数列的递推公式练习

数列的递推公式练习 IMB standardization office【IMB 5AB- IMBK 08- IMB 2C】

课时作业5数列的递推公式(选学)

时间：45分钟满分：100分

课堂训练

1．在数列{a n}中，a1＝，a n＝(－1)n·2a n－1(n≥2)，则a5＝()

A．－

C．－

【答案】 B

【解析】由a n＝(－1)n·2a n－1知a2＝，a3＝－2a2＝－，a4＝2a3＝－，a5＝－2a4＝.

2．某数列第一项为1，并且对所有n≥2，n∈N，数列的前n项之积为

n2，则这个数列的通项公式是()

A．a n＝2n－1 B．a n＝n2

C．a n＝D．a n＝

【答案】 C

【解析】∵a1·a2·a3·…·a n＝n2，a1·a2·a3·…·a n－1＝(n－1)2，∴两式相除，得a n＝.

3．已知数列{a n}满足：a4n－3＝1，a4n－1＝0，a2n＝a n，n∈N＋，则a2009＝

________，a2014＝________.

【答案】10

【解析】考查数列的通项公式．

∵2009＝4×503－3，∴a2009＝1，

∵2014＝2×1007，∴a2014＝a1007，

又1007＝4×252－1，∴a1007＝a4×252－1＝0.

4．已知数列{a n}，a1＝0，a n＋1＝，写出数列的前4项，并归纳出该数列的通项公式．

【解析】a1＝0，a2＝＝，a3＝＝＝，a4＝＝＝.

直接观察可以发现，把a3＝写成a3＝，

这样可知a n＝(n≥2，n∈N＋)．

当n＝1时，＝0＝a1，

所以a n＝(n∈N＋)．

课后作业

一、选择题(每小题5分，共40分)

1．已知数列{a n}满足：a1＝－，a n＝1－(n≥2)，则a4＝()

C．－

【答案】 C

【解析】∵a1＝－，a n＝1－(n≥2)，

∴a2＝1－＝1－＝5，

a3＝1－＝1－＝，

a4＝1－＝1－＝1－＝－.

2．数列{a n}满足a1＝，a n＝－(n≥2，n∈N＋)，则a2013＝()

B．－

C．3 D．－3

【答案】 A

【解析】由已知得，a2＝－3，a3＝，a4＝－3，所以a n＝故a2013＝，选A.

3．数列1,3,6,10,15，…的递推公式是()

【答案】 B

【解析】代入验证得B.

4．一个数列{a n}，其中a1＝3，a2＝6，a n＋2＝a n＋1－a n，那么这个数列的第5项是()

A．6 B．－3

C．－12 D．－6

【答案】 D

【解析】a n＋2＝a n＋1－a n，a n＋3＝a n＋2－a n＋1＝a n＋1－a n－a n＋1＝－a n，故a5＝a2＋3＝－a2＝－6.

5．观察下图，并阅读图形下面的文字，像这样10条直线相交，交点的个数最多是()

A．40个B．45个

C．50个D．55个

【答案】 B

【解析】交点个数依次组成数列为1,3,6，即

，，，由此猜想a n＝(n≥2，n∈N＋)，

∴a10＝＝45.

6．在数列{a n}中，a1＝5，a n＋1＝a n＋4n－1(n∈N＋)，则通项a n等于() A．2n2－3n B．2n2－3n＋6

C．n2－3n＋6 D．2n2－3n＋9

【答案】 B

【解析】∵a n＋1－a n＝4n－1，

∴a2－a1＝4×1－1，a3－a2＝4×2－1，a4－a3＝4×3－1，…，a n－a n－1＝4(n－1)－1，累加上述各式，得a n－a1＝4(1＋2＋…＋n－1)－(n－1)，∴a n＝2n2－3n＋6.

7．已知{a n}中，a1＝1，a n a n－1＝a n－1＋(－1)n(n≥2)，则的值为()

A．－3 B．－4

【答案】 C

【解析】由递推公式逐个求解．

8．已知数列{a n}满足a1＝0，a n＋1＝(n∈N＋)，则a2013等于()

A．0 B．－

【答案】 C

【解析】a1＝0，a2＝－，a3＝，a4＝0，…，T＝3，∴a2013＝a3＝.

二、填空题(每小题10分，共20分)

9．设数列{a n}满足a1＝1，a n＝2＋(n>1)，则a4＝________.

【答案】

【解析】由递推公式a2＝2＋＝3，a3＝2＋＝，a4＝2＋＝.

10．已知数列{a n}对任意p，q∈N＋，有a p＋a q＝a p＋q，若a1＝，则a36＝________.

【答案】 4

【解析】由已知得，a2＝a1＋1＝2a1＝；

a4＝a2＋2＝2a2＝；a8＝a4＋4＝2a4＝；

a9＝a1＋8＝a1＋a8＝＋＝1，a36＝4a9＝4.

三、解答题(每小题20分，共40分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)

11．已知数列{a n}的前n项和S n分别是：(1)S n＝n2＋n＋1；(2)S n＝2n－1，求通项a n.

【解析】(1)当n＝1时，a1＝S1＝3.

当n≥2时，a n＝S n－S n－1＝2n.

∵a1不适合a n，

∴a n＝

(2)当n＝1时，a1＝S1＝1.

当n≥2时，a n＝S n－S n－1＝(2n－1)－(2n－1－1)＝2n－1.

∵a1适合a n，

∴a n＝2n－1(n≥1)．

12．求满足下列条件的数列{a n}的通项公式．

(1)已知{a n}满足a n＋1＝a n＋，且a1＝，求a n；

(2)已知{a n}满足a n＋1＝3n a n，且a1＝3，求a n.

【解析】(1)由已知条件有

a n＋1－a n＝＝(－)，