微分中值定理证明方法
微分中值定理
四 柯西(cauchy)中值定理 1 定理： 设f ( x), g ( x)在[a, b]上连续, 在(a, b)内可导, 且g ′( x) ≠ 0, x ∈ (a, b)
f ′(ξ ) f (b) − f (a ) 则∃ξ ∈ (a, b), 使得 = g ′(ξ ) g (b) − g (a )
b−a
② 令θ = ξ − a ,
Q ξ ∈ ( a, b)
∴θ ∈ (0,1), ξ = a + θ (b − a )
∴ f (b) − f (a ) = f ′(a + θ (b − a))(b − a), θ ∈ (0,1)
③
再令b = a + h, 则有f (a + h) − f (a ) = f ′(a + θ h)h,
则F ( x)在[a, b]上满足Rolle定理的条件,∴ ∃ξ ∈ (a, b), 使F ′(ξ ) = 0
f ′(ξ ) f (b) − f (a ) f (b) − f (a ) 即f ′(ξ ) − g ′(ξ ), g ′(ξ ) ≠ 0, ∴ = g (b) − g (a ) g ′(ξ ) g (b) − g (a )
∴依x1 , x2的任意性知, f ( x)在[a, b]上严格单增
类似地有
若f ′( x) < 0, 则f ( x)在[a, b]上严格递减
【4-1-16】
例6 证明不等式
x < ln(1 + x) < x, x > 0 1+ x
证明： 证明： Q f ( x) = ln(1 + x)在[0, +∞)连续可导,
第四章 §4.1
第四章微分中值定理
第四章微分中值定理4.1 微分中值定理微分中值定理在微积分理论中占有重要地位，它建立了函数与导数之间的联系，提供了导数应用的基础理论依据，本节介绍罗尔（Rolle）定理以及拉格朗日（Lagrange）中值定理。
一、罗尔定理我们已经知道，有界闭区间上的连续函数一定有最大值与最小值，但是最大值与最小值不一定是极值，例如当最大值和最小值仅在区间端点处取得时就不是极值，而如果最大值或最小值在区间内部取得时，则一定为极值，因此，如果有界闭区间上的连续函数在两个端点处的函数值相等，那么它的最大值与最小值中至少有一个在开区间内取得，从而一定是极值，如果函数可导的话，相应的极值点一定是驻点，即该点处导数为0，这样，我们自然得到下面的罗尔定理。
定理4.1（罗尔定理）设函数f（x）满足：（1）在闭区间[a、b]上连续；（2）在开区间（a、b）内可导；（3）f（a）=f（b）,则至少存在一点罗尔定理也有十分明显的几何意义，设曲线弧（如图4.1所示）的方程为y=f（x）（a≤x≤b），罗尔定理的条件在几何上表示：是一条连续的曲线弧，除了端点外处处有不垂直于x轴的切线，并且两个端点A 和B的纵坐标相同。
定理结论表述了这样的几何事实：曲线弧上至少有一点C，在这点处曲线的切线是水平的，即罗尔定理的几何意义是：当曲线弧在[a、b]上为连续弧段，在（a、b）的曲线弧上每一点均有不垂直于x轴的切线，并且曲线弧两个端点的纵坐标相同，那么曲线弧上至少有一点的切线平行于x轴（如图4.1所示）有必要指出，罗尔定理中的三个条件缺一不可，条件（1）保证了函数f（x）的最大值与最小值的存在性；条件（3）保证了最大值与最小值中至少有一个在开区间内取得，从而是极值；条件（2）保证了该极值点处函数的可导性，因此，如果缺少这三个条件中的任何一个定理都将不成立，读者不妨自己举些反例加以验证。
例1 在区间[-1，1]上满足罗尔定理条件的函数是（）[答疑编号10040101：针对该题提问]解：因为在x=0处没定义，所以不连续，故在区间[-1，1]上不满足罗尔定理的条件。
第四章 微分中值定理与泰勒公式1-4
3. 拉格朗日中值定理的三个重要推论 (1)推论1 设f (x)在区间[a,b]上可导，且f (x)=0, x [a,b].则f (x)=C, x [a,b]. (C为常数)
证：x1,x2 [a,b], 不妨令x1<x2, 则f (x)在[x1, x2] 上满足拉格朗日中值定理条件，故有
(0 1)
f ( x x) f ( x) f ' ( x x)x, 0 1
或 或
y f ' ( x x)x, 0 1
y f ' ( )x, ,
在x与x x之间.
21
f (b) f (a) f ' ( )(b a)
当f ( ) m时，f ' ( 0) 0, f ' ( 0) 0, 故f ' ( ) 0.
注:(费马定理) 当最大(小)值点在(a,b)内达到时,其导数为零。
6
例1. 设f (x)=(x a)(xb)(xc)(xd) ，a<b<c<d为实 数. 证明方程 f (x)=0，有且仅有三个实根，并指
又 F(a) = F(b) = 0,
故由Rolle定理，至少存在一点(a, b)，使得 F ( )=0
16
f (b) f (a) F ( x) f ( x) f (a ) ( x a) ba f (b) f (a) F ' ( x) f ' ( x) . ba
x ( +)，
f ( x) 即要证 x 1, x ( , ), e
令
f ( x) ( x) x , x ( , ). e
而 F ' ( ) 0,
3-1 微分中值定理
结束
铃
二、罗尔定理
费马(Fermat)引理 设 f(x0)为函数 f(x)在开区间(a b)内的最大(小)值, 若 f (x0)存在, 则 f (x0) 0 证明 设 f(x0)为最大值.
当x (a, b)时, f ( x) f ( x0 ) 0.
当x x0时,
当x x0时,
8
首页
上页
返回
下页
结束
铃
罗尔(Rolle)定理 如果函数 yf(x) 满足 (1) 在闭区间[a b]上连续; (2) 在开区间(a b)内可导; (3) f(a) f(b), 那么在(a b)内至少存在一点 使得 f () 0
9
首页
上页
返回
下页
结束
铃
例1 不求导数 判断函数 f(x)(x1)(x2)(x3)的导 数有几个实根 以及其所在范围 解 f(1)f(2)f(3)0 f(x)在[1 2] [2 3]上满足罗尔 定理的三个条件 由罗尔定理 在(1 2)内至少存在一点1 使 f (1)0 1是 f (x) 的一个实根; 在(2 3)内至少存在一点2 使f (2)0 2也是f (x) 的一个实根 f (x)是二次多项式 至多有两个实根. 所以 f (x)有两个实根, 分别在区间(1 2)及(2 3)内
思考题 设 f (x)在 [0,1] 上连续, 在 (0,1) 内可导, 且 f (1) 0.
证明: 在 (0,1) 内至少存在一点 , 使
2 f ( ) f ( ) 0.
提示: 考虑方程 2 xf ( x) x 2 f ( x) 0. 化为方程 [ x 2 f ( x)] 0.
11
首页
上页
返回
微分中值定理的证明以及应用
微分中值定理的证明以及应用1 微分中值定理的基本内容微分中值定理是反映导数值与函数值之间的联系的三个定理 ,它们分别是罗尔(R olle )中值定理 、拉格朗日(Lagrange )中值定理和柯西(Cauchy )中值定理 .具体内容如下 :1.1 罗尔中值定理[2]如果函数f 满足:(1)在闭区间[,]a b 上连续 ; (2)在开区间(,)a b 内可导 ;(3)在区间端点的函数值相等,即()f a f b （）=,那么在区间(,)a b 内至少有一点a b ξξ（<<）,使函数()y f x =在该点的导数等于零,即'()0f ξ=. 1.2 拉格朗日中值定理[2]如果函数f 满足： (1)在闭区间[,]a b 上连续;(2)在开区间,a b （）内可导.那么,在,a b （）内至少有一点a b ξξ（<<）,使等式()()()=f a f b f b aξ-'-成立.1.3 柯西中值定理[2]如果函数f 及g 满足: (1)在闭区间[,]a b 上都连续; (2)在开区间,a b （）内可导; (3)'()f x 和'()g x 不同时为零; (4)()()g a g b ≠则存在,a b ξ∈（）,使得 ()()()()g ()()f f b f ag b g a ξξ'-='-2 三定理的证明2.1 罗尔中值定理的证明[2]根据条件在闭区间[,]a b 上连续和闭区间上连续函数的最大值和最小值定理,若函数()f x 在闭区间上连续,则函数()f x 在闭区间[,]a b 上能取到最小值m 和最大值M ,即在闭区间[,]a b 上存在两点1x 和2x ,使12(),()f x m f x M==且对任意[,x a b ∈],有()m f x M ≤≤.下面分两种情况讨论:①如果m M =,则()f x 在[,]a b 上是常数,所以对(,)x a b ∀∈,有()=0f x '.即,a b （）内任意一点都可以作为c ,使()=0f c '. ②如果m M <,由条件()=()f a f b ,()f x 在[,]a b 上两个端点a 与b 的函数值()f a 与()f b ,不可能同时一个取最大值一个取最小值,即在开区间,a b （）内必定至少存在一点c ,函数()f x 在点c 取最大值或最小值,所以()f x 在点c必取局部极值,由费尔马定理,有'()=0f c .2.2 拉格朗日中值定理的证明[2]作辅助函数()()()()f b f a F x fx a b x f a a--=-（）-（-） 显然,()()(0)F a F b ==,且F 在[,]a b 满足罗尔定理的另两个条件.故存在,a b ξ∈（）,使 ()()''()f b f a F f b aξξ--（）=-=0移项即得()()'()=f b f a f b aξ--2.3 柯西中值定理的证明[2]作辅助函数()()()g()-g()()g(f b f a F x f x f a x a g b a --（）=-()-（））易见F 在[,]a b 上满足罗尔定理条件,故存在(,)a b ξ∈,使得()()''()g'()=0()g(f b f a F f g b a ξξξ--（）=-）因为g'()0ξ≠(否则由上式'()f ξ也为零）,所以把上式改写成()'()()()g ()()f f b f ag b g a ξξ-='-证毕3 三定理的几何解释和关系3.1 几何解释[1]罗尔中值定理在曲线()y f x=上存在这样的点,过该点的切线平行于过曲线两端点的弦(或x轴).拉格朗日中值定理在曲线()y f x=上存在这样的点,过该点的切线平行于过曲线两端点的弦.柯西中值定理在曲线()()f xyxg x=⎧⎨=⎩(其中x为参数,a x b<<)存在一点,使曲线过该点的切线平行于过曲线两端点((),()),((),())A f a g aB f b g b的弦.综上所述,这三个中值定理归纳起来,用几何解释为:在区间[,]a b上连续且除端点外每一点都存在不垂直于x轴的切线的曲线,它们有个共同的特征()y f x=在曲线上至少存在一点,过该点的切线平行于曲线端点的连线.3.2 三定理之间的关系[3]从这三个定理的内容不难看出它们之间具有一定的关系.利用推广和收缩的观点来看这三个定理.在拉格朗日中值定理中,如果()()f a f b=,则变成罗尔中值定理,在柯西中值定理中,如果()F x x=,则变成拉格朗日中值定理.因此,拉格朗日中值定理是罗尔中值定理的推广,柯西中值定理是拉格朗日中值定理的推广.反之,拉格朗日中值定理是柯西中值定理的特例,罗尔中值定理是拉格朗日中值定理的特例.总的来说,这三个定理既单独存在,相互之间又存在着联系.从上面的讨论中可以总结得到,罗尔中值定理是这一块内容的基石,而拉格朗日中值定理则是这一块内容的核心,柯西中值定理则是这一块内容的推广应用.4 三定理的深层阐述4.1 罗尔中值定理4.1.1 罗尔中值定理结论[8](1) 符合罗尔中值定理条件的函数在开区间,a b （）内必存在最大值或最小值. (2) 在开区间,a b （）内使'()=0f x 的点不一定是极值点. 例如 函数3()(53)4xf x x =-在闭区间[1,2]-上满足罗尔定理的三个条件, 由25'()3()4f x x x =- ,显然0x =,有'(0)=0f 成立,但0x =不是()f x 的极值点.如果加强条件, 可得如下定理:定理 1 若函数在闭区间,a b []上满足罗尔中值定理的三个条件,且在开区间,a b （）内只有唯一的一个点,使()=0f x '成立,则点x 必是()f x 的极值点.完全按照罗尔中值定理的证法,即可证得使()'=0f x 成立的唯一点x 就是()f x 在,a b （）内的最值点,当然是极值点. 4.1.2 逆命题不成立[3]罗尔中值定理的逆命题 设函数()y=f x 在闭区间,a b []上连续,在开区间,a b （）内可导,若在点x 在,a b （）处,有()=0f x ',则存在,[,]p q a b ∈,使得()()=fp f q .例 函数3y x =,[,](0)x a a a ∈->,显然3y x =在,a a [-]上连续,在a a (-,)内可导,()=0f x ',但是不存在,[,]p q a a ∈- ,p q <,使得()()=f p f q .但如果加强条件,下述定理成立:定理2 设函数y ()f x =在闭区间,a b []上连续,在开区间,a b （）内可导,且导函数()f x '是严格单调函数,则在点(,)x a b ∈处,有()=0f x '的充分必要条件是存在,[,]p q a b ∈,p q<,使得()()=f p f q .4.2 拉格朗日中值定理4.2.1 点x 不是任意的[7]拉格朗日中值定理结论中的点x 不是任意的. 请看下例:问题 若函数()f x 在(,)a +∞(a 为任意实数)上可导,且lim ()x f x c →+∞=(c 为常数),则lim ()0x f x →+∞=这一命题正确吗?证明 设x 为任意正数,由题设知()f x 在闭区间[,2]x x 上连续,在开区间(,2)x x 内可导,由拉格朗日中值定理知,至少存在一点(,2)x x ξ∈,使得()(2)()=f x f x f xξ-',又因为li m ()x f x c →+∞=,故(2)()limx f x f x x→+∞-=.由于ξ夹在x与2x 之间,当x +→∞时,ξ也趋于+∞,于是lim '()lim '()0x x f x f ξ→+∞→+∞==.上述证明是错误的,原因在于ξ是随着x 的变化而变化,即()g x ξ=,但当+x →∞时,()g x 未必连续地趋于+∞,可能以某种跳跃方式趋于+∞,而这时就不能由()f ξ'趋于0推出lim ()0x f x →+∞=了.例如 函数()2s i n =x f x x满足l i m ()0x f x→+∞=,且2221'()2cos sin f x x xx=-在+∞（0，）内存在,但2221lim '()lim [2cos sin ]x x f x x x x→+∞→+∞=-并不存在,当然li m '()0x f x →+∞=不会成立.4.2.2 条件补充[5]定理 3 若函数()f x 在(,)a +∞(a 为任意实数)上可导,且lim '()x f x →+∞存在,若lim '()x f x c→+∞=(c 为常数),则lim '()0x f x →+∞=.4.3 柯西中值定理柯西中值定理的弱逆定理[8]设()()f x g x ，在[,]a b 上连续,在(,)a b 内可微,且'()'()f g ξξ严格单调,'()0g x ≠,则对于12,a b x x ξξ∀∈∃<<（）, ,使得2121'()'()=[()()][()()]f g f x f x g x g x ξξ--成立.证明:对,a b ξ∀∈（）,作辅助函数 '()'()F x f x f g x ξξ（）=()-()g().显然,()f x 在[,]a b 上连续,在(,)a b 内可微,并且由()()f x g x ，严格单调易知'()F x 也严格单调.由拉格朗日定理知,对于12,a b x x ξξ∀∈∃<<（）,,使得 2121()()'()()F x F x F x x ξ-=-成立.而'()='()('()'())'()0F f f g g ξξξξξ-=所以有21()()0F x F x -=即2211['()('()'())'()]['()('()'())'()]0f x f g g x f x f g g x ξξξξ---=整理得2121'()'()[()()][()()]f g f x f x g x g x ξξ=--证毕.5 定理的应用三个定理的应用主要有讨论方程根的存在性、求极限、证明等式不等式、求近似值等.以下主要以例题的形式分别展示三个定理的应用.5.1 罗尔中值定理的应用例1 设(1,2,3,,)i a R i n ∈= 且满足1200231n a a a a n ++++=+ ,证明：方程2012++++0n n a a x a a x x = 在（0,1）内至少有一个实根. 证明: 作辅助函数23+1120231n n a a a F x a x x x xn +++++ （）=则=0(0F （）,=(1)F 0,Fx （）在[0,1]上连续,在(0,1)内可导,故满足罗尔中值定理条件,因此存在(0,1)ξ∈,使'()0F ξ=,又2012'()++++0nn F x a a x a x a x==由此即知原方程在(0,1)内有一个实根.例2 设函数()f x 在[,]a b 上连续,在,a b （）内可导,且()()0f a f b ==.试证: 在[,]0a b a >（）内至少存在一点ξ,使得'()f f ξξ=（）. 证明：选取辅助函数()()x F x f x e -=,则F x （）在[,]a b 上连续,在,a b （）内可导,(a)()0F F b ==,由R olle 定理,至少存在一点,a b ξ∈（）,使'()'()e['()()]0F f f f f ξξξξξξξξ---=-=-=（）e e因 0e ξ-> 即'()()=0f f ξξ-或'()=()f f ξξ.例 3 设函数()f x 于有穷或无穷区间,a b （）中的任意一点有有限的导函数()f x ',且0lim ()lim ()x a x b f x f x →+→-=,证明:'()0f c =,其中c 为区间,a b （）中的某点.证明: 当,a b （）为有穷区间时,设()(,)(),f x x a b F x A x a b ∈⎧=⎨=⎩，当时，当与时，其中0lim ()lim ()x a x b A f x f x →+→-==.显然()F x 在[,]a b 上连续,在,a b （）内可导,且有()()F a F b =,故由R o l l e 定理可知,在,a b （）内至少存在一点c ,使'()=0F c .而在,a b （）内,'()'()F x f x =,所以'()=0F c .下设,a b （）为无穷区间,若,a b =-∞=+∞,可设tan ()22x t t ππ=-<<,则对由函数()f x 与tan x t=组成的复合函数g()(tan )t f t =在有穷区间()22ππ-，内仿前讨论可知:至少存在一点0t (,)22ππ∈-,使20g '()'()sec 0t f c t =⋅=,其中t a n c t =,由于20s e c 0t ≠,故'()=0f c .若a 为有限数,b =+∞,则可取0m a x {,0}b a >,而令00()b a t x b t-=-.所以,对复合函数00()g()()b a t t f b t-=-在有穷区间0,a b （）上仿前讨论,可知存在00t ,a b ∈（）使000200()g '()'()=0)b b a t fc b t -=⋅-（,其中0000()b a t c b t -=-,显然a c <<+∞由于00200())b b a b t ->-（,故'()=0fc .对于a =-∞,b 为有限数的情形,可类似地进行讨论.5.2 拉格朗日中值定理的应用例 4 证明0x >时,ln(1)1x x x x<+<+证明： 设()ln(1)f x x =+ , 则()f x 在[0,]x 上满足Lagrange 中值定理1ln(1)ln(10)ln(1)'(),(0,)10x x f x x xξξξ+-++===∈+-又因为111x ξ<+<+所以1111+1xξ<<+所以1ln(1)11+x xx+<<即ln(1)1x x xx<+<+例 5 已知()()()11112na n n n n n n n =++++++ ,试求lim n x na →.解： 令()2f x x=,则对于函数()f x 在()(),1n n k n n k +++⎡⎤⎣⎦上满足L a g r a n g e定理可得： ()()()()21211n n k n n k n n k n n k ξ++-+=++-+ ,()()()(),1n n k n n k ξ∈+++所以()()111221n k n k nnn n k n n k +++<-<+++当0,1,,1k n =- 时,把得到的上述n 个不等式相加得：()()()()211111222121n n n n n n n n n n+++<-<+++++ ()()11221n n n n ++++-即112222n n a a n n<-<+-故11022212n a n ⎛⎫<--<- ⎪⎝⎭所以lim 222n n a →∞=-例 6 求0.97的近似值. 解： 0.97是()f x x=在0.97x =处的值, 令001,0.97x x x x ==+∆=,则0.03x ∆=-, 由Lagrange 中值定理,存在一点0.97,1ξ∈（）(1)(0.97)'()0.03f f f ξ-=可取1ξ≈近似计算,得110.971+)'(0.03)1(0.03)0.9852x x =≈⋅-=+-=（5.3 柯西中值定理的应用例 7 设0x >,对01α<<的情况,求证1xx ααα-≤-.证明：当1x =时结论显然成立,当1x≠时,取[],1x 或[]1,x ,在该区间设()f x xα=,()F x x α=由Canchy 定理得：()()()()()()11f x f f F x F F ξξ'-='- (),1x ξ∈或()1,x ξ∈ 即111x x ααααξξααα---==-当1x >时,(),1x ξ∈,11αξ->即11x x ααα->-又()10x x ααα-=-<故1x x ααα->-即11x αα-<-当1x >时,()1,x ξ∈,11αξ-<则()10x x ααα-=->故1x x ααα->-即11x αα-<-证毕例 8 设()f x 在[,]a b 上连续,(,)a b 内可导,a b ≤≤（0）,()()f a f b ≠ ,试证 ,a b ξη∃∈，（）,使得'()'()2a b f f ξηξ+= .证明： 在等式'()'()2a b f f ξηξ+=两边同乘b a -,则等价于22'()'()()2f f b a b a ηξξ-=-（）,要证明此题, 只需要证明上式即可.在[,]a b 上,取()()F x f x =,G x x （）=,当,a b ξ∈（）时,应用Cauchy 中值定理()()'()()()'()f b f a f G b G a G ξξ-=-即()()'()1f b f a f b aξ-=-在[,]a b 上,再取()()F x f x =,2G x x （）= ,当,a b η∈（）时,应用C a u c h y 中值定理()()'()()()'()f b f a f G b G a G ηη-=-即22()()'()2f b f a f b aηη-=-即22'()'()()()2f f b a b a ηξξ-=-即'()'()2a b f f ξηξ+=例 9 设函数f 在[,]0a b a >（）上连续,在(,)a b 上可导.试证:存在(,)a b ξ∈使得()()'()lnb f b f a f aξξ-=证明： 设()ln g x x =,显然它在[,]a b 上与()f x 一起满足柯西中值定理条件,所以存在,a b ξ∈（）,使得 ()()'()1ln ln f b f a f b aξξ-=-整理后即得()()'()lnb f b f a f aξξ-=6 定理的应用总结 6.1 三定理的应用关系一般来说, 能用R o l l e 定理证得的也可用Lagrange 定理或C a u c h y 定理证得,因此,在解题的过程中根据问题本身的特点能选取合适的中值定理,以取得事半功倍的效果.如上面例9 利用R olle 中值定理.令()[()()]ln ()(ln ln )F x f b f a x f x b a =---,则()()F a F b -,所以存在,a b ξ∈（）使得'()0F x =, 即()()'()lnf b f a b f aξξ--=整理后即得所欲证明.上面的这个例子还不难看出在利用R olle 中值定理和Cauchy 中值定理证明的同一个不等式中,用R olle 中值定理时辅助函数的构造显然需要更多的观察和技术.相比之下,用Cauchy 中值定理则要简单得多.6.2 定理的应用方法技巧从定理应用的例题中不难发现,微分中值定理大多都是通过构造辅助函数来完成证明的.有的可以从函数本身出发构造辅助函数,有的需要利用指数、对数、三角函数等初等函数来构造辅助函数,还有的要根据需要证明的目标出发适当构造辅助函数.可见,在微分中值定理的应用中,广泛地使用辅助函数是做证明题的关键,在学习时应该掌握一些常用的构造辅助函数方法.在做证明题时一般先从要证的结论出发,观察目标式的特征,分析目标式可能要用的辅助函数,然后对目标式作相应的变形,这是构造辅助函数的关键.有了辅助函数就可以直接对辅助函数应用微分中值定理得到结论.7 结束语本课题的研究成果是通过大学阶段的有关数学分析知识的学习,和一些相关学科内容知识的学习,并结合一些相关的参考图书资料,以及通过网络收集期刊、报刊和杂志上的相关内容,其中还包括自己对这些内容的理解,还通过多方面的了解和研究,且在和老师及同学们的一起探讨下,了解到微分中值定理的内在联系,也对微分中值定理深层进行了探讨,还对微分中值定理的应用做了归纳总结.本课题主要是以罗尔中值定理、拉格朗日中值定理和柯西中值定理三个微分中值定理,感受到了定理来解决数学问题的方便快捷,学以致用得到充分体现.微分中值定理是微分学的基本定理,而且它是微分学的理论核心,有着广泛的应用.本课题主要是对微分中值定理证明等式不等式,方程根的存在性,求极限以及求近似值等的应用.应用微分中值定理证明命题的关键是构造辅助函数,构造满足某个微分中值定理的条件而得到要证明的结论.而构造辅助函数技巧性强,构造合适的辅助函数往往是困难的.因此,在构造辅助函数上本文没有深入系统论述,有待于研究.9 参考文献[1] 党艳霞. 浅谈微分中值定理及其应用[J]. 廊坊师范学院学报(自然科学版).2010,(1): 28-31.[2] 陈传璋. 数学分析[M]. 北京: 高等教育出版社. 2007.[3] 刘玉琏, 傅沛仁. 数学分析讲义[M]. 北京：高等教育出版社. 1982.[4] 林源渠, 方企勤等. 数学分析习题集[M]. 北京：高等教育出版社. 1986.[5] 赵香兰. 巧用微分中值定理[J]. 大同职业技术学院学报. 2004,（2）：64-66.[6] 刘章辉. 微分中值定理及其应用[J]. 山西大同大学学报（自然科学版）.2007.23(2): 12-15.[7] 何志敏. 微分中值定理的普遍推广[J]. 零陵学院学报. 1985. (1): 11-13.[8] 李阳, 郝佳. 微分中值定理的延伸及应用[J]. 辽宁师专学报. 2011.(3): 13-18.。
微分中值定理
x0为唯一的小于 1的正实根 .
题型二:求满足定理条件的 值
例7 求 f ( x ) arctan x 在 [0,1] 上满足Lagrange
中值定理的 值
题型三:用Lagrange中值定理证明不等式
x 例8 证明当x 0时, ln(1 x ) x . 1 x f (b) f (a) 证 设 f ( x) ln x, 凑成 形式 ba
如图3此时弦AB的斜率为
f ( ) dY |x g ( ) dX
f (b) f (a) g (b) g (a)
柯西(Cauchy)中值定理
如果 f(x),g(x)满足
(1) ( 2) ( 3)
在闭区间 在开区间
[a, b]上连续,
( a , b ) 内可导,
g( x) 0, x (a, b )
则 (a, b ), 使等式
f ' ( ) f (b ) f (a ) 成立. ' g ( ) g (b ) g (a )
f (b ) f (a ) g( x ) f ( x ) 证: 作辅助函数 ( x ) g(b) g(a ) 则 ( x) 在[a, b] 上连续, 在 (a, b)内可导, 且 f (b ) g (a ) f (a ) g (b ) (a ) (b) g(b) g(a ) 使 由罗尔定理知, 至少存在一点 即 f (b) f (a ) f ( ) . g(b) g(a ) g( ) 思考: 柯西定理的下述证法对吗 ? f (b) f (a) f ( )(b a) , (a , b) 两个 不 一定相同 g(b) g(a ) g( )(b a ), (a , b)
第四章 微分中值定理
罗尔定理的几何意义，如下图
y
0
a
b
x
注意：定理中的条件是充分条件
y y
.
0
。
.
b
。 x
a
.
0 1
x
y
y
。
0
1
2
x
.
0 1
x
2.
拉格朗日定理
定理2. 拉格朗日 ( Lagrange 定理 ) 设 f ( x) 在 [a, b] 上连续，在 (a, b) 上可导，则在 (a, b) f (b) f (a ) 内至少存在一点 ，使得 f ( ) ba f (b) f (a ) 证明：作辅助函数 F ( x) f ( x ) x ba
n n 例15. 求 lim ( n 1) n ln n
(1 x) e 例16. 求 lim x 0 x
1 x
例17 . 求 lim ln x ln(1 x)
x 1
例18. 确定常数 k 使 1 x 1 x ,x 0 f ( x) e k, x 0 连续。
上式即为一阶泰勒公式
由拉格朗日定理知：
f ( x) f ( x0 ) f ( )(x x0 ) , 介于x、x0 之间。
f ( x0 ) 又设 f ( x) f ( x0 ) f ( x0 )( x x0 ) ( x x0 ) 2 2! 3 k 2 ( x x0 ) f ( ) 同理可得 : k 2 3! f ( x0 ) f ( x) f ( x0 ) f ( x0 )( x x0 ) ( x x0 ) 2 2! f ( ) 3 ( x x0 ) 3!
微分中值定理
oa
b x oa
bx
如果函数f(x)满足: (1)在闭区间[a,b]上连续 (2)在开区间(a,b)内可导
f ( )
f (b) f (a) ba
那么 (a, b) 使得 f (b) f (a) f ( )(b a)
Ø证明思路
罗尔定理
拉氏定理
几何方法: (x) f (x) L(x)
代数方法:
微分中值定理
一、罗尔定理 二、拉格朗日中值定理 三、柯西中值定理 四、中值定理的应用
四、中值定理的应用
（一）罗尔定理的应用 （二）拉格朗日定理的应用 （三）柯西定理的应用
四、中值定理的应用
（一）罗尔定理的应用 （二）拉格朗日定理的应用 （三）柯西定理的应用
u例1 f (x) (x 1)(x 2)(x 3)
a u例8 设ab>0，a≠b,f(x)在[a,b]上连续,在(a,b)内可导
证明 (a, b) 使得
1a a b f (a)
b f ( ) f ( )
f (b)
罗尔定理 拉格朗日定理 柯西定理
辅助函数方法
证明等式、不等式
学习愉快！
0
2
x x
1 1
1 1 x 2
2．定理的条件是充足的 例 f (x) 1 x2
y
o
x
y
o
x
微分中值定理
一、罗尔定理 二、拉格朗日中值定理 三、柯西中值定理 四、中值定理的应用
微分中值定理
一、罗尔定理 二、拉格朗日中值定理 三、柯西中值定理 四、中值定理的应用
Ø定理
yØ用于理论证明
u例3 如果f(x)满足: (1)在闭区间[a,b]上连续 (2)在开区间(a,b)内f '(x)=0
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
２１ ０ ２年 ９月
甘 肃联 合 大 学 学 报 （ 自然 科 学 版 ）
Ｊ ｕ ｎ ｌ ｆ ｎ ｕ Ｌｉｎ ｅ Ｕｎ ｖ ｒ ｉ （ ｔ ｒ ｌ ｃｅ ｃ ｓ ｏ ｒ ａ ｏ Ｇａ ｓ ａ ｈ ｉ ｅ ｓｔ Ｎａ ｕ ａ ｉｎ ｅ ） ｙ Ｓ
Ｖｏ１ ２ ． ６ ＮＯ． ５
ｆ ，
一
ａ
（ 一。 ， Ｅ ［ ，］ ） 口 ６．
由于 函数 厂 ｚ 在 闭 区间 ［ ，］ 连续 ， 开 （） ｎ６上 在
区间 （ ６ 上 可 导 ， ｎ， ） 因此 ， 数 （ 也 在 闭 区 间 函 ）
［ ，］ 连 续 ， 开 区 间 （ ， ） 可 导 ， 有 声 ｎ 口６上 在 ａ６上 并 （）
Ｓｅ ｔ ２ ２ ｐ ． Ｏ１
文章 编 号 ：１７ —９ Ｘ（０ ２０ —１００ ６ ２６ １ ２ １ ）５０ ０ —４
微 分 中值 定理 证 明 方 法
李 飞 飞 ， 临龙 赵
（ 康学 院 数学 与 应 用数 学 研 究 所 ， 西 安 康 ７ ５０ ） 安 陕 ２ ０ ０
摘 要 ： 用 Ｒ ｌ 中 值 定 理 ， 出 Ｌ ｇａ ｇ 利 ｏｌ ｅ 给 ａ ｒｎ ｅ中值 定 理 和 Ｃ ｕｈ ａ ｃｙ中值 定 理 的 作 辅 助 函 数 、 何 作 图证 明 、 角 几 三
形 面积 法 证 明方 法 ．
关键 词 ： ａｒｎ ｅ 值 定 理 ； ａｅ ｙ中值 定 理 ； ｏｌ 理 ； 明方 法 Ｌ ｇａｇ 中 Ｃ ｕｈ Ｒｌ ｅ定 证
中 图 分 类 号 ： ７ ． Ｏ１ ４ １ 文献标识码 ： Ａ
０ 引 言 及 预备 知 识
微 分 中值 定 理在《 数学 分析 》 中有 着重要 的地
．
Ｏ 口 ６ ｊ
（） １ 作辅 助 函数
（ ）一 ＿ ） ｆ ａ 一 ｚ 厂 （ 一 （）
图 １
（ ） 角形 面积法 ３三 如图 ２ 设 函数 声 ｚ） 示 以 曲线 上 的三 个 点 ， （ 表 （ ， （ ） ，６ － ６ ） （ － ） 为顶 点 的 三 角形 口 ＿ ｎ ） （ ， （ ） ，ｚ， （ ） 厂 厂 厂 的 面积 ， 面积表 达式 为
一
点 ∈（ ， ） 使 得 ≯ （） ｎ６ ， 一０ 即 ｆ（ ） ＿ ６ 一 ， ａ一厂 ） （
（ －ｂ ｆ （） ， 出 口 ） 一０ 推
） 一 ．
圈 ３
２ 柯 西 中值 定 理 证 明
Ｃ ｕｈ ａ ｃ ｙ中值 定理 … 设 函数 － ） ｇ ） 厂 （ 和 （ 满
， （）一 ．
１ 拉 格 朗 日中值 定 理 证 明
Ｌ ｇａ ｇ ａ ｒｎ ｅ中值 定 理 在一 点 ∈（ ，） 使得 ｎ６ ，
厂 （）一
证 明
） ， ‘
， ｆ
，
设 函数 厂（ 在 闭 区 ｚ）
间 ［ ，］ 连续 ， 口 ６上 在开 区间 （ ， ） 可导 ， 至少 存 ｎ ６上 则
连续 ， 开 区间 （ ， ） 可 导 ， ｆ（ ） 厂 ６ ， 在 口６上 且 ａ ：＿（ ） 则 至少存 在一 点 ∈（ ，） 使 得 ｆ （） ． 口６， 一０
平 移直 线 Ｚ至它 与 曲 线 ＿（ 相 切 时 ， ｘ） 对 ， 厂 ） ｆ（ 所 应 的点 ∈（ ，） 且 ｎ ６ ，口
一
（ ＝０． ６）＝ ＝
于是 由罗尔 中值 定 理 ， 至少 存 在一 点 ∈（ ， ａ
６， ） 使得 （） ． ＝０ 对 （ 求导 并 令 （） ｚ） 一０ 对 ， 其整 理后 ， 得
厂 （ ）一 ．
图 ２
（ ） 何作 图证 明 ２几
收 稿 日期 ： ０ ２０ — ３ ２ １ — ５２ ．
＋ａ ６ ｆ（ ）一 （ ， ｎ）
船＝ ＝
．
其中， ｚ∈Ｆ ，］ 显 然有 （ ） （ ）＝ ， 声 ） ａ ６． ｎ 一声 ６ ＝ ０ 且 （ ＝ 亦 是一 个在 ［ ６ 连续 ， （ ， ） 导 的 函数 ， 此 ，］ 在 “ ６可 因 （ 满足 罗尔 中值 定 理 的所 有 条 件 ， ） 即至 少存 在
（ｉ 在［ ，］ ） ｎ ６ 上都 连续 ； （Ｉ） （ ，） ｉ 在 口 ６ 内都 可导 ；
如 图 １ 由 于 （ ， （ ） ，６ ｆ ６ ） 连 线 的 方 ， ＆ ｆ ａ ） （， （） 的
程 为 Ｚ ：
：
位 与作 用 引， 成为人 们研 究 的热 点 问题 ， 专著 见
ｂ
—— ａ
（ 一 口） 厂（ ， ＋ ）
［］ ３ 和论 文 ［ —６ ． ４ ］ Ｒｌ ｏｌ ｅ定理 设 函
基金项目： 安康学院大学生科技创新项 目（０１ Ｋ Ｙ Ｘ ０）安康学院重点扶持学科建设项目（ Ｚ Ｚ１７ ２１Ａ Ｘ Ｄ Ｓ９； Ａ Ｘ ００）
作 者 简 介 ： 飞 飞 （９ ０） 男 ， 西 宝 鸡 人 ， 校 学 生 ， 要 从 事 基 础 数 学 的研 究 与 学 习． 李 １ ９一 ， 陕 在 主
足
即 Ｃ ｕｈ ａ ｃ ｙ中值 定理 也 可 以看 成 是 Ｌ ｇａ ｇ ａ ｒｎ ｅ 中值定 理 的参数 表达 形式 ． （ ） 角形 面积 法 ３三 如 图 ４ 设 函数 （ ） 示 以 曲线 上 的三个 点 ， ｚ表
（ （ ） ｆ ａ ） （ ６ ， ６ ） （ ） ｆ（ ） 顶 ｇ ｎ ， （ ） ， ｇ（ ） 厂（ ） ，ｇ（ ， ｘ） 为
第 ５期
李 飞 飞 等 ： 分 中值 定 理 证 明 方 法 微
１１ Ｏ
ｚ ｆ（ ）
（ ） 一 ａ ｆ（ ｄ）
设 一， 应 于 ｔ ∈（ ６ ， 由参 数 形 式 ７ 对 一 口，） 则 函数 的求 导 公式 ， 有
ｂ ｆ（ ） ｂ
Ｅ （ ） － ６ ］ 一 （ ６ ／ ） ｆ ａ 一 厂 ）－ （ ｔ ｎ一 ） ， （