初中平面几何重要定理汇总
平面几何的17个著名定理，助力中考，快帮孩子收藏
平面几何的17个著名定理，助力中考，快帮孩子收藏平面几何是初中数学中的一大重点，对于中考数学而言，几何同样占据着举足轻重的地位，学号几何，对于中考数学的提分绝对是必不可少的一大助力。
你拥有一颗几何脑将会让你对于几何的学习异常轻松。
今天为大家分享平面几何的17个著名定理，希望对您的数学提升有所帮助！一、欧拉线：同一三角形的垂心、重心、外心三点共线，这条直线称为三角形的欧拉线；且外心与重心的距离等于垂心与重心距离的一半。
二、九点圆：任意三角形三边的中点，三高的垂足及三顶点与垂心间线段的中点，共九个点共圆，这个圆称为三角形的九点圆；其圆心为三角形外心与垂心所连线段的中点，其半径等于三角形外接圆半径的一半。
三、费尔马点：已知为锐角△ ABC内一点，当∠ APB = ∠ BPC = ∠ CPA = 120° 时，PA PB PC的值最小，这个点P称为△ ABC的费尔马点。
（图中H为B.点，G为C点）四、海伦公式：在△ ABC中，边BC 、 CA 、 AB的长分别为a 、b 、 c，若P = ½ （a bc ），则△ABC的面积S = √ P （P - a）（P - b ）（P - c）。
五、塞瓦定理：在△ ABC中，过△ABC的顶点作相交于一点P的直线，分别交边BC 、 CA 、 AB与点D 、 E 、 F ，则BD / DC ：CE / EA ： AF / FB = 1；其逆亦真。
六、密格尔点：若AE 、 AF 、 ED 、 FB四条直线相交于ABCDEF 六点，构成四个三角形，它们是△ ABF、△ AED 、△ BCE 、△ DCF ，则这四个三角形的外接圆共点，这个点称为密格尔点。
七、葛尔刚点：△ ABC的内切圆分别切边AB 、BC 、CA于点D 、E 、F ，则AE 、 BF 、 CD三线共点，这个点称为葛尔刚点。
八、西摩松线：已知P为△ABC外接圆周上任意一点，PD ⊥ BC ，PE ⊥ AC ，PF ⊥ AB ， D 、 E、 F为垂足，则D 、 E、 F三点共线，这条直线叫做西摩松线。
初中平面几何重要定理汇总
初中平面几何重要定理汇总平面几何是初中数学中的重要内容之一，在几何学中有很多重要的定理被广泛应用。
本文将对初中平面几何中的一些重要定理进行汇总和介绍。
一、等腰三角形的性质等腰三角形是指两边的边长相等的三角形。
等腰三角形具有以下性质：1. 等腰三角形的底角（夹在两边上的角）相等。
2. 等腰三角形的顶角（夹在两边之间的角）是一个锐角。
3. 等腰三角形的两条底边平行。
二、全等三角形的条件全等三角形是指具有相同大小和形状的三角形。
判断两个三角形全等的条件有以下几种：1. 三边对应相等：若两个三角形的边分别对应相等，则这两个三角形全等。
2. 两边一夹角对应相等：若两个三角形两边和夹角分别对应相等，则这两个三角形全等。
3. 两角一边对应相等：若两个三角形两角和一边分别对应相等，则这两个三角形全等。
三、直角三角形的性质直角三角形是指其中一个角为90度的三角形。
直角三角形具有以下性质：1. 勾股定理：直角三角形的斜边的平方等于两个直角边的平方和。
2. 斜边较长：在一个直角三角形中，斜边是其他两条边中最长的。
3. 垂直关系：直角三角形的两个直角边互相垂直。
四、平行线的性质平行线是指在同一个平面上永远不会相交的直线。
平行线具有以下性质：1. 对顶角相等：当一组平行线被一条横截线（不与平行线平行的线）截断时，对顶角相等。
2. 内错角互补：当一组平行线被两条截断线（交叉形成的两对内角）截断时，内错角互补（角的度数和为180度）。
3. 鍊夹角相等：当一组平行线被两条截断线截断时，同位角相等（同位角指位于两条平行线之间、位于同一边的两个角）。
五、相似三角形的性质相似三角形是指具有相似形状但不一定相等大小的三角形。
相似三角形具有以下性质：1. 相似三角形的对应角相等。
2. 相似三角形的对应边成比例。
六、圆的性质圆是一个由一组等距离的点组成的集合，具有以下性质：1. 圆的半径是从圆心到圆上任意一点的距离。
2. 圆的直径是通过圆心的一条线段，两端点在圆上。
初中中平面几何重要定理汇总
8、设三角形ABC的外心为O，垂心为H，从O向BC边引垂线，设垂足为L，则AH=2OL
9、三角形的外心，垂心，重心在同一条直线(欧拉线)上。
10、(九点圆或欧拉圆或费尔巴赫圆)三角形中，三边中心、从各顶点向其对边所引垂线的垂足，以及垂心与各顶点连线的中点，这九个点在同一个圆上。
29、塞瓦定理的逆定理：在△ABC的边BC，CA，AB上分别取点D，E，F，如果（AF:FB）（BD:DC）（CE:EA）=1那么直线AD，BE，CF相交于同一点。
30、塞瓦定理的逆定理的应用定理1：三角形的三条中线交于一点
31、塞瓦定理的逆定理的应用定理2：设△ABC的内切圆和边BC、CA、AB分别相切于点R、S、T，则AR、BS、CT交于一点。
14、(旁心)三角形的一个内角平分线和另外两个顶点处的外角平分线交于一点
15、中线定理：(巴布斯定理)设三角形ABC的边BC的中点为P，则有AB2+AC2=2(AP2+BP2)
16、斯图尔特定理：P将三角形ABC的边BC内分成m:n，则有n×AB2+m×AC2=(m+n)AP2+mnm+nBC2
17、波罗摩及多定理：圆内接四边形ABCD的对角线互相垂直时，连接AB中点M和对角线交点E的直线垂直于CD
24、梅涅劳斯定理的逆定理：(略)
25、梅涅劳斯定理的应用定理1：设△ABC的∠A的外角平分线交边CA于Q、∠C的平分线交边AB于R，、∠B的平分线交边CA于Q，则P、Q、R三点共线。
26、梅涅劳斯定理的应用定理2：过任意△ABC的三个顶点A、B、C作它的外接ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ的切线，分别和BC、CA、AB的延长线交于点P、Q、R，则P、Q、R三点共线
平面几何的著名定理
平面几何的著名定理一、毕达格拉斯定理（即勾股定理）在任何一个直角三角形中，两条直角边的长的平方和等于斜边长的平方，这就叫做勾股定理。
即勾的平方加股的平方等于弦的平方二、帕普斯定理帕普斯(Pappus)定理:如图，直线l1上依次有点A,B,C，直线l2上依次有点D,E,F，设AE,BD 交于P，AF,DC交于Q，BF,EC交于R，则P,Q,R共线。
三、影射定理（与相似三角形和比例有关）直角三角形射影定理（又叫欧几里德(Euclid)定理）：直角三角形中，斜边上的高是两直角边在斜边上射影的比例中项。
每一条直角边是这条直角边在斜边上的射影和斜边的比例中项。
公式Rt△ABC中,∠BAC=90°,AD是斜边BC上的高,则有射影定理如下:(1)(AD)^2;=BD·DC,(2)(AB)^2;=BD·BC ,(3)(AC)^2;=CD·BC 。
等积式 (4)ABXAC=BCXAD(可用面积来证明)四、梅涅劳斯定理梅涅劳斯（Menelaus）定理（简称梅氏定理）是由古希腊数学家梅涅劳斯首先证明的。
它指出：如果一条直线与△ABC的三边AB、BC、CA或其延长线交于F、D、E点，那么(AF/FB)×(BD/DC)×(CE/EA)=1。
或：设X、Y、Z分别在△ABC的BC、CA、AB所在直线上，则X、Y、Z共线的充要条件是(AZ/ZB)*(BX/XC)*(CY/YA)=1 。
证明一过点A作AG∥BC交DF的延长线于G，则AF/FB=AG/BD , CE/EA=DC/AG。
三式相乘得：(AF/FB)×(BD/DC)×(CE/EA)=(AG/BD)×(BD/DC)×(DC/AG)=1证明二过点C作CP∥DF交AB于P，则BD/DC=FB/PF，CE/EA=PF/AF所以有AF/FB×BD/DC×CE/EA=AF/FB×FB/PF×PF/AF=1它的逆定理也成立：若有三点F、D、E分别在△ABC的边AB、BC、CA或其延长线上，且满足(AF/FB)×(BD/DC)×(CE/EA)=1，则F、D、E三点共线。
初中数学知识归纳平面几何的基本定理和公式
初中数学知识归纳平面几何的基本定理和公式初中数学知识归纳：平面几何的基本定理和公式平面几何是数学中的一个重要分支，它研究的是平面上的点、线、面及其间的关系。
在初中数学学习中，学生将接触到许多关于平面几何的基本定理和公式，这些定理和公式在解题过程中起到了重要的作用。
本文将对初中数学中的平面几何的基本定理和公式进行归纳和总结，以帮助学生在学习和应用中理解和掌握这些知识点。
一、直线的基本概念及相交定理1. 直线：直线是由一条无穷延伸的点集合组成，可以用两个不同的点唯一确定一条直线。
2. 直线段：直线段是由直线两个特定的不同的端点所组成的线段。
3. 直线的相交类型：两条直线可以相交成三种类型，即相交、平行、重合。
二、角的基本概念及性质1. 角：角是由两条射线共享一个端点而形成的图形。
2. 角的三要素：角的三要素包括顶点、两边和夹角。
3. 角的分类：角可以分为锐角、直角、钝角和平角。
4. 角的性质：逆角、对顶角、同位角等性质在解题中有重要作用。
三、平行线与平行四边形的性质1. 平行线与转角：已知两条平行线和一条横切线，可以得出转角和对应角相等的结论。
2. 平行线的判定：平行线的判定包括一般判定、倒角判定和平行四边形特性判定。
3. 平行四边形的性质：平行四边形的特点包括对边平行、对角线等长和对角线平分。
四、三角形的性质及常用公式1. 三角形的分类：根据边长和角度等特点，三角形可分为等边三角形、等腰三角形和一般三角形。
2. 三角形的角性质：三角形的内角和为180度，外角等于其不相邻的内角之和。
3. 三角形的边关系：根据边长关系，三角形的边可分为等边、等腰和一般三角形。
4. 三角形的面积公式：利用底边和高、两边夹角的正弦定理和余弦定理等公式可以求解三角形的面积。
五、圆的基本概念及相关定理1. 圆：圆是平面上一组离一个固定点相等距离的点的集合。
2. 圆心角与弧度：通过圆心、圆周上的两点和圆周之间可以划分出的角称为圆心角。
初中平面几何定理全套
直线、角、平行、垂直（直线公理）经过两点有一条直线，并且只有一条直线。
注：简称“两点确定一条直线”。
（距离公理）在所有联结两点的线中，线段最短。
注：简称“两点之间线段最短”。
两条直线相交，只有一个交点。
同角（或等角）的余角相等。
同角（或等角）的补角相等。
对顶角相等。
经过一点有一条而且只有一条直线垂直于已知直线。
直线外一点与直线上各点联结的所有线段中，垂线段最短。
平行公理经过直线外一点，有一条而且只有一条直线和这条直线平行。
如果两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行。
（平行线判定）两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么这两条直线平行。
注：简称“同位角相等，两直线平行”。
课本作为公理。
两条直线被第三条直线所截，如果内错角相等，那么这两条直线平行。
注：简称“内错角相等，两直线平行”。
两条直线被第三条直线所截，如果同旁内角互补，那么这两条直线平行。
注：简称“同旁内角互补，两直线平行”。
（平行线性质）两条平行线被第三条直线所截，同位角相等。
注：简称“两直线平行，同位角相等”。
两条平行线被第三条直线所截，内错角相等。
注：简称“两直线平行，内错角相等”。
两条平行线被第三条直线所截，同旁内角互补。
注：简称“两直线平行，同旁内角互补”。
如果一个角的两边分别平行于另一个角的两边，则那么这两个角相等或互补。
定理如果两条直线都和第三条直线垂直，那么这两条直线平行。
定理如果一条直线和两条平行线中的一条垂直，那么，这条直线也和另一条垂直。
三角形定理（三角形不等式）三角形任何两边的和大于第三边。
推论三角形任何两边的差小于第三边。
三角形内角和定理三角形三个内角的和等于180°。
推论1 三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和。
注：有书上称之“外角定理”。
推论2 三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角。
推论三角形的三个外角的和等于360°。
（三角形全等判定法则）边角边公理有两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等。
平面几何重要定理考点归纳
平面几何重要定理考点归纳1、勾股定理毕达哥拉斯定理2、射影定理欧几里得定理3、三角形的三条中线交于一点，并且，各中线被这个点分成2：1的两部分4、四边形两边中心的连线的两条对角线中心的连线交于一点5、间隔的连接六边形的边的中心所作出的两个三角形的重心是重合的。
6、三角形各边的垂直一平分线交于一点。
7、三角形的三条高线交于一点8、设三角形ABC的外心为O，垂心为H，从O向BC边引垂线，设垂足为L，则AH=2OL9、三角形的外心，垂心，重心在同一条直线欧拉线上。
10、九点圆或欧拉圆或费尔巴赫圆三角形中，三边中心、从各顶点向其对边所引垂线的垂足，以及垂心与各顶点连线的中点，这九个点在同一个圆上，11、欧拉定理：三角形的外心、重心、九点圆圆心、垂心依次位于同一直线欧拉线上12、库立奇大上定理：圆内接四边形的九点圆圆周上有四点，过其中任三点作三角形，这四个三角形的九点圆圆心都在同一圆周上，我们把过这四个九点圆圆心的圆叫做圆内接四边形的九点圆。
13、内心三角形的三条内角平分线交于一点，内切圆的半径公式：r=s-as-bs-cs，s为三角形周长的一半14、旁心三角形的一个内角平分线和另外两个顶点处的外角平分线交于一点15、中线定理：巴布斯定理设三角形ABC的边BC的中点为P，则有AB2+AC2=2AP2+BP216、斯图尔特定理：P将三角形ABC的边BC内分成m：n，则有n×AB2+m×AC2=m+nAP2+mnm+nBC217、波罗摩及多定理：圆内接四边形ABCD的对角线互相垂直时，连接AB中点M和对角线交点E的直线垂直于CD18、阿波罗尼斯定理：到两定点A、B的距离之比为定比m：n值不为1的点P，位于将线段AB分成m：n的内分点C和外分点D为直径两端点的定圆周上19、托勒密定理：设四边形ABCD内接于圆，则有AB×CD+AD×BC=AC×BD20、以任意三角形ABC的边BC、CA、AB为底边，分别向外作底角都是30度的等腰△BDC、△CEA、△AFB，则△DEF是正三角形21、爱尔可斯定理1：若△ABC和△DEF都是正三角形，则由线段AD、BE、CF的中心构成的三角形也是正三角形。
平面几何的17个著名定理
平面几何的17个著名定理1«欧拉(Enter)线…同一三角形的垂心*重心、外心三点共线，这条直线稀为三角形的欧拉线, 且外4与重心的距离等于垂心与重心距离的一半审氛九点圆匕*任意三角形三边的中点，三高的垂足及三顶歳与垂心问线段的中点，共九个点共圆，这个風秫为三角形的九点圆；其圆心为三角形夕皿与垂心所连线段的中勲其半径等于三角形外接圆半径的一半• *3.费尔马点…己知 P 为锐SAABC 内一点，当ZAPB = ZBPC= ZCPA= 120° 时，PA +PB + PC 的值最小，这个点P 称为AABC 的费尔马点。
心CP = 2.45 厘米AP = 1.64 厘米4、海伦(Heron)公式:：卩在ZXABC 中，边BC 、CA. AB 的长分别为a 、b 、c,若 严丄(a+b+c), “2则/XABC 的面积 S = Jp(p_a)(p_b)(p_c)，A7 p (p-AB>(p-BC)-(p-CA) = 8.96 殛米2BC AD = 8.96 J#米25、SK (Ceva)在AABC 中，过AABC 的顶点作相交于一点P 的直线，分别交边BC 、CA 、AB 与点D 、E 、F,则竺.—= 1；其逆亦真aDC EA FBBD = 2.78 MX DC = 1.95 厘米 CE = 1.64 厘米EA = 2.23 厘米 AF =2.31 厘米FB = 2.42 厘米 6、密格尔(Kfeuel)点=♦若AE 、AF 、ED 、FB 四条直线相交于A 、B 、C 、D 、E 、F 六点，构成四个三角形，它们是AABF 、AAED . ABCE . ADCF ,贝I J 这四个三角形的外接圆共(韵借)备)"点，这个点称为密格尔点°卩A B DP （托动）7、葛尔刚（仙輙峻）点2A ABC 的内切圆分别切边AB 、BC 、C 為于点D 、E 、F,则AE 、BF 、CD 三线共点，这个点称为葛尔刚点。
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初中平面几何重要定理汇总1、勾股定理(毕达哥拉斯定理)（直角三角形的两直角边分别是a、b，斜边是c；则a*a+b*b=c*c）2、射影定理(欧几里得定理)(直角三角形中，斜边上的高是两直角边在斜边上射影的比例中项。
每一条直角边是这条直角边在斜边上的射影和斜边的比例中项。
公式Rt△ABC 中,∠BAC=90°,AD是斜边BC上的高,则有射影定理如下:(1)(AD)^2;=BD·DC,(2)(AB)^2;=BD·BC , (3)(AC)^2;=CD·BC 。
等积式(4)ABXAC=BCXAD(可用面积来证明))3、三角形的三条中线交于一点，并且，各中线被这个点分成2：1的两部分4、四边形两边中心的连线的两条对角线中心的连线交于一点5、间隔的连接六边形的边的中心所作出的两个三角形的重心是重合的。
6、三角形各边的垂直一平分线交于一点。
7、三角形的三条高线交于一点8、设三角形ABC的外心为O，垂心为H，从O向BC边引垂线，设垂足为L，则AH=2OL9、三角形的外心，垂心，重心在同一条直线(欧拉线)上。
10、(九点圆或欧拉圆或费尔巴赫圆)三角形中，三边中心、从各顶点向其对边所引垂线的垂足，以及垂心与各顶点连线的中点，这九个点在同一个圆上，11、欧拉定理：三角形的外心、重心、九点圆圆心、垂心依次位于同一直线(欧拉线)上12、库立奇*大上定理：(圆内接四边形的九点圆)圆周上有四点，过其中任三点作三角形，这四个三角形的九点圆圆心都在同一圆周上，我们把过这四个九点圆圆心的圆叫做圆内接四边形的九点圆。
13、(内心)三角形的三条内角平分线交于一点，内切圆的半径公式：r=(s-a)(s-b)(s-c)s，s为三角形周长的一半14、(旁心)三角形的一个内角平分线和另外两个顶点处的外角平分线交于一点15、中线定理：(巴布斯定理)设三角形ABC的边BC的中点为P，则有AB2+AC2=2(AP2+BP2)16、斯图尔特定理：P将三角形ABC的边BC内分成m:n，则有n×AB2+m×AC2=(m+n)AP2+mnm+nBC217、波罗摩及多定理：圆内接四边形ABCD的对角线互相垂直时，连接AB中点M和对角线交点E的直线垂直于CD18、阿波罗尼斯定理：到两定点A、B的距离之比为定比m:n(值不为1)的点P，位于将线段AB分成m:n的内分点C和外分点D为直径两端点的定圆周上19、托勒密定理：设四边形ABCD内接于圆，则有AB×CD+AD×BC=AC×BD20、以任意三角形ABC的边BC、CA、AB为底边，分别向外作底角都是30度的等腰△BDC、△CEA、△AFB，则△DEF是正三角形，21、爱尔可斯定理1：若△ABC和△DEF都是正三角形，则由线段AD、BE、CF的中心构成的三角形也是正三角形。
22、爱尔可斯定理2：若△ABC、△DEF、△GHI都是正三角形，则由三角形△ADG、△BEH、△CFI的重心构成的三角形是正三角形。
23、梅涅劳斯定理：设△ABC的三边BC、CA、AB或其延长线和一条不经过它们任一顶点的直线的交点分别为P、Q、R则有BPPC×CQQA×ARRB=124、梅涅劳斯定理的逆定理：(略)25、梅涅劳斯定理的应用定理1：设△ABC的∠A的外角平分线交边CA于Q、∠C的平分线交边AB于R，、∠B的平分线交边CA于Q，则P、Q、R三点共线。
26、梅涅劳斯定理的应用定理2：过任意△ABC的三个顶点A、B、C作它的外接圆的切线，分别和BC、CA、AB的延长线交于点P、Q、R，则P、Q、R三点共线27、塞瓦定理：设△ABC的三个顶点A、B、C的不在三角形的边或它们的延长线上的一点S连接面成的三条直线，分别与边BC、CA、AB或它们的延长线交于点P、Q、R，则BPPC×CQQA×ARRB()=1.28、塞瓦定理的应用定理：设平行于△ABC的边BC的直线与两边AB、AC的交点分别是D、E，又设BE和CD交于S，则AS一定过边BC的中心M29、塞瓦定理的逆定理：(略)30、塞瓦定理的逆定理的应用定理1：三角形的三条中线交于一点31、塞瓦定理的逆定理的应用定理2：设△ABC的内切圆和边BC、CA、AB分别相切于点R、S、T，则AR、BS、CT交于一点。
32、西摩松定理：从△ABC的外接圆上任意一点P向三边BC、CA、AB或其延长线作垂线，设其垂足分别是D、E、R，则D、E、R共线，(这条直线叫西摩松线)33、西摩松定理的逆定理：(略)34、史坦纳定理：设△ABC的垂心为H，其外接圆的任意点P，这时关于△ABC的点P 的西摩松线通过线段PH的中心。
35、史坦纳定理的应用定理：△ABC的外接圆上的一点P的关于边BC、CA、AB的对称点和△ABC的垂心H同在一条(与西摩松线平行的)直线上。
这条直线被叫做点P关于△ABC的镜象线。
36、波朗杰、腾下定理：设△ABC的外接圆上的三点为P、Q、R，则P、Q、R关于△ABC 交于一点的充要条件是：弧AP+弧BQ+弧CR=0(mod2∏).37、波朗杰、腾下定理推论1：设P、Q、R为△ABC的外接圆上的三点，若P、Q、R 关于△ABC的西摩松线交于一点，则A、B、C三点关于△PQR的的西摩松线交于与前相同的一点38、波朗杰、腾下定理推论2：在推论1中，三条西摩松线的交点是A、B、C、P、Q、R六点任取三点所作的三角形的垂心和其余三点所作的三角形的垂心的连线段的中点。
39、波朗杰、腾下定理推论3：考查△ABC的外接圆上的一点P的关于△ABC的西摩松线，如设QR为垂直于这条西摩松线该外接圆珠笔的弦，则三点P、Q、R的关于△ABC 的西摩松线交于一点40、波朗杰、腾下定理推论4：从△ABC的顶点向边BC、CA、AB引垂线，设垂足分别是D、E、F，且设边BC、CA、AB的中点分别是L、M、N，则D、E、F、L、M、N六点在同一个圆上，这时L、M、N点关于关于△ABC的西摩松线交于一点。
41、关于西摩松线的定理1：△ABC的外接圆的两个端点P、Q关于该三角形的西摩松线互相垂直，其交点在九点圆上。
42、关于西摩松线的定理2(安宁定理)：在一个圆周上有4点，以其中任三点作三角形，再作其余一点的关于该三角形的西摩松线，这些西摩松线交于一点。
43、卡诺定理：通过△ABC的外接圆的一点P，引与△ABC的三边BC、CA、AB分别成同向的等角的直线PD、PE、PF，与三边的交点分别是D、E、F，则D、E、F三点共线。
44、奥倍尔定理：通过△ABC的三个顶点引互相平行的三条直线，设它们与△ABC的外接圆的交点分别是L、M、N，在△ABC的外接圆取一点P，则PL、PM、PN与△ABC的三边BC、CA、AB或其延长线的交点分别是D、E、F，则D、E、F三点共线45、清宫定理：设P、Q为△ABC的外接圆的异于A、B、C的两点，P点的关于三边BC、CA、AB的对称点分别是U、V、W，这时，QU、QV、QW和边BC、CA、AB或其延长线的交点分别是D、E、F，则D、E、F三点共线46、他拿定理：设P、Q为关于△ABC的外接圆的一对反点，点P的关于三边BC、CA、AB的对称点分别是U、V、W，这时，如果QU、QV、QW与边BC、CA、AB或其延长线的交点分别为ED、E、F，则D、E、F三点共线。
(反点：P、Q分别为圆O的半径OC和其延长线的两点，如果OC2=OQ×OP 则称P、Q两点关于圆O互为反点)47、朗古来定理：在同一圆同上有A1B1C1D14点，以其中任三点作三角形，在圆周取一点P，作P点的关于这4个三角形的西摩松线，再从P向这4条西摩松线引垂线，则四个垂足在同一条直线上。
48、九点圆定理：三角形三边的中点,三高的垂足和三个欧拉点[连结三角形各顶点与垂心所得三线段的中点]九点共圆[通常称这个圆为九点圆[nine-point circle],或欧拉圆,费尔巴哈圆.49、一个圆周上有n个点，从其中任意n-1个点的重心，向该圆周的在其余一点处的切线所引的垂线都交于一点。
50、康托尔定理1：一个圆周上有n个点，从其中任意n-2个点的重心向余下两点的连线所引的垂线共点。
51、康托尔定理2：一个圆周上有A、B、C、D四点及M、N两点，则M和N点关于四个三角形△BCD、△CDA、△DAB、△ABC中的每一个的两条西摩松的交点在同一直线上。
这条直线叫做M、N两点关于四边形ABCD的康托尔线。
52、康托尔定理3：一个圆周上有A、B、C、D四点及M、N、L三点，则M、N两点的关于四边形ABCD的康托尔线、L、N两点的关于四边形ABCD的康托尔线、M、L两点的关于四边形ABCD的康托尔线交于一点。
这个点叫做M、N、L三点关于四边形ABCD 的康托尔点。
53、康托尔定理4：一个圆周上有A、B、C、D、E五点及M、N、L三点，则M、N、L三点关于四边形BCDE、CDEA、DEAB、EABC中的每一个康托尔点在一条直线上。
这条直线叫做M、N、L三点关于五边形A、B、C、D、E的康托尔线。
54、费尔巴赫定理：三角形的九点圆与内切圆和旁切圆相切。
55、莫利定理：将三角形的三个内角三等分，靠近某边的两条三分角线相得到一个交点，则这样的三个交点可以构成一个正三角形。
这个三角形常被称作莫利正三角形。
56、牛顿定理1：四边形两条对边的延长线的交点所连线段的中点和两条对角线的中点，三条共线。
这条直线叫做这个四边形的牛顿线。
57、牛顿定理2：圆外切四边形的两条对角线的中点，及该圆的圆心，三点共线。
58、笛沙格定理1：平面上有两个三角形△ABC、△DEF，设它们的对应顶点(A和D、B和E、C和F)的连线交于一点，这时如果对应边或其延长线相交，则这三个交点共线。
59、笛沙格定理2：相异平面上有两个三角形△ABC、△DEF，设它们的对应顶点(A和D、B和E、C和F)的连线交于一点，这时如果对应边或其延长线相交，则这三个交点共线。
60、布利安松定理：连结外切于圆的六边形ABCDEF相对的顶点A和D、B和E、C 和F，则这三线共点。
60、巴斯加定理：圆内接六边形ABCDEF相对的边AB和DE、BC和EF、CD和FA 的(或延长线的)交点共线。