数列递推公式
含三项的数列递推公式
含三项的数列递推公式数列这玩意儿，在数学里那可是个相当重要的角色。
就拿含三项的数列递推公式来说吧，它就像是数学世界里的一个神秘密码，等着咱们去破解。
记得我当年读书的时候，有一次数学考试，就考到了一个含三项的数列递推公式的题目。
当时我那叫一个抓耳挠腮啊！看着那一串数字和符号，感觉它们就像一群调皮的小精灵，在我眼前蹦跶，就是不让我抓住它们的规律。
咱们先来聊聊什么是数列递推公式。
简单说，就是通过前面的几项，按照一定的规则能推出后面的项。
而含三项的数列递推公式呢，就是得参考前面三项的关系才能得出下一项。
比如说，有个数列{aₙ}，它的递推公式是 aₙ₊₁ = aₙ + aₙ₋₁ + 2 （n ≥ 2）。
这就意味着要得到第 n + 1 项，得把第 n 项、第 n - 1 项加起来，再加上 2 才行。
那怎么去求解这样的数列呢？这可就需要咱们开动脑筋啦！有时候，可以通过观察数列的前几项，找找规律。
比如说，先算出前面几项的值，看看能不能发现什么周期性或者递增递减的趋势。
还有一种常见的方法就是数学归纳法。
先假设某个结论对于 n = k时成立，然后通过递推公式证明对于 n = k + 1 时也成立。
这个过程就像是搭积木，一层一层往上盖，只要基础打得稳，就能盖出高楼大厦。
我曾经给学生讲过这样一道题：已知数列{aₙ}满足 a₁ = 1，a₂ = 2，aₙ₊₁ = 2aₙ - aₙ₋₁（n ≥ 2），求这个数列的前几项。
我就引导学生们一步一步来，先算出 a₃ = 2a₂ - a₁ = 2×2 - 1 = 3 ，接着再算 a₄、a₅等等。
在这个过程中，有些学生一开始会算错，但是没关系，多练几遍，慢慢就找到感觉了。
含三项的数列递推公式在实际生活中也有它的用处呢。
比如说，在研究经济增长模型的时候，可能就会用到类似的数学模型。
还有在计算机编程里，如果要生成一些有规律的数据，也可能会用到这样的知识。
总之，含三项的数列递推公式虽然有点复杂，但是只要咱们掌握了方法，多练习，多思考，就一定能把它拿下！就像当年我在考试中被那个难题困扰，但后来通过不断努力，最终还是搞明白了，那种成就感，真是无与伦比！所以啊，同学们，遇到含三项的数列递推公式别害怕，勇敢地去探索其中的奥秘，相信你们都能行！。
数列的递推关系
数列的递推关系数列是由一组按照一定规律排列的数所组成的序列。
在数学中，常常需要通过递推公式来确定数列中的每一项。
递推关系是指根据前几项的值，通过某种规律来计算下一项的值。
1. 递推关系的概念递推关系是指通过前几项的值来计算下一项的值的数学关系。
通常表示为an+1 = f(an, an-1, ..., a1)，其中an表示第n项的值，f表示递推函数或递推公式。
递推关系可以是线性的、多项式的、指数的等等。
2. 线性递推关系线性递推关系是指数列中的每一项都可以通过前一项和前几项的线性组合来计算得到。
具体来说，对于线性递推关系an = c1*an-1 +c2*an-2 + ... + ck*an-k，其中c1, c2, ..., ck为常数，且k为一个固定的正整数。
常见的线性递推关系有斐波那契数列等。
3. 多项式递推关系多项式递推关系是指数列中的每一项的计算都涉及前面若干项的多项式函数。
具体来说，对于多项式递推关系an = p(n) = a(n-1) + a(n-2) + ... + a(n-k)，其中p(n)为一个多项式函数，a(n-1), a(n-2), ..., a(n-k)为前面的若干项。
多项式递推关系常用于描述一些复杂的数学问题，如组合数学中的排列、组合等。
4. 指数递推关系指数递推关系是指数列中的每一项的计算都涉及指数函数。
具体来说，对于指数递推关系an = a(n-1) ^ k，其中k为常数。
指数递推关系常用于描述一些增长速度非常快的数列，如幂数列等。
5. 递推关系的应用递推关系在数学中具有广泛的应用。
它可以帮助研究数列的性质、推导数列的通项公式，甚至可以用来解决一些实际问题。
例如，在物理学中，递推关系可以用来描述物体的运动轨迹；在计算机科学中，递推关系可以用来描述算法的时间复杂度。
总结：数列的递推关系是通过前几项的值来计算下一项的数学关系。
它可以是线性的、多项式的、指数的等等。
递推关系在数学中起到了重要的作用，帮助研究数列的性质、推导数列的通项公式，以及解决实际问题。
高中数学 2.1.2 数列的递推公式课件 新人教A版必修5
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目标引航
自主预习
课堂互动
典型考题
随堂练习
题型 一
题型 二
题型 三
题型一
递推公式的应用
a3=1+ a2=1+ × = , a4=1+ a3=1+ × = a5=1+ a5=1+ ×
15 8 15 , 8 31 . 16 3 2 7 4 15 8 31 16
=
∴ 这个数列的前 5 项是 a1=1,a2= ,a3= ,a4= ,a5= .
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高中数学课件
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第2课时
数列的递推公式
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1.知道递推公式是给出数列的一种形式. 2.能够根据递推公式写出数列的前几项.
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典型考题
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递推公式 如果已知数列 {an}的首项(或前几项),且任一项 an 与它的前一项 an-1(或 前几项)间的关系可用一个公式来表示,那么这个公式叫做数列的递推公式. 用递推公式给出数列的方法叫做递推法.
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典型考题
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题型 一
题型 二
题型 三
递推公式中往往含有 a n+m,其意义是数列中的第 n+m 项,通常与 an+m 不相等.
由数列的递推公式求通项公式课件
2
⇒ +1 = +
3
3
3
设 =
，则
3
+1 =
即
+1
+1
，有
3+1
+1 = +
+1 − =
2 − 1 =
2 +1
3
2 +1
3
（可用累加法求出通项公式）
3 − 2 =
2 2
3
2 3
3
……,
− −1=
⇒ − 1 =
+1 + = ( + ) ⟹
+1 +
+
= ，
所以{ + }是等比数列，公比为，首项为1 +
（2）是用作差法直接构造： 由已知得 +1 = + , = −1 + ， 两式相减有
+1 − = ( − −1 )
所以+1 − 是公比为的等比数列
由数列的递推公式求通项公式
递推公式：
如果数列{an}的第n项与它前一项或几项的关系可以用一个式子来表示，
那么这个公式叫做这个数列的递推公式。
例如：等差数列递推公式：+1 = + 或 −1 + +1 = 2
+1
等比数列递推公式：
=
已知数列的递推公式，求取其通项公式是数列中一类常见的题型，这类题型如果单纯的看某一个具
例3. 在数列{ }中，1 = 1，当 ≥ 2时，有 = 3−1 + 2，求{ }的通项公式。
解法1：设 + = 3(−1 + )，即有 = 3−1 + 2
数列递推公式的九种方法
求递推数列的通项公式的九种方法利用递推数列求通项公式，在理论上和实践中均有较高的价值.自从二十世纪八十年代以来，这一直是全国高考和高中数学联赛的热点之一.一、作差求和法例1在数列{n a }中，31=a ,)1(11++=+n n a a n n ，求通项公式n a .解：原递推式可化为：1111+-+=+n n a a n n 则,211112-+=a a 312123-+=a a 413134-+=a a ，……，n n a a n n 1111--+=-逐项相加得：n a a n 111-+=.故na n 14-=.二、作商求和法例2设数列{n a }是首项为1的正项数列，且0)1(1221=+-+++n n n n a a na a n （n=1,2,3…），则它的通项公式是n a =▁▁▁（2000年高考15题）解：原递推式可化为：)]()1[(11n n n n a a na a n +-+++=0∵n n a a ++1＞0，11+=+n na a n n 则,43,32,21342312===a a a a a a ……，nn a a n n 11-=-逐项相乘得：na a n 11=，即n a =n 1.三、换元法例3已知数列{n a }，其中913,3421==a a ，且当n≥3时，)(31211----=-n n n n a a a a ，求通项公式n a （1986年高考文科第八题改编）.解：设11---=n n n a a b ，原递推式可化为：}{,3121n n n b b b --=是一个等比数列，9134913121=-=-=a a b ，公比为31.故n n n n b b 31()31(9131(2211==⋅=---.故n n n a a )31(1=--.由逐差法可得：nn a )31(2123-=.例4已知数列{n a }，其中2,121==a a ，且当n ≥3时，1221=+---n n n a a a ，求通项公式n a 。
数列的递推公式与通项公式前n项和公式
二、数列的递推公式与通项公式、前n 项和公式一、知识点回顾：1、递推公式定义：如果已知数列{}n a 的第1项（或前几项），且任一项n a 与它的前一项1n a -（或前几项）间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式就叫做这个数列的递推公式。
2、数列前n 项和S n 与通项a n 的关系式：a n =⎩⎨⎧--11s s s n n 12=≥n n 。
在数列｛a n ｝中，前n 项和S n 与通项公式a n 的关系，是本讲内容一个重点，要认真掌握之。
注意：（1）用1--=n n n S S a 求数列的通项公式时，你注意到此等式成立的条件了吗？（2n ≥，当1n =时，11S a =）；若a 1 适合由a n 的表达式，则a n 不必表达成分段形式，可化统一为一个式子。
（2）一般地当已知条件中含有n a 与n S 的混合关系时，常需运用关系式1--=n n n S S a ，先将已知条件转化为只含n a 或n S 的关系式，然后再求解。
3、数列的通项的求法：⑴公式法：①等差数列通项公式；②等比数列通项公式。
⑵已知n S （即12()n a a a f n +++= ）求n a ，用作差法：{11,(1),(2)n nn S n a S S n -==-≥。
一般地当已知条件中含有n a 与n S 的混合关系时，常需运用关系式1--=n n n S S a ，先将已知条件转化为只含n a 或n S 的关系式，然后再求解。
⑶已知12()n a a a f n = 求n a ，用作商法：(1),(1)(),(2)(1)n f n f n a n f n =⎧⎪=⎨≥⎪-⎩。
⑷若1()n n a a f n +-=求n a 用累加法：11221()()()n n n n n a a a a a a a ---=-+-++- 1a +(2)n ≥。
⑸已知1()n n a f n a +=求n a ，用累乘法：121121n n n n n a a aa a a a a ---=⋅⋅⋅⋅ (2)n ≥。
数列的递推公式范文
数列的递推公式范文数列是一种按照一定规律排列的数字序列。
数列中的每一个数字称为序列的项，项之间的规律决定了数列的递推公式。
线性递推公式是指数列中的每一项可以通过前面的一项或多项加减乘除等运算得到的公式。
其中最简单的线性递推公式是等差数列的递推公式。
等差数列是指数列中的每一项与前一项之间的差是一个常数。
设数列的首项为a1，公差为d，则等差数列的递推公式可以表示为：an = a1 + (n-1)d。
其中 n 表示数列中的第 n 项。
等差数列的递推公式可以用来求等差数列的任意一项。
例如，已知一个等差数列的第一项为3，公差为2，要求数列的第10项的值，可以将递推公式带入计算：a10=3+(10-1)2=3+18=21除了等差数列，还有一种常见的数列叫做等比数列。
等比数列是指数列中的每一项与前一项之间的比是一个常数。
设数列的首项为a1，公比为r，则等比数列的递推公式可以表示为：an = a1 * r^(n-1)。
其中 n表示数列中的第 n 项。
和等差数列一样，等比数列的递推公式也可以用来求等比数列的任意一项。
例如，已知一个等比数列的第一项为2，公比为3，要求数列的第5项的值，可以将递推公式带入计算：a5=2*3^(5-1)=2*3^4=162除了线性递推公式，还有一类数列的递推公式是非线性的，即项与前面的项之间的关系无法用简单的运算来表示。
这类数列的递推公式往往需要根据数列的特点进行推导。
例如，斐波那契数列是一种非线性递推数列，其每一项都是前面两项的和。
即 an = an-1 + an-2、首项和第二项都给定的情况下，根据递推公式可以计算出数列的后续项。
数列的递推公式在数学和实际问题中都有广泛的应用。
通过递推公式，我们可以根据已知的条件来推导出数列的后续项，从而求解问题。
在数学中，数列的递推公式是研究数列性质和数列求和等问题的基础。
在实际问题中，数列的递推公式可以用来描述变化规律，预测未来的值，或者解决与数列相关的实际问题。
数列的递推公式和通项公式总结
数列的递推公式和通项公式总结一、数列的概念1.数列：按照一定顺序排列的一列数。
2.项：数列中的每一个数。
3.项数：数列中数的个数。
4.首项：数列的第一项。
5.末项：数列的最后一项。
6.公差：等差数列中，相邻两项的差。
7.公比：等比数列中，相邻两项的比。
二、数列的递推公式1.等差数列的递推公式：an = a1 + (n-1)d–an：第n项–a1：首项2.等比数列的递推公式：an = a1 * q^(n-1)–an：第n项–a1：首项3.斐波那契数列的递推公式：an = an-1 + an-2–an：第n项–an-1：第n-1项–an-2：第n-2项三、数列的通项公式1.等差数列的通项公式：an = a1 + (n-1)d–an：第n项–a1：首项2.等比数列的通项公式：an = a1 * q^(n-1)–an：第n项–a1：首项3.斐波那契数列的通项公式：an = (1/√5) * [((1+√5)/2)^n - ((1-√5)/2)^n]–an：第n项四、数列的性质1.收敛性：数列的各项逐渐接近某个固定的数。
2.发散性：数列的各项无限增大或无限减小。
3.周期性：数列的各项按照一定周期重复出现。
五、数列的应用1.数学问题：求数列的前n项和、某项的值、数列的收敛性等。
2.实际问题：人口增长、贷款利息计算、等差数列的求和等。
六、数列的分类1.有限数列：项数有限的数列。
2.无限数列：项数无限的数列。
3.交错数列：正负交替出现的数列。
4.非交错数列：同号连续出现的数列。
5.常数数列：所有项都相等的数列。
6.非常数数列：各项不相等的数列。
综上所述，数列的递推公式和通项公式是数列学中的重要知识点，通过这些公式，我们可以求解数列的各种问题。
同时，了解数列的性质和分类，有助于我们更好地理解和应用数列。
习题及方法：1.习题一：已知等差数列的首项为3，公差为2，求第10项的值。
答案：a10 = 3 + (10-1) * 2 = 3 + 18 = 21解题思路：利用等差数列的递推公式an = a1 + (n-1)d，将给定的首项和公差代入公式，求得第10项的值。
2.1.2 数列的性质和递推公式
第2课时 数列的性质和递推公式一、数列与函数的关系数列可以看作是以正整数集N *(或它的有限子集{1，2，3，…，n })为定义域的函数a n ＝f (n )，当自变量按照从小到大的顺序依次取值时所对应的一列函数值．二、数列的递推公式如果数列{a n }的第1项或前几项已知，并且数列{a n }的任一项a n 与它的前一项a n －1(或前几项)间的关系可以用一个式子来表示，那么这个式子就叫做这个数列的递推公式．递推公式也是数列的一种表示方法．1.数列的函数性质例1.已知函数f (x )＝2x －2－x ，数列{a n }满足f (log 2a n )＝－2n (n ∈N *)．(1)求数列{a n }的通项公式；(2)判断数列{a n }的增减性．变式2.判断下列数列的单调性：(1)在数列{a n }中，a n ＝－2n ＋3；(2)在数列{a n }中，a n ＝n 2＋2n －5.2.数列的递推公式例2.设数列{a n }满足⎩⎪⎨⎪⎧ a 1＝1，a n ＝1＋1a n －1(n >1，n ∈N *).写出这个数列的前5项．变式2.在数列{a n }中，已知a 1＝2，a 2＝3，a n ＋2＝3a n ＋1－2a n (n ≥1)，写出此数列的前6项．3.由数列的递推公式求数列的通项公式例3.(1)已知数列{a n }满足a 1＝－1，a n ＋1＝a n ＋1n （n ＋1），n ∈N *，求通项公式a n ； (2)设数列{a n }中，a 1＝1，a n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1－1n a n －1(n ≥2)，求通项a n .变式3.已知数列{a n }满足a 1＝12，n n n n a a a a -=--11，求数列{a n }的通项公式．课堂练习：1．数列1,3,6,10,15，…的递推公式是( )A ．a n ＋1＝a n ＋n ，n ∈N *B ．a n ＝a n －1＋n ，n ∈N *，n ≥2C ．a n ＋1＝a n ＋(n ＋1)，n ∈N *D ．a n ＝a n －1＋(n －1)，n ∈N *，n ≥22．已知数列{a n }满足a 1＝2，a n ＋1－a n ＋1＝0(n ∈N *)，则此数列的通项a n 等于( )A ．n 2＋1B ．n ＋1C ．1－nD ．3－n3．用火柴棒按下图的方法搭三角形：按图示的规律搭下去，则所用火柴棒数a n 与所搭三角形的个数n 之间的关系式可以是______________．课时作业一、选择题1．已知a n ＋1－a n －3＝0，则数列{a n }是( )A ．递增数列B ．递减数列C ．常数列D ．不能确定2．已知数列{a n }的首项为a 1＝1，且满足a n ＋1＝12a n ＋12n ，则此数列的第4项是( )A ．1 B.12 C.34 D.583．数列{a n }中，a 1＝1，对所有的n ≥2，n ∈N *，都有a 1·a 2·a 3·…·a n ＝n 2，则a 3＋a 5等于() A.259 B.2516 C.6116 D.31154．已知a 1＝1，a n ＝a n －1＋3(n ≥2，n ∈N *)，则数列的通项公式为( )A ．a n ＝3n ＋1B ．a n ＝3nC ．a n ＝3n －2D ．a n ＝3(n －1)5．若a 1＝1，a n ＋1＝a n 3a n ＋1，则给出的数列{a n }的第4项是( )A.116B.117C.110D.1256．已知数列{a n }中，a n ＝－2n 2＋29n ＋3，则数列中最大项的值是( )A ．107B ．108C ．10818D ．109二、填空题7．已知数列{a n }满足a n ＋1＝⎩⎪⎨⎪⎧ 2a n ，0≤a n <12，2a n －1，12≤a n <1.若a 1＝67，则a 2 017＝________.8．已知数列{a n }的通项公式为a n ＝⎩⎨⎧ 3n ＋1，n 为正奇数，4n －1，n 为正偶数，则它的前4项依次为________．9．已知数列{a n }满足：a n ≤a n ＋1，a n ＝n 2＋λn ，n ∈N *，则实数λ的最小值是________．10．根据下列5个图形及相应点的个数的变化规律，可以得出第n 个图中有________个点．三、解答题11．已知数列{a n }中，a 1＝1，a 2＝23，1a n －2＋1a n ＝2a n －1(n ∈N *，n ≥3)，求a 3，a 4.12．根据下列条件，写出数列的前4项，并归纳猜想它的通项公式．(1)a 1＝0，a n ＋1＝a n ＋2n －1(n ∈N *)；(2)a 1＝1，a n ＋1＝a n ＋a n n ＋1(n ∈N *)； (3)a 1＝－1，a n ＋1＝a n ＋1n (n ＋1)(n ∈N *)．。
4.1第二课时 数列的递推公式与前n项和(课件(人教版))
由数列的递推公式求通项公式时，若递推关系为 an＋1＝ an＋f(n)或 an＋1＝g(n)·an，则可以分别通过累加或累乘法求得 通项公式，即：
(1)累加法：当 an＝an－1＋f(n)时，常用 an＝(an－an－1)＋ (an－1－an－2)＋…＋(a2－a1)＋a1 求通项公式；
(2)累乘法：当aan－n 1＝g(n)时，常用 an＝aan－n 1·aann－－12·…·aa21·a1 求通项公式．
3＋b，n＝1， 当 b≠－1 时，an＝2·3n－1，n≥2.
已知 Sn 求 an 的 3 个步骤 (1)先利用 a1＝S1 求出 a1； (2)用 n－1 替换 Sn 中的 n 得到一个新的关系，利用 an＝ Sn－Sn－1(n≥2)便可求出当 n≥2 时 an 的表达式； (3)对 n＝1 时的结果进行检验，看是否符合 n≥2 时 an 的 表达式，如果符合，则可以把数列的通项公式合写；如果不符 合，则应该分 n＝1 与 n≥2 两段来写．
1．由于数列是特殊的函数，所以可以用研究函数的思想 方法来研究数列的相关性质，如单调性、最大值、最小值等， 此时要注意数列的定义域为正整数集或其有限子集{1,2，…， n}这一条件．
2．可以利用不等式组aann－≥1≤ana＋n1， (n>1)找到数列的最大 项；利用不等式组aann－≤1≥ana＋n1， (n>1)找到数列的最小项．
根据数列的前 n 项和公式求通项 [例 4] 已知下面数列{an}的前 n 项和 Sn，求{an}的通项公式． (1)Sn＝2n2－3n； (2)Sn＝3n＋b. [解] (1)当 n＝1 时，a1＝S1＝2－3＝－1，
当 n≥2 时，an＝Sn－Sn－1＝(2n2－3n)－[2(n－1)2－3(n－1)]
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数列递推公式
数列是数学中非常重要的概念，它描述了一组按照特定规律排列的
数字。
数列常常通过递推公式来定义，递推公式表达了每一项与前一
项之间的关系。
在本文中，我们将探讨数列递推公式的定义、性质以
及应用。
一、数列递推公式的定义
数列是由一组按照特定规律排列的数字所组成的序列。
数列中的每
一项通常用a1, a2, a3等符号来表示，其中an代表第n个数字。
数列可
以是有限的，也可以是无限的。
对于有限数列，其最后一项是确定的；而对于无限数列，其具体项数是无穷大。
数列递推公式是数列中的每一项用其前一项表示的关系式。
数列递
推公式常常写成an = f(an-1)，其中f是一个确定的函数。
递推公式表达了每一项与前一项之间的关系，通过这个关系，我们可以根据已知的
前几项，推导出后面的项。
二、数列递推公式的性质
1. 逐差性质：对于数列 {an}，如果有递推公式an = an-1 + d，其中
d是常数，那么这个数列就具有逐差性质。
也就是说，每一项与前一项
之差都是相等的。
2. 叠加性质：如果数列 {an} 和 {bn} 都有递推公式an = f(an-1) 和
bn = g(bn-1)，那么它们的和的递推公式为cn = f(cn-1) + g(cn-1)。
3. 乘法性质：如果数列 {an} 有递推公式an = f(an-1)，那么其倍数的递推公式为an = kf(an-1)，其中k是常数。
三、数列递推公式的应用
数列递推公式在数学和物理学等领域有着广泛的应用。
以下是数列递推公式的一些应用示例：
1. 斐波那契数列：1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, ... 斐波那契数列是一个经典的数列，满足递推公式an = an-1 + an-2。
它在自然界中常常出现，比如花瓣的排列、兔子的繁殖等。
2. 等差数列：1, 4, 7, 10, 13, ... 等差数列是一个对应项之差都相等的数列，满足递推公式an = an-1 + 3。
等差数列在代数学中经常出现，用于解方程、求和等问题。
3. 等比数列：1, 3, 9, 27, 81, ... 等比数列是一个对应项之比都相等的数列，满足递推公式an = 3 * an-1。
等比数列在几何学和财务学等领域广泛应用。
总结：
数列递推公式是描述数列中每一项与前一项之间关系的重要工具。
通过数列递推公式，我们可以根据已知的前几项，推导出后面的项。
这种概念和方法在数学、物理学等学科中有着广泛的应用。
因此，了解数列递推公式的定义、性质以及应用是十分重要的。