实际问题中的最大值与最小值
最大值与最小值是什么意思啊
最大值与最小值是什么意思啊在我们日常生活和数学中，最大值与最小值都是十分重要的概念。
它们代表了一个数据集合中的最大和最小的数值。
在数据分析，统计学和数学问题中，最大值与最小值经常被用来衡量数据的范围和变化程度。
接下来将详细解释最大值和最小值的意义和用途。
最大值最大值是一个数据集合中最大的数值。
通常用符号“Max”表示，表示数据中的最高数值。
在实际应用中，最大值可以帮助我们找到数据集合的上限，掌握数据的变化范围。
例如，在股票分析中，股价的最高点即为最大值，可以帮助投资者了解股价波动的情况。
最大值还有助于数据的排序和筛选。
通过找到数据集合中的最大值，我们可以确定哪些数据是最大的，从而进行进一步的分析和决策。
在实际工作中，最大值也可以用于寻找极值点、优化算法和确定极端情况。
最小值最小值是一个数据集合中最小的数值。
通常用符号“Min”表示，表示数据中的最低数值。
和最大值类似，最小值也具有重要的意义。
通过最小值，我们可以了解数据集合的下限，揭示数据的最小变化程度。
例如，在气温预测中，最低温度即为最小值，可以帮助我们了解气温的变化范围。
最小值同样有助于数据的排序和筛选。
通过找到数据集合中的最小值，我们可以确定哪些数据是最小的，帮助进行进一步的分析和判断。
最小值在数学和实践问题中也有着广泛的应用，例如确定最小成本、最短路径等问题。
意义与应用最大值和最小值是数据分析中的重要基础，具有广泛的应用和意义。
通过最大值和最小值，我们可以了解数据的范围、变化情况，帮助决策和分析。
在实际问题中，最大值和最小值常被用于优化、计算、排序等方面，发挥着重要作用。
总之，最大值和最小值在数据分析和数学问题中扮演着重要的角色，代表了数据集合中的极端情况，帮助我们理解数据的范围和特点。
通过深入理解最大值与最小值的意义，我们可以更好地利用数据，做出更明智的决策。
第四章 §2 2.2 最大值、最小值问题
面积、体积(容积)的最值问题
[例 3] 某地政府为科技兴市，欲将如图所示的 一块不规则的非农业用地规划建成一个矩形的高科 技工业园．已知 AB⊥BC，OA∥BC，且|AB|＝|BC| ＝4 km，|AO|＝2 km，曲线段 OC 是以点 O 为顶点 且开口向上的抛物线的一段．如果要使矩形的两边分别落在 AB，BC 上，且一个顶点落在曲线段 OC 上，应如何规划才能使矩形工业园 的用地面积最大？并求出最大的用地面积(精确到 0.1 km2)．
(2)当 x∈[－1,2]时，f(x)<m 恒成立，只需使 f(x)在[－1,2]上的 最大值小于 m 即可．
由(1)知 f(x)极大值＝f(－23)＝5＋2227， f(x)极小值＝f(1)＝72. 又 f(－1)＝121，f(2)7. 所以 m>7，即 m 的取值范围为(7，＋∞)．
求函数的最值 [例 1] 求下列函数的最值． (1)f(x)＝4x3＋3x2－36x＋5，x∈[－2，＋∞)； (2)f(x)＝12x＋sin x，x∈[0,2π] [思路点拨] 先求函数在给定区间的极值，然后再与端点 值比较，即可确定函数的最值．
[精解详析] (1)f′(x)＝12x2＋6x－36，
元，则总造价的最小值为
()
A．400 元
B．1 200 元
C．1 600 元
D．2 800 元
解析：设总造价为 y 元，池底的一边长 x 米，池底的面积为 8÷2 ＝4(平方米)，池底的另一边长为4x米，池壁的面积为 4x＋4x平 方米，故有 y＝4×300＋4x＋4x×100＝400x＋4x＋1 200(x＞ 0)．y′＝4001－x42， 令 y′＝0 得 x＝2，由 y′ ＞0 得 x ＞2，由 y′＜0 得 0＜x＜2， 即 y 在(0,2)上是减少的，在(2，＋∞)上是增加的，所以当 x＝2 时，y 取得最小值，且 ymin＝2 800. 答案：D
第3章 2.2 第2课时 最大值、最小值的实际应用
第2课时 最大值、最小值的实际应用学习目标 1.了解导数在解决实际问题中的作用.2.能利用导数解决一些简单的恒成立问题.3.掌握利用导数解决简单的实际生活中的优化问题的方法．知识点 生活中的优化问题(1)生活中经常遇到求利润最大、用料最省、效率最高等问题，这些问题通常称为优化问题． (2)利用导数解决优化问题的实质是求函数最值． (3)解决优化问题的基本思路上述解决优化问题的过程是一个典型的数学建模过程.类型一 与最值有关的恒成立问题例1 已知函数f (x )＝x 3＋ax 2＋bx ＋c 在x ＝－23与x ＝1处都取得极值．(1)求a ，b 的值及函数f (x )的单调区间；(2)若对x ∈[－1,2]，不等式f (x )<c 2恒成立，求实数c 的取值范围． 考点 利用导数求函数中参数的取值范围 题点 利用导数求恒成立中参数的取值范围 解 (1)由f (x )＝x 3＋ax 2＋bx ＋c ， 得f ′(x )＝3x 2＋2ax ＋b ，因为⎩⎪⎨⎪⎧f ′(1)＝3＋2a ＋b ＝0，f ′⎝⎛⎭⎫－23＝43－43a ＋b ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－12，b ＝－2，所以f ′(x )＝3x 2－x －2＝(3x ＋2)(x －1)， 令f ′(x )＝0，得x ＝－23或x ＝1，当x 变化时，f ′(x )，f (x )的变化情况如下表：所以函数f (x )的单调增区间为⎝⎛⎭⎫－∞，－23，(1，＋∞)；单调减区间为⎝⎛⎭⎫－23，1. (2)由(1)知，f (x )＝x 3－12x 2－2x ＋c ，x ∈[－1,2]，当x ＝－23时，f ⎝⎛⎭⎫－23＝2227＋c 为极大值， 因为f (2)＝2＋c ，所以f (2)＝2＋c 为最大值． 要使f (x )<c 2(x ∈[－1,2])恒成立， 只需c 2>f (2)＝2＋c ， 解得c <－1或c >2.故实数c 的取值范围为(－∞，－1)∪(2，＋∞)． 引申探究若本例中条件不变，“把(2)中对x ∈[－1,2]，不等式f (x )<c 2恒成立”改为“若存在x ∈[－1,2]，不等式f (x )<c 2成立”，结果如何？解 由例题解析知当x ＝1时，f (1)＝c －32为极小值，又f (－1)＝12＋c >c －32，所以f (1)＝c －32为最小值．因为存在x ∈[－1,2]，不等式f (x )<c 2成立， 所以只需c 2>f (1)＝c －32，即2c 2－2c ＋3>0，解得c ∈R .故实数c 的取值范围为R .反思与感悟 分离参数求解不等式恒成立问题的步骤跟踪训练1 已知函数f (x )＝2x ln x ，g (x )＝－x 2＋ax －3对一切x ∈(0，＋∞)，f (x )≥g (x )恒成立，则a 的取值范围是________． 考点 利用导数求函数中参数的取值范围 题点 利用导数求恒成立中参数的取值范围 答案 (－∞，4]解析 由2x ln x ≥－x 2＋ax －3， 得a ≤2ln x ＋x ＋3x.设h (x )＝2ln x ＋3x ＋x (x >0)．则h ′(x )＝(x ＋3)(x －1)x 2，当x ∈(0,1)时，h ′(x )<0，h (x )是减少的， 当x ∈(1，＋∞)时，h ′(x )>0，h (x )是增加的． ∴h (x )min ＝h (1)＝4. ∴a ≤4.类型二 实际生活中的最值问题 命题角度1 几何中的最值问题例2 请你设计一个包装盒，如图所示，ABCD 是边长为60 cm 的正方形硬纸片，切去阴影部分所示的四个全等的等腰直角三角形，再沿虚线折起，使得A ，B ，C ，D 四个点重合于图中的点P ，正好形成一个正四棱柱形状的包装盒．点E ，F 在边AB 上，是被切去的一个等腰直角三角形斜边的两个端点．设AE ＝FB ＝x (cm)．某厂商要求包装盒的容积V (cm 3)最大，试问x 应取何值？并求出此时包装盒的高与底面边长的比值．考点 利用导数求几何模型的最值问题 题点 利用导数求几何体体积的最值问题 解 ∵V (x )＝(2x )2×(60－2x )×22＝2x 2×(60－2x )＝－22x 3＋602x 2(0<x <30)． ∴V ′(x )＝－62x 2＋1202x ＝－62x (x －20)． 令V ′(x )＝0，得x ＝0(舍)或x ＝20. ∵当0<x <20时，V ′(x )>0； 当20<x <30时，V ′(x )<0.∴V (x )在x ＝20时取极大值也是唯一的极值，故为最大值． ∴底面边长为2x ＝202(cm)， 高为2(30－x )＝102(cm)， 即高与底面边长的比值为12.引申探究本例条件不变，若要求包装盒的侧面积S (cm 2)最大，试问x 应取何值？ 解 ∵AE ＝x ，∴HE ＝2x . ∵EF ＝60－2x ， ∴EG ＝22EF ＝22(60－2x )＝2(30－x )． ∴S 侧＝4×HE ×EG ＝4×2x ×2(30－x ) ＝8x (30－x )＝－8x 2＋240x ＝－8(x －15)2＋8×152.∴当x ＝15时，S 侧最大为1 800 cm 2.反思与感悟 面积、体积(容积)最大，周长最短，距离最小等实际几何问题，求解时先设出恰当的变量，将待求解最值的问题表示为变量的函数，再按函数求最值的方法求解，最后检验．跟踪训练2 已知圆柱的表面积为定值S ，当圆柱的容积V 最大时，圆柱的高h 的值为________．考点 利用导数求几何模型的最值问题 题点 利用导数求几何体体积的最值问题 答案6πS 3π解析 设圆柱的底面半径为r ， 则S 圆柱底＝2πr 2，S 圆柱侧＝2πrh ， ∴圆柱的表面积S ＝2πr 2＋2πrh . ∴h ＝S －2πr 22πr，又圆柱的体积V ＝πr 2h ＝r2(S －2πr 2)＝rS －2πr 32，V ′(r )＝S －6πr 22，令V ′(r )＝0，得S ＝6πr 2，∴h ＝2r ， ∵V ′(r )只有一个极值点， ∴当h ＝2r 时圆柱的容积最大． 又r ＝S6π，∴h ＝2S 6π＝6πS 3π. 即当圆柱的容积V 最大时， 圆柱的高h 为6πS 3π. 命题角度2 利润最大(或费用最少)问题例3 已知一家公司生产某种品牌服装的年固定成本为10万元，每生产1千件需另投入2.7万元．设该公司一年内生产该品牌服装x 千件并全部销售完，每千件的销售收入为R (x )万元，且R (x )＝⎩⎨⎧10.8－130x 2，0<x ≤10，108x －1 0003x 2，x >10.(1)求年利润W (万元)关于年产量x (千件)的函数解析式；(2)当年产量为多少千件时，该公司在这一品牌服装的生产中所获得的年利润最大，并求出最大值．考点 利用导数求解生活中的最值问题 题点 利用导数求解最大利润问题 解 (1)当0<x ≤10时，W ＝xR (x )－(10＋2.7x )＝8.1x －x 330－10；当x >10时，W ＝xR (x )－(10＋2.7x )＝98－1 0003x－2.7x .所以W ＝⎩⎨⎧8.1x －x 330－10，0<x ≤10，98－1 0003x－2.7x ，x >10.(2)当0<x ≤10时，由W ′＝8.1－x 210＝0，得x ＝9(或x ＝－9舍)，当x ∈(0,9)时，W ′>0，当x ∈(9,10)时，W ′<0， 所以当x ＝9时，W 取得极大值也为最大值， 且W max ＝8.1×9－130×93－10＝38.6，当x >10时，W ＝98－⎝⎛⎭⎫1 0003x ＋2.7x ≤98－21 0003x×2.7x ＝38， 当且仅当1 0003x ＝2.7 x ，即x ＝1009时，W max ＝38.综上可得，当x ＝9时，W 取得最大值38.6.故当年产量为9千件时，该公司在这一品牌服装的生产中所获得的年利润最大，最大利润为38.6万元．反思与感悟 解决此类有关利润的实际应用题，应灵活运用题设条件，建立利润的函数关系，常见的基本等量关系有 (1)利润＝收入－成本．(2)利润＝每件产品的利润×销售件数．跟踪训练3 为了在夏季降温和冬季供暖时减少能源损耗，房屋的屋顶和外墙需要建造隔热层．某幢建筑物要建造可使用20年的隔热层，每厘米厚的隔热层建造成本为6万元．该建筑物每年的能源消耗费用C (单位：万元)与隔热层厚度x (单位：cm)满足关系：C (x )＝k3x ＋5(0≤x ≤10)，若不建隔热层，每年能源消耗费用为8万元．设f (x )为隔热层建造费用与20年的能源消耗费用之和． (1)求k 的值及f (x )的表达式；(2)隔热层修建多厚时，总费用f (x )达到最小，并求最小值． 考点 利用导数求解生活中的最值问题 题点 用料、费用最少问题解 (1)由题设知，每年能源消耗费用为C (x )＝k3x ＋5，再由C (0)＝8，得k ＝40，因此C (x )＝403x ＋5， 而建造费用为C 1(x )＝6x .因此得隔热层建造费用与20年的能源消耗费用之和为 f (x )＝20C (x )＋C 1(x )＝20×403x ＋5＋6x＝8003x ＋5＋6x (0≤x ≤10)． (2)f ′(x )＝6－ 2 400(3x ＋5)2.令f ′(x )＝0，即 2 400(3x ＋5)2＝6，解得x ＝5，x ＝－253(舍去)． 当0<x <5时，f ′(x )<0；当5<x <10时，f ′(x )>0，故当x ＝5时，f (x )取到最小值，对应的最小值为f (5)＝6×5＋80015＋5＝70.答 当隔热层修建5 cm 厚时，总费用达到最小值为70万元.1．炼油厂某分厂将原油精炼为汽油，需对原油进行冷却和加热，如果第x 小时，原油温度(单位：℃)为f (x )＝13x 3－x 2＋8(0≤x ≤5)，那么原油温度的瞬时变化率的最小值是( )A ．8 B.203 C ．－1D ．－8考点 利用导数求解生活中的最值问题题点 利用导数求解生活中的其他最值问题 答案 C解析 原油温度的瞬时变化率为f ′(x )＝x 2－2x ＝(x －1)2－1(0≤x ≤5)，所以当x ＝1时，原油温度的瞬时变化率取得最小值－1.2．当x ∈(0,1]时，不等式ax 3－x 2＋4x ＋3≥0恒成立，则实数a 的取值范围是( ) A ．[－5，＋∞) B ．[－6，－5] C ．[－6，＋∞)D ．[－4，－3]考点 利用导数求函数中参数的取值范围 题点 利用导数求恒成立问题中参数的取值范围 答案 C解析 ∵x >0，∴a ≥1x －4x 2－3x 3恒成立．令1x ＝t ，∵x ∈(0,1]，∴t ≥1， ∴a ≥t －4t 2－3t 3恒成立．令g (t )＝t －4t 2－3t 3，则g ′(t )＝1－8t －9t 2， 易知g ′(t )图像的对称轴是t ＝－818＝－49，∴函数g ′(t )在[1，＋∞)上是减少的．又g ′(1)＝－16<0，∴g ′(t )<0在[1，＋∞)上恒成立， ∴g (t )在[1，＋∞)上是减少的， ∴g (t )max ＝g (1)＝－6，∴a ≥－6.3．某商场从生产厂家以每件20元的价格购进一批商品．若该商品零售价定为P 元，销售量为Q 件，且销量Q 与零售价P 有如下关系：Q ＝8 300－170P －P 2，则最大毛利润为(毛利润＝销售收入－进货支出)( ) A ．30元 B ．60元 C ．28 000元D ．23 000元考点 利用导数求解生活中的最值问题 题点 利用导数求解最大利润问题 答案 D解析 毛利润为(P －20)Q ，即f (P )＝(P －20)(8 300－170P －P 2)，f ′(P )＝－3P 2－300P ＋11 700 ＝－3(P ＋130)(P －30)． 令f ′(P )＝0，得P ＝30或P ＝－130(舍)．所以当P ＝30时，f (P )取得极大值也为最大值． 故当P ＝30时，毛利润最大， 所以f (P )max ＝f (30)＝23 000(元)．4．要制作一个容积为4 m 3，高为1 m 的无盖长方体容器，已知底面造价是每平方米20元，侧面造价是每平方米10元，则该容器的最低总造价是____元． 考点 利用导数求解生活中的最值问题 题点 用料、费用最少问题 答案 160解析 设底面长为x ，由题意得底面宽为4x.设总造价为y ，则y ＝20x ×4x ＋10×1×⎝⎛⎭⎫2x ＋2×4x ， 即y ＝20x ＋80x ＋80，y ′＝20－80x 2，令y ′＝0，得x ＝2.∴当x ＝2时，y min ＝160(元)．5．已知2x ln x ≥－x 2＋ax －3对一切x ∈(0，＋∞)恒成立，求a 的取值范围． 考点 利用导数求函数中参数的取值范围 题点 利用导数求恒成立问题中参数的取值范围 解 由2x ln x ≥－x 2＋ax －3(x >0)， 得a ≤2ln x ＋x ＋3x.设h (x )＝2ln x ＋3x ＋x (x >0)．则h ′(x )＝(x ＋3)(x －1)x 2，当x ∈(0,1)时，h ′(x )<0，h (x )是减少的， 当x ∈(1，＋∞)时，h ′(x )>0，h (x )是增加的． ∴h (x )min ＝h (1)＝4.∴a ≤h (x )min ＝4.1．恒成立问题可转化为函数最值问题． 2．利用导数解决生活中优化问题的一般步骤(1)分析实际问题中各量之间的关系，列出实际问题的数学模型，写出实际问题中变量之间的函数关系y ＝f (x )；(2)求函数的导数f ′(x )，解方程f ′(x )＝0；(3)比较函数在区间端点和极值点处的函数值的大小，最大(小)者为最大(小)值．一、选择题1．要做一个圆锥形漏斗，其母线长为20 cm ，要使其体积最大，则高应为( ) A.1033 cmB.2033 cmC.1633cmD.33cm 考点 利用导数求几何模型的最值问题 题点 利用导数求几何体体积的最值问题 答案 B解析 设圆锥的高为h cm,0<h <20， ∴V 圆锥＝13π(202－h 2)×h ＝13π(400－h 2)h∴V ′＝13π(400－3h 2)，令V ′(h )＝0得h ＝2033，当h ∈⎝⎛⎭⎫0，2033时，V ′>0，当h ∈⎝⎛⎭⎫2033，20时，V ′<0，故当h ＝2033时，体积最大．2．某工厂生产的机器销售收入y 1(万元)与产量x (千台)的函数关系为y 1＝17x 2，生产总成本y 2(万元)与产量x (千台)的函数关系为y 2＝2x 3－x 2(x >0)，为使利润最大，应生产( ) A ．9千台 B ．8千台 C ．7千台 D ．6千台 考点 利用导数求解生活中的最值问题 题点 利用导数求解最大利润问题答案 D解析 设利润为y ，则y ＝17x 2－2x 3＋x 2＝－2x 3＋18x 2(x >0)，∴y ′＝－6x 2＋36x ＝－6x (x －6)，易知递增区间为(0,6)，递减区间为(6，＋∞)，∴当x ＝6时，利润最大．3．已知函数f (x )＝12x 4－2x 3＋3m ，x ∈R ，若f (x )＋9≥0恒成立，则实数m 的取值范围是( ) A ．m ≥32B ．m >32C ．m ≤32D ．m <32考点 利用导数求函数中参数的取值范围题点 利用导数求恒成立问题中参数的取值范围答案 A解析 由f ′(x )＝2x 3－6x 2＝0，得x ＝0或x ＝3，经检验知x ＝3是函数的一个最小值点，所以函数的最小值为f (3)＝3m －272.不等式f (x )＋9≥0恒成立，即f (x )≥－9恒成立，所以3m －272≥－9，解得m ≥32. 4．函数f (x )＝x 3－3ax －a 在(0,1)内有最小值，则a 的取值范围为( )A ．0≤a <1B ．0<a <1C ．－1<a <1D ．0<a <12考点 利用导数求函数中参数的取值范围题点 最值存在性问题答案 B解析 f ′(x )＝3x 2－3a ，①当a ≤0时，f ′(x )≥0，这表明f (x )在(0,1)上是增加的，所以f (x )在(0,1)内无最值，显然不可能．②当a >0时，令f ′(x )＝0，解得x ＝±a ，易知f (x )在x ＝a 处取得唯一的极小值，故极小值点在(0,1)内，所以0<a <1，即0<a <1.综上所述，a 的取值范围为(0,1)．5．若点P 是曲线y ＝x 2－ln x 上任意一点，则点P 到直线y ＝x －2的距离的最小值为( )A ．1 B. 2 C.22D. 3 考点 与最值有关的其他问题题点 与最值有关的其他问题答案 B解析 设P (x ，x 2－ln x )，则点P 到直线y ＝x －2的距离d ＝|x －x 2＋ln x －2|12＋12＝|x 2－x －ln x ＋2|2. 设g (x )＝x 2－x －ln x ＋2(x >0)，则g ′(x )＝2x 2－x －1x ＝(2x ＋1)(x －1)x. 当x ∈(0,1)时，g ′(x )<0；当x ∈(1，＋∞)时，g ′(x )>0.故g (x )在(0,1)上是减少的，在(1，＋∞)上是增加的，则当x ＝1时，g (x )取得极小值也是最小值，且g (1)＝2，所以d min ＝ 2.6．设直线x ＝t 与函数f (x )＝x 2，g (x )＝ln x 的图像分别交于点M ，N ，则当|MN |最小时t 的值为( )A ．1 B.12 C.52 D.22考点 与最值有关的其他问题题点 与最值有关的其他问题答案 D解析 令F (x )＝f (x )－g (x )＝x 2－ln x (x >0)，则F ′(x )＝2x －1x. 令F ′(x )＝0，得x ＝22(负值舍去)， 易知F (x )在x ＝22处取得最小值，即当|MN |取最小值时，t 的值为22. 7．圆柱形金属饮料罐的体积一定，要使生产这种金属饮料罐所用的材料最省，则它的高与底面半径的比为( )A ．2∶1B ．1∶2C ．1∶4D ．4∶1考点 利用导数求解生活中的最值问题题点 用料、费用最少问题答案 A解析 设其体积为V ，高与底面半径分别为h ，r ，则V ＝πr 2h ，即h ＝V πr 2. 由题意知，当表面积S 最小时所用材料最省．S ＝2πr 2＋2πrh ＝2πr 2＋2πr V πr 2＝2πr 2＋2V r. 令S ′＝4πr －2V r 2＝0，得r ＝3V 2π， 当r ＝3V 2π时，h ＝V π⎝ ⎛⎭⎪⎫3V 2π2＝34V π. 则h ∶r ＝2∶1时，表面积S 最小．二、填空题8．统计表明：某种型号的汽车在匀速行驶中每小时的耗油量y (升)关于行驶速度x (千米/时)的函数解析式可以表示为y ＝1128 000x 3－380x ＋8，x ∈(0,120]，且甲、乙两地相距100千米，则当汽车以________千米/时的速度匀速行驶时，从甲地到乙地的耗油量最少．考点 利用导数求解生活中的最值问题题点 用料、费用最少问题答案 80解析 当速度为x 千米/时时，汽车从甲地到乙地行驶了100x小时，设耗油量为y 升，依题意得，y ＝⎝⎛⎭⎫1128 000x 3－380x ＋8·100x＝ 1 1 280x 2＋800x －154(0<x ≤120)． 则y ′＝x 640－800x 2＝x 3－803640x 2(0<x ≤120)． 令y ′＝0，得x ＝80，当x ∈(0,80)时，y ′<0，该函数是减少的；当x ∈(80,120]时，y ′>0，该函数是增加的，所以当x ＝80时，y 取得最小值．9．已知函数f (x )＝x 3－3x 2＋2，x 1，x 2是区间[－1,1]上任意两个值，M ≥|f (x 1)－f (x 2)|恒成立，则M 的最小值是________．考点 利用导数求函数中参数的取值范围题点 利用导数求恒成立中参数的取值范围答案 4解析 f ′(x )＝3x 2－6x ＝3x (x －2)，当－1≤x <0时，f ′(x )>0，f (x )是增加的，当0<x ≤1时，f ′(x )<0，f (x )是减少的，所以当x ＝0时，f (x )取得极大值，也为最大值，f (0)＝2，又f (－1)＝－2，f (1)＝0，所以f (x )的最小值为－2，对[－1,1]上任意x 1，x 2，|f (x 1)－f (x 2)|≤f (x )max －f (x )min ＝4，所以M ≥|f (x 1)－f (x 2)|恒成立，等价于M ≥4，即M 的最小值为4.10．设函数f (x )＝ax 3－3x ＋1(x ∈R )，若对于任意x ∈(0,1]，都有f (x )≥0成立，则实数a 的值为________．考点 利用导数求函数中参数的取值范围题点 利用导数求恒成立问题中参数的取值范围答案 [4，＋∞)解析 当x ∈(0,1]时，f (x )＝ax 3－3x ＋1≥0可化为a ≥3x 2－1x 3， 设g (x )＝3x 2－1x 3，则g ′(x )＝3(1－2x )x 4， 所以g (x )在区间⎝⎛⎦⎤0，12上是增加的，在区间⎣⎡⎦⎤12，1上是减少的， 因此g (x )max ＝g ⎝⎛⎭⎫12＝4，从而a ≥4.11．某厂生产某种产品x 件的总成本为C (x )＝1 200＋275x 3(万元)，已知产品单价的平方与产品件数x 成反比，生产100件这样的产品单价为50万元，则产量定为________件时总利润最大．考点 利用导数求解生活中的最值问题题点 利用导数求解最大利润问题答案 25解析 由题意知502＝k 100，解得k ＝25×104. ∴产品的单价P ＝25×104x ＝500x. ∴总利润L (x )＝x 500x－1 200－275x 3 ＝500x －1 200－275x 3， L ′(x )＝250x －12－225x 2， 令L ′(x )＝0，得x ＝25，∴当x ＝25时，总利润最大．三、解答题12．已知函数f (x )＝ax 4ln x ＋bx 4－c (x >0)在x ＝1处取得极值－3－c ，其中a ，b ，c 为常数．(1)试确定a ，b 的值；(2)讨论函数f (x )的单调区间；(3)若对任意x >0，不等式f (x )≥－2c 2恒成立，求实数c 的取值范围．考点 利用导数求函数中参数的取值范围题点 利用导数求恒成立问题中参数的取值范围解 (1)由f (x )在x ＝1处取得极值－3－c ，知f (1)＝b －c ＝－3－c ，得b ＝－3.又f ′(x )＝4ax 3ln x ＋ax 4·1x＋4bx 3 ＝x 3(4a ln x ＋a ＋4b )，由f ′(1)＝0，得a ＋4b ＝0，所以a ＝－4b ＝12.(2)由(1)知f ′(x )＝48x 3ln x (x >0)．令f ′(x )＝0，得x ＝1.当0<x <1时，f ′(x )<0，f (x )为减函数；当x >1时，f ′(x )>0，f (x )为增函数．因此，f (x )的单调减区间为(0,1)，单调增区间为(1，＋∞)．(3)由(2)知f (1)＝－3－c 既是极小值，也是(0，＋∞)内的最小值，要使f (x )≥－2c 2(x >0)恒成立，只需－3－c ≥－2c 2，即2c 2－c －3≥0.从而(2c －3)(c ＋1)≥0，解得c ≥32或c ≤－1. 故实数c 的取值范围为(－∞，－1]∪⎣⎡⎭⎫32，＋∞. 13.某企业拟建造如图所示的容器(不计厚度，长度单位：米)，其中容器的中间为圆柱体，左右两端均为半球体，按照设计要求容器的体积为64π3立方米．假设该容器的建造费用仅与其表面积有关．已知圆柱体部分每平方米建造费用为3千元，半球体部分每平方米建造费用为4千元．设该容器的总建造费用为y 千元．(1)将y 表示成r 的函数，并求该函数的定义域；(2)确定r 和l 为何值时，该容器的建造费用最小，并求出最小建造费用．考点 利用导数求解生活中的最值问题题点 用料、费用最少问题解 (1)因为容器的体积为64π3立方米， 所以4πr 33＋πr 2l ＝64π3，解得l ＝643r 2－43r ， 所以圆柱的侧面积为2πrl ＝2πr ⎝⎛⎭⎫643r 2－43r ＝128π3r －8πr 23，两端两个半球的表面积之和为4πr 2，所以y ＝⎝⎛⎭⎫128π3r －8πr 23×3＋4πr 2×4＝128πr＋8πr 2. 又l ＝643r 2－43r >0，即r <432， 所以定义域为(0,432)．(2)因为y ′＝－128πr 2＋16πr ＝16π(r 3－8)r 2， 令y ′>0得2<r <432；令y ′<0得0<r <2，所以当r ＝2米时，该容器的建造费用最小为96π千元，此时l ＝83米． 四、探究与拓展14．函数f (x )＝x 3－12x ＋3，g (x )＝3x －m ，若对任意x 1∈[－1,5]，存在x 2∈[0,2]，f (x 1)≥g (x 2)，则实数m 的最小值是________．考点 与最值有关的其他问题题点 与最值有关的其他问题答案 14解析 f ′(x )＝3x 2－12＝3(x －2)(x ＋2)，易知f (x )在[－1,2]上是减少的，在[2,5]上是增加的，所以f (x )min ＝f (2)＝8－24＋3＝－13，g (x )＝3x －m 在[0,2]上是增加的，所以g (x )min ＝g (0)＝1－m ，由题意知－13≥1－m ，即m ≥14.所以m 的最小值为14.15．设f (x )＝ln x ，g (x )＝f (x )＋f ′(x )．(1)求g (x )的单调区间和最小值．(2)求a 的取值范围，使得g (a )－g (x )<1a对任意x >0成立． 考点 利用导数求函数中参数的取值范围题点 利用导数求恒成立问题中参数的取值范围解 (1)由题设知，f (x )的定义域为(0，＋∞)，f ′(x )＝1x ，g (x )＝ln x ＋1x(x >0)， 所以g ′(x )＝x －1x 2. 令g ′(x )＝0，得x ＝1.当x ∈(0,1)时，g ′(x )<0，故(0,1)是g (x )的递减区间；当x ∈(1，＋∞)时，g ′(x )>0，故(1，＋∞)是g (x )的递增区间．因此，x ＝1是g (x )在(0，＋∞)上的唯一极值点，且为极小值点，从而是最小值点，所以最小值为g (1)＝1.(2)g (a )－g (x )<1a对任意x >0成立， 即ln a <g (x )对任意x >0成立． 由(1)知，g (x )的最小值为1， 所以ln a <1，解得0<a <e. 即a 的取值范围是(0，e)．。
a+b最大值与最小值公式
a+b最大值与最小值公式
在数学中，我们经常需要求解两个数a和b之间的最大值和最小值。
下面我们将讨论如何确定a和b的最大值和最小值以及相应的公式。
最大值公式
我们先来讨论a和b的最大值问题。
假设a和b是任意两个实数。
要确定a
和b中的最大值，我们可以使用以下公式：
max(a, b) = (a + b + |a - b|) / 2
这个公式的意思是，我们将a和b相加，然后再加上它们的差的绝对值，最后除以2，就可以得到a和b中的最大值。
这个公式适用于任意实数a和b。
最小值公式
接下来，我们来看如何确定a和b中的最小值。
类似于最大值的情况，我们可以使用下面的公式来找出a和b的最小值：
min(a, b) = (a + b - |a - b|) / 2
这个公式的含义与最大值的公式相似，只是在计算中要减去a和b的差的绝对值。
通过这个公式，我们可以轻松地得到a和b的最小值。
总结
通过以上讨论，我们了解到了如何计算两个数a和b之间的最大值和最小值。
无论a和b是什么实数，我们都可以利用相应的公式求解最大值和最小值。
这些公式在数学和计算领域中具有广泛的应用，帮助我们更方便地处理数据和问题。
希望这些公式能够帮助您更好地理解a和b之间的关系。
什么是最大值与最小值
什么是最大值与最小值
在数学和统计学中，我们经常会遇到最大值与最小值这两个概念。
这两个概念在数学和统计学中有着重要的作用，用来描述一组数据中的极端值。
最大值是该数据集中的最大数值，而最小值则是该数据集中的最小数值。
在实际生活中，最大值与最小值也经常出现在各种数据分析和决策过程中。
比如，在股票市场中，我们往往会关注某只股票的最高价和最低价，这些数据可以帮助我们预测未来的走势。
在天气预报中，我们也经常听到气温的最高值和最低值，这有助于我们了解天气的变化趋势。
最大值与最小值在数学中的定义是非常清晰的。
对于一个数据集，最大值就是该数据集中的最大数值，而最小值则是该数据集中的最小数值。
在统计学中，我们还常常使用极值来描述一组数据的极端值，通常情况下，我们将最大值和最小值称为极大值和极小值。
在许多数学问题中，寻找最大值与最小值是一项重要的任务。
比如，在优化问题中，我们往往需要找到使某个函数取得最大值或最小值的变量取值。
这需要我们通过数学方法和技巧来求解，并往往需要考虑约束条件和其他限制条件。
最大值与最小值的概念不仅仅局限于数学和统计学，在现实生活中也有着广泛的应用。
无论是在经济学、生物学、物理学还是其他领域，我们都可以找到最大值与最小值的影子。
这些极值数据不仅可以帮助我们更好地理解数据，还可以帮助我们做出更有针对性的决策。
总的来说，最大值与最小值是数学和统计学中一个非常基础的概念，但在各个领域都有着重要的应用。
通过了解最大值与最小值的概念，我们可以更好地理解数据集中的极端值，帮助我们更好地分析数据、做出决策。
最大值与最小值教案
最大值与最小值教案一、教学目标：1. 让学生理解最大值和最小值的概念。
2. 培养学生寻找数据中的最大值和最小值的能力。
3. 培养学生运用数学知识解决实际问题的能力。
二、教学内容：1. 最大值和最小值的概念。
2. 如何在数据中找到最大值和最小值。
3. 实际问题中的最大值和最小值的应用。
三、教学重点与难点：1. 教学重点：最大值和最小值的概念，如何在数据中找到最大值和最小值。
2. 教学难点：实际问题中的最大值和最小值的应用。
四、教学方法：1. 采用问题驱动法，引导学生思考和探索。
2. 利用实例讲解，让学生更好地理解最大值和最小值的概念。
3. 采用小组讨论法，培养学生的合作能力。
五、教学准备：1. 准备一些实际问题，让学生解决。
2. 准备一些数据，让学生寻找最大值和最小值。
3. 准备教学PPT，展示最大值和最小值的应用实例。
六、教学过程：1. 导入：通过一个简单的实际问题，引导学生思考最大值和最小值的概念。
2. 新课导入：介绍最大值和最小值的概念，解释其在数学和实际生活中的应用。
3. 实例讲解：通过一些具体的例子，展示如何找到数据中的最大值和最小值。
4. 练习时间：让学生分组讨论，尝试解决一些实际问题，找到其中的最大值和最小值。
七、课堂练习：1. 给出一些数据，让学生找到其中的最大值和最小值。
2. 给出一些实际问题，让学生运用最大值和最小值的概念解决。
3. 让学生自主设计一些问题，寻找最大值和最小值。
八、课后作业：1. 完成课后练习题，巩固最大值和最小值的概念。
九、教学反思：1. 反思本节课的教学内容，是否清晰易懂，学生是否掌握最大值和最小值的概念。
3. 反思学生的学习情况，了解学生在最大值和最小值方面的掌握程度，针对性地进行辅导。
十、拓展与延伸：1. 引导学生思考最大值和最小值在其他数学领域的应用，如优化问题、函数图像等。
2. 让学生尝试解决更复杂的实际问题，提高最大值和最小值的应用能力。
3. 推荐一些相关的数学书籍或资源，激发学生对最大值和最小值的兴趣和探究欲望。
最大值与最小值在数学问题中的应用
最大值与最小值在数学问题中的应用在数学中，最大值和最小值是两个重要的概念，它们在各种数学问题中都有广泛的应用。
无论是在代数、几何还是概率统计等领域，最大值和最小值都扮演着重要的角色。
本文将探讨最大值和最小值在数学问题中的应用，并通过具体的例子来说明它们的重要性。
一、最大值和最小值在代数问题中的应用在代数中，最大值和最小值通常与方程和不等式相关。
考虑一个简单的方程问题：求解方程f(x) = 0的最大值和最小值。
在这种情况下，我们需要找到使得f(x)= 0的x值，其中f(x)是一个给定的函数。
最大值和最小值的概念可以帮助我们确定方程的解集。
例如，考虑方程x^2 - 4 = 0。
我们可以将f(x) = x^2 - 4表示为一个二次函数。
通过求导数，我们可以找到函数的极值点。
在这种情况下，极值点就是最大值和最小值。
通过求导数，我们可以得到f'(x) = 2x。
令f'(x) = 0，我们可以解得x = 0。
将x = 0代入f(x) = x^2 - 4，我们得到f(0) = -4。
因此，方程的最小值为-4。
类似地，我们可以通过求导数找到方程的最大值。
在这个例子中，方程的最大值为4。
通过求解方程f(x) = 0的最大值和最小值，我们可以得到方程的解集为{-2, 2}。
二、最大值和最小值在几何问题中的应用在几何中，最大值和最小值通常与图形的特征相关。
考虑一个简单的几何问题：求解一个矩形的最大面积。
在这种情况下，我们需要找到一个矩形的尺寸，使得它的面积最大。
假设矩形的长为L，宽为W。
矩形的面积可以表示为A = L * W。
我们可以通过求导数的方法找到矩形面积的最大值。
通过求导数，我们可以得到A' = W + L =0。
解这个方程，我们可以得到W = L。
因此，当长和宽相等时，矩形的面积最大。
这意味着一个正方形具有最大的面积。
通过求解矩形的最大面积问题，我们可以得到一个有趣的结论：在所有具有相同周长的矩形中，正方形具有最大的面积。
初中数学最大值和最小值的问题
初中数学最大值和最小值的问题
1、二次函数的最值问题，包括三方面的内容：
自变量的取值范围为任意实数时二次函数最值的求法．
二次函数y=ax2+bx+c=a（x+）2+．
（1）当a>0时，抛物线开口向上，此时当x<-时，y随x增大而减小；当x>-时，y随x•增大而增大；当x=-时，y取最小值．（2）当a<0时，抛物线开口向下，此时当x<-时，y随x增大而增大；当x>-时，y随x增大而减小；当x=-时，y取最大值．2．自变量的取值范围是某一确定范围时二次函数最值的求法，•要结合图象和增减性来综合考虑．
（1）当抛物线的顶点在该范围内，顶点的纵坐标就是函数的最值；
（2）当抛物线的顶点不在该范围内，二次函数的最值在范围内两端点处取得．
若自变量的取值范围为，则取最值分和两种情况，由、与的大小关系确定。
1．对于a>0：
（1）当，因为对称轴左侧随的增大而减小，所以的最大值为，最小值为。
这里、分别是在与时的函数值。
（2）当，因为对称轴右侧随的增大而增大，所以的最大值为，最小值为。
（3）当，的最大值为、中较大者，的最小值为. 2．对于a<0：
（1）当，的最大值为，最小值为。
（2）当，的最大值为，最小值为。
（3）当，的最小值为、中较大者，的最大值为.
综上所述，求函数的最大、最小值，需比较三个函数值。
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嵩县实验中学2014--2015学年上期九年级数学导学案 主编：李淑静 审核：王爱娟
班级____姓名_______第___组 组长________ 初改人_______ 终审人________次数___
26.2.7实际问题中的最大值与最小值
学习目标： 会用二次函数中的最大值与最小值解决实际问题中的最大值与最小值。
知识回顾：
1、函数y=―（x ―2）2+5有最 值，当x 时，y 有最 值= 。
2、函数y=（x ―1）2+1 有最 值，当x 时，y 有最 值= 。
3、函数y=3
4x ―2―3x 2 有最 值，当x 时，y 有最 值= 。
自学导航：请同学们认真阅读课本P 19-20内容，完成下列问题：
问题1 ：如图，要用长为20m 的铁栏杆，一面靠墙，围成一个花圃，怎样围法才能使围成的花圃的面积最大？
解：设矩形花圃垂直于墙的一边AB 长为x m ，则矩形的
另一边BC 的长为 ，设矩形花圃ABCD 的面积为ym
则y 与x 之间的函数关系式为y= ，这个问题实
际上最要求出当自变量x 为何值时二次函数y=（0＜x ＜10）
取得最大值，将这个函数关系式配方得，y= ,
显然，这个函数的图象的开口向 ，顶点坐标
是 ，这就是，当x 时，当围成的花圃与墙垂直的一边长 m ，与墙平行的一边长 m 时，花圃的面积最大，最大面积为 。
问题2：菜商店将每件进价为8元的菜种商品按每件10元出售，一天可销出约100件， 该店想通过降价售价、增加销售量的办法来提高利润，经过市场调查，发现这种商品单价
每降低0.1元，其销售量可增加约10件，将这种商品的售价降低多少时，能使销售利润最大？
分析：设每件商品降价x 元（0≤x ≤2）该商品每天的利润为y 元，则y 与x 之间的函数关系式为y= ，这个问题实际上是要求出自变量x 为何值时，二次函数 y= （0≤x ≤2）取得最大值，请同学们完成这个问题的解答。
试一试：用6m的铝金型材做一个形状如图所示的矩形窗柜，窗柜长、宽各为多少时，它的透光面积最大？最大透光面积是多少？
自学检测：
1、求下列函数的最大值或最小值
（1）y=x2－3x＋4 （2）y=1―2x―x2
（3）y=100―5x2 （4）y=―6x2＋12x
2、有一根长为40cm的铁丝，把它弯成一个矩形框，当矩形框的长、宽各是多少时，矩形的面积最大？最大面积是多少？
3、已知两个数的和是多少？它们的积最大是多少？（提示：设其中的一个正数为x，将它们的积表示为x的函数）
达标测试：
1、周长为16cm的矩形的最大面积为，此时矩形的边长为，实际上此时矩形是。
2、某商场以每件30元的价格购进一种商品，试销中发现，这种商品每天的销售量m（件）与每件的销售价（x）元满足一次函数m=162－3x。
（1）写出该商场卖这种商品每天的销售利润y与每件的销售价x之间的函数关系式；
（2）如果该商场要想每天获得最大的销售利润，每件商品的售价为多少合适？最大销售利
润为多少？。