三角函数性质与图像x教师版

三角函数性质与图像
备注：
以上性质的理解记忆关键是能想象或画出函数图象．．．．．．．．．．
. 函数sin()y A x ωϕ=+的图像和性质以函数sin y x =为基础,通过图像变换来把握.如①sin y x
=−−−−→图例变化为
②sin()y A x ωϕ=+(A >0,ω>0)相应地，
①的单调增区间2,222
k k ππππ⎡⎤-++⎢⎥
⎣
⎦
−−−→变为 222
2
k x k π
π
πωϕπ-
+++≤≤
的解集是②的增区间.
注:⑴)sin(ϕω+=x y 或cos()y x ωϕ=+（0≠ω）的周期ω
π
2=T ;
⑵sin()y x ωϕ=+的对称轴方程是2
x k π
π=+
（Z k ∈），对称中心(,0)k π；
cos()y x ωϕ=+的对称轴方程是x k π=（Z k ∈），对称中心1(,0)2
k ππ+；
)tan(ϕω+=x y 的对称中心（
0,2
π
k ）. 课前预习
1．函数sin cos y x x =-的最小正周期是 2π . 2． 函数1π2sin()2
3
y x =+的最小正周期T = 4π ．
3．函数sin
2
x
y =的最小正周期是2π 4．函数]),0[)(26sin(2ππ∈-=x x y 为增函数的区间是]65,3[π
π
5．函数2
2cos()()363
y x x πππ=-≤≤的最小值是1
6．为了得到函数)62sin(π
-=x y 的图象，可以将函数x y 2cos =的图象向左平移3
π个单位长度
7．将函数sin y x =的图象上各点的横坐标扩大为原来的2倍，纵坐标不变，再把所得图象
上所有点向左平移3π
个单位，所得图象的解析式是y=sin(21x+6
π).
8．
函数sin y x x =+在区间[0,2π
]的最小值为___1___.
9．已知f (x )=5sin x cos x -35cos 2x +
32
5
（x ∈R ） ⑴求f (x )的最小正周期；y=5sin(2x-3
π
) T=π ⑵求f (x )单调区间；[k 12ππ-,k π+125π], [k 125ππ+,k π+12
11π
]k Z ∈
⑶求f (x )图象的对称轴，对称中心。

x=1252ππ+k ,(0,6
2π
π+k ) k Z ∈
典型例题
例1、三角函数图像变换
将函数1
2cos()32
y x π=+的图像作怎样的变换可以得到函数cos y x =的图像？
变式1：将函数cos y x =的图像作怎样的变换可以得到函数2cos(2)4y x π
=-的图像？
例2、已知简谐运动ππ()2sin 32f x x ϕϕ⎛⎫⎛
⎫=+< ⎪⎪⎝⎭⎝
⎭的图象经过点(01)，，则该简谐运动的最
小正周期T 和初相ϕ分别为6T =，π6
= 例3、三角函数性质
求函数34sin(2)23
y x π
π=+的最大、最小值以及达到最大(小)值时x 的值的集合．；
变式1：函数y =2sin x 的单调增区间是［2k π－2π，2k π＋2
π
］（k ∈Z ） 变式2、下列函数中，既是（0，
2
π
）上的增函数，又是以π为周期的偶函数是( B) (A)y =lg x 2 (B)y =|sin x | (C)y =cos x (D)y=x 2sin 2
变式3、已知⎥⎦
⎤
⎢⎣⎡∈2,0πx ，求函数)125cos()12cos(x x y +--=ππ的值域y=2sin （x+6π）⎥⎦
⎤ ⎝⎛
2,22 变式4、已知函数12
()log (sin cos )f x x x =- y=log 2
1()4
sin(2π-x )
⑴求它的定义域和值域；(2k 4
52,4π
ππ
π+
+
k ) k ∈Z ⎪⎭
⎫⎢⎣⎡+∞-,21 ⑵求它的单调区间；减(2k 432,4ππππ++k ),增(2k 4
52,43π
πππ+
+k ) k ∈Z ⑶判断它的奇偶性；非奇非偶 ⑷判断它的周期性.2π
例4、三角函数的简单应用
如图，某地一天从6时至14时的温度变化曲线近似
满足函数y =A sin （ωx ＋ϕ）＋b . （Ⅰ）求这段时间的最大温差；20
（Ⅱ）写出这段曲线的函数解析式．y=10sin （4
38
π
π
+x ）+20
例5、三角恒等变换
函数y ＝
x
x cos sin 21
++的最大值是22＋1．
变式1：已知cos 22
π2sin 4αα=-
⎛
⎫- ⎪
⎝
⎭
，求cos sin αα+的值．1/2 变式2：已知函数2π()2sin 3cos 24f x x x ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭，ππ42x ⎡⎤
∈⎢⎥⎣⎦
，．求()f x 的最大值和最小值．32
实战训练
1．函数x x f 2sin 21)(-=的最小正周期为 π
2. 函数f x x x x ()cos sin cos =-223的最小正周期是_π___
3．函数)(2cos 2
1
cos )(R x x x x f ∈-=的最大值等于 167
4．（07年浙江卷理2）若函数()2sin()f x x ωϕ=+，x ∈R （其中0ω>，2
ϕπ
<）的最小正周期是π，且(0)3f =，则23
ωϕπ==
， 5．（2007年辽宁卷7）．若函数()y f x =的图象按向量a 平移后，得到函数(1)2y f x =--的图象，则向量a =(12)-，
6．（2007年江西卷文2）．函数5tan(21)y x =+的最小正周期为
π
2
7．（2007年湖北卷理2）．将π
2cos 36x
y ⎛⎫=+ ⎪⎝
⎭
的图象按向量π
24
⎛⎫
=-- ⎪⎝
⎭
，
a 平移，则平移后所得图象的解析式为π
2cos 234
x
y ⎛⎫
=+- ⎪⎝
⎭ 8．（2007年广东卷理3）．若函数21
()sin ()2
f x x x R =-∈，则f(x)是最小正周期为π的偶函数
9．（2007年福建卷理5）．已知函数()sin (0)f x x ωωπ⎛⎫=+> ⎪3⎝
⎭的最小正周期为π，则该函数
的图象（ A ）A ．关于点0π⎛⎫
⎪3⎝⎭
，
对称 B ．关于直线x π=4对称 C ．关于点0π⎛⎫
⎪4⎝⎭
，
对称 D ．关于直线x π=3对称 10．（2007年江苏卷1）．下列函数中，周期为2
π
的是（ D ）
A ．sin 2x y =
B ．sin 2y x =
C ．cos 4
x
y = D ．cos 4y x =
11．（2007年江苏卷5）
．函数()sin ([,0])f x x x x π=∈-的单调递增区间是（ D ）
A ．5[,]6ππ--
B ．5[,]66ππ--
C ．[,0]3π-
D ．[,0]6
π
-
12．（2007年天津卷文9）设函数()sin ()3f x x x π⎛
⎫=+∈ ⎪⎝
⎭R ，则()f x （ A ）
A ．在区间2736ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦，上是增函数
B ．在区间2π⎡
⎤-π-⎢⎥⎣
⎦，上是减函数 C ．在区间84ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦，上是增函数 D ．在区间536ππ⎡⎤
⎢⎥⎣⎦
，上是减函数
13．（07年山东卷文4）．要得到函数sin y x =的图象，只需将函数cos y x π⎛
⎫=- ⎪3⎝⎭
的图象（ A ）
A ．向右平移π6个单位
B ．向右平移π
3个单位
C ．向左平移π3个单位
D ．向左平移π
6
个单位
14．（07年全国卷二理2）．函数sin y x =的一个单调增区间是（ C ）
A ．ππ⎛⎫- ⎪44⎝⎭，
B ．3ππ⎛⎫ ⎪44⎝⎭，
C ．3π⎛⎫π ⎪2⎝⎭，
D ．32π⎛⎫
π ⎪2⎝⎭，
15．（2007年北京卷文3）．函数()sin 2cos 2f x x x =-的最小正周期是π
16．（2007年重庆卷文）（18）已知函数
)
2
sin(42cos 2π
π+
⎪
⎭⎫ ⎝
⎛
-x x 。

（Ⅰ）求f (x )的定义域； （Ⅱ）若角a 在第一象限且）。

（求a f a ,5
3
cos =
{x|x ≠k π-2
π
,k ∈Z} 14/5。