高中数学 三角函数的图像与性质

【规律方法】 (1)三角函数定义域的求法
求三角函数定义域实际上是构造简单的三角不等式 (组)，常借助三角
函数线或三角函数图像来求解。 (2)三角函数值域(最值)的不同求法
求解三角函数的值域(或最值)常见到以下几种类型的题目：
①形如 y ＝ asin x ＋ bcos x ＋ c 的三角函数化为 y ＝ Asin(ωx ＋ φ) ＋ k 的形 式，再求值域(或最值)；
答案
B
π π 4．下列函数中，周期为 π，且在 ， 上为减函数的是( 4 2 π A．y＝sin2x＋ 2 π C．y＝sinx＋ 2 π B．y＝cos2x＋ 2 π D．y＝cosx＋ 2
)
解析
π π 由函数的周期为 π，可排除 C， D。又函数在 ， 上为减函 4 2
(4)y＝tan x在整个定义域上是增函数。( × ) 解析 断。 (4)错误。单调区间不能取并集。也可借助正切函数的图像判
(5)y＝ksin x＋1(x∈R)的最大值为k＋1。( × ) 解析 错误。当k>0时，其最大值为k＋1。 (6)y＝sin |x|为偶函数。( √ 解析 正确。 )
[练一练]
单调性。
J 基础知识
自主学习
知 识 梳 理
1．周期函数和最小正周期
2．正弦函数、余弦函数、正切函数的图像和性质
函数 y＝sin x y＝cos x y＝tan x
图像
定义域
R ____
R ____
{x|x∈R且x≠＋ kπ，k∈Z}
值域
[－1,1] _______
[－ 1,1] ______
R ____
1 ∴ sin x∈ － ，1。 2
又 y＝3－ sin x－2cos2x＝3－ sin x－2(1－ sin2x)
1 7 ＝2sin x－ 2＋ 。 4 8
1 7 ∴当 sin x＝ 时， ymin＝ ， 4 8 1 当 sin x＝－ 或 sin x＝1 时，ymax＝ 2。 2
②形如y＝asin2x＋bsin x＋c的三角函数，可设sin x＝t，化为关于t的二
次函数求值域(或最值)； ③形如 y＝asin xcos x＋ b(sin x±cos x)＋ c的三角函数，可先设t＝sin
x±cos x，化为关于t的二次函数求值域(或最值)。
变 式 训 练 1 (1) 函 数 y ＝ π 5π x|2kπ＋ ≤x≤2kπ＋ ，k∈Z 4 4 _____________________________ 。
π 函数 y＝ sin x 的图像和性质可知 2kπ≤x－ ≤π＋2kπ， k∈ Z， 4 π 5π 解得 2kπ＋ ≤x≤2kπ＋ ，k∈ Z。 4 4 π 5π 所以定义域为 x|2kπ＋ ≤x≤2kπ＋ ，k∈ Z。 4 4
πx π (2)(2016· 青岛模拟)函数 y＝2sin － (0≤x≤9)的最大值与最小值之 6 3
函 数
y＝sin x
y＝cos x kπ－π，2kπ] x∈[2 ______________ _____________ 时， (k∈Z) 函数是增加的， [2kπ，2kπ＋π x∈______________ ](k∈Z) ___________ 时，函 数是减少的
y＝tan x x∈____________ _______________ 时，函数是增加 的
π 1．函数 f(x)＝cos2x－ 的最小正周期是( 6
)
π A. 2 C．2π
B．π D．4π
2π 解析 f(x)的最小正周期 T＝ ＝π。 2 答案 B
2．函数 y＝tan 3x 的定义域为(
3π A.xx≠ ＋3kπ，k∈Z 2 π B.xx≠ ＋kπ，k∈Z 6 π C.xx≠－ ＋kπ，k∈Z 6 π kπ D.xx≠ ＋ ，k∈Z 6 3
π π ∴φ＝ kπ－ ， k∈ Z，取 k＝0，得 |φ|的最小值为 。 6 6 【答案】 A
【规律方法】
(1)若f(x)＝Asin(ωx＋φ)为偶函数，则当x＝0时，f(x)取
得最大或最小值；若f(x)＝Asin(ωx＋φ)为奇函数，则当x＝0时，f(x)＝0。
(2)对于函数 y＝ Asin(ωx＋ φ)，其对称轴一定经过图像的最高点或最低
数，排除 B，故选 A。 答案 A
π 5 ，此时 x＝ 5 ． 函 数 y ＝ 3 － 2cos x＋ 的 最 大 值 为 _____ 4 3π ＋2kπ(k∈Z) 4 ________________ 。 π π 解析 函数 y＝3－2cos x＋ 的最大值为 3＋2＝5， 此时 x＋ ＝π＋2kπ， 4 4
无对称轴
最小正
周期
2π
2π
π
基 础 自 测
[判一判]
π (1)y＝sin x 在0， 上是增函数。( √ 2
)
解析 解析
正确。 错误。
(2)y＝sin x在第一、四象限是增函数。( × )
(3)所有的周期函数都有最小正周期。( × )
解析 错误。如常数函数为周期函数，但没有最小正周期。
)
π π kπ 解析 由 3x≠ ＋ kπ，得 x≠ ＋ ， k∈ Z。 2 6 3 答案 D
π 3．已知函数 f(x)＝sinωx＋ (ω>0)的最小正周期为 π，则该函数的图 3
像(
) π A．关于直线 x＝ 对称 3
π B．关于点 ，0对称 3
π C．关于直线 x＝－ 对称 6源自 1 ∴函数的值域为－ － 2，1。 2
考点二 三角函数的奇偶性、周期性和对称性
【例 2】 ( ) A．函数 f(x)的最小正周期为 π B．函数 f(x)是偶函数 π C．函数 f(x)的图像关于直线 x＝ 对称 4
π D．函数 f(x)在区间 0， 上是增函数 2 3π (1)已知函数 f(x)＝ sin 2x＋ (x ∈R)，下面结论错误的是 2
解析 设 t＝ sin x－ cos x，则 t2＝ sin2x＋ cos2x－2sin xcos x， 1－t2 sin xcos x＝ ，且－ 2≤t≤ 2。 2 t2 1 1 ∴ y＝－ ＋t＋ ＝－ (t－1)2＋1。 2 2 2 1 当 t＝1 时，ymax＝ 1；当 t＝－ 2时， ymin＝－ － 2。 2
点，对称中心一定是函数的零点，因此在判断直线x＝x0或点(x0,0)是不是函 数的对称轴或对称中心时，可通过检验f(x0)的值进行判断。
变式训练 2
π (1)(2015· 长沙一模)若函数 f(x)＝2tankx＋ 的最小正周期 3
2 或3 。 T 满足 1<T<2，则自然数 k 的值为________
和为(
) B．0 D．－1－ 3
A．2－ 3 C．－1
π π π 7π 解析 因为 0≤x≤9，所以－ ≤ x－ ≤ 。 3 6 3 6
π π 3 所以 sin x－ ∈－ ，1。 3 2 6
所以 y∈[－ 3，2]，所以 ymax＋ ymin＝2－ 3。 答案 A
1 － － 2，1 (3)函数y＝sin x－cos x－sin xcos x的值域为_________________ 。 2
【解析】 要使函数有意义需满足
sin x>0， sin x>0， 即 1 1 cos x－2≥0， cos x≥2，
2kπ<x<π＋2kπ， 解得 π (k∈ Z)， π － ＋2kπ≤x≤ ＋2kπ 3 3 π ∴2kπ<x≤ ＋2kπ， k∈ Z。 3 ∴函数的定义域为
π 解析 由题意知，1< <2，即 k<π<2k。又 k∈N，所以 k＝2 或 k＝3。 k
(2)(2015· 四川卷)下列函数中，最小正周期为 π 且图像关于原点对称的 函数是( )
π B．y＝sin 2x＋ 2
π A．y＝cos 2x＋ 2
【答案】 C
4π (2)如果函数 y＝3cos(2x＋φ)的图像关于点 ，0中心对称，那么|φ|的 3
最小值为( π A. 6 π C. 3
) π B. 4 π D. 2
4π 2π 【解析】 由题意得 3cos2× ＋φ＝3cos ＋φ＋2π 3 3 2π 2π π ＝3cos ＋φ＝0，∴ ＋φ＝ kπ＋ ， k∈ Z。 3 2 3
π x2kπ<x≤ ＋2kπ， k∈ Z 。 3
π 7π 8 (2)当 x∈ ， 时， 函数 y＝3－sin x－2cos2x 的最小值是___________ ， 6 6
7
2 最大值是________ 。
【解析】
π 7π ∵ x∈ ， ， 6 6
3π 【解析】 f(x)＝ sin2x＋ ＝－cos 2x，故其最小正周期为 π，A 正 2
确；易知函数 f(x)是偶函数，B 正确；由函数 f(x)＝－cos 2x 的图像可知， π 函数 f(x)的图像不关于直线 x＝ 对称，C 错误；由函数 f(x)的图像易知， 4
π 函数 f(x)在 0， 上是增函数，D 正确，故选 C。 2
单 调 性
最 值
无最大值和最小 值
函数 奇偶性 对称 对 称 性 对称 轴 中心
y＝sin x
奇函数 (kπ，0)，k∈Z
y＝cos x
偶函数
y＝tan x
奇函数
π kπ kπ＋ ，0 ，k∈Z ，0 ，k∈Z 2 2
π x＝kπ＋ ，k∈Z 2
x＝kπ，k∈Z
解法二： 利用三角函数线， 画出满足条件的终边范围(如图阴部分所示)。