高中数学第一章三角函数1.6余弦函数的图像与性质学案北师大版
数学ⅳ北师大版1.6余弦函数的图像与性质教案2
数学ⅳ北师大版1.6余弦函数的图像与性质教案2教学过程：【一】复习预备：我们明白正弦函数y ＝sinx 的图像，是通过等分单位圆、平移正弦线而得到的，在精确度要求不高时，能够采纳五点作图法得到。
那么，关于余弦函数y ＝cosx 的图像是不是也是如此得到的呢？有没有更好的方法呢？【二】讲授新课：由于终边相同的三角函数性质cos y x =x ∈[2k π,2(k+1)π]k ∈Z,k ≠0的图像与cos ,[0,2]y x x π=∈图像形状相同只是位置不同〔向左右每次平移2π个单位长度〕2、余弦函数cos y x =的性质观看上图能够得到余弦函数cos y x =有以下性质：〔1〕定义域：cos y x =的定义域为R〔2〕值域：cos y x =的值域为[－1,1]，即有|cos |1x ≤〔有界性〕(3)最值：1︒关于cos y x =当且仅当x ＝2k π,k ∈Z 时y max ＝1当且仅当时x ＝2k π＋π,k ∈Z 时y min ＝－12︒当2k π-2π<x<2k π+2π(k ∈Z)时cos 0y x => 当2k π+2π<x<2k π+23π(k ∈Z)时cos 0y x =< (4)周期性：cos y x =的最小正周期为2π(5)奇偶性cos(-x)=cosx (x ∈R)cos y =(6)单调性增区间为[〔2k －1〕π，2k π]〔k ∈Z 〕，其值从－1增至1；减区间为[2k π，〔2k ＋1〕π]〔k ∈Z 〕，其值从1减至－1。
【三】例题分析例1、请画出函数cos 1y x =-的简图，并依照图像讨论函数的性质。
分析：利用五点法画出函数图形，观看性质。
例2.不通过求值，指出以下各式大于0依旧小于0：2317(1)sin()sin()(2)cos()cos()181054ππππ------ 分析：利用诱导公式把同名角化为同一个单调区间，利用单调性比较大小。
高中数学必修4北师大版1.6余弦函数的图像与性质教案(1)
1.6.2 余弦函数的性质
1．复习回顾
在上一次课中，我们知道正弦函数y ＝sinx 的图像，是通过等分单位圆、平移正弦线而得到的，在精确度要求不高时，可以采用五点作图法得到。
那么，对于余弦函数y ＝cosx 的图像是不是也是这样得到的呢？有没有更好的方法呢？（类比方法应用；分析正弦函数与余弦函数的关系）
2．思考、分析
①类比法余弦线对应画余弦函数图象（原理容易，绘图复杂）
②利用正弦函数的图象已知，结合诱导公式探讨更简单方法发现正余弦函数图象相同，只是位置不同，从而利用五点法可绘余弦函数图；
③结合正弦函数与余弦函数的关系学习余弦函数的性质及解题方法
3．例题分析
例1．请画出函数cos 1y x =-的简图，并根据图像讨论函数的性质。
分析：利用五点法画出函数图形，观察性质。
例2 .不通过求值，指出下列各式大于0还是小于0：
2317(1)sin()sin()(2)cos()cos()181054
π
π
ππ------ 分析：利用诱导公式把同名角化为同一个单调区间，利用单调性比较大小。
例3．求下列函数的定义域及单调区间
1．11cos y x =- 2. 1cos 12
y x =-+ 分析：利用函数图象观察范围，利用函数的单调性求值。
4．抽象归纳
1）请学生回顾本节课所学过的知识内容有哪些？所涉及的主要数学思想方法有那些？
2）在本节课的学习过程中，还有那些不太明白的地方，请向老师提出。
3）你在这节课中的表现怎样？你的体会是什么？
随堂练。
高一数学北师大版必修4《1.6余弦函数的图像与性质》教案
[解析]∵y＝cosx在[－π，0]上是增函数，在[0，π]上是减函数，
∴只有－π<a≤0时，满足已知条件，∴a∈(－π，0]．
8．比较大小：cos ________cos(－ π)．
[答案]>
[解析]cos ＝cos ＝－cos π，cos ＝cos ＝－cos ，由y＝cosx在[0，π]上是单调递减的，所以cos π<cos ，所以cos >cos .
解：(1)－sin 46°＝－cos 44°＝cos 136°，
cos 221°＝－cos 41°＝cos 139°.
∵180°>139°>136°>0°，
∴cos 139°<cos 136°，即－sin 46°>cos 221°.
(2)cos ＝cos π＝cos ＝cos π，
cos ＝cos π＝cos ＝cos .
∴函数y＝－cos2x＋cosx的值域是 .
(2)y＝ ＝ －1.
∵－1≤sinx≤1，∴1≤2＋sinx≤3，
∴ ≤ ≤1，
∴ ≤ ≤4，
∴ ≤ －1≤3，即 ≤y≤3.
∴函数y＝ 的值域为 .
规律方法：求值域或最大值、最小值问题，一般依据为：
①sinx，cosx的有界性；②sinx，cosx的单调性；③化为sinx＝f(y)或cosx＝f(y)
2．函数f(x)＝－xcosx的部分图像是()
[答案]D
[解析]由f(x)＝－xcosx是奇函数，可排除A，C.令x＝ ，则f( )＝－ cos ＝－ <0.故答案选D.
二、填空题
3．若cosx＝ ，且x∈R，则m的取值范围是________．
[答案](－∞，－3]∪
高中数学 余弦函数的图像与性质学案 北师大版(1)
余弦函数图像与性质（一）【学习目标】（1）了解由正弦函数的图像及诱导公式画出余弦函数的图象的方法；（2）会用“五点法”画余弦函数图象.【学习重点】余弦函数的图像【学习难点】诱导公式画出余弦函数的图象的方法.自主学习：1．把正弦函数y=sinx 的图象 就得到余弦函数的图象。
2．函数的cos y x =定义域是__________值域是__________.3.函数2cos 1y x =+的最大值为_________,最小值为________4.函数cos ,y x x R =-∈是最小正周期为_____的_____函数5.函数2cos 3,y x x R =-∈的增区间是_______________合作探究【合作探究一】1.画正弦函数y=sinx ，x ∈[0，2π]的简图；考虑如何画余弦函数 y=cosx (x ∈R) 的图象？法一、变换法法二、五点法【合作探究二】余弦函数cos y x =，x R ∈的性质:(1) 定义域：_______________；值域：__________________(2) 最值：当_______x =时，取最大值_____；当_______x =时取最小值__________(3) 周期性：最小正周期是________________(4) 单调性：增区间：______________________________;减区间：_______________________(5) 奇偶性：___________________(6) （选讲）对称轴：________________;对称中心:________________________ 例题精讲：例1.试画出函数 在[0,2]π上的简图。
例2画出函数y=cosx-1的简图，并根据图像讨论函数性质.2cos +=x y课后巩固练习题1.函数1cos y x =-的图像关于（ ）对称A. x 轴B. y 轴C.原点D.直线2x π=2. 设M 和m 分别表示函数1cos 13y x =-的最大值和最小值，则M+m 等于（ ）A ．32B ．23-C ．43- D ．－23、下列函数中，周期为2π的是（ ） A.sin 2xy = B.sin 2y x = C.cos 4xy = D.cos4y x =4、函数2cos 3y x =-的值域是（ ）A.[1,1]-B.[5,1]--C.[5,)-+∞D.(,)-∞+∞（） ⋅x作业：画出函数 在x R ∈上的简图，并讨论其性质。
高中数学第1章三角函数66.1余弦函数的图像6.2余弦函数的性质学案北师大版必修4
6.1 余弦函数的图像 6.2 余弦函数的性质1．余弦函数的图像(1)利用图像变换作余弦函数的图像因为y ＝cos x ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π2，所以余弦函数y ＝cos x 的图像可以通过将正弦曲线y ＝sinx 向左平移π2个单位长度得到．如图是余弦函数y ＝cos x (x ∈R )的图像，叫作余弦曲线．(2)利用五点法作余弦函数的图像画余弦曲线，通常也使用“五点法”，即在函数y ＝cos x (x ∈[0,2π])的图像上有五个关键点，为(0,1)， ⎛⎭⎪⎫π2，0，(π，－1)，⎝ ⎛⎭⎪⎫32π，0，(2π，1)，可利用此五点画出余弦函数y ＝cos x ，x ∈R 的简图(如图)．思考1：根据y ＝sin x 和y ＝cos x 的关系，你能利用y ＝sin x ，x ∈R 的图像得到y ＝cos x ，x ∈R 的图像吗？[提示] 能，根据cos x ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π2，只需把y ＝sin x ，x ∈R 的图像向左平移π2个单位长度，即可得到y ＝cos x ，x ∈R 的图像．2．余弦函数的性质[提示] 观察图像(图略)可知：当x∈[－π，0]时，曲线逐渐上升，是增函数，cos x的值由－1增大到1；当x∈[0，π]时，曲线逐渐下降，是减函数，cos x的值由1减小到－1.推广到整个定义域可得当x∈[2kπ－π，2kπ]，k∈Z时，余弦函数y＝cos x是增函数，函数值由－1增大到1；当x∈[2kπ，(2k＋1)π]，k∈Z时，余弦函数y＝cos x是减函数，函数值由1减小到－1.1．用五点法作出函数y ＝3－cos x 的图像，下列点中不属于五点作图中的五个关键点的是( )A ．(π，－1)B ．(0,2)C ．⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，3D ．⎝⎛⎭⎪⎫3π2，3A [由五点作图法知五个关键点分别为(0,2)，⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，3，(π，4)，⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2，3，(2π，2)．]2．函数y ＝－3cos x ＋2的值域为( ) A ．[－1,5] B ．[－5,1] C ．[－1,1]D ．[－3,1]A [因为－1≤cos x ≤1，所以－1≤－3cos x ＋2≤5.]3．已知函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫x －π2(x ∈R )，下面结论错误的是( )A ．函数f (x )的最小正周期为2πB ．函数f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上是增函数 C ．函数f (x )的图像关于直线x ＝0对称 D ．函数f (x )是奇函数D [f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π2＝－sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－x ＝－cos x ，由f (x )＝cos x 的性质可判断A 、B 、C 均正确．]4．已知函数y ＝－34cos x ，x ∈[0,2π]，则其递增区间为________．[0，π] [当x ∈[0,2π]时，函数y ＝cos x 在[0，π]上是减函数，在[π，2π]上是增函数，所以函数y ＝－34cos x 在[0，π]上是增函数，在[π，2π]上是减函数．]【例1】 [解] 法一：按五个关键点列表：法二：作函数y ＝cos x ，x ∈[0,2π]的图像，然后将其作关于x 轴对称的图像，即得y ＝－cos x ，x ∈[0,2π]的图像．所谓的五点法是指特定的五个点，这五个点为图像的最高点、最低点或与图像的平衡位置的交点，切忌用其他的五点来代替.五点法是画正弦函数、余弦函数简图的基本方法，其他方法都由此变化而来.函数y ＝cos x ，x ∈[0，2π]的图像上起关键作用的五个点坐标依次为：(0，1)，⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，0，(π，－1)，⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2，0，(2π，1).1．作函数y ＝12cos x －1，x ∈[0,2π]的简图．[解] 按五个关键点列表：在坐标系内，根据五点⎝ ⎛⎭⎪⎫0，－2、⎝ ⎛⎭⎪⎫2，－1、⎝ ⎛⎭⎪⎫π，－2、⎝ ⎛⎭⎪⎫2，－1、⎝ ⎛⎭⎪⎫2π，－2画图，如图所示．。
高中数学 第一章 余弦函数的图像与性质教案1 北师大版必修4
§6 余弦函数的图像与性质一、教学目标：1、知识与技能:（1）能利用五点作图法作出余弦函数在[0，2π]上的图像；（2）熟练根据余弦函数的图像推导出余弦函数的性质；（3）能区别正、余弦函数之间的关系；（4）掌握利用数形结合思想分析问题、解决问题的技能。
2、过程与方法:类比正弦函数的概念，引入余弦函数的概念；自主探究出余弦函数的诱导公式；能学以致用，尝试用五点作图法作出余弦函数的图像，并能结合图像分析得到余弦函数的性质。
3、情感态度与价值观:使同学们对余弦函数的概念有更深的体会；会用联系的观点看问题，建立数形结合的思想，激发学习的学习积极性；培养学生分析问题、解决问题的能力；让学生体验自身探索成功的喜悦感，培养学生的自信心；使学生认识到转化“矛盾”是解决问题的有效途经；培养学生形成实事求是的科学态度和锲而不舍的钻研精神。
二、教学重、难点重点:余弦函数的性质。
难点:性质应用。
三、学法与教法我们已经知道正弦函数的概念是通过在单位圆中，以函数定义的形式给出来的，从而把锐角的正弦函数推广到任意角的情况；现在我们就应该与正弦函数的概念作比较，得出余弦函数的概念；用五点作图的方法作出y＝cosx在[0，2π]上的图像，并由图像直观得到其性质。
教法：自主合作探究式四、教学过程（一）、创设情境，揭示课题在上一次课中，我们知道正弦函数y＝sinx的图像，是通过等分单位圆、平移正弦线而得到的，在精确度要求不高时，可以采用五点作图法得到。
那么，对于余弦函数y＝cosx 的图像是不是也是这样得到的呢？有没有更好的方法呢？(二)、探究新知1．余弦函数y ＝cosx 的图像由诱导公式有：与正弦函数关系 ∵y＝cosx ＝cos(－x)＝sin[2π－(－x)]＝sin(x ＋2π) 结论：（1）y ＝cosx, x ∈R 与函数y ＝sin(x ＋2π) x ∈R 的图象相同 （2）将y ＝sinx 的图象向左平移2π即得y ＝cosx 的图象 （3）也同样可用五点法作图：y ＝cosx x ∈[0,2π]的五个点关键是(0,1) (2π,0) (π,-1) (23π,0) (2π,1)（4）类似地，由于终边相同的三角函数性质y ＝cosx x ∈[2k π,2(k+1)π] k ∈Z,k ≠0的图像与 y ＝cosx x ∈[0,2π] 图像形状相同只是位置不同（向左右每次平移2π个单位长度）2．余弦函数y ＝cosx 的性质观察上图可以得到余弦函数y ＝cosx 有以下性质：（1）定义域：y=cosx 的定义域为R（2）值域： y=cosx 的值域为[－1,1]，即有 |cosx|≤1（有界性）(3)最值：1︒对于y ＝cosx 当且仅当x ＝2k π,k ∈Z 时 y max ＝1当且仅当时x ＝2k π＋π, k ∈Z 时 y min ＝－12︒当2k π-2π<x<2k π+2π (k ∈Z)时 y=cosx>0 当2k π+2π<x<2k π+23π (k ∈Z)时 y=cosx<0 (4)周期性：y ＝cosx 的最小正周期为2π(5)奇偶性cos(－x)＝cosx (x∈R) y ＝cosx (x∈R)是偶函数(6)单调性增区间为[（2k －1）π， 2k π]（k∈Z），其值从－1增至1；减区间为[2k π，（2k ＋1）π]（k∈Z），其值从1减至－1。
高中数学第一章三角函数6余弦函数的图像与性质学案北师大版必修4
§6 余弦函数的图像与性质内容要求 1.了解余弦函数与正弦函数之间的关系.2.理解“五点法”作出余弦函数的图像( 重点 ).3.掌握余弦函数的图像性质及其运用( 难点 )、知识点1 余弦函数的图像余弦函数y ＝cos x ( x ∈R )的图像叫余弦曲线、根据诱导公式sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π2＝cos x ,x ∈R .只需把正弦函数y ＝sin x ,x ∈R 的图像向左平移π2个单位长度即可得到余弦函数图像( 如图 )、要画出y ＝cos x ,x ∈[0,2π]的图像,可以通过描出( 0,1 ),⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，0,( π,－1 ),⎝ ⎛⎭⎪⎫32π，0,( 2π,1 )五个关键点,再用光滑曲线将它们连接起来,就可以得到余弦函数y＝cos x ,x ∈[0,2π]的图像、 【预习评价】( 正确的打“√”,错误的打“×” )( 1 )余弦函数y ＝cos x 的图像可以向左、向右无限伸展、( √ ) ( 2 )y ＝cos x 的图像与y ＝sin x 的形状完全一样,只是位置不同( √ ) ( 3 )y ＝cos x 的图像与x 轴有无数个交点( √ ) ( 4 )y ＝cos x 的图像关于y 轴对称( √ ) 知识点2 余弦函数的性质函数 y ＝cos x定义域 R 值域 [－1,1] 奇偶性 偶函数 周期性 2π为最小正周期单调性当x ∈[2k π－π,2k π]( k ∈Z )时,递增； 当x ∈[2k π,2k π＋π]( k ∈Z )时,递减 最大值与最小值当x ＝2k π( k ∈Z )时,最大值为1； 当x ＝2k π＋π( k ∈Z )时,最小值为－1( 1 )y ＝－cos x 的最小正周期为2π.( √ )( 2 )函数y ＝－cos x 在区间[0,π2]上是增函数、( √ )( 3 )函数y ＝sin( x －π2 )的图像关于x ＝0对称、( √ )( 4 )函数y ＝sin( π2－x )是奇函数、( × )题型一 余弦函数的图像及应用【例1】 画出y ＝cos x ( x ∈R )的简图,并根据图像写出： ( 1 )y ≥12时x 的集合；( 2 )－12≤y ≤32时x 的集合、解 用“五点法”作出y ＝cos x 的简图、( 1 )过⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12点作x 轴的平行线,从图像中看出：在[－π,π]区间与余弦曲线交于⎝ ⎛⎭⎪⎫－π3，12,⎝ ⎛⎭⎪⎫π3，12点,在[－π,π]区间内,y ≥12时,x 的集合为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |－π3≤x ≤π3. 当x ∈R 时,若y ≥12,则x 的集合为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪－π3＋2k π≤x ≤π3＋2k π，k ∈Z. ( 2 )过⎝ ⎛⎭⎪⎫0，－12,⎝ ⎛⎭⎪⎫0，32点分别作x 轴的平行线,从图像中看出它们分别与余弦曲线交于⎝ ⎛⎭⎪⎫－2π3＋2k π，－12,k ∈Z ,⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3＋2k π，－12,k ∈Z 点和⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6＋2k π，32,k ∈Z ,⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＋2k π，32,k ∈Z 点,那么曲线上夹在对应两直线之间的点的横坐标的集合即为所求,即当－12≤y ≤32时x 的集合为：⎩⎪⎨⎪⎧x ⎪⎪⎪ －2π3＋2k π≤x ≤－π6＋2k π或⎭⎬⎫π6＋2k π≤x ≤2π3＋2k π，k ∈Z .规律方法 “五点法”画函数图像的三个步骤【训练1】 ( 1 )函数y ＝cos 2x ,x ∈[0,2π]的简图是( )详细解析 由2x ＝0,π2,π,3π2,2π可得五点,描图知,A 为x ∈[0,π]上的简图；D 为x ∈[0,2π]上的简图、 正确答案 D( 2 )作出函数y ＝1－13cos x 在[－2π,2π]上的图像、解 ①列表：x 0 π2 π 3π2 2π y ＝cos x 1 0 －1 0 1 y ＝1－13cos x23143123②作出y ＝1－3cos x 在x ∈[0,2π]上的图像、由于该函数为偶函数,作关于y 轴对称的图像、从而得出y ＝1－13cos x 在x ∈[－2π,2π]上的图像、题型二 余弦函数的性质【例2】 已知f ( x )＝2＋cos x . ( 1 )判断函数的奇偶性； ( 2 )求函数的单调区间； ( 3 )求函数的最小正周期、解 ( 1 )∵f ( x )＝2＋cos x 的定义域为R 且f ( －x )＝f ( x ), ∴函数f ( x )＝2＋cos x 为偶函数、( 2 )∵y ＝cos x 在[2k π－π,2k π]( k ∈Z )上是增加的,在[2k π,2k π＋π]( k ∈Z )上是减少的,∴y ＝2＋cos x 的单调递增区间为[2k π－π,2k π]( k ∈Z ),单调递减区间为[2 kπ,2 kπ＋π]( k ∈Z )、( 3 )由cos x 的周期性知y ＝2＋cos x 的最小正周期为2π.规律方法 对于余弦函数的性质,要善于结合余弦函数图像并类比正弦函数的相关性质进行记忆,其解题规律方法与正弦函数的对应性质解题方法一致、 【训练2】 ( 1 )求函数y ＝1－12cos x 的单调区间；( 2 )比较cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π7与cos 18π7的大小、 解 ( 1 )∵－12＜0,∴y ＝1－12cos x 的单调性与y ＝cos x 的单调性相反、∵y ＝cos x 的单调增区间是[2k π－π,2k π]( k ∈Z ),减区间是[2k π,2k π＋π]( k ∈Z )、 ∴y ＝1－12cos x 的单调减区间是[2k π－π,2k π]( k ∈Z ),增区间是[2k π,2k π＋π]( k∈Z )、( 2 )cos 18π7＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π＋4π7＝cos 4π7. cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π7＝cos π7.又0＜π7＜4π7＜π,且函数y ＝cos x 在[0,π]上是减少的,∴cos π7＞cos 4π7,即cos 18π7＜cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π7.【例3】 函数y ＝－cos 2x ＋cos x 的值域为________、 详细解析 y ＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫cos x －122＋14.因为－1≤cos x ≤1, 所以当cos x ＝12时,y max ＝14.当cos x ＝－1时,y min ＝－2.所以函数y ＝－cos 2x ＋cos x 的值域是⎣⎢⎡⎦⎥⎤－2，14.正确答案 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤－2，14【迁移1】 求本例中x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π3时函数的值域、解 ∵y ＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫cos x －122＋14,因为x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π3,所以12≤cos x ≤1.所以当cos x ＝12时y max ＝14,cos x ＝1时y min ＝0, ∴原函数的值域为[0,14]、【迁移2】 求本例中x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2，π3时函数的值域、 解 由x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2，π3,所以0≤cos x ≤1, 此时函数y ＝－cos 2x ＋cos x 的值域也为⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，14.【迁移3】 若将本例改为已知函数y ＝a －b cos x 的值域为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，32,求ab 的值、 解 ∵函数y ＝a －b cos x 的最大值是32,最小值是－12.当b ＞0时,由题意得：⎩⎪⎨⎪⎧ a ＋b ＝32，a －b ＝－12，∴⎩⎪⎨⎪⎧a ＝12，b ＝1，ab ＝12.当b ＜0时,由题意得： ⎩⎪⎨⎪⎧a －b ＝32，a ＋b ＝－12，∴⎩⎪⎨⎪⎧a ＝12，b ＝－1，ab ＝－12.综上所述,ab ＝±12.规律方法 与正弦函数、余弦函数有关的函数值域求法 ( 1 )利用sin x ,cos x 的有界性、 ( 2 )利用sin x ,cos x 的单调性、( 3 )化为sin x ＝f ( x )或cos x ＝f ( x ),利用|f ( y )|≤1来确定、 ( 4 )通过换元转化为二次函数.课堂达标1、下列函数中,不是周期函数的是( ) A 、y ＝|cos x | B 、y ＝cos|x | C 、y ＝|sin x |D 、y ＝sin|x |详细解析 画出y ＝sin|x |的图像( 图略 ),易知D 选项不是周期函数、 正确答案 D2、设函数f ( x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π2,x ∈R ,则f ( x )是( ) A 、最小正周期为π的奇函数 B 、最小正周期为π的偶函数 C 、最小正周期为π2的奇函数D 、最小正周期为π2的偶函数详细解析 ∵sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π2＝－sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－2x ＝－cos 2x , ∴f ( x )＝－cos 2x .又f ( －x )＝－cos( －2x )＝－cos 2x ＝f ( x ), ∴f ( x )是最小正周期为π的偶函数、 正确答案 B3、函数y ＝cos x ,x ∈[0,2π]的图像和直线y ＝1围成一个封闭的平面图形,这个封闭图形的面积是________、详细解析 如图,可把x 轴下方图形补到x 轴上方阴影部分,此时所围面积可变成一个矩形、正确答案 2π4、使cos x ＝1＋m1－m有意义的实数m 的取值范围是________、详细解析 －1≤1＋m 1－m ≤1；即⎪⎪⎪⎪⎪⎪1＋m 1－m ≤1；|1＋m |≤|1－m |且m ≠1,得m ≤0.正确答案 {m |m ≤0}5、( 1 )已知函数y ＝lg( 2cos x ＋1 ),求它的定义域和值域； ( 2 )求函数y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫cos x －122－3的值域、解 ( 1 )2cos x ＋1＞0,即cos x ＞－12.∴定义域为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪2k π－2π3＜x ＜2k π＋2π3，k ∈Z. 令y ＝lg t ,t ＝2cos x ＋1,则0＜t ≤3. ∴y ≤lg 3,即值域为( －∞,lg 3]、 ( 2 )设t ＝cos x ,则－1≤t ≤1.原函数可转化为：y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫t －122－3.∴当t ＝12时,y min ＝－3；当t ＝－1时,y max ＝－34.∴值域为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－3，－34.课堂小结1、比较三角函数值的大小,先利用诱导公式把问题转化为同一单调区间上的同名三角函数值的大小比较,再利用单调性作出判断、2、求三角函数值域或最值的常用求法( 1 )将y 表示成以sin x ( 或cos x )为元的一次或二次等复合函数再利用换元或配方,或利用函数的单调性等来确定y 的范围、( 2 )将sin x 或cos x 用所求变量y 来表示,如sin x ＝f ( y ),再由|sin x |≤1,构建关于y 的不等式|f ( y )|≤1,从而求得y 的取值范围.基础过关1、函数y ＝cos x ＋|cos x |,x ∈[0,2π]的大致图像为( )详细解析 由题意得y ＝⎩⎪⎨⎪⎧2cos x ，0≤x ≤π2或32π≤x ≤2π，0，π2<x <32π.显然只有D 合适、 正确答案 D2、若f ( x )＝cos x 在[－b ,－a ]上是增函数,则f ( x )在[a ,b ]上是( ) A 、奇函数 B 、偶函数 C 、减函数D 、增函数详细解析 因为y ＝cos x 为偶函数并且在[－b ,－a ]上是增函数,所以y ＝cos x 在[a ,b ]上递减,故选C. 正确答案 C3、函数y ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π6,x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2的值域是( )A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－32，12B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，32 C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤32，1 D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，1详细解析 ∵0≤x ≤π2,∴π6≤x ＋π6≤23π.∴cos 23π≤cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π6≤cos π6, ∴－12≤y ≤32.故选B.正确答案 B4、函数y ＝－3cos x －1的单调递减区间是________、详细解析 ∵函数y ＝cos x 的单调递增区间是[－π＋2k π,2k π]( k ∈Z )、 ∴函数y ＝－3cos x －1的单调递减区间是[－π＋2k π,2k π]( k ∈Z )、 正确答案 [－π＋2k π,2k π]( k ∈Z ) 5、比较大小：cos 158π________cos 149π.详细解析 ∵cos 158π＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π－π8＝cos π8,cos 14π9＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π－4π9＝cos 4π9,而0＜π8＜4π9＜π2,∴cos π8＞cos 4π9,即cos 15π8＞cos 14π9.正确答案 ＞6、比较下列各组数的大小、( 1 )－sin 46°与cos 221°；( 2 )cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫－235π与cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫－174π.解 ( 1 )－sin 46°＝－cos 44°＝cos 136°, cos 221°＝－cos 41°＝cos 139°. ∵180°>139°>136°>0°,∴cos 139°<cos 136°,即－sin 46°>cos 221°. ( 2 )cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫－235π＝cos 235π＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫4π＋35π＝cos 35π, cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫－174π＝cos 174π＝cos ⎝⎛⎭⎪⎫4π＋π4＝cos π4.∵0<π4<35π<π,且y ＝cos x 在[0,π]上递减,∴cos 35π<cos π4,即cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫－235π<cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫－174π. 7、求函数y ＝2－cos x 2＋cos x 的值域、解 y ＝4－2＋cos x 2＋cos x ＝42＋cos x －1.∵－1≤cos x ≤1,∴1≤2＋cos x ≤3, ∴13≤12＋cos x≤1, ∴43≤42＋cos x ≤4,∴13≤42＋cos x －1≤3,即13≤y ≤3. ∴函数y ＝2－cos x 2＋cos x 的值域为⎣⎢⎡⎦⎥⎤13，3.能力提升8、下列函数中,周期为π,且在⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，π2上为减函数的是( )A 、y ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π2 B 、y ＝cos ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π2C 、y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π2D 、y ＝cos ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π2详细解析 因为函数周期为π,所以排除C 、D.又因为y ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π2＝－sin 2x 在⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，π2上为增函数,故B 不符合、故选A. 正确答案 A9、下列关系式中正确的是( ) A 、sin 11°<cos 10°<sin 168° B 、sin 168°<sin 11°<cos 10° C 、sin 11°<sin 168°<cos 10° D 、sin 168°<cos 10°<sin 11°详细解析 ∵sin 168°＝sin( 180°－12° )＝sin 12°, cos 10°＝sin( 90°－10° )＝sin 80°.由正弦函数的单调性得sin 11°<sin 12°<sin 80°, 即sin 11°<sin 168°<cos 10°. 正确答案 C10、函数y ＝lg( sin x )＋ cos x －12的定义域为__________________________、 详细解析 要使函数有意义必须有⎩⎪⎨⎪⎧ sin x ＞0，cos x －12≥0，即⎩⎪⎨⎪⎧ sin x ＞0，cos x ≥12，解得⎩⎪⎨⎪⎧ 2k π＜x ＜π＋2k πk ∈Z ，－π3＋2k π≤x ≤π3＋2k πk ∈Z ，∴2k π＜x ≤π3＋2k π( k ∈Z ),∴函数的定义域为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |2k π＜x ≤π3＋2k π，k ∈Z .正确答案 ⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |2k π＜x ≤π3＋2k π，k ∈Z11、函数y ＝cos 2x －3cos x ＋2的最小值为________、详细解析 y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫cos x －322－14,∴当cos x ＝1时,y 最小值为0.正确答案 012、已知函数y ＝12cos x ＋12|cos x |.( 1 )画出函数的简图；( 2 )这个函数是周期函数吗？如果是,求出它的最小正周期；( 3 )指出这个函数的单调增区间、解 ( 1 )y ＝12cos x ＋12|cos x |＝⎩⎪⎨⎪⎧ cos x ，x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤2k π－π2，2k π＋π2k ∈Z，0，x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤2k π＋π2，2k π＋3π2k ∈Z .函数图像如图所示、( 2 )由图像知函数的周期是2π.( 3 )由图像知函数的单调增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤2k π－π2，2k π( k ∈Z )、13、( 选做题 )求函数f ( x )＝－cos 2x ＋3cos x ＋14⎝ ⎛⎭⎪⎫x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2的最大值、 解 f ( x )＝－cos 2x ＋3cos x ＋14⎝ ⎛⎭⎪⎫x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2,令cos x ＝t 且t ∈[0,1],则y ＝－t 2＋3t ＋14＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫t －322＋1,则当t ＝32时,f ( x )取最大值1.。
1.6余弦函数的图像与性质教案高中数学必修四北师大版
§6余弦函数的图像与性质6．1余弦函数的图像6．2余弦函数的性质●三维目标1．知识与技能(1)掌握余弦函数的性质．(2)能正确使用“五点法”“几何法”“图像变换法”画出余弦函数的简图．2．过程与方法通过图像的做法，培养运用数形结合思想分析、解决问题的能力．3．情感、态度与价值观通过本节的学习，培养学生掌握从特殊到一般、从具体到抽象的思维方法，从而达到从感性认识到理性认识的飞跃．●重点难点重点：五点法作出余弦函数的图像，并理解图像性质．难点：余弦函数的对称性．(教师用书独具)●教学建议关于余弦函数y＝cos x的性质，教科书写得比较简明，这是因为学生已经有了研究正弦函数y＝sin x性质的经验．对于余弦函数的性质很容易理解，讲课时，让学生观察余弦线或余弦曲线，逐一说出余弦函数的定义域、值域、最大值和最小值以及何时取得最大值和最小值，奇偶性，单调区间．其中单调区间不必死记硬背，只要观察[0,2π]上的图像，可知[0，π]是余弦函数的一个减区间，[π，2π]是余弦函数的一个增区间，然后根据余弦函数的周期为2π的整数倍，就可得到一般结果．●教学流程创设情境：如何由正弦函数的图像得到余弦函数的图像？⇒引导学生利用图像变换法和五点法得到余弦函数的图像．⇒对比正弦函数的性质让学生结合图像得到余弦函数的性质．⇒通过例1及互动探究，使学生掌握与余弦函数有关的图像的画法．⇒通过例2及变式训练，使学生掌握余弦型函数定义域的求法．⇒通过例3例4及变式训练，使学生掌握与余弦函数有关的函数单调性应用及值域的求法．⇒归纳整理，进行课堂小结，整体认识所学知识．⇒完成当堂双基达标，巩固所学知识并进行反馈矫正．如何由y ＝sin x 的图像得到y ＝sin(x ＋π2)＝cos x 的图像呢？【提示】 y ＝sin x 图像向左平移π2个单位即得y ＝cos x 的图像．余弦函数y ＝cos x 的图像可以通过将正弦曲线y ＝sin x 向左平移π2个单位长度得到．如图是余弦函数y ＝cos x (x ∈R )的图像，叫作余弦曲线．图1－6－1用五点法可以作出正弦函数的图像，利用这个方法作出余弦函数的图像吗？五个关键点是什么？【提示】 能．五个关键点分别为(0,1)，(π2，0)，(π，－1)，(3π2，0)，(2π，1)．画余弦曲线，通常也使用“五点法”，即在函数y ＝cos x (x ∈[0,2π])的图像上有五个关键点，为(0,1)，(π2，0)，(π，－1)，(32π，0)，(2π，1)，可利用此五点画出余弦函数y＝cos x，x∈R的简图(如图)．图1－6－2研究正弦函数y＝sin x的性质时，主要研究了它的哪些性质？类比正弦函数的性质，能得到余弦函数y＝cos x的性质吗？【提示】主要研究了y＝sin x的定义域、值域、周期、单调性、对称轴、对称中心等．可以类比得到y＝cos x的性质．对于函数y ＝3＋2cos x(1)用五点法作出此函数的简图．(2)求使此函数取得最大值、最小值的自变量x 的集合并分别写出最大值、最小值； (3)讨论此函数的单调性．【思路探究】 由五点法画简图，根据图像求最值及讨论单调性． 【自主解答】 (1)按五个关键点列表如下，描点画出图像(如图)．(2)当cos x ＝1，即x ∈{x |x ＝2k π，k ∈Z }时， y max ＝3＋2＝5；当cos x ＝－1，即x ∈{x |x ＝(2k ＋1)π，k ∈Z }时，y min ＝3－2＝1. (3)y ＝3＋2cos x 的增减区间就是y ＝cos x 的增减区间．所以当x ∈[(2k －1)π，2k π](k ∈Z )时，函数y ＝cos x 是增加的，y ＝3＋2cos x 也是增加的；当x ∈[2k π，(2k ＋1)π](k ∈Z )时，函数y ＝cos x 是减少的，y ＝3＋2cos x 也是减少的．1．本题(3)讨论单调性的关键是把y ＝3＋2cos x 的单调性转化为cos x 的单调性． 2．作函数y ＝a cos x ＋b 的图像的步骤：(1)列表：由x ＝0，π2，π，3π2，2π时，cos x ＝1,0，－1，0,1，求出y 值；(2)描点：在同一坐标系中描五个关键点； (3)连线：用平滑曲线．将本例中的函数改为y＝2cos x，画出简图，并观察其图像与例中函数图像的关系．【解】按五个关键点列表如下：由图像可知，曲线y＝3＋2cos x可看作是曲线y＝2cos x向上平移3个单位得到的.求下列函数的定义域：(1)y＝2cos x－2；(2)y＝1－2cos x＋lg(2sin x－1)．【思路探究】解题流程写出满足条件的三角不等式(组)解三角不等式(组)利用图像写出不等式。
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1.6 余弦函数的图像与性质
知识梳理
1.任意角的余弦函数 （1）定义
如图1-5-1所示，单位圆与角α的终边交于P 点.设P （a ，b ）,则P 点横坐标a 是角α的函数，称为余弦函数，记为a=cos α(α∈R ).通常用x 、y 表示自变量和因变量，将余弦函数表示为y=cosx(x∈R ).
图1-5-1
（2）余弦线
如图1-5-1所示，过点P 作x 轴的垂线PM ，垂足为M.单位圆中的有向线段OM 叫做角α的余弦线（是三角函数线之一）.当角α的终边在y 轴上时，M 与O 重合，此时余弦线变成一个点.
（3）余弦线所表示的余弦值可如下确定：
余弦线的方向是表示余弦值的符号，同x 轴一致，向上为正，向下为负；正弦线的长度是正弦值的绝对值.
（4）任意角的余弦函数定义的推广
如图1-5-2所示，设P(x,y)是α的终边上任意一点，它到原点的距离|OP|=r ，有r=2
2y x ,
则cos α=
r
x
.
图1-5-2
对于每一个确定的角α，总有唯一确定的余弦值与之对应，所以这个对应法则是以角α为自变量的函数，叫做余弦函数.余弦函数值与点P 在角α终边上的位置无关，只依赖于角α的大小.
2.余弦函数值的符号
（1）图形表示：余弦值在各象限的符号如图1-5-3所示.
图1-5-3 （2）用表格表示
3.余弦函数的图像和性质
(1)图像：如图1-5-4所示.
图1-5-4
1.复习初中学过的锐角的余弦函数，本节是锐角的余弦函数的补充和延伸.
2.任意角的余弦值的符号记忆口诀：“左负右正”.其含义是终边在y轴左侧的任意角余弦值为负，在y轴右侧的任意角余弦值为正.。