220171008101110091010a a a a a a a a ====10m =，∴12lg lg a a +++2018122018lg lg()a a a a ==100912018lg()1009lg101009m a a m ==．16．如图2，∵(10)(10)F P -，，，，设1122()()A x y B x y ，，，，()M x y ，，l ：(1)y k x =+，由2(1)4y k x y x =+⎧⎨=⎩，，得2222(24)0k x k x k +-+=212122421k x x x x k -⇒+==，，并且0∆>⇒ 110k k -<<≠，，∵||||||||||||MA AM PB BM PA MB =⇒=||||PA PB ， 而1122||||x x y y MA MB x x y y --==--，12||||y PA PB y =，∴12y y y y -=-12y y ，从而有21212121222(1)(1)2(1)(1)y y k x x y k y y k x k x ++===++++，又()M x y ，在线段AB 上，即2(1)12k k x x =+⇒+=1x ⇒=，又110k k -<<≠，，所以M 点的轨迹方程是1(220x y y =-<<≠，．三、解答题（共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17．（本小题满分12分）解：（1）∵54sin cos 135B ADC =∠=，， ∴123cos sin 135B ADC =∠=，， ∵3124516sin sin()sin cos cos sin 51351365BAD ADC B ADC B ADC B ∠=∠-=∠-∠=⨯-⨯=，由正弦定理，得655sin 1625sin 1613BD AD B BAD =⨯=⨯⨯=∠．………………………………………………………………………………（6分）（2）∵3sin sin(π)sin 5BDA ADC ADC ∠=-∠=∠=， 图1图2理科数学参考答案·第4页（共8页）由正弦定理，得133sin 2539sin 55AD AB BDA B =⨯∠=⨯⨯=， ∴115sin 39322402213ABC S BA BC B ==⨯⨯⨯=△． ……………………………（12分）18．（本小题满分12分）解：（1）由表中数据知3x =，100y =，∴5152215141515008.555455i ii ii x yx yb xx ==--===---∑∑，125.5a y bx =-=，∴所求回归直线方程为8.5125.5y x =-+． ……………………………………（5分） 令9x =，则8.59125.549y =-⨯+=，∴该学校第9周的不文明人次为49人次． …………………………………………（6分） （2）∵012X =，，， 3436C 41(0)C 205P X ====，214236C C 123(1)C 205P X ====，124236C C 41(2)C 205P X ====，所以X 的分布列如下：………………………………………………………………………………（12分）19．（本小题满分12分）（1）证明：在PCD △中，2PC PD CD ===，222PC PD CD +=， ∴PC PD ⊥，∵90CDA ∠=︒，∴AD CD ⊥， 又平面PCD ⊥平面ABCD ，平面PCD 平面ABCD CD =，∴AD ⊥平面PCD ，∴AD PC ⊥， 又PDAD D =，∴PC ⊥平面PAD ，∵PC ⊂平面PBC ，∴平面PAD ⊥平面PBC ． …………………………………………………………（6分）理科数学参考答案·第5页（共8页）（2）解：取CD 的中点O ，连接PO ，OB ，∵PC PD ==1PO CD PO ⊥=，， 又平面PCD ⊥平面ABCD ，平面PCD 平面ABCD CD =，∴PO ⊥平面ABCD ，如图3，以O 为原点建立空间直角坐标系，则11(000)(110)(100)(010)(010)(001)022O A B C D P E ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，， 设平面ACE 的法向量为1111()n x y z =，，， ∵11(120)122AC CE ⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭，，，，，， ∴11111112011022n AC x y n CE x y z ⎧=-+=⎪⎨=-+=⎪⎩，，∴1(210)n =，，， 设平面CDE 的法向量为2222()n x y z =，，， ∵11(020)122DC CE ⎛⎫==- ⎪⎝⎭，，，，，，∴2222222011022n DC y n CE x y z ⎧==⎪⎨=-+=⎪⎩，，∴2(101)n =-，，， ∴121212cos ||||5n n n n n n ===<，> 由图可知二面角A CE D --的平面角为锐角， 所以二面角A CE D --． ………………………………………（12分） 20．（本小题满分12分）解：（1）由已知得2145AF F ∠=︒，所以由1AB AF ⊥和椭圆的定义，得12AF AF a ==， 并且2222242a c a c =⇒=，又124FAF S =△， 得28a =，24c =，故2224b a c =-=，图3理科数学参考答案·第6页（共8页）所以椭圆E ：22184x y +=．……………………………………………………（4分） （2）①当直线1l 的斜率为0时，2l 的斜率不存在，此时||2AB a ==22||b CD a==11||||822ACBD S AB CD ==⨯；……………………………………（6分） ②当两条直线的斜率均存在时，设直线AB 的方程为2x my =+， 则直线CD 的方程为12x y m=-+，设1122()()A x y B x y ，，，， 由222280x my x y =+⎧⎨+-=⎩，，得22(2)440m y my ++-=， 2221616(2)32(1)m m m ∆=++=+，12||y y-==， 12|||AB y y =-=， ………………………………………………（8分）用1m -取代m ，得2211||12m CD m⎫+⎪⎝⎭==+ ∴11||||22ACBDS AB CD ==⨯ 42422424221(252)168252252m m m m m m m m m ++++-=⨯=⨯++++ 228825m m=-++， …………………………………………………………………（10分）又22224m m +≥，当且仅当1m =±时取等号， 所以22864882925ACBD S m m⎡⎫=-∈⎪⎢⎣⎭++，， 综上，四边形ACBD 面积的取值范围是6489⎡⎤⎢⎥⎣⎦，． ………………………………（12分）21．（本小题满分12分）理科数学参考答案·第7页（共8页）解：（1）2(1)(1)()()(1)= (0)a x a x a x x a f x x a x x x x-++--'=-++=>，当1a ≤时，()f x 在[1e]，上为增函数，∴min 9()(1)2f x f a ==-； 当1e a <<时，()f x 在(1)a ，上为减函数，在(e)a ，上为增函数， ∴2min()()5ln 2a f x f a a a a ==--++；当e a ≥时，()f x 在[1e]，上为减函数，∴2min e ()(e)(1)e 52f x f a a ==-+++，综上所述，当1a ≤时，min 9()2f x a =-； 当1e a <<时，2min ()5ln 2a f x a a a =--++；当e a ≥时，2mine ()(1)e 52f x a a =-+++． …………………………………………（6分）（2）由题可知min min ()()f x g x <， 由（1）知，当e a ≥时，2min e ()(1)e 52f x a a =-+++， 下求()g x 的最小值，()e 2(0)x g x x x '=-≥，∴()e 2x g x ''=-，令()0g x ''=，则ln 2x =，令()0g x ''>，则ln 2x >；令()0g x ''<，则0ln 2x <<， ∴()g x '在(0ln 2)，上为减函数，在(ln 2)+∞，上为增函数， ∴()(ln 2)22ln 22(1ln 2)0g x g ''=-=->≥， 故()g x 在[0)+∞，上为增函数，∴min ()(0)1g x g ==，∴2e (1)e 512a a -+++<，∴2e 2e 82e 2a -+>-， 又22e 2e 88e e 02e 22e 2-+--=>--，∴2e 2e 82e 2a ⎛⎫-+∈+∞ ⎪-⎝⎭，． ……………………………………………………………（12分）理科数学参考答案·第8页（共8页）22．（本小题满分10分）【选修4−4：坐标系与参数方程】解：（1）∵2ρ=，∴24ρ=，所以曲线2C 的直角坐标方程为224x y +=． …………………………………………（1分） 由点A 的极坐标为π26⎛⎫⎪⎝⎭，，知点A的直角坐标为1)，菱形ABCD 的顶点都在圆2C 上，所以菱形ABCD 是正方形，故知各顶点的直角坐标为1)(1(1)(1A B C D --，，，，．………………………………………………………………………………（5分）（22||MB+2(1)x +22222228x y x y +++，将22440x y --=22||10MB x +=，∵||1x ≥，∴21x ≥2||10MB +，当1x =±时，取得最小值10． ………………………………………………………（10分） 23．（本小题满分10分）【选修4−5：不等式选讲】（1）解：当12a =时，1221111()12222122x x f x x x x x x ⎧-<-⎪⎪⎪=++-=-⎨⎪⎪>⎪⎩，，，≤≤，，，结合图象知，不等式()2f x <的解集{|11}M x x =-<<， …………………………（2分） 同理可得，当14a =时，不等式()1f x <的解集1122P x x ⎧⎫=-<<⎨⎬⎩⎭．………………………………………………………………………………（4分）（2）证明：∵m M n P ∈∈，， ∴22111114122m n m n -<<-<<<<，，，， 22222222(2)(12)441(1)(14)0m n mn m n m n m n +-+=+--=--<， ∴22(2)(12)m n mn +<+，即|2||12|m n m n +<+． ………………………………（10分）。
2019届云南师大附中高三高考适应性月考数学(理)试题Word版含解析
2019届云南师大附中高三高考适应性月考数学〔理〕试题第Ⅰ卷〔共60分〕一、选择题：本大题共12个小题,每题5分,共60分.在每题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设集合A ＝{0，1，2，4}，B ＝4|02x x R x ⎧-⎫∈≤⎨⎬-⎭⎩，则A B ＝〔 〕 A.｛1，2， 3，4｝ B. ｛2，3，4｝ C. ｛2，4｝ D. ｛|14x x <≤｝ 【答案】C 【解析】 试题分析：{0124}{14}{24}AB x x =<=，，，≤，，故选C.考点:集合的交集运算. 2.假设复数12iz i-=的共轭复数是(,)z a bi a b R =+∈，其中i 为虚数单位，则点〔a ，b 〕为〔 〕 A.〔一1. 2〕 B.〔－2，1) C.〔1，－2〕 D.〔2，一1〕 【答案】B 【解析】 试题分析：12i2i 2i iz z -==--=-+∵，∴，故选B. 考点：复数的计算.3.已知函数1,0()2,0x e x f x x x -⎧-≤=⎨->⎩，假设()f a ＝－1，则实数a 的值为〔 〕A 、2B 、±1 C. 1 D 、一1 【答案】C 【解析】试题分析：1000011211e 1a a a a a a a a a a ->>⎧⎧⎧⎧⇒⇒∈∅⇒⇒=⎨⎨⎨⎨=-=-=-=-⎩⎩⎩⎩≤，≤，，，∵，，故选C ． 考点：函数值.4.“0≤m ≤l ”是“函数()cos 1f x x m =+-有零点”的〔 〕A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】试题分析：()0cos 1f x x m =⇒=-∵，由01m ≤≤，得011m -≤≤，且1cos 1x -≤≤，所以函数()cos 1f x x m =+-有零点．反之，函数()cos 1f x x m =+-有零点，只需|1|1m -⇒≤ 02m ≤≤，故选A.考点：充分必要条件.5.将某正方体工件进行切削，把它加工成一个体积尽可能大的新工件，新工件的三视图如图1所示，则原工件材料的利用率为〔材料的利用率新工件的体积原工件的体积〕〔 〕A 、78 B 、67 C 、56 D 、45【答案】C 【解析】试题分析：如图1，不妨设正方体的棱长为1，则切削部分为三棱锥111A A B D -，其体积为16，又正方体的体积为1，则剩余部分〔新工件〕的体积为56，故选C.考点：三视图.6.在△ABC 中，||||AB AC AB AC +=-，AB =2, AC ＝1，E, F 为BC 的三等分点，则=AE AF •〔 〕 A 、89 B 、109 C 、259 D 、269【答案】B 【解析】试题分析：由||||AB AC AB AC +=-，知AB AC ⊥，以AB AC ，所在直线分别为x 轴、y 轴建立平面直角坐标系，则(00)(20)(01)A B C ，，，，，，于是41223333E F ⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，，，，据此，41223333AE AF ⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，，8210999+=，故选B ．考点：向量的运算.7.已知3sin()65πα-=，则sin(2)6πα+=〔 〕 A 、45 B 、725 C 、925 D 、1625【答案】B 【解析】试题分析：由22πππππ37sin 2sin 2cos 212sin 1262666525αααα⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=--=-=--=-⨯= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦，故选B ．考点：诱导公式.8.设实数x,y 满足2025020x y x y y --≤⎧⎪+-≥⎨⎪-≤⎩则y x z x y =+的取值范围是〔 〕A 、110[,]33B 、15[,]32C 、5[2,]2D 、10[2,]3【答案】D 【解析】 试题分析：由于yx表示可行域内的点()x y ，与原点(00)，的连线的斜率，如图2，求出可行域的顶点坐标(31)(12)A B ，，，，(42)C ，，则11232OA OB OC k k k ===，，，可见123y x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，，结合双勾函数的图象，得1023z ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，，故选D ．考点：线性规划.9.定义min{a，b}= ，在区域任意取一点P(x, y)，则x,y满足min｜x+y+4，x2+x+2y｜= x2+x+2y的概率为〔〕A、49B、59C、13D、23【答案】A考点：几何概型.10.《九章算术》中，将四个面都为直角三角形的四面体称之为鳖臑，如图2,在鳖臑PABC中，PA ⊥平面ABC，AB⊥BC，且AP=AC=1，过A点分别作AE 1⊥ PB于E、AF⊥PC于F，连接EF当△AEF的面积最大时，tan∠BPC的值是〔〕A．2 B．22C．3 D．33【答案】B 【解析】试题分析：显然BC PAB ⊥平面，则BC AE ⊥，又PB AE ⊥，则AE PBC ⊥平面，于是AE EF ⊥，AE PC ⊥且，结合条件AF PC ⊥得PC AEF ⊥平面，所以AEF △、PEF △均为直角三角形，由已知得2AF =，而2221111()()2448AEF S AE EF AE EF AF =+==△≤，当且仅当AE EF =时，取“=”，所以，当12AE EF ==时，AEF △的面积最大，此时1tan EF BPC PF ∠===，故选B. 考点：基本不等式、三角形面积.11.设定义在〔0，2π〕上的函数f(x), 其导数函数为'()fx ，假设()'()tan f x f x x <恒成立，则〔 〕 A ()()43ππ> B ．(1)2()sin16f f π> C()()64f ππ> D ()()63f ππ<【答案】D 【解析】试题分析：因为定义域为π02⎛⎫⎪⎝⎭，，()()tan f x f x x '<，所以()sin ()cos 0f x x f x x '->，因为2()()sin ()cos 0sin sin f x f x x f x xx x ''-⎛⎫=> ⎪⎝⎭，所以()sin f x y x =在π02⎛⎫ ⎪⎝⎭，上单调递增，所以 ππ612f f ⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭<ππ63f ⎛⎫⎛⎫< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故选D.考点：利用导数判断函数的单调性比较大小.12.设直线l 与抛物线x 2=4y 相交于A, B 两点，与圆C ：222(5)x y r +-= (r>0)相切于点M,且M 为线段AB的中点，假设这样的直线l 恰有4条，则r 的取值范围是〔 〕A.〔1，3)B. (1, 4)C. (2, 3)D. (2, 4) 【答案】D 【解析】试题分析：圆C 在抛物线内部，当l y ⊥轴时，必有两条直线满足条件，当l 不垂直于y 轴时，设001122()()()M x y A x y B x y ，，，，，，则12120022x x y y x y ++==，，由21122244x y x y ⎧=⎪⇒⎨=⎪⎩，22012121212124()42AB x y y x x x x y y k x x -+-=-⇒=⇒=-，因为圆心(05)C ，，所以005CM y k x -=-，由直线l 与圆C相切，得013AB CM k k y =-⇒=，又因为2004x y <，所以2012x <，且2222000(5)4164r x y x r =+-=+<⇒<，又22200(5)0r y x --=>⇒22(35)0r -->⇒ 242r r >⇒>，故24r <<，此时，又有两条直线满足条件，故选D ．考点：直线与抛物线的位置关系、直线与圆的位置关系.第Ⅱ卷〔共90分〕二、填空题〔每题5分，总分值20分，将答案填在答题纸上〕13.如图3.这是一个把k 进掉数a 〔共有n 位〕化为十进制数b 的程序框图，执行该程序框图，假设输人的k ，a ，n 分别为2，110011，6，则抢出的b ＝ ．【答案】51 【解析】试题分析：依程序框图得01234512120202121251b =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=. 考点：程序框图. 14.假设函数3211()232f x x x ax =-++在2[,)3+∞上存在单调递增区间，则a 的取值范围是 . 【答案】1,9⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭【解析】试题分析：2211()2224f x x x a x a ⎛⎫'=-++=--++ ⎪⎝⎭．当23x ⎡⎫∈+∞⎪⎢⎣⎭，时，()f x '的最大值为22239f a ⎛⎫'=+ ⎪⎝⎭，令2209a +>，解得19a >-，所以a 的取值范围是1,9⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭.考点：利用导数判断函数的单调性.15.设椭圆E ：22221(0)x y a b a b+=>>的右顶点为A 、右焦点为F ，B 为椭圆E 在第二象限上的点，直线BO交椭圆E 于点C ，假设直线BF 平分线段AC ，则椭圆E 的离心率是 【答案】13【解析】试题分析：如图3，设AC 中点为M ，连接OM ，则OM 为ABC △的中位线，于是OFM △AFB ∽△，且 ||1||2OF FA =，即1123c c a c a =⇒=-．考点：椭圆的离心率. 16.设2222222211111111111112233420142015S =+++++++++S 的最大整数［S ］等于 【答案】2014 【解析】试题分析：2222222211()2()111111(1)(1)(1)1n n n n n n n n n n n n n n ++++++⎛⎫++==+- ⎪++++⎝⎭，所以 111111111120151223201420152015S ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+-++-+++-=-⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭…，故[]2014S =． 考点：裂项相消法求和.三、解答题 〔本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.〕 17.〔本小题总分值12分〕 已知数列｛an ｝的首项al ＝1，*14()2nn n a a n N a +=∈+．〔I 〕证明：数列11{}2n a -是等比数列； 〔II 〕设n nnb a =，求数列{}n b 的前n 项和n S . 【答案】〔1〕证明详见解析；〔2〕11222n n nnS -=--. 【解析】试题分析：此题主要考查等比数列的证明、等比数列的通项公式、错位相减法、等比数列的前n 项和等基础知识，考查学生的分析问题解决问题的能力、转化能力、计算能力.第一问，先将已知表达式取倒数，再别离常数、用配凑法证明数列11{}2n a -是等比数列；第二问，结合第一问的结论，利用等比数列的通项公式，先计算出n a ，再计算n b ，用错位相减法求和，在化简过程中用等比数列的前n 项和计算即可. 试题解析：〔Ⅰ〕证明：11421112442n n n n n n na a a a a a a +++===++∵，∴， 111111222n n a a +⎛⎫-=- ⎪⎝⎭∴， 又11111122a a =-=，∴，所以数列112n a ⎧⎫-⎨⎬⎩⎭是以12为首项，12为公比的等比数列．…………………………………………………………………………………〔6分〕〔Ⅱ〕解：由〔Ⅰ〕知1111112222n nn a -⎛⎫-==⎪⎝⎭， 即1112222n n n n n n n n b a a =+==+，∴， 设231232222n n nT =++++…，① 则231112122222n n n n nT +-=++++…，② 由①－②得，21111111111122112222222212n n n n n n n n n n T +++⎛⎫- ⎪⎝⎭=+++-=-=---…， 11222n n nnT -=--∴， 又1(1)(123)24n n n +++++=…，∴数列{}n b 的前n 项和2(1)224n nn n n S ++=-+． ………………………………〔12分〕考点：等比数列的证明、等比数列的通项公式、错位相减法、等比数列的前n 项和. 18.〔本小题总分值12分〕某毕业生参加人才招聘会，分别向甲、乙、丙三个公司投递了个人简历，假定该毕业生得到甲公司面试的概率为34，得到乙公司和丙公司面试的概率均为p ，，且三个公司是否让其面试是相互独立的．记ξ为该毕业生得到面试的公司个数，假设P(ξ＝0)＝116.〔I 〕求p 的值：〔II 〕求随机变量ξ的分布列及数学期望． 【答案】〔1〕12p =；〔2〕分布列详见解析，74E ξ=. 【解析】试题分析：此题主要考查独立事件、离散型随机变量的分布列和数学期望等基础知识，考查学生的分析问题解决问题的能力、转化能力、计算能力.第一问，利用独立事件，当0ξ=时说明三个公司都没有得到面试的时机；第二问，按照独立事件的计算过程，分别计算出0,1,2,3ξ=的概率，列出分布列，再利用1122n n E P P P ξξξξ=+++计算数学期望.试题解析：〔Ⅰ〕2311(0)1(1)4162P p p ξ⎛⎫==--=⇒= ⎪⎝⎭∵． …………………………〔6分〕〔Ⅱ〕ξ的取值为0，1，2，3，1(0)16P ξ==； 2313113115(1)111114242242216P ξ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫==⨯-+-⨯⨯-+-⨯-⨯= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭；3113113117(2)11142242242216P ξ⎛⎫⎛⎫⎛⎫==⨯⨯-+⨯-⨯+-⨯⨯= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭； 3113(3)42216P ξ==⨯⨯=，ξ的分布列为数学期望15737()0123161616164Eξ=⨯+⨯+⨯+⨯=．…………………………〔12分〕考点：独立事件、离散型随机变量的分布列和数学期望.19.〔本小题总分值12分〕如图4，在三棱锥S -ABC中，△ABC是边长为2的正三角形，平面SAC⊥平面ABC，SA=SC＝2，M为AB 的中点．〔I〕证明：AC⊥SB;〔II〕求二面角S一CM－A的余弦值.【答案】〔1〕证明详见解析；〔25【解析】试题分析：此题主要考查线线垂直、线面垂直、面面垂直、二面角等基础知识，考查学生的分析问题解决问题的能力、空间想象能力、逻辑推理能力、计算能力.第一问，利用线面垂直的判定，得AC SDB⊥平面，再利用线面垂直的性质，得AC SB⊥；第二问，先利用面面垂直的性质，得到线面垂直SD ABC⊥平面，通过作出辅助线得出SED∠为二面角S CM A--的平面角，在直角三角形SDE中，利用三角函数值，求二面角S一CM－A的余弦值；还可以利用向量法解决问题.试题解析：方法一：几何法〔Ⅰ〕证明：如图4，取AC的中点D，连接DS，DB．因为SA SC=，BA BC=，所以AC DS AC DB DS DB D⊥⊥=，且，，所以AC SDB⊥平面，又SB SDB⊂平面，所以AC SB⊥．……………………………………………………………………〔6分〕〔Ⅱ〕解：因为SD AC SAC ABC⊥⊥，平面平面，所以SD ABC⊥平面.如图4，过D作DE CM⊥于E，连接SE，则SE CM⊥，所以SED∠为二面角S CM A--的平面角. ……………………………………〔8分〕由已知有1122DE AM ==，又2SA SC ==，2AC =，所以1SD =， 在Rt SDE △中，52SE =， 所以5cos =5DE SED SE ∠=． …………………………………………………〔12分〕方法二：向量法〔Ⅰ〕证明：如图5，取AC 的中点O ，连接OS ，OB ．因为SA SC =，BA BC =，所以AC OS ⊥，且AC OB ⊥， 又SAC ABC ⊥平面平面，=SAC ABC AC 平面平面，所以SO ABC ⊥平面，所以SO BO ⊥．如图5，建立空间直角坐标系O xyz -，则(100)A ，，，(100)C -，，，(001)S ，，，(030)B ，，，因为(200)AC =-，，，(031)SB =-，，，………………………………………………〔3分〕所以20030(1)0AC SB =-⨯+⨯-=，AC SB ⊥∴． ……………………………………………………………………〔6分〕〔Ⅱ〕解：因为M 是AB 的中点，所以1302M ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，，3302CM ⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭∴，，(10,1)CS =，，设(1)n y z =，，为平面SCM 的一个法向量，则330210n CM y n CS z ⎧=+=⎪⎨⎪=+=⎩，，得31y z ==-，，所以(131)n =--，，， 又(001)OS =，，为平面ABC 的一个法向量，15cos 5||||51n OS n OS n OS -〈〉===-∴，． ………………………………………〔11分〕又二面角S CM A --的平面角为锐角，所以二面角S CM A --． ………………………………………〔12分〕 考点：线线垂直、线面垂直、面面垂直、二面角.20.〔本小题总分值12分〕已知椭圆C ：22221(0)x y a b a b+=>>的离心率为2，连接椭圆四个顶点形成的四边形面积为. 〔I 〕求椭圆C 的标准方程；〔II)过点A(1，0)的直线与椭圆C 交于点M, N,设P 为椭圆上一点，且(0)OM ON tOP t +=≠O 为坐标原点，当45||3OM ON -<时，求t 的取值范围.【答案】〔1〕22142x y +=；〔2〕61,,13t ⎡⎛⎤∈- ⎢⎥ ⎣⎭⎝⎦.【解析】试题分析：此题主要考查椭圆的标准方程及其几何性质、直线与椭圆的位置关系等基础知识，考查学生的分析问题解决问题的能力、转化能力、计算能力.第一问，先利用离心率、222a b c =+、四边形的面积列出方程，解出a 和b 的值，从而得到椭圆的标准方程；第二问，讨论直线MN 的斜率是否存在，当直线MN 的斜率存在时，直线方程与椭圆方程联立，消参，利用韦达定理，得到12x x +、12x x ，利用OM ON tOP +=列出方程，解出(,)P x y ，代入到椭圆上，得到2t 的值，再利用45||3OM ON -<，计算出2k 的范围，代入到2t 的表达式中，得到t 的取值范围.试题解析：〔Ⅰ〕222112b e e a ==-=∵∴， 2212b a =∴，即222a b =．又1222S a b ab =⨯⨯==∴2224b a ==∴，． ∴椭圆C 的标准方程为22142x y +=． …………………………………………〔4分〕〔Ⅱ〕由题意知，当直线MN 斜率存在时， 设直线方程为(1)y k x =-，1122()()()M x y N x y P x y ，，，，，，联立方程22142(1)x y y k x ⎧+=⎪⎨⎪=-⎩，，消去y 得2222(12)4240k x k x k +-+-=， 因为直线与椭圆交于两点，所以4222164(12)(24)24160k k k k ∆=-+-=+>恒成立，22121212122224242()2121212k k k x x x x y y k x x k k k k --+==+=+-=+++∴，，， 又OM ON tOP +=∵，212212121224(12)2(12)x x k x x x tx t t k y y ty y y k y t t k ⎧+==⎪+=⎧+⎪⎨⎨+=+-⎩⎪==⎪+⎩，，∴∴，， 因为点P 在椭圆22142x y +=上，所以422222221684(12)(12)k k t k t k +=++， 即2222222212(12)11212k k t k t k k =+==-++，∴， ………………………………〔8分〕 又45||3OM ON -<∵，即1245||3NM x <-224612k k ++ 化简得：4213580k k -->，解得21k >或2813k <-〔舍〕， 2221211123t t k =-<<+∵，∴，即6113t ⎛⎛⎫∈--⎪⎪⎝⎭⎝⎭，，．当直线MN 的斜率不存在时，1,,1,M N ⎛⎛- ⎝⎭⎝⎭，此时1t =±， 61,,13t ⎡⎛⎤∈-- ⎢⎥ ⎣⎭⎝⎦∴．……………………………………………………〔12分〕考点：椭圆的标准方程及其几何性质、直线与椭圆的位置关系.21.〔本小题总分值12分〕已知f(x)＝ln ()ax x x a R +∈，曲线()y f x =在点〔1，f(1)〕处的切线斜率为2.〔I 〕求f(x)的单调区间；〔11〕假设2 f(x)一〔k ＋1〕x ＋k>0〔k ∈Z 〕对任意x ＞1都成立，求k 的最大值【答案】〔1〕减区间为210e ⎛⎫ ⎪⎝⎭，，增区间为21e ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭，；〔2〕最大值为4. 【解析】试题分析：此题主要考查导数的运算、利用导数判断函数的单调性、利用导数求函数的最值、恒成立问题等基础知识，考查学生的分析问题解决问题的能力、转化能力、计算能力.第一问，对()f x 求导，再利用'()0f x >和'()0f x <判断函数的单调性；第二问，先将2 f(x)一〔k ＋1〕x ＋k>0〔k ∈Z 〕对任意x ＞1都成立，转化为2ln 1x x x k x +<-恒成立，再构造函数()g x ，通过求导，判断函数的单调性，求出函数()g x 的最小值，从而得到k 的取值范围.试题解析：〔Ⅰ〕()f x 的定义域为(0)+∞，，求导可得()1ln f x a x '=++，由(1)2f '=得1a =，()ln ()2ln f x x x x f x x '=+=+∴，，令()0f x '<，得210e x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，； 令()0f x '>，得21e x ⎛⎫∈+∞ ⎪⎝⎭，， 所以()f x 的减区间为210e ⎛⎫ ⎪⎝⎭，，增区间为21e ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭，． …………………………〔4分〕〔Ⅱ〕由题意：22ln 0x x x kx x k +--+>，即2ln (1)x x x x k +>-，2ln 1101x x x x x k x +>-><-∵，∴，∴恒成立， 令2ln ()1x x x g x x +=-，则222ln 3()(1)x x g x x --'=-， 令()22ln 3h x x x =--，则2()20h x x'=->， ()h x ∴在(1)+∞，上单调递增， 又5(2)12ln 202(1ln 2.5)02h h ⎛⎫=-<=-> ⎪⎝⎭，， 0522x ⎛⎫∃∈ ⎪⎝⎭∴，且0()0h x =， 当0(1)x x ∈，时，()0()0()h x g x g x '<<，，在0(1)x ，上单调递减；当0()x x ∈+∞，时，()0()0()h x g x g x '>>，，在0()x +∞，上单调递增， 所以000min 002ln ()()1x x x g x g x x +==-， 000()22ln 30h x x x =--=∵，002ln 23x x =-∴，200000min 0000232(1)()()211x x x x x g x g x x x x +--====--∴，02(45)k x <∈∴，，所以k 的最大值为4． ………………………………………〔12分〕考点：导数的运算、利用导数判断函数的单调性、利用导数求函数的最值、恒成立问题.请考生在22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.22.〔本小题总分值10分〕【选修4-4：坐标系与参数方程】在平面直角坐标系xOy 中，已知曲线C：(sin x y ααα⎧=⎪⎨=⎪⎩为参数〕，以平面直角坐标系xOy 的原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴，取相同的单位长度建立极坐标系，已知直线l ：(cos sin )ρθθ-=6. 〔I 〕在曲线C 上求一点P ，使点P 到直线l 的距离最大，并求出此最大值；〔Ⅱ〕过点M(一1，0)且与直线l 平行的直线l 1交C 于A, B 两点，求点M 到A ，B 两点的距离之积．【答案】〔1〕max d =；〔2〕1.【解析】试题分析：此题主要考查参数方程与普通方程的转化、极坐标方程与直角坐标方程的转化、点到直线的距离公式等基础知识，考查学生的分析问题解决问题的能力、转化能力、计算能力.第一问，利用cos x ρθ=、sin y ρθ=将直线l 的极坐标方程转化为普通方程，再利用点到直线的距离公式计算，利用三角函数的有界性求最值；第二问，利用平方关系将曲线C 的方程转化为普通方程，将直线l 的参数方程与曲线C 的方程联立，消参，得到121t t =-，即得到结论1MA MB •=.试题解析：〔Ⅰ〕直线l ：(cos sin )6ρθθ-=化成普通方程为60x y --=．设点P的坐标为sin )αα，，则点P 到直线l 的距离为：d ==， ∴当πsin 13α⎛⎫-=- ⎪⎝⎭时，点3122P ⎛⎫- ⎪⎝⎭，，此时max d == …………………………………………………………〔5分〕 〔Ⅱ〕曲线C 化成普通方程为2213x y +=，即2233x y +=， 1l的参数方程为12x y ⎧=-+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，，〔t 为参数〕代入2233x y +=化简得2220t -=，得121t t =-，所以12||1MA MB t t ==． ………………………………………………〔10分〕考点：参数方程与普通方程的转化、极坐标方程与直角坐标方程的转化、点到直线的距离公式.23.〔本小题总分值10分〕【选修4-5：不等式选讲】设f(x)＝｜x ＋2｜＋｜2x －1｜－m.〔I 〕当m ＝5时．解不等式f 〔x 〕≥0;〔II 〕假设f 〔x 〕≥32，对任意x R ∈恒成立，求m 的取值范围． 【答案】〔1〕423x x x ⎧⎫-⎨⎬⎩⎭≤或≥；〔2〕(1]-∞，. 试题解析：〔Ⅰ〕当5m =时，()|2||21|5f x x x =++--，不等式()0f x ≥为|2||21|5x x ++-≥，①当2x -≤时，不等式为：315x --≥，即2x -≤，满足；②当122x -<<时，不等式为：35x -+≥，即2x -≤，不满足； ③当12x ≥时，不等式为：315x +≥，即43x ≥，满足． 综上所述，不等式()0f x ≥的解集为423x x x ⎧⎫-⎨⎬⎩⎭≤或≥． ……………………〔5分〕〔Ⅱ〕设()|2||21|g x x x =++-，假设3()2f x ≥对于x ∈R 恒成立， 即3()|2||21|2g x x x m =++-+≥对于x ∈R 恒成立， 31(2)1()|2||21|322131.2x x g x x x x x x x ⎧⎪---⎪⎪⎛⎫=++-=-+-<<⎨ ⎪⎝⎭⎪⎪⎛⎫+⎪ ⎪⎝⎭⎩≤，，≥由图6可看出()|2||21|g x x x =++-的最小值是52， 所以3522m +≤，1m ∴≤，即m 的取值范围是(1]-∞，． …………………………………………………………………………………〔10分〕考点：绝对值不等式的解法、恒成立问题、函数的最值.。
云南师大附中2019届高考适应性月考卷(二)数学(理)试题(含解析)
云南师大附中2019届高考适应性月考卷（二）云南师大附中2019届高考适应性月考卷（二）理科数学参考答案一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分） 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 BD A C A A C D A B C B【解析】 1．(2i)(1i)(2)(2)i (1i)(1i)2a a a +-++-=+-，故选B ．2．(3)(2)A B =-+∞=+∞，，，，故选D ． 3．sin y x x =为偶函数，当0πx <<时，sin 0x >，故选A ．4．如图1，过点G 作GD AC ⊥，垂足为D ，当点P 位于线段AD 上时，0GP AP <u u u r u u u r g ；当点P 位于线段DC 上时，0GP AP >u u u r u u u r g ，故当GP AP u u u r u u u r g 取得最小值时，点P 在线段AD 上，||||||(3||)GP AP AP DP AP AP =-=--u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r g g g ，当3||AP =u u u r 时，取得最小值34-，故选C ． 5．一方面，由2||2||OF OH =，得211||||22OH OF c ==，故22223||||||F H OF OH c =-=；另一方面，双曲线的渐近线方程为0bx ay ±=，故222||F H b a b ==+，于是3c b =，即222234c b c a ==-，故2214a c =，得2c e a ==，故选A ．6．根据正弦定理，由2sin 4sin c A C =，得4ac =，则由π3B =，得2224a c b +-=，则ABC S =△1(164)34-=A ． 7．该框图是计数90到120（含90和120）之间的个数，可知5k =，故选C.8．设在这周能进行决赛为事件A ，恰好在周三、周四、周五进行决赛分别为事件3A ，4A ，5A ，则345A A A A =U U ，又事件3A ，4A ，5A 两两互斥，则有345()()()()P A P A P A P A =++=11111171112222228⎛⎫⎛⎫⎛⎫+-⨯+-⨯-⨯= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，故选D ．图19．如图2，将三棱柱补为长方体1111ABDC A B D C -，异面直线1AC 与1A B 的所成角即为1AC D ∠，设11AA =，则由题意知11cos 5255AC D ∠==⨯⨯，故选A ． 10．π()3sin cos 2sin 6f x x x x ωωω⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭，由五点作图法可得其图象如图3，由题意得11π17ππ66ωω<≤，即111766ω<≤，故选B ． 11．令0a b ==，则(0)(0)(0)f f f =，又因为(0)0f ≠，所以(0)1f =，故①正确；当0x >时，()1f x >，当0x =时，(0)1f =，即当0x ≥时，()10f x >≥；当0x <时，0x ->，则()0f x ->，由题意得()()()f x x f x f x -=-，则(0)1()0()()f f x f x f x ==>--，故②成立；对任意的12x x ∈，R ，不妨设12x x >，故存在正数z 使得12x x z =+，则12222()()()()()()f x f x f x z f x f x f z -=+-=22()()(()1)f x f x f z -=-，因为当0x >时，()1f x >，所以()10f z ->，因为对任意的x ∈R ，有()0f x >，所以2()0f x >，故12()()0f x f x ->，即12()()f x f x >，所以()f x 是R 上的增函数，故③错误，故选C ．12．如图4，设内切圆的圆心为H ，连接2AH BH F H ，，，设内切圆的半径为r ，则2212||||||||||AB AF BF AF AF ++=++12||||48BF BF a +==，2221(||2ABF ABH AHF BHF S S S S AB =++=+△△△△22||||)4AF BF r r +⨯=，即24ABF S r =△，当2ABF △的面积最大时，内切圆的半径r 最大，由题意知，直线不会与x 轴重合，可设直线AB ：1my x =+，11()A x y ，，22()B x y ，，由221143my x x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，，得π6x ω+0 … 2π 3π x π6ω-… 11π6ω 17π6ω π2sin 6x ω⎛⎫+ ⎪⎝⎭ 0 … 0 0 图2图4 图322(34)690m y my +--=，2212(1)m ∆=+，2121212111||||22ABF AF F BF F S S S F F y =+=+g g g △△△212212121212111121||||||(||||)||||2222m F F y F F y y F F y y ∆+=+=-=⨯⨯=g g g g g 222121121311m m m +==+++，令21m +=1t ≥，则2213131m t t m ++=+=+ ()f t ，当1t ≥时，函数()f t 单调递增，所以()(1)4f t f =≥，当()f t 取得最小值4时， 2ABF S △取得最大值3，此时34r =，所以内切圆的面积的最大值为9π16，故选B ． 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）题号 13 14 15 16答案12y x = 263⎡⎤-⎢⎥⎣⎦， 2(12)- 16π13．21e 2x y '=，则012x y ='=，故12y x =． 14．可行域如图5，根据图形可得263z -≤≤．15．由题意得sin cos sin cos αααα+=，两边同时平方得212sin cos (sin cos )αααα+=，即2sin 24sin240αα=--，解得sin22(12)α=-或sin22(1+2)1α=>舍去．16．如图6，在正三棱锥P ABC -中，D 为BC 的中点，E 为ABC △的中心，PA PB PC ==，由余弦定理可得2222cos AB PA PB PA PB APB =+-∠g ，解得22PA =，即22PA PB PC ===，在ABC △中，3AD =，则2AE =，在PAE △中，222PE AP AE =-=，则AE BE CE ===2PE =，故E 为球心，球的半径2r =，所以球的表面积为24π16πr =． 三、解答题（共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17．（本小题满分12分）图5 图6（1）解：由题知当1n =时，1131222a S ==+=；当2n ≥时，2213131(1)(1)312222n n n a S S n n n n n -⎛⎫⎡⎤=-=+--+-=- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，所以31n a n =-． ……………………………………………………………………（3分） 设{}n b 的公比为q ，则2111322b b q b q =+=，，解得12q =或32q =-（舍去）， 所以1211222n n n b --⎛⎫⎛⎫=⨯= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭． ………………………………………………………（6分）（2）证明：由（1）得2312n n n c --=，则1012258312222n n n T ---=++++L ， 两边同乘12，得012112583122222n n n T --=++++L ， ……………………………（8分） 上面两式相减，得101211112333316311022222222n n n n n n n T -------=++++-=--L ， 所以235202n n n T -+=-． ………………………………………………………………（10分） 因为23502n n -+>，所以20n T <． ……………………………………………………（12分）18．（本小题满分12分）解：（1）由表一得3456 2.534 4.54.5 3.544x y ++++++====，，422221345i i x==++∑2686+=， …………………………………………………………（2分） ∴23 2.543546 4.54 4.5 3.566.5630.7864 4.55b ⨯+⨯+⨯+⨯-⨯⨯-===-⨯$， …………………（4分） ˆ 3.50.7 4.50.35a=-⨯=， 所以所求线性回归方程为ˆ0.70.35y x =+． ………………………………………（6分）（2）当7x =时，ˆ0.770.35 5.25y =⨯+=，从而能够节省6.5 5.25 1.25-=吨原材料． ………………………………………（8分）（3）由表二得22200(90158510)8 2.706100100175257K ⨯⨯-⨯==<⨯⨯⨯， ……………………（10分） 因此，没有90%的把握认为“改革前后生产的产品的合格率有差异”．………………………………………………………………………………（12分）19．（本小题满分12分）（1）证明：2AC BC PC ===，22AB PA PB ===， 则222AC PC AP +=，222BC PC BP +=，所以PC AC ⊥，PC BC ⊥， ………………………………………（2分） 又因为AC BC C =I ，AC ⊂平面ABC ，BC ⊂平面ABC ，所以PC ⊥平面ABC ． ………………………………………（4分）（2）解：222AC BC BA +=，则AC BC ⊥，即AC ，BC ，PC两两垂直，如图7，建立空间直角坐标系，则(200)A ，，， (002)P ，，，(020)B ，，，设(00)(02)D a a ∈，，，，，则PA =u u u r (202)-，，，PB =u u u r (022)-，，，(02)PD a =-u u u r ，，， ……………………（6分）平面PBC 的法向量1u =r (100)，，， 设平面PBD 的法向量2()u x y z =r ，，，则22020y z ax z -=⎧⎨-=⎩，，令1z =，可得2211u a ⎛⎫= ⎪⎝⎭r ，，． 1212cos30||||u u u u ︒=r r g r r g ，解得6a =， ……………………………………（8分） 则602PD ⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭u u u r ，，，平面PAB 的法向量3(111)u =r ，，， ………………………（10分） 设PD 与平面PAB 的所成角为θ，则33||1421sin ||||PD u PD u θ==-u u u r r g u u u r r g ，所以所求角的正弦值为1421-. ………………………………………（12分）20．（本小题满分12分） （1）证明：设点001122()()()M x y A x y B x y ，，，，，，图7则2004x P x ⎛⎫ ⎪⎝⎭，，12012022x x x y y y +=+=，，由24x y =，得214y x =， 故12y x '=，即抛物线C 在点P 处的切线的斜率为0012P x x k y x ='==．………………………………………………………………………………（2分）又直线l 的斜率22120012121212244442ABx x x x y y x x k x x x x --+=====--，即AB P k k =， 所以直线l 平行于抛物线C 在点P 处的切线． ………………………………………（4分）（2）解：由||0PM a =>，得2004x M x a ⎛⎫+ ⎪⎝⎭，， 于是直线2000()42x x l y a x x ⎛⎫-+=- ⎪⎝⎭：，即2200000()2424x x x x l y x x a x a ⎛⎫=-++=-+ ⎪⎝⎭：．………………………………………………………………………………（6分）联立直线l 与抛物线C 得2200424x y x x y x a ⎧=⎪⎨=-+⎪⎩，，消去y 得2200240x x x x a -+-=，∴222120120002444(4)160x x x x x x a x x a a +==-∆=--=>，，，………………………………………………………………………………（8分）∴12111||||2222PAB S PM x x a =-=⨯=△故PAB △的面积为定值2 ………………………………………………（12分）21．（本小题满分12分）（1）证明：()g x 的定义域为(0)+∞，，1()e x g x x '=-，令()()G x g x '=，则21()e 0x G x x '=+>， 所以()G x 在(0)+∞，上单调递增，即()g x '在(0)+∞，上单调递增， ………………（2分） 131e 303g ⎛⎫'=-< ⎪⎝⎭，(1)e 10g '=->， 故存在0113x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，，使得0001()e 0x g x x '=-=，（*）当0(0)x x ∈，时，()0g x '<，()g x 单调递减；当0()x x ∈+∞，时，()0g x '>，()g x 单调递增， 所以对(0)x ∀∈+∞，，均有000()()e ln x g x g x x =-≥，① 由（*）式可得001e x x =，代入①式得00000000011()e ln e ln e e x x x x g x x x x x =-=-=+=+，又00x >，所以0012x x +≥，当且仅当01x =时取“=”，但013x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭,1，故0012x x +>， 故0()()>2g x g x ≥． ……………………………………（6分）（2）解：由题得2()()()e ln 0x h x g x f x x x ax x =-=-+->，， 于是函数()h x 有两个零点等价于方程2e ln 0x x x ax -+-=有两个不同的解，因为0x ≠，所以又等价于2e ln 0x x x a x -+-=有两个不同的解． 令2e ln ()x x x H x a x -+=-，则22e ln e 1()x x x x x H x x ++--'=，………………………（8分）再令2()e ln e 1x x p x x x x =++--，则1()e 20x p x x x x '=++>，所以()p x 在(0)+∞，上单调递增． 又(1)0p =，所以当(01)x ∈，时，()0p x <；当(1)x ∈+∞，时，()0p x >， 故当(01)x ∈，时，()0H x '<；当(1)x ∈+∞，时，()0H x '>， 于是当(01)x ∈，时，()H x 单调递减；当(1)x ∈+∞，时，()H x 单调递增，即(1)1e H a =+- 是()H x 在(0)+∞，上的最小值，于是，若(1)1e 0H a =+-≥，即1e a +≤时，则当(01)x ∈，时，()(1)0H x H >>， 当(1)x ∈+∞，时，()(1)0H x H >>，故()H x 在(0)+∞，上至多有一个零点1x =； ………………………………………………（10分）若(1)1e 0H a =+-<，即1e a >+时，则当(01)x ∈，时，由于1(01)a ∈，，(1)0H <，11211e ln 11111e ln 201a a a a H a a a a a a a a a a a a -+⎛⎫⎛⎫=-=-+->+-=+> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故()H x 在(01)，上有且仅有一个零点111x a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，； 同理，当(1)x ∈+∞，时，由于(1)a ∈+∞，，(1)0H <， 2e ln e ln 22()0a a a a a H a a a a a a a a a a -+-=-=+->+-=>，故()H x 在(1)+∞，上有且仅有一个零点2(1)x a ∈，，即当(0)x ∈+∞，时，()H x 共有两个零点12x x ，． 综上，当1e a >+时，()h x 有两个零点． ……………………………………（12分）22．（本小题满分10分）【选修4-4：坐标系与参数方程】解：（1）C 的直角坐标方程为22143x y +=， ……………………………………（2分）l的参数方程为1cos ()sin x t t y t αα=+⎧⎪⎨=⎪⎩，为参数，． ………………………………………（4分）（2）将直线l 的参数方程代入曲线C的直角坐标方程得2(1cos )14t α+=，整理得222(3cos 4sin )2(3cos )10t t αααα+++-=，………………………………………………………………（6分） 所以1222211||||||||3cos 4sin 3sin PA PB t t ααα===++， …………………………（8分） 而[0π)α∈，，故2sin [01]α∈，， 所以2111||||3sin 43PA PB α⎡⎤=∈⎢⎥+⎣⎦，． ………………………………………………（10分）23．（本小题满分10分）【选修4-5：不等式选讲】（1）解：由240()404244x x f x x x x -+⎧⎪=<<⎨⎪-⎩，≤，，，，≥， ……………………………………………（2分）得min ()4f x =，要使()|2|f x m +≥恒成立，只要|2|4m +≤，即62m -≤≤，故实数m 的最大值为2． ……………………（5分）（2）证明：由（1）知222a b +=，又222a b ab +≥，故1ab ≤，222222222()4242242(1)(21)a b a b a b ab a b ab a b ab ab +-=++-=+-=--+，∵01ab <≤，∴222()42(1)(21)0a b a b ab ab +-=--+≥， ∴2a b ab +≥． ……………………………………………………………………（10分）。
云南师大附中2019届高考适应性月考卷(六)理数-答案
k 20 4 ，故选 D． i 5
5．②③不正确，② n 也可以；③ ， 可以相交但不垂直，故选 C．
2 6．由点 C，P，M 及 B，P，N 共线，可设 AP AM (1 ) AC AN (1 ) AB ，即 a 3
∴ S 4 πR 2 112 π ，故选 B．
2 ) ，把 y kx 2 代入 y x 2 中，得 x 2 kx 12．如图 1，设 A( x1，x12 ) ， B( x2，x2
2 0 ，由韦达定理得 x1 x2 k ， x1 x2 2 ，∴ xN xM
0
2
2
0
4 x 2 dx xdx
0
2
π
1 2 x 2
2 0
π 2 （其中
2
2
0
4 x 2 dx 的几何意义是圆心在原点，半径为 2 的四分之一圆
的面积，故
0
4 x 2 dx
1 π 22 π ） ，故选 B． 4
8．因为总的有 n 5 5 25 种，两数之和 ≤ 6 的有 1 2 3 4 5 15 种，所以 P
2 1 ， 3 1 1 2 3 ，∴ AP a b ，故选 D． (1 )b b (1 )a 4 3 3 2 1 3 4
理科数学参考答案·第 1 页（共 9 页）
7．令 x 1 ，则 (1 a)(2 1)5 1 a 3 ，故 a 2 ，∴ ( 4 x 2 x)dx
且 BD 为斜边，∴ △BCD 的外接圆的圆心在 BD 的中点处，由于平面 ABC 平面 BCD ，
云南师范大学附属中学2019届高考适应性月考(理)数学试题 Word版含答案
云南师范大学附属中学2019届高考适应性月考（理）数学试题第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设集合2{|4}M x x =≤，2{|log 1}N x x =≤，则M N =（ ）A ．[2,2]-B ．{2}C ．(0,2]D ．(,2]-∞2.设i 是虚数单位，复数2a ii +-是纯虚数，则实数a=（ ） A ．-2 B ．2 C ．12- D ．124.已知ABC ∆中，||6BC =，16AB AC ∙=，D 为边BC 的中点，则||AD =（ ） A ．3 B ．4 C ．5 D ．65.若函数()sin f x x x ωω=，0ω>，x R ∈，又1()2f x =，2()0f x =，且12||x x -的最小值为32π，则ω的值为（ ） A ．13 B ．23 C ．43D ．26.已知变量x ，y 满足约束条件1330x y x y x +≥⎧⎪+≤⎨⎪≥⎩，则目标函数2z x y =+的最小值是（ ）A ．4B ．3C ．2D ．17.执行如图所示的程序框图，则输出的s 的值为（ ） A ．2 B ．3 C ．4 D ．58.一几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为（ ） A ．20 B ．24 C ．16 D．16+9.数列{}n a 是等差数列，若981a a <-，且它的前n 项和n S 有最大值，那么当n S 取得最小正值时，n 等于（ ） A ．17 B ．16 C ．15 D ．1410.已知圆C ：22210x y x +--=，直线:34120l x y -+=，圆C 上任意一点P 到直线l 的距离小于2的概率为（ ）A ．16B ．13C ．12D ．1411.过双曲线2213y x -=的右焦点作直线l 交双曲线于A ，B 两点，则满足||6AB =的直线l 有（ ）条A ．4B ．3C ．2D ．112.已知函数11,2()2ln ,2x x f x x x ⎧+≤⎪=⎨⎪>⎩，方程()0f x ax -=恰有3个不同实根，则实数a 的取值范围是（ ） A ．ln 21(,)2e B ．1(0,)2 C ．1(0,)e D ．11(,)2e 第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.设函数()f x 是定义在R 上的周期为3的偶函数，当3[0,]2x ∈时，()1f x x =+，则5()2f = . 14.正方体1111ABCD A BC D -的棱长为3，点P 是CD 上一点，且1DP =，过点11,,A C P 三点的平面角底面ABCD 于PQ ，点Q 在直线BC 上，则PQ= .15. ABC ∆中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若ABC ∆的面积22()S b c a =+-，则sin A =.16.点P 为双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>右支上的一点，其右焦点为2F ，若直线2PF 的斜率为M 为线段2PF 的中点，且22||||OF F M =，则该双曲线的离心率为 .三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17. （本小题满分12分）已知向量(2cos2xa ω=，(3cos,sin )2xb x ωω=，0ω>，设函数()3f x a b =∙-的部分图象如图所示，A 为图象的最低点，B ，C 为图象与x 轴的交点，且ABC∆为等边三角形，其高为（1）求ω的值及函数()f x 的值域；（2）若0()f x =，且0102(,)33x ∈-，求0(1)f x +的值.18. （本小题满分12分）某学生参加3个项目的体能测试，若该生第一个项目测试过关的概率为45，第二个项目、第三个项目测试过关的概率分别为x ，y （x y >），且不同项目是否能够测试过关相互独立，记ξ为该生测试过关的项目数，其分布列如下表所示：（1）求该生至少有2个项目测试过关的概率； （2）求ξ的数学期望()E ξ.19. （本小题满分12分）如图，在四棱锥S ABCD -中，底面ABCD 是菱形，060BAD ∠=，侧面SAB ⊥底面ABCD ，并且2SA SB AB ===，F 为SD 的中点. （1）求三棱锥S FAC -的体积；（2）求直线BD 与平面FAC 所成角的正弦值.20.（本小题满分12分）如图，过椭圆2222:1(0)x y a b a bΓ+=>>内一点(0,1)A 的动直线l 与椭圆相交于M ，N 两点，当l 平行于x 轴和垂直于x 轴时，l 被椭圆Γ所截得的线段长均为（1）求椭圆Γ的方程；（2）在平面直角坐标系中，是否存在与点A 不同的定点B ，使得对任意过点(0,1)A 的动直线l 都满足||||||||BM AN AM BN ∙=∙？若存在，求出定点B 的坐标，若不存在，请说明理由.21. （本小题满分12分） 设函数ln ()12x af x x x=++，()()g x f x =1x =是函数()g x 的极值点. （1）求实数a 的值； （2）当0x >且1x ≠时，ln ()1x nf x x x>+-恒成立，求整数n 的最大值.请考生在22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分. 22. （本小题满分10分）【选修4-4：坐标系与参数方程】在平面直角坐标系xOy 中，圆C的参数方程为53x t y t⎧=-+⎪⎨=⎪⎩，（t 为参数），在以原点O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立的极坐标系中，直线l的极坐标方程为cos()4πρθ+=A ，B 两点的极坐标分别为(2,),(2,)2A B ππ.（1）求圆C 的普通方程和直线l 的直角坐标方程； （2）点P 是圆C 上任一点，求PAB ∆面积的最小值.23. （本小题满分10分）【选修4-5：不等式选讲】 已知函数()|2|f x x =-.（1）解不等式：(1)(2)4f x f x +++<；（2）已知2a >，求证：,()()2x R f ax af x ∀∈+>恒成立.云南师范大学附属中学2019届高考适应性月考（理）数学试题参考答案第Ⅰ卷（选择题，共60分）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）【解析】1．[22](02](02]M N M N =-==，，，，∴，，故选C ．2．i (i)(2i)(21)(2)i 2i 55a a a a +++-++==-是纯虚数，210a -=∴，12a =∴，故选D ．4．222,()4AB AC AD AB AC AD +=+=∵∴，即22242AD AB AC AB AC =++=2()4AB AC AB AC -+=24100CB AB AC +=，||5AD =∴，故选C ．5．因为12π()2sin ||3f x x x x ω⎛⎫=-- ⎪⎝⎭，的最小值为3π42T =，所以6πT =，所以13ω=，故选A ． 6．作出可行域如图1中阴影部分，目标函数过点(01)，时，最小值为1，故选D ．7．由程序框图知，输出的结果为23log 3log 4log (1)k s k =⨯⨯⨯+…2log (1)k =+，当7k =时，3s =，故选B ．8．该几何体为一个正方体截去三棱台111AEF A B D -，如图2所示，截面图形为等腰梯形11B D FE ，111EF B D B E ==，梯形的高h =，所以111922B D FE S =⨯=梯形， 所以该几何体的表面积为20，故选A ．9．∵数列{}n a 的前n 项和有最大值，∴数列{}n a 为递减数列，又981a a <-， 8900a a ><∴，且890a a +<，又115116158168915()16()1508()022a a a a S a S a a++==>==+<，，故当15n =时，n S 取得最小正值，故选C ．10．圆C ：22(1)2x y -+=，圆心(10)，，半径r =3，所以圆上到直线距离小于2的点构成的弧所对弦的弦心距是1，设此弧所对圆心角为α，则cos2α==，所以π24α=，即π2α=，α所对的弧长为π2=，所以所求概率为14=，故选D ．11．当直线l 的倾斜角为90︒时，||6AB =；当直线l 的倾斜角为0︒时，||26AB =<．故当直线l适当倾斜时，还可作出两条直线使得||6AB =，故选B ．12．当直线y ax =与曲线ln y x =相切时，设切点为00(ln )x x ，，切线斜率为01k x =，则切线方程为0001ln ()y x x x x -=-，切线过点(00)，，00ln 1e >2x x -=-=∴，，此时1ea =；当直线y ax =过点(2ln 2)，时，ln 22a =．结合图象知ln 212e a ⎛⎫∈⎪⎝⎭，，故选A ． 第Ⅱ卷（非选择题，共90分）二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）【解析】13．55111331222222f f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-=-==+= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭． 14．如图3，设PQ 与AD 交于点M ，则△DPM ∽△CPQ ，12DP PM CP PQ ==，2PQ PM =∴，又△DPM∽△DCA ，1133DP PM PM CA DC CA ===∴，∴PQ =∴．15．由余弦定理222222cos 2cos 2b c a A b c a bc A bc+-=+-=，∴，22222()22(cos 1)S b c a b c a bc bc A =+-=+-+=+∵，又1sin 2S bc A =，12(cos 1)sin 2bc A bc A +=∴，1cos 1sin 4A A +=∴，即22118cos sin 1sin sin 11sin 4417A A A A A ⎛⎫=-+-== ⎪⎝⎭，∴，∴．16．由题意得：222||||120||OF F M c OF M OM ==∠=︒，，∴，设左焦点为1F ，连接1PF ，则OM 为12PF F △的中位线，1||3P F c =∴，又2||2P F c=，由双曲线定义，得12||||21)c PF PF a c a e a -=====，，∴ 三、解答题（共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17．（本小题满分12分）解：（Ⅰ）由已知可得2π()36cos 33cos 23xf x a b x x x x ωωωωω⎛⎫=-=+-=+=+ ⎪⎝⎭，由正三角形ABC 的高为，可得4BC =，所以函数()f x 的最小正周期428T =⨯=，即2π8ω=，得π4ω=，…………………………………………………………………………（4分）故ππ()43x f x ⎛⎫=+⎪⎝⎭， 所以函数()f x的值域为[-．…………………………………………（6分）（Ⅱ）因为0()f x =，由（Ⅰ）有00ππ()43x f x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，即0ππ4sin 435x⎛⎫+= ⎪⎝⎭，由010233x ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭，，得0ππππ4322x ⎛⎫+∈- ⎪⎝⎭，，所以0ππ3cos 435x ⎛⎫+== ⎪⎝⎭，故000ππππππ(1)443434x x f x ⎡⎤⎛⎫⎛⎫+=++=++⎢⎥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎣⎦00ππππsin cos 4343x x ⎤⎛⎫⎛⎫=+++⎥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎣⎦4355⎛⎫=+= ⎪⎝⎭． …………………………………………………………（12分）18．（本小题满分12分）解：（Ⅰ）设事件i A 表示“该生第i 个项目测试过关”，123i =，，， 依题意，1234()()()5P A P A x P A y ===，，，因为1(0)(1)(1)54(3)5P x y P xy ξξ⎧==--⎪⎪⎨⎪==⎪⎩，，所以16(1)(1)51254245125x y xy ⎧--=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，，即1,625x y xy +=⎧⎪⎨=⎪⎩且x y >， 解得3525x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，， ……………………………………………………………………（4分）于是，123123123(1)()()()a P P A A A P A A A P A A A ξ===++423133122555555555=⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯37125=，63724581(0)(1)(3)1125125125125b P P P ξξξ=-=-=-==---=， 故该生至少有2个项目测试过关的概率：582482(23)125125125P ξξ===+=或． ……………………………………………（8分） （Ⅱ）9()0(0)1(1)2(2)3(3)5E P P P P ξξξξξ=⨯=+⨯=+⨯=+⨯==．…………………………………………………………………………（12分）19．（本小题满分12分）解：（Ⅰ）如图4，取AB 的中点E ，连接SE ，ED ，过F 作FG SE ∥交ED 于G ， 因为平面SAB ABCD ⊥平面，并且2SA SB AB ===，SE ABCD ⊥∴平面，FG ACD ⊥∴平面，又ABCD 是菱形，60BAD ∠=︒，SE且12FG SE ==122sin1202ACD S =︒=△ ∴三棱锥S −FAC 的体积S FAC S ACD F ACD V V V ---=-三棱锥三棱锥三棱锥1111332232S ACD V -===三棱锥． …………………………………………（6分）（Ⅱ）连接AC ，BD 交于点O ，取AB 的中点E ，连接SE ，则BD AC ⊥，SE AB ⊥，以O 为原点，AC ，BD 为轴建系如图5所示，设直线BD 与平面FAC 所成角为α，则(00)A ，，00)C ，，(010)B -，，，(010)D ，，，12S ⎛- ⎝，14F ⎛ ⎝⎭，，所以，314AF ⎛= ⎝⎭，，00)AC =，， 设平面FAC 的法向量为(1)n x y =，，，33104AF n x y =+=，230AC n x ==，得(01)n =-，， ……………………………………………………………（8分） 又(020)BD =，，，………………………………………………………………（10分）所以4sin |cos ,|n BD α=〈〉=，故直线BD 与平面FAC …………………………（12分） （说明：以E 点为原点，AB ，ED ，ES 为x ，y ，z 轴建系，可参照给分．）20．（本小题满分12分）解：（Ⅰ）由已知得b =1)在椭圆上， 所以22211a b +=，解得2a =， 所以椭圆Γ的方程为22142x y +=． …………………………………………（4分） （Ⅱ）当直线l 平行于x 轴时，则存在y 轴上的点B ，使||||||||BM AN AM BN =，设0(0)B y ，；当直线l 垂直于x轴时，(0(0M N ，，若使||||||||BM AN AM BN =，则||||||||BM AM BN AN=，=，解得01y =或02y =．所以，若存在与点A 不同的定点B 满足条件，则点B 的坐标只可能是(02)，．………………………………………………………………………………（6分）下面证明：对任意直线l ，都有||||||||BM AN AM BN =，即||||||||BM AM BN AN =． 当直线l 的斜率不存在时，由上可知，结论成立；当直线l 的斜率存在时，可设直线l 的方程为1y kx =+．设M ，N 的坐标分别为1122()()x y x y ，，，，由221421x y y kx ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩，得22(21)420k x kx ++-=， 其判别式22(4)8(21)0k k ∆=++>，所以，121222422121k x x x x k k +=-=-++，， 因此，121212112x x k x x x x ++==． 易知点N 关于y 轴对称的点N '的坐标为22()x y -，，又11111211BM y kx k k x x x --===-， 2222212111BN y kx k k k x x x x '--===-+=---， 所以BM BN k k '=，即B M N '，，三点共线，所以12||||||||||||||||x BM BM AM x BN BN AN ==='． 故存在与点A 不同的定点(02)B ，，使得||||||||BM AN AM BN =．…………………………………………………………………………（12分）21．（本小题满分12分）解：（Ⅰ）221(1)ln ()()(1)2x x a x g x f x x x +-''=+=-+， 依题意，(1)0g '=，据此，221(11)ln110(11)21a ⨯+--+=+⨯，解得2a =． …………………………（4分） （Ⅱ）由（Ⅰ）可知ln 1()1x f x x x =++， 由ln ()1x n f x x x >+-，得ln 1ln 11x x n x x x x +>++-， 于是22ln ln 11(2ln 1)111x x x x n x x x x x x<+-=-++--对0x >且1x ≠恒成立， 令2()2ln 1h x x x x =-+，则()2ln 22h x x x '=+-，再次求导2()20h x x ''=-<，①若1x >，可知()h x '在区间(1)+∞，上递减，有()(1)0h x h ''<=，可知()h x 在区间(1)+∞，上递减，有()(1)0h x h <=， 而2101x <-， 则21()01h x x >-， 即221(2ln 1)01x x x x-+>-； ②若01x <<，可知()h x '在区间(01)，上递增，有()(1)0h x h ''<=， 可知()h x 在区间(01)，上递减，有()(1)0h x h >=，而2101x >-， 则21()01h x x >-，即221(2ln 1)01x x x x-+>-． 故当221(2ln 1)1n x x x x <-+-恒成立时，只需(0]n ∈-∞，，又n 为整数， 所以，n 的最大值是0．………………………………………………………（12分）22．（本小题满分10分）【选修4−4：坐标系与参数方程】解：（Ⅰ）由53x t y t ⎧=-⎪⎨=⎪⎩，，得53x t y t ⎧+=⎪⎨-⎪⎩，，消去参数t ，得22(5)(3)2x y ++-=，所以圆C 的普通方程为22(5)(3)2x y ++-=．由πcos 4ρθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，cos sin θθ=， 即cos sin 2ρθρθ-=-，换成直角坐标系为20x y -+=，所以直线l 的直角坐标方程为20x y -+=．……………………………………（5分） （Ⅱ）π2(2π)2A B ⎛⎫ ⎪⎝⎭∵，，，化为直角坐标为(02)(20)A B -，，，在直线l 上，并且||AB =设P点的坐标为(53)t t -，，则P 点到直线l的距离为d=，min d =∴， 所以PAB △面积的最小值是1222242S ==． …………………………（10分）（说明：用几何法和点到直线的距离公式求d =） 23．（本小题满分10分）【选修4−5：不等式选讲】 （Ⅰ）解：(1)(2)4f x f x +++<，即|1|||4x x -+<， ①当0x ≤时，不等式为14x x --<，即32x >-，302x -<∴≤是不等式的解； ②当01x <≤时，不等式为14x x -+<，即14<恒成立， 01x <∴≤是不等式的解；③当1x >时，不等式为14x x -+<，即52x <，512x <<∴是不等式的解．综上所述，不等式的解集为3522⎛⎫- ⎪⎝⎭，．…………………………………………（5分） （Ⅱ）证明：2a >∵，()()|2||2|f ax af x ax a x +=-+-∴|2||2|ax ax a =-+-|2||2|ax a ax =-+-≥|22||22|2ax a ax a -+-=->， ()()2x f ax af x ∀∈+>R ∴，恒成立． …………………………………………（10分）。