第22讲 矩形、菱形和正方形
矩形菱形正方形讲义
特殊平行四边形第一节 矩形定义：有一个角是直角的平行四边形叫做矩形，也说是长方形。
矩形性质⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧=为矩形长宽）、（面积公式轴对称图形；既是中心对称图形又是两条对角线相等；四个角为直角；有平行四边形性质；b a ab S矩形判定⎪⎩⎪⎨⎧形；对角线相等的平行四边；三个角为直角的四边形形；有一个直角的平行四边【重点内容】①具有的一切性质； ②内角都是直角； ③对角线相等； ④全等三角形的个数；⑤等腰三角形的个数； ⑥对称轴的条数； ⑦斜边中线定理； ⑧平方等式；⑨两种面积计算方法； ⑩有一个直角的→矩形；⑾有三个直角的四边形→矩形； ⑿对角线相等的→矩形.【典型例题】1、矩形具有而平行四边形不具有的性质为（ ）A ．对角线相等B ．对角相等C ．对角线互相平分D ．对边相等2、（2015春•南京校级月考）下列说法：①矩形是轴对称图形，两条对角线所在的直线是它的对称轴；②两条对角线相等的四边形是矩形；③有两个角相等的平行四边形是矩形；④两条对角线相等且互相平分的四边形是矩形；⑤两条对角线互相垂直平分的四边形是矩形．其中，正确的有（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个3、如图，已知矩形ABCD 的两条对角线相交于O ，︒=∠120AOD ，AB=4cm ，求此矩形的面积。
4、如果平行四边形四个内角的平分线能够围成一个四边形，那么这个四边形是矩形．5、（2015•南平）如图，矩形ABCD 中，AC 与BD 交于点O ，BE ⊥AC ，CF ⊥BD ，垂足分别为E ，F ． 求证：BE=CF ．6、（2015•湘西州）如图，在▱ABCD 中，DE ⊥AB ，BF ⊥CD ，垂足分别为E ，F ． （1）求证：△ADE ≌△CBF ；（2）求证：四边形BFDE 为矩形．AOD巩固训练1、平行四边形没有而矩形具有的性质是（ ） A 、对角线相等B 、对角线互相垂直C 、对角线互相平分D 、对角相等 2、矩形各内角平分线所围成的四边形是（ ）A 、矩形B 、平行四边形C 、正方形D 、菱形3、（2015•甘州区校级模拟）在数学活动课上，老师和同学们判断一个四边形门框是否为矩形，下面是一个学习小组拟定的方案，其中正确的是（ ） A ．测量对角线是否相互平分 B ．测量两组对边是否分别相等 C ．测量对角线是否相等 D ．测量其中三个角是否都为直角4、顺次连结四边形ABCD 各边的中点，得到四边形EFGH ，可使四边形EFGH 为矩形的是（ ） A 、CD AB =B 、BD AC =C 、BD AC ⊥D 、AD//BC5、若矩形的对角线长为4cm ，一条边长为2cm ，则此矩形的面积为（ ）A ．83cm 2B ．43cm 2C ．23cm 2D ．8cm26、矩形ABCD 的周长为56，对角线AC ，BD 交于点O ，△ABO 与△BCO 的周长差为4，•则AB 的长是（ ）A ．12B ．22C ．16D ．267、（2015•宁化县模拟）如图，平行四边形ABCD 的对角线相交于点O ，请你添加一个条件 ．（只添一个即可），使平行四边形ABCD 是矩形．8、矩形的两条对角线的交角之一是︒60，矩形较短的边与一条对角线长度之和为12cm ，则对角线的长为 ，较短的边的长为 ，较长的边的长为 。
几种特殊的平行四边形：矩形、菱形、正方形
【本讲教育信息】一. 教学内容：几种特殊的平行四边形：矩形、菱形、正方形［目标］1. 理解矩形、菱形的定义与性质。
2. 掌握矩形、菱形的判定方法。
二. 重点、难点：1. 矩形、菱形性质的综合应用。
特别是菱形性质和直角三角形的知识的综合应用。
2. 矩形、菱形的判定方法的综合应用。
三. 知识要点：1. 矩形（1）矩形的概念有一个角是直角的平行四边形叫矩形。
（2）矩形的特殊性质①矩形的对角线相等②矩形四个角都是直角（3）矩形性质的应用①矩形的一条对角线将矩形分成2个全等的直角三角形；②矩形的2条对角线将矩形分成4个等腰三角形；③有关矩形的问题往往可以化为直角三角形或等腰三角形的问题来解决；④矩形的面积计算公式：（4）矩形的判定条件①有三个角是直角的四边形是矩形②对角线相等的平行四边形是矩形注意：1）在判定四边形是矩形的条件中，平行四边形的概念是最基本的条件，其他的判定条件都是以它为基础的。
2）四边形只要有3个角是直角，那么根据多边形内角和性质，第四个角也一定是直角。
（在判定四边形是矩形的条件中，给出“有3个角是直角”的条件，是因为数学结论的表述中一般不给出多余条件。
）3）将两个判定条件比较，后者的条件中，除了“有3个角是直角”的条件外，只要求是“四边形”，而前者的条件却包括“平行四边形”和“两条对角线相等”两个方面。
4）矩形的判定与性质的区别2. 菱形（1）菱形的概念有一组邻边相等的平行四边形叫菱形。
（2）菱形的特殊性质①菱形的四条边都相等②菱形的对角线相互垂直，且每一条对角线平分一组对角（3）菱形性质的应用由于菱形的对角线互相垂直平分，菱形的2条对角线就将菱形分成了四个全等的直角三角形，结合图形向学生介绍菱形的一个面积计算公式。
的一半思考归纳：计算菱形的面积有哪些方法？（4）菱形的判定条件①四边都相等的四边形是菱形；②对角线互相垂直的平行四边形是菱形（5）四边形、平行四边形、菱形之间的关系如图：【典型例题】例1. 等边三角形、矩形、菱形和圆中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（）A. 等边三角形和圆B. 等边三角形、矩形、菱形C. 菱形、矩形和圆D. 等边三角形、菱形、矩形和圆分析：因为等边三角形是轴对称图形而不是中心对称图形，明确了这一点，就很容易排除A、B、D，只选C了解：菱形、矩形、圆这三种图形，都是轴对称图形，且又都是中心对称图形，故选C。
矩形、菱形、正方形的性质及判定(四边形)
矩形、菱形、正方形的性质及判定一、知识提要1.矩形定义有一个角是直角的平行四边形叫做矩形；性质①矩形的四个角都是直角；②矩形的对角线相等.判定①有一个角是直角的平行四边形叫做矩形；②对角线相等的平行四边形是矩形；③有三个角是直角的四边形是矩形.2.直角三角形斜边的中线等于斜边长的一半.3.菱形定义有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形.性质①菱形的四条边都相等；②菱形的两条对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角.判定①有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形；②对角线互相垂直的平行四边形是菱形；③四边相等的四边形是菱形.4.菱形的面积等于对角线乘积的一半.5.正方形定义四条边都相等、四个角都是直角的四边形是正方形.性质正方形拥有平行四边形、矩形、菱形的所有性质；判定①由一个角是直角的菱形是正方形；②有一组邻边相等的矩形是正方形.二、精讲精练1.矩形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，则边与对角线组成的直角三角形的个数是________.2.（2011浙江）如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD交于点O．已知∠AOB= 60°，AC=16，则图中长度为8的线段有( ) A．2条B．4条ODC BA60°C ．5条D ．6条3. 矩形ABCD 中，AB =2BC ，E 为CD 上一点，且AE =AB ，则∠BEC = ___.4. 已知矩形ABCD ，若它的宽扩大2倍，且它的长缩小四分之一，那么新矩形的面积等于原矩形ABCD 面积的__________．5. （2011四川）下列关于矩形的说法中正确的是（ ）A ．对角线相等的四边形是矩形B ．对角线互相平分的四边形是矩形C ．矩形的对角线互相垂直且平分D ．矩形的对角线相等且互相平分6. （2011江苏）在四边形ABCD 中，AB=DC ，AD=BC .请再添加一个条件，使四边形ABCD 是矩形.你添加的条件是_______________(写出一种即可) 7. （2011山东）如图，△ABC 中，AC 的垂直平分线分别交AC 、AB 于点D 、F ，BE ⊥DF 交DF 的延长线于点E ，已知∠A =30°，BC =2，AF =BF ，则四边形BCDE 的面积是（ ）A ．23B ．33C ．4D ．438. 如图，将□ABCD 的边DC 延长到点E ，使CE =DC ，连接AE ，交BC 于点F ．（1）求证：△ABF ≌△ECF（2）若∠AFC =2∠D ，连接AC 、BE ．求证：四边形ABEC 是矩形．9. （2011江苏）在菱形ABCD 中，AB=5cm ，则此菱形的周长为（ ）A. 5cmB. 15cmC. 20cmD. 25cm10. （2011河北）如图，已知菱形ABCD ，其顶点A ，B 在数轴对应的数分别为-4和1，则BC =_______．EFDCBAD CBAHFGE ADBC11. 菱形的一边与两条对角线夹角的差是20°，则菱形的各角的度数为___________．12. (2011重庆)如图,菱形ABCD 的对角线AC 、BD 相交于点O ，且AC =8，BD =6，过点O 作OH ⊥AB ，垂足为H ，则点O 到边AB 的距离OH =_________．13. 已知菱形周长是24cm ，一个内角为60°，则菱形的面积为＿_____.14. 菱形ABCD 中，AE ⊥BC 于E ，若S 菱形ABCD =24cm 2，则AE =6cm ，则菱形ABCD的边长为_______.15. （2011山东）已知一个菱形的周长是20cm ，两条对角线的比是4:3，则这个菱形的面积是（ ）A ．12cm 2B ． 24cm 2C ． 48cm 2D ． 96cm 2 16. 菱形有____条对称轴，对称轴之间具有________的位置关系． 17. 菱形具有而一般平行四边形不具有的性质是( )A ．两组对边分别平行B ．两组对边分别相等C ．一组邻边相等D ．对角线相互平分18. （2011四川）如图，点E 、F 、G 、H 分别是任意四边形ABCD 中AD 、BD 、BC 、CA 的中点，当四边形ABCD 的边至少满足__________条件时，四边形EFGH 是菱形.19. （2011浙江）如图，在□ABCD 中，E 、F 分别为边AB 、CD 的中点，BD 是对角线，过点A 作AG ∥DB 交CB 的延长线于点G ． （1）求证：DE ∥BF ；（2）若∠G =90°，求证：四边形DEBF 是菱形．F E B C A D 20. （2011湖州）如图，已知E 、F 分别是□ABCD 的边BC 、AD 上的点，且BE =DF . （1）求证：四边形AECF 是平行四边形；（2）若BC =10， BAC =90，且四边形AECF 是菱形，求BE 的长.21. （2011湖南）下列四边形中，对角线相等且互相垂直平分的是（ ） A.平行四边形 B.正方形 C.等腰梯形 D.矩形22. 有一组邻边_______并且有一个角是________的平行四边形，叫做正方形． 23. （2010湖北）已知正方形ABCD ，以CD 为边作等边△CDE ，则∠AED 的度数是 .24. 已知正方形ABCD 中，AC ，BD 交于点O ，OE ⊥BC 于E ，若OE =2，则正方形的面积为____．25. 如图，已知，正方形ABCD 的对角线交于O ，过O 点作OE ⊥OF ，分别交AB 、BC 于E 、F ，若AE =4，CF =3，则EF 等于（ ）A ．7B ．5C ．4D ．326. （2011贵州）如图，点E 是正方形ABCD 内一点，△CDE 是等边三角形，连接EB 、EA ，延长BE 交边AD 于点F . （1）求证: △ADE ≌△BCE ； （2）求∠AFB 的度数.FED CBA FE ODCBA三、测试提高【板块一】菱形的性质1. 若菱形两邻角的比为1:2，周长为24 cm ，则较短对角线的长为_____． 【板块二】菱形的判定2. （2011湖南）如图，小聪在作线段AB 的垂直平分线时，他是这样操作的：分别以A 和B 为圆心，大于12AB 的长为半径画弧，两弧相交于C 、D ，则直线CD 即为所求．根据他的作图方法可知四边形ADBC 一定是（ ） A ．矩形B ．菱形C ．正方形D ．等腰梯形 3. （2011湖北）顺次连接四边形ABCD 各边的中点所得四边形是菱形，则四边形ABCD 一定是（ ） A.菱形 B.对角线互相垂直的四边形C.矩形D.对角线相等的四边形【板块三】菱形余矩形的性质4. （2011江苏）菱形具有而矩形不一定具有的性质是（ ）A ．对角线互相垂直B ．对角线相等C ．对角线互相平分D ．对角互补 【板块四】特殊四边形的判定5. 下列命题中，正确命题是( )A ．两条对角线相等的四边形是平行四边形；B ．两条对角线相等且互相垂直的四边形是矩形；C ．两条对角线互相垂直平分的四边形是菱形；D ．两条对角线平分且相等的四边形是正方形；四、课后作业1. 矩形ABCD 中，对角线AC ，BD 相交于点O ，∠AOB =60°，若BD =10 cm ，则AD =_____．2. 矩形周长为72cm ，一边中点与对边两个端点连线的夹角为直角，此矩形的长边为_______.3. 矩形的边长为10和15，其中一个内角平分线分长边为两部分，这两部分的长度分别为_________.4. 过矩形ABCD 的顶点D ，作对角线AC 的平行线交BA 的延长线于E ，则△DEB 是( ).A ． 不等边三角形B ． 等腰三角形C ． 等边三角形D ． 等腰直角三角形BACD5. 矩形ABCD 的对角线AC 的垂直平分线与边AD ，BC 分别交于E ，F ，则四边形AFCE 是___________．6. 菱形一个内角为120°，平分这个内角的一条对角线长12 cm ，则菱形的周长为_____．7. 若菱形两条对角线长分别为6 cm 和8 cm ，则它的周长是________，面积是_______．8. 菱形的一个角是60°，边长是8 cm ，那么菱形的两条对角线的长分别是_________．9. 已知菱形的一条对角线与边长相等，则菱形的邻角度数分别为_____. 10. 在菱形ABCD 中，AE ⊥BC ， AF ⊥CD ，且BE =EC ， CF =FD ，则∠AEF 等于_______.11. 如图，小华剪了两条宽为2的纸条，交叉叠放在一起，且它们交角为45°，则它们重叠部分的面积为（ ）. A.22 B.1 C.332 D.2 12. （2011广东）如图，两条笔直的公路1l 、2l 相交于点O ，村庄C 的村民在公路的旁边建三个加工厂A 、B 、D ，已知AB =BC =CD =DA =5公里，村庄C 到公路1l 的距离为4公里，则村庄C 到公路2l 的距离是（ ）. A ．3公里 B ．4公里C ．5公里D ．6公里13. 正方形的对角线__________且_________，每条对角线平分_____． 14. 如图，AC 是菱形ABCD 的对角线，点E 、F 分别在边AB 、AD 上，且AE =AF ． 求证：△ACE ≌△ACF ．FE BCDA15. （2011山东）如图，在平行四边形ABCD 中，对角线AC 、BD 相交于点O ，过点O 作直线EF ⊥BD ，分别交AD 、BC 于点E 和点F ，求证：四边形BEDF 是菱形．OFEDCBA。
第5章第22讲矩形菱形和正方形
∵四边形 BFDE 为菱形，∴BE＝ED，∠EBD＝∠FBD＝∠ABE， ∵四边形 ABCD 是矩形，∴AD＝BC，∠ABC＝90°， ∴∠ABE＝30°，∵∠A＝90°，AB＝2，∴AE＝ 23＝23 3， BF＝BE＝2AE＝43 3，∴菱形 BFDE 的面积为43 3×2＝8 3 3
(1)求证：EF∥AC； ∵四边形ABCD是正方形，∴AD∥BF，∵AE＝CF，
∴四边形ACFE是平行四边形，∴EF∥AC
(2)求∠BEF的大小．
连结 BG，∵EF∥AC，∴∠F＝∠ACB＝45°，∵∠GCF＝90°， ∴∠CGF＝∠F＝45°，∴CG＝CF，∵AE＝CF，∴AE＝CG，
在△BAE 与△BCG 中，A∠BB＝ABE＝ C，∠BCG＝90°，∴△BAE≌△ AE＝CG，
1．(2014·台州)如图，F是正方形ABCD的边CD上 的一个动点，BF的垂直平分线交对角线AC于点E， 连结BE，BF，则∠EBF的度数是( A)
A．45° B．50° C．60° D．不确定
2．(2013·金华)如图，四边形ABCD与四边形AEFG
都是菱形，其中点C在AF上， 点E，G分别在BC，
AE＝ 32＋（ 3）2＝2 3(cm)，∵M 为 AE 的中点，∴AM＝12AE＝
3cm，在 Rt△ADE 和 Rt△PNQ 中，AADE＝＝PPQN，，∴Rt△ADE≌Rt △PNQ(HL)，∴∠DAE＝∠NPQ＝30°，∵PN∥DC，∴∠PFA＝ ∠DEA＝60°，∴∠PMF＝90°，即 PM⊥AF，在 Rt△AMP 中，
是矩形？请说明理由． (2∵BH＝CH，EH＝FH，∴四边形BFCE是平行四边形，∵
中考专题复习——矩形菱形正方形
中考专题复习第二十一讲矩形菱形正方形【基础知识回顾】一、矩形：1、定义：有一个角是角的平行四边形叫做矩形2、矩形的性质：⑴矩形的四个角都⑵矩形的对角线3、矩形的判定：⑴用定义判定⑵有三个角是直角的是矩形⑶对角线相等的是矩形【名师提醒：1、矩形是对称图形，对称中心是，矩形又是对称图形，对称轴有条2、矩形被它的对角线分成四个全等的三角形和两对全等的三角形3、矩形中常见题目是对角线相交成600或1200角时，利用直角三角形、等边三角形等图形的性质解决问题】二、菱形：1、定义：有一组邻边的平行四边形叫做菱形2、菱形的性质：⑴菱形的四条边都⑵菱形的对角线且每条对角线3、菱形的判定：⑴用定义判定⑵对角线互相垂直的是菱形⑶四条边都相等的是菱形【名师提醒：1、菱形既是对称图形，也是对称图形，它有条对称轴，分别是2、菱形被对角线分成四个全等的三角形和两对全等的三角形3、菱形的面积可以用平行四边形面积公式计算，也可以用两对角线积的来计算4、菱形常见题目是内角为1200或600时，利用等边三角形或直角三角形的相关知识解决的题目】三、正方形：1、定义：有一组邻边相等的是正方形，或有一个角是直角的是正方形2、性质：⑴正方形四个角都都是角，⑵正方形四边条都⑶正方形两对角线、且每条对角线平分一组内角3、判定：⑴先证是矩形，再证⑵先证是菱形，再证【名师提醒：1、菱形、正方形具有平行四边形的所有性质，正方形具有以上特殊四边形的所有性质。
这四者之间的关系可表示为：2、正方形也既是对称图形，又是对称图形，有条对称轴3、几种特殊四边形的性质和判定都是从、、三个方面来看的，要注意它们的区别和联系】【重点考点例析】考点一：与矩形有关的折叠问题例1 （2016•泸州）如图，点E是矩形ABCD的边CD上一点，把△ADE沿AE对折，点D的对称点F恰好落在BC上，已知折痕AE=105cm，且tan∠EFC=34，那么该矩形的周长为（）A．72cm B．36cm C．20cmD．16cm对应训练1．（2016•湖州）如图，已知四边形ABCD是矩形，把矩形沿直线AC折叠，点B落在点E处，连接DE．若DE：AC=3：5，则ADAB的值为（）A．12B．33C．23D．22考点二：和菱形有关的对角线、周长、面积的计算问题例2 （2016•泉州）如图，菱形ABCD的周长为85，对角线AC和BD相交于点O，AC：BD=1：2，则AO：BO= ，菱形ABCD的面积S= ．对应训练2．（2016•凉山州）如图，菱形ABCD中，∠B=60°，AB=4，则以AC为边长的正方形ACEF的周长为（）A．14B．15C．1 D．17考点三：和正方形有关的证明题例3 （2016•湘潭）在数学活动课中，小辉将边长为2和3的两个正方形放置在直线l 上，如图1，他连结AD、CF，经测量发现AD=CF．（1）他将正方形ODEF绕O点逆时针旋转一定的角度，如图2，试判断AD与CF还相等吗？说明你的理由；（2）他将正方形ODEF绕O点逆时针旋转，使点E旋转至直线l上，如图3，请你求出CF的长．思路分析：（1）根据正方形的性质可得AO=CO ，OD=OF ，∠AOC=∠DOF=90°，然后求出∠AOD=∠COF ，再利用“边角边”证明△AOD 和△COF 全等，根据全等三角形对应边相等即可得证；（2）与（1）同理求出CF=AD ，连接DF 交OE 于G ，根据正方形的对角线互相垂直平分可得DF ⊥OE ，DG=OG=12OE ，再求出AG ，然后利用勾股定理列式计算即可求出AD ． 解：（1）AD=CF ．理由如下：在正方形ABCO 和正方形ODEF 中，AO=CO ，OD=OF ，∠AOC=∠DOF=90°， ∴∠AOC+∠COD=∠DOF+∠COD ，即∠AOD=∠COF ，在△AOD 和△COF 中，AO CO AOD COF OD OF =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△AOD ≌△COF （SAS ）， ∴AD=CF ；（2）与（1）同理求出CF=AD ，如图，连接DF 交OE 于G ，则DF ⊥OE ，DG=OG=12OE ，∵正方形ODEF 的边长为2，∴OE=2×2=2，∴DG=OG=12OE=12×2=1， ∴AG=AO+OG=3+1=4，在Rt △ADG 中，AD=22224117AG DG +=+=，∴CF=AD=17．点评：本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理的应用，（1）熟练掌握正方形的四条边都相等，四个角都是直角，对角线相等且互相垂直平分是解题的关键，（2）作辅助线构造出直角三角形是解题的关键．对应训练3．（2016•三明）如图①，在正方形ABCD 中，P 是对角线AC 上的一点，点E 在BC 的延长线上，且PE=PB ．（1）求证：△BCP≌△DCP；（2）求证：∠DPE=∠ABC；（3）把正方形ABCD改为菱形，其它条件不变（如图②），若∠ABC=58°，则∠DPE= 度．3．（1）证明：在正方形ABCD中，BC=DC，∠BCP=∠DCP=45°，∵在△BCP和△DCP中，BC DCBCP DCPPC PC=⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△BCP≌△DCP（SAS）；（2）证明：由（1）知，△BCP≌△DCP，∴∠CBP=∠CDP，∵PE=PB，∴∠CBP=∠E，∴∠DPE=∠DCE，∵∠1=∠2（对顶角相等），∴180°-∠1-∠CDP=180°-∠2-∠E，即∠DPE=∠DCE，∵AB∥CD，∴∠DCE=∠ABC，∴∠DPE=∠ABC；（3）解：与（2）同理可得：∠DPE=∠ABC，∵∠ABC=58°，∴∠DPE=58°．故答案为：58．考点四：四边形综合性题目例4 （2016•资阳）在一个边长为a（单位：cm）的正方形ABCD中，点E、M分别是线段AC，CD上的动点，连结DE并延长交正方形的边于点F，过点M作MN⊥DF于H，交AD于N．（1）如图1，当点M与点C重合，求证：DF=MN；（2）如图2，假设点M从点C出发，以1cm/s的速度沿CD向点D运动，点E同时从点A出发，以2cm/s速度沿AC向点C运动，运动时间为t（t＞0）；①判断命题“当点F是边AB中点时，则点M是边CD的三等分点”的真假，并说明理由．②连结FM、FN，△MNF能否为等腰三角形？若能，请写出a，t之间的关系；若不能，请说明理由．思路分析：（1）证明△ADF≌△DNC，即可得到DF=MN；易证△MND ∽△DFA，∴ND DMAF AD=，即ND a tat aa t-=-，得ND=t．∴ND=CM=t，AN=DM=a-t．若△MNF为等腰三角形，则可能有三种情形：（I）若FN=MN，则由AN=DM知△FAN≌△NDM，∴AF=DM，即ata t-=t，得t=0，不合题意．∴此种情形不存在；（II）若FN=FM，由MN⊥DF知，HN=HM，∴DN=DM=MC，∴t=12a，此时点F与点B重合；（III）若FM=MN，显然此时点F在BC边上，如下图所示：易得△MFC≌△NMD，∴FC=DM=a-t；又由△NDM∽△DCF，∴DN DCDM FC=，即t aa t FC=-，∴FC=()a a tt-．∴()a a tt-=a-t，∴t=a，此时点F与点C重合．综上所述，当t=a或t=12a时，△MNF能够成为等腰三角形．点评：本题是运动型几何综合题，考查了相似三角形、全等三角形、正方形、等腰三角形、命题证明等知识点．解题要点是：（1）明确动点的运动过程；（2）明确运动过程中，各组成线段、三角形之间的关系；（3）运用分类讨论的数学思想，避免漏解．对应训练4．（2016•营口）如图1，△ABC为等腰直角三角形，∠ACB=90°，F是AC边上的一个动点（点F与A、C不重合），以CF为一边在等腰直角三角形外作正方形CDEF，连接BF、AD．（1）①猜想图1中线段BF、AD的数量关系及所在直线的位置关系，直接写出结论；②将图1中的正方形CDEF，绕着点C按顺时针（或逆时针）方向旋转任意角度α，得到如图2、图3的情形．图2中BF交AC于点H，交AD于点O，请你判断①中得到的结论是否仍然成立，并选取图2证明你的判断．（2）将原题中的等腰直角三角形ABC改为直角三角形ABC，∠ACB=90°，正方形CDEF改为矩形CDEF，如图4，且AC=4，BC=3，CD=43，CF=1，BF交AC于点H，交AD于点O，连接BD、AF，求BD2+AF2的值．4．解：（1）①BF=AD ，BF ⊥AD ；②BF=AD ，BF ⊥AD 仍然成立，证明：∵△ABC 是等腰直角三角形，∠ACB=90°，∴AC=BC ，∵四边形CDEF 是正方形，∴CD=CF ，∠FCD=90°，∴∠ACB+∠ACF=∠FCD+∠ACF ，即∠BCF=∠ACD ，在△BCF 和△ACD 中BC ACBCF ACD CF CD=⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△BCF ≌△ACD （SAS ），∴BF=AD ，∠CBF=∠CAD ，又∵∠BHC=∠AHO ，∠CBH+∠BHC=90°，∴∠CAD+∠AHO=90°，∴∠AOH=90°，∴BF ⊥AD ；（2）证明：连接DF ，∵四边形CDEF 是矩形，∴∠FCD=90°，又∵∠ACB=90°，∴∠ACB=∠FCD∴∠ACB+∠ACF=∠FCD+∠ACF ，即∠BCF=∠ACD ，∵AC=4，BC=3，CD=43，CF=1，∴34BC CF AC CD ==，∴△BCF ∽△ACD ，∴∠CBF=∠CAD ，又∵∠BHC=∠AHO ，∠CBH+∠BHC=90°∴∠CAD+∠AHO=90°，∴∠AOH=90°，∴BF⊥AD，∴∠BOD=∠AOB=90°，∴BD2=OB2+OD2，AF2=OA2+OF2，AB2=OA2+OB2，DF2=OF2+OD2，∴BD2+AF2=OB2+OD2+OA2+OF2=AB2+DF2，∵在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=4，BC=3，∴AB2=AC2+BC2=32+42=25，∵在Rt△FCD中，∠FCD=90°，CD=43，CF=1，∴DF2=CD2+CF2=(43)2+12=259，∴BD2+AF2=AB2+DF2=25+259=2509．【聚焦山东中考】1．（2016•威海）如图，在△ABC中，∠ACB=90°，BC的垂直平分线EF交BC于点D，交AB于点E，且BE=BF，添加一个条件，仍不能证明四边形BECF为正方形的是（）A．BC=AC B．CF⊥BF C．BD=DF D．AC=BF2．（2016•枣庄）如图，在边长为2的正方形ABCD中，M为边AD的中点，延长MD至点E，使ME=MC，以DE为边作正方形DEFG，点G在边CD上，则DG的长为（）A．3-1B．3-5C．5+1D．5-13．（2016•临沂）如图，菱形ABCD中，AB=4，∠B=60°，AE⊥BC，AF⊥CD，垂足分别为E，F，连接EF，则△AEF的面积是．4．（2016•烟台）如图，正方形ABCD的边长为4，点E在BC上，四边形EFGB也是正方形，以B为圆心，BA长为半径画AC，连结AF，CF，则图中阴影部分面积为．5．（2016•济南）如图，在正方形ABCD中，边长为2的等边三角形AEF的顶点E、F分别在BC和CD上，下列结论：①CE=CF；②∠AEB=75°；③BE+DF=EF；④S正方形ABCD=2+3．其中正确的序号是（把你认为正确的都填上）．6．（2016•济宁）如图1，在正方形ABCD中，E、F分别是边AD、DC上的点，且AF⊥BE．（1）求证：AF=BE；（2）如图2，在正方形ABCD中，M、N、P、Q分别是边AB、BC、CD、DA上的点，且MP⊥NQ．MP与NQ是否相等？并说明理由．6．（1）证明：在正方形ABCD中，AB=AD，∠BAE=∠D=90°，∴∠DAF+∠BAF=90°，∵AF⊥BE，∴∠ABE+∠BAF=90°，∴∠ABE=∠DAF，∵在△ABE和△DAF中，ABE DAFAB ADBAE D∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩，∴△ABE≌△DAF（ASA），∴AF=BE；（2）解：MP与NQ相等．理由如下：如图，过点A作AF∥MP交CD于F，过点B作BE∥NQ交AD于E，则与（1）的情况完全相同．7．（2016•青岛）已知：如图，在矩形ABCD中，M，N分别是边AD、BC的中点，E，F分别是线段BM，CM的中点．（1）求证：△ABM ≌△DCM ；（2）判断四边形MENF 是什么特殊四边形，并证明你的结论；（3）当AD ：AB= 时，四边形MENF 是正方形（只写结论，不需证明）8．（2016•淄博）矩形纸片ABCD 中，AB=5，AD=4．（1）如图1，四边形MNEF 是在矩形纸片ABCD 中裁剪出的一个正方形．你能否在该矩形中裁剪出一个面积最大的正方形，最大面积是多少？说明理由；（2）请用矩形纸片ABCD 剪拼成一个面积最大的正方形．要求：在图2的矩形ABCD 中画出裁剪线，并在网格中画出用裁剪出的纸片拼成的正方形示意图（使正方形的顶点都在网格的格点上）．8．解：（1）正方形的最大面积是16．设AM =x （0≤x ≤4），则MD =4-x ．∵四边形MNEF 是正方形，∴MN =MF ，∠AMN +∠FMD =90°．∵∠AMN +∠ANM =90°，∴∠ANM =∠FMD ．∵在△ANM 和△DMF 中A D ANM FMD MN FM ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩， ∴△ANM ≌△DMF （AAS ）．∴DM =AN ．∴S 正方形MNEF =MN 2=AM 2+AN 2，=x2+（4-x）2，=2（x-2）2+8∵函数S正方形MNEF=2（x-2）2+8的开口向上，对称轴是x=2，在对称轴的左侧S随x的增大而减小，在对称轴的右侧S随x的增大而增大，∵0≤x≤4，∴当x=0或x=4时，正方形MNEF的面积最大．最大值是16．（2）先将矩形纸片ABCD分割成4个全等的直角三角形和两个矩形如图1，然后拼成如图2的正方形．9．（2016•济南）（1）如图1，已知△ABC，以AB、AC为边向△ABC外作等边△ABD和等边△ACE，连接BE，CD，请你完成图形，并证明：BE=CD；（尺规作图，不写做法，保留作图痕迹）；（2）如图2，已知△ABC，以AB、AC为边向外作正方形ABFD和正方形ACGE，连接BE，CD，BE与CD有什么数量关系？简单说明理由；（3）运用（1）、（2）解答中所积累的经验和知识，完成下题：如图3，要测量池塘两岸相对的两点B，E的距离，已经测得∠ABC=45°，∠CAE=90°，AB=BC=100米，AC=AE，求BE的长．9．解：（1）完成图形，如图所示：证明：∵△ABD和△ACE都是等边三角形，∴AD=AB，AC=AE，∠BAD=∠CAE=60°，∴∠BAD+∠BAC=∠CAE+∠BAC，即∠CAD=∠EAB，∵在△CAD和△EAB中，【备考真题过关】一、选择题1．（2016•铜仁地区）下列命题中，真命题是（）A．对角线相等的四边形是矩形B．对角线互相垂直的四边形是菱形C．对角线互相平分的四边形是平行四边形D．对角线互相垂直平分的四边形是正方形2．（2016•宜宾）矩形具有而菱形不具有的性质是（）A．两组对边分别平行B．对角线相等C．对角线互相平分D．两组对角分别相等3．（2013•随州）如图，在菱形ABCD中，∠BAD=120°．已知△ABC的周长是15，则菱形ABCD的周长是（）A．25B．20C．15D．104．（2016•重庆）如图，矩形纸片ABCD中，AB=6cm，BC=8cm，现将其沿AE对折，使得点B落在边AD上的点B1处，折痕与边BC交于点E，则CE的长为（）A．6cm B．4cm C．2cm D．1cm 5．（2016•南充）如图，把矩形ABCD沿EF翻折，点B恰好落在AD边的B′处，若AE=2，DE=6，∠EFB=60°，则矩形ABCD的面积是（）A．12B．24C．123D．1636．（2016•巴中）如图，菱形ABCD的两条对角线相交于O，若AC=6，BD=4，则菱形ABCD 的周长是（）A．24B．16C．43D．237（2016•茂名）如图，矩形ABCD的两条对角线相交于点O，∠AOD=60°，AD=2，则AC 的长是（）A．2B．4C．2 3D．438．（2016•成都）如图，将矩形ABCD沿对角线BD折叠，使点C和点C′重合，若AB=2，则C′D的长为（）A．1B．2C．3D．4 9．（2016•包头）如图，四边形ABCD和四边形AEFC是两个矩形，点B在EF边上，若矩形ABCD和矩形AEFC的面积分别是S1、S2的大小关系是（）A．S1＞S2B．S1=S2C．S1＜S2D．3S1=2S210．（2016•扬州）如图，在菱形ABCD中，∠BAD=80°，AB的垂直平分线交对角线AC 于点F，垂足为E，连接DF，则∠CDF等于（）A．50°B．60°C．70°D．80°11．（2016•绵阳）如图，四边形ABCD是菱形，对角线AC=8cm，BD=6cm，DH⊥AB于点H，且DH与AC交于G，则GH=（）A．2825cm B．2120cm C．2815cm D．2521cm12．（2016•雅安）如图，正方形ABCD中，点E、F分别在BC、CD上，△AEF是等边三角形，连接AC交EF于G，下列结论：①BE=DF，②∠DAF=15°，③AC垂直平分EF，④BE+DF=EF，⑤S△CEF=2S△ABE．其中正确结论有（）个．A．2B．3C．4D．5二、填空题13．（2016•宿迁）如图，一个平行四边形的活动框架，对角线是两根橡皮筋．若改变框架的形状，则∠α也随之变化，两条对角线长度也在发生改变．当∠α为------度时，两条对角线长度相等．14．（2016•淮安）若菱形的两条对角线分别为2和3，则此菱形的面积是．15．（2013•无锡）如图，菱形ABCD中，对角线AC交BD于O，AB=8，E是CD的中点，则OE的长等于．16．（2016•黔西南州）如图所示，菱形ABCD的边长为4，且AE⊥BC于E，AF⊥CD于F，∠B=60°，则菱形的面积为．17．（2016•攀枝花）如图，在菱形ABCD中，DE⊥AB于点E，cosA=35，BE=4，则tan ∠DBE的值是．18．（2016•南充）如图，正方形ABCD的边长为2，过点A作AE⊥AC，AE=1，连接BE，则tanE= ．19．（2016•苏州）如图，在矩形ABCD中，点E是边CD的中点，将△ADE沿AE折叠后得到△AFE，且点F在矩形ABCD内部．将AF延长交边BC于点G．若1CGGB k=，则ADAB=用含k的代数式表示）．20．（2016•哈尔滨）如图，矩形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，过点O作OE⊥AC交AB于E，若BC=4，△AOE的面积为5，则sin∠BOE的值为．21．（2016•北京）如图，O是矩形ABCD的对角线AC的中点，M是AD的中点．若AB=5，AD=12，则四边形ABOM的周长为．22．（2016•南京）如图，将菱形纸片ABCD折叠，使点A恰好落在菱形的对称中心O处，折痕为EF，若菱形ABCD的边长为2cm，∠A=120°，则EF= cm．23．（2016•舟山）如图，正方形ABCD的边长为3，点E，F分别在边AB、BC上，AE=BF=1，小球P从点E出发沿直线向点F运动，每当碰到正方形的边时反弹，反弹时反射角等于入射角．当小球P第一次碰到点E时，小球P所经过的路程为．24．（2016•桂林）如图，已知线段AB=10，AC=BD=2，点P是CD 上一动点，分别以AP 、PB 为边向上、向下作正方形APEF 和PHKB ，设正方形对角线的交点分别为O 1、O 2，当点P 从点C 运动到点D 时，线段O 1O 2中点G 的运动路径的长是 ．25．（2016•荆州）如图，将矩形ABCD 沿对角线AC 剪开，再把△ACD 沿CA 方向平移得到△A 1C 1D 1，连结AD 1、BC 1．若∠ACB=30°，AB=1，CC 1=x ，△ACD 与△A 1C 1D 1重叠部分的面积为s ，则下列结论：①△A 1AD 1≌△CC 1B ；②当x=1时，四边形ABC 1D 1是菱形；③当x=2时，△BDD 1为等边三角形；④s=38（x -2）2 （0＜x ＜2）； 其中正确的是 （填序号）．三、解答题26．（2016•南通）如图，AB=AC ，AD=AE ，DE=BC ，且∠BAD=∠CAE ．求证：四边形BCDE 是矩形．26．证明：∵∠BAD=∠CAE ，∴∠BAD -∠BAC=∠CAE -∠BAC ，∴∠BAE=∠CAD ，∵在△BAE 和△CAD 中AE AD BAE CAD AB AC =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△BAE ≌△CAD （SAS ）， ∴∠BEA=∠CDA ，BE=CD ，∵DE=BC ，∴四边形BCDE 是平行四边形，∵AE=AD ，∴∠AED=∠ADE ，∵∠BEA=∠CDA ，∴∠BED=∠CDE ，∵四边形BCDE 是平行四边形，∴BE ∥CD ，∴∠CDE+∠BED=180°，∴∠BED=∠CDE=90°，∴四边形BCDE 是矩形．27．（2016•广州）如图，四边形ABCD 是菱形，对角线AC 与BD相交于O ，AB=5，AO=4，求BD 的长．27．解：∵四边形ABCD 是菱形，对角线AC 与BD 相交于O ，∴AC ⊥BD ，DO=BO ，∵AB=5，AO=4，∴BO=2254-=3，∴BD=2BO=2×3=6．28．（2013•厦门）如图所示，在正方形ABCD 中，点G 是边BC 上任意一点，DE ⊥AG ，垂足为E ，延长DE 交AB 于点F ．在线段AG 上取点H ，使得AG=DE+HG ，连接BH ．求证：∠ABH=∠CDE ．28．证明：如图，在正方形ABCD 中，AB=AD ，∠ABG=∠DAF=90°，∵DE ⊥AG ，∴∠2+∠EAD=90°，又∵∠1+∠EAD=90°，∴∠1=∠2，在△ABG 和△DAF 中， 1 290AB AD ABG DAF =⎧⎪=⎨⎪∠=∠=︒⎩，∴△ABG ≌△DAF （ASA ），∴AF=BG ，AG=DF ，∠AFD=∠BGA ，∵AG=DE+HG ，AG=DE+EF ，∴EF=HG ，在△AEF 和△BHG 中，AF BG AFD BGA EF HG =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△AEF ≌△BHG （SAS ），∴∠1=∠3，∴∠2=∠3，∵∠2+∠CDE=∠ADC=90°，∠3+∠ABH=∠ABC=90°，∴∠ABH=∠CDE ．29．（2013•黔东南州）如图，在正方形ABCD 中，点M 是对角线BD 上的一点，过点M 作ME ∥CD 交BC 于点E ，作MF ∥BC 交CD 于点F ．求证：AM=EF ．29．证明：过M 点作MQ ⊥AD ，垂足为Q ，作MP 垂足AB ，垂足为P ，∵四边形ABCD 是正方形，∴四边形MFDQ 和四边形PBEM 是正方形，四边形APMQ 是矩形，∴AP=QM=DF=MF ，PM=PB=ME ，∵在△APM 和△FME 中，AP MF APM FME PM ME =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩， ∴△APM ≌△FME （SAS ）， ∴AM=EF ．30．（2016•铁岭）如图，△ABC 中，AB=AC ，AD 是△ABC 的角平分线，点O 为AB 的中点，连接DO 并延长到点E ，使OE=OD ，连接AE ，BE ．（1）求证：四边形AEBD 是矩形；（2）当△ABC 满足什么条件时，矩形AEBD 是正方形，并说明理由．30．（1）证明：∵点O 为AB 的中点，连接DO 并延长到点E ，使OE=OD ，∴四边形AEBD 是平行四边形，∵AB=AC ，AD 是△ABC 的角平分线，∴AD ⊥BC ，∴∠ADB=90°，∴平行四边形AEBD 是矩形；（2）当∠BAC=90°时，理由：∵∠BAC=90°，AB=AC ，AD 是△ABC 的角平分线，∴AD=BD=CD ，∵由（1）得四边形AEBD 是矩形，∴矩形AEBD 是正方形．31．（2016•南宁）如图，在菱形ABCD 中，AC 为对角线，点E 、F 分别是边BC 、AD 的中点．（1）求证：△ABE ≌△CDF ；（2）若∠B=60°，AB=4，求线段AE 的长．31．解：（1）∵四边形ABCD 是菱形，∴AB=BC=AD=CD ，∠B=∠D ，∵点E 、F 分别是边BC 、AD 的中点，∴BE=DF ，在△ABE 和△CDF 中，∵AB CD B D BE DF =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩， ∴△ABE ≌△CDF （SAS ）；（2）∵∠B=60°，∴△ABC 是等边三角形，∵点E 是边BC 的中点，∴AE ⊥BC ，在Rt △AEB 中，∠B=60°，AB=4，sin60°=4AE AE AB =， 解得AE=23．32．（2016•贵阳）已知：如图，在菱形ABCD 中，F 是BC 上任意一点，连接AF 交对角线BD 于点E ，连接EC ．（1）求证：AE=EC ；（2）当∠ABC=60°，∠CEF=60°时，点F 在线段BC 上的什么位置？说明理由．32．（1）证明：如图，连接AC ，∵BD 也是菱形ABCD 的对角线，∴BD 垂直平分AC ，∴AE=EC ；（2）解：点F 是线段BC 的中点．理由如下：在菱形ABCD 中，AB=BC ，又∵∠ABC=60°，∴△ABC 是等边三角形，∴∠BAC=60°，∵AE=EC ，∠CEF=60°，∴∠EAC=12∠BAC=30°， ∴AF 是△ABC 的角平分线，∵AF 交BC 于F ，∴AF 是△ABC 的BC 边上的中线，∴点F 是线段BC 的中点．33．（2016•曲靖）如图，点E 在正方形ABCD 的边AB 上，连接DE ，过点C 作CF ⊥DE 于F ，过点A 作AG ∥CF 交DE 于点G ．（1）求证：△DCF ≌△ADG ．（2）若点E 是AB 的中点，设∠DCF=α，求sinα的值．33．（1）证明：在正方形ABCD 中，AD=DC ，∠ADC=90°，∵CF ⊥DE ，∴∠CFD=∠CFG=90°，35．（2016•绥化）已知，在△ABC中，∠BAC=90°，∠ABC=45°，点D为直线BC上一动点（点D不与点B，C重合）．以AD为边做正方形ADEF，连接CF（1）如图1，当点D在线段BC上时．求证CF+CD=BC；（2）如图2，当点D在线段BC的延长线上时，其他条件不变，请直接写出CF，BC，CD 三条线段之间的关系；（3）如图3，当点D在线段BC的反向延长线上时，且点A，F分别在直线BC的两侧，其他条件不变；①请直接写出CF，BC，CD三条线段之间的关系；②若正方形ADEF的边长为22，对角线AE，DF相交于点O，连接OC．求OC的长度．35．证明：（1）∵∠BAC=90°，∠ABC=45°，线段PA绕点P逆时针旋转90°得到线段PE，在直线BA上取点F，使BF=BP，且点F与点E在BC同侧，连接EF，CF．（1）如图 ，当点P在CB延长线上时，求证：四边形PCFE是平行四边形；（2）如图 ，当点P在线段BC上时，四边形PCFE是否还是平行四边形，说明理由；（3）在（2）的条件下，四边形PCFE的面积是否有最大值？若有，请求出面积的最大值及此时BP长；若没有，请说明理由．36．解：（1）∵四边形ABCD是正方形，∴AB=BC，∠ABC=∠PBA=90°∵在△PBA和△FBC中，AB BCPBA ABCBP BF=⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△PBA≌△FBC（SAS），∴PA=FC，∠PAB=∠FCB．∵PA=PE，∴PE=FC．∵∠PAB+∠APB=90°，∴∠FCB+∠APB=90°．∵∠EPA=90°，∴∠APB+∠EPA+∠FPC=180°，即∠EPC+∠PCF=180°，∴EP∥FC，∴四边形EPCF是平行四边形；（2）结论：四边形EPCF是平行四边形，∵四边形ABCD是正方形，∴AB=BC，∠ABC=∠CBF=90°∵在△PBA和△FBC中，AB BCPBA ABCBP BF=⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△PBA≌△FBC（SAS），∴PA=FC，∠PAB=∠FCB．∵PA=PE，。
第22讲 菱形、矩形、正方形
一半.
菱形的性质和判别
◆中考指数:★★☆☆☆
1.菱形的性质： (1)菱形的对角线将菱形分成四个全等的直角三角形，可将 菱形的问题转化为直角三角形去解决. (2)有一个内角为60°(或120°)的菱形，连结对角线可构成 等边三角形，可将菱形问题转化到等边三角形中去解决. (3)巧用菱形的对称性可解决一些求线段和最小值的问题. 2.菱形的判别的两个思路： (1)若四边形为(或可证明为)平行四边形，则再证一组邻边 相等或对角线互相垂直. (2)若相等的边较多(或容易证出)时，可证四条边相等.
形的对角线相等且互相平分．
6.(2012·盐城中考)如图,在四边形ABCD中,已知AB∥DC,AB=DC. 在不添加任何辅助线的前提下,要想该四边形成为矩形,只需再
加上的一个条件是_______.(填上你认为正确的一个答案即可)
【解析】由题知四边形ABCD为平行四边形，再根据有一角为 90°的平行四边形为矩形可得结论. 答案：∠A=90°(或∠A=∠B或∠A+∠C=180°，答案不惟一)
1.(2012·长沙中考)如图，菱形ABCD中， 对角线AC与BD相交于点O，OE∥DC且交 BC于E，AD=6 cm,则OE的长为( (A)6 cm (C)3 cm (B)4 cm (D)2 cm )
【解析】选C.由于四边形ABCD为菱形， 所以AD=AB=6 cm, OC 1 .
AC 2 由于OE∥AB，所以 OC OE ， AC AB
知 识 点 睛
特 别 提 醒
当已知中出现对角线的相关条件时，常用“对角线相等且
互相垂直平分的四边形是正方形”来证.
【例3】(2012·黄冈中考)如图，在 正方形ABCD中，对角线AC,BD相交于 点O,E,F分别在OD,OC上,且DE=CF， 连结DF,AE，AE的延长线交DF于点M. 求证:AM⊥DF. 【思路点拨】正方形的性质→△AOE≌△DOF→
菱形、正方形讲义
判定①：有一组邻边相等的矩形是正方形． 判定②：有一个角是直角的菱形是正方形．
四边形小结
图形 性质
平行四边形
对边平行且相等
√
四条边都相等
对角相等
√
四个角都是直角
对角线互相平分
√
对角线互相垂直
对角线相等
每条对角线平分一
(1) 【习题4】 如图 1，在菱形 ABCD 中，∠ADC=120°，则 BD：AC 等于（ ）．
（A） 3 ：2 （B） 3 ：3 （C）1：2 （D） 3 ：1
8/9
【习题5】 已知：如图，在正方形 ABCD 中，AE⊥BF，垂足为 P，AE 与 CD 交于点 E，•BF•与 AD 交于点 F，求证：AE=BF．
【习题2】 已知一个四边形的对角线互相垂直，•那么顺次连接这个四边形的四边中点所得的四边形 是（ ）．
（A）矩形 （B）菱形 （C）等腰梯形 （D）正方形
【习题3】 用两个全等的直角三角形拼下列图形：①矩形；②菱形；③正方形；④平行四边形；⑤等 腰三角形；⑥等腰梯形．其中一定能拼成的图形是（ ）．
（A）①②③ （B）①④⑤ （C）①②⑤ （D）②⑤⑥
新知学习
1.菱形 在平行四边形中，如果内角大小保持不变仅改变边的长度，能否得到一个特殊的平行四边形
平行四边行
临边相等
菱形
（1）菱形的定义
有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形
（2）菱形的性质
菱形是特殊的平行四边形，它具有平行四边形的所有性质，•还具有自己独特的性质： ① 边的性质：对边平行且四边相等． ② 角的性质：邻角互补，对角相等． ③ 对角线性质：对角线互相垂直平分且每条对角线平分一组对角． ④ 对称性：菱形是中心对称图形，也是轴对称图形．
2020年浙江数学中考复习第五单元四边形之第22课时 矩形、菱形、正方形
浙江近6年中考真题精选
目
考点特训营
录
中考试题中的核心素养
第22课时 矩形、菱形、正方形
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浙江近6年中考真题精选
命题点 1 与矩形有关的证明及计算（杭州3考，2次结合折叠；
温州2考；台州3考，1次结合折叠；绍兴3考）
1.(2019丽水、金华、义乌8题3分)如图，矩形ABCD的对角线交于点O，已知AB=m，
5. (2019台州8题4分)如图，有两张矩形纸片ABCD和EFGH，AB＝EF＝2 cm，BC
＝FG＝8 cm.把纸片ABCD交叉叠放在纸片EFGH上，使重叠部分为平行四边形，
且点D与点G重合，当两张纸片交叉所成的角α最小时，tanα等于( D )
A. 1
B. 1
C. 8
D. 8
4
2
17
15
第5题图
EAP= FAQ
A
B
=
A
D
，
A E P = A F Q
∴△AEP≌△AFQ(ASA)， ∴AP＝AQ；
第19题图
第22课时 矩形、菱形、正方形
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(3)如果在原题中添加条件：AB＝4，∠B＝60°，如图①：请你编制一个计算题(不标 注新的字母)，并直接给出答案(根据编出的问题层次，给不同的得分).
第22课时 矩形、菱形、正方形
14. (2016丽水15题4分)如图，在菱形ABCD中，过点B作
BE⊥AD，BF⊥CD，垂足分别为点E，F，延长BD至G，
使得DG＝BD，连接EG，FG.若AE＝DE，则 EG＝
7
AB
______2_______.
15. (2016台州15题5分)如图，把一个菱形绕着它的对角线
矩形、菱形、正方形教案
第四中学集体备课教案主备人：杨朝勇授课人：八年级班学科：数学课题18.2.1矩形（第一课时）授课时间年月日教学目标知识与技能掌握矩形的定义，知道矩形与平行四边形的关系。
掌握矩形的性质定理。
过程与方法能根据定义探索并掌握矩形的对边相等、对角相等的性质并运用性质进行简单的计算和证明。
情感态度与价值观培养学生发现问题、解决问题的能力及逻辑推理能力。
教学重点矩形的性质及其推论．教学难点矩形的本质属性及性质定理的综合应用．教具准备教具（一个活动的平行四边形），教学过程设计个性修改四、教学过程及设计：（一）矩形的定义1．展示生活中一些平行四边形的实际应用图片（推拉门，活动衣架，篱笆、井架等），想一想：这里面应用了平行四边形的什么性质？平行四边形的性质：①平行四边形的对边平行且相等.②平行四边形的对角相等，邻角互补.③平行四边形的对角线互相平分.2.思考：拿一个活动的平行四边形教具，轻轻拉动一个点，观察不管怎么拉，它还是一个平行四边形吗？为什么？（动画演示拉动过程如图）矩形定义：有一个角是直角的平行四边形叫做矩形(通常也叫长方形)．（二）矩形的性质1.一般性质：具备平行四边形所有的性质2.【探究】在一个平行四边形活动框架上，用两根橡皮筋分别套在相对的两个顶点上（作出对角线），拉动一对不相邻的顶点，改变平行四边形的形状．①随着∠α的变化，两条对角线的长度分别是怎样变化的？②当∠α是直角时，平行四边形变成矩形，此时它的其他内角是什么样的角？它的两条对角线的长度有什么关系？操作，思考、交流、归纳后得到矩形的性质．猜想1：矩形的四个角都是直角．（推导过程省略）猜想2：矩形的对角线相等．（推导过程省略）练习：如图：AB＝6，BC=8，那么AC＝？BD=? OC=?解：在矩形ABCD中，∠ABC=90 °∴在Rt△ABC中， AB² +BC² =AC²解得：AC=10又矩形的对角线相等，∴ BD=AC=10，OC=1/2AC =5（四）例题探究例: 如图，矩形ABCD的两条对角线相交于点O，∠AOB=60°,AB=4㎝,求矩形对角线的长？解：∵四边形ABCD是矩形∴AC与BD相等且互相平分∴ OA=OB∵∠AOB=60°∴△AOB是等边三角形∴ OA=AB=4(㎝)∴矩形的对角线长 AC=BD=2OA=8(㎝)方法小结: 如果矩形两对角线的夹角是60°或120°，则其中必有等边三角形. 课堂小结：矩形的性质定理1：矩形的四个角都是直角.矩形的性质定理2：矩形的对角线相等.直角三角形的一个性质：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半.作业1． P53 练习第2题2． P60 习题18.2 第4题。
2014中考总复习第22讲矩形、菱形、正方形
第二部分
复习目标
知识回顾
重点解析
探究拓展
真题演练
5. (2012·厦门中考)如图, 在菱形 A B C D 中, A C 、B D 是对角线, 若∠B A C = 50°, 则∠A B C 等于( A. 40° C. 80° 【答案】 C B. 50° D. 100° )
6. (2011·龙岩中考)如图, 菱形 A B C D 周长为 8 cm , ∠B A D 则A C = 【答案】 2 3 cm .
复习目标
考向分析
知识回顾
重点解析
探究拓展
真题演练
结合近几年中考试题分析, 矩形、菱形、正方形的内容考查主要有以下特点: 1. 本讲内容涉及特殊平行四边形的概念、性质、判定, 主要考查边长、对角 线长、面积等的计算. 题型有填空题、选择题、但更多的是证明题、求值计算题、 条件探索题, 几何动态问题和与函数结合的问题. 2. 本讲知识与轴对称、旋转及平移等结合考查, 许多有一定难度的新题、活 题、 压轴题将出现于此讲, 试题强调基础, 源于教材, 变中求新, 考查学生的发散思维 能力.
【思路点拨】 (1)证明全等时应避免把对应边找错. (2)因 s i n ∠E D F =
EF DE
, 结合(1)求 E F , D E 的长.
第二部分
复习目标
知识回顾
重点解析
探究拓展
真题演练
【自主解答】 ( 1) 证明: 在矩形 A B C D 中, BC = AD , A D ∥B C , ∠B = 90°. ∴∠D A F = ∠A E B . ∵D F ⊥A E , AE= BC , ∴∠A F D = 90°= ∠B . 又∵A E = A D . ∴△A B E ≌△D F A .
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1 ． 定义：一组邻边相等的 ________ 叫做正方形；有一个角是直角的 ________叫做正方形． 2．性质： (1)正方形的四条边都________，四个角都是________． (2)正方形的对角线________，且互相________；每条对角线平分一组对 角． (3)正方形是轴对称图形，两条对角线所在直线以及过每一组对边中点的 直线都是它的对称轴；正方形是中心对称图形 ，对角线的交点是它的对 称中心． 3．判定： (1)一组邻边相等并且有一个角是直角的________是正方形． (2)一组邻边相等的________是正方形． (3)对角线互相垂直的________是正方形． (4)有一个角是直角的________是正方形． (5)对角线相等的________是正方形． 答案：1.矩形；菱形 2.(1)相等；直角；(2)相等；垂直平分 3.(1)平行 四边形；(2)矩形；(3)矩形；(4)菱形；(5)菱形
在证明一个四边形是菱形时，要注意判别的条件是平行四边形还是任意
四边形：
(1)若是任意四边形，则需证四条边都相等； (2)若是平行四边形，则需利用对角线互相垂直或一组邻边相等来证明．
正方形的性质与判定
7 ．如图 ， 在边长为 6 的正方形 ABCD 中， E 是边 CD 的中点， 将△ ADE 沿AE对折至△AFE，延长EF交BC于点G，连结AG.
6．如图，已知E，F，G，H分别为菱形ABCD四边的中点，AB＝6 cm， ∠ABC＝60°. (1)试判断四边形EFGH的类型，并证明你的结论； (2)求四边形EFห้องสมุดไป่ตู้H的面积．
解：(1)如图，连结 AC，BD，相交于点 O，∵E，F，G，H 分别是菱形 1 1 四边上的中点，∴EH＝ BD＝FG，EH∥BD∥FG，EF＝ AC＝HG，∴ 2 2 四边形 EHGF 是平行四边形，∵菱形 ABCD 中，AC⊥BD，∴EF⊥EH， ∴四边形 EFGH 是矩形 (2)∵四边形 ABCD 是菱形， ∠ABC＝60°， ∴ 1 ∠ABO＝30°，∵AC⊥BD，∴∠AOB＝90°，∴AO＝ AB＝3，∴AC 2 ＝6，在 Rt△AOB 中，由勾股定理得 OB＝ AB2－OA2＝3 3，∴BD＝ 1 1 6 3，∵EH＝ BD，EF＝ AC，∴EH＝3 3，EF＝3，∴矩形 EFGH 的 2 2 面积＝EF· FG＝9 3 cm2
矩形
PF ＝ AG· PF· tan ∠ CAB ＝ PGBF ＝ PG·
EP· PF· tan∠CAB.∵tan∠CPF＝tan∠CAB，∴S 矩形 DEPH＝S 矩形 PGBF
1．证明一个四边形是矩形的方法：(1)先证明它是平行四边形，再证明 它有一个角是直角；(2)先证明它是平行四边形，再证明它的对角线相等 ；(3)证明有三个内角为90°. 2．证明线段或角相等时常用到矩形的性质．
7－ 1 ． 处，折痕交 AB 于点 N，则线段 EC 的长为____________
【解析】如图，过点 M 作 MF⊥DC 于点 F，∵在边长为 2 的菱形 ABCD 中，∠A＝60°，M 为 AD 中点，∴2MD＝AD＝CD＝2，∠FDM＝60°， 1 1 3 ∴∠FMD＝30 °，∴FD＝ MD＝ ，∴FM＝DM×cos30 °＝ ，∴MC 2 2 2 ＝ FM2＋CF2＝ 7，∴EC＝MC－ME＝ 7－1.
理列方程求解即可．
解：(1)∵四边形ABCD是正方形，∴∠B＝∠D＝90°，AD＝AB.由折 叠的性质可知，AD＝AF，∠AFE＝∠D＝90°，∴∠AFG＝90°， AB＝AF.∴∠AFG＝∠B.又∵AG＝AG，∴Rt△ABG≌Rt△AFG(HL) (2)∵△ABG≌△AFG，∴BG＝FG.设BG＝FG＝x，则GC＝6－x， ∵E为CD的中点，∴CE＝EF＝DE＝3，∴EG＝x＋3，在Rt△CEG中 ，由勾股定理，得32＋(6－x)2＝(x＋3)2，解得x＝2，∴BG＝2
菱形的性质与判定
4．(2017·预测)如图，在▱ABCD中，BC＝2AB＝4，点E，F分别是BC
，AD的中点．
(1)求证：△ABE≌△CDF； (2)当四边形AECF为菱形时，求出该菱形的面积．
解：(1)∵▱ABCD，∴AB＝CD，BC＝AD，∠ABC＝∠CDA.又∵BE＝ 1 1 EC＝ BC，AF＝DF＝ AD，∴BE＝DF.∴△ABE≌△CDF 2 2 (2)∵四边
1 解：(1)∵四边形 ABCD 是菱形，∴AD∥BC，∠DBC＝ ∠ABC，∴∠ 2 ABC＋∠BAD＝180°，∵∠ABC∶∠BAD＝1∶2，∴∠ABC＝60°， 1 3 ∴∠DBC＝ ∠ABC＝30°，则 tan∠DBC＝tan30°＝ 2 3 ∴四边形 OBEC 是平行四边形，则四边形 OBEC 是矩形 (2)∵四边形
【解析】当▱ABCD 的面积最大时，四边形 ABCD 为矩形，得出∠A＝ ∠B＝∠C＝∠D＝90°，AC＝BD，根据勾股定理求出 AC＝ 32＋42＝ 5，①正确，②正确，④正确；③不正确；故选 B.
3．如图，点P在矩形ABCD的对角线AC上，且不与点A，C重合，过点P
分别作边AB，AD的平行线，交两组对边于点E，F和G，H. (1)求证：△PHC≌△CFP；
(2)四条边都相等的________是菱形．
答案：1.平行四边形 2.(1)相等；(2)相互垂直 3．(1)平行四边形；(2)四边形
5．(原创题)如图，在边长为 2 的菱形 ABCD 中，∠A＝60°，点 M 是 AD 边的中点，连结 MC，将菱形 ABCD 翻折，使点 A 落在线段 CM 上的点 E
1．(2016· 兰州)如图，矩形 ABCD 的对角线 AC 与 BD 相交于点 O， CE∥BD, DE∥AC , AD＝2 3 , DE＝2，则四边形 OCED 的面积为( A ) A．2 3 B．4 C．4 3 D．8
DC×OE 【解析】连结 OE, 四边形 OCED 的面积为 ＝2 3，故选 A. 2
称中心是____________． 3．判定：
(1)有三个角是________的四边形是矩形．
(2)对角线________的平行四边形是矩形． 答案：1.平行四边形 3.(1)直角；(2)相等 2.(1)直角；(2)相等且相互平分；(3)对角线的交点
2．(2017·预测)在▱ABCD中，AB＝3，BC＝4，当▱ABCD的面积 最大时，下列结论正确的有( B ) ①AC＝5；②∠A＋∠C＝180°；③AC⊥BD；④AC＝BD. A．①②③ B．①②④ C．②③④ D．①③④
形 AECF 为菱形，∴AE＝EC.又∵点 E 是边 BC 的中点，∴BE＝EC， 1 即 BE＝AE.又 BC＝2AB＝4，∴AB＝ BC＝BE，∴AB＝BE＝AE，即 2 △ABE 为等边三角形，▱ABCD 的 BC 边上的高为 2×sin60°＝ 3，∴ 菱形 AECF 的面积为 2 3
1．定义：一组邻边相等的______________叫做菱形． 2．性质： (1)菱形的四条边都________． (2)菱形的对角线________，并且每一条对角线平分一组对角． 3．判定： (1)对角线互相垂直的______________是菱形．
影
＝S 菱形 ABCD＋4S△AD′E ＝6 3－6.
3．(2016· 丽水)如图，在菱形 ABCD 中，过点 B 作 BE⊥AD，BF⊥CD， 垂足分别为点 E，F，延长 BD 至 G，使得 DG＝BD，连结 EG，FG，若 EG AE＝DE，求 的值． AB
解：如图，连结 AC，EF，在菱形 ABCD 中，AC⊥BD，∵BE⊥AD， AE＝DE， ∴AB＝BD， 又∵菱形的边 AB＝AD， ∴△ABD 是等边三角形， ∴∠ADB＝60°，设 EF 与 BD 相交于点 H，AB＝4x，∵AE＝DE，∴由 1 1 菱形的对称性，CF＝DF，∴EF 是△ACD 的中位线，∴DH＝ DO＝ BD 2 4 ＝x，在 Rt△EDH 中，EH＝ 3DH＝ 3x，∵DG＝BD，∴GH＝BD＋ DH＝4x＋x＝5x，在 Rt△EGH 中，由勾股定理得，EG＝ EH2＋GH2＝ （ 3x）2＋（5x）2＝2 7x.∴ EG 2 7x 7 ＝ ＝ AB 4x 2
(1)求证：△ABG≌△AFG；
(2)求BG的长．
解 析 ： (1) 根 据 正 方 形 和 折 叠 对 称 的 性 质 ， 应 用 HL 即 可 证 明
△ABG≌△AFG；(2)根据全等三角形的性质，得到BG＝FG，设BG＝ FG ＝ x ， 将 GC 和 EG 用x 的代数式表示 ， 从而在 Rt△CEG 中应用勾股定
矩形的性质与判定
1 ． (2017· 预 测 ) 如 图 ， 菱 形 ABCD 的 对 角 线 AC 与 BD 交 于 点 O ， ∠ABC∶∠BAD＝1∶2，BE∥AC，CE∥BD. (1)求tan∠DBC的值； (2)求证：四边形OBEC是矩形． 【解析】(1)由四边形 ABCD 是菱形 ，得到一对同旁内角互补 ，根据 已知角之比求出相应度数 ， 进而求出 ∠ DBC 的度数； (2) 由四边形 ABCD 是菱形 ， 得到对角线互相垂直 ，即 ∠ BOC ＝ 90° ，利用有一 个角为直角的平行四边形是矩形即可得证．
2．(2016·台州)如图，把一个菱形绕着它的对角线的交点旋转90°，
旋转前后的两个菱形构成一个“星形”(阴影部分)，若菱形的一个内角
为60°，边长为2，则该“星形”的面积是____________ ． 6 3－6
【解析】 如图， 过 E 作 EF⊥AC 于点 F， ∵四边形 ABCD 为菱形， AB＝2， ∠BAD ＝60°，∴∠BAO＝30°，∠AOB＝90°，∴AO＝AB· cos∠BAO＝ 3， BO＝AB· sin∠BAO＝1.同理可知：A′O＝ 3，D′O＝1，∴AD′＝AO －D′O＝ 3－1.∵∠A′D′O＝90°－30°＝60°，∠BAO＝30°，∴ ∠AED′＝30°＝∠EAD′，∴D′E＝AD′＝ 3－1.在 Rt△ED′F 中， 3－ 3 ED′＝ 3－1，∠ED′F＝60°，∴EF＝ED′·sin∠ED′F＝ .∴S 阴 2