数列的递推公式练习

课时作业5 数列的递推公式(选学)
时间：45分钟 满分：100分
课堂训练
1．在数列{a n }中，a 1＝1
3，a n ＝(－1)n ·2a n －1(n ≥2)，则a 5＝( ) A ．－16
3 C ．－83
【答案】 B
【解析】 由a n ＝(－1)n
·2a n －1知a 2＝23，a 3＝－2a 2＝－4
3，a 4＝2a 3
＝－83，a 5＝－2a 4＝163.
2．某数列第一项为1，并且对所有n ≥2，n ∈N ，数列的前n 项之积为n 2，则这个数列的通项公式是( )
A ．a n ＝2n －1
B ．a n ＝n 2
C ．a n ＝n 2
n －12
D ．a n ＝n ＋12
n 2
【答案】 C
【解析】 ∵a 1·a 2·a 3·…·a n ＝n 2，a 1·a 2·a 3·…·a n －1＝(n －1)2，∴两式相除，得a n ＝n 2
n －12
.
3．已知数列{a n }满足：a 4n －3＝1，a 4n －1＝0，a 2n ＝a n ，n ∈N ＋，则a 2 009＝________，a 2 014＝________.
【答案】 1 0
【解析】 考查数列的通项公式．
∵2 009＝4×503－3，∴a 2 009＝1， ∵2 014＝2×1 007，∴a 2 014＝a 1 007， 又1 007＝4×252－1，∴a 1 007＝a 4×252－1＝0.
4．已知数列{a n }，a 1＝0，a n ＋1＝1＋a n
3－a n
，写出数列的前4项，并归
纳出该数列的通项公式．
【解析】 a 1＝0，a 2＝1＋a 13－a 1＝13，a 3＝1＋a 23－a 2＝1＋13
3－13＝1
2，a 4＝1＋a 33－a 3
＝1＋12
3－12
＝3
5. 直接观察可以发现，把a 3＝12写成a 3＝2
4， 这样可知a n ＝n －1
n ＋1(n ≥2，n ∈N ＋)．
当n ＝1时，1－1
1＋1＝0＝a 1，
所以a n ＝n －1
n ＋1
(n ∈N ＋)．
课后作业
一、选择题(每小题5分，共40分)
1．已知数列{a n }满足：a 1＝－14，a n ＝1－1
a n －1(n ≥2)，则a 4＝( )
C ．－14
【答案】 C
【解析】 ∵a 1＝－14，a n ＝1－1
a n －1(n ≥2)，
∴a 2＝1－1a 1
＝1－1
－14＝5，
a 3＝1－1a 2
＝1－15＝4
5，
a 4＝1－1a 3
＝1－145
＝1－54＝－1
4.
2．数列{a n }满足a 1＝13，a n ＝－1
a n －1(n ≥2，n ∈N ＋)，则a 2 013＝( )
B ．－13
C ．3
D ．－3
【答案】 A
【解析】 由已知得，a 2＝－3，a 3＝1
3，a 4＝－3，所以a n ＝
⎩⎨⎧
13
，n 为奇数，－3，n 为偶数，
故a 2 013＝1
3，选A.
3．数列1,3,6,10,15，…的递推公式是( )
【答案】 B
【解析】 代入验证得B.
4．一个数列{a n }，其中a 1＝3，a 2＝6，a n ＋2＝a n ＋1－a n ，那么这个
数列的第5项是( )
A ．6
B ．－3
C ．－12
D ．－6
【答案】 D
【解析】 a n ＋2＝a n ＋1－a n ，a n ＋3＝a n ＋2－a n ＋1＝a n ＋1－a n －a n ＋1＝－a n ，故a 5＝a 2＋3＝－a 2＝－6.
5．观察下图，并阅读图形下面的文字，像这样10条直线相交，交点的个数最多是( )
A ．40个
B ．45个
C ．50个
D ．55个 【答案】 B
【解析】 交点个数依次组成数列为1,3,6，即 2×12，2×32，3×4
2，由此猜想a n ＝nn －12(n ≥2，n ∈N ＋)， ∴a 10＝10×9
2＝45.
6．在数列{a n }中，a 1＝5，a n ＋1＝a n ＋4n －1(n ∈N ＋)，则通项a n 等于( )
A ．2n 2－3n
B ．2n 2－3n ＋6
C ．n 2－3n ＋6
D ．2n 2－3n ＋9
【答案】 B
【解析】 ∵a n ＋1－a n ＝4n －1，
∴a2－a1＝4×1－1，a3－a2＝4×2－1，a4－a3＝4×3－1，…，a n－a n－1＝4(n－1)－1，累加上述各式，得a n－a1＝4(1＋2＋…＋n－1)－(n －1)，∴a n＝2n2－3n＋6.
7．已知{a n}中，a1＝1，a n a n－1＝a n－1＋(－1)n(n≥2)，则a3
a5的值为()
A．－3 B．－4
【答案】C
【解析】由递推公式逐个求解．
8．已知数列{a n}满足a1＝0，a n＋1＝a n－3
3a n＋1
(n∈N＋)，则a2 013等
于()
A．0 B．－3
【答案】C
【解析】a1＝0，a2＝－3，a3＝3，a4＝0，…，T＝3，∴a2 013＝a3＝ 3.
二、填空题(每小题10分，共20分)
9．设数列{a n}满足a1＝1，a n＝2＋1
a n－1
(n>1)，则a4＝________.
【答案】17 7
【解析】由递推公式a2＝2＋1
a1＝3，a3＝2＋1
a2＝
7
3，a4＝2＋
1
a3＝
17 7.
10．已知数列{a n }对任意p ，q ∈N ＋，有a p ＋a q ＝a p ＋q ，若a 1＝1
9，则a 36＝________.
【答案】 4
【解析】 由已知得，a 2＝a 1＋1＝2a 1＝2
9； a 4＝a 2＋2＝2a 2＝49；a 8＝a 4＋4＝2a 4＝8
9； a 9＝a 1＋8＝a 1＋a 8＝19＋8
9＝1，a 36＝4a 9＝4.
三、解答题(每小题20分，共40分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)
11．已知数列{a n }的前n 项和S n 分别是：(1)S n ＝n 2＋n ＋1；(2)S n
＝2n －1，求通项a n .
【解析】 (1)当n ＝1时，a 1＝S 1＝3. 当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝2n . ∵a 1不适合a n ，
∴a n ＝⎩
⎪⎨⎪⎧
3，n ＝12n ，n ≥2.
(2)当n ＝1时，a 1＝S 1＝1.
当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝(2n －1)－(2n －1－1)＝2n －1. ∵a 1适合a n ， ∴a n ＝2n －1(n ≥1)．
12．求满足下列条件的数列{a n }的通项公式． (1)已知{a n }满足a n ＋1＝a n ＋14n 2－1，且a 1＝12，求a n ；
(2)已知{a n }满足a n ＋1＝3n a n ，且a 1＝3，求a n .
【解析】 (1)由已知条件有
a n ＋1－a n ＝14n 2－1＝12(12n －1－1
2n ＋1
)，
∴a n ＝a 1＋(a 2－a 1)＋(a 3－a 2)＋…＋(a n －a n －1)＝12＋12[(1－13)＋(1
3－15)＋…＋(12n －3－12n －1)]＝12＋12·(1－1
2n －1)＝4n －34n －2
. (2)由a n ＋1＝3n
a n ，得a n ＋1
a n
＝3n ，
∴a n ＝a 1·a 2a 1·a 3a 2·…·a n
a n －1 ＝3·3·32·…·3n －1 ＝31＋1＋2＋…＋n －1 ＝3
n 2－n ＋2
2
.。