线性方程组与向量组
第四讲 线性方程组与向量组的线性关系
第四讲 线性方程组和线性关系部分是矩阵齐次线性方程组问题：有无非零解？解的结构问题非齐次线性方程组问题：有无解？解的个数、解的结构问题解的存在性：有解当且仅当永远有零解解的个数：有唯一解当且仅当；有无穷多解当且仅当；只有零解当且仅当；有非零解当且仅当的解与的解的关系：的解的线性组合还是它的解；的两个解的差是的解；的一个解与的解的和是的解解的结构：1）的个线性无关解称为的基础解系.（是的基础解系当且仅当都是的解，且能够线性表示的任意解）2）是的基础解系，则（为任意数）为的通解.3）是的基础解系，则（为任意数）为的通解.其中是的一个特解.一 解的结构（概念题）1.是的两个特解，是对应的齐次方程组的基础解系，为任意常数，则的通解为：；;;解：是的特解，不是的特解，所以不可能选择.又与等价，所以也是的基础解系，因此是的通解.而虽然都是的解，但是是否线性无关是不能确定，所以不能确定是的基础解系，因此选择.2. 是矩阵, ，的两个特解满足，求的通解3.求一个齐次线性方程组，使该齐次线性方程组的基础解系为解：设的基础解系为，所以也是的基础解系.所以方程组的解可以写成构造方程组即可二 求解方程组（计算题）1.是3阶方程，.1）求证：存在使得2）求齐次线性方程组的基础解系解： ，，所以或1，如果，1）的结论显然，的基础解系为如果，存在可逆矩阵使得此时齐次方程组即为，即由于，所以，由于所以不全为零，不妨设，的基础解系为2. 已知是齐次线性方程组的一个基础解系， ，问当满足什么条件时，是的基础解系.解：是的基础解系当且仅当与等价当且仅当可逆.由于所以可逆，所以时，时，是的基础解系.3.讨论取何值时下列方程组有解？并在有解时求解1）；解：时，方程无解时，方程有无穷多解，此时，，方程组的通解为为任意数）时，方程有唯一解，此时所以；2）解：时，，方程无解当时，方程组等价于，方程组有无穷多解，此时方程组的通解为（为任意数）; 当，且时，方程有唯一解3）；解：.所以时方程组有唯一解方程组有无穷多解，解为（为任意数）时方程组无解4）解：，所以时方程组有唯一解当时，方程组无解，当时有所以时无解;时，，无穷多解.解为（为任意数）4.求三个线性无关的向量，使它们都是下列线性方程组的解解：通解（为任意数）取，则都是方程组的解，且线性无关.5.（I）；（II）1）求（I）的解；2）当（II）中参数取何值时（I）与（II）同解解：（I）的解为（为任意数）（II）与（I）同解，所以是的解，将解代入方程有是的解，将解代入方程有解的理论（证明题）1.是矩阵，,，的任意个线性无关解满足：1）的任意解均可以表示为2）是的解的充分必要条件是证明：由于是的解，所以1）设是的任意解，由于是的线性无关解，所以是的线性无关解，即的基础解系.事实上，显然是的解，再设，有，由于线性无关，有，故线性无关，所以是的基础解系.所以即.2）当时，，所以是的解如果是的解，则，所以2.证明：是的非空子集，则是某个线性方程组的解集的充分必要条件是对任意的当且仅当.证明：设是线性方程组的解集，，则，所以，所以如果任意，都有取的极大无关组，做以为解的线性方程组，则的通解可表示为所以的解都在中.反之对任意的，，由于，有，所以.所以是某个线性方程组的解集.3.是中的行向量，，证明:的解都是的解的充分必要条件是可由线性表示.证明：充分性:如果可由线性表示,设,则则时,显然有必要性: 的解都是的解则,所以向量组与,秩相同,所以可由线性表示.4. 是矩阵，，有解当且仅当对使得的任意解，有证明：有解可由的行向量线性表示的解都是的解，即对使得的任意解，有5.证明：有解当且仅当无解证明：由于，无解有解.6. 是矩阵，有非零解，证明：存在，使得无解证明： 有非零解当且仅当，所以存在阶可逆矩阵及阶可逆矩阵，使得,所以等价于等价于，令，取，则无解7.的行向量组是齐次线性方程组的基础解系，证明：任意阶可逆矩阵，的行向量组也是的基础解系.证明：令所以，由可逆，知与等价，所以的行向量组也是的基础解系.8. 是矩阵，已知齐次线性方程组的基础解系为，令,求的基础解系解：由已知，所以,令,所以是的解，又由已知，所以是的个线性无关解，又，所以是的基础解系.9. 是中的一组列向量，，求线性方程组的解解： =，当时，，此时只有零解；当时，，此时任意中的列向量都是的解；当时，，此时有，所以的极大无关组是的个线性无关解向量，所以是的基础解系.10.,且存在的某个元素的代数余子式，证明：1）是的基础解系；2)证明：1）当时，有，所以的列向量都是的解， 是的第列，又，所以是的非零解.由于，的解空间是1维的，所以是的基础解系.2）由的解空间是1维的，且的列向量都是的解，知，又，所以，故. 11. 是的前行组成的矩阵，求的基础解系.解：，所以，可逆，设，，，所以又，且是的个线性无关解向量，所以是的基础解系.11.设的行向量组是线性方程组的解,令表示中划掉第列的阶行列式, 1) 证明:当且仅当的行向量组不是的基础解系.2）令，求解：，设1)证明: 如果，由已知是的行向量组，它们都是的解，假设它们是的基础解系，则它们线性无关，又，所以可由线性表示，所以是的解，显然不成立.所以不是的基础解系.反之，如果不是的基础解系.则线性相关，所以，所以，所以，即. 2），所以是的基础解系.则，即，所以.同理12.设两个多项式互素，为阶方阵，,证明：方程组的解都可以唯一表示为形式，其中分别是的解.证明：所以.设是的解，由于，令，则所以都可以表示为形式，其中分别是的解下证表示的唯一性，假设方程组的一个解可以表示为和形式，其中和满足，.所以，即，所以，即由于，所以，即.所以方程组的解都可以唯一表示为形式.（此题也可以表述为：设两个多项式互素，为阶方阵，,证明：分别是方程组，的解空间，证明：都可以唯一表示为形式，其中分别是的解.）13. 是矩阵，，设线性方程组都有解，分别是的任意一个解，则（为与解选取无关的定常数）证明：设也是的解，则，所以是一个与的解选取无关的常数，同理也是一个与的解的选取无关的常数，所以，则（为与解无关的固定常数）向量组的线性相关性1. 是线性空间中线性无关向量组，线性相关，证明：线性无关.证明：设由于线性无关，线性相关，所以可由线性表示，所以存在使得，即由于线性无关，所以代入（1）得到，又线性无关，所以所以，线性无关.2.设向量组的秩为，则中任意个向量线性无关当且仅当对任意的，若，则全为零或全不为零证明：向量组的秩为，且中任意个向量线性无关，设对任意的，若，若中存在为零的数，则不妨设，则，由中任意个向量线性无关有.所以全为零或全不为零.反之，向量组的秩为，且中任意的个向量的线性组合为零都有系数全为零或全不为零.现任取中任意个向量，不妨就记为，设，在向量组中任意取一个异于的向量记为，则，由已知，所以线性无关.3.设向量组线性无关，且可由线性表示，则可以适当调整的顺序使得与等价.（替换定理）证明：当时，由可由线性表示，所以存在，使得，由于线性无关，所以，故存在，适当调整的顺序可使，则，所以与等价.假设对个线性无关向量结论成立，对个线性无关向量向量，如果它们可由线性表示，归纳假设适当调整顺序可使与等价，所以可由线性表示，，如果，则，与线性无关矛盾，所以不全为0，可适当调整顺序可使得，所以所以与等价，即有与等价.4.是阶实方阵，证明：1）如果，则；2），则证明：设，任取不全为零的数，令，则，则所以，所以所以线性无关，所以2）构造矩阵则是的次多项式函数，且且（由1）），如果，则存在，由知，满足由1），矛盾，所以5. 是互不相同的个数，证明：线性无关证明：设方程两边逐步求导，有这个关于的齐次线性方程组的系数行列式为，所以，所以，所以线性无关6.证明：线性无关（三角函数正交系）证明：设利用即可证得，所以线性无关。
同济大学线性代数教案第三章向量空间与线性方程组解的结构
线性代数教学教案第三章 向量组及其线性组合授课序号01,n a 组成的有序数组称为2n a ⎪⎪⎪⎭维向量写成),,n a个分量，其中T,…来表示,n a 是复数时，维复向量，当12,,,n a a a 是实数时，本书所讨论的向量都是实向量0⎪⎪⎪⎭或()0,0,,00=.2n a ⎪⎪⎪⎭称为向量2n a ⎪⎪⎪⎭的负向量，记为α. 向量的运算：由于向量可看成行矩阵或列矩阵，因此我们可用矩阵的运算来定义向量的运算，也就是：122,n n a a b ⎛⎫⎛⎪ ⎪=⎪ ⎪⎪ ⎪⎭⎝⎭β，k ∈，则有1122n n a b a b a b +⎛⎫ ⎪+ ⎪= ⎪ ⎪+⎝⎭β； （2）2n k ka ⎪⎪⎪⎭α；我们称这两种运算为向量的线性运算)1221122,,n n n n b ba a ab a b a b b ⎛⎫⎪ ⎪=+++ ⎪ ⎪⎝⎭；()111212212221212,,,n n n n n n n n a b a b a b a b a ba b b b b a a b a b a b ⎛⎫⎪⎪ ⎪=⎪ ⎪⎪⎪⎭⎝⎭. 二、向量组及其线性组合：：由若干个维数相同的向量构成的集合，称为向量组． ：给定n 维向量组,,,n ααα，对于任意一组数,,,n k k k ，表达式+n n k k α,n α和一个,n k ，使得++n n k =βα，,,n α线性表示，或者说向量β是向量组,n α的一个线性组合量组12,,,n ααα（唯一）线性表分必要条件是+n n x =α有（唯一）解.三、向量组的等价：由向量组B 线性表示：,,m αα是m ,,s β是s 维向量组成的向量组. 中每一个向量,)s β均可由向量组,m α线性表,s β可由向量组:A 12,,,m ααα线性表示.A 与向量组可以相互线性表示，则称向量组A 与向量组2,,,m αα与向量组:B 2,,,s βββ. 令矩阵),m A α，),s β，则向量组B 可由向量组线性表示的充分必要条件是矩阵方程=B向量组A 与向量组等价的充分必要条件是矩阵方程=BY A四、主要例题：1211222221122n n n n m m mn n ma x a x a x a x a xb +++++=中第()121,2,,i i i mi a ai n a ⎛⎫ ⎪ ⎪== ⎪ ⎪⎝⎭α，维列向量2m b ⎪⎪⎪⎭， n n x β+=α12122212n n m m mn a a a a a ⎫⎪⎪⎪⎪⎭，将矩阵A 与列向量组和行向量组对应2100010,,,001n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪== ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭e e ，将任一向量2n a ⎪⎪⎪⎭由12,,n e e e 线性表示536⎫⎪⎪⎪-⎭及向量组123101,2,11⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭βββ，试问α能否由12,ββ123-⎫⎛⎫⎛⎫授课序号02,m α，如果存在一组不全为零的数,m k ，使得m m k +α，则称向量组,m α线性相关．线性无关：若当且仅当0m k ==时，才有112m m k k k ++=0ααα,m α线性无关.m 个n 维向量构成的向量组12,,,m ααα线性相关的充分必要条件是齐次线性方程组1122m m k k k +++=0ααα有非零解；线性无关的充分必要条件是上述齐次线性方程组只有零解0m k k k ===(,m m α线性相关的充分必要条件是存在某一个向量(1j ≤α2线性相关的充分必要条件是它们的分量对应成比例是向量组A 的部分组线性无关，则其部分组,m α是m 个,m α线性无关，而向量组,,m αβ线性相关，则向量,m α线性表示，且表示式是唯一的如果向量组1,,s ααα可由向量组,t β线性表示，并且s >,s α线性如果向量组12,,,s ααα可由向量组2,,t β线性表示，并且向量组,s α线性无关，则2,,s α与向量组,t β均线性无关，并且这两个向量组等价，则s t =.2322,2⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪α，存在一组不全为零的数20,,,001n ⎪ ⎪ ⎪==⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎭⎝⎭⎝⎭e e ，对任意一组数12120001001n n n n k k k k k k k ⎛⎫⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪+=+++= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭e ，0n k ==时，才有1122n n k k k +++=0e e e ，所以向量组1,,n e e e 线性无关证明：任一含有零向量的向量组必定线性相关.221,11⎫⎛⎫⎛⎫⎪ =⎪ ⎪ -⎭⎝α，判断向量组12,,αα授课序号03,r α满足条件：）向量组1,,r ααα线性无关；）对于A 中任意的向量β，向量组,,r αβ线性相关，则称向量组12,,r ααα为向量组的一个极大线性无关组，简称极大无关组向量组A 的任意一个极大无关组所含向量的个数，称为这个向量组的秩，记为等价的向量组有相同的秩二、矩阵秩的概念及求法：rB ，则RA B ,n α为列构作矩阵),,n α，对矩阵的阶梯数给出矩阵的秩，从而给出向量组1,,n ααα的秩),n β，,n α与向量组,n β有相同的线性相关性，从而可以根据向量组,n β的极大无关组给出向量组12,,,n ααα的极大无关组，并给出不属于极大无关组的向量由极大无关组线性表示的表示20,,,001n ⎪ ⎪ ⎪==⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎭⎝⎭⎝⎭e e 线性无关，所以该向量组的极大无关组就是它3145,1227⎫⎛⎫⎪ ⎪=⎪ ⎪⎪ ⎪⎭⎝⎭α，向量1α与2α的分量不对应成比例，。
线性代数 第三章 向量与线性方程组 例题
1.设α1=(1 2−1 0)，α2=(1312)，α3=(24−2)，α4=(1135)，α5=(223)，求向量组α1，α2，α3，α4，α5的一个极大（最大）无关组，并将其余向量用该极大无关组线性表出。
2.设A为mxn阶矩阵，B为nxp阶矩阵，C为pxs阶矩阵，R(C)=p，且ABC=0，证明B=0.3.设A为mxn阶矩阵，X与b为m维列向量，Y为n维列向量，证明AY=b有解的充要条件是满足A T X=0的所有X均满足b T=0.4. 设α1=(1003)，α2=(11−12)，α3=(12−2a )，β=(01b −1)问a,b 为何值时， （1） β不能由α1，α2，α3线性表出（2） β可以由α1，α2，α3线性表出，并且写出表达式5. 设A=(λ+312λλ−113λ+3λλ+3)，讨论AX=0的解的情况。
6. 设A=(111a b c a 2b 2c 2)，讨论AX=0的解的情况。
7. 设A=(1 10 1 1 12 20−132a −3−21a )，β=(01b −1)，讨论方程组AX=β的解的情况。
8. 设A=(λ111λ111λ)，b=(1λλ2)，讨论方程组AX=b 的解的情况。
9. 已知三阶矩阵A 的第一行为a,b,c ，且a,b,c 不全为0，矩阵B=(12324636k)(k 为常数)满足AB =0，求AX =0的通解。
10. 设4元齐次线性方程组（I ）{2x 1+3x 2−x 3=0x 1+2x 2+x 3−x 4=0，且已知另一个四元齐次线性方程组（II ）的一个基础解系为α1=(2−1a +21)，α2=(−124a +8)，(1)求（I ）的一个基础解系。
(2)a 为何值时（I ）与（II ）有非零公共解，并求所有非零公共解。
11. 在上例中将α1，α2改为α1=(a −51−1−1)，α2=(−6a +3−12)求（I ）与（II ）的所有非零公共解。
线性代数 第三章 线性方程组与向量的线性相关性
例1 判断下列线性方程组是否有解,若有解,求
出全部解.
x1 3 x 2 3 x 3 2 （） 3 x1 x 2 2 x 3 3 1 4x 2x x 2 2 3 1 x1 x 2 x 3 3 x 4 2 （ ） x1 x 2 x 3 5 x4 4 2 4 x 4 x x 1 1 2 3
（c1 、c 2 为 任 意 常 数 ）
例2 解线性方程组
解：
1 1 3 2 1 2 1 2 1 1 6 3 1 2 3 0 1 0 0 0 1 1 2 0 1 2 3 1 1 1 0 2
x1 x2 x3 1 x1 2 x2 x3 2 3 x1 x2 6 x3 3 2 x 2 x 3x 0 1 2 3
行 有解 B ( A b ) 行 阶 梯 形 矩 阵 行 最 简 形 矩 阵 行
行最简形矩阵非零行（r 行）的第一非零元取为固定未知量，剩余的未知量 取为自由未知量，令为 c1 , c 2 , c n r ，代回行最简形矩阵所表示的方程组 求出固定未知量，从而得到通解）
R ( 1 , 2 , n ) ( ) R ( 1 , 2 , n , )
例7
判 断 能 否 由 余 下 向 量 线 性 表 ？ 若 能 ， 给 出 表 示 式 出 .
T T T T
(1) (1,1,1) , 1 (0,1,1) , 2 (1,1,0) , 3 (1,0,2) ( 2) ( 2,2,0) , 1 ( 1,1,1) , 2 (1,1,2)
x1 1 1 x2 1 0 c1 c2 c11 c2 2 x 0 4 3 0 1 x 4 （c1 、c2为任意常数）
向量组、线性方程组的区别与联系
向量组、线性方程组的区别与联系
Vector group 和 linear equation group 被广泛应用于互联网行业。
它们都
是用来表达和表示特定事物的数学结构，它们之间有着差异性，但又有着一定的联系。
首先，让我们先来说说向量组。
向量组是用它们的内积和表达式来表示一组数据。
向量组在互联网行业中声明上扮演着强大的作用，它们主要用来描述实体间的关系，例如近似计算以及物种的比较。
此外，这些实体间的关系可以利用向量组来定位和处理特定的场景，例如互联网搜索引擎，这会使搜索过程更加有效率。
其次，让我们来谈谈线性方程组。
它是用方程式中的系数乘以一个量，然后再
运用算术运算符来表达结果。
在互联网领域，线性方程组具有很多应用，例如用来解决特定类型的问题，并帮助工程师和开发者进行关键决策。
用线性方程组可以准确地估计出重要的变量，例如用户的行为模式和不同信息的市场价值，从而推动整个互联网行业的发展。
从上述可以看出，向量组和线性方程组有着不同的特点，但它们之间仍存在着
一定的联系。
二者都能用来表示不同类型的数据，并可以应用在不同的场景中。
例如，线性方程组有助于描述和估计特定类型的数据，而向量组则可以用来搜索和比较相关实体。
这就是关于向量组和线性方程组的区别与联系。
我们可以清楚地看到，这两种数学结构在互联网行业中，特别是搜索和分析领域都占据了很重要的地位。
3.向量组的线性相关性与线性方程组的解
3.向量组的线性相关性与线性方程组的解§3.1 线性方程组解的判定1.定理3.1:n 元线性方程组AX=b ，其中A=(a 12a 12a 1n a 21a 22a 2na m1a m2a mn),x=( x 1x 2??x n ) ,b=( b 1b 2??b m )(1)无解的充要条件是R(A)＜R(A,b)；(2)有惟一解的充要条件是R(A)=R(A,b)=n ，(3)有无穷多解的充要条件是R(A)=R(A,b)＜n.注：(1)R(A,b)先化为行阶梯形，判别。
有解时再化为行最简形求解。
(2)R(A)=m 时，AX=b 有解。
(3)R(A)=r 时，有n-r 个自由未知量，未必是后面n-r 个。
2.定理3.2:n 元线性方程组AX=0(1)有惟一解（只有零解）的充要条件是R(A)=n ； (2)有无穷多解(有非零解)充要条件是R(A)＜n .注：(1)m ＜n,AX=0必有非零解。
3.定理3.3:矩阵方程AX=B 有解的充要条件是R(A)=R(A,B) 求解线性方程组例1. {4x 1+2x 2?x 3=23x 1?x 2+2x 3 =1011x 1+3x 2 =8例2. {2x 1+x 2?x 3+x 4 =14x 1+2x 2?2x 3+x 4=22x 1+x 2 ?x 3?x 4 =1例3. 求解齐次线性方程组{3x 1+ 4x 2?5x 3+ 7x 4 =02x 1?3x 2+3x 3? 2x 4 =04x 1+11x 2?13x 3+16x 4=07x 1?2x 2+ x 3+ 3x 4 =0例4.写出一个以X=C 1(2?310)+C 2(?2401)为通解的齐次线性方程组。
例5（每年）.（1）λ取何值时，非齐次线性方程组{ λx 1+x 2+x 3=1x 1+λx 2+x 3=λx 1+x 2+λx 3=λ2（1）有惟一解；（2）无解；（3）有无穷多组解？并在有无穷多组解时求出通解.（2）非齐次线性方程组{x 1+x 2+2x 3=02x 1+x 2+ax 3=13x 1+2x 2+4x 3=b当a,b 取何值时，（1）有惟一解；（2）无解；（3）有无穷多组解？并求出通解.例5(12/13学年).设A=(λ110λ?1011λ), b=(a11),已知Ax=b 存在两个不同的解：(1)求λ,a;(2)求Ax=b 的通解。
向量的秩与线性方程组解的结构
所以向量组
α 1 ,α 2 ,α 3 ,α 4
α α
3 4
= (0,0,0,5 )
= (0,0,0,0 ) 的秩为3⎞ ⎛ 1⎞ ⎛ 3⎞ ⎛ 1⎞ ⎜ 0⎟ ⎜ 2⎟ ⎜ −1 ⎟ ⎜ 4⎟ β1 = ⎜ ⎟ , β 2 = ⎜ ⎟ , β 3 = ⎜ ⎟ , β 4 = ⎜ ⎟ ⎜ 0⎟ ⎜ 0⎟ ⎜ 0⎟ ⎜ 5⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ 0⎠ ⎝ 0⎠ ⎝ 0⎠ ⎝ 0⎠ 7 1 而 可以验证 β 1 , β 2 , β 4 线性无关， β 3 = β 1 − β 2 + 0 β 4 2 2 所以向量组 β 1 , β 2 , β 3 , β 4 的一个极大无关组是 β 1 , β 2 , β 4
知，要求齐次线性方程组的通解，只需求出它 的基础解系.
3. 基础解系的求法
设系数矩阵 A 的秩为 r , 并不妨设 A 的前 r 个 列向量线性无关, 于是 A 的行最简形矩阵为
⎛1 ⎜ ⎜ ⎜0 B = ⎜ ⎜0 ⎜ ⎜ ⎜0 ⎝ 0 1 b 11 br1 b 1 ,n − r ⎞ ⎟ ⎟ b r,n − r ⎟ ⎟, 0 ⎟ ⎟ ⎟ 0 ⎟ ⎠
⎛ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝
x1 ⎞ ⎛ − b 11 ⎞ ⎛ − b 12 ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜− b ⎟ ⎜−b xr r1 r2 ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ x r +1 ⎟ = c1 ⎜ 1 ⎟ + c 2 ⎜ 0 ⎟ ⎜ ⎜ 1 xr+2 ⎟ 0 ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ xn ⎠ ⎝ 0 ⎠ ⎝ 0
⎛x1 ⎞ ⎛−b ⎞ ⎛−b ⎞ ⎛−b,n−r ⎞ 11 12 1 ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟, ⎜ ⎟ =⎜ ⎟ ,⎜ ⎟ , ,⎜ ⎜x ⎟ ⎜−b ⎟ ⎜−b ⎟ ⎜−b ⎟ ⎝ r ⎠ ⎝ r1⎠ ⎝ r2 ⎠ ⎝ r,n−r ⎠
第三章 向量组的线性相关性与线性方程组
第三章 向量组的线性相关性与线性方程组一. 单项选择题 1.向量组n ααα,,,21 线性无关的充分必要条件为( )A. n ααα,,,21 均不为零向量;B. n ααα,,,21 中任意两个向量的分量不成比例;C.n ααα,,,21 中任意一个向量均不能由其余n-1个向量线性表示; D. n ααα,,,21 中有一部分向量线性无关.解: C. 2.m ααα,,,21 均为n 维向量,则下列结论正确的是( )A. 若,02211=+++m m k k k ααα 则m ααα,,,21 线性无关;B. 若对任意一组不全为零的数m k k k ,,,21 ,都有,02211≠+++m m k k k ααα则m ααα,,,21 线性无关;C. 若m ααα,,,21 线性相关,则对任意一组不全为零的数m k k k ,,,21 ,都有;02211=+++m m k k k αααD. 若000021=⋅++⋅+⋅m ααα ,则m ααα,,,21 线性无关. 解: B. 3.321,,ααα线性无关,则以下线性无关的是( )A. ;,,133221αααααα-++B. ;2,,3213221ααααααα++++C.;3,32,2133221αααααα+++D. ;323,232,321321321ααααααααα+-+-++解: C.对A 中向量有0)()()(133221=-++-+αααααα, 对B 中向量有0)2()()(3213221=++-+++ααααααα,对D 中向量有0)323()232()(321321321=+--+-+++ααααααααα对C 中向量有,033022101;330022101),,()3,32,2(321133221≠⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=+++ααααααααα所以选择C. 4.m m βββααα,,,,,2121 ，和是两向量组,若存在两组不全为零的实数和m λλλ,,,21 m k k k ,21 ，，使得0)()()()(111111=-++-+++++m m m m m m k k k k βλβλαλαλ ,则( )A. m m βββααα,,,,2121 ，，和都线性相关; B.m m βββααα,,,,2121 ，，和都线性无关;C.m m m m βαβαβαβα--++,,,,,1111 线性相关; D. m m m m βαβαβαβα--++,,,,,1111线性无关.解: D.将已知等式变形得0)()()()(111111=-++-+++++m m m m m m k k βαβαβαλβαλ .5.设γβα,,线性无关, δβα,,线性相关,则( )A.线性表示；，，必可由δγβαB. 线性表示；，，可由必不δγαβC. 线性表示；，，必可由γβαδD. .线性表示，，必不可由γβαδ 解: C.由已知得.线性表示，必可由βαδ从而.线性表示，，必可由γβαδ 6.设β可由向量组m αα,,1 线性表示,但不能由(Ⅰ) 11,,-m αα 线性表示,记(Ⅱ) βαα,,,11-m ,则( )A.m α不能由(Ⅰ)及(Ⅱ)线性表示; B.m α不能由(Ⅰ)线性表示,但可由(Ⅱ)线性表示; C.m α可由(Ⅰ)及(Ⅱ)线性表示; D.m α可由 (Ⅰ)线性表示,但不能由(Ⅱ)线性表示.解: B. 设m m m m k k k αααβ+++=--1111 (*)则必有0≠m k ,否则与β不能由11,,-m αα 线性表示矛盾.对(*)式变形即得m α可由(Ⅱ)线性表示.7.向量组321,,ααα线性无关, 133322211αλαβααβααβt -=-=-=，，也线性无关,则( )A.t =λ,B. t ≠λ,C. 1==t λ,D. t 2≠λ 解: D.⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---=λαααβββ1001101),,(,),,(321321t ,321,,βββ线性无关 01001101≠---λt ,故选(D)8.设B A ,均为n 阶非零矩阵,且0=AB ,则A 和B 的秩 ( )A.必有一个等于零;B. 都小于n;C.一个小于n,一个等于n;D.都等于n. 解: B.由0=AB 和0≠B 得: 方程组0=AX 有非零解,所以,;)(n A r <同理可得:;)()(n B r B r T <= 故选B.9. 设矩阵n m A ⨯的秩为m En m A r ,)(<=为m 阶单位阵,下述结论正确的是( ) A.矩阵A 的任意m 个列向量必线性无关;B.矩阵A 的任意一个m 阶子式不等于零;C.若矩阵B 满足0=BA ,则0=B ;D.矩阵A 通过初等行变换,必可化为)0(m E 的形式.解: C.若0=BA ,则,0)(==TT T B A BA 即: T B 的列向量均为方程组0=X A T的解. 而,)()(m A r A r T ==即: m n T A ⨯为列满秩矩阵, 所以, 方程组0=X A T 仅有零解.亦即: .0==TB B 10.设有向量组),10,5,1,2(),0,2,2,1(),14,7,0,3(),2,1,3,0(),4,2,1,1(54321=-===-=ααααα则该向量组的极大线性无关组是 ( ) A. 321,,ααα; B. 421,,ααα; C. 521,,ααα; D. .,,,5421αααα解: B.以该向量组为列构造矩阵A ,对A 施行初等行变换:⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛→⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--==000000100010110203011001424527121203121301)(54321TT T T T A ααααα,初等行变换不改变列向量组间的线性关系. 所以, 421,,ααα为向量组的一个极大无关组.11.设非齐次线性方程组B AX =中,,)(r A r n m =⨯则下列结论成立的为( )A.r=m 时,方程组有解;B.r=n 时,方程组有唯一解;C.m=n 时,方程组有唯一解;D.r<n 时,方程组有无穷解. 解: A.r=m 时,系数矩阵的秩等于增广矩阵的秩.12.设A 为m ×n 矩阵,B 为n 维列向量,则下列结论成立的是( )A. 若0=AX 仅有零解,则B AX =有唯一解;B. 若0=AX 有非零解,则B AX =有无穷解;C. 若B AX =有无穷解,则0=AX 仅有零解;D. 若B AX =有无穷解,则0=AX 有非零解. 解: D.若B AX =有无穷解,则n A r <)(,故0=AX 有非零解. 13.设A 为n 阶实矩阵,TA 是A 的转置矩阵,则对于线性方程组 (I): 0=AX 和(II) 0=AX A T,必有 ( ) A.(II)的解是(I)的解,(I)的解也是(II)的解; B.(II)的解是(I)的解,但(I)的解不是(II)的解; C.(I)的解不是(II)的解,(II)的解也不是(II)的解; D.(I)的解是(II)的解,但(II)的解不是(I)的解. 解: A.设 ),0(0≠=ξξA 则),0(00≠=⋅=ξξTT A A A 所以,(I)的解是(II)的解; 反之,设 ),0(0≠=ηηA A T 则),0(0)()()(≠==ηηηηηA A A A TT T η为一个列向量,所以必有: 0=ηA .亦即: (II)的解是(I)的解. 因此,选A.14.21,ββ是非齐次线性方程组B AX =的两个不同解,21,αα是对应导出组的基础解系.21,k k 为任意常数,则B AX =的通解为( )A.;2)(2121211ββααα-+++k kB. ;2)(2121211ββααα++-+k k C. ;2)(2121211ββββα-+++k k D. .2)(2121211ββββα++-+k k解: B.211,ααα-线性无关,并且是导出组的解,所以211,ααα-为导出组的一个基础解系;221ββ+为B AX =的特解,故选(B).15.设321,,ααα为四元线性方程组B AX =的三个解向量,且3)(=A r , T)4,3,2,1(1=α,T )3,2,1,0(32=+αα,c 为任意常数,则B AX =的通解为( )A.,11114321⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛c B. ,32104321⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛c C. ,54324321⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛c D. ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛65434321c 解: C.T )4,3,2,1(1=α为B AX =的一个特解.其导出组的基础解系仅含一个向量,且)(2321ααα+-为导出组的一个非零解, 故B AX =的通解为)](2[3211αααα+-+c .16.齐次线性方程组AX =,0111113212=⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛x x x λλλλ若存在三阶非零方阵B 满足0=AB ,则( )A.λ=-2,且|B |=0;B. λ=-2,且|B |≠0;C. λ=1,且|B |=0;D. λ=1,且|B |≠0. 解: C.B 的三个列向量均为0=AX 的解向量,即方程组0=AX 有非零解,故|A |=-(2)1-λ=0,从而λ=1;当λ=1时,r(A )=1,故0=AX 基础解系包含两个向量,矩阵B 的三个列向量必线性相关, 所以|B |=0.17.若TT )1,1,0(,)2,0,1(21-==ξξ均为方程组0=AX 的解,则A 为( )A.()112-, B. ⎪⎪⎭⎫⎝⎛--110102, C. ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--110201 , D. ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--110224解: A.解一:TT)1,1,0(,)2,0,1(21-==ξξ线性无关,故基础解系的秩≥2, 从而r(A )=1,答案为(A);解二:令),(21ξξ=X ,一一验证可得(A)中矩阵满足0=AX ,故选(A).18.已知,96342321⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=t Q P 为三阶非零阵,且,0=PQ 则( ) A.P t ,6=的秩必为1; B. P t ,6=的秩必为2;C. P t ,6≠的秩必为1;D. P t ,6≠的秩必为2. 解: C.若0=PQ ,则必有)(Q r 小于或等于方程组0=PX 的基础解系所包含向量个数. 从而 .3)()(≤+Q r P r 又因为P 为三阶非零阵, 所以.0)(≠P r 若,6≠t 则,2)(=Q r 此时必有,113)(0=-≤<P r 即必有.1)(=P r若,6=t 则,1)(=Q r 此时必有,213)(0=-≤<P r 即必有1)(=P r 或.2)(=P r 所以应选C.19.设.),,(,),,(,),,(321332123211TT T c c c b b b a a a ===ααα 则三直线0=++i i i c y b x a 其中)3,2,1(022=≠+i b a i i 交于一点的充分必要条件为( )A.321,,ααα线性相关; B. 321,,ααα线性无关;C.);,(),,(21321αααααr r = D. 321,,ααα线性相关; 21,αα线性无关.解: D.解一:三直线有一交点,说明21,αα线性无关, 3α可由21,αα线性表示.故选(D);解二:方程组⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛321332211c c c y x b a b a b a 存在唯一解的充要条件为系数矩阵与增广矩阵的秩相等,等于2,故选(D); 解三:设交点为),(00y x ,则,20103αααy x --=即3α可由21,αα唯一线性表示.故选(D).20.矩阵⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛333222111c b a c b a c b a 是满秩的,则( )直线321321321213213213c c c z b b b y a a a x c c c z b b b y a a a x --=--=----=--=--与 A.交于一点; B.重合; C.平行不重合; D.异面解: A.解一:矩阵A 分块为,321⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=αααA 321,,ααα为A 的行向量, 321,,ααα线性无关.而又3221αααα--与线性无关,二直线不平行.又由，）（）（）（0133221=-+-+-αααααα这说明三个向量133221αααααα---，，共面.所以二直线相交.解二:记133322211ααβααβααβ-=-=-=，，,则21213βββββ，，--=线性无关.因此二直线共面又不平行.故选(A).解三:引入参数方程,令,213213213t c c c z b b b y a a a x =--=--=--令一个参数为τ,则得方程组如下⎪⎩⎪⎨⎧=-+-+-=-+-+-=-+-+-0)()()(0)()()(0)()()(133221133221133221c c c c t c c b b b b t b b a a a a t a a τττ方程组有唯一解的充要条件为2321αααα--与线性无关,因此二向量与13αα-线性无关,故二直线交于一点.解四:用纯粹空间几何方法:将321,,ααα视为向径,即),,(i i i c b a 为三个点,有r(A )=3知此三点不共线.因此决定一平面π.而二直线一是过),,(1111c b a =α与32αα-平行;一是过),,(3333c b a =α与12αα-平行,此二直线均在π上且不平行,故相交.解五:取特殊情况⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=100010001A ,代入可得二直线相交.二.填空题1.若线性方程组⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+=+=+=+414343232121a x x a x x a x x a x x 有解,则常数4321,,,a a a a 应满足关系式为 .解: 4231aa a a +=+ 线性方程组有解 系数矩阵的秩与增广矩阵的秩相等, 对增广矩阵施行初等行变换:⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--→⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=14321432110101100011000111001110001100011a a a a a a a a a A⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-+-→⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+-→3214321214321000110001100111100110001100011a a a a a a a a a a a a a所以应有 4231a a a a +=+.2.设t ηη,,1 及t t k k ηη++ 11均为非齐次线性方程组B AX =的解向量,则=++t k k 1解: 11=++t k k将t t k k ηη++ 11代入方程组B AX =得,)(11B k k A t t =++ηη 即 ,11B A k A k t t =++ηη 从而,)(1B B k k t =++ 即11=++t k k .3.若向量组321,,ααα线性无关,(1) 321332123211222αααβαααβαααβ-+=+-=++-=，，线性 ； (２) 3213321232113432232αααηαααηαααη++=++=++=，，线性 ． 解: (1) 相关;(2)无关对(1)中向量有⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---=211121112),,(,),,(321321αααβββ, 321,,βββ线性无关 0211121112≠---,故(1)相关;类似可得(2)无关. 4.向量组)2,5,4,0(),0,,0,2(),1,1,2,1(321--==-=αααt 的秩为2,则t =解: t =3.解一:用行列式为0.0321=ααα 得t =3 解二:用矩阵的初等变换得 t =3.5.n 阶矩阵A 各行元素和为0,且r(A )=n-1,则方程组0=AX 的通解为 解: k(1,1,…,1),k 为任意常数.(1,1,…,1)满足方程,方程基础解系仅含一个向量, 故通解为k(1,1,…,1),k 为任意常数. 6.设);,,2,1,(,j i n j i a a j i ≠=≠ ,⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=----11312112232221321 (1111)n n n n n n n a a a a a a a a a a a a A ,,111,21⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛= B x x x X n 则方程组B X A T=的解为 .解: (1,0,0,…,0)T.|A |为范得蒙行列式,故|TA |≠0,方程组有唯一解.矩阵方程对应的线性方程组为⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=++++=++++=++++---1 (11)132211232222111321211n n n n n n n n n x a x a x a x x a x a x a x x a x a x a x由观察可知 (1,0,0,…,0)T为方程组的解.7.设⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=11334221t A ,B 为三阶非零矩阵,且0=AB ,则=t . 解: 3-=t若0=AB ,则B 的列向量为齐次线性方程组0=AX 的解. B 为三阶非零矩阵,所以齐次线性方程组0=AX 有非零解. 从而有,0||=A 解得3-=t .三.计算题 1.设向量组)2(,,,21≥n n ααα 线性无关,,,,,,111322211ααβααβααβααβ+=+=+=+=--s s s s s讨论s βββ,,,21 的线性关系. 解:设02211=+++s s k k k βββ ,整理得:0)()()(122111=++++++-s s s s k k k k k k ααα , 由)2(,,,21≥n n ααα 线性无关得 01211=+==+=+-s s s k k k k k k ,线性方程组对应的系数行列式为1)1(111... (00)11001110001--+==s D所以,(1)当s 为奇数时,D=2≠0,方程组仅有零解, s βββ,,,21 线性无关;(2) 当s 为偶数时,D=0,方程组有非零解, s βββ,,,21 线性相关.2.设A 为n m ⨯矩阵,B 为m n ⨯矩阵,E 为n 阶单位阵()n m >.已知E BA =,试判断A 的列向量组是否线性相关?为什么? 解: 因为 ,)()()(n E r AB r A r ==≥ 另一方面, n A r ≤)(显然成立, 所以必有 .)(n A r = 从而A 的列向量组线性无关. 3. 设向量组321,,ααα线性相关,向量组432,,ααα线性无关,问:(1)1α能否用32,αα线性表示?(2) 4α能否用321,,ααα线性表示?解: (1) 由向量组432,,ααα线性无关可知32,αα线性无关,而321,,ααα线性相关,故必有1α可用32,αα线性表示. (2) 若4α能由321,,ααα线性表示,由(1)结果知4α应能由32,αα线性表示,这与432,,ααα线性无关矛盾.所以4α不能由321,,ααα线性表示.4.设);,,2,1(),,,(21n r r i a a a Tin i i i <== α是n 维实向量,且r ααα,,,21 线性无关. 已知T n b b b ),,,(21 =β是线性方程组⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+++=+++=+++0 (00)221122221211212111n rn r r n n n n x a x a x a x a x a x a x a x a x a的非零解向量,试判断向量组βααα,,,,21r 的线性关系.解: 设有一组数k k k k r ,,,,21 使得 02211=++++βαααk k k k r r 成立.因为T n b b b ),,,(21 =β是线性方程组⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+++=+++=+++0.............................00221122221211212111n rn r r n n n n x a x a x a x a x a x a x a x a x a 的解,且0≠β,所以有: ),,,2,1(0r i Ti==βα即: ),,,2,1(0r i i T ==αβ因此,在02211=++++βαααk k k k r r 两侧同乘Tβ得 02211=++++ββαβαβαβT r T r T T k k k k ,即:0=ββTk .但0≠ββT ,故必有0=k .从而由02211=++++βαααk k k k r r 得 02211=+++r r k k k ααα . r ααα,,,21 线性无关,所以有: 021====r k k k .因此, 向量组βααα,,,,21r 的线性无关. 5.设有向量组T T T T p p ),10,6,2(,)2,1,2,3(,)1,5,3,1(,)3,1,1,1(4321--=+-=--==αααα,(1) p 为何值时,向量组线性无关,并将T)10,6,1,4(=α用该向量组线性表示; (2) p 为何值时,向量组线性相关,求向量组的秩和一个极大无关组.解(1)用矩阵的初等行变换.将ααααα,,,,4321按列构造矩阵如下⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--------→⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-+--------→⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+-----p p p p p p 12000101003412042311267402124603412042311102136101511623142311故p ≠2时,,4),,,(4321=ααααr 向量组4321,,,αααα线性无关.若设44332211αααααx x x x +++=, 对以上阶梯形矩阵对应线性方程组求解得⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧--==--==23124324321p p x x p p x x(2) p =2时,,3),,,(4321=ααααr 向量组4321,,,αααα线性相关.因为,3),,(321=αααr 即321,,ααα线性无关,所以321,,ααα为一极大无关组.6.设),5,3,1,1(),9,4,2,1(),1,2,1,1(),5,3,1,1(),3,2,0,1(4321+=+=+-===b a a βαααα(1) b a ,为何值时,β不能由4321,,,αααα线性表示;(2) b a ,为何值时,β能由4321,,,αααα唯一线性表示,写出线性表示式.解:对矩阵)(4321βαααα施行初等变换:⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛++-→⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+++-010000100121101111158153342321211011111a b a a b a(1) a =-1,b ≠0时,r(A )=2≠r(B A |)=3, β不能由4321,,,αααα线性表示;(2) a ≠-1时, r(A )=r(B A |)=4, β能由4321,,,αααα唯一线性表示,进一步计算得线性表示式为32111112αααβ+++++++-=a ba b a a b 7.设向量),,,,1(,)4,1,1(,),3,1,2(,)10,2,(321c b a TT T =-=-==βααα 试问c b a ,,满足什么条件时, (1)β可由321,,ααα线性表示,且表示唯一?(2) β不能由321,,ααα线性表示?(3) β可由321,,ααα线性表示,但表示不唯一?并求出一般表示式.解: 设有一组数321,,k k k ,使得βααα=++332211k k k ,其对应的线性方程组为 ⎪⎩⎪⎨⎧=++=++=--ck k k b k k k k k ak 3213213214310212该方程组的系数行列式为 4451011212--=--=a a A(1)当4-≠a 时,,0||≠A 方程组有唯一解, β可由321,,ααα线性表示,且表示唯一.(2)当4-=a 时,对增广矩阵进行初等变换:.1301210101245101121124⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+-+--→⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---=c b b b c b A若,13≠-c b 则),()(A r A r ≠方程组无解, β不能由321,,ααα线性表示.(3)当4-=a 且13=-c b 时, ,32)()(<==A r A r 方程组有无穷多解.β可由321,,ααα线性表示,但表示不唯一.进一步求解得:t b k b t k t k (12,12,321+=---==为任意常数).所以,有 .)12()12(321αααβ++++-=b b t t从而133221,,αααααα+++也是该方程组的一个基础解系.8.对于线性方程组 ⎪⎩⎪⎨⎧-=++-=++-=++223321321321x x x x x x x x x λλλλ讨论λ取何值时,方程组无解,有唯一解和有无穷多解.在方程组有无穷多解时,试用其导出组的基础解系表示全部解.解: 对方程组的增广矩阵施行初等行变换:⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--+----→⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛------→⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---=)1(3)1)(2(010110211)1(311101102112112113112λλλλλλλλλλλλλλλλA所以:(1) 当12≠-≠λλ且时, ,3)()(==A r A r 方程组有唯一解; (2) 当2-=λ时,,3)(2)(=<=A r A r 方程组无解; (3) 当1=λ时, ,31)()(<==A r A r 方程组有无穷解;这时,增广矩阵化为⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-→00000002111A ,对应的线性方程组为:3212x x x ---=,令032==x x 得方程组的一个特解为:.)0,0,2(0T-=η导出组对应的线性方程组为:321x x x --=,分别令⎩⎨⎧==⎩⎨⎧==10,013232x x x x 得导出组的一个基础解系为:.)1,0,1(,)0,1,1(21TT -=-=ξξ 所以,方程组的全部解为:2122110,(k k k k ξξηη++=为任意常数).9.已知线性方程组 ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=----=+++-=+-+=+-+tx x x x x px x x x x x x x x x x 4321432143214321617231462032,讨论t p ,取何值时,方程组有解,无解;有解时,试用其导出组的基础解系表示通解.解: 对方程组的增广矩阵施行初等行变换:⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛++--→⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-------=20000008001221011401161117231461203211t p t p A所以,(1) 当2-≠t 时,)()(A r A r ≠,方程组无解; (2) 当2-=t 时,)()(A r A r =,方程组有解; 若8,2-=-=p t 得方程组的通解为2121,(,)1,0,2,1()0,1,2,4()0,0,1,1(k k k k T T T --+-+-=η为任意常数).若8,2-≠-=p t 得方程组的通解为k k T T (,)0,1,2,1()0,0,1,1(--+-=η为任意常数).10.设有方程组⎪⎩⎪⎨⎧=++=++=++000322212321321x c x b x a cx bx ax x x x (1) c b a ,,满足何关系时,方程组仅有零解;(2) c b a ,,满足何关系时,方程组有无穷解,并用基础解系表示全部解.解:⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛----→⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛))((000111111222a c b c a c a b c b a c b a (1) c b a ,,互不相等时,r(A )=n=3,方程组有唯一零解;(2) b c a ≠=时,通解为 k(1,0,-1); c b a ≠=时,通解为 k(1,-1,0); a c b ≠=时,通解为 k(0,1,-1).11.设B 为三阶非零矩阵,其行向量满足方程组⎪⎩⎪⎨⎧=-+=+-=-+0302022321321321x x x x x x x x x λ,(1) 求λ;(2)证明|B |=0.解:由题意得方程组有非零解,故系数行列式为零,即,011312221=---λ解得 1=λ.另一方面,当1=λ时,r(A )=2,线性方程组基础解系包含一个向量, 所以,r(B )=1,从而|B |=0.12.设有方程组⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=++=++=++=++34324241333232313232222131321211a x a x a x a x a x a x a x a x a x a x a x a x(1) 若)4,3,2,1(=i a i 两两不等,则方程组无解;(2) 若)1,1,1(),1,1,1(),0(,214231-=-=≠-====ββk k a a k a a 为方程组的解,求其通解.解(1)增广矩阵行列式为范得蒙行列式,故,0)(41≠-=∏≤<≤j i j ia aD增广矩阵的秩为4,而系数矩阵的秩≤3,所以,方程组无解.(2)若),0(,4231≠-====k k a a k a a 原方程等价于方程组⎪⎩⎪⎨⎧-=+-=++3322133221k x k kx x k x k kx x系数矩阵的秩为2,故导出组基础解系仅含一个向量为,21ββ-取方程组的特解为,1β 方程组的通解为: k k k )(2,0,2()1,1,1()(211-+-=-+βββ为任意常数).13.设有两方程组⎪⎩⎪⎨⎧+-=--=---=--+⎪⎩⎪⎨⎧=---=----=-+111253314624343143213214321421t x x x x nx x x m x x x x x x x x x x x x (II)(I)(1) 求方程(I)的通解;(2) t n m ,,为何值时,(II)与(I)同解.解: (1)对(I)的增广矩阵初等行变换:⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛------→521041010210011A得通解为 .)1,2,1,1()0,5,4,2(TTk X +---=(2)将(I)的通解Tk k k k X ),25,4,2(+-+-+-=代入(II)中各方程: 代入第一个方程得: 0)4)(2(=+--k m ,k 为任意实数,故m =2.类似可得: n =4,t =6.将m =2, n =4, t =6代入方程(II),得方程组⎪⎩⎪⎨⎧-=--=---=--+5112452434314321x x x x x x x x x对增广矩阵初等行变换:⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛------→5210041010210012A与(I)的增广矩阵变化结果一样,所以,(I)与(II)同解.14.设有四元线性方程组(I)⎩⎨⎧=-=+004221x x x x ,另有方程组(II)的通解为 )1,2,2,1()0,1,1,0(21-+k k ,(1) 求(I)的基础解系;(2) 判断(I)和(II)有无公共非零解,若有,求其公共非零解. 解:(1) 方程组(I)的系数的秩为2,自由未知量有两个为43,x x ,令⎩⎨⎧==⎩⎨⎧==01,104343x x x x 代入方程得基础解系为: (-1,1,0,1)和(0,0,1,0).(2)将两方程组基础解系以列排成矩阵,进行初等行变换:()⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛→⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--=10101001110000001010210121101010,,,4321αααα,从而,3214αααα++=.即: 4321αααα+-=+,其中21αα+为(I)的解,43αα+-为(II)的解,所以,两方程组有公共非零解,全部公共解为k(43αα+-)=k(-1,1,1,1).(k 为任意常数).15.设线性方程组(I)⎪⎩⎪⎨⎧=++=++0.........................02211221111n n n n n n x a x a x a x a 的一个基础解系为),,1(),,,(21n j b b n j j =,写出(II)⎪⎩⎪⎨⎧=++=++0.........................02211221111n n n n n n y b y b y b y b 的通解.解: ),,1(),,,(21n j b b n j j =为方程(I)的一个基础解系,故满足方程组,代入(I)得:⎪⎩⎪⎨⎧=++=++0.........................2211221111n j n n j n n j n j b a b a b a b a ),,1(n j =, 这表明),,1(),,,(21n i a a n i i =为方程组(II)的解.方程(I)的一个基础解系包含n 个向量,所以(I)的系数矩阵的秩为n,从而),,1(),,,(21n i a a n i i =线性无关. 另一方面, 方程(II)的的系数矩阵B 的秩为n, 故(II)的基础解系应包含n 个向量,所以 ),,1(),,,(21n i a a n i i =为(II)的一个基础解系.方程组(II)的通解为∑=ni n i i ika ak 121),,,( 为任意常数. 四.证明题1. 设A 是m n ⨯矩阵,B 是n m ⨯矩阵,其中m n <,若E AB =,证明B 的列向量组线性无关. 证明: ,)()()(n E r AB r B r ==≥另一方面, B 是n m ⨯矩阵,所以,),min()(n n m B r ≤≤ 综合即有 ,)(n B r =因此B 的n 个列向量线性无关,亦即B 的列向量组线性无关.2. 设ξξξ,TE A -=是n 维向量,证明: (1);12=⇔=ξξTA A(2)当1=ξξT时,A 不可逆.证明: (1) TT T T T T T E E E E A ξξξξξξξξξξξξξξ)2()(2))((2--=+-=--=由A A =2得 T T E ξξξξ)2(--=T E ξξ-所以必有 ,12=-ξξT 即 .1=ξξT(2) 由(1)得当1=ξξT 时, A A =2. 若A 可逆,则,02=-A A 即0)(=-E A A 从而必有 ,0=-E A 亦即.E A =又因为T E A ξξ-=,所以必有0=ξξT,与1=ξξT 矛盾.因此应有A 不可逆. 3. 证明n 维列向量组n ααα,,,21 线性无关的充要条件为:.. (2)12221212111≠=nT n T n T n n T T T n T T T D αααααααααααααααααα证明: 设),(21n A ααα =则n ααα,,,21 线性无关的充要条件为.0||≠A另一方面,A A D T =, 从而2||||||A A A D T ==,0||≠D 的充要条件为.0||≠A所以应有 n ααα,,,21 线性无关的充要条件为0||≠D .4. 设有向量组(I)321,,ααα,(II) ,,,,4321αααα(III) ,,,,5321αααα且r(I)=r(II)=3,r(III)=4,证明: 45321,,,ααααα-线性无关.证明: 设,0)(454332211=-+++αααααk k k k由r(I)=r(II)=3得4α可由321,,ααα唯一线性表示,设为 3322114ααααl l l ++=,代入得,0)()()(54343324221411=+-+-+-ααααk k l k k l k k l k 因为,,,,5321αααα线性无关,所以,04433422411==-=-=-k k l k k l k k l k 从而04321====k k k k ,得证. 5.对n 阶方阵A ,若存在正整数k 使得0=αk A ,且01≠-αk A .证明向量组ααα1,,,-k A A 线性无关.证明: 设01110=+++--αααk k A t A t t 上式两侧同乘以1-k A:0)(11101=+++---αααk k k A t A t t A即0)1(21110=+++---αααk k k k A t A t A t 由0=αk A 得 0)1(21====-+αααk k k AA A 所以应有 01=-αk A t 而01≠-αk A ,从而必有00=t . 因此有 0111=++--ααk k A t A t 同理上式两侧同乘以2-k A 得 01=t .类似可得012===-k t t所以向量组ααα1,,,-k A A 线性无关性得证. 6.设321,,ααα为齐次线性方程组0=AX 的一个基础解系. 证明: 133221,,αααααα+++也是该方程组的一个基础解系.证明: 因为)3,2,1(0==i A i α,所以, 0)(2121=+=+ααααA A A .即: 21αα+为方程组0=AX 的一个解.同理可得: 1332,αααα++也是方程组0=AX 的解. 以下只需证明133221,,αααααα+++的线性无关性.设0)()()(133322211=+++++ααααααk k k ,整理得:0)()()(332221131=+++++αααk k k k k k因为321,,ααα线性无关,所以必有0322131=+=+=+k k k k k k 解得: 0321===k k k即: 321,,ααα线性无关.7.设t ααα,,,21 是齐次线性方程组0=AX 的一个基础解系,0≠βA . 证明t αβαβαββ+++,,,,21 线性无关.证明: 设0)()()(22110=+++++++t t k k k k αβαβαββ其中t j k j ,2,1(=)为任意实数.则)(22110=++++∑=t t tj j k k k k αααβ (*)上式两侧同乘以A 得 0)(22110=++++∑=t t tj j A k A k A k A k αααβ因为t ααα,,,21 是齐次线性方程组0=AX 的一个基础解系,所以应有021====t A A A ααα .从而)(0=∑=tj j A k β而0≠βA ,所以必有 0=∑=tj jk代入(*)得02211=+++t t k k k ααα由t ααα,,,21 线性无关得 021====t k k k 又由0=∑=tj jk得00=k所以必有t αβαβαββ+++,,,,21 线性无关.。