24.1 圆的有关性质(第2课时)PPT课件
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圆的有关性质(垂直与弦的直径)初中物理教学PPT课件
九年级 上册
24.1 圆的有关性质（第2课时） ——垂直与弦的直径
?
不借助任何工具，你能找到一张圆形纸片 的圆心吗?
由此你能得到圆的什么特性？ 可以发现：1、圆是轴对称图形。任何一条直
径所在直线都是它的对称轴．
2.圆是中心对称图形,对称中心是圆心。
3.圆具有旋转不变性.
思考： 问题1、图中有相等的线段吗？有相等的 劣弧吗？如果有，你能找到多少对？
相等的线段有： OA=OC=OB=OD，AB=CD
相等的弧有：
C B
AC=BD, BC=AD,
， 问题2.AB、CD满足什么条件时
O
AC=BC, AD=BD ？ A
D
结论：当CD⊥AB时，
AC= BC, AD= BD
C
A
B O
D
问题3.将弦AB进行平移时，
AE与BE相等吗？
AC与 BC相等吗？ AD与 BD相等吗？A
的距离）为d, 则(a/2) 2 ＋ d2=r2
重要思路：（由）垂径定理—构造直角三角形— （结合）勾股定理—建立方程．
8．布置作业
课本习题 24.1 P90第 9，10题．
OD=OC－CD=R－7.23
在Rt△OAD中，由勾股定理，得
C
OA2=AD2+OD2
即R2=18.52+（R－7.23）2
A
D
B
R
解得：R≈27．3（m）
O
∴赵州桥的主桥拱半径约为27.3m.
1．如图，在⊙O中，弦 AB的长为8cm，圆心O 到AB的距离为3cm，求 A ⊙O的半径。
2.若⊙O的半径为10cm, OE=6cm,则AB= cm。
A
2、如图，点C是圆内的 任意一个点，利用一个 三角板，你能画出一条 弦AB，使点C刚好是这 条弦的中点吗？
24.1 圆的有关性质（第2课时） ——垂直与弦的直径
?
不借助任何工具，你能找到一张圆形纸片 的圆心吗?
由此你能得到圆的什么特性？ 可以发现：1、圆是轴对称图形。任何一条直
径所在直线都是它的对称轴．
2.圆是中心对称图形,对称中心是圆心。
3.圆具有旋转不变性.
思考： 问题1、图中有相等的线段吗？有相等的 劣弧吗？如果有，你能找到多少对？
相等的线段有： OA=OC=OB=OD，AB=CD
相等的弧有：
C B
AC=BD, BC=AD,
， 问题2.AB、CD满足什么条件时
O
AC=BC, AD=BD ？ A
D
结论：当CD⊥AB时，
AC= BC, AD= BD
C
A
B O
D
问题3.将弦AB进行平移时，
AE与BE相等吗？
AC与 BC相等吗？ AD与 BD相等吗？A
的距离）为d, 则(a/2) 2 ＋ d2=r2
重要思路：（由）垂径定理—构造直角三角形— （结合）勾股定理—建立方程．
8．布置作业
课本习题 24.1 P90第 9，10题．
OD=OC－CD=R－7.23
在Rt△OAD中，由勾股定理，得
C
OA2=AD2+OD2
即R2=18.52+（R－7.23）2
A
D
B
R
解得：R≈27．3（m）
O
∴赵州桥的主桥拱半径约为27.3m.
1．如图，在⊙O中，弦 AB的长为8cm，圆心O 到AB的距离为3cm，求 A ⊙O的半径。
2.若⊙O的半径为10cm, OE=6cm,则AB= cm。
A
2、如图，点C是圆内的 任意一个点，利用一个 三角板，你能画出一条 弦AB，使点C刚好是这 条弦的中点吗？
人教版九年级上册数学课件：24.圆的有关性质——弧、弦、圆心角
O·
又 ∠ACB=60°
B
C
∴△ABC是等边三角形，
AB=BC=CA
∴∠AOB=∠BOC=∠AOC
弧等 弦等 弦等 圆心角等
2、如图，AB是⊙O的直径，B⌒C=C⌒D=D⌒E，
∠COD=35°，求∠AOE的度数。
证明： ∵ BC⌒=C⌒D=⌒DE
∴∠COB=∠COD=∠DOE =35A° ∴∠AOE=180°-3∠COD =75°
7．提升
如图，CD为⊙O的弦，在CD上取 CE=DF，连结OE、OF，并延长交⊙O 于点A、B.
（（12））试求判证断：△A⌒CO=EB⌒FD的形状，并说明理由；
O
C EF D
A
B
ED C B
O
弧等
圆心角等
3、如图，AD=BC，请比较AB与CD的大小.
解： ∵ AD=BC
A
C
∴ AD⌒=BC⌒
∴ AD⌒+A⌒C=B⌒C+⌒AC D
O
B
即 CD⌒=A⌒B
∴ CD=AB
弦等
弧等
6．小结
1.请回顾本节课我们学习同圆或 等圆中，圆心角及其所对的弧、弦之 间的关系的学习过程.
2.怎样记忆圆心角定理呢？ 要注意什么？
B
圆心角、所对弦、所对弧 2、三个相等关系：
α
Oα
A
(1) 圆心角相等 知
(2) 弧相等
一 得
A1 B1
圆心角等
(3) 弦相等
二 弧等
弦等
5．练习
1、如图3，AB、CD 是⊙O 的两条弦。
（14）如果 AB=CD，那 OE么⊥AB于E，，OF⊥CD于F，。
（2）O如E果与A⌒OBF=相C⌒D等，吗那？么为A什B=么CD？，
人教版数学九年级上册 24.1.1 圆课件
变式 如 图 ，AB 为⊙0的直径，CD是⊙O的弦，AB、CD
的延长线交于点E, 已知AB=2DE, ∠AEC=20°.
求∠AOC 的度数.
解：如图，连接OD.
∵AB=2DE,AB=2OD,
∴0D=DE.
O
∴∠DOE=∠E=20°.
○
∴∠CDO=∠DOE+∠E=40°.
0C=OD,
∴∠C=∠ODC=40°. ∴∠AOC=∠C+∠E=60°.
⑩等弧：
在同圆或等圆中，能够互相重合 的弧叫做等弧.
想一想 ：长度相等的弧是等弧吗? 如图，如果AB和CD的拉直长度都是10 cm, 平移并调 整小圆的位置，是否能使这两条弧完全重合?
可见这两条弧不可能完全重合 实际上这两条弧弯曲程度不同
“等弧”要区别于“长度相等的弧”
结论：等弧仅仅存在于同圆或者等圆中.
∴A、B、C、D 在以0为圆心，以OA 为半径的圆上。
二.圆的有关概念
0弦：
连接圆上任意两点的线段(如图中的 AC) 叫做弦. 经过圆心的弦(如图中的AB) 叫做直径。
注 意 1.弦和直径都是线段. 2.直径是弦，是经过圆心的特殊弦，是圆中最长 的弦，但弦不一定是直径.
探索：圆中最长的弦是什么?为什么?
3.如图，AB 是⊙0的直径，点C 、D在⊙0上，且点C 、D 在AB 的异侧，连接AD、OD、OC. 若∠AOC=70°, 且 AD//OC, 求∠AOD 的度数.
解：∵AD//OC,
∴∠AOC=∠DAO=70°。 又∵OD=OA, ∴∠ADO=∠DAO=70°.
∴∠AOD=180-70°-70°=40°
当堂练习 1.填空： ( 1)直径 是圆中最长的弦，它是 半径 的2倍. (2)图中有 一 条直径， 二 条非直径的弦，圆 中以A为一个端点的圆弧中，优弧有 四条，
人教版九年级数学上册 24.1.圆的有关性质 课件
归纳：圆心为O、半径为r的圆可以 看成是所有到定点O的距离等于定长r 的点的集合．
动态：在一个平面内，线段OA绕它固定 的一个端点O旋转一周，另一个端点A所 形成的图形叫做圆．
z x xk
静态：圆心为O、半径为r的圆可以看成 是所有到定点O的距离等于定长r 的点组 成的图形．
同心圆
等圆
圆心相同，半径不同
DC E
(×)
(√)
注意：定理中的两个条件
（直径，垂直于弦）缺一不可！
DC
O D
A
(√)
2.如图，在圆O中，直径MN⊥AB，垂足
是C，则下列结论中错误的D是（ ）
A.A⌒N=⌒BN B. AC=BC
M
C.A⌒M=⌒BM D.OC=CN
O
C
A
B
N
1．如图，在⊙O中，弦AB的长为8cm，圆心O 到AB的距离为3cm，（1）求⊙O的半径． 变式训练：
(2) 若弦AB长为8cm， ⊙O半径为5cm，求圆心O到AB距离 （3）若圆心O到AB距离为3cm，⊙O半径为5cm求弦AB长
解： 作 OE⊥AB，连接OA
A
E
B
OE AB
AE 1 AB 1 8 4
O·
22
在Rt△ABC中 AO2 OE2 AE2
AO OE2 AE2 = 32 +42 =5cm
“我国圆古人”很早指对
“圆周” 圆就有这样的认 识了，战国时的 《墨经》就有 “圆，一中同长 也”的记载．它 的意思是圆上各 点到圆心的距离 都等于半径．
提问：根据圆的定义，”圆“指的是”圆周 “还是”圆面“？
从画圆的过程可以看出：
（1）圆上各点到定点（圆心O）的距离都等于定长 （半径r）； （2）到定点的距离等于定长的点都在同一个圆上．
动态：在一个平面内，线段OA绕它固定 的一个端点O旋转一周，另一个端点A所 形成的图形叫做圆．
z x xk
静态：圆心为O、半径为r的圆可以看成 是所有到定点O的距离等于定长r 的点组 成的图形．
同心圆
等圆
圆心相同，半径不同
DC E
(×)
(√)
注意：定理中的两个条件
（直径，垂直于弦）缺一不可！
DC
O D
A
(√)
2.如图，在圆O中，直径MN⊥AB，垂足
是C，则下列结论中错误的D是（ ）
A.A⌒N=⌒BN B. AC=BC
M
C.A⌒M=⌒BM D.OC=CN
O
C
A
B
N
1．如图，在⊙O中，弦AB的长为8cm，圆心O 到AB的距离为3cm，（1）求⊙O的半径． 变式训练：
(2) 若弦AB长为8cm， ⊙O半径为5cm，求圆心O到AB距离 （3）若圆心O到AB距离为3cm，⊙O半径为5cm求弦AB长
解： 作 OE⊥AB，连接OA
A
E
B
OE AB
AE 1 AB 1 8 4
O·
22
在Rt△ABC中 AO2 OE2 AE2
AO OE2 AE2 = 32 +42 =5cm
“我国圆古人”很早指对
“圆周” 圆就有这样的认 识了，战国时的 《墨经》就有 “圆，一中同长 也”的记载．它 的意思是圆上各 点到圆心的距离 都等于半径．
提问：根据圆的定义，”圆“指的是”圆周 “还是”圆面“？
从画圆的过程可以看出：
（1）圆上各点到定点（圆心O）的距离都等于定长 （半径r）； （2）到定点的距离等于定长的点都在同一个圆上．
第二十四章 圆——九年级上册人教版(2012)数学课后习题精讲课件(共120张PPT).ppt
答案：（1）相离 （2）相切 （3）相交
3.一根钢管放在 V 形架内，其横截面如图所示，钢管的半径 是 25 cm . （1）如果UV 28 cm ，VT 是多少？ （2）如果 UVW 60 ，VT 是多少？
解析：（1）VT UV 2 UT 2 282 252 1409(cm) ； （2）VT 2UT 50 cm .
3
9.如图，两个圆都以点 O 为圆心，大圆的弦 AB 交小圆于 C，D 两点.求证：AC BD .
证明：过点 O 作OE AB ，垂足为 E，则 AE BE ，CE DE ， AE CE BE DE ，即 AC BD .
10. O 的半径为13 cm ， AB ，CD 是 O 的两条弦， AB//CD ， AB 24 cm ， CD 10 cm .求 AB 和 CD 之间的距离.
（1）8 cm ； （2）10 cm ； （3）12 cm .
答案：（1）点在圆内 （2）点在圆上 （3）点在圆外
2. Rt△ABC 中， C 90 ， AC 3 cm ， BC 4 cm ，判断以点 C 为圆心，下列
r 为半径的 C 与 AB 的位置关系：
（1） r 2 cm （2） r 2.4 cm （3） r 3 cm .
第二十四章 圆
课后习题精讲
九年级上册人教版（2012）
第二十四章
24.1 圆的有关性质
1.求证：直径是圆中最长的弦. 解析：已知：如图所示， O 中 AB 是直径，CD 是弦.
求证： AB CD . 证明：（1）当弦 CD 也是直径时，显然 AB CD . （2）当弦 CD 不是直径时，连接 OC，OD，则OC OD AB . 在△OCD 中， OC OD CD （三角形两边之和大于第三边），即 AB CD . 综上可知 AB CD .
24-1 圆的有关性质 课件(共60张PPT)
平分弦所对的两条弧。
知识梳理
知识点4：垂径定理的应用。
将垂径定理和勾股定理有机结合，化圆中问题为三角形问题。
“圆弧AB”或“弧AB”。圆的任意一条直径
的两个端点把圆分成两条弧，每一条弧都叫做
半圆（semi-circle）。
圆
能够重合的两个圆叫做等圆，容易
看出：半径相等的两个圆是等圆；
反过来，同圆或等圆的半径相等。
在同圆或等圆中，能够互相重合的
弧叫做等弧。
圆
概念辨析
直径是弦，弦是直径。这句话正确吗？
2
2
1
∠DOB。
2
圆周角
探究结论
分别测量图中所对的圆周角∠ACB和
圆心角∠AOB的度数，可以发现两角的
度数相同。
同弧所对的圆周角的度数等于这条弧所
对的圆心角的度数的一半。
圆周角
则有圆周角定理：一条弧所对的圆周角等
于它所对的圆心角的一半。
我们还可以得到推论：（1）同弧或等弧
进一步，我们还可以得到推论：平分弦（
不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦
所对的两条弧。
垂直于弦的直径
问题二
赵州桥（图右）是我国隋代建造的石拱桥，距
今约有1400年的历史，是我国古代人民勤劳
与智慧的结晶。它的主桥拱是圆弧形，它的跨
度（弧所对的弦的长）为37m，拱高（弧的
中点到弦的距离）为7.23m，求赵州桥主桥拱
8（）。∵CD平分∠ACB，∴∠ACD=∠BCD，
∴∠AOD=∠BOD，∴AD=BD。又在Rt∆ABD中，
2
2
2
2
2
AD +BD =AB ，∴AD=BD= AB= ×10=5
知识梳理
知识点4：垂径定理的应用。
将垂径定理和勾股定理有机结合，化圆中问题为三角形问题。
“圆弧AB”或“弧AB”。圆的任意一条直径
的两个端点把圆分成两条弧，每一条弧都叫做
半圆（semi-circle）。
圆
能够重合的两个圆叫做等圆，容易
看出：半径相等的两个圆是等圆；
反过来，同圆或等圆的半径相等。
在同圆或等圆中，能够互相重合的
弧叫做等弧。
圆
概念辨析
直径是弦，弦是直径。这句话正确吗？
2
2
1
∠DOB。
2
圆周角
探究结论
分别测量图中所对的圆周角∠ACB和
圆心角∠AOB的度数，可以发现两角的
度数相同。
同弧所对的圆周角的度数等于这条弧所
对的圆心角的度数的一半。
圆周角
则有圆周角定理：一条弧所对的圆周角等
于它所对的圆心角的一半。
我们还可以得到推论：（1）同弧或等弧
进一步，我们还可以得到推论：平分弦（
不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦
所对的两条弧。
垂直于弦的直径
问题二
赵州桥（图右）是我国隋代建造的石拱桥，距
今约有1400年的历史，是我国古代人民勤劳
与智慧的结晶。它的主桥拱是圆弧形，它的跨
度（弧所对的弦的长）为37m，拱高（弧的
中点到弦的距离）为7.23m，求赵州桥主桥拱
8（）。∵CD平分∠ACB，∴∠ACD=∠BCD，
∴∠AOD=∠BOD，∴AD=BD。又在Rt∆ABD中，
2
2
2
2
2
AD +BD =AB ，∴AD=BD= AB= ×10=5
最新人教版九年级上册数学第二十四章《圆》优秀课件(含复习共12课时)
集合定义
圆 弦（直径） 有关 概念 弧 劣弧 半圆 优弧 等弧 能够互相重合的两段弧
同 圆 半径 相等
直径是圆中 最 长 的 弦 半圆是特殊的弧
同圆
等圆
课后作业
见本课时练习
谢谢！
[义务教育教科书]( R J ) 九 上 数 学 课 件
第二十四章 圆
24.1 圆的有关性质
24.1.2 垂直于弦的直径
证明：∵四边形ABCD是矩形， ∴AO=OC，OB=OD.
又∵AC=BD， ∴OA=OB=OC=OD.
A
D
O
B C
∴A、B、C、D在以O为圆心以OA为半径的圆上.
二 圆的有关概念
弦:
连接圆上任意两点的线段（如图中的AC）叫
A
·
B
O
C
做弦. 经过圆心的弦（如图中的AB）叫做直径．
注意 1.弦和直径都是线段.
导入新课 讲授新课 当堂练习 课堂小结
学习目标
1.进一步认识圆，了解圆是轴对称图形.
2.理解垂直于弦的直径的性质和推论，并能应用它解决一
些简单的计算、证明和作图问题.（重点） 3.灵活运用垂径定理解决有关圆的问题.（难点）
导入新课
你能通过折叠的方式找到圆形纸片的对称轴吗？
在折的过程中你有何发现？ 圆是轴对称图形，任何一条直径所在直线都是 它的对称轴．
2.直径是弦,是经过圆心的特殊弦，是圆中最长的弦，但弦 不一定是直径.
弧:
圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简弧． 以A、B为端点的弧记作 AB ，读作“圆弧 AB”或“弧AB”． 半圆 圆的任意一条直径的两个端点把圆分成 两条弧，每一条弧都叫做半圆． A ( O · B
C
人教版九年级数学上册 《圆》圆的有关性质PPT教学课件
解：每个小圆的面积为 π12a·n12＝π4na22，而大圆的面积为 π12a2＝14πa2，即每个小 圆的面积是大圆的面积的n12.
第十九页，共二十页。
第二十页，共二十页。
6．若⊙O 的半径为 6 cm，则⊙O 中最长的弦为____1_2___cm.
第七页，共二十页。
8
7．如图，已知AB是⊙O的直径，C是⊙O上的一点，CD⊥AB于点D，AD＜BD， 若CD＝2 cm，AB＝5 cm，求AD、AC的长．
第八页，共二十页。
9
解：连接 OC．∵AB＝5 cm，∴OC＝OA＝12AB＝52 cm.在 Rt△CDO 中，由勾股
A．AB＞0
B．0＜AB＜5
C．0＜AB＜10
D．0＜AB≤10
4．如图，⊙O 的半径为 1，分别以⊙O 的直径 AB 上的两个四等分点 O1、O2 为
圆心，12为半径作圆，则图中阴影部分的面积为( B )
A．π
B．12π
C．14π
D．2π
第六页，共二十页。
7
5. 如图，分别延长⊙O 的弦 AB 与半径 OC 交于点 D，BD＝OA．若∠AOC＝120°， 则∠D 的度数是_____2_0°____.
人教版九年级数学上册 《圆》圆的有关性质PPT教学课件
科 目：数学 适用版本：人教版 适用范围：【教师教学】
第二十四章 圆
24.1 圆的有关性质
圆
第一页，共二十页。
2
以练助学 名师点睛
知识点1 圆的意义及其表示 在一个平面内，线段OA绕它固定的一个端点O旋转一周，另一个端点A所形成的 图形叫做圆．其固定的端点O叫做圆心，线段OA叫做半径．以点O为圆心的圆，记作 “⊙O”，读作“圆O”． 注意：确定一个圆取决于两个因素：圆心和半径，圆心确定圆的位置，半径确 定圆的大小．
第十九页，共二十页。
第二十页，共二十页。
6．若⊙O 的半径为 6 cm，则⊙O 中最长的弦为____1_2___cm.
第七页，共二十页。
8
7．如图，已知AB是⊙O的直径，C是⊙O上的一点，CD⊥AB于点D，AD＜BD， 若CD＝2 cm，AB＝5 cm，求AD、AC的长．
第八页，共二十页。
9
解：连接 OC．∵AB＝5 cm，∴OC＝OA＝12AB＝52 cm.在 Rt△CDO 中，由勾股
A．AB＞0
B．0＜AB＜5
C．0＜AB＜10
D．0＜AB≤10
4．如图，⊙O 的半径为 1，分别以⊙O 的直径 AB 上的两个四等分点 O1、O2 为
圆心，12为半径作圆，则图中阴影部分的面积为( B )
A．π
B．12π
C．14π
D．2π
第六页，共二十页。
7
5. 如图，分别延长⊙O 的弦 AB 与半径 OC 交于点 D，BD＝OA．若∠AOC＝120°， 则∠D 的度数是_____2_0°____.
人教版九年级数学上册 《圆》圆的有关性质PPT教学课件
科 目：数学 适用版本：人教版 适用范围：【教师教学】
第二十四章 圆
24.1 圆的有关性质
圆
第一页，共二十页。
2
以练助学 名师点睛
知识点1 圆的意义及其表示 在一个平面内，线段OA绕它固定的一个端点O旋转一周，另一个端点A所形成的 图形叫做圆．其固定的端点O叫做圆心，线段OA叫做半径．以点O为圆心的圆，记作 “⊙O”，读作“圆O”． 注意：确定一个圆取决于两个因素：圆心和半径，圆心确定圆的位置，半径确 定圆的大小．
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2020年10月2日
9
6．利用新知 解决问题
变式1 如图，若将 AB 向下平移，当移到过圆心时，结论 AC=BD 还成立吗？
AC O
DB
2020年10月2日
10
6．利用新知 解决问题
变式2 如图，连接 OA，OB，设 AO=BO， 求证：AC=BD．
O
AC
DB
2020年10月2日
11
6．利用新知 解决问题
A
图1
O E
C
D
O 图2
AE
B
B
D
A C
E
图3 A E O B 图4 B
O
C
D
2020年10月2日
7
5．利用新知 问题回解
C
A
D
B
O
2020年10月2日
8
6．利用新知 解决问题
如图，已知在两同心圆⊙O 中，大圆弦 AB 交小圆 于 C，D，则 AC 与 BD 间可能存在什么关系？
A C DB O
变式3 连接 OC，OD，设 OC=OD， 求证：AC=BD．
O
ACDB2020年1月2日127．归纳小结
内容： 垂径定理：垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所
对的两条弧． ①构造直角三角形，垂径定理和勾股定理有机结合
是计算弦长、半径和弦心距等问题的方法． ②技巧：重要辅助线是过圆心作弦的垂线． 重要思路：（由）垂径定理—构造直角三角形—
（结合）勾股定理—建立方程．
2020年10月2日
13
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九年级 上册
24.1 圆的有关性质（第2课时）
2020年10月2日
1
课件说明
• 本课是在学生已经学习了圆的有关概念的基础上开始 研究圆的性质，包括圆的轴对称性以及垂径定理，并 应用垂径定理及其推论解决问题．
2020年10月2日
2
课件说明
• 学习目标： 1．理解圆的轴对称性，会运用垂径定理解决有关的 证明、计算和作图问题； 2．感受类比、转化、数形结合、方程等数学思想和 方法，在实验、观察、猜想、抽象、概括、推理 的过程中发展逻辑思维能力和识图能力．
2．探究新知
请拿出准备好的圆形纸片，沿着它的直径翻折，重 复做几次，你发现了什么？由此你能猜想哪些线段相等？ 哪些弧相等？
2020年10月2日
5
3．获得新知
垂径定理：垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所 对的两条弧.
A
O
E
C
D
B
知二推三
2020年10月2日
6
4．新知强化
下列哪些图形可以用垂径定理？你能说明理由吗？
汇报人：XXX 汇报日期：20XX年10月10日
2020年10月2日
14
• 学习重点： 垂径定理及其推论．
2020年10月2日
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1．创设情境，导入新知
如图，1 400 多年前，我国隋代建造的赵州石拱桥 主桥拱是圆弧形，它的跨度（弧所对的弦长）是 37 m， 拱高（弧的中点到弦的距离）为 7.23 m，求赵州桥主桥 拱的半径（精确到 0.1 m）．
2020年10月2日
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