2018高中数学人教B版必修五2.1.2《数列的递推公式选学》双基达标练

2.1.2 数列的递推公式(选学)

1．数列{a n }满足a n ＋1＝a n ＋n ，且a 1＝1，则a 5的值为 ( )．

A ．9

B ．10

C ．11

D ．12

解析 a 5＝a 4＋4＝a 3＋3＋4＝a 2＋2＋3＋4＝a 1＋1＋2＋3＋4＝11.

答案 C

2．已知数列{a n }的首项为a 1＝1，且满足a n ＋1＝12a n ＋1

2n ，则此数列的第4项是( )．

A.5

16

B.12

C.34

D.58 解析 ∵a 1＝1，a n ＋1＝12a n ＋1

2n ，

∴a 2＝12×a 1＋12＝1，a 3＝12a 2＋122＝3

4

，

a 4＝1

2a 3＋123＝38＋18＝12

.

答案 B

3．设数列{a n }中，a 1＝2，a n ＋1＝2a n ＋3，则通项a n 可能是 ( )．

A ．5－3n

B ．3·2n －1－1

C ．5－3n 2

D ．5·2

n －1

－3

解析 由a 1＝2，得a 2＝2a 1＋3＝7，代入验证得只有D 适合．

答案 D

4．已知数列{a n }满足a 1＝－14，a n ＝1－1a n －1(n >1)则a 4＝ .

解析 a 2＝1－1a 1＝5，a 3＝1－1a 2＝4

5

，

a 4＝1－1a 3＝－1

4

.

答案 －1

4

5．已知数列{a n }中，a 1＝12，a n ＝a n －1－1

2(n ≥2)，则a n ＝ .

解析 a n ＝(a n －a n －1)＋(a n －1－a n －2)＋…＋(a 2－a 1)＋a 1 ＝－12－12＋…＋(－12)＋1

2

＝－12(n －1)＋12＝1－n 2

.

答案 1－n

2

6．根据下面各个数列{a n }的首项和递推公式，写出它的前五项，并归纳出通项公式． (1)a 1＝0，a n ＋1＝a n ＋(2n －1)(n ∈N ＋)； (2)a 1＝1，a n ＋1＝

2a n

a n ＋2

(n ∈N ＋)． 解 (1)a 1＝0；a 2＝a 1＋1＝1；a 3＝a 2＋3＝4；a 4＝a 3＋5＝9；

a 5＝a 4＋7＝16.由a 1＝02，a 2＝12，a 3＝22，a 4＝32，a 5＝42，

可归纳出a n ＝(n －1)2

. (2)a 1＝1；a 2＝

2a 1a 1＋2＝23；a 3＝2a 2a 2＋2＝1

2

； a 4＝2a 3a 3＋2＝25；a 5＝2a 4a 4＋2＝1

3.

由a 1＝1＝22，a 2＝23，a 3＝12＝24

，

a 4＝25，a 5＝13＝26

.

可归纳出a n ＝

2

n ＋1

. 综合提高

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7．在数列{a n }中，a 1＝2，a n ＋1＝a n ＋ln(1＋1

n

)，则a n 等于

( )．

A ．2＋ln n

B ．2＋(n －1)ln n

C ．2＋n ln n

D ．1＋n ＋ln n

解析 由题意可知：a n ＋1＝a n ＋ln n ＋1

n

， 即a n ＋1－a n ＝ln(n ＋1)－ln n ，

于是a n ＝(a n －a n －)＋(a n －1－a n －2)＋…＋(a 2－a 1)＋a 1

＝ln n －ln(n －1)＋ln(n －1)－ln(n －2)＋…＋ln 2－ln 1＋2＝2＋ln n . 答案 A

8．已知数列{a n }满足a n ＋1

＝⎩⎪⎨⎪⎧

2a

n a n <

1

2

，

2a n

－

1

2

≤a n 若a 1＝67

，则a 2 012的值为( )．

A.67

B.57

C.37

D.17

解析 计算得a 2＝57，a 3＝37，a 4＝6

7，

故数列{a n }是以3为周期的周期数列，

又知2 010除以3余2，所以a 2 012＝a 2＝5

7.

答案 B

9．数列{a n }中，a 1＝1，a n ＋1a n ＝a n 2

＋(－1)n ＋1

(n ∈N *

)，则a 4a 2

＝ .

解析 a 2＝2，a 3＝32，a 4＝136，a 4a 2＝13

12.

答案

13

12

10．已知数列的前n 项和为S n ，满足log 2(1＋S n )＝n ＋1，则数列的通项公式a n ＝________.

解析 ∵log 2(1＋S n )＝n ＋1 ∴1＋S n ＝2n ＋1

即S n ＝2

n ＋1

－1

当n ＝1，a 1＝S 1＝22

－1＝3 当n ≥2，a n ＝S n －S n －1＝(2n ＋1

－1)－(2n

－1)

＝2

n ＋1－2n

＝2n

∵a n ＝2n

，对于n ＝1，a 1＝21

＝2≠3

∴通项公式为a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧ 3

2n

n ＝1n ≥2

答案 ⎩

⎪⎨⎪⎧ 3

2n

n ＝1n ≥2

11．在数列{a n }中，a 1＝1，a 2＝23，且1a n －2＋1a n ＝2a n －1(n ≥3，n ∈N *

)，求a 3，a 4的值．

解 令n ＝3，则1a 1＋1a 3＝2a 2，将a 1＝1，a 2＝2

3代入，

1

a 3＝2a 2－1

a 1

＝3－1＝2，

∴a 3＝1

2

.

令n ＝4，则1a 2＋1a 4＝2

a 3

，

将a 2＝23，a 3＝1

2代入，

1

a 4＝2a 3－1a 2＝4－32＝52， ∴a 4＝25

.

12．(创新拓展)设{a n }是首项为1的正项数列，且(n ＋1)a n ＋12

－na n 2

＋a n ＋1a n ＝0(n ＝