空间向量综合测试(含答案)

空间向量综合测试一、选择题：本题共12小题，每小题5分1. 已知A(3, 2, 1) , B(1 , 0, 4),则线段AB的中点坐标和|AB是( )A. 2，1，5，17B. 2，- 1, 5 , 17C. 2, 1,- 5 , .17D. 2 , - 1, -1 ,172. 直三棱柱ABC-A1B1C1 中，若CA= a , CB = b，CC1= c,则A1B等于()A . a+ b —cB . a—b+ c C. —a + b + c D. —a + b —c3. 平面a的法向量U = (1 , 2 , —1),平面B的法向量v = (/< , 2 , 8)，若a丄则入的值是()A . 2B . —2 C. ±2 D.不存在4. 在空间四边形ABCD中，若向量AB = ( —3, 5, 2), CD = ( —7,—1,—4)，点E, F分别为线段BC, AD的中点，贝U EF的坐标为()A . (2, 3, 3)B . ( —2,—3,—3) C. (5, —2, 1) D.( —5, 2,—1)5. 已知四面体ABCD的所有棱长都是2，点E, F分别是AD, DC的中点，贝U EF BA=( )A . 1B . —1 C. 3 D. —. 36. 在正方体ABCD-A1B1C1D1中，若E为A1C1的中点，则与直线CE垂直的直线是()A . ACB . BDC . A1D D.A1A7. 已知a= 3m—2n —4p M0, b= (x+ 1)m+ 8n + 2y p,且m, n, p不共面，若a// b,贝U x, y 的值为()A . x=—13, y= 8B . x=—13, y= 5 C. x= 7, y = 5 D.x = 7, y= 8&已知棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1的上底面A1B1C1D1的中心为。

1，则AO1 AC的值为( )A. —1B. 0 C . 1 D.29.已知直线l的方向向量n= (1, 0, 2)，点A(0, 1, 1)在直线l上，则点P(1, 2, 2)到直为线1的距离为()30B^.30 C.嚅 D.2 . 30A. 510.在四棱锥P-ABCD 中，AB= (4,—2, 3), AD = (一4, 1, 0), AP = (—6, 2, —8)，则这个四棱锥的高h=()A . 1B. 2C. 13 D.26~》 1 ~》 1 ->11•如图，将边长为1的正方形ABCD 沿对角线BD 折成直二面角，若点P 满足BP = -BA -?BCB F、选择题：本题共 12小题，每小题5分题号1 2 3 4 5 6789101112答案二、填空题：本题共 4小题，每小题5分.13. ________________________________________________________ 已知正方体 ABCD -A 1 B 1C 1D 1的棱长为a ,则A T B B 1C = ___________________________________________14. ______________________ 在空间直角坐标系 Oxyz 中，已知 A(1 , - 2, 0), B(2, 1, .6),则向量AB 与平面xOz 的 法向量的夹角的正弦值为.15.点P 是底边长为2.3,高为2的正三棱柱表面上的动点，MN 是该棱柱内切球的一条直径，则PM PN 的取值范围是 ___________ .16.如图所示，在直三棱柱 ABC-A 1B 1C 1中，底面是以/ ABC 为直角的等腰三角形，AC = 2a ,BB 1= 3a , D 是A 1C 1的中点，点 E 在棱AA 1上，要使 CE 丄平面BQE ，则AE = _______________ .+ BD , 则|BP|2的值为()A.|C.7D.912.三棱柱 ABC-A 1B 1C 1的侧棱与底面垂直, AA 1 = AB = AC = 1 ,AB 丄AC , N 是BC 的中点,点P 在A 1B 1上, 且满足: A 1P = AB 1,则直线PN 与平面ABC 所成角 B 取最大值时入的值为(三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17. （10分）如图所示，在四棱锥M-ABCD中，底面ABCD是边长为2的正方形，侧棱AM的长为3,且AM和AB, AD的夹角都是60° N是CM的中点，设a= A B,c=AM，试以a, b, c为基向量表示出向量BN,并求BN的长.18. （12分）四边形ABCD为矩形，PA丄平面ABCD , PA= AD , M、N分别是PC、AB的中点, 求证：MN丄平面PCD.折起到△ EBD的位置，使平面EBD丄平面ABD.19. （12分）如图所示，平行四边形ABCD中，/ DAB = 60° AB = 2, AD = 4,将厶CBD沿BD（1）求证：AB丄DE ;⑵若点F为BE的中点，求直线AF与平面ADE所成角的正弦值.B20. (12分)如图，在四棱锥 P-ABCD 中，底面 ABCD 是平行四边形，PG 丄平面ABCD ，垂足1为G , G 在AD 上，且PG = 4, AG = 3GD , BG 丄GC , GB = GC = 2, E 是BC 的中点.（1）求异面直线GE 与PC 所成角的余弦值; ⑵若F 是棱PC 上一点，且DF 丄GC ,求PFPC 的值.21 . (12 分)在厶 A'BC 中，A B= 4, A C = 4迄，/ BA'C = 45° 以 A C 的 中线BD 为折痕，将△ A BD 沿BD 折起，构成二面角 A-BD-C ,在平面 BCD 内作CE 丄CD ，且CE = ,2,连接DE , AE , AC ,如图所示.(1)求证：CE //平面 ABD ; (2)若二面角 A-BD-C 的大小为90 °求二面角B-AC-E 的余弦值.22. (12分)如图，四边形 PDCE 为矩形，四边形 ABCD 为梯形，平面 PDCE 丄平面 ABCD , / BAD = Z ADC = 90 ° AB = AD = ^CD = 1 , PD=V2.(1)若M 为FA 的中点，求证： AC //平面 MDE ; (2)求直线FA 与平面 PBC 所成角的正弦值；(3)在线段PC 上是否存在一点 Q(除去端点)，使得平面QAD 与平面PBC 所成的锐二面角的大 小为n0), A /D = (0, 1,— 1), A ^A =(0, 0, — 1).显然C E BD =2—i +0=0,所以 CE 丄 BD ，即 CE 丄BD. 7.解析：选A.因为a // b 且a 丰0,所以 b = ，即(x + 1)m + 8n + 2y p = 3 ?m — 2 ?n — 4?p . 又因为m , n , p 不共面，所以宁=-% =斗,3 — 2 — 4所以 x =— 13, y = 8.& 解析：选 C.由于 AO 1 = AA 1 + A 1O 1 = AA 1 + 2(A 1B 1 + A 1D 1) = AA 1+ -(AB + AD), 而AC = AB + AD ,空间向量综合测试答案1•解析：选A.设P(x , y , z)是AB 中点，则 OP = 2 ( OA +) = 1 [(3 ,2 , 1) + (1 , 0 , 4)] =2 , 1 , 2 ， d AB = I AB | =(3 — 1) 2+( 2— 0) 2+( 1 — 4) 2 =17.2.解析：选 D.如图，A 1B = AB — AA 1 = CB — CA — AA 1 = CB — CA — CC 1 = b — a — c .3. 解析：选C. a 丄价u 丄v? u v = 0?入2+ 4— 8= 0?入=塑.4.解析：选 B.取 AC 中点 M ,连接 ME , MF ,则 ME = *AB = — | , 5，12 , — 2，— 2 ,所以 EF = MF — ME = (— 2, — 3, — 3),故选 B.5.解析：选 B.如图所示,E F = 1AC ,所以 EF BA = 1AC •— AB) = — *x 2X2cos60 °=— 1 故选 B.6.解析：选B.以轴、y 轴、z轴建立空间直角坐标系(图略).设正方体的棱长为1,贝U A(0,0), C(1 , 1, 0), B(1, 0, 0), D(0 , 1 , 0) , A 1(0 , 0 , 1) , E 2，，1 ,所以 CE = — 2 ,AC = (1, 1, 0), BD = (— 1, 1 ,CiBC1CD =则AO i A \C = [AA i + 1（AB + AD ）] （A\B + AD ） = 1（AB + AD ）2 =舟（洁+ AD 2）= 1.9•解析：选A.过P 点作PH 丄I 于H 点，则 PH = P A +AH ，由 A H // n ，可设 A H = ?n =（入 0, 2 /）.所以 PH = （— 1 , — 1 , — 1） + （人 0, 2 ?）= （ 11，— 1 , 2 11）,由PH 丄n ,得 入一 1 + 2（2入一 1） = 0,解得入=鲁所以PH = — £, 一 1, £ . 因此点P 到I 的距离为|PH|=+ 1 + 1=亠严，选A.25 25 52,故选B.11解析：选 D.由题可知 |BA|= 1, |BC|= 1 , |BD|= 2. 〈B A , B D > = 45°〈 BD , BC > = 45°〈 BA , BC > = 60° 所以 |BP|2= （*BA — 2BC +BD ）2= 4晶2+ 4BC +BD 2- 2BA BC+ BABD 一 BC BD = 4 + 寸 + 2 — ?x 1x 1 x 1+ 1x-2了仆 2x 十4.12.解析：选A.如图，分别以A B ,A C ,晶1为单位正交基底建立空间直角坐标系Axyz,则P （入0,1）,N £, ?, 0]T 11PN =（2—入2,— 1）.易得平面 ABC 的一个法向量 n = （0, 0, 1），则直线 PN 与平面ABC 所成的 角B 满足：sin = |cos 〈 PN , n> |=1-，于是问题转化为二次函数求最值， 而 灰0, n ,； - 2 —n 丄AB 10.解析：选B.设平面ABCD 的法向量为 n = （x ,y , z ），则 Tn 丄AD4x — 2y + 3z = 0，即 Tx +y =0，设 y=4,贝U n =32所以当sin B 最大时，B 最大.所以当X=1时，sin B 最大，为爷，同时直线PN 与平面ABC 所成 的角B 取到最大值.—之 一之 一之 一之 一之 一之一之 一_213 解析：A 1BB 1C = A 1BA 1D = A 1B| |A 1D| cos 〈 A 1B , A 1D >= 2a x 2a x cos 60°= a .答案: 2a14解析：设平面xOz 的法向量为n = (0, t , 0)(t 丰0).又AB = (1, 3,6)，所以cos 〈 n , AB >jnjAB-=蛊，因为〈n , A B > € [0, n,所以 sin 〈n , AB >|n | |A B|1 1—> —>—>—>—> —>—215解析：由题意知内切球的半径为 1 ,设球心为O ,则PM PN = (PO + OM) (PO + ON)= OP +PO •OM + ON) + OM O N = |PO|2-1.因为 K I <5P |< 5，所以 PM PN € [0, 4].答案：[o , 4]16.解析：建立如图所示的空间直角坐标系， 则A( 2a , 0, 0), B 1(0, 0, 3a), C(0, 2a , 0).设点 E 的坐标为 0 2a , 0, z)，则 CE = (,2a ,- . 2a , z), B j E = ( 2a , 0,z - 3a).由 CE 丄 £E ,得2a 2 + z 2- 3az = 0,解得 z = a 或 2a , 即卩 AE = a 或 2a. 答案：a 或 2a所以|前|=于，即卩BN 的长为」^.则 P(0, 0, a), D(0, a , 0), B(b , 0, 0), C(b , a , 0), N ；, 0, 0 , M :,所以 MN = 0, - 2, - 2 , DC = (b , 0, 0), PC = (b , a , - a),2 2所以 MN PC =-》+》=0, M N DC = 0,17•解：BN = BC + CN = AD + *CM = AD + ^(AM -AC) T 1 T1 T 1 T 1 T=AD + ?[AM — (AD + AB)] =- ?AB + §AD + §AM.所以 BN =-和 +1 b + 2c , |BN|2=BN 2= -2a + 2 b + 2 c = 4(a % b 2+ c 2-2a b - 2a c + 2 b c )=乎, 18.证明:所以MIN 丄PC , MIN 丄DC ，即 MN 丄PC , MN 丄DC ，又因为 PC n DC = C , MN?平面PCD ，所 以MN 丄平面PCD.2 2 2 2 19•解：⑴证明：在厶ABD 中，由余弦定理，得 BD = AB + AD — 2AB ADcos / DAB ，即BD=4+ 16— 16X 2= 12,所以BD = 2 3，所以BD 2+ AB 2= AD 2,所以△ ABD 和厶EBD 均为直角三角 形，所以ED 丄DB 又 DB 是平面 EBD 和平面 ABD 的交线，且平面 EBD 丄平面 ABD ,ED?平面EBD ，所以ED 丄平面ABD.又AB?平面ABD ，所以 AB 丄DE.（2）由（1）知/ABD = / CDB = 90 °以D 为坐标原点，DB ，DC ，DE 所在的直线分别为 x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系 （图略），贝U D （0，0，0），B （2 3，0，0），C （0，2，0），E （0，0，2），A （2 3，— 2，0），F （ 3，0，1），所以 DA = （2 .3，— 2，0），DE = （0，0，2），A F = （— 3，2，1）.设平面ADE 的法向量为n = （x ，y ，z ）， 贝贿 n DA = 0，即 2 3X— 2y= 0,令 x = 1,则 y = 3•又 z = 0，所以 n = （1， 3, 0）.点=0,2z = 0.设直线AF 与平面ADE 所成的角为a,则有sin a= |cos 〈n , AF > |= |n Af 1 = —=^^. | 2x 2 28|n |AF| 2入 2 220.解：（1）以G 点为原点，GB , GC , GP 所在直线分别为 x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标 系，贝U B （2, 0, 0）, C （0, 2, 0）, P （0, 0, 4），故 E （1, 1, 0）, GE = （1 , 1, 0）, PC = （0,2,— 4）.设 F(0, y , z),则 DF = (0, y , z)— — |, |, 0 = |, y— 3, z • 因为 DF 丄GC ,所以 DF GC = 0，即 3，y — 2, z (0, 2, 0) = 2y — 3 = 0，所以 y = |. 又点 F 在 PC 上，所以 PF = P C ,即 0, 2，z — 4 =3, 2, — 4)，所以 z = 1,故 F 0, 3, 1 ,3/5所以 PF = [0, 2，—3 , FC = [0, 2，— 1J,所以 £== 3.221. 解：(1)证明：由AB = 4, A'C = 4込,/ BA'C = 45°得BC = 4，所以△ A'BC 为等腰直角三因为 cos 〈G E , PC >GE PC = 2=血|品|PC 「2 X2 " 10所以GE 与PC 所成角的余弦值为10 10 •(2)因为 GD = 4乙=L2, 2 0 / 所以D〔一 2, 2角形，又D 为A'C 的中点，所以 BD 丄A'C.所以折起后BD 丄CD.又 CE 丄CD ，所以CE // BD ,因为CE?平面 ABD , BD?平面 ABD ，所以 CE //平面 ABD.⑵由二面角 A-BD-C 的大小为90 ° AD 丄BD ，得AD 丄平面BCD ，由 ⑴知BD 丄CD ,DB , DC , DA 所在直线为x , y , z 轴，建立如图所示的空间直 角坐标系.设F 为AC 的中点，连接 DF ，贝U DF 丄AC ,且DF = 2.因为CE 丄CD , AD 丄平面BCD ，所以CE 丄平面ACD ，所以DF 丄CE ，所以DF 丄平面ACE. 易求得 BD = CD = AD = 2 2 所以 D(0, 0, 0), B(2 .2, 0, 0), C(0, 2 .2, 0), A(0, 0, 2 .2), F(0, ■,2, 2).所以平面 ACE 的一个法向量为 DF = (0, .2, •, 2).又AB = (2 2, 0,— 2 2), AC = (0 , 2 2 , - 2 2),设平面ABC 的法向量为 n = (x , y , z),贝U n AB = 0, n AC = 0,所以x = y = z ,取n = (1, 1, 1)为平面 ABC 的一个法向量.所以 cos 〈n , D F > 22. 解：⑴证明：如图，在矩形 PDCE 中，设PC 交DE 于点N ,则点N 为PC 的中点.连接 MN.在厶APC 中，点M 为PA 的中点，点 N 为PC 的中点，所以 AC // MN.又MN?平面 MDE , AC?平面 MDE ，所以 AC //平面 MDE.于是以D 为坐标原点，分别以 根据图形可知二面角B-AC-E 的余弦值为― n DF _V6 T 3 , |n ||DF|(2)由/ ADC = 90 ° 得 AD 丄 CD ,由平面PDCE 丄平面 ABCD ，且平面 PDCE 门平面 ABCD = CD ，得 AD 丄平面PDCE , 所以AD 丄PD.在矩形PDCE 中，PD 丄CD ，贝U DA , DC, DP 两两垂直.以D 为坐标原点，DA , DC , DP 所在的直线分别为 x , y , z 轴，建立空间直角坐标系， 则D(0, 0, 0)，A(1，0，0)，P(0, 0，.2)，B(1，1，0)，C(0，2，0),所以 AP = (- 1, 0, .2), CP = (0, — 2, .2), BC = (— 1 , 1, 0).设平面PBC 的法向量为 n = (x , y , z),所以直线FA 与平面PBC 所成角的正弦值为(3) 假设存在点Q 满足条件，则可设 CQ = QP(0< X 1)，得Q(0, 2 — 2入\[2爪又D A = (1, 0, 0), D Q = (0, 2 — 2入 羽3, 设平面QAD 的法向量为n 1= (x 1, y 1, z 1),DA n 1= X 1= 0由「, DQ n 1 =( 2— 2 X) . 2 入 z= 0令 y 1=^2 X 贝U n 1 = (0,迄人 2 X — 2).2X ,2 X+X 4 ( X — 1) 2= 2,所以=3 或 X =1(舍去)，所以所求点Q 为线段CP 上靠近点C 的一个三等分点，即在线段 PC 上存在点Q 满足条件. 、BC 2y + 2Z = 0,取 n = (1x + y = 0设直线PA 与平面PBC 所成角为 B,则丽e=會=普|AP||n |由平面QAD 与平面PBC 所成的锐二面角为n 3,n |n 1 n | 得cos n=缶4.( 2018全国卷川)如图，边长为2的正方形ABCD所在的平面与半圆弧CD所在平面垂直，M是CD上异于C，D的点.(1)证明：平面AMD _平面BMC ;⑵当三棱锥M - ABC体积最大时，求面MAB与面MCD所成二面角的正弦值.5.(2018 天津)如图，AD// BC 且AD=2BC , AD _ CD , EG// AD 且EG 二AD , CD// FG 且CD=2FG , DG —平面ABCD , DA 二DC 二DG = 2 .(1) 若M为CF的中点，N为EG的中点，求证：MN //平面CDE ;(2) 求二面角E - BC -F的正弦值；(3) 若点P在线段DG上，且直线BP与平面ADGE所成的角为60，求线段DP的长.。