高考数学精英备考专题讲座 第七讲第二节选择题的解题策略(2) 文

第二节 选择题的解题策略（2）【解法五】 图解法：据题设条件作出研究问题的曲线或有关图形，借助几何图形的直观性作出正确判断. 习惯上也叫数形结合法.例1 设函数()4sin(21)f x x x =+-，则在下列区间中函数()f x 不．存在 零点的是（ ）A .[]4,2-- B.[]2,0- C.[]0,2 D.[]2,4点拨：此题考查函数零点问题，可转化为两个熟悉函数的交点问题.画图时应注意两个函数在与选项有关的关键点（如分界点）的函数值大小关系.解：将()x f 的零点转化为函数()()()x x h x x g =+=与12sin 4的交点，数形结合，答案选A.易错点：图像不准确，忽略关键点，易解错.例2 （2011高考江西卷理）若曲线1C ：0222=-+x y x 与曲线2C ：0)(=--m mx y y 有4个不同的交点，则实数m 的取值范围是（ ） A. )33,33(-B. )33,0()0,33( - C. ]33,33[-D. ),33()33,(+∞--∞ 点拨： 此题考查直线与曲线的公共点问题，应利用数形结合的思想进行求解.曲线1C ：1)1(22=+-y x ，图像为圆心为（1,0），半径为1的圆；曲线2C ：0=y ，或者0=--m mx y ，直线0=--m mx y 恒过定点)0,1(-，即曲线2C 图像为x 轴与恒过定点)0,1(-的两条直线。

作图分析：3330tan 1=︒=k ，3330tan 2-=︒-=k ，又直线1l （或直线2l ）、x 轴与圆共有四个不同的交点，结合图形可知)33,0()0,33( -∈=k m 易错点：（1）忽略曲线方程2C ：0)(=--m mx y y 表示的是两条直线（2）求直线与曲线相切时m 的值时不结合图像取值导致错误.例3直线y x =D的圆,([0,2))1x y θθπθ⎧=⎪∈⎨=+⎪⎩ 交于A 、B 两点，则直线AD 与BD 的倾斜角之和为 （ ）A .76π B.54π C.43π D.53π 点拨：此题是直线与圆的综合题，考查圆的参数方程，直线的倾斜角及圆的性质，应用图解. 解：数形结合，设直线AD 与BD 的倾斜角分别为,αβ，则6EAD πα=∠+ ，6ABD πβ=+∠，由圆的性质可知ABD BAD ∠=∠，故66EAD ABD ππαβ+=∠+++∠()33EAD ABD πππ=∠+∠+=+=43π.所以答案选C.易错点：考虑代数解法，利用圆的方程和直线方程进行求解，过程复杂，计算困难导致错误.点评：严格地说，图解法并非属于选择题解题思路范畴，而是一种数形结合的解题策略. 但它在解有关选择题时非常简便有效.不过运用图解法解题一定要对有关函数图像，方城曲线，几何图形较熟悉，否则错误的图像会导致错误的选择.【解法六】 分析法：（1） 特征分析法：根据题目所提供的信息，如数值特征、结构特征、位置特征等，进行快速推理，迅速作出判断的方法. 例4 已知342sin ,cos ()552m m m m πθθθπ--==<<++，则tan 2θ等于( )A .39m m -- B.39m m--C.13D.5点拨：此题考查同角三角函数关系及半角公式，可先利用同角正余弦平方和为1求m 的值，再根据半角公式求tan2θ，运算较复杂，试根据答案数值特征分析. 解：由于受条件22sin cos 1θθ+=的制约，m 为一确定的值，进而推知tan 2θ也为一确定的值，又2πθπ<<，因而422πθπ<<，故tan12θ>，所以答案选D.易错点：忽略22sin cos 1θθ+=，m 为一确定的值导致结果与m 有关.（2） 逻辑分析法：通过对四个选项之间的逻辑关系的分析，达到否定谬误项，选出正确项的方法.例5 当[4,0]x ∈-时，413a x ≤+恒成立，则a 的一个可能值是（ ） A . 5B.53 C.53- D.-5点拨：此题是有关不等式恒成立的问题，可运用数形结合的思想进行求解，较复杂.解：0知A 真⇒ B 真⇒ C 真⇒D 真，假设A ,B ,C 真，则均有两个以上正确答案，所以根据选择题答案唯一的特点，答案选D. 也可利用数形结合思想求解. 易错点：忽略不等式的特点，平方转化为二次不等式，导致错误.（3） 定性分析法：通过题干中已知条件对结论进行定性分析，再通过与选项的对比得出结论.【解法七】估值法：对于选项是数值的选择题，可以通过估计所要计算值的范围来确定唯一的正确选项. 例6若4cos 5a =-，a 是第三象限的角， 则sin()4a π+=（ ）A . C.点拨：此题考查同角三角函数关系及两角和公式，可根据角的范围先求出a 的正弦值，再根据两角和公式求sin()4a π+.解：根据单位圆估算sin()42a π+<-, 所以答案选A . 易错点：忽略角的范围，求正弦值得出两个答案，以致思路受阻.例7据2002年3月5日第九届全国人大五次会议《政府工作报告》：“2001年国内生产总值达到95933亿元，比上年增长7. 3%. 如果“十五”期间（2001-2005年）每年的国内生产总值都按此年增长率增长，那么到“十五”末我国国内年生产总值约为（ ） A .115000亿元 B. 120000亿元 C. 127000亿元 D. 135000亿元点拨：此题考查等比数列在实际生活中的应用，容易列式，但结果的数值难算，应进行估算.解：4495933(17.3%)96000(17.3%)96000(147.3%)96000 1.3+≈+≈+⨯≈⨯124800≈且4495933(17.3%)95000(17%)95000(147%)95000 1.28121600+>+>+⨯=⨯=所以答案选C.易错点：没有想清楚2005年生产总值是以95933为首项，(17.3%)+为公比的等比数列的第五项，错列式595933(17.3%)+导致错误.例8 已知过球面上,,A B C 三点的截面和球心的距离等于球半径的一半，且2A B B C C A ===，则球面面积是（ ） A .169π B. 83π C. 4π D. 649π点拨：此题考查球的性质及球面面积公式，可先求截面圆半径，结合球心到截面的距离，利用勾股定理求出球半径，再求球面面积.解：球的半径R 不小于△ABC 的外接圆半径r =，则2216=4453S R r ππππ≥=>球，所以答案选D.点评：估值法，省去了很多推导过程和比较复杂的计算，节省了时间，从而显得快捷. 其应用广泛，减少了运算量，却加强了思维的层次，是人们发现问题、研究问题、解决问题的一种重要方法.【解法八】逆推法：假设选项正确，以部分条件作为已知条件进行推理，看是否能推出与已知条件矛盾的结论，从而找出正确答案.例9用min{,}a b 表示,a b 两数中的最小值. 若函数()min{,}f x x x t =+的图像关于直线12x =-对称，则t 的值为（ ）.A .2- B. 2 C. 1- D. 1点拨：此题考查对新定义符号的理解及图像的对称性，应考虑画图像，由于t 的值未知，图像不容易确定，所以从选项假设出发.解：根据图像，2t =-时，函数()f x 的图像关于直线1x =对称， 2t =时，函数()f x 的图像关于直线1x =-对称，1t =-时，函数()f x 的图像关于直线12x =对称，所以答案选D.例10在ABC 中，,,A B C ∠∠∠所对的边分别为,,a b c ，若sin sin sin cos cos A BC A B+=+，则ABC是（ ）A.等腰三角形B. 等边三角形C. 直角三角形D. 锐角三角形 点拨：此题考查解三角形，条件比较难转化，考虑从选项出发.解：等边三角形是等腰三角形和锐角三角形的特殊情况，故先假设选项B 正确.此时60A B C ===,sin 2C =，sin sin 2211cos cos 22A B A B +==++，不满足题目条件，所以A ， B ，C 均不满足题意，故答案选C.易错点：利用正弦定理边化角及三角函数和差化积直接求解, 忽略三角形内角和180. 例11平行四边形的周长等于26,120m ABC ∠=，BCD，已知AD AB >，则它的边长是（ ）.A .5,8AD m AB m == B. 8,5AD m AB m == C. 2613,33AD m AB m == D. 9,4AD m AB m == 点拨：此题考查解三角形问题，条件多而复杂，考虑从选项出发.解：AD AB >，显然A 选项不符合. 以“周长等于26,120m ABC ∠=”为条件，假设选项B 正确，即8,5AD m AB m ==，则在BCD 中,8,5,60BC m CD m C ==∠=,根据余弦定理可求得7BD =，从而BCD 的内切圆半径158sin 6021(578)2r ⨯⨯⋅===⨯++ B.点评：逆推法常用于由题干条件直接推导结论较复杂的选择题，逆向思维，常结合逻辑法，A排除法进行运用，是只适用于选择题的特殊方法. 与验证法不同的是它需要推理，且由条件得出的答案唯一.从考试的角度来看，解选择题只要选对就行，至于用什么“策略”、“手段”都是无关紧要的，但平时做题时要尽量弄清每一个选项正确的理由与错误的原因. 另外，在解答一道选择题时，往往需要同时采用几种方法进行分析、推理，只有这样，才会在高考时充分利用题目自身提供的信息，化常规为特殊，避免小题大作，真正做到准确，快速.总之，解答选择题既要看到各类常规题的解题思想，但更应该充分挖掘题目的“个性”，寻求简便方法，充分利用选项的暗示作用，迅速地作出正确的选择. 这样不但可以迅速、准确地获取正确答案，还可以提高解题速度，为后续解题节省时间.习题 7-2 1. 若a0，b0，则不等式1xb a -<<等价于（ ） A ．1x 0b -<<或10x a << B. 11x a b-<<C. 1x a <-或1x b >D. 1x b <-或1x a>2.已知以4T =为周期的函数(1,1]()12,(1,3]x f x x x ⎧∈-⎪=⎨--∈⎪⎩，其中0m >．若方程3()f x x=恰有5个实数解，则m 的取值范围为（ ）A．8)3B． C ．48(,)33D．4(33. 如图，在多面体ABCDEF 中，已知面ABCD 是 边长为3的正方形，EF ∥AB ,32EF =,EF 与面AC 的距离为2，则该多面体的体积为（ ）A .92 B.5 C .6 D. 1524. 已知1sin cos 5x x +=，且0x π≤≤，则tan x 的值是（ ）A . 43-B. 34- C . 34 D. 435. 如图，在ΔABC 中，A D A B ⊥，3BC BD =,1AD =，则AC AD ⋅=（ ）BA. B.2 C.36．将正奇数1,3,5,7,9,⋅⋅⋅，排成5列，按右图的格式排下去，1985所在的列从左数起是（ ）A .第一列 B. 第二列 C . 第三列 D. 第四列7. 如果2log 13a<，那么a 的取值范围是（ ） A .203a << B. 23a >C . 213a << D. 2013a a <<>或【答案】习题 7-21. D .提示：（特例法）可令11,22a b x ==-=，，代入知D 为真. 也可解不等式直接判断. 2.B.提示：（图解法）直线3xy =与()y f x =图像要有五个交点时须保证直线与函数在[3,5]上的图像（半椭圆）有两个交点，与[7,9]上的图像没有交点，相切是临界位置.3. D.提示：法一：(直接法)将几何体分割成一个三棱柱和一个四棱锥.法二：（估值法）由已知条件可知，EF ∥平面ABCD ，则F 到平面ABCD 的距离为2，所13571513119171921233129272533353739............以213263F ABCD V -=⋅⋅=，而多面体的体积必大于6，故选择D. 4. A .提示：（逆推法）假设tan x 43=-，且0x π≤≤，易得43sin ,cos 55x x ==-，满足题意.也可将等式两边平方得到sin cos x x ⋅，联立方程求出sin ,cos x x ，进而求出tan x . 5. D.提示：(图解法)本题主要考查平面向量、解三角形等基础知识,考查化归与转化的数学思想,有点难度.作CE 垂直AD 的延长线于E ，则 CE ∥AB ，利用平面几何知识进行求解.AC AD ⋅=||(||cos )AD AC DAC ⋅⋅∠=||||AD AE ⋅,而||||3||||AE BC ADBD ==AC AD⋅2|AD =也可将AC 转化. 6.C.提示：(特征分析法)第一列数被16除余15，第二列数被16除余1或13，第三列数被16除余3或11，第四列数被16除余5或9，，第五列数被16除余7.也可直接找规律. 7.D.提示：(逆推法)B。