高三文科数学第一轮复习经典题[001]

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高三文科数学一轮复习试卷

一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分）1. 已知函数f(x) = ax^2 + bx + c，其中a、b、c是常数，且f(1) = 2，f'(2) = 3，f(3) = 6，则a的值为（）A. 1B. 2C. 3D. 42. 若等差数列{an}的前n项和为Sn，且a1 + a2 + a3 = 12，a4 + a5 + a6 = 18，则数列{an}的公差d为（）A. 1B. 2C. 3D. 43. 已知函数f(x) = log2(x - 1) + 3，其定义域为（）A. (1, +∞)B. (0, +∞)C. (-∞, 1)D. (-∞, 0)4. 在直角坐标系中，若点A(2, 3)关于直线y = x + 1的对称点为B，则点B的坐标为（）A. (1, 2)B. (3, 1)C. (2, 1)D. (1, 3)5. 若向量a = (2, 3)，向量b = (-1, 2)，则向量a与向量b的夹角θ的余弦值为（）A. -1/5B. 1/5C. 2/5D. -2/56. 已知函数f(x) = x^3 - 3x + 1，则f'(x)的零点为（）A. -1B. 1C. 0D. 27. 在三角形ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，且a = 3，b = 4，c = 5，则角A的余弦值为（）A. 1/2B. 1/3C. 2/3D. 3/28. 已知函数f(x) = e^x - x，则f(x)在x = 0处的导数值为（）A. 1B. 0C. -1D. e9. 在等比数列{an}中，若a1 = 2，公比q = 3，则数列{an}的前5项和S5为（）A. 62B. 63C. 64D. 6510. 若复数z满足|z - 1| = |z + 1|，则复数z在复平面内的几何位置为（）A. 实轴上B. 虚轴上C. 第一象限D. 第二象限二、填空题（本大题共5小题，每小题5分，共25分）11. 已知函数f(x) = (x - 1)^2 + 2，则f(x)的最小值为______。

高三文科大一轮数学试卷

一、选择题（每题5分，共50分）1. 已知函数f(x) = x^2 - 2x + 1，若存在实数a，使得f(a) = 0，则a的值为（）A. 1B. 2C. 0D. -12. 在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，若a=3，b=4，c=5，则sinB 的值为（）A. 3/5B. 4/5C. 3/4D. 4/33. 已知等差数列{an}的前n项和为Sn，若a1=2，d=3，则S10的值为（）A. 90B. 100C. 110D. 1204. 下列函数中，在定义域内单调递增的是（）A. y = x^2B. y = 2^xC. y = log2xD. y = -x^25. 若复数z满足|z-1|+|z+1|=4，则复数z的取值范围是（）A. {z|z=2}B. {z|z=0}C. {z|z=±2}D. {z|z=±1}6. 下列命题中，正确的是（）A. 若集合A和B互为补集，则A∪B=∅B. 若集合A和B互为补集，则A∩B=∅C. 若集合A和B互为补集，则A⊆BD. 若集合A和B互为补集，则A⊇B7. 已知向量a=(1,2)，向量b=(2,-1)，则向量a与向量b的数量积为（）A. 5B. -3C. 0D. 38. 下列不等式中，恒成立的是（）A. x^2 + y^2 ≥ 2xyB. x^2 + y^2 ≤ 2xyC. x^2 + y^2 > 2xyD. x^2 + y^2 < 2xy9. 已知函数f(x) = |x-1| + |x+1|，则f(x)的最小值为（）A. 0B. 1C. 2D. 310. 在直角坐标系中，点P(2,3)关于直线y=x的对称点为（）A. (2,3)B. (3,2)C. (4,3)D. (3,4)二、填空题（每题5分，共50分）11. 已知等差数列{an}的前n项和为Sn，若a1=1，d=2，则S10的值为______。

12. 若函数f(x) = ax^2 + bx + c在x=1时取得最小值，则a______，b______，c______。

高三第一轮复习文科数学测试题1

测试题1一、选择题1．在极坐标系中，圆ρ=﹣2sin θ的圆心的极坐标系是（）A ．B ．C ．（1，0）D ．（1，π）2．点(1,2)在圆18cos 8sin x y θθ=-+⎧⎨=⎩的（） A ．内部 B ．外部 C ．圆上 D ．与θ的值有关3．两圆⎩⎨⎧+=+-=θθsin 24cos 23y x 与⎩⎨⎧==θθsin 3cos 3y x 的位置关系是（）A ．内切B ．外切C ．相离D ．内含4．直线：3x －4y －9＝0与圆：⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝2cos θ，y ＝2sin θ(θ为参数)的位置关系是( )A ．相切B ．相离C ．直线过圆心D ．相交但直线不过圆心5．在极坐标系中，直线2＝ 4π＋ sin )(θρ，被圆ρ＝3截得的弦长为() A ．22B ．2C ．52D ．32 二、填空题6.在同一平面直角坐标系中，直线22=-y x 变成直线42='-'y x 的伸缩变换是。

7．参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝cos α，y ＝1＋sin α(α为参数)化为普通方程为____________. 8．极坐标系下，直线与圆的公共点个数是． 9．在极坐标系中，点M （4，）到直线l ：ρ（2cos θ+sin θ）=4的距离d= ．10．曲线ρ＝8sin θ 和ρ＝－8cos θ(ρ＞0)的交点的极坐标是．三、解答题(解答时应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤)11．求在同一平面直角坐标系中，曲线C ：x 2＋y 2＝36经过伸缩变换⎩⎨⎧ x ′＝12x ，y ′＝13y 后的曲线方程，并求曲线的焦点坐标．12．在直角坐标系xOy 中，以O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系．曲线C 的极坐标方程为ρcos(θ－π3)＝1，M ，N 分别为C 与x 轴、y 轴的交点． (1)写出C 的直角坐标方程，并求M 、N 的极坐标；(2)设MN 的中点为P ，求直线OP 的极坐标方程．13．在平面直角坐标系中，以坐标原点为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，已知点A 的极坐标为(2，π4)，直线l 的极坐标方程为ρcos(θ－π4)＝a ，且点A 在直线l 上． (1)求a 的值及直线l 的直角坐标方程；(2)圆C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋cos α，y ＝sin α(α为参数)，试判断直线l 与圆C 的位置关系．14．已知在直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为（θ为参数），在极坐标系（与直角坐标系xOy 取相同的长度单位，且以原点O 为极点，以x 轴正半轴为极轴）中，直线l 的方程为．（Ⅰ）求曲线C 在极坐标系中的方程；（Ⅱ）求直线l 被曲线C 截得的弦长．15．已知曲线:C 3cos 2sin x y θθ=⎧⎨=⎩，直线:l (cos 2sin )12ρθθ-=．（1）将直线l 的极坐标方程化为直角坐标方程；（2）设点P 在曲线C 上，求P 点到直线l 距离的最小值．16．设椭圆E 的普通方程为2213x y += (1)设sin ,y θθ=为参数,求椭圆E 的参数方程;(2)点(),P x y 是椭圆E 上的动点,求3x y -的取值范围.。

高三数学文科第一轮复习单元测试试题

安溪三中高三数学(文科)第一轮复习单元测试一、选择题：本大题一一共12小题，每一小题5分，一共60分． 1．设x 是实数，那么“x ＞0”是“|x |＞0”的〔〕Ａ．充分而不必要条件Ｂ．必要而不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件2．不等式1()()9ax y x y++≥对任意正实数,x y 恒成立，那么正实数a 的最小值为〔〕Ａ．8Ｂ．6 C ．4D ．23．命题p ：假设a 、b ∈R ，那么|a |+|b |>1是|a +b|>1的充分而不必要条件；命题q ：函数y=2|1|--x 的定义域是〔－∞，－1]∪[3，+∞)．那么〔〕A ．“p 或者q 〞为假B ．p 假q 真C ．p 真q 假D ．“p 且q 〞为真4．假设011<③b a <；④2>+baa b 中，正确的不等式有〔〕A ．０个B ．１个C ．2个D ．３个5．设变量y x ,满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≥+≤+≥-1210y x y x y x ，那么目的函数y x z +=5的最大值为〔〕.A 2 .B 3 .C 4 .D 5 6．函数f (x 的最大值为〔〕 .A 25.B 12.C 2.D 17．设a 、b 、c 是互不相等的正数，那么以下等式中不恒成立．．．．的是〔〕A ．||||||c b c a b a -+-≤-B ．aa a a 1122+≥+C ．21||≥-+-ba b a D ．a a a a -+≤+-+2138．实数满足,sin 1log 3θ+=x 那么91-+-x x 的值是〔〕A ．8B ．-8C ．8或者-8D ．与θ无关9．假设函数)(x f 是奇函数，且在〔+∞,0〕，内是增函数，0)3(=-f ，那么不等式0)(<⋅x f x的解集为〔〕A ．}303|{><<-x x x 或B ．}303|{<<-<x x x 或C ．}33|{>-<x x x 或D ．}3003|{<<<<-x x x 或10．假设不等式x 2＋ax ＋1≥0对于一切x ∈〔0，12〕成立，那么a 的取值范围是〔〕 A ．0 B ． –2 C ．-52D ．-311．某商场的某种商品的年进货量为1万件，分假设干次进货，每次进货的量一样，且需运费100元，运来的货物除出售外，还需租仓库存放，一年的租金按一次进货时的一半来计算，每件2元，为使一年的运费和租金最，每次进货量应为〔〕A ．200件B ．5000件C ．2500件D ．1000件12．不等式,011<-+-+-ac c b b a λ对满足c b a >>恒成立，那么λ的取值范围是〔〕A ．(]0,∞-B ． ()1,∞-C ．(]4,∞-D ．()+∞,4二、填空题：本大题一一共4小题，每一小题4分，一共16分，把答案填在题中横线上． 13． b 克盐水中，有a 克盐〔0>>a b 〕，假设再添加m 克盐〔m >0〕那么盐水就变甜咸了，试根据这一事实提炼一个不等式 .14．假设记号“*〞表示求两个实数a 与b 的算术平均数的运算，即a *b =2ba +，那么两边均含有运算符号“*〞和“+〞，且对于任意3个实数，a 、b 、c 都能成立的一个等式可以是_________.15．设a ＞0，n ≠1，函数f (x ) =alg (x 2-2n +1) 有最大值.那么不等式log n 〔x 2-5x +7〕＞0的解集为__ _. 16．设集合{()||2|},A x y y x =-1，≥2{()|||}B x y y x b =-+，≤，A B ≠∅．〔1〕b 的取值范围是；〔2〕假设()x y A B ∈，，且2x y +的最大值为9，那么b 的值是．三、解答题：本大题一一共6小题，一共74分．解容许写出文字说明、证明过程或者演算步骤．17．〔本小题满分是12分〕〔文科做〕比拟以下两个数的大小：〔1〕；与3212-- 〔2〕5632--与；〔3〕从以上两小项的结论中，你否得出更一般的结论？并加以证明18．〔本小题满分是12分〕函数2())2sin ()()612f x x x x R ππ=-+-∈〔I 〕求函数()f x 的最小正周期; 〔II 〕求函数()f x 获得最大值的所有x 组成的集合19．〔本小题满分是12分〕关于x 的不等式组⎪⎩⎪⎨⎧<+++>--05)52(20222k x k x x x 的整数解的集合为{－2}，务实数k 的取值范围.20．〔本小题满分是12分〕设(),1433221+++⨯+⨯+⨯=n n s 求证：()()221121+<<+n n s n n21．〔本小题满分是12分〕某单位建造一间地面面积为12m 2的反面靠墙的矩形小房，由于地理位置的限制，房子侧面的长度x 不得超过a 米，房屋正面的造价为400元/m 2,房屋侧面的造价为150元/m 2，屋顶和地面的造价费用合计为5800元，假如墙高为3m ，且不计房屋反面的费用．〔1〕把房屋总造价y 表示成x 的函数，并写出该函数的定义域. 〔2〕当侧面的长度为多少时，总造价最底？最低总造价是多少？22． (本小题满分是14分)定义域为R 的函数()f x 满足22(())().f f x x x f x x x -+=-+ 〔I 〕假设(2)3f =,求(1)f ；又假设(0)f a =,求()f a ；〔II 〕设有且仅有一个实数0x ,使得00()f x x =,求函数()f x 的解析表达式. .高三数学(文科)第一轮复习单元测试参考答案1．A. 本小题主要考察充要条件的断定。

高考文科数学第一轮复习经典习题集(含答案)

高中数学〔文科〕高考一轮复习习题集〔含答案〕目录第一章集合 (1)第一节集合的含义、表示及基本关系 (1)第二节集合的基本运算 (3)第二章函数 (5)第一节对函数的进一步认识 (5)第二节函数的单调性 (9)第三节函数的性质 (13)第三章指数函数和对数函数 (16)第一节指数函数 (16)第二节对数函数 (20)第三节幂函数与二次函数的性质 (24)第四节函数的图象特征 (28)第四章函数的应用 (32)第五章三角函数 (33)第一节角的概念的推广及弧度制 (33)第二节正弦函数和余弦函数的定义及诱导公式 (39)第三节正弦函数与余弦函数的图象及性质 (42)第四节函数的图象 (45)sin() f x A x第六章三角恒等变换 (50)第一节同角三角函数的基本关系 (50)第二节两角和与差及二倍角的三角函数 (53)第七章解三角形 (56)第一节正弦定理与余弦定理 (56)第二节正弦定理、余弦定理的应用 (59)第八章数列 (60)第九章平面向量 (62)第十章算法 (65)第一节程序框图 (65)第二节程序语句 (69)第十一章概率 (73)第一节古典概型 (73)第二节概率的应用 (75)第三节几何概型 (79)第十二章导数 (83)第十三章不等式 (85)第十四章立体几何 (88)第一节简单几何体 (88)第二节空间图形的基本关系与公理 (92)第三节平行关系 (96)第四节垂直关系 (100)第五节简单几何体的面积与体积 (104)第十五章解析几何 (108)第一节直线的倾斜角、斜率与方程 (108)第二节点与直线、直线与直线的位置关系 (111)第三节圆的标准方程与一般方程 (114)第四节直线与圆、圆与圆的位置关系 (117)第五节空间直角坐标系 (121)第十六章圆锥曲线 (123)第一章集合第一节集合的含义、表示及基本关系A 组1．已知A ＝{1，2}，B ＝，则集合A 与B 的关系为________．|x x A 解析：由集合B ＝知，B ＝{1，2}．答案：A ＝B |x x A 2．若，则实数a 的取值范围是________．2,|a aR x x 解析：由题意知，有解，故．答案：2x a 0a 0a3．已知集合A ＝，集合B ＝，则集合A 与B 的关系是________．2|21,y y x x x R |28x x解析：y ＝x2－2x －1＝〔x －1〕2－2≥－2，∴A ＝{y|y≥－2}，∴BA ．答案：BA4．〔2009年高考广东卷改编〕已知全集U ＝R ，则正确表示集合M ＝{－1，0，1}和N ＝关系的韦恩〔Venn 〕图是________．解析：由N=，得N={-1，0}，则NM ．答案：②2|0x x x5．〔2010年苏、锡、常、镇四市调查〕已知集合A ＝，集合B ＝，若命题“x ∈A”是命题“x ∈B”的充分不必要条件，则实数a 的取值范围是________．解析：命题“x ∈A”是命题“x ∈B” 的充分不必要条件，∴AB ，∴a<5．答案：a<56．〔原创题〕已知m ∈A ，n ∈B ，且集合A ＝{x|x ＝2a ，a ∈Z}，B ＝{x|x ＝2a ＋1，a ∈Z}，又C ＝{x|x ＝4a ＋1，a ∈Z}，判断m ＋n 属于哪一个集合？解：∵m ∈A ，∴设m ＝2a1，a1∈Z ，又∵n ∈B ，∴设n ＝2a2＋1，a2∈Z ，∴m ＋n ＝2〔a1＋a2〕＋1，而a1＋a2∈Z ，∴m ＋n ∈B ．B 组1．设a ，b 都是非零实数，y ＝＋＋可能取的值组成的集合是________．解析：分四种情况：〔1〕a>0且b>0；〔2〕a>0且b<0；〔3〕a<0且b>0；〔4〕a<0且b <0，讨论得y ＝3或y ＝－1．答案：{3，－1}2．已知集合A ＝{－1，3，2m －1}，集合B ＝{3，m2}．若B ⊆A ，则实数m ＝________．解析：∵B ⊆A ，显然m2≠－1且m2≠3，故m2＝2m －1，即〔m －1〕2＝0，∴m ＝1．答案：13．设P ，Q 为两个非空实数集合，定义集合P ＋Q ＝{a ＋b|a ∈P ，b ∈Q}，若P ＝{0，2，5}，Q ＝{1，2，6}，则P ＋Q 中元素的个数是________个．解析：依次分别取a ＝0，2，5；b ＝1，2，6，并分别求和，注意到集合元素的互异性，∴P ＋Q ＝{1，2，6，3，4，8，7，11}．答案：84．已知集合M ＝{x|x2＝1}，集合N ＝{x|ax ＝1}，若NM ，那么a 的值是________．解析：M ＝{x|x ＝1或x ＝－1}，NM ，所以N ＝∅时，a ＝0；当a≠0时，x ＝＝1或－1，∴a ＝1或－1．答案：0，1，－15．满足{1}A ⊆{1，2，3}的集合A 的个数是________个．解析：A 中一定有元素1，所以A 有{1，2}，{1，3}，{1，2，3}．答案：36．已知集合A ＝{x|x ＝a ＋，a ∈Z}，B ＝{x|x ＝－，b ∈Z}，C ＝{x|x ＝＋，c ∈Z}，则A 、B 、C 之间的关系是________．解析：用列举法寻找规律．答案：AB＝C7．集合A＝{x||x|≤4，x∈R}，B＝{x|x<a}，则“A⊆B”是“a>5”的________．解析：结合数轴若A⊆B⇔a≥4，故“A⊆B”是“a>5”的必要但不充分条件．答案：必要不充分条件8．〔2010年江苏启东模拟〕设集合M＝{m|m＝2n，n∈N，且m<500}，则M中所有元素的和为________．解析：∵2n<500，∴n＝0，1，2，3，4，5，6，7，8．∴M中所有元素的和S＝1＋2＋22＋…＋28＝511．答案：5119．〔2009年高考北京卷〕设A是整数集的一个非空子集，对于k∈A，如果k－1∉A，且k＋1∉A，那么称k是A的一个“孤立元”．给定S＝{1，2，3，4，5，6，7，8}，由S的3个元素构成的所有集合中，不含“孤立元”的集合共有________个．解析：依题可知，由S的3个元素构成的所有集合中，不含“孤立元”，这三个元素一定是相连的三个数．故这样的集合共有6个．答案：610．已知A＝{x，xy，lg〔xy〕}，B＝{0，|x|，y}，且A＝B，试求x，y的值．解：由lg〔xy〕知，xy>0，故x≠0，xy≠0，于是由A＝B得lg〔xy〕＝0，xy＝1．∴A＝{x，1，0}，B＝{0，|x|，}．于是必有|x|＝1，＝x≠1，故x＝－1，从而y＝－1．11．已知集合A＝{x|x2－3x－10≤0}，〔1〕若B⊆A，B＝{x|m＋1≤x≤2m－1}，求实数m的取值范围；〔2〕若A⊆B，B＝{x|m－6≤x≤2m－1}，求实数m的取值范围；〔3〕若A＝B，B＝{x|m－6≤x≤2m－1}，求实数m的取值范围．解：由A＝{x|x2－3x－10≤0}，得A＝{x|－2≤x≤5}，〔1〕∵B⊆A，∴①若B＝∅，则m＋1>2m－1，即m<2，此时满足B⊆A．②若B≠∅，则解得2≤m≤3．由①②得，m的取值范围是〔－∞，3]．〔2〕若A⊆B，则依题意应有解得故3≤m≤4，∴m的取值范围是[3，4]．〔3〕若A＝B，则必有解得m∈∅．，即不存在m值使得A＝B．12．已知集合A＝{x|x2－3x＋2≤0}，B＝{x|x2－〔a＋1〕x＋a≤0}．〔1〕若A是B的真子集，求a的取值范围；〔2〕若B是A的子集，求a的取值范围；〔3〕若A＝B，求a的取值范围．解：由x2－3x＋2≤0，即〔x－1〕〔x－2〕≤0，得1≤x≤2，故A＝{x|1≤x≤2}，而集合B＝{x|〔x－1〕〔x－a〕≤0}，〔1〕若A是B的真子集，即AB，则此时B＝{x|1≤x ≤ a}，故a>2．〔2〕若B是A的子集，即B⊆A，由数轴可知1≤a≤2．〔3〕若A=B，则必有a=2第二节集合的基本运算A组1．〔2009年高考浙江卷改编〕设U＝R，A＝，B＝，则A∩∁UB＝____．解析：∁UB＝{x|x≤1}，∴A∩∁UB＝{x|0<x≤1}．答案：{x|0<x≤1}2．〔2009年高考全国卷Ⅰ改编〕设集合A＝{4，5，7，9}，B＝{3，4，7，8，9}，全集U ＝A∪B，则集合∁U〔A∩B〕中的元素共有________个．解析：A∩B＝{4，7，9}，A∪B＝{3，4，5，7，8，9}，∁U〔A∩B〕＝{3，5，8}．答案：3x x a a M3．已知集合M＝{0，1，2}，N＝，则集合M∩N＝________．|2,解析：由题意知，N＝{0，2，4}，故M∩N＝{0，2}．答案：{0，2}4．〔原创题〕设A，B是非空集合，定义AⓐB＝{x|x∈A∪B且x∉A∩B}，已知A＝{x|0≤x≤2 }，B＝{y|y≥0}，则AⓐB＝________．解析：A∪B＝[0，＋∞〕，A∩B＝[0，2]，所以AⓐB＝〔2，＋∞〕．答案：〔2，＋∞〕5．〔2009年高考湖南卷〕某班共30人，其中15人喜爱篮球运动，10人喜爱乒乓球运动，8人对这两项运动都不喜爱，则喜爱篮球运动但不喜爱乒乓球运动的人数为________．解析：设两项运动都喜欢的人数为x，画出韦恩图得到方程15-x+x+10-x+8=30x=3，∴喜爱篮球运动但不喜爱乒乓球运动的人数为15-3=12〔人〕．答案：126．〔2010年浙江嘉兴质检〕已知集合A＝{x|x>1}，集合B＝{x|m≤x≤m＋3}．〔1〕当m＝－1时，求A∩B，A∪B；〔2〕若B⊆A，求m的取值范围．解：〔1〕当时，B＝{x|－1≤x≤2}，∴A∩B＝{x|1<x≤2}，A∪B＝{x|x≥－1}．〔2〕若B⊆A，则，即的取值范围为〔1，＋∞〕B组1．若集合M＝{x∈R|－3<x<1}，N＝{x∈Z|－1≤x≤2}，则M∩N＝________．解析：因为集合N＝{－1，0，1，2}，所以M∩N＝{－1，0}．答案：{－1，0}2．已知全集U＝{－1，0，1，2}，集合A＝{－1，2}，B＝{0，2}，则〔∁UA〕∩B＝____ ____．解析：∁UA＝{0，1}，故〔∁UA〕∩B＝{0}．答案：{0}3．〔2010年济南市高三模拟〕若全集U＝R，集合M＝{x|－2≤x≤2}，N＝{x|x2－3x≤0}，则M∩〔∁UN〕＝________．解析：根据已知得M∩〔∁UN〕＝{x|－2≤x≤2}∩{x|x<0或x>3}＝{x|－2≤x<0}．答案：{ x|－2≤x<0}4．集合A＝{3，log2a}，B＝{a，b}，若A∩B＝{2}，则A∪B＝________．解析：由A∩B＝{2}得log2a＝2，∴a＝4，从而b＝2，∴A∪B＝{2，3，4}．答案：{2，3，4}5．〔2009年高考江西卷改编〕已知全集U＝A∪B中有m个元素，〔∁UA〕∪〔∁UB〕中有n个元素．若A∩B非空，则A∩B的元素个数为________．解析：U＝A∪B中有m个元素，∵〔∁UA〕∪〔∁UB〕＝∁U〔A∩B〕中有n个元素，∴A∩B中有m－n个元素．答案：m－n6．〔2009年高考重庆卷〕设U＝{n|n是小于9的正整数}，A＝{n∈U|n是奇数}，B＝{n∈U|n 是3的倍数}，则∁U〔A∪B〕＝________．解析：U＝{1，2，3，4，5，6，7，8}，A＝{1，3，5，7}，B＝{3，6}，∴A∪B＝{1，3，5，6，7}，得∁U〔A∪B〕＝{2，4，8}．答案：{2，4，8}7．定义A⊗B＝{z|z＝xy＋，x∈A，y∈B}．设集合A＝{0，2}，B＝{1，2}，C＝{1}，则集合〔A⊗B〕⊗C的所有元素之和为________．解析：由题意可求〔A⊗B〕中所含的元素有0，4，5，则〔A⊗B〕⊗C中所含的元素有0，8，10，故所有元素之和为18．答案：188．若集合{〔x，y〕|x＋y－2＝0且x－2y＋4＝0}{〔x，y〕|y＝3x＋b}，则b＝________．解析：由⇒点〔0，2〕在y＝3x＋b上，∴b＝2．9．设全集I＝{2，3，a2＋2a－3}，A＝{2，|a＋1|}，∁IA＝{5}，M＝{x|x＝log2|a|}，则集合M的所有子集是________．解析：∵A∪〔∁IA〕＝I，∴{2，3，a2＋2a－3}＝{2，5，|a＋1|}，∴|a＋1|＝3，且a2＋2a－3＝5，解得a＝－4或a＝2，∴M＝{log22，log2|－4|}＝{1，2}．答案：∅，{1}，{2}，{1，2}10．设集合A＝{x|x2－3x＋2＝0}，B＝{x|x2＋2〔a＋1〕x＋〔a2－5〕＝0}．〔1〕若A∩B＝{2}，求实数a的值；〔2〕若A∪B＝A，求实数a的取值范围．解：由x2－3x＋2＝0得x＝1或x＝2，故集合A＝{1，2}．〔1〕∵A∩B＝{2}，∴2∈B，代入B中的方程，得a2＋4a＋3＝0⇒a＝－1或a＝－3；当a＝－1时，B＝{x|x2－4＝0}＝{－2，2}，满足条件；当a＝－3时，B＝{x|x2－4x＋4＝0}＝{2}，满足条件；综上，a 的值为－1或－3．〔2〕对于集合B ，Δ＝4〔a ＋1〕2－4〔a2－5〕＝8〔a ＋3〕．∵A ∪B ＝A ，∴B ⊆A ， ①当Δ<0，即a<－3时，B ＝∅满足条件；②当Δ＝0，即a ＝－3时，B ＝{2}满足条件；③当Δ>0，即a>－3时，B ＝A ＝{1，2}才能满足条件，则由根与系数的关系得⎩⎪⎨⎪⎧1＋2＝－2(a ＋1)1×2＝a2－5⇒矛盾．综上，a 的取值范围是a ≤－3． 11．已知函数f 〔x 〕＝的定义域为集合A ，函数g 〔x 〕＝lg 〔－x2＋2x ＋m 〕的定义域为集合B ．〔1〕当m ＝3时，求A∩〔∁RB 〕；〔2〕若A∩B ＝{x|－1<x<4}，求实数m 的值．解：A ＝{x|－1<x≤5}．〔1〕当m ＝3时，B ＝{x|－1<x<3}，则∁RB ＝{x|x≤－1或x≥3}，∴A∩〔∁RB 〕＝{x|3≤x≤5}．〔2〕∵A ＝{x|－1<x≤5}，A∩B ＝{x|－1<x<4}，∴有－42＋2×4＋m ＝0，解得m ＝8，此时B ＝{x|－2<x<4}，符合题意．12．已知集合A ＝{x ∈R|ax2－3x ＋2＝0}．〔1〕若A ＝∅，求实数a 的取值范围；〔2〕若A 是单元素集，求a 的值及集合A ；〔3〕求集合M ＝{a ∈R|A≠∅}．解：〔1〕A 是空集，即方程ax2－3x ＋2＝0无解．若a ＝0，方程有一解x ＝，不合题意．若a≠0，要方程ax2－3x ＋2＝0无解，则Δ＝9－8a<0，则a>．综上可知，若A ＝∅，则a 的取值范围应为a>．〔2〕当a ＝0时，方程ax2－3x ＋2＝0只有一根x ＝，A ＝{}符合题意．当a≠0时，则Δ＝9－8a ＝0，即a ＝时，方程有两个相等的实数根x ＝，则A ＝{}．综上可知，当a ＝0时，A ＝{}；当a ＝时，A ＝{}．〔3〕当a ＝0时，A ＝{}≠∅．当a≠0时，要使方程有实数根，则Δ＝9－8a≥0，即a≤．综上可知，a 的取值范围是a≤，即M ＝{a ∈R|A≠∅}＝{a|a≤}第二章函数第一节对函数的进一步认识A 组1．〔2009年高考江西卷改编〕函数y ＝的定义域为________．解析：⇒x ∈[－4，0〕∪〔0，1] ．答案：[－4，0〕∪〔0，1]2．〔2010年绍兴第一次质检〕如图，函数f 〔x 〕的图象是曲线段OAB ，其中点O ，A ，B 的坐标分别为〔0，0〕，〔1，2〕，〔3，1〕，则f 〔〕的值等于________．解析：由图象知f 〔3〕＝1，f 〔〕＝f 〔1〕＝2．答案：23．〔2009年高考北京卷〕已知函数f 〔x 〕＝若f 〔x 〕＝2，则x ＝________．解析：依题意得x≤1时，3x ＝2，∴x ＝log32；当x>1时，－x ＝2，x ＝－2〔舍去〕．故x ＝log32．答案：log324．〔2010年黄冈市高三质检〕函数f ：{1，}→{1，}满足f[f 〔x 〕]>1的这样的函数个数有________个．解析：如图．答案：15．〔原创题〕由等式x3＋a1x2＋a2x ＋a3＝〔x ＋1〕3＋b1〔x ＋1〕2＋b2〔x ＋1〕＋b3定义一个映射f 〔a1，a2，a3〕＝〔b1，b2，b3〕，则f 〔2，1，－1〕＝________．解析：由题意知x3＋2x2＋x －1＝〔x ＋1〕3＋b1〔x ＋1〕2＋b2〔x ＋1〕＋b3，令x ＝－1得：－1＝b3；再令x ＝0与x ＝1得，解得b1＝－1，b2＝0．答案：〔－1，0，－1〕6．已知函数f 〔x 〕＝〔1〕求f 〔1－〕，f{f[f 〔－2〕]}的值；〔2〕求f 〔3x －1〕；〔3〕若f 〔a 〕＝，求a ．解：f 〔x 〕为分段函数，应分段求解．〔1〕∵1－＝1－〔＋1〕＝－<－1，∴f 〔－〕＝－2＋3，又∵f 〔－2〕＝－1，f[f 〔－2〕]＝f 〔－1〕＝2，∴f{f[f 〔－2〕]}＝1＋＝．〔2〕若3x －1>1，即x>，f 〔3x －1〕＝1＋＝；若－1≤3x －1≤1，即0≤x≤，f 〔3x －1〕＝〔3x －1〕2＋1＝9x2－6x ＋2；若3x －1<－1，即x<0，f 〔3x －1〕＝2〔3x －1〕＋3＝6x ＋1．∴f〔3x －1〕＝〔3〕∵f 〔a 〕＝，∴a>1或－1≤a≤1．当a>1时，有1＋＝，∴a ＝2；当－1≤a≤1时，a2＋1＝，∴a ＝±．∴a ＝2或±．B 组1．〔2010年广东江门质检〕函数y ＝＋lg 〔2x －1〕的定义域是________．解析：由3x －2>0，2x －1>0，得x>．答案：{x|x>}2．〔2010年山东枣庄模拟〕函数f 〔x 〕＝则f 〔f 〔f 〔〕＋5〕〕＝_．解析：∵－1≤≤2，∴f 〔〕＋5＝－3＋5＝2，∵－1≤2≤2，∴f 〔2〕＝－3，∴f〔－3〕＝〔－2〕×〔－3〕＋1＝7．答案：73．定义在区间〔－1，1〕上的函数f 〔x 〕满足2f 〔x 〕－f 〔－x 〕＝lg 〔x ＋1〕，则f 〔x 〕的解析式为________．解析：∵对任意的x ∈〔－1，1〕，有－x ∈〔－1，1〕，由2f 〔x 〕－f 〔－x 〕＝lg 〔x ＋1〕，①由2f 〔－x 〕－f 〔x 〕＝lg 〔－x ＋1〕，②①×2＋②消去f 〔－x 〕，得3f 〔x 〕＝2lg 〔x ＋1〕＋lg 〔－x ＋1〕，∴f〔x 〕＝lg 〔x ＋1〕＋lg 〔1－x 〕，〔－1<x<1〕．答案：f 〔x 〕＝lg 〔x ＋1〕＋lg 〔1－x 〕，〔－1<x<1〕4．设函数y ＝f 〔x 〕满足f 〔x ＋1〕＝f 〔x 〕＋1，则函数y ＝f 〔x 〕与y ＝x 图象交点的个数可能是________个．解析：由f 〔x ＋1〕＝f 〔x 〕＋1可得f 〔1〕＝f 〔0〕＋1，f 〔2〕＝f 〔0〕＋2，f 〔3〕＝f 〔0〕＋3，…本题中如果f 〔0〕＝0，那么y ＝f 〔x 〕和y ＝x 有无数个交点；若f 〔0〕≠0，则y ＝f 〔x 〕和y ＝x 有零个交点．答案：0或无数5．设函数f 〔x 〕＝，若f 〔－4〕＝f 〔0〕，f 〔－2〕＝－2，则f 〔x 〕的解析式为f 〔x 〕＝________，关于x 的方程f 〔x 〕＝x 的解的个数为________个．解析：由题意得⎩⎪⎨⎪⎧16－4b ＋c ＝c 4－2b ＋c ＝－2 ， ∴f〔x 〕＝．由数形结合得f 〔x 〕＝x 的解的个数有3个．答案： 36．设函数f 〔x 〕＝logax 〔a ＞0，a≠1〕，函数g 〔x 〕＝－x2＋bx ＋c ，若f 〔2＋〕－f 〔＋1〕＝，g 〔x 〕的图象过点A 〔4，－5〕及B 〔－2，－5〕，则a ＝__________，函数f[g 〔x 〕]的定义域为__________．答案：2 〔－1，3〕7．〔2009年高考天津卷改编〕设函数f 〔x 〕＝，则不等式f 〔x 〕>f 〔1〕的解集是________．解析：由已知，函数先增后减再增，当x≥0，f 〔x 〕>f 〔1〕＝3时，令f 〔x 〕＝3，解得x ＝1，x ＝3．故f 〔x 〕>f 〔1〕的解集为0≤x<1或x>3．当x<0，x ＋6＝3时，x ＝－3，故f 〔x 〕>f 〔1〕＝3，解得－3<x<0或x>3．综上，f 〔x 〕>f 〔1〕的解集为{x|－3<x<1或x>3}．答案：{x|－3<x<1或x>3}8．〔2009年高考山东卷〕定义在R 上的函数f 〔x 〕满足f 〔x 〕＝则f 〔3〕的值为________．解析：∵f 〔3〕＝f 〔2〕－f 〔1〕，又f 〔2〕＝f 〔1〕－f 〔0〕，∴f 〔3〕＝－f 〔0〕，∵f 〔0〕＝log24＝2，∴f 〔3〕＝－2．答案：－29．有一个有进水管和出水管的容器，每单位时间进水量是一定的，设从某时刻开始，5分钟内只进水，不出水，在随后的15分钟内既进水，又出水，得到时间x 与容器中的水量y 之间关系如图．再随后，只放水不进水，水放完为止，则这段时间内〔即x≥20〕，y 与x 之间函数的函数关系是________．解析：设进水速度为a1升/分钟，出水速度为a2升/分钟，则由题意得，得，则y ＝35－3〔x －20〕，得y ＝－3x ＋95，又因为水放完为止，所以时间为x≤，又知x≥20，故解析式为y ＝－3x ＋95〔20≤x≤〕．答案：y ＝－3x ＋95〔20≤x≤〕 10．函数．221316f x a x a x〔1〕若的定义域为R ，求实数的取值范围；〔2〕若的定义域为[－2，1]，求实数的值．解：〔1〕①若1－a2＝0，即a ＝±1，〔ⅰ〕若a ＝1时，f 〔x 〕＝，定义域为R ，符合题意；〔ⅱ〕当a ＝－1时，f 〔x 〕＝，定义域为[－1，＋∞〕，不合题意．②若1－a2≠0，则g 〔x 〕＝〔1－a2〕x2＋3〔1－a 〕x ＋6为二次函数．由题意知g 〔x 〕≥0对x ∈R 恒成立，∴∴⎩⎪⎨⎪⎧－1<a<1，(a －1)(11a ＋5)≤0， ∴－≤a<1．由①②可得－≤a≤1．〔2〕由题意知，不等式〔1－a2〕x2＋3〔1－a 〕x ＋6≥0的解集为[－2，1]，显然1－a2≠0且－2，1是方程〔1－a2〕x2＋3〔1－a 〕x ＋6＝0的两个根． ∴∴∴a ＝2． 11．已知，并且当∈[－1，1]时，，求当时、的解析式．2f x f x x R x 21f x x 21,21x k k k Z f x解：由f 〔x ＋2〕＝f 〔x 〕，可推知f 〔x 〕是以2为周期的周期函数．当x ∈[2k －1，2k ＋1]时，2k －1≤x≤2k ＋1，－1≤x －2k≤1．∴f 〔x －2k 〕＝－〔x －2k 〕2＋1．又f 〔x 〕＝f 〔x －2〕＝f 〔x －4〕＝…＝f 〔x －2k 〕，∴f〔x 〕＝－〔x －2k 〕2＋1，x∈[2k－1，2k ＋1]，k∈Z．12．在2008年11月4日珠海航展上，中国自主研制的ARJ21支线客机备受关注，接到了包括美国在内的多国订单．某工厂有216名工人接受了生产1000件该支线客机某零部件的总任务，已知每件零件由4个C 型装置和3个H 型装置配套组成，每个工人每小时能加工6个C 型装置或3个H 型装置．现将工人分成两组同时开始加工，每组分别加工一种装置，设加工C 型装置的工人有x 位，他们加工完C 型装置所需时间为g 〔x 〕，其余工人加工完H 型装置所需时间为h 〔x 〕．〔单位：h ，时间可不为整数〕〔1〕写出g 〔x 〕，h 〔x 〕的解析式；〔2〕写出这216名工人完成总任务的时间f 〔x 〕的解析式；〔3〕应怎样分组，才能使完成总任务的时间最少？解：〔1〕g 〔x 〕＝〔0<x<216，x ∈N*〕，h 〔x 〕＝〔0<x<216，x ∈N*〕．〔2〕f 〔x 〕＝〔3〕分别为86、130或87、129．第二节函数的单调性A 组1．〔2009年高考福建卷改编〕下列函数f 〔x 〕中，满足“对任意x1，x2∈〔0，＋∞〕，当时，都有”的是________．①f〔x 〕＝ ②f〔x 〕＝〔x －1〕2 ③f〔x 〕＝ex ④f〔x 〕＝ln 〔x ＋1〕解析：∵对任意的x1，x2∈〔0，＋∞〕，当x1<x2时，都有f 〔x1〕>f 〔x2〕，∴f 〔x 〕在〔0，＋∞〕上为减函数．答案：①2．函数f 〔x 〕〔x ∈R 〕的图象如右图所示，则函数g 〔x 〕＝f 〔logax 〕〔0<a<1〕的单调减区间是________．解析：∵0<a<1，y ＝logax 为减函数，∴logax ∈[0，]时，g 〔x 〕为减函数．由0≤logax≤≤x≤1．答案：[，1]〔或〔，1〕〕 3．函数的值域是________．4154yx x 解析：令x ＝4＋sin2α，α∈[0，]，y ＝sinα＋cosα＝2sin 〔α＋〕，∴1≤y≤2．答案：[1，2]4．已知函数f 〔x 〕＝|ex ＋|〔a ∈R 〕在区间[0，1]上单调递增，则实数a 的取值范围__．解析：当a<0，且ex ＋≥0时，只需满足e0＋≥0即可，则－1≤a<0；当a ＝0时，f 〔x 〕＝|e x|＝ex 符合题意；当a>0时，f 〔x 〕＝ex ＋，则满足f′〔x 〕＝ex －≥0在x ∈[0，1]上恒成立．只需满足a≤〔e2x 〕min 成立即可，故a≤1，综上－1≤a≤1．答案：－1≤a≤15．〔原创题〕如果对于函数f 〔x 〕定义域内任意的x ，都有f 〔x 〕≥M 〔M 为常数〕，称M 为f 〔x 〕的下界，下界M 中的最大值叫做f 〔x 〕的下确界，下列函数中，有下确界的所有函数是________．①f〔x 〕＝sinx ；②f〔x 〕＝lgx ；③f〔x 〕＝ex ；④f〔x 〕＝解析：∵sinx≥－1，∴f 〔x 〕＝sinx 的下确界为－1，即f 〔x 〕＝sinx 是有下确界的函数；∵f 〔x 〕＝lgx 的值域为〔－∞，＋∞〕，∴f 〔x 〕＝lgx 没有下确界；∴f 〔x 〕＝ex 的值域为〔0，＋∞〕，∴f 〔x 〕＝ex 的下确界为0，即f 〔x 〕＝ex 是有下确界的函数；∵f〔x 〕＝的下确界为－1．∴f〔x 〕＝是有下确界的函数．答案：①③④6．已知函数，．2f x x 1g x x〔1〕若存在x ∈R 使，求实数的取值范围；〔2〕设2，且在[0，1]上单调递增，求实数的取值范围．解：〔1〕x ∈R ，f 〔x 〕<b·g 〔x 〕x ∈R ，x2－bx ＋b<0Δ＝〔－b 〕2－4b>0b<0或b>4．〔2〕F 〔x 〕＝x2－mx ＋1－m2，Δ＝m2－4〔1－m2〕＝5m2－4，①当Δ≤0即－≤m≤时，则必需⎩⎨⎧m 2≤0－255≤m≤255－≤m≤0． ②当Δ>0即m<－或m>时，设方程F 〔x 〕＝0的根为x1，x2〔x1<x2〕，若≥1，则x1≤0． ⎩⎪⎨⎪⎧ m 2≥1F(0)＝1－m2≤0m≥2．若≤0，则x2≤0，⎩⎪⎨⎪⎧ m 2≤0F(0)＝1－m2≥0－1≤m<－．综上所述：－1≤m≤0或m≥2．B 组1．〔2010年山东东营模拟〕下列函数中，单调增区间是〔－∞，0]的是________．①y＝－ ②y＝－〔x －1〕 ③y＝x2－2 ④y＝－|x|解析：由函数y ＝－|x|的图象可知其增区间为〔－∞，0]．答案：④2．若函数f 〔x 〕＝log2〔x2－ax ＋3a 〕在区间[2，＋∞〕上是增函数，则实数a 的取值范围是________．解析：令g 〔x 〕＝x2－ax ＋3a ，由题知g 〔x 〕在[2，＋∞〕上是增函数，且g 〔2〕>0． ∴∴－4<a≤4．答案：－4<a≤43．若函数f 〔x 〕＝x ＋〔a>0〕在〔，＋∞〕上是单调增函数，则实数a 的取值范围__．解析：∵f 〔x 〕＝x ＋〔a>0〕在〔，＋∞〕上为增函数，∴≤，0<a≤．答案：〔0，]4．〔2009年高考陕西卷改编〕定义在R 上的偶函数f 〔x 〕，对任意x1，x2∈[0，＋∞〕〔x1≠x2〕，有<0，则下列结论正确的是________．①f 〔3〕<f 〔－2〕<f 〔1〕 ②f 〔1〕<f 〔－2〕<f 〔3〕③f〔－2〕<f 〔1〕<f 〔3〕 ④f〔3〕<f 〔1〕<f 〔－2〕解析：由已知<0，得f 〔x 〕在x ∈[0，＋∞〕上单调递减，由偶函数性质得f 〔2〕＝f 〔－2〕，即f 〔3〕<f 〔－2〕<f 〔1〕．答案：①5．〔2010年陕西西安模拟〕已知函数f 〔x 〕＝满足对任意x1≠x2，都有<0成立，则a 的取值范围是________．解析：由题意知，f 〔x 〕为减函数，所以解得0<a≤．6．〔2010年宁夏石嘴山模拟〕函数f 〔x 〕的图象是如下图所示的折线段OAB ，点A 的坐标为〔1，2〕，点B 的坐标为〔3，0〕，定义函数g 〔x 〕＝f 〔x 〕·〔x －1〕，则函数g 〔x 〕的最大值为________．解析：g 〔x 〕＝当0≤x<1时，最大值为0；当1≤x≤3时，在x ＝2取得最大值1．答案：17．〔2010年安徽合肥模拟〕已知定义域在[－1，1]上的函数y ＝f 〔x 〕的值域为[－2，0]，则函数y ＝f 〔cos 〕的值域是________．解析：∵cos ∈[－1，1]，函数y ＝f 〔x 〕的值域为[－2，0]，∴y ＝f 〔cos 〕的值域为[－2，0]．答案：[－2，0]8．已知f 〔x 〕＝log3x ＋2，x ∈[1，9]，则函数y ＝[f 〔x 〕]2＋f 〔x2〕的最大值是________．解析：∵函数y ＝[f 〔x 〕]2＋f 〔x2〕的定义域为⎩⎪⎨⎪⎧1≤x≤9，1≤x2≤9，∴x∈[1，3]，令log3x ＝t ，t∈[0，1]， ∴y＝〔t ＋2〕2＋2t ＋2＝〔t ＋3〕2－3，∴当t ＝1时，ymax ＝13．答案：139．若函数f 〔x 〕＝loga 〔2x2＋x 〕〔a>0，a≠1〕在区间〔0，〕内恒有f 〔x 〕>0，则f 〔x 〕的单调递增区间为__________．解析：令μ＝2x2＋x ，当x ∈〔0，〕时，μ∈〔0，1〕，而此时f 〔x 〕>0恒成立，∴0<a <1．μ＝2〔x ＋〕2－，则减区间为〔－∞，－〕．而必然有2x2＋x>0，即x>0或x<－．∴f 〔x 〕的单调递增区间为〔－∞，－〕．答案：〔－∞，－〕10．试讨论函数y ＝2〔logx 〕2－2logx ＋1的单调性．解：易知函数的定义域为〔0，＋∞〕．如果令u ＝g 〔x 〕＝logx ，y ＝f 〔u 〕＝2u2－2u ＋1，那么原函数y ＝f[g 〔x 〕]是由g 〔x 〕与f 〔u 〕复合而成的复合函数，而u ＝logx 在x ∈〔0，＋∞〕内是减函数，y ＝2u2－2u ＋1＝2〔u －〕2＋在u ∈〔－∞，〕上是减函数，在u ∈〔，＋∞〕上是增函数．又u≤，即logx≤，得x≥；u>，得0<x<．由此，从下表讨论复合函数y ＝f[g故函数y ．11．〔2010年广西河池模拟〕已知定义在区间〔0，＋∞〕上的函数f 〔x 〕满足f 〔〕＝f 〔x 1〕－f 〔x2〕，且当x>1时，f 〔x 〕<0．〔1〕求f 〔1〕的值；〔2〕判断f 〔x 〕的单调性；〔3〕若f 〔3〕＝－1，解不等式f 〔|x |〕<－2．解：〔1〕令x1＝x2>0，代入得f 〔1〕＝f 〔x1〕－f 〔x1〕＝0，故f 〔1〕＝0．〔2〕任取x1，x2∈〔0，＋∞〕，且x1>x2，则>1，由于当x>1时，f 〔x 〕<0，所以f 〔〕<0，即f 〔x1〕－f 〔x2〕<0，因此f 〔x1〕<f 〔x2〕，所以函数f 〔x 〕在区间〔0，＋∞〕上是单调递减函数．〔3〕由f〔〕＝f〔x1〕－f〔x2〕得f〔〕＝f〔9〕－f〔3〕，而f〔3〕＝－1，所以f〔9〕＝－2．由于函数f〔x〕在区间〔0，＋∞〕上是单调递减函数，由f〔|x|〕<f〔9〕，得|x|>9，∴x>9或x<－9．因此不等式的解集为{x|x>9或x<－9}．12．已知：f〔x〕＝log3，x∈〔0，＋∞〕，是否存在实数a，b，使f〔x〕同时满足下列三个条件：〔1〕在〔0，1]上是减函数，〔2〕在[1，＋∞〕上是增函数，〔3〕f〔x〕的最小值是1．若存在，求出a、b；若不存在，说明理由．解：∵f〔x〕在〔0，1]上是减函数，[1，＋∞〕上是增函数，∴x＝1时，f〔x〕最小，log3＝1．即a＋b＝2．设0＜x1＜x2≤1，则f〔x1〕＞f〔x2〕．即＞恒成立．由此得＞0恒成立．又∵x1－x2＜0，x1x2＞0，∴x1x2－b＜0恒成立，∴b≥1．设1≤x3＜x4，则f〔x3〕＜f〔x4〕恒成立．∴＜0恒成立．∵x3－x4＜0，x3x4＞0，∴x3x4＞b恒成立．∴b≤1．由b≥1且b≤1可知b＝1，∴a ＝1．∴存在a、b，使f〔x〕同时满足三个条件．第三节函数的性质A组1．设偶函数f〔x〕＝loga|x－b|在〔－∞，0〕上单调递增，则f〔a＋1〕与f〔b＋2〕的大小关系为________．解析：由f〔x〕为偶函数，知b＝0，∴f〔x〕＝loga|x|，又f〔x〕在〔－∞，0〕上单调递增，所以0<a<1，1<a＋1<2，则f〔x〕在〔0，＋∞〕上单调递减，所以f〔a＋1〕>f〔b＋2〕．答案：f〔a＋1〕>f〔b＋2〕2．〔2010年广东三校模拟〕定义在R上的函数f〔x〕既是奇函数又是以2为周期的周期函数，则f〔1〕＋f〔4〕＋f〔7〕等于________．解析：f〔x〕为奇函数，且x∈R，所以f〔0〕＝0，由周期为2可知，f〔4〕＝0，f〔7〕＝f〔1〕，又由f〔x＋2〕＝f〔x〕，令x＝－1得f〔1〕＝f〔－1〕＝－f〔1〕⇒f〔1〕＝0，所以f〔1〕＋f〔4〕＋f〔7〕＝0．答案：03．〔2009年高考山东卷改编〕已知定义在R上的奇函数f〔x〕满足f〔x－4〕＝－f〔x〕，且在区间[0，2]上是增函数，则f〔－25〕、f〔11〕、f〔80〕的大小关系为________．解析：因为f〔x〕满足f〔x－4〕＝－f〔x〕，所以f〔x－8〕＝f〔x〕，所以函数是以8为周期的周期函数，则f〔－25〕＝f〔－1〕，f〔80〕＝f〔0〕，f〔11〕＝f〔3〕，又因为f〔x〕在R上是奇函数，f〔0〕＝0，得f〔80〕＝f〔0〕＝0，f〔－25〕＝f〔－1〕＝－f 〔1〕，而由f〔x－4〕＝－f〔x〕得f〔11〕＝f〔3〕＝－f〔－3〕＝－f〔1－4〕＝f〔1〕，又因为f〔x〕在区间[0，2]上是增函数，所以f〔1〕>f〔0〕＝0，所以－f〔1〕<0，即f〔－25〕<f〔80〕<f〔11〕．答案：f〔－25〕<f〔80〕<f〔11〕4．〔2009年高考辽宁卷改编〕已知偶函数f〔x〕在区间[0，＋∞〕上单调增加，则满足f〔2x－1〕<f〔〕的x取值范围是________．解析：由于f〔x〕是偶函数，故f〔x〕＝f〔|x|〕，由f〔|2x－1|〕<f〔〕，再根据f〔x 〕的单调性得|2x－1|<，解得<x<．答案：〔，〕5．〔原创题〕已知定义在R上的函数f〔x〕是偶函数，对x∈R，f〔2＋x〕＝f〔2－x〕，当f〔－3〕＝－2时，f〔2011〕的值为________．解析：因为定义在R上的函数f〔x〕是偶函数，所以f〔2＋x〕＝f〔2－x〕＝f〔x－2〕，故函数f〔x〕是以4为周期的函数，所以f〔2011〕＝f〔3＋502×4〕＝f〔3〕＝f〔－3〕＝－2．答案：－26．已知函数y＝f〔x〕是定义在R上的周期函数，周期T＝5，函数y＝f〔x〕〔－1≤x≤1〕是奇函数，又知y＝f〔x〕在[0，1]上是一次函数，在[1，4]上是二次函数，且在x＝2时函数取得最小值－5．〔1〕证明：f〔1〕＋f〔4〕＝0；〔2〕求y＝f〔x〕，x∈[1，4]的解析式；〔3〕求y＝f〔x〕在[4，9]上的解析式．解：〔1〕证明：∵f〔x〕是以5为周期的周期函数，∴f〔4〕＝f〔4－5〕＝f〔－1〕，又∵y＝f〔x〕〔－1≤x≤1〕是奇函数，∴f〔1〕＝－f〔－1〕＝－f〔4〕，∴f〔1〕＋f〔4〕＝0．〔2〕当x∈[1，4]时，由题意可设f〔x〕＝a〔x－2〕2－5〔a>0〕，由f〔1〕＋f〔4〕＝0，得a〔1－2〕2－5＋a〔4－2〕2－5＝0，∴a＝2，∴f〔x〕＝2〔x－2〕2－5〔1≤x≤4〕．〔3〕∵y＝f〔x〕〔－1≤x≤1〕是奇函数，∴f〔0〕＝0，又知y＝f〔x〕在[0，1]上是一次函数，∴可设f〔x〕＝kx〔0≤x≤1〕，而f〔1〕＝2〔1－2〕2－5＝－3，∴k＝－3，∴当0≤x≤1时，f〔x〕＝－3x，从而当－1≤x<0时，f〔x〕＝－f〔－x〕＝－3x，故－1≤x≤1时，f〔x〕＝－3x．∴当4≤x≤6时，有－1≤x－5≤1，∴f〔x〕＝f〔x－5〕＝－3〔x－5〕＝－3x＋15．当6<x≤9时，1<x－5≤4，∴f〔x〕＝f〔x－5〕＝2[〔x－5〕－2]2－5＝2〔x－7〕2－5．∴f〔x〕＝．B组1．〔2009年高考全国卷Ⅰ改编〕函数f〔x〕的定义域为R，若f〔x＋1〕与f〔x－1〕都是奇函数，则下列结论正确的是________．①f〔x〕是偶函数②f〔x〕是奇函数③f〔x〕＝f〔x＋2〕④f〔x＋3〕是奇函数解析：∵f〔x＋1〕与f〔x－1〕都是奇函数，∴f〔－x＋1〕＝－f〔x＋1〕，f〔－x－1〕＝－f〔x－1〕，∴函数f〔x〕关于点〔1，0〕，及点〔－1，0〕对称，函数f〔x〕是周期T＝2[1－〔－1〕]＝4的周期函数．∴f〔－x－1＋4〕＝－f〔x－1＋4〕，f〔－x＋3〕＝－f〔x＋3〕，即f〔x＋3〕是奇函数．答案：④2．已知定义在R上的函数f〔x〕满足f〔x〕＝－f〔x＋〕，且f〔－2〕＝f〔－1〕＝－1，f 〔0〕＝2，f〔1〕＋f〔2〕＋…＋f〔2009〕＋f〔2010〕＝________．解析：f〔x〕＝－f〔x＋〕⇒f〔x＋3〕＝f〔x〕，即周期为3，由f〔－2〕＝f〔－1〕＝－1，f〔0〕＝2，所以f〔1〕＝－1，f〔2〕＝－1，f〔3〕＝2，所以f〔1〕＋f〔2〕＋…＋f〔2009〕＋f〔2010〕＝f〔2008〕＋f〔2009〕＋f〔2010〕＝f〔1〕＋f〔2〕＋f〔3〕＝0．答案：03．〔2010年浙江台州模拟〕已知f〔x〕是定义在R上的奇函数，且f〔1〕＝1，若将f〔x〕的图象向右平移一个单位后，得到一个偶函数的图象，则f〔1〕＋f〔2〕＋f〔3〕＋…＋f 〔2010〕＝________．解析：f〔x〕是定义在R上的奇函数，所以f〔－x〕＝－f〔x〕，将f〔x〕的图象向右平移一个单位后，得到一个偶函数的图象，则满足f〔－2＋x〕＝－f〔x〕，即f〔x＋2〕＝－f〔x〕，所以周期为4，f〔1〕＝1，f〔2〕＝f〔0〕＝0，f〔3〕＝－f〔1〕＝－1，f〔4〕＝0，所以f〔1〕＋f〔2〕＋f〔3〕＋f〔4〕＝0，则f〔1〕＋f〔2〕＋f〔3〕＋…＋f〔20 10〕＝f〔4〕×502＋f〔2〕＝0．答案：04．〔2010年湖南郴州质检〕已知函数f〔x〕是R上的偶函数，且在〔0，＋∞〕上有f′〔x〕>0，若f〔－1〕＝0，那么关于x的不等式xf〔x〕<0的解集是________．解析：在〔0，＋∞〕上有f′〔x〕>0，则在〔0，＋∞〕上f〔x〕是增函数，在〔－∞，0〕上是减函数，又f〔x〕在R上是偶函数，且f〔－1〕＝0，∴f〔1〕＝0．从而可知x∈〔－∞，－1〕时，f〔x〕>0；x∈〔－1，0〕时，f〔x〕<0；x∈〔0，1〕时，f〔x〕<0；x∈〔1，＋∞〕时，f〔x〕>0．∴不等式的解集为〔－∞，－1〕∪〔0，1〕答案：〔－∞，－1〕∪〔0，1〕．5．〔2009年高考江西卷改编〕已知函数f〔x〕是〔－∞，＋∞〕上的偶函数，若对于x≥0，都有f〔x＋2〕＝f〔x〕，且当x∈[0，2〕时，f〔x〕＝log2〔x＋1〕，则f〔－2009〕＋f〔2010〕的值为________．解析：∵f〔x〕是偶函数，∴f〔－2009〕＝f〔2009〕．∵f〔x〕在x≥0时f〔x＋2〕＝f 〔x〕，∴f〔x〕周期为2．∴f〔－2009〕＋f〔2010〕＝f〔2009〕＋f〔2010〕＝f〔1〕＋f 〔0〕＝log22＋log21＝0＋1＝1．答案：16．〔2010年江苏苏州模拟〕已知函数f〔x〕是偶函数，并且对于定义域内任意的x，满足f 〔x＋2〕＝－，若当2<x<3时，f〔x〕＝x，则f〔2009．5〕＝________．解析：由f〔x＋2〕＝－，可得f〔x＋4〕＝f〔x〕，f〔2009．5〕＝f〔502×4＋1．5〕＝f〔1．5〕＝f〔－2．5〕∵f〔x〕是偶函数，∴f〔2009．5〕＝f〔2．5〕＝．答案：7．〔2010年安徽黄山质检〕定义在R上的函数f〔x〕在〔－∞，a]上是增函数，函数y＝f〔x＋a〕是偶函数，当x1<a，x2>a，且|x1－a|<|x2－a|时，则f〔2a－x1〕与f〔x2〕的大小关系为________．解析：∵y＝f〔x＋a〕为偶函数，∴y＝f〔x＋a〕的图象关于y轴对称，∴y＝f〔x〕的图象关于x＝a对称．又∵f〔x〕在〔－∞，a]上是增函数，∴f〔x〕在[a，＋∞〕上是减函数．当x1<a，x2>a，且|x1－a|<|x2－a|时，有a－x1<x2－a，即a<2a－x1<x2，∴f〔2a－x1〕>f〔x2〕．答案：f〔2a－x1〕>f〔x2〕8．已知函数f〔x〕为R上的奇函数，当x≥0时，f〔x〕＝x〔x＋1〕．若f〔a〕＝－2，则实数a＝________．解析：当x≥0时，f〔x〕＝x〔x＋1〕>0，由f〔x〕为奇函数知x<0时，f〔x〕<0，∴a< 0，f〔－a〕＝2，∴－a〔－a＋1〕＝2，∴a＝2〔舍〕或a＝－1．答案：－19．〔2009年高考山东卷〕已知定义在R上的奇函数f〔x〕满足f〔x－4〕＝－f〔x〕，且在区间[0，2]上是增函数．若方程f〔x〕＝m〔m＞0〕在区间[－8，8]上有四个不同的根x1，x2，x3，x4，则x1＋x2＋x3＋x4＝________．解析：因为定义在R上的奇函数，满足f〔x－4〕＝－f〔x〕，所以f〔4－x〕＝f〔x〕，因此，函数图象关于直线x＝2对称且f〔0〕＝0．由f〔x－4〕＝－f〔x〕知f〔x－8〕＝f 〔x〕，所以函数是以8为周期的周期函数．又因为f〔x〕在区间[0，2]上是增函数，所以f 〔x〕在区间[－2，0]上也是增函数，如图所示，那么方程f〔x〕＝m〔m＞0〕在区间[－8，8]上有四个不同的根x1，x2，x3，x4，不妨设x1＜x2＜x3＜x4．由对称性知x1＋x2＝－1 2，x3＋x4＝4，所以x1＋x2＋x3＋x4＝－12＋4＝－8．答案：-810．已知f〔x〕是R上的奇函数，且当x∈〔－∞，0〕时，f〔x〕＝－xlg〔2－x〕，求f〔x 〕的解析式．解：∵f〔x〕是奇函数，可得f〔0〕＝－f〔0〕，∴f〔0〕＝0．当x>0时，－x<0，由已知f〔－x〕＝xlg〔2＋x〕，∴－f〔x〕＝xlg〔2＋x〕，即f〔x〕＝－xlg〔2＋x〕〔x>0〕．∴f〔x〕＝即f〔x〕＝－xlg〔2＋|x|〕〔x∈R〕．11．已知函数f〔x〕，当x，y∈R时，恒有f〔x＋y〕＝f〔x〕＋f〔y〕．〔1〕求证：f〔x〕是奇函数；〔2〕如果x∈R＋，f〔x〕<0，并且f〔1〕＝－，试求f〔x〕在区间[－2，6]上的最值．解：〔1〕证明：∴函数定义域为R，其定义域关于原点对称．∵f〔x＋y〕＝f〔x〕＋f〔y〕，令y＝－x，∴f〔0〕＝f〔x〕＋f〔－x〕．令x＝y＝0，∴f〔0〕＝f〔0〕＋f〔0〕，得f〔0〕＝0．∴f〔x〕＋f〔－x〕＝0，得f〔－x〕＝－f〔x〕，∴f〔x〕为奇函数．〔2〕法一：设x，y∈R＋，∵f〔x＋y〕＝f〔x〕＋f〔y〕，∴f〔x＋y〕－f〔x〕＝f 〔y〕．∵x∈R＋，f〔x〕<0，∴f〔x＋y〕－f〔x〕<0，∴f〔x＋y〕<f〔x〕．∵x＋y>x，∴f 〔x〕在〔0，＋∞〕上是减函数．又∵f〔x〕为奇函数，f〔0〕＝0，∴f〔x〕在〔－∞，＋∞〕上是减函数．∴f〔－2〕为最大值，f〔6〕为最小值．∵f〔1〕＝－，∴f〔－2〕＝－f〔2〕＝－2f〔1〕＝1，f〔6〕＝2f〔3〕＝2[f〔1〕＋f〔2〕]＝－3．∴所求f〔x〕在区间[－2，6]上的最大值为1，最小值为－3．法二：设x1<x2，且x1，x2∈R．则f〔x2－x1〕＝f[x2＋〔－x1〕]＝f〔x2〕＋f〔－x1〕＝f〔x2〕－f〔x1〕．∵x2－x1>0，∴f〔x2－x1〕<0．∴f〔x2〕－f〔x1〕<0．即f〔x〕在R上单调递减．∴f〔－2〕为最大值，f〔6〕为最小值．∵f〔1〕＝－，∴f〔－2〕＝－f〔2〕＝－2f〔1〕＝1，f〔6〕＝2f〔3〕＝2[f〔1〕＋f〔2〕]＝－3．∴所求f〔x〕在区间[－2，6]上的最大值为1，最小值为－3．12．已知函数f〔x〕的定义域为R，且满足f〔x＋2〕＝－f〔x〕．〔1〕求证：f〔x〕是周期函数；〔2〕若f〔x〕为奇函数，且当0≤x≤1时，f〔x〕＝x，求使f〔x〕＝－在[0，2010]上的所有x的个数．解：〔1〕证明：∵f〔x＋2〕＝－f〔x〕，∴f〔x＋4〕＝－f〔x＋2〕＝－[－f〔x〕]＝f〔x〕，∴f〔x〕是以4为周期的周期函数．〔2〕当0≤x≤1时，f〔x〕＝x，设－1≤x≤0，则0≤－x≤1，∴f〔－x〕＝〔－x〕＝－x．∵f〔x〕是奇函数，∴f〔－x〕＝－f〔x〕，∴－f〔x〕＝－x，即f〔x〕＝x．故f〔x〕＝x〔－1≤x≤1〕又设1<x<3，则－1<x－2<1，∴f〔x－2〕＝〔x－2〕，又∵f〔x－2〕＝－f〔2－x〕＝－f[〔－x〕＋2]＝－[－f〔－x〕]＝－f〔x〕，∴－f〔x〕＝〔x－2〕，∴f〔x〕＝－〔x－2〕〔1<x<3〕．∴f〔x〕＝由f〔x〕＝－，解得x＝－1．∵f〔x〕是以4为周期的周期函数．故f〔x〕＝－的所有x ＝4n－1〔n∈Z〕．令0≤4n－1≤2010，则≤n≤502，又∵n∈Z，∴1≤n≤502〔n∈Z〕，∴在[0，2010]上共有502个x使f〔x〕＝－．第三章指数函数和对数函数第一节指数函数A组1．〔2010年黑龙江哈尔滨模拟〕若a>1，b<0，且ab＋a－b＝2，则ab－a－b的值等于_____ ___．解析：∵a>1，b<0，∴0<ab<1，a－b>1．又∵〔ab＋a－b〕2＝a2b＋a－2b＋2＝8，∴a2b＋a－2b＝6，∴〔ab－a－b〕2＝a2b＋a－2b－2＝4，∴ab－a－b＝－2．答案：－2 2．已知f〔x〕＝ax＋b的图象如图所示，则f〔3〕＝________．解析：由图象知f〔0〕＝1＋b＝－2，∴b＝－3．又f〔2〕＝a2－3＝0，∴a＝，则f〔3〕＝〔〕3－3＝3－3．答案：3－33．函数y＝〔〕2x－x2的值域是________．解析：∵2x－x2＝－〔x－1〕2＋1≤1，∴〔〕2x－x2≥．答案：[，＋∞〕4．〔2009年高考山东卷〕若函数f〔x〕＝ax－x－a〔a>0，且a≠1〕有两个零点，则实数a 的取值范围是________．解析：函数f〔x〕的零点的个数就是函数y＝ax与函数y＝x＋a交点的个数，由函数的图象可知a>1时两函数图象有两个交点，0<a<1时两函数图象有惟一交点，故a>1．答案：〔1，+∞〕5．〔原创题〕若函数f〔x〕＝ax－1〔a>0，a≠1〕的定义域和值域都是[0，2]，则实数a等于________．解析：由题意知无解或⇒a＝．答案： 36．已知定义域为R的函数f〔x〕＝是奇函数．〔1〕求a，b的值；〔2〕若对任意的t∈R，不等式f〔t2－2t〕＋f〔2t2－k〕<0恒成立，求k的取值范围．解：〔1〕因为f〔x〕是R上的奇函数，所以f〔0〕＝0，即＝0，解得b＝1．从而有f〔x〕＝．又由f〔1〕＝－f〔－1〕知＝－，解得a＝2．〔2〕法一：由〔1〕知f〔x〕＝＝－＋，由上式易知f〔x〕在R上为减函数，又因f〔x〕是奇函数，从而不等式f〔t2－2t〕＋f〔2t2－k〕<0⇔f〔t2－2t〕<－f〔2t2－k〕＝f〔－2t2＋k〕．因f〔x〕是R上的减函数，由上式推得t2－2t>－2t2＋k．即对一切t∈R有3t2－2t－k>0，从而Δ＝4＋12k<0，解得k<－．法二：由〔1〕知f〔x〕＝，又由题设条件得＋<0即〔22t2－k＋1＋2〕〔－2t2－2t＋1〕＋〔2t2－2t＋1＋2〕〔－22t2－k＋1〕<0整理得23t2－2t－k>1，因底数2>1，故3t2－2t－k>0上式对一切t∈R均成立，从而判别式Δ＝4＋12k<0，解得k<－．B组1．如果函数f〔x〕＝ax＋b－1〔a>0且a≠1〕的图象经过第一、二、四象限，不经过第三象限，那么一定有________．①0<a<1且b>0 ②0<a<1且0<b<1 ③a>1且b<0 ④a>1且b>0解析：当0<a<1时，把指数函数f〔x〕＝ax的图象向下平移，观察可知－1<b－1<0，即0<b<1．答案：②2．〔2010年保定模拟〕若f〔x〕＝－x2＋2ax与g〔x〕＝〔a＋1〕1－x在区间[1，2]上都是减函数，则a的取值范围是________．解析：f〔x〕＝－x2＋2ax＝－〔x－a〕2＋a2，所以f〔x〕在[a，＋∞〕上为减函数，又f〔x〕，g〔x〕都在[1，2]上为减函数，所以需⇒0<a≤1．答案：〔0，1]3．已知f〔x〕，g〔x〕都是定义在R上的函数，且满足以下条件①f〔x〕＝ax·g〔x〕〔a>0，a≠1〕；②g〔x〕≠0；若＋＝，则a等于________．解析：由f〔x〕＝ax·g〔x〕得＝ax，所以＋＝⇒a＋a－1＝，解得a＝2或．答案：2或4．〔2010年北京朝阳模拟〕已知函数f〔x〕＝ax〔a>0且a≠1〕，其反函数为f－1〔x〕．若f〔2〕＝9，则f－1〔〕＋f〔1〕的值是________．解析：因为f〔2〕＝a2＝9，且a>0，∴a＝3，则f〔x〕＝3x＝，∴x＝－1，故f－1〔〕＝－1．又f〔1〕＝3，所以f－1〔〕＋f〔1〕＝2．答案：25．〔2010年山东青岛质检〕已知f〔x〕＝〔〕x，若f〔x〕的图象关于直线x＝1对称的图象对应的函数为g〔x〕，则g〔x〕的表达式为________．解析：设y＝g〔x〕上任意一点P〔x，y〕，P〔x，y〕关于x＝1的对称点P′〔2－x，y 〕在f〔x〕＝〔〕x上，∴y＝〔〕2－x＝3x－2．答案：y＝3x－2〔x∈R〕6．〔2009年高考山东卷改编〕函数y＝的图象大致为________．解析：∵f〔－x〕＝＝－＝－f〔x〕，∴f〔x〕为奇函数，排除④．又∵y＝＝＝＝1＋在〔－∞，0〕、〔0，＋∞〕上都是减函数，排除②、③．答案：①7．〔2009年高考辽宁卷改编〕已知函数f〔x〕满足：当x≥4时，f〔x〕＝〔〕x；当x<4时，f〔x〕＝f〔x＋1〕，则f〔2＋log23〕＝________．解析：∵2<3<4＝22，∴1<log23<2．∴3<2＋log23<4，∴f〔2＋log23〕＝f〔3＋log23〕＝f〔log224〕＝〔〕log224＝2－log224＝2log2＝．答案：8．〔2009年高考湖南卷改编〕设函数y＝f〔x〕在〔－∞，＋∞〕内有定义，对于给定的正数K，定义函数fK〔x〕＝取函数f〔x〕＝2－|x|，当K＝时，函数fK〔x〕的单调递增区间为________．解析：由f〔x〕＝2－|x|≤得x≥1或x≤－1，∴fK〔x〕＝则单调增区间为〔－∞，－1]．答案：〔－∞，－1]9．函数y＝2|x|的定义域为[a，b]，值域为[1，16]，当a变动时，函数b＝g〔a〕的图象可以是________．解析：函数y＝2|x|的图象如图．当a＝－4时，0≤b≤4，当b＝4时，－4≤a≤0，答案：②10．〔2010年宁夏银川模拟〕已知函数f〔x〕＝a2x＋2ax－1〔a>0，且a≠1〕在区间[－1，1 ]上的最大值为14，求实数a的值．解：f〔x〕＝a2x＋2ax－1＝〔ax＋1〕2－2，∵x∈[－1，1]，〔1〕当0<a<1时，a≤ax≤，∴当ax＝时，f〔x〕取得最大值．∴〔＋1〕2－2＝14，∴＝3，∴a＝．〔2〕当a>1时，≤ax≤a，∴当ax＝a时，f〔x〕取得最大值．∴〔a＋1〕2－2＝14，∴a＝3．综上可知，实数a的值为或3．11．已知函数f〔x〕＝．〔1〕求证：f〔x〕的图象关于点M〔a，－1〕对称；〔2〕若f〔x〕≥－2x在x≥a上恒成立，求实数a的取值范围．解：〔1〕证明：设f〔x〕的图象C上任一点为P〔x，y〕，则y＝－，P〔x，y〕关于点M〔a，－1〕的对称点为P′〔2a－x，－2－y〕．∴－2－y＝－2＋＝＝＝，说明点P′〔2a－x，－2－y〕也在函数y＝的图象上，由点P的任意性知，f〔x〕的图象关于点M〔a，－1〕对称．〔2〕由f〔x〕≥－2x得≥－2x，则≤2x，化为2x－a·2x＋2x－2≥0，则有〔2x〕2＋2a·2x －2·2a≥0在x≥a上恒成立．令g〔t〕＝t2＋2a·t－2·2a，则有g〔t〕≥0在t≥2a上恒成立．∵g〔t〕的对称轴在t＝0的左侧，∴g〔t〕在t≥2a上为增函数．∴g〔2a〕≥0．∴〔2a〕2＋〔2a〕2－2·2a≥0，∴2a〔2a－1〕≥0，则a≥0．即实数a 的取值范围为a≥0．12．〔2008年高考江苏〕若f1〔x〕＝3|x－p1|，f2〔x〕＝2·3|x－p2|，x∈R，p1、p2为常数，且f〔x〕＝〔1〕求f〔x〕＝f1〔x〕对所有实数x成立的充要条件〔用p1、p2表示〕；〔2〕设a，b是两个实数，满足a<b，且p1、p2∈〔a，b〕．若f〔a〕＝f〔b〕，求证：函数f〔x〕在区间[a，b]上的单调增区间的长度之和为〔闭区间[m，n]的长度定义为n－m〕．解：〔1〕f〔x〕＝f1〔x〕恒成立⇔f1〔x〕≤f2〔x〕⇔3|x－p1|≤2·3|x－p2|⇔3|x－p1|－|x －p2|≤2⇔|x－p1|－|x－p2|≤log32．〔*〕若p1＝p2，则〔*〕⇔0≤log32，显然成立；若p1≠p2，记g〔x〕＝|x－p1|－|x－p2|，当p1>p2时，g〔x〕＝所以g〔x〕max＝p1－p2，故只需p1－p2≤log32．当p1<p2时，g〔x〕＝所以g〔x〕max＝p2－p1，故只需p2－p1≤log32．综上所述，f〔x〕＝f1〔x〕对所有实数x成立的充要条件是|p1－p2|≤log32．〔2〕证明：分两种情形讨论．①当|p1－p2|≤log32时，由〔1〕知f〔x〕＝f1〔x〕〔对所有实数x∈[a，b]〕，则由f〔a〕＝f〔b〕及a<p1<b易知p1＝．再由f1〔x〕＝的单调性可知，f〔x〕在区间[a，b]上的单调增区间的长度为b－＝．②当|p1－p2|>log32时，不妨设p1<p2，则p2－p1>log32．于是，当x≤p1时，有f1〔x〕＝3p1－x<3p2－x<f2〔x〕，从而f〔x〕＝f1〔x〕．当x≥p2时，f1〔x〕＝3x－p1＝3p2－p1·3x－p2>3log32·3x－p2＝f2〔x〕，从而f〔x〕＝f2〔x〕．当p1<x<p2时，f1〔x〕＝3x－p1及f2〔x〕＝2·3p2－x，由方程3x0－p1＝2·3p2－x0，解得f1〔x〕与f2〔x〕图象交点的横坐标为x0＝＋log32．①显然p1<x0＝p2－[〔p2－p1〕－log32]<p2，这表明x0在p1与p2之间．由①易知f〔x〕＝综上可知，在区间[a，b]上，f〔x〕＝故由函数f1〔x〕与f2〔x〕的单调性可知，f〔x〕在区间[a，b]上的单调增区间的长度之和为〔x0－p1〕＋〔b－p2〕，由于f〔a〕＝f〔b〕，即3p1－a＝2·3b－p2，得p1＋p2＝a＋b＋log32．②故由①②得〔x0－p1〕＋〔b－p2〕＝b－〔p1＋p2－log32〕＝．综合①、②可知，f〔x〕在区间[a，b]上单调增区间的长度之和为．第二节对数函数A组1．〔2009年高考广东卷改编〕若函数y＝f〔x〕是函数y＝ax〔a>0，且a≠1〕的反函数，其图象经过点〔，a〕，则f〔x〕＝________．解析：由题意f〔x〕＝logax，∴a＝logaa＝，∴f〔x〕＝logx．答案：logx2．〔2009年高考全国卷Ⅱ〕设a＝log3π，b＝log2，c＝log3，则a、b、c的大小关系是____ ____．解析：a＝log3π>1，b＝log2＝log23∈〔，1〕，c＝log3＝log32∈〔0，〕，故有a>b>c ．答案：a>b>c3．若函数f〔x〕＝，则f〔log43〕＝________．解析：0<log43<1，∴f〔log43〕＝4log43＝3．答案：34．如图所示，若函数f〔x〕＝ax－1的图象经过点〔4，2〕，则函数g〔x〕＝loga的图象是________．解析：由已知将点〔4，2〕代入y＝ax－1，∴2＝a4－1，即a＝2>1．又是单调递减的，故g〔x〕递减且过〔0，0〕点，∴④正确．答案：④5．〔原创题〕已知函数f〔x〕＝alog2x＋blog3x＋2，且f〔〕＝4，则f〔2010〕的值为_．解析：设F〔x〕＝f〔x〕－2，即F〔x〕＝alog2x＋blog3x，则F〔〕＝alog2＋blog3＝－〔alog2x＋blog3x〕＝－F〔x〕，∴F〔2010〕＝－F〔〕＝－[f〔〕－2]＝－2，即f〔2010〕－2＝－2，故f〔2010〕＝0．答案：06．若f〔x〕＝x2－x＋b，且f〔log2a〕＝b，log2f〔a〕＝2〔a>0且a≠1〕．〔1〕求f〔log2x 〕的最小值及相应x的值；〔2〕若f〔log2x〕>f〔1〕且log2f〔x〕<f〔1〕，求x的取值范围．。

高三数学(文科)第一轮复习测试试题及答案10 Word版含答案

广州市高考数学（文科）一轮复习测试题
本试卷分第卷和第卷两部分，第卷第至第页，第卷第至第页，共分．考试时间长分钟．
第Ⅰ卷（选择题共分）
一、选择题（共小题，每小题分，共分）在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求
的一项.
．已知集合，，则
（）（）（）（）
【答案】
【.解析】因为，所以，选.
．在复平面内，复数对应的点位于
（）第一象限（）第二象限（）第三象限（）第四象限
【答案】
【.解析】,，对应的点的坐标为，所以在第二象限，选.
．已知圆的方程为，则圆心坐标为
（）（）（）（）
【答案】
【.解析】圆的标准方程为，所以圆心坐标为，选.
．设函数则
（）（）（）（）
【答案】
【.解析】，所以，选.
．一个几何体的三视图如图所示，该几何体的体积是
（）（）（）（）
【答案】
【.解析】由三视图可知，该几何体是一个平放的直三棱柱，棱柱的底面为等腰直角三角形，棱柱的高为，所以该几何体的体积为，选.
．执行如图所示的程序框图，输出的值为
（）（）（）（）
【答案】
【.解析】由程序框图可知，当时，满足条件，即，所以该程序是求
的程序，所以，选.。

「精选」人教版最新高考文科数学第一轮复习经典习题集(含答案)及参考答案-精选文档

高考第一轮复习文科数学习题集（含答案）目录第一章集合 (1)第一节集合的含义、表示及基本关系 (1)第二节集合的基本运算 (3)第二章函数 (5)第一节对函数的进一步认识 (5)第二节函数的单调性 (9)第三节函数的性质 (13)第三章指数函数和对数函数 (16)第一节指数函数 (16)第二节对数函数 (20)第三节幂函数与二次函数的性质 (24)第四节函数的图象特征 (28)第四章函数的应用 (32)第五章三角函数 (33)第一节角的概念的推广及弧度制 (33)第二节正弦函数和余弦函数的定义及诱导公式 (39)第三节正弦函数与余弦函数的图象及性质 (42)第四节函数()sin()f x A xw j=+的图象 (45)第六章三角恒等变换 (50)第一节同角三角函数的基本关系 (50)第二节两角和与差及二倍角的三角函数 (53)第七章解三角形 (56)第一节正弦定理与余弦定理 (56)第二节正弦定理、余弦定理的应用 (59)第八章数列 (60)第九章平面向量 (62)第十章算法 (65)第一节程序框图 (65)第二节程序语句 (69)第十一章概率 (73)第一节古典概型 (73)第二节概率的应用 (75)第三节几何概型 (79)第十二章导数 (83)第十三章不等式 (85)第十四章立体几何 (88)第一节简单几何体 (88)第二节空间图形的基本关系与公理 (92)第三节平行关系 (96)第四节垂直关系 (100)第五节简单几何体的面积与体积 (104)第十五章解析几何 (108)第一节直线的倾斜角、斜率与方程 (108)第二节点与直线、直线与直线的位置关系 (111)第三节圆的标准方程与一般方程 (114)第四节直线与圆、圆与圆的位置关系 (117)第五节空间直角坐标系 (121)第十六章圆锥曲线 (123)第一章集合第一节集合的含义、表示及基本关系A 组1．已知A ＝{1，2}，B ＝{}|x x A Î，则集合A 与B 的关系为________．解析：由集合B ＝{}|x x A Î知，B ＝{1，2}．答案：A ＝B2．若{}2,|a a R x x ＮÆØ，则实数a 的取值范围是________．解析：由题意知，2x a £有解，故0a ³．答案：0a ³3．已知集合A ＝{}2|21,y y x x x R =--?，集合B ＝{}|28x x-＃，则集合A 与B 的关系是________．解析：y ＝x 2－2x －1＝(x －1)2－2≥－2，∴A ＝{y|y ≥－2}，∴B A ．答案：B A4．(2009年高考广东卷改编)已知全集U ＝R ，则正确表示集合M ＝{－1，0，1}和N ＝{}2|0x x x +=关系的韦恩(Venn)图是________．解析：由N={}2|0x x x +=，得N ={-1，0}，则N M ．答案：②5．(2010年苏、锡、常、镇四市调查)已知集合A ＝{}|5x x >，集合B ＝{}|x x a >，若命题“x ∈A ”是命题“x ∈B ”的充分不必要条件，则实数a 的取值范围是________．解析：命题“x ∈A ”是命题“x ∈B ” 的充分不必要条件，∴A B ，∴a <5．答案：a <56．(原创题)已知m ∈A ，n ∈B ，且集合A ＝{x |x ＝2a ，a ∈Z }，B ＝{x |x ＝2a ＋1，a ∈Z }，又C ＝{x |x ＝4a ＋1，a ∈Z }，判断m ＋n 属于哪一个集合？解：∵m ∈A ，∴设m ＝2a 1，a 1∈Z ，又∵n ∈B ，∴设n ＝2a 2＋1，a 2∈Z ，∴m ＋n ＝2(a 1＋a 2)＋1，而a 1＋a 2∈Z ，∴m ＋n ∈B ．B 组1．设a ，b 都是非零实数，y ＝a |a |＋b |b |＋ab |ab |可能取的值组成的集合是________．解析：分四种情况：(1)a >0且b >0；(2)a >0且b <0；(3)a <0且b >0；(4)a <0且b <0，讨论得y ＝3或y ＝－1．答案：{3，－1}2．已知集合A ＝{－1，3，2m －1}，集合B ＝{3，m 2}．若B ⊆A ，则实数m ＝________．解析：∵B ⊆A ，显然m 2≠－1且m 2≠3，故m 2＝2m －1，即(m －1)2＝0，∴m ＝1．答案：13．设P ，Q 为两个非空实数集合，定义集合P ＋Q ＝{a ＋b |a ∈P ，b ∈Q }，若P ＝{0，2，5}，Q ＝{1，2，6}，则P ＋Q 中元素的个数是________个．解析：依次分别取a ＝0，2，5；b ＝1，2，6，并分别求和，注意到集合元素的互异性，∴P ＋Q ＝{1，2，6，3，4，8，7，11}．答案：84．已知集合M ＝{x |x 2＝1}，集合N ＝{x |ax ＝1}，若N M ，那么a 的值是________．解析：M ＝{x |x ＝1或x ＝－1}，N M ，所以N ＝∅时，a ＝0；当a ≠0时，x ＝1a＝1或－1，∴a ＝1或－1．答案：0，1，－15．满足{1}A ⊆{1，2，3}的集合A 的个数是________个．解析：A 中一定有元素1，所以A 有{1，2}，{1，3}，{1，2，3}．答案：36．已知集合A ＝{x |x ＝a ＋16，a ∈Z }，B ＝{x |x ＝b 2－13，b ∈Z }，C ＝{x |x ＝c 2＋16，c ∈Z }，则A 、B 、C 之间的关系是________．解析：用列举法寻找规律．答案：A B ＝C7．集合A ＝{x ||x |≤4，x ∈R }，B ＝{x |x <a }，则“A ⊆B ”是“a >5”的________．解析：结合数轴若A ⊆B ⇔a ≥4，故“A ⊆B ”是“a >5”的必要但不充分条件．答案：必要不充分条件8．(2010年江苏启东模拟)设集合M ＝{m |m ＝2n ，n ∈N ，且m <500}，则M 中所有元素的和为________．解析：∵2n <500，∴n ＝0，1，2，3，4，5，6，7，8．∴M 中所有元素的和S ＝1＋2＋22＋…＋28＝511．答案：5119．(2009年高考北京卷)设A 是整数集的一个非空子集，对于k ∈A ，如果k －1∉A ，且k ＋1∉A ，那么称k 是A 的一个“孤立元”．给定S ＝{1，2，3，4，5，6，7，8}，由S 的3个元素构成的所有集合中，不含“孤立元”的集合共有________个．解析：依题可知，由S 的3个元素构成的所有集合中，不含“孤立元”，这三个元素一定是相连的三个数．故这样的集合共有6个．答案：610．已知A ＝{x ，xy ，lg(xy )}，B ＝{0，|x |，y }，且A ＝B ，试求x ，y 的值．解：由lg(xy )知，xy >0，故x ≠0，xy ≠0，于是由A ＝B 得lg(xy )＝0，xy ＝1．∴A ＝{x ，1，0}，B ＝{0，|x |，1x}．于是必有|x |＝1，1x＝x ≠1，故x ＝－1，从而y ＝－1． 11．已知集合A ＝{x |x 2－3x －10≤0}，(1)若B ⊆A ，B ＝{x |m ＋1≤x ≤2m －1}，求实数m 的取值范围；(2)若A ⊆B ，B ＝{x |m －6≤x ≤2m －1}，求实数m 的取值范围；(3)若A ＝B ，B ＝{x |m －6≤x ≤2m －1}，求实数m 的取值范围．解：由A ＝{x |x 2－3x －10≤0}，得A ＝{x |－2≤x ≤5}，(1)∵B ⊆A ，∴①若B ＝∅，则m ＋1>2m －1，即m <2，此时满足B ⊆A ．②若B ≠∅，则⎩⎪⎨⎪⎧ m ＋1≤2m －1，－2≤m ＋1，2m －1≤5.解得2≤m ≤3．由①②得，m 的取值范围是(－∞，3]．(2)若A ⊆B ，则依题意应有⎩⎪⎨⎪⎧ 2m －1>m －6，m －6≤－2，2m －1≥5.解得⎩⎪⎨⎪⎧ m >－5，m ≤4，m ≥3.故3≤m ≤4，∴m 的取值范围是[3，4]．(3)若A ＝B ，则必有⎩⎪⎨⎪⎧m －6＝－2，2m －1＝5，解得m ∈∅．，即不存在m 值使得A ＝B ． 12．已知集合A ＝{x |x 2－3x ＋2≤0}，B ＝{x |x 2－(a ＋1)x ＋a ≤0}．(1)若A 是B 的真子集，求a 的取值范围；(2)若B 是A 的子集，求a 的取值范围；(3)若A ＝B ，求a 的取值范围．解：由x 2－3x ＋2≤0，即(x －1)(x －2)≤0，得1≤x ≤2，故A ＝{x |1≤x ≤2}，而集合B ＝{x |(x －1)(x －a )≤0}，(1)若A 是B 的真子集，即A B ，则此时B ＝{x |1≤x ≤ a }，故a >2．(2)若B 是A 的子集，即B ⊆A ，由数轴可知1≤a ≤2．(3)若A =B ，则必有a =2第二节集合的基本运算A 组1．(2009年高考浙江卷改编)设U ＝R ，A ＝{}|0x x >，B ＝{}|1x x >，则A ∩∁U B ＝____．解析：∁U B ＝{x |x ≤1}，∴A ∩∁U B ＝{x |0<x ≤1}．答案：{x |0<x ≤1}2．(2009年高考全国卷Ⅰ改编)设集合A ＝{4，5，7，9}，B ＝{3，4，7，8，9}，全集U ＝A ∪B ，则集合∁U (A ∩B )中的元素共有________个．解析：A ∩B ＝{4，7，9}，A ∪B ＝{3，4，5，7，8，9}，∁U (A ∩B )＝{3，5，8}．答案：33．已知集合M ＝{0，1，2}，N ＝{}|2,x x a a M =?，则集合M ∩N ＝________．解析：由题意知，N ＝{0，2，4}，故M ∩N ＝{0，2}．答案：{0，2}4．(原创题)设A ，B 是非空集合，定义A ⓐB ＝{x |x ∈A ∪B 且x ∉A ∩B }，已知A ＝{x |0≤x ≤2}，B ＝{y |y ≥0}，则A ⓐB ＝________．解析：A ∪B ＝[0，＋∞)，A ∩B ＝[0，2]，所以A ⓐB ＝(2，＋∞)．答案：(2，＋∞)5．(2009年高考湖南卷)某班共30人，其中15人喜爱篮球运动，10人喜爱乒乓球运动，8人对这两项运动都不喜爱，则喜爱篮球运动但不喜爱乒乓球运动的人数为________．解析：设两项运动都喜欢的人数为x ，画出韦恩图得到方程15-x +x +10-x +8=30x =3，∴喜爱篮球运动但不喜爱乒乓球运动的人数为15-3=12(人)．答案：126．(2010年浙江嘉兴质检)已知集合A ＝{x |x >1}，集合B ＝{x |m ≤x ≤m ＋3}．(1)当m ＝－1时，求A ∩B ，A ∪B ；(2)若B ⊆A ，求m 的取值范围．解：(1)当1m =-时，B ＝{x |－1≤x ≤2}，∴A ∩B ＝{x |1<x ≤2}，A ∪B ＝{x |x ≥－1}．(2)若B ⊆A ，则1m >，即m 的取值范围为(1，＋∞)B 组1．若集合M ＝{x ∈R |－3<x <1}，N ＝{x ∈Z |－1≤x ≤2}，则M ∩N ＝________．解析：因为集合N ＝{－1，0，1，2}，所以M ∩N ＝{－1，0}．答案：{－1，0}2．已知全集U ＝{－1，0，1，2}，集合A ＝{－1，2}，B ＝{0，2}，则(∁U A )∩B ＝________．解析：∁U A ＝{0，1}，故(∁U A )∩B ＝{0}．答案：{0}3．(2010年济南市高三模拟)若全集U ＝R ，集合M ＝{x |－2≤x ≤2}，N ＝{x |x 2－3x ≤0}，则M ∩(∁U N )＝________．解析：根据已知得M ∩(∁U N )＝{x |－2≤x ≤2}∩{x |x <0或x >3}＝{x |－2≤x <0}．答案：{x |－2≤x <0}4．集合A ＝{3，log 2a }，B ＝{a ，b }，若A ∩B ＝{2}，则A ∪B ＝________．解析：由A ∩B ＝{2}得log 2a ＝2，∴a ＝4，从而b ＝2，∴A ∪B ＝{2，3，4}．答案：{2，3，4}5．(2009年高考江西卷改编)已知全集U ＝A ∪B 中有m 个元素，(∁U A )∪(∁U B )中有n 个元素．若A ∩B 非空，则A ∩B 的元素个数为________．解析：U ＝A ∪B 中有m 个元素，∵(∁U A )∪(∁U B )＝∁U (A ∩B )中有n 个元素，∴A ∩B 中有m －n 个元素．答案：m －n6．(2009年高考重庆卷)设U ＝{n |n 是小于9的正整数}，A ＝{n ∈U |n是奇数}，B ＝{n ∈U |n 是3的倍数}，则∁U (A ∪B )＝________．解析：U ＝{1，2，3，4，5，6，7，8}，A ＝{1，3，5，7}，B ＝{3，6}，∴A ∪B ＝{1，3，5，6，7}，得∁U (A ∪B )＝{2，4，8}．答案：{2，4，8}7．定义A ⊗B ＝{z |z ＝xy ＋x y，x ∈A ，y ∈B }．设集合A ＝{0，2}，B ＝{1，2}，C ＝{1}，则集合(A ⊗B )⊗C 的所有元素之和为________．解析：由题意可求(A ⊗B )中所含的元素有0，4，5，则(A ⊗B )⊗C 中所含的元素有0，8，10，故所有元素之和为18．答案：188．若集合{(x ，y )|x ＋y －2＝0且x －2y ＋4＝x ，y )|y ＝3x ＋b }，则b ＝________．解析：由⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋y －2＝0，x －2y ＋4＝0.⇒⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝0，y ＝2.点(0，2)在y ＝3x ＋b 上，∴b ＝2． 9．设全集I ＝{2，3，a 2＋2a －3}，A ＝{2，|a ＋1|}，∁I A ＝{5}，M ＝{x |x ＝log 2|a |}，则集合M的所有子集是________．解析：∵A ∪(∁I A )＝I ，∴{2，3，a 2＋2a －3}＝{2，5，|a ＋1|}，∴|a ＋1|＝3，且a 2＋2a －3＝5，解得a ＝－4或a ＝2，∴M ＝{log 22，log 2|－4|}＝{1，2}．答案：∅，{1}，{2}，{1，2}10．设集合A ＝{x |x 2－3x ＋2＝0}，B ＝{x |x 2＋2(a ＋1)x ＋(a 2－5)＝0}．(1)若A ∩B ＝{2}，求实数a 的值；(2)若A ∪B ＝A ，求实数a 的取值范围．解：由x 2－3x ＋2＝0得x ＝1或x ＝2，故集合A ＝{1，2}．(1)∵A ∩B ＝{2}，∴2∈B ，代入B 中的方程，得a 2＋4a ＋3＝0⇒a ＝－1或a ＝－3；当a ＝－1时，B ＝{x |x 2－4＝0}＝{－2，2}，满足条件；当a ＝－3时，B ＝{x |x 2－4x ＋4＝0}＝{2}，满足条件；综上，a 的值为－1或－3．(2)对于集合B ，Δ＝4(a ＋1)2－4(a 2－5)＝8(a ＋3)．∵A ∪B ＝A ，∴B ⊆A ，①当Δ<0，即a <－3时，B ＝∅满足条件；②当Δ＝0，即a ＝－3时，B ＝{2}满足条件；③当Δ>0，即a >－3时，B ＝A ＝{1，2}才能满足条件，则由根与系数的关系得⎩⎪⎨⎪⎧ 1＋2＝－2(a ＋1)1×2＝a 2－5⇒⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－52，a 2＝7，矛盾．综上，a 的取值范围是a ≤－3． 11．已知函数f (x )＝ 6x ＋1－1的定义域为集合A ，函数g (x )＝lg(－x 2＋2x ＋m )的定义域为集合B ．(1)当m ＝3时，求A ∩(∁R B )；(2)若A ∩B ＝{x |－1<x <4}，求实数m 的值．解：A ＝{x |－1<x ≤5}．(1)当m ＝3时，B ＝{x |－1<x <3}，则∁R B ＝{x |x ≤－1或x ≥3}，∴A ∩(∁R B )＝{x |3≤x ≤5}．(2)∵A ＝{x |－1<x ≤5}，A ∩B ＝{x |－1<x <4}，∴有－42＋2×4＋m ＝0，解得m ＝8，此时B ＝{x |－2<x <4}，符合题意．12．已知集合A ＝{x ∈R |ax 2－3x ＋2＝0}．(1)若A ＝∅，求实数a 的取值范围；(2)若A 是单元素集，求a 的值及集合A ；(3)求集合M ＝{a ∈R |A ≠∅}．解：(1)A 是空集，即方程ax 2－3x ＋2＝0无解．若a ＝0，方程有一解x ＝23，不合题意．若a ≠0，要方程ax 2－3x ＋2＝0无解，则Δ＝9－8a <0，则a >98．综上可知，若A ＝∅，则a 的取值范围应为a >98． (2)当a ＝0时，方程ax 2－3x ＋2＝0只有一根x ＝23，A ＝{23}符合题意．当a ≠0时，则Δ＝9－8a ＝0，即a ＝98时，方程有两个相等的实数根x ＝43，则A ＝{43}．综上可知，当a ＝0时，A ＝{23}；当a ＝98时，A ＝{43}． (3)当a ＝0时，A ＝{23}≠∅．当a ≠0时，要使方程有实数根，则Δ＝9－8a ≥0，即a ≤98．综上可知，a 的取值范围是a ≤98，即M ＝{a ∈R |A ≠∅}＝{a |a ≤98}第二章函数第一节对函数的进一步认识A 组1．(2009年高考江西卷改编)函数y ＝－x 2－3x ＋4x的定义域为________．解析：⎩⎪⎨⎪⎧ －x 2－3x ＋4≥0，x ≠0，⇒x ∈[－4，0)∪(0，1] ．答案：[－4，0)∪(0，1] 2．(2010年绍兴第一次质检)如图，函数f (x )的图象是曲线段OAB ，其中点O ，A ，B 的坐标分别为(0，0)，(1，2)，(3，1)，则f (1f (3))的值等于________．解析：由图象知f (3)＝1，f (1f (3))＝f (1)＝2．答案：2 3．(2009年高考北京卷)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧3x ，x ≤1，－x ，x >1.若f (x )＝2，则x ＝________．解析：依题意得x ≤1时，3x ＝2，∴x ＝log 32；当x >1时，－x ＝2，x ＝－2(舍去)．故x ＝log 32．答案：log 324．(2010年黄冈市高三质检)函数f ：{1，2}→{1，2}满足f [f (x )]>1的这样的函数个数有________个．解析：如图．答案：15．(原创题)由等式x 3＋a 1x 2＋a 2x ＋a 3＝(x ＋1)3＋b 1(x ＋1)2＋b 2(x ＋1)＋b 3定义一个映射f (a 1，a 2，a 3)＝(b 1，b 2，b 3)，则f (2，1，－1)＝________．解析：由题意知x 3＋2x 2＋x －1＝(x ＋1)3＋b 1(x ＋1)2＋b 2(x ＋1)＋b 3，令x ＝－1得：－1＝b 3；再令x ＝0与x ＝1得⎩⎪⎨⎪⎧－1＝1＋b 1＋b 2＋b 33＝8＋4b 1＋2b 2＋b 3，解得b 1＝－1，b 2＝0．答案：(－1，0，－1)6．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ 1＋1x(x >1)，x 2＋1 (－1≤x ≤1)，2x ＋3 (x <－1).(1)求f (1－12－1)，f {f [f (－2)]}的值；(2)求f (3x －1)；(3)若f (a )＝32，求a ．解：f (x )为分段函数，应分段求解．(1)∵1－12－1＝1－(2＋1)＝－2<－1，∴f (－2)＝－22＋3，又∵f (－2)＝－1，f [f (－2)]＝f (－1)＝2，∴f {f [f (－2)]}＝1＋12＝32． (2)若3x －1>1，即x >23，f (3x －1)＝1＋13x －1＝3x 3x －1；若－1≤3x －1≤1，即0≤x ≤32，f (3x －1)＝(3x －1)2＋1＝9x 2－6x ＋2；若3x －1<－1，即x <0，f (3x －1)＝2(3x －1)＋3＝6x ＋1．∴f (3x －1)＝⎩⎨⎧ 3x 3x －1 (x >23)，9x 2－6x ＋2 (0≤x ≤23)，6x ＋1 (x <0).(3)∵f (a )＝32，∴a >1或－1≤a ≤1．当a >1时，有1＋1a ＝32，∴a ＝2；当－1≤a ≤1时，a 2＋1＝32，∴a ＝±22． ∴a ＝2或±22．B 组1．(2010年广东江门质检)函数y ＝13x －2＋lg(2x －1)的定义域是________．解析：由3x －2>0，2x －1>0，得x >23．答案：{x |x >23} 2．(2010年山东枣庄模拟)函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ －2x ＋1，(x <－1)，－3，(－1≤x ≤2)，2x －1，(x >2)，则f (f (f (32)＋5))＝_．解析：∵－1≤32≤2，∴f (32)＋5＝－3＋5＝2，∵－1≤2≤2，∴f (2)＝－3， ∴f (－3)＝(－2)×(－3)＋1＝7．答案：73．定义在区间(－1，1)上的函数f (x )满足2f (x )－f (－x )＝lg(x ＋1)，则f (x )的解析式为________．解析：∵对任意的x ∈(－1，1)，有－x ∈(－1，1)，由2f (x )－f (－x )＝lg(x ＋1)，①由2f (－x )－f (x )＝lg(－x ＋1)，②①×2＋②消去f (－x )，得3f (x )＝2lg(x ＋1)＋lg(－x ＋1)，∴f (x )＝23lg(x ＋1)＋13lg(1－x )，(－1<x <1)．答案：f (x )＝23lg(x ＋1)＋13lg(1－x )，(－1<x <1) 4．设函数y ＝f (x )满足f (x ＋1)＝f (x )＋1，则函数y ＝f (x )与y ＝x 图象交点的个数可能是________个．解析：由f (x ＋1)＝f (x )＋1可得f (1)＝f (0)＋1，f (2)＝f (0)＋2，f (3)＝f (0)＋3，…本题中如果f (0)＝0，那么y ＝f (x )和y ＝x 有无数个交点；若f (0)≠0，则y ＝f (x )和y ＝x 有零个交点．答案：0或无数5．设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2 (x ＞0)x 2＋bx ＋c (x ≤0)，若f (－4)＝f (0)，f (－2)＝－2，则f (x )的解析式为f (x )＝________，关于x 的方程f (x )＝x 的解的个数为________个．解析：由题意得⎩⎪⎨⎪⎧ 16－4b ＋c ＝c 4－2b ＋c ＝－2 ⎩⎪⎨⎪⎧b ＝4c ＝2， ∴f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2 (x ＞0)x 2＋4x ＋2 (x ≤0)．由数形结合得f (x )＝x 的解的个数有3个．答案：⎩⎪⎨⎪⎧2 (x ＞0)x 2＋4x ＋2 (x ≤0)3 6．设函数f (x )＝log a x (a ＞0，a ≠1)，函数g (x )＝－x 2＋bx ＋c ，若f (2＋2)－f (2＋1)＝12，g (x )的图象过点A (4，－5)及B (－2，－5)，则a ＝__________，函数f [g (x )]的定义域为__________．答案：2 (－1，3)7．(2009年高考天津卷改编)设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ x 2－4x ＋6，x ≥0x ＋6，x <0，则不等式f (x )>f (1)的解集是________．解析：由已知，函数先增后减再增，当x ≥0，f (x )>f (1)＝3时，令f (x )＝3，解得x ＝1，x ＝3．故f (x )>f (1)的解集为0≤x <1或x >3．当x <0，x ＋6＝3时，x ＝－3，故f (x )>f (1)＝3，解得－3<x <0或x >3．综上，f (x )>f (1)的解集为{x |－3<x <1或x >3}．答案：{x |－3<x <1或x >3}8．(2009年高考山东卷)定义在R 上的函数f (x )满足f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 2(4－x )， x ≤0，f (x －1)－f (x －2)， x ＞0，则f (3)的值为________．解析：∵f (3)＝f (2)－f (1)，又f (2)＝f (1)－f (0)，∴f (3)＝－f (0)，∵f (0)＝log 24＝2，∴f (3)＝－2．答案：－29．有一个有进水管和出水管的容器，每单位时间进水量是一定的，设从某时刻开始，5分钟内只进水，不出水，在随后的15分钟内既进水，又出水，得到时间x 与容器中的水量y 之间关系如图．再随后，只放水不进水，水放完为止，则这段时间内(即x ≥20)，y 与x 之间函数的函数关系是________．解析：设进水速度为a 1升/分钟，出水速度为a 2升/分钟，则由题意得⎩⎪⎨⎪⎧ 5a 1＝205a 1＋15(a 1－a 2)＝35，得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝4a 2＝3，则y ＝35－3(x －20)，得y ＝－3x ＋95，又因为水放完为止，所以时间为x ≤953，又知x ≥20，故解析式为y ＝－3x ＋95(20≤x ≤953)．答案：y ＝－3x ＋95(20≤x ≤953)10．函数()f x =．(1)若()f x 的定义域为R ，求实数a 的取值范围；(2)若()f x 的定义域为[－2，1]，求实数a 的值．解：(1)①若1－a 2＝0，即a ＝±1，(ⅰ)若a ＝1时，f (x )＝6，定义域为R ，符合题意；(ⅱ)当a ＝－1时，f (x )＝6x ＋6，定义域为[－1，＋∞)，不合题意．②若1－a 2≠0，则g (x )＝(1－a 2)x 2＋3(1－a )x ＋6为二次函数．由题意知g (x )≥0对x ∈R 恒成立，∴⎩⎪⎨⎪⎧ 1－a 2>0，Δ≤0，∴⎩⎪⎨⎪⎧ －1<a <1，(a －1)(11a ＋5)≤0， ∴－511≤a <1．由①②可得－511≤a ≤1． (2)由题意知，不等式(1－a 2)x 2＋3(1－a )x ＋6≥0的解集为[－2，1]，显然1－a 2≠0且－2，1是方程(1－a 2)x 2＋3(1－a )x ＋6＝0的两个根． ∴⎩⎪⎨⎪⎧ 1－a 2<0，－2＋1＝3(1－a )a 2－1，－2＝61－a 2，Δ＝[3(1－a )]2－24(1－a 2)>0∴⎩⎪⎨⎪⎧ a <－1或a >1，a ＝2，a ＝±2.a <－511或a >1∴a ＝2．11．已知()()()2f x f x x R +=?，并且当x ∈[－1，1]时，()21f x x =-+，求当[]()21,21x k k k Z ?+?时、()f x 的解析式．解：由f (x ＋2)＝f (x )，可推知f (x )是以2为周期的周期函数．当x ∈[2k －1，2k ＋1]时，2k －1≤x ≤2k ＋1，－1≤x －2k ≤1．∴f (x －2k )＝－(x －2k )2＋1．又f (x )＝f (x －2)＝f (x －4)＝…＝f (x －2k )，∴f (x )＝－(x －2k )2＋1，x ∈[2k －1，2k ＋1]，k ∈Z ．12．在2008年11月4日珠海航展上，中国自主研制的ARJ 21支线客机备受关注，接到了包括美国在内的多国订单．某工厂有216名工人接受了生产1000件该支线客机某零部件的总任务，已知每件零件由4个C 型装置和3个H 型装置配套组成，每个工人每小时能加工6个C 型装置或3个H 型装置．现将工人分成两组同时开始加工，每组分别加工一种装置，设加工C 型装置的工人有x 位，他们加工完C 型装置所需时间为g (x )，其余工人加工完H 型装置所需时间为h (x )．(单位：h ，时间可不为整数)(1)写出g (x )，h (x )的解析式；(2)写出这216名工人完成总任务的时间f (x )的解析式；(3)应怎样分组，才能使完成总任务的时间最少？解：(1)g (x )＝20003x (0<x <216，x ∈N *)，h (x )＝1000216－x(0<x <216，x ∈N *)． (2)f (x )＝⎩⎨⎧20003x (0<x ≤86，x ∈N *).1000216－x (87≤x <216，x ∈N *).(3)分别为86、130或87、129．第二节函数的单调性A 组1．(2009年高考福建卷改编)下列函数f (x )中，满足“对任意x 1，x 2∈(0，＋∞)，当12x x <时，都有()()12f x f x >”的是________．①f (x )＝1x②f (x )＝(x －1)2 ③f (x )＝e x ④f (x )＝ln(x ＋1) 解析：∵对任意的x 1，x 2∈(0，＋∞)，当x 1<x 2时，都有f (x 1)>f (x 2)，∴f (x )在(0，＋∞)上为减函数．答案：①2．函数f (x )(x ∈R )的图象如右图所示，则函数g (x )＝f (log a x )(0<a <1)的单调减区间是________．解析：∵0<a <1，y ＝log a x 为减函数，∴log a x ∈[0，12]时，g (x )为减函数．由0≤log a x ≤12a ≤x ≤1．答案：[a ，1](或(a ，1))3．函数y =________．解析：令x ＝4＋sin 2α，α∈[0，π2]，y ＝sin α＋3cos α＝2sin(α＋π3)，∴1≤y ≤2．答案：[1，2]4．已知函数f (x )＝|e x ＋a ex |(a ∈R )在区间[0，1]上单调递增，则实数a 的取值范围__．解析：当a <0，且e x ＋a e x ≥0时，只需满足e 0＋a e0≥0即可，则－1≤a <0；当a ＝0时，f (x )＝|e x |＝e x 符合题意；当a >0时，f (x )＝e x ＋a e x ，则满足f ′(x )＝e x －a ex ≥0在x ∈[0，1]上恒成立．只需满足a ≤(e 2x )min 成立即可，故a ≤1，综上－1≤a ≤1．答案：－1≤a ≤15．(原创题)如果对于函数f (x )定义域内任意的x ，都有f (x )≥M (M 为常数)，称M 为f (x )的下界，下界M 中的最大值叫做f (x )的下确界，下列函数中，有下确界的所有函数是________．①f (x )＝sin x ；②f (x )＝lg x ；③f (x )＝e x ；④f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ 1 (x >0)0 (x ＝0)－1 (x <－1)解析：∵sin x ≥－1，∴f (x )＝sin x 的下确界为－1，即f (x )＝sin x 是有下确界的函数；∵f (x )＝lg x 的值域为(－∞，＋∞)，∴f (x )＝lg x 没有下确界；∴f (x )＝e x 的值域为(0，＋∞)，∴f (x )＝e x 的下确界为0，即f (x )＝e x 是有下确界的函数；∵f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ 1 (x >0)0 (x ＝0)－1 (x <－1)的下确界为－1．∴f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧1 (x >0)0 (x ＝0)－1 (x <－1)是有下确界的函数．答案：①③④6．已知函数()2f x x =，()1g x x =-． (1)若存在x ∈R 使()()f x b g x <?，求实数b 的取值范围；(2)设()()()21F x f x mg x m m =-+--2，且()F x 在[0，1]上单调递增，求实数m 的取值范围．解：(1)x ∈R ，f (x )4．(2)F (x )＝x 2－mx ＋1－m 2，Δ＝m 2－4(1－m 2)＝5m 2－4，①当Δ≤0即－255≤m ≤255时，则必需 ⎩⎨⎧ m 2≤0－255≤m ≤255－255≤m ≤0． ②当Δ>0即m <－255或m >255时，设方程F (x )＝0的根为x 1，x 2(x 1<x 2)，若m 2≥1，则x 1≤0．⎩⎪⎨⎪⎧m 2≥1F (0)＝1－m 2≤0m ≥2．若m 2≤0，则x 2≤0， ⎩⎪⎨⎪⎧ m 2≤0F (0)＝1－m 2≥0－1≤m <－255．综上所述：－1≤m ≤0或m ≥2．B 组1．(2010年山东东营模拟)下列函数中，单调增区间是(－∞，0]的是________．①y ＝－1x②y ＝－(x －1) ③y ＝x 2－2 ④y ＝－|x | 解析：由函数y ＝－|x |的图象可知其增区间为(－∞，0]．答案：④2．若函数f (x )＝log 2(x 2－ax ＋3a )在区间[2，＋∞)上是增函数，则实数a 的取值范围是________．解析：令g (x )＝x 2－ax ＋3a ，由题知g (x )在[2，＋∞)上是增函数，且g (2)>0．∴⎩⎪⎨⎪⎧ a 2≤2，4－2a ＋3a >0，∴－4<a ≤4．答案：－4<a ≤4 3．若函数f (x )＝x ＋a x (a >0)在(34，＋∞)上是单调增函数，则实数a 的取值范围__．解析：∵f (x )＝x ＋a x (a >0)在(a ，＋∞)上为增函数，∴a ≤34，0<a ≤916．答案：(0，916] 4．(2009年高考陕西卷改编)定义在R 上的偶函数f (x )，对任意x 1，x 2∈[0，＋∞)(x 1≠x 2)，有f (x 2)－f (x 1)x 2－x 1<0，则下列结论正确的是________． ①f (3)<f (－2)<f (1) ②f (1)<f (－2)<f (3)③f (－2)<f (1)<f (3) ④f (3)<f (1)<f (－2)解析：由已知f (x 2)－f (x 1)x 2－x 1<0，得f (x )在x ∈[0，＋∞)上单调递减，由偶函数性质得f (2)＝f (－2)，即f (3)<f (－2)<f (1)．答案：①5．(2010年陕西西安模拟)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧a x (x <0)，(a －3)x ＋4a (x ≥0)满足对任意x 1≠x 2，都有f (x 1)－f (x 2)x 1－x 2<0成立，则a 的取值范围是________．解析：由题意知，f (x )为减函数，所以⎩⎪⎨⎪⎧ 0<a <1，a －3<0，a 0≥(a －3)×0＋4a ，解得0<a ≤14． 6．(2010年宁夏石嘴山模拟)函数f (x )的图象是如下图所示的折线段OAB ，点A 的坐标为(1，2)，点B 的坐标为(3，0)，定义函数g (x )＝f (x )·(x －1)，则函数g (x )的最大值为________．解析：g (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x (x －1) (0≤x <1)，(－x ＋3)(x －1) (1≤x ≤3)，当0≤x <1时，最大值为0；当1≤x ≤3时，在x ＝2取得最大值1．答案：17．(2010年安徽合肥模拟)已知定义域在[－1，1]上的函数y ＝f (x )的值域为[－2，0]，则函数y ＝f (cos x )的值域是________．解析：∵cos x ∈[－1，1]，函数y ＝f (x )的值域为[－2，0]，∴y ＝f (cos x )的值域为[－2，0]．答案：[－2，0]8．已知f (x )＝log 3x ＋2，x ∈[1，9]，则函数y ＝[f (x )]2＋f (x 2)的最大值是________．解析：∵函数y ＝[f (x )]2＋f (x 2)的定义域为⎩⎪⎨⎪⎧1≤x ≤9，1≤x 2≤9，∴x ∈[1，3]，令log 3x ＝t ，t ∈[0，1]， ∴y ＝(t ＋2)2＋2t ＋2＝(t ＋3)2－3，∴当t ＝1时，y max ＝13．答案：139．若函数f (x )＝log a (2x 2＋x )(a >0，a ≠1)在区间(0，12)内恒有f (x )>0，则f (x )的单调递增区间为__________．解析：令μ＝2x 2＋x ，当x ∈(0，12)时，μ∈(0，1)，而此时f (x )>0恒成立，∴0<a <1． μ＝2(x ＋14)2－18，则减区间为(－∞，－14)．而必然有2x 2＋x >0，即x >0或x <－12．∴f (x )的单调递增区间为(－∞，－12)．答案：(－∞，－12) 10．试讨论函数y ＝2(log 12x )2－2log 12x ＋1的单调性．解：易知函数的定义域为(0，＋∞)．如果令u ＝g (x )＝log 12x ，y ＝f (u )＝2u 2－2u ＋1，那么原函数y ＝f [g (x )]是由g (x )与f (u )复合而成的复合函数，而u ＝log 12x 在x ∈(0，＋∞)内是减函数，y ＝2u 2－2u ＋1＝2(u －12)2＋12在u ∈(－∞，12)上是减函数，在u ∈(12，＋∞)上是增函数．又u ≤12，即log 12x ≤12，得x ≥22；u >12，得0<x <22．由此，从下表讨论复合函数y ＝f [g (x )]的单调性：故函数y ＝2(log 12x )2－2log 12x ＋1在区间(0，22)上单调递减，在区间(22，＋∞)上单调递增． 11．(2010年广西河池模拟)已知定义在区间(0，＋∞)上的函数f (x )满足f (x 1x 2)＝f (x 1)－f (x 2)，且当x >1时，f (x )<0．(1)求f (1)的值；(2)判断f (x )的单调性；(3)若f (3)＝－1，解不等式f (|x |)<－2．解：(1)令x 1＝x 2>0，代入得f (1)＝f (x 1)－f (x 1)＝0，故f (1)＝0．(2)任取x 1，x 2∈(0，＋∞)，且x 1>x 2，则x 1x 2>1，由于当x >1时，f (x )<0，所以f (x 1x 2)<0，即f (x 1)－f (x 2)<0，因此f (x 1)<f (x 2)，所以函数f (x )在区间(0，＋∞)上是单调递减函数．(3)由f (x 1x 2)＝f (x 1)－f (x 2)得f (93)＝f (9)－f (3)，而f (3)＝－1，所以f (9)＝－2．由于函数f (x )在区间(0，＋∞)上是单调递减函数，由f (|x |)<f (9)，得|x |>9，∴x >9或x <－9．因此不等式的解集为{x |x >9或x <－9}．12．已知：f (x )＝log 3x 2＋ax ＋b x，x ∈(0，＋∞)，是否存在实数a ，b ，使f (x )同时满足下列三个条件：(1)在(0，1]上是减函数，(2)在[1，＋∞)上是增函数，(3)f (x )的最小值是1．若存在，求出a 、b ；若不存在，说明理由．解：∵f (x )在(0，1]上是减函数，[1，＋∞)上是增函数，∴x ＝1时，f (x )最小，log 31＋a ＋b 1＝1．即a ＋b ＝2．设0＜x 1＜x 2≤1，则f (x 1)＞f (x 2)．即x 12＋ax 1＋b x 1＞x 22＋ax 2＋b x 2恒成立．由此得(x 1－x 2)(x 1x 2－b )x 1x 2＞0恒成立．又∵x 1－x 2＜0，x 1x 2＞0，∴x 1x 2－b ＜0恒成立，∴b ≥1．设1≤x 3＜x 4，则f (x 3)＜f (x 4)恒成立．∴(x 3－x 4)(x 3x 4－b )x 3x 4＜0恒成立． ∵x 3－x 4＜0，x 3x 4＞0，∴x 3x 4＞b 恒成立．∴b ≤1．由b ≥1且b ≤1可知b ＝1，∴a ＝1．∴存在a 、b ，使f (x )同时满足三个条件．第三节函数的性质A 组1．设偶函数f (x )＝log a |x －b |在(－∞，0)上单调递增，则f (a ＋1)与f (b ＋2)的大小关系为________．解析：由f (x )为偶函数，知b ＝0，∴f (x )＝log a |x |，又f (x )在(－∞，0)上单调递增，所以0<a <1，1<a ＋1<2，则f (x )在(0，＋∞)上单调递减，所以f (a ＋1)>f (b ＋2)．答案：f (a ＋1)>f (b ＋2)2．(2010年广东三校模拟)定义在R 上的函数f (x )既是奇函数又是以2为周期的周期函数，则f (1)＋f (4)＋f (7)等于________．解析：f (x )为奇函数，且x ∈R ，所以f (0)＝0，由周期为2可知，f (4)＝0，f (7)＝f (1)，又由f (x ＋2)＝f (x )，令x ＝－1得f (1)＝f (－1)＝－f (1)⇒f (1)＝0，所以f (1)＋f (4)＋f (7)＝0．答案：03．(2009年高考山东卷改编)已知定义在R 上的奇函数f (x )满足f (x －4)＝－f (x )，且在区间[0，2]上是增函数，则f (－25)、f (11)、f (80)的大小关系为________．解析：因为f (x )满足f (x －4)＝－f (x )，所以f (x －8)＝f (x )，所以函数是以8为周期的周期函数，则f (－25)＝f (－1)，f (80)＝f (0)，f (11)＝f (3)，又因为f (x )在R 上是奇函数，f (0)＝0，得f (80)＝f (0)＝0，f (－25)＝f (－1)＝－f (1)，而由f (x －4)＝－f (x )得f (11)＝f (3)＝－f (－3)＝－f (1－4)＝f (1)，又因为f (x )在区间[0，2]上是增函数，所以f (1)>f (0)＝0，所以－f (1)<0，即f (－25)<f (80)<f (11)．答案：f (－25)<f (80)<f (11)4．(2009年高考辽宁卷改编)已知偶函数f (x )在区间[0，＋∞)上单调增加，则满足f (2x －1)<f (13)的x 取值范围是________．解析：由于f (x )是偶函数，故f (x )＝f (|x |)，由f (|2x －1|)<f (13)，再根据f (x )的单调性得|2x －1|<13，解得13<x <23．答案：(13，23) 5．(原创题)已知定义在R 上的函数f (x )是偶函数，对x ∈R ，f (2＋x )＝f (2－x )，当f (－3)＝－2时，f (2011)的值为________．解析：因为定义在R 上的函数f (x )是偶函数，所以f (2＋x )＝f (2－x )＝f (x －2)，故函数f (x )是以4为周期的函数，所以f (2011)＝f (3＋502×4)＝f (3)＝f (－3)＝－2．答案：－26．已知函数y ＝f (x )是定义在R 上的周期函数，周期T ＝5，函数y ＝f (x )(－1≤x ≤1)是奇函数，又知y ＝f (x )在[0，1]上是一次函数，在[1，4]上是二次函数，且在x ＝2时函数取得最小值－5．(1)证明：f (1)＋f (4)＝0；(2)求y ＝f (x )，x ∈[1，4]的解析式；(3)求y ＝f (x )在[4，9]上的解析式．解：(1)证明：∵f (x )是以5为周期的周期函数，∴f (4)＝f (4－5)＝f (－1)，又∵y ＝f (x )(－1≤x ≤1)是奇函数，∴f (1)＝－f (－1)＝－f (4)，∴f (1)＋f (4)＝0．(2)当x ∈[1，4]时，由题意可设f (x )＝a (x －2)2－5(a >0)，由f (1)＋f (4)＝0，得a (1－2)2－5＋a (4－2)2－5＝0，∴a ＝2，∴f (x )＝2(x －2)2－5(1≤x ≤4)．(3)∵y ＝f (x )(－1≤x ≤1)是奇函数，∴f (0)＝0，又知y ＝f (x )在[0，1]上是一次函数，∴可设f (x )＝kx (0≤x ≤1)，而f (1)＝2(1－2)2－5＝－3，∴k ＝－3，∴当0≤x ≤1时，f (x )＝－3x ，从而当－1≤x <0时，f (x )＝－f (－x )＝－3x ，故－1≤x ≤1时，f (x )＝－3x ．∴当4≤x ≤6时，有－1≤x －5≤1，∴f (x )＝f (x －5)＝－3(x －5)＝－3x ＋15．当6<x ≤9时，1<x －5≤4，∴f (x )＝f (x －5)＝2[(x －5)－2]2－5＝2(x －7)2－5．∴f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－3x ＋15， 4≤x ≤62(x －7)2－5， 6<x ≤9．B 组1．(2009年高考全国卷Ⅰ改编)函数f (x )的定义域为R ，若f (x ＋1)与f (x －1)都是奇函数，则下列结论正确的是________．①f (x )是偶函数 ②f (x )是奇函数 ③f (x )＝f (x ＋2)④f (x ＋3)是奇函数解析：∵f (x ＋1)与f (x －1)都是奇函数，∴f (－x ＋1)＝－f (x ＋1)，f (－x －1)＝－f (x －1)，∴函数f (x )关于点(1，0)，及点(－1，0)对称，函数f (x )是周期T ＝2[1－(－1)]＝4的周期函数．∴f (－x －1＋4)＝－f (x －1＋4)，f (－x ＋3)＝－f (x ＋3)，即f (x ＋3)是奇函数．答案：④2．已知定义在R 上的函数f (x )满足f (x )＝－f (x ＋32)，且f (－2)＝f (－1)＝－1，f (0)＝2，f (1)＋f (2)＋…＋f (2009)＋f (2010)＝________．解析：f (x )＝－f (x ＋32)⇒f (x ＋3)＝f (x )，即周期为3，由f (－2)＝f (－1)＝－1，f (0)＝2，所以f (1)＝－1，f (2)＝－1，f (3)＝2，所以f (1)＋f (2)＋…＋f (2009)＋f (2010)＝f (2008)＋f (2009)＋f (2010)＝f (1)＋f (2)＋f (3)＝0．答案：03．(2010年浙江台州模拟)已知f (x )是定义在R 上的奇函数，且f (1)＝1，若将f (x )的图象向右平移一个单位后，得到一个偶函数的图象，则f (1)＋f (2)＋f (3)＋…＋f (2010)＝________．解析：f (x )是定义在R 上的奇函数，所以f (－x )＝－f (x )，将f (x )的图象向右平移一个单位后，得到一个偶函数的图象，则满足f (－2＋x )＝－f (x )，即f (x ＋2)＝－f (x )，所以周期为4，f (1)＝1，f (2)＝f (0)＝0，f (3)＝－f (1)＝－1，f (4)＝0，所以f (1)＋f (2)＋f (3)＋f (4)＝0，则f (1)＋f (2)＋f (3)＋…＋f (2010)＝f (4)×502＋f (2)＝0．答案：04．(2010年湖南郴州质检)已知函数f (x )是R 上的偶函数，且在(0，＋∞)上有f ′(x )>0，若f (－1)＝0，那么关于x 的不等式xf (x )<0的解集是________．解析：在(0，＋∞)上有f ′(x )>0，则在(0，＋∞)上f (x )是增函数，在(－∞，0)上是减函数，又f (x )在R 上是偶函数，且f (－1)＝0，∴f (1)＝0．从而可知x ∈(－∞，－1)时，f (x )>0；x ∈(－1，0)时，f (x )<0；x ∈(0，1)时，f (x )<0；x ∈(1，＋∞)时，f (x )>0．∴不等式的解集为(－∞，－1)∪(0，1)答案：(－∞，－1)∪(0，1)．5．(2009年高考江西卷改编)已知函数f (x )是(－∞，＋∞)上的偶函数，若对于x ≥0，都有f (x ＋2)＝f (x )，且当x ∈[0，2)时，f (x )＝log 2(x ＋1)，则f (－2009)＋f (2010)的值为________．解析：∵f (x )是偶函数，∴f (－2009)＝f (2009)．∵f (x )在x ≥0时f (x ＋2)＝f (x )，∴f (x )周期为2．∴f (－2009)＋f (2010)＝f (2009)＋f (2010)＝f (1)＋f (0)＝log 22＋log 21＝0＋1＝1．答案：16．(2010年江苏苏州模拟)已知函数f (x )是偶函数，并且对于定义域内任意的x ，满足f (x ＋2)＝－1f (x )，若当2<x <3时，f (x )＝x ，则f (2009．5)＝________．解析：由f (x ＋2)＝－1f (x )，可得f (x ＋4)＝f (x )，f (2009．5)＝f (502×4＋1．5)＝f (1．5)＝f (－2．5)∵f (x )是偶函数，∴f (2009．5)＝f (2．5)＝52．答案：527．(2010年安徽黄山质检)定义在R 上的函数f (x )在(－∞，a ]上是增函数，函数y ＝f (x ＋a )是偶函数，当x 1<a ，x 2>a ，且|x 1－a |<|x 2－a |时，则f (2a －x 1)与f (x 2)的大小关系为________．解析：∵y ＝f (x ＋a )为偶函数，∴y ＝f (x ＋a )的图象关于y 轴对称，∴y ＝f (x )的图象关于x ＝a 对称．又∵f (x )在(－∞，a ]上是增函数，∴f (x )在[a ，＋∞)上是减函数．当x 1<a ，x 2>a ，且|x 1－a |<|x 2－a |时，有a －x 1<x 2－a ，即a <2a －x 1<x 2，∴f (2a －x 1)>f (x 2)．答案：f (2a －x 1)>f (x 2)8．已知函数f (x )为R 上的奇函数，当x ≥0时，f (x )＝x (x ＋1)．若f (a )＝－2，则实数a ＝________．解析：当x ≥0时，f (x )＝x (x ＋1)>0，由f (x )为奇函数知x <0时，f (x )<0，∴a <0，f (－a )＝2，∴－a (－a ＋1)＝2，∴a ＝2(舍)或a ＝－1．答案：－19．(2009年高考山东卷)已知定义在R 上的奇函数f (x )满足f (x －4)＝－f (x )，且在区间[0，2]上是增函数．若方程f (x )＝m (m ＞0)在区间[－8，8]上有四个不同的根x 1，x 2，x 3，x 4，则x 1＋x 2＋x 3＋x 4＝________．解析：因为定义在R 上的奇函数，满足f (x －4)＝－f (x )，所以f (4－x )＝f (x )，因此，函数图象关于直线x ＝2对称且f (0)＝0．由f (x －4)＝－f (x )知f (x －8)＝f (x )，所以函数是以8为周期的周期函数．又因为f (x )在区间[0，2]上是增函数，所以f (x )在区间[－2，0]上也是增函数，如图所示，那么方程f (x )＝m (m ＞0)在区间[－8，8]上有四个不同的根x 1，x 2，x 3，x 4，不妨设x 1＜x 2＜x 3＜x 4．由对称性知x 1＋x 2＝－12，x 3＋x 4＝4，所以x 1＋x 2＋x 3＋x 4＝－12＋4＝－8．答案：-810．已知f (x )是R 上的奇函数，且当x ∈(－∞，0)时，f (x )＝－x lg(2－x )，求f (x )的解析式．解：∵f (x )是奇函数，可得f (0)＝－f (0)，∴f (0)＝0．当x >0时，－x <0，由已知f (－x )＝x lg(2＋x )，∴－f (x )＝x lg(2＋x )，即f (x )＝－x lg(2＋x ) (x >0)．∴f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x lg(2－x ) (x <0)，－x lg(2＋x ) (x ≥0).即f (x )＝－x lg(2＋|x |)(x ∈R )． 11．已知函数f (x )，当x ，y ∈R 时，恒有f (x ＋y )＝f (x )＋f (y )．(1)求证：f (x )是奇函数；(2)如果x ∈R ＋，f (x )<0，并且f (1)＝－12，试求f (x )在区间[－2，6]上的最值．解：(1)证明：∴函数定义域为R ，其定义域关于原点对称．∵f (x ＋y )＝f (x )＋f (y )，令y ＝－x ，∴f (0)＝f (x )＋f (－x )．令x ＝y ＝0，∴f (0)＝f (0)＋f (0)，得f (0)＝0．∴f (x )＋f (－x )＝0，得f (－x )＝－f (x )，∴f (x )为奇函数．(2)法一：设x ，y ∈R ＋，∵f (x ＋y )＝f (x )＋f (y )，∴f (x ＋y )－f (x )＝f (y )．∵x ∈R ＋，f (x )<0，∴f (x ＋y )－f (x )<0，∴f (x ＋y )<f (x )．∵x ＋y >x ，∴f (x )在(0，＋∞)上是减函数．又∵f (x )为奇函数，f (0)＝0，∴f (x )在(－∞，＋∞)上是减函数．∴f (－2)为最大值，f (6)为最小值．∵f (1)＝－12，∴f (－2)＝－f (2)＝－2f (1)＝1，f (6)＝2f (3)＝2[f (1)＋f (2)]＝－3．∴所求f (x )在区间[－2，6]上的最大值为1，最小值为－3．法二：设x 1<x 2，且x 1，x 2∈R ．则f (x 2－x 1)＝f [x 2＋(－x 1)]＝f (x 2)＋f (－x 1)＝f (x 2)－f (x 1)．∵x 2－x 1>0，∴f (x 2－x 1)<0．∴f (x 2)－f (x 1)<0．即f (x )在R 上单调递减．∴f (－2)为最大值，f (6)为最小值．∵f (1)＝－12，∴f (－2)＝－f (2)＝－2f (1)＝1，f (6)＝2f (3)＝2[f (1)＋f (2)]＝－3．∴所求f (x )在区间[－2，6]上的最大值为1，最小值为－3．12．已知函数f (x )的定义域为R ，且满足f (x ＋2)＝－f (x )．(1)求证：f (x )是周期函数；(2)若f (x )为奇函数，且当0≤x ≤1时，f (x )＝12x ，求使f (x )＝－12在[0，2010]上的所有x 的个数．解：(1)证明：∵f (x ＋2)＝－f (x )，∴f (x ＋4)＝－f (x ＋2)＝－[－f (x )]＝f (x )，∴f (x )是以4为周期的周期函数．(2)当0≤x ≤1时，f (x )＝12x ，设－1≤x ≤0，则0≤－x ≤1，∴f (－x )＝12(－x )＝－12x ．∵f (x )是奇函数，∴f (－x )＝－f (x )，∴－f (x )＝－12x ，即f (x )＝12x ．故f (x )＝12x (－1≤x ≤1) 又设1<x <3，则－1<x －2<1，∴f (x －2)＝12(x －2)，又∵f (x －2)＝－f (2－x )＝－f [(－x )＋2]＝－[－f (－x )]＝－f (x )，∴－f (x )＝12(x －2)，∴f (x )＝－12(x －2)(1<x <3)．∴f (x )＝⎩⎨⎧12x (－1≤x ≤1)－12(x －2) (1<x <3) 由f (x )＝－12，解得x ＝－1．∵f (x )是以4为周期的周期函数．故f (x )＝－12的所有x ＝4n －1(n ∈Z )．令0≤4n －1≤2010，则14≤n ≤50234，又∵n ∈Z ，∴1≤n ≤502(n ∈Z )，∴在[0，2010]上共有502个x 使f (x )＝－12．第三章指数函数和对数函数第一节指数函数A 组1．(2010年黑龙江哈尔滨模拟)若a >1，b <0，且a b ＋a －b ＝22，则a b －a －b 的值等于________．解析：∵a >1，b <0，∴0<a b <1，a －b >1．又∵(a b ＋a －b )2＝a 2b ＋a－2b ＋2＝8，∴a 2b ＋a －2b ＝6，∴(a b －a －b )2＝a 2b ＋a －2b －2＝4，∴a b－a －b ＝－2．答案：－22．已知f (x )＝a x ＋b 的图象如图所示，则f (3)＝________．解析：由图象知f (0)＝1＋b ＝－2，∴b ＝－3．又f (2)＝a 2－3＝0，∴a ＝3，则f (3)＝(3)3－3＝33－3．答案：33－33．函数y ＝(12)2x －x 2的值域是________．解析：∵2x －x 2＝－(x －1)2＋1≤1，∴(12)2x －x 2≥12．答案：[12，＋∞) 4．(2009年高考山东卷)若函数f (x )＝a x －x －a (a >0，且a ≠1)有两个零点，则实数a 的取值范围是________．解析：函数f (x )的零点的个数就是函数y ＝a x 与函数y ＝x ＋a 交点的个数，由函数的图象可知a >1时两函数图象有两个交点，0<a <1时两函数图象有惟一交点，故a >1．答案：(1，+∞)5．(原创题)若函数f (x )＝a x－1(a >0，a ≠1)的定义域和值域都是[0，2]，则实数a 等于________．解析：由题意知⎩⎪⎨⎪⎧ 0<a <1a 2－1＝0a 0－1＝2无解或⎩⎪⎨⎪⎧ a >1a 0－1＝0a 2－1＝2⇒a ＝3．答案： 3 6．已知定义域为R 的函数f (x )＝－2x ＋b 2x ＋1＋a是奇函数．(1)求a ，b 的值； (2)若对任意的t ∈R ，不等式f (t 2－2t )＋f (2t 2－k )<0恒成立，求k 的取值范围．解：(1)因为f (x )是R 上的奇函数，所以f (0)＝0，即－1＋b 2＋a＝0，解得b ＝1．从而有f (x )＝－2x ＋12x ＋1＋a ．又由f (1)＝－f (－1)知－2＋14＋a ＝－－12＋11＋a，解得a ＝2． (2)法一：由(1)知f (x )＝－2x ＋12x ＋1＋2＝－12＋12x ＋1，由上式易知f (x )在R 上为减函数，又因f (x )是奇函数，从而不等式f (t 2－2t )＋f (2t 2－k )<0⇔f (t 2－2t )<－f (2t 2－k )＝f (－2t 2＋k )．因f (x )是R 上的减函数，由上式推得t 2－2t >－2t 2＋k ．即对一切t ∈R 有3t 2－2t －k >0，从而Δ＝4＋12k <0，解得k <－13．法二：由(1)知f (x )＝－2x ＋12x ＋1＋2，又由题设条件得－2t 2－2t ＋12t 2－2t ＋1＋2＋－22t 2－k ＋122t 2－k ＋1＋2<0 即(22t 2－k ＋1＋2)(－2t 2－2t ＋1)＋(2t 2－2t ＋1＋2)(－22t 2－k ＋1)<0整理得23t 2－2t －k >1，因底数2>1，故3t 2－2t －k >0上式对一切t ∈R 均成立，从而判别式Δ＝4＋12k <0，解得k <－13．B 组1．如果函数f (x )＝a x ＋b －1(a >0且a ≠1)的图象经过第一、二、四象限，不经过第三象限，那么一定有________．①0<a <1且b >0 ②0<a <1且01且b <0 ④a >1且b >0解析：当0<a <1时，把指数函数f (x )＝a x 的图象向下平移，观察可知－11⇒0<a ≤1．答案：(0，1] 3．已知f (x )，g (x )都是定义在R 上的函数，且满足以下条件①f (x )＝a x ·g (x )(a >0，a ≠1)；②g (x )≠0；若f (1)g (1)＋f (－1)g (－1)＝52，则a 等于________．解析：由f (x )＝a x ·g (x )得f (x )g (x )＝a x ，所以f (1)g (1)＋f (－1)g (－1)＝52⇒a ＋a －1＝52，解得a ＝2或12．答案：2或124．(2010年北京朝阳模拟)已知函数f (x )＝a x (a >0且a ≠1)，其反函数为f －1(x )．若f (2)＝9，则f －1(13)＋f (1)的值是________．解析：因为f (2)＝a 2＝9，且a >0，∴a ＝3，则f (x )＝3x ＝13，∴x ＝－1，故f －1(13)＝－1．又f (1)＝3，所以f －1(13)＋f (1)＝2．答案：2 5．(2010年山东青岛质检)已知f (x )＝(13)x ，若f (x )的图象关于直线x ＝1对称的图象对应的函数为g (x )，则g (x )的表达式为________．解析：设y ＝g (x )上任意一点P (x ，y )，P (x ，y )关于x ＝1的对称点P ′(2－x ，y )在f (x )＝(13)x 上，∴y ＝(13)2－x ＝3x －2．答案：y ＝3x －2(x ∈R ) 6．(2009年高考山东卷改编)函数y ＝e x ＋e －xe x －e－x 的图象大致为________．解析：∵f (－x )＝e －x ＋e x e －x －e x ＝－e x ＋e －xe x －e－x ＝－f (x )，∴f (x )为奇函数，排除④．又∵y ＝e x ＋e －x e x －e －x ＝e 2x ＋1e 2x －1＝e 2x －1＋2e 2x －1＝1＋2e 2x －1在(－∞，0)、(0，＋∞)上都是减函数，排除②、③．答案：①7．(2009年高考辽宁卷改编)已知函数f (x )满足：当x ≥4时，f (x )＝(12)x ；当x <4时，f (x )＝f (x ＋1)，则f (2＋log 23)＝________．解析：∵2<3<4＝22，∴1<log 23<2．∴3<2＋log 23<4，∴f (2＋log 23)＝f (3＋log 23)＝f (log 224)＝(12)log 224＝2－log 224＝2log 2124＝124．答案：1248．(2009年高考湖南卷改编)设函数y ＝f (x )在(－∞，＋∞)内有定义，对于给定的正数K ，定义函数f K (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧f (x )，f (x )≤K ，K ， f (x )>K .取函数f (x )＝2－|x |，当K ＝12时，函数f K (x )的单调递增区间为________．。

高考文科数学第一轮复习经典习题集(附答案解析)

高中数学（文科）高考一轮复习习题集（含答案）目录第一章集合 (1)第一节集合的含义、表示及基本关系 (1)第二节集合的基本运算 (3)第二章函数 (5)第一节对函数的进一步认识 (5)第二节函数的单调性 (9)第三节函数的性质 (13)第三章指数函数和对数函数 (16)第一节指数函数 (16)第二节对数函数 (20)第三节幂函数与二次函数的性质 (24)第四节函数的图象特征 (28)第四章函数的应用 (32)第五章三角函数 (33)第一节角的概念的推广及弧度制 (33)第二节正弦函数和余弦函数的定义及诱导公式 (39)第三节正弦函数与余弦函数的图象及性质 (42)第四节函数()sin()f x A xw j=+的图象 (45)第六章三角恒等变换 (50)第一节同角三角函数的基本关系 (50)第二节两角和与差及二倍角的三角函数 (53)第七章解三角形 (56)第一节正弦定理与余弦定理 (56)第二节正弦定理、余弦定理的应用 (59)第八章数列 (60)第九章平面向量 (62)第十章算法 (65)第一节程序框图 (65)第二节程序语句 (69)第十一章概率 (73)第一节古典概型 (73)第二节概率的应用 (75)第三节几何概型 (79)第十二章导数 (83)第十三章不等式 (85)第十四章立体几何 (88)第一节简单几何体 (88)第二节空间图形的基本关系与公理 (92)第三节平行关系 (96)第四节垂直关系 (100)第五节简单几何体的面积与体积 (104)第十五章解析几何 (108)第一节直线的倾斜角、斜率与方程 (108)第二节点与直线、直线与直线的位置关系 (111)第三节圆的标准方程与一般方程 (114)第四节直线与圆、圆与圆的位置关系 (117)第五节空间直角坐标系 (121)第十六章圆锥曲线 (123)第一章集合第一节集合的含义、表示及基本关系A 组1．已知A ＝{1，2}，B ＝{}|x x A Î，则集合A 与B 的关系为________．解析：由集合B ＝{}|x x A Î知，B ＝{1，2}．答案：A ＝B2．若{}2,|a a R x x ＮÆØ，则实数a 的取值范围是________．解析：由题意知，2x a £有解，故0a ³．答案：0a ³3．已知集合A ＝{}2|21,y y x x x R =--?，集合B ＝{}|28x x-＃，则集合A 与B 的关系是________．解析：y ＝x 2－2x －1＝(x －1)2－2≥－2，∴A ＝{y|y ≥－2}，∴B A ．答案：B A4．(2009年高考广东卷改编)已知全集U ＝R ，则正确表示集合M ＝{－1，0，1}和N ＝{}2|0x x x +=关系的韦恩(Venn)图是________．解析：由N={}2|0x x x +=，得N ={-1，0}，则N M ．答案：②5．(2010年苏、锡、常、镇四市调查)已知集合A ＝{}|5x x >，集合B ＝{}|x x a >，若命题“x ∈A ”是命题“x ∈B ”的充分不必要条件，则实数a 的取值范围是________．解析：命题“x ∈A ”是命题“x ∈B ” 的充分不必要条件，∴A B ，∴a <5．答案：a <56．(原创题)已知m ∈A ，n ∈B ，且集合A ＝{x |x ＝2a ，a ∈Z }，B ＝{x |x ＝2a ＋1，a ∈Z }，又C ＝{x |x ＝4a ＋1，a ∈Z }，判断m ＋n 属于哪一个集合？解：∵m ∈A ，∴设m ＝2a 1，a 1∈Z ，又∵n ∈B ，∴设n ＝2a 2＋1，a 2∈Z ，∴m ＋n ＝2(a 1＋a 2)＋1，而a 1＋a 2∈Z ，∴m ＋n ∈B ．B 组1．设a ，b 都是非零实数，y ＝a |a |＋b |b |＋ab |ab |可能取的值组成的集合是________．解析：分四种情况：(1)a >0且b >0；(2)a >0且b <0；(3)a <0且b >0；(4)a <0且b <0，讨论得y ＝3或y ＝－1．答案：{3，－1}2．已知集合A ＝{－1，3，2m －1}，集合B ＝{3，m 2}．若B ⊆A ，则实数m ＝________．解析：∵B ⊆A ，显然m 2≠－1且m 2≠3，故m 2＝2m －1，即(m －1)2＝0，∴m ＝1．答案：13．设P ，Q 为两个非空实数集合，定义集合P ＋Q ＝{a ＋b |a ∈P ，b ∈Q }，若P ＝{0，2，5}，Q ＝{1，2，6}，则P ＋Q 中元素的个数是________个．解析：依次分别取a ＝0，2，5；b ＝1，2，6，并分别求和，注意到集合元素的互异性，∴P ＋Q ＝{1，2，6，3，4，8，7，11}．答案：84．已知集合M ＝{x |x 2＝1}，集合N ＝{x |ax ＝1}，若N M ，那么a 的值是________．解析：M ＝{x |x ＝1或x ＝－1}，N M ，所以N ＝∅时，a ＝0；当a ≠0时，x ＝1a＝1或－1，∴a ＝1或－1．答案：0，1，－15．满足{1}A ⊆{1，2，3}的集合A 的个数是________个．解析：A 中一定有元素1，所以A 有{1，2}，{1，3}，{1，2，3}．答案：36．已知集合A ＝{x |x ＝a ＋16，a ∈Z }，B ＝{x |x ＝b 2－13，b ∈Z }，C ＝{x |x ＝c 2＋16，c ∈Z }，则A 、B 、C 之间的关系是________．解析：用列举法寻找规律．答案：A B ＝C7．集合A ＝{x ||x |≤4，x ∈R }，B ＝{x |x <a }，则“A ⊆B ”是“a >5”的________．解析：结合数轴若A ⊆B ⇔a ≥4，故“A ⊆B ”是“a >5”的必要但不充分条件．答案：必要不充分条件8．(2010年江苏启东模拟)设集合M ＝{m |m ＝2n ，n ∈N ，且m <500}，则M 中所有元素的和为________．解析：∵2n <500，∴n ＝0，1，2，3，4，5，6，7，8．∴M 中所有元素的和S ＝1＋2＋22＋…＋28＝511．答案：5119．(2009年高考北京卷)设A 是整数集的一个非空子集，对于k ∈A ，如果k －1∉A ，且k ＋1∉A ，那么称k 是A 的一个“孤立元”．给定S ＝{1，2，3，4，5，6，7，8}，由S 的3个元素构成的所有集合中，不含“孤立元”的集合共有________个．解析：依题可知，由S 的3个元素构成的所有集合中，不含“孤立元”，这三个元素一定是相连的三个数．故这样的集合共有6个．答案：610．已知A ＝{x ，xy ，lg(xy )}，B ＝{0，|x |，y }，且A ＝B ，试求x ，y 的值．解：由lg(xy )知，xy >0，故x ≠0，xy ≠0，于是由A ＝B 得lg(xy )＝0，xy ＝1．∴A ＝{x ，1，0}，B ＝{0，|x |，1x}．于是必有|x |＝1，1x＝x ≠1，故x ＝－1，从而y ＝－1． 11．已知集合A ＝{x |x 2－3x －10≤0}，(1)若B ⊆A ，B ＝{x |m ＋1≤x ≤2m －1}，求实数m 的取值范围；(2)若A ⊆B ，B ＝{x |m －6≤x ≤2m －1}，求实数m 的取值范围；(3)若A ＝B ，B ＝{x |m －6≤x ≤2m －1}，求实数m 的取值范围．解：由A ＝{x |x 2－3x －10≤0}，得A ＝{x |－2≤x ≤5}，(1)∵B ⊆A ，∴①若B ＝∅，则m ＋1>2m －1，即m <2，此时满足B ⊆A ．②若B ≠∅，则⎩⎪⎨⎪⎧ m ＋1≤2m －1，－2≤m ＋1，2m －1≤5.解得2≤m ≤3．由①②得，m 的取值范围是(－∞，3]．(2)若A ⊆B ，则依题意应有⎩⎪⎨⎪⎧ 2m －1>m －6，m －6≤－2，2m －1≥5.解得⎩⎪⎨⎪⎧ m >－5，m ≤4，m ≥3.故3≤m ≤4，∴m 的取值范围是[3，4]．(3)若A ＝B ，则必有⎩⎪⎨⎪⎧m －6＝－2，2m －1＝5，解得m ∈∅．，即不存在m 值使得A ＝B ． 12．已知集合A ＝{x |x 2－3x ＋2≤0}，B ＝{x |x 2－(a ＋1)x ＋a ≤0}．(1)若A 是B 的真子集，求a 的取值范围；(2)若B 是A 的子集，求a 的取值范围；(3)若A ＝B ，求a 的取值范围．解：由x 2－3x ＋2≤0，即(x －1)(x －2)≤0，得1≤x ≤2，故A ＝{x |1≤x ≤2}，而集合B ＝{x |(x －1)(x －a )≤0}，(1)若A 是B 的真子集，即A B ，则此时B ＝{x |1≤x ≤ a }，故a >2．(2)若B 是A 的子集，即B ⊆A ，由数轴可知1≤a ≤2．(3)若A =B ，则必有a =2第二节集合的基本运算A 组1．(2009年高考浙江卷改编)设U ＝R ，A ＝{}|0x x >，B ＝{}|1x x >，则A ∩∁U B ＝____．解析：∁U B ＝{x |x ≤1}，∴A ∩∁U B ＝{x |0<x ≤1}．答案：{x |0<x ≤1}2．(2009年高考全国卷Ⅰ改编)设集合A ＝{4，5，7，9}，B ＝{3，4，7，8，9}，全集U ＝A ∪B ，则集合∁U (A ∩B )中的元素共有________个．解析：A ∩B ＝{4，7，9}，A ∪B ＝{3，4，5，7，8，9}，∁U (A ∩B )＝{3，5，8}．答案：33．已知集合M ＝{0，1，2}，N ＝{}|2,x x a a M =?，则集合M ∩N ＝________．解析：由题意知，N ＝{0，2，4}，故M ∩N ＝{0，2}．答案：{0，2}4．(原创题)设A ，B 是非空集合，定义A ⓐB ＝{x |x ∈A ∪B 且x ∉A ∩B }，已知A ＝{x |0≤x ≤2}，B ＝{y |y ≥0}，则A ⓐB ＝________．解析：A ∪B ＝[0，＋∞)，A ∩B ＝[0，2]，所以A ⓐB ＝(2，＋∞)．答案：(2，＋∞)5．(2009年高考湖南卷)某班共30人，其中15人喜爱篮球运动，10人喜爱乒乓球运动，8人对这两项运动都不喜爱，则喜爱篮球运动但不喜爱乒乓球运动的人数为________．解析：设两项运动都喜欢的人数为x ，画出韦恩图得到方程15-x +x +10-x +8=30x =3，∴喜爱篮球运动但不喜爱乒乓球运动的人数为15-3=12(人)．答案：126．(2010年浙江嘉兴质检)已知集合A ＝{x |x >1}，集合B ＝{x |m ≤x ≤m ＋3}．(1)当m ＝－1时，求A ∩B ，A ∪B ；(2)若B ⊆A ，求m 的取值范围．解：(1)当1m =-时，B ＝{x |－1≤x ≤2}，∴A ∩B ＝{x |1<x ≤2}，A ∪B ＝{x |x ≥－1}．(2)若B ⊆A ，则1m >，即m 的取值范围为(1，＋∞)B 组1．若集合M ＝{x ∈R |－3<x <1}，N ＝{x ∈Z |－1≤x ≤2}，则M ∩N ＝________．解析：因为集合N ＝{－1，0，1，2}，所以M ∩N ＝{－1，0}．答案：{－1，0}2．已知全集U ＝{－1，0，1，2}，集合A ＝{－1，2}，B ＝{0，2}，则(∁U A )∩B ＝________．解析：∁U A ＝{0，1}，故(∁U A )∩B ＝{0}．答案：{0}3．(2010年济南市高三模拟)若全集U ＝R ，集合M ＝{x |－2≤x ≤2}，N ＝{x |x 2－3x ≤0}，则M ∩(∁U N )＝________．解析：根据已知得M ∩(∁U N )＝{x |－2≤x ≤2}∩{x |x <0或x >3}＝{x |－2≤x <0}．答案：{x |－2≤x <0}4．集合A ＝{3，log 2a }，B ＝{a ，b }，若A ∩B ＝{2}，则A ∪B ＝________．解析：由A ∩B ＝{2}得log 2a ＝2，∴a ＝4，从而b ＝2，∴A ∪B ＝{2，3，4}．答案：{2，3，4}5．(2009年高考江西卷改编)已知全集U ＝A ∪B 中有m 个元素，(∁U A )∪(∁U B )中有n 个元素．若A ∩B 非空，则A ∩B 的元素个数为________．解析：U ＝A ∪B 中有m 个元素，∵(∁U A )∪(∁U B )＝∁U (A ∩B )中有n 个元素，∴A ∩B 中有m －n 个元素．答案：m －n6．(2009年高考重庆卷)设U ＝{n |n 是小于9的正整数}，A ＝{n ∈U |n是奇数}，B ＝{n ∈U |n 是3的倍数}，则∁U (A ∪B )＝________．解析：U ＝{1，2，3，4，5，6，7，8}，A ＝{1，3，5，7}，B ＝{3，6}，∴A ∪B ＝{1，3，5，6，7}，得∁U (A ∪B )＝{2，4，8}．答案：{2，4，8}7．定义A ⊗B ＝{z |z ＝xy ＋x y，x ∈A ，y ∈B }．设集合A ＝{0，2}，B ＝{1，2}，C ＝{1}，则集合(A ⊗B )⊗C 的所有元素之和为________．解析：由题意可求(A ⊗B )中所含的元素有0，4，5，则(A ⊗B )⊗C 中所含的元素有0，8，10，故所有元素之和为18．答案：188．若集合{(x ，y )|x ＋y －2＝0且x －2y ＋4＝x ，y )|y ＝3x ＋b }，则b ＝________．解析：由⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋y －2＝0，x －2y ＋4＝0.⇒⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝0，y ＝2.点(0，2)在y ＝3x ＋b 上，∴b ＝2． 9．设全集I ＝{2，3，a 2＋2a －3}，A ＝{2，|a ＋1|}，∁I A ＝{5}，M ＝{x |x ＝log 2|a |}，则集合M的所有子集是________．解析：∵A ∪(∁I A )＝I ，∴{2，3，a 2＋2a －3}＝{2，5，|a ＋1|}，∴|a ＋1|＝3，且a 2＋2a －3＝5，解得a ＝－4或a ＝2，∴M ＝{log 22，log 2|－4|}＝{1，2}．答案：∅，{1}，{2}，{1，2}10．设集合A ＝{x |x 2－3x ＋2＝0}，B ＝{x |x 2＋2(a ＋1)x ＋(a 2－5)＝0}．(1)若A ∩B ＝{2}，求实数a 的值；(2)若A ∪B ＝A ，求实数a 的取值范围．解：由x 2－3x ＋2＝0得x ＝1或x ＝2，故集合A ＝{1，2}．(1)∵A ∩B ＝{2}，∴2∈B ，代入B 中的方程，得a 2＋4a ＋3＝0⇒a ＝－1或a ＝－3；当a ＝－1时，B ＝{x |x 2－4＝0}＝{－2，2}，满足条件；当a ＝－3时，B ＝{x |x 2－4x ＋4＝0}＝{2}，满足条件；综上，a 的值为－1或－3．(2)对于集合B ，Δ＝4(a ＋1)2－4(a 2－5)＝8(a ＋3)．∵A ∪B ＝A ，∴B ⊆A ，①当Δ<0，即a <－3时，B ＝∅满足条件；②当Δ＝0，即a ＝－3时，B ＝{2}满足条件；③当Δ>0，即a >－3时，B ＝A ＝{1，2}才能满足条件，则由根与系数的关系得⎩⎪⎨⎪⎧ 1＋2＝－2(a ＋1)1×2＝a 2－5⇒⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－52，a 2＝7，矛盾．综上，a 的取值范围是a ≤－3． 11．已知函数f (x )＝ 6x ＋1－1的定义域为集合A ，函数g (x )＝lg(－x 2＋2x ＋m )的定义域为集合B ．(1)当m ＝3时，求A ∩(∁R B )；(2)若A ∩B ＝{x |－1<x <4}，求实数m 的值．解：A ＝{x |－1<x ≤5}．(1)当m ＝3时，B ＝{x |－1<x <3}，则∁R B ＝{x |x ≤－1或x ≥3}，∴A ∩(∁R B )＝{x |3≤x ≤5}．(2)∵A ＝{x |－1<x ≤5}，A ∩B ＝{x |－1<x <4}，∴有－42＋2×4＋m ＝0，解得m ＝8，此时B ＝{x |－2<x <4}，符合题意．12．已知集合A ＝{x ∈R |ax 2－3x ＋2＝0}．(1)若A ＝∅，求实数a 的取值范围；(2)若A 是单元素集，求a 的值及集合A ；(3)求集合M ＝{a ∈R |A ≠∅}．解：(1)A 是空集，即方程ax 2－3x ＋2＝0无解．若a ＝0，方程有一解x ＝23，不合题意．若a ≠0，要方程ax 2－3x ＋2＝0无解，则Δ＝9－8a <0，则a >98．综上可知，若A ＝∅，则a 的取值范围应为a >98． (2)当a ＝0时，方程ax 2－3x ＋2＝0只有一根x ＝23，A ＝{23}符合题意．当a ≠0时，则Δ＝9－8a ＝0，即a ＝98时，方程有两个相等的实数根x ＝43，则A ＝{43}．综上可知，当a ＝0时，A ＝{23}；当a ＝98时，A ＝{43}． (3)当a ＝0时，A ＝{23}≠∅．当a ≠0时，要使方程有实数根，则Δ＝9－8a ≥0，即a ≤98．综上可知，a 的取值范围是a ≤98，即M ＝{a ∈R |A ≠∅}＝{a |a ≤98}第二章函数第一节对函数的进一步认识A 组1．(2009年高考江西卷改编)函数y ＝－x 2－3x ＋4x的定义域为________．解析：⎩⎪⎨⎪⎧ －x 2－3x ＋4≥0，x ≠0，⇒x ∈[－4，0)∪(0，1] ．答案：[－4，0)∪(0，1] 2．(2010年绍兴第一次质检)如图，函数f (x )的图象是曲线段OAB ，其中点O ，A ，B 的坐标分别为(0，0)，(1，2)，(3，1)，则f (1f (3))的值等于________．解析：由图象知f (3)＝1，f (1f (3))＝f (1)＝2．答案：2 3．(2009年高考北京卷)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧3x ，x ≤1，－x ，x >1.若f (x )＝2，则x ＝________．解析：依题意得x ≤1时，3x ＝2，∴x ＝log 32；当x >1时，－x ＝2，x ＝－2(舍去)．故x ＝log 32．答案：log 324．(2010年黄冈市高三质检)函数f ：{1，2}→{1，2}满足f [f (x )]>1的这样的函数个数有________个．解析：如图．答案：15．(原创题)由等式x 3＋a 1x 2＋a 2x ＋a 3＝(x ＋1)3＋b 1(x ＋1)2＋b 2(x ＋1)＋b 3定义一个映射f (a 1，a 2，a 3)＝(b 1，b 2，b 3)，则f (2，1，－1)＝________．解析：由题意知x 3＋2x 2＋x －1＝(x ＋1)3＋b 1(x ＋1)2＋b 2(x ＋1)＋b 3，令x ＝－1得：－1＝b 3；再令x ＝0与x ＝1得⎩⎪⎨⎪⎧－1＝1＋b 1＋b 2＋b 33＝8＋4b 1＋2b 2＋b 3，解得b 1＝－1，b 2＝0．答案：(－1，0，－1)6．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ 1＋1x(x >1)，x 2＋1 (－1≤x ≤1)，2x ＋3 (x <－1).(1)求f (1－12－1)，f {f [f (－2)]}的值；(2)求f (3x －1)；(3)若f (a )＝32，求a ．解：f (x )为分段函数，应分段求解．(1)∵1－12－1＝1－(2＋1)＝－2<－1，∴f (－2)＝－22＋3，又∵f (－2)＝－1，f [f (－2)]＝f (－1)＝2，∴f {f [f (－2)]}＝1＋12＝32． (2)若3x －1>1，即x >23，f (3x －1)＝1＋13x －1＝3x 3x －1；若－1≤3x －1≤1，即0≤x ≤32，f (3x －1)＝(3x －1)2＋1＝9x 2－6x ＋2；若3x －1<－1，即x <0，f (3x －1)＝2(3x －1)＋3＝6x ＋1．∴f (3x －1)＝⎩⎨⎧ 3x 3x －1 (x >23)，9x 2－6x ＋2 (0≤x ≤23)，6x ＋1 (x <0).(3)∵f (a )＝32，∴a >1或－1≤a ≤1．当a >1时，有1＋1a ＝32，∴a ＝2；当－1≤a ≤1时，a 2＋1＝32，∴a ＝±22． ∴a ＝2或±22．B 组1．(2010年广东江门质检)函数y ＝13x －2＋lg(2x －1)的定义域是________．解析：由3x －2>0，2x －1>0，得x >23．答案：{x |x >23} 2．(2010年山东枣庄模拟)函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ －2x ＋1，(x <－1)，－3，(－1≤x ≤2)，2x －1，(x >2)，则f (f (f (32)＋5))＝_．解析：∵－1≤32≤2，∴f (32)＋5＝－3＋5＝2，∵－1≤2≤2，∴f (2)＝－3， ∴f (－3)＝(－2)×(－3)＋1＝7．答案：73．定义在区间(－1，1)上的函数f (x )满足2f (x )－f (－x )＝lg(x ＋1)，则f (x )的解析式为________．解析：∵对任意的x ∈(－1，1)，有－x ∈(－1，1)，由2f (x )－f (－x )＝lg(x ＋1)，①由2f (－x )－f (x )＝lg(－x ＋1)，②①×2＋②消去f (－x )，得3f (x )＝2lg(x ＋1)＋lg(－x ＋1)，∴f (x )＝23lg(x ＋1)＋13lg(1－x )，(－1<x <1)．答案：f (x )＝23lg(x ＋1)＋13lg(1－x )，(－1<x <1) 4．设函数y ＝f (x )满足f (x ＋1)＝f (x )＋1，则函数y ＝f (x )与y ＝x 图象交点的个数可能是________个．解析：由f (x ＋1)＝f (x )＋1可得f (1)＝f (0)＋1，f (2)＝f (0)＋2，f (3)＝f (0)＋3，…本题中如果f (0)＝0，那么y ＝f (x )和y ＝x 有无数个交点；若f (0)≠0，则y ＝f (x )和y ＝x 有零个交点．答案：0或无数5．设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2 (x ＞0)x 2＋bx ＋c (x ≤0)，若f (－4)＝f (0)，f (－2)＝－2，则f (x )的解析式为f (x )＝________，关于x 的方程f (x )＝x 的解的个数为________个．解析：由题意得⎩⎪⎨⎪⎧ 16－4b ＋c ＝c 4－2b ＋c ＝－2 ⎩⎪⎨⎪⎧b ＝4c ＝2， ∴f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2 (x ＞0)x 2＋4x ＋2 (x ≤0)．由数形结合得f (x )＝x 的解的个数有3个．答案：⎩⎪⎨⎪⎧2 (x ＞0)x 2＋4x ＋2 (x ≤0)3 6．设函数f (x )＝log a x (a ＞0，a ≠1)，函数g (x )＝－x 2＋bx ＋c ，若f (2＋2)－f (2＋1)＝12，g (x )的图象过点A (4，－5)及B (－2，－5)，则a ＝__________，函数f [g (x )]的定义域为__________．答案：2 (－1，3)7．(2009年高考天津卷改编)设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ x 2－4x ＋6，x ≥0x ＋6，x <0，则不等式f (x )>f (1)的解集是________．解析：由已知，函数先增后减再增，当x ≥0，f (x )>f (1)＝3时，令f (x )＝3，解得x ＝1，x ＝3．故f (x )>f (1)的解集为0≤x <1或x >3．当x <0，x ＋6＝3时，x ＝－3，故f (x )>f (1)＝3，解得－3<x <0或x >3．综上，f (x )>f (1)的解集为{x |－3<x <1或x >3}．答案：{x |－3<x <1或x >3}8．(2009年高考山东卷)定义在R 上的函数f (x )满足f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 2(4－x )， x ≤0，f (x －1)－f (x －2)， x ＞0，则f (3)的值为________．解析：∵f (3)＝f (2)－f (1)，又f (2)＝f (1)－f (0)，∴f (3)＝－f (0)，∵f (0)＝log 24＝2，∴f (3)＝－2．答案：－29．有一个有进水管和出水管的容器，每单位时间进水量是一定的，设从某时刻开始，5分钟内只进水，不出水，在随后的15分钟内既进水，又出水，得到时间x 与容器中的水量y 之间关系如图．再随后，只放水不进水，水放完为止，则这段时间内(即x ≥20)，y 与x 之间函数的函数关系是________．解析：设进水速度为a 1升/分钟，出水速度为a 2升/分钟，则由题意得⎩⎪⎨⎪⎧ 5a 1＝205a 1＋15(a 1－a 2)＝35，得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝4a 2＝3，则y ＝35－3(x －20)，得y ＝－3x ＋95，又因为水放完为止，所以时间为x ≤953，又知x ≥20，故解析式为y ＝－3x ＋95(20≤x ≤953)．答案：y ＝－3x ＋95(20≤x ≤953)10．函数()f x =．(1)若()f x 的定义域为R ，求实数a 的取值范围；(2)若()f x 的定义域为[－2，1]，求实数a 的值．解：(1)①若1－a 2＝0，即a ＝±1，(ⅰ)若a ＝1时，f (x )＝6，定义域为R ，符合题意；(ⅱ)当a ＝－1时，f (x )＝6x ＋6，定义域为[－1，＋∞)，不合题意．②若1－a 2≠0，则g (x )＝(1－a 2)x 2＋3(1－a )x ＋6为二次函数．由题意知g (x )≥0对x ∈R 恒成立，∴⎩⎪⎨⎪⎧ 1－a 2>0，Δ≤0，∴⎩⎪⎨⎪⎧ －1<a <1，(a －1)(11a ＋5)≤0， ∴－511≤a <1．由①②可得－511≤a ≤1． (2)由题意知，不等式(1－a 2)x 2＋3(1－a )x ＋6≥0的解集为[－2，1]，显然1－a 2≠0且－2，1是方程(1－a 2)x 2＋3(1－a )x ＋6＝0的两个根． ∴⎩⎪⎨⎪⎧ 1－a 2<0，－2＋1＝3(1－a )a 2－1，－2＝61－a 2，Δ＝[3(1－a )]2－24(1－a 2)>0∴⎩⎪⎨⎪⎧ a <－1或a >1，a ＝2，a ＝±2.a <－511或a >1∴a ＝2．11．已知()()()2f x f x x R +=?，并且当x ∈[－1，1]时，()21f x x =-+，求当[]()21,21x k k k Z ?+?时、()f x 的解析式．解：由f (x ＋2)＝f (x )，可推知f (x )是以2为周期的周期函数．当x ∈[2k －1，2k ＋1]时，2k －1≤x ≤2k ＋1，－1≤x －2k ≤1．∴f (x －2k )＝－(x －2k )2＋1．又f (x )＝f (x －2)＝f (x －4)＝…＝f (x －2k )，∴f (x )＝－(x －2k )2＋1，x ∈[2k －1，2k ＋1]，k ∈Z ．12．在2008年11月4日珠海航展上，中国自主研制的ARJ 21支线客机备受关注，接到了包括美国在内的多国订单．某工厂有216名工人接受了生产1000件该支线客机某零部件的总任务，已知每件零件由4个C 型装置和3个H 型装置配套组成，每个工人每小时能加工6个C 型装置或3个H 型装置．现将工人分成两组同时开始加工，每组分别加工一种装置，设加工C 型装置的工人有x 位，他们加工完C 型装置所需时间为g (x )，其余工人加工完H 型装置所需时间为h (x )．(单位：h ，时间可不为整数)(1)写出g (x )，h (x )的解析式；(2)写出这216名工人完成总任务的时间f (x )的解析式；(3)应怎样分组，才能使完成总任务的时间最少？解：(1)g (x )＝20003x (0<x <216，x ∈N *)，h (x )＝1000216－x(0<x <216，x ∈N *)． (2)f (x )＝⎩⎨⎧20003x (0<x ≤86，x ∈N *).1000216－x (87≤x <216，x ∈N *).(3)分别为86、130或87、129．第二节函数的单调性A 组1．(2009年高考福建卷改编)下列函数f (x )中，满足“对任意x 1，x 2∈(0，＋∞)，当12x x <时，都有()()12f x f x >”的是________．①f (x )＝1x②f (x )＝(x －1)2 ③f (x )＝e x ④f (x )＝ln(x ＋1) 解析：∵对任意的x 1，x 2∈(0，＋∞)，当x 1<x 2时，都有f (x 1)>f (x 2)，∴f (x )在(0，＋∞)上为减函数．答案：①2．函数f (x )(x ∈R )的图象如右图所示，则函数g (x )＝f (log a x )(0<a <1)的单调减区间是________．解析：∵0<a <1，y ＝log a x 为减函数，∴log a x ∈[0，12]时，g (x )为减函数．由0≤log a x ≤12a ≤x ≤1．答案：[a ，1](或(a ，1))3．函数y =________．解析：令x ＝4＋sin 2α，α∈[0，π2]，y ＝sin α＋3cos α＝2sin(α＋π3)，∴1≤y ≤2．答案：[1，2]4．已知函数f (x )＝|e x ＋a ex |(a ∈R )在区间[0，1]上单调递增，则实数a 的取值范围__．解析：当a <0，且e x ＋a e x ≥0时，只需满足e 0＋a e0≥0即可，则－1≤a <0；当a ＝0时，f (x )＝|e x |＝e x 符合题意；当a >0时，f (x )＝e x ＋a e x ，则满足f ′(x )＝e x －a ex ≥0在x ∈[0，1]上恒成立．只需满足a ≤(e 2x )min 成立即可，故a ≤1，综上－1≤a ≤1．答案：－1≤a ≤15．(原创题)如果对于函数f (x )定义域内任意的x ，都有f (x )≥M (M 为常数)，称M 为f (x )的下界，下界M 中的最大值叫做f (x )的下确界，下列函数中，有下确界的所有函数是________．①f (x )＝sin x ；②f (x )＝lg x ；③f (x )＝e x ；④f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ 1 (x >0)0 (x ＝0)－1 (x <－1)解析：∵sin x ≥－1，∴f (x )＝sin x 的下确界为－1，即f (x )＝sin x 是有下确界的函数；∵f (x )＝lg x 的值域为(－∞，＋∞)，∴f (x )＝lg x 没有下确界；∴f (x )＝e x 的值域为(0，＋∞)，∴f (x )＝e x 的下确界为0，即f (x )＝e x 是有下确界的函数；∵f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ 1 (x >0)0 (x ＝0)－1 (x <－1)的下确界为－1．∴f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧1 (x >0)0 (x ＝0)－1 (x <－1)是有下确界的函数．答案：①③④6．已知函数()2f x x =，()1g x x =-． (1)若存在x ∈R 使()()f x b g x <?，求实数b 的取值范围；(2)设()()()21F x f x mg x m m =-+--2，且()F x 在[0，1]上单调递增，求实数m 的取值范围．解：(1)x ∈R ，f (x )4．(2)F (x )＝x 2－mx ＋1－m 2，Δ＝m 2－4(1－m 2)＝5m 2－4，①当Δ≤0即－255≤m ≤255时，则必需 ⎩⎨⎧ m 2≤0－255≤m ≤255－255≤m ≤0． ②当Δ>0即m <－255或m >255时，设方程F (x )＝0的根为x 1，x 2(x 1<x 2)，若m 2≥1，则x 1≤0．⎩⎪⎨⎪⎧m 2≥1F (0)＝1－m 2≤0m ≥2．若m 2≤0，则x 2≤0， ⎩⎪⎨⎪⎧ m 2≤0F (0)＝1－m 2≥0－1≤m <－255．综上所述：－1≤m ≤0或m ≥2．B 组1．(2010年山东东营模拟)下列函数中，单调增区间是(－∞，0]的是________．①y ＝－1x②y ＝－(x －1) ③y ＝x 2－2 ④y ＝－|x | 解析：由函数y ＝－|x |的图象可知其增区间为(－∞，0]．答案：④2．若函数f (x )＝log 2(x 2－ax ＋3a )在区间[2，＋∞)上是增函数，则实数a 的取值范围是________．解析：令g (x )＝x 2－ax ＋3a ，由题知g (x )在[2，＋∞)上是增函数，且g (2)>0．∴⎩⎪⎨⎪⎧ a 2≤2，4－2a ＋3a >0，∴－4<a ≤4．答案：－4<a ≤4 3．若函数f (x )＝x ＋a x (a >0)在(34，＋∞)上是单调增函数，则实数a 的取值范围__．解析：∵f (x )＝x ＋a x (a >0)在(a ，＋∞)上为增函数，∴a ≤34，0<a ≤916．答案：(0，916] 4．(2009年高考陕西卷改编)定义在R 上的偶函数f (x )，对任意x 1，x 2∈[0，＋∞)(x 1≠x 2)，有f (x 2)－f (x 1)x 2－x 1<0，则下列结论正确的是________． ①f (3)<f (－2)<f (1) ②f (1)<f (－2)<f (3)③f (－2)<f (1)<f (3) ④f (3)<f (1)<f (－2)解析：由已知f (x 2)－f (x 1)x 2－x 1<0，得f (x )在x ∈[0，＋∞)上单调递减，由偶函数性质得f (2)＝f (－2)，即f (3)<f (－2)<f (1)．答案：①5．(2010年陕西西安模拟)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧a x (x <0)，(a －3)x ＋4a (x ≥0)满足对任意x 1≠x 2，都有f (x 1)－f (x 2)x 1－x 2<0成立，则a 的取值范围是________．解析：由题意知，f (x )为减函数，所以⎩⎪⎨⎪⎧ 0<a <1，a －3<0，a 0≥(a －3)×0＋4a ，解得0<a ≤14． 6．(2010年宁夏石嘴山模拟)函数f (x )的图象是如下图所示的折线段OAB ，点A 的坐标为(1，2)，点B 的坐标为(3，0)，定义函数g (x )＝f (x )·(x －1)，则函数g (x )的最大值为________．解析：g (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x (x －1) (0≤x <1)，(－x ＋3)(x －1) (1≤x ≤3)，当0≤x <1时，最大值为0；当1≤x ≤3时，在x ＝2取得最大值1．答案：17．(2010年安徽合肥模拟)已知定义域在[－1，1]上的函数y ＝f (x )的值域为[－2，0]，则函数y ＝f (cos x )的值域是________．解析：∵cos x ∈[－1，1]，函数y ＝f (x )的值域为[－2，0]，∴y ＝f (cos x )的值域为[－2，0]．答案：[－2，0]8．已知f (x )＝log 3x ＋2，x ∈[1，9]，则函数y ＝[f (x )]2＋f (x 2)的最大值是________．解析：∵函数y ＝[f (x )]2＋f (x 2)的定义域为⎩⎪⎨⎪⎧1≤x ≤9，1≤x 2≤9，∴x ∈[1，3]，令log 3x ＝t ，t ∈[0，1]， ∴y ＝(t ＋2)2＋2t ＋2＝(t ＋3)2－3，∴当t ＝1时，y max ＝13．答案：139．若函数f (x )＝log a (2x 2＋x )(a >0，a ≠1)在区间(0，12)内恒有f (x )>0，则f (x )的单调递增区间为__________．解析：令μ＝2x 2＋x ，当x ∈(0，12)时，μ∈(0，1)，而此时f (x )>0恒成立，∴0<a <1． μ＝2(x ＋14)2－18，则减区间为(－∞，－14)．而必然有2x 2＋x >0，即x >0或x <－12．∴f (x )的单调递增区间为(－∞，－12)．答案：(－∞，－12) 10．试讨论函数y ＝2(log 12x )2－2log 12x ＋1的单调性．解：易知函数的定义域为(0，＋∞)．如果令u ＝g (x )＝log 12x ，y ＝f (u )＝2u 2－2u ＋1，那么原函数y ＝f [g (x )]是由g (x )与f (u )复合而成的复合函数，而u ＝log 12x 在x ∈(0，＋∞)内是减函数，y ＝2u 2－2u ＋1＝2(u －12)2＋12在u ∈(－∞，12)上是减函数，在u ∈(12，＋∞)上是增函数．又u ≤12，即log 12x ≤12，得x ≥22；u >12，得0<x <22．由此，从下表讨论复合函数y ＝f [g (x )]的单调性：故函数y ＝2(log 12x )2－2log 12x ＋1在区间(0，22)上单调递减，在区间(22，＋∞)上单调递增． 11．(2010年广西河池模拟)已知定义在区间(0，＋∞)上的函数f (x )满足f (x 1x 2)＝f (x 1)－f (x 2)，且当x >1时，f (x )<0．(1)求f (1)的值；(2)判断f (x )的单调性；(3)若f (3)＝－1，解不等式f (|x |)<－2．解：(1)令x 1＝x 2>0，代入得f (1)＝f (x 1)－f (x 1)＝0，故f (1)＝0．(2)任取x 1，x 2∈(0，＋∞)，且x 1>x 2，则x 1x 2>1，由于当x >1时，f (x )<0，所以f (x 1x 2)<0，即f (x 1)－f (x 2)<0，因此f (x 1)<f (x 2)，所以函数f (x )在区间(0，＋∞)上是单调递减函数．(3)由f (x 1x 2)＝f (x 1)－f (x 2)得f (93)＝f (9)－f (3)，而f (3)＝－1，所以f (9)＝－2．由于函数f (x )在区间(0，＋∞)上是单调递减函数，由f (|x |)<f (9)，得|x |>9，∴x >9或x <－9．因此不等式的解集为{x |x >9或x <－9}．12．已知：f (x )＝log 3x 2＋ax ＋b x，x ∈(0，＋∞)，是否存在实数a ，b ，使f (x )同时满足下列三个条件：(1)在(0，1]上是减函数，(2)在[1，＋∞)上是增函数，(3)f (x )的最小值是1．若存在，求出a 、b ；若不存在，说明理由．解：∵f (x )在(0，1]上是减函数，[1，＋∞)上是增函数，∴x ＝1时，f (x )最小，log 31＋a ＋b 1＝1．即a ＋b ＝2．设0＜x 1＜x 2≤1，则f (x 1)＞f (x 2)．即x 12＋ax 1＋b x 1＞x 22＋ax 2＋b x 2恒成立．由此得(x 1－x 2)(x 1x 2－b )x 1x 2＞0恒成立．又∵x 1－x 2＜0，x 1x 2＞0，∴x 1x 2－b ＜0恒成立，∴b ≥1．设1≤x 3＜x 4，则f (x 3)＜f (x 4)恒成立．∴(x 3－x 4)(x 3x 4－b )x 3x 4＜0恒成立． ∵x 3－x 4＜0，x 3x 4＞0，∴x 3x 4＞b 恒成立．∴b ≤1．由b ≥1且b ≤1可知b ＝1，∴a ＝1．∴存在a 、b ，使f (x )同时满足三个条件．第三节函数的性质A 组1．设偶函数f (x )＝log a |x －b |在(－∞，0)上单调递增，则f (a ＋1)与f (b ＋2)的大小关系为________．解析：由f (x )为偶函数，知b ＝0，∴f (x )＝log a |x |，又f (x )在(－∞，0)上单调递增，所以0<a <1，1<a ＋1<2，则f (x )在(0，＋∞)上单调递减，所以f (a ＋1)>f (b ＋2)．答案：f (a ＋1)>f (b ＋2)2．(2010年广东三校模拟)定义在R 上的函数f (x )既是奇函数又是以2为周期的周期函数，则f (1)＋f (4)＋f (7)等于________．解析：f (x )为奇函数，且x ∈R ，所以f (0)＝0，由周期为2可知，f (4)＝0，f (7)＝f (1)，又由f (x ＋2)＝f (x )，令x ＝－1得f (1)＝f (－1)＝－f (1)⇒f (1)＝0，所以f (1)＋f (4)＋f (7)＝0．答案：03．(2009年高考山东卷改编)已知定义在R 上的奇函数f (x )满足f (x －4)＝－f (x )，且在区间[0，2]上是增函数，则f (－25)、f (11)、f (80)的大小关系为________．解析：因为f (x )满足f (x －4)＝－f (x )，所以f (x －8)＝f (x )，所以函数是以8为周期的周期函数，则f (－25)＝f (－1)，f (80)＝f (0)，f (11)＝f (3)，又因为f (x )在R 上是奇函数，f (0)＝0，得f (80)＝f (0)＝0，f (－25)＝f (－1)＝－f (1)，而由f (x －4)＝－f (x )得f (11)＝f (3)＝－f (－3)＝－f (1－4)＝f (1)，又因为f (x )在区间[0，2]上是增函数，所以f (1)>f (0)＝0，所以－f (1)<0，即f (－25)<f (80)<f (11)．答案：f (－25)<f (80)<f (11)4．(2009年高考辽宁卷改编)已知偶函数f (x )在区间[0，＋∞)上单调增加，则满足f (2x －1)<f (13)的x 取值范围是________．解析：由于f (x )是偶函数，故f (x )＝f (|x |)，由f (|2x －1|)<f (13)，再根据f (x )的单调性得|2x －1|<13，解得13<x <23．答案：(13，23) 5．(原创题)已知定义在R 上的函数f (x )是偶函数，对x ∈R ，f (2＋x )＝f (2－x )，当f (－3)＝－2时，f (2011)的值为________．解析：因为定义在R 上的函数f (x )是偶函数，所以f (2＋x )＝f (2－x )＝f (x －2)，故函数f (x )是以4为周期的函数，所以f (2011)＝f (3＋502×4)＝f (3)＝f (－3)＝－2．答案：－26．已知函数y ＝f (x )是定义在R 上的周期函数，周期T ＝5，函数y ＝f (x )(－1≤x ≤1)是奇函数，又知y ＝f (x )在[0，1]上是一次函数，在[1，4]上是二次函数，且在x ＝2时函数取得最小值－5．(1)证明：f (1)＋f (4)＝0；(2)求y ＝f (x )，x ∈[1，4]的解析式；(3)求y ＝f (x )在[4，9]上的解析式．解：(1)证明：∵f (x )是以5为周期的周期函数，∴f (4)＝f (4－5)＝f (－1)，又∵y ＝f (x )(－1≤x ≤1)是奇函数，∴f (1)＝－f (－1)＝－f (4)，∴f (1)＋f (4)＝0．(2)当x ∈[1，4]时，由题意可设f (x )＝a (x －2)2－5(a >0)，由f (1)＋f (4)＝0，得a (1－2)2－5＋a (4－2)2－5＝0，∴a ＝2，∴f (x )＝2(x －2)2－5(1≤x ≤4)．(3)∵y ＝f (x )(－1≤x ≤1)是奇函数，∴f (0)＝0，又知y ＝f (x )在[0，1]上是一次函数，∴可设f (x )＝kx (0≤x ≤1)，而f (1)＝2(1－2)2－5＝－3，∴k ＝－3，∴当0≤x ≤1时，f (x )＝－3x ，从而当－1≤x <0时，f (x )＝－f (－x )＝－3x ，故－1≤x ≤1时，f (x )＝－3x ．∴当4≤x ≤6时，有－1≤x －5≤1，∴f (x )＝f (x －5)＝－3(x －5)＝－3x ＋15．当6<x ≤9时，1<x －5≤4，∴f (x )＝f (x －5)＝2[(x －5)－2]2－5＝2(x －7)2－5．∴f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－3x ＋15， 4≤x ≤62(x －7)2－5， 6<x ≤9．B 组1．(2009年高考全国卷Ⅰ改编)函数f (x )的定义域为R ，若f (x ＋1)与f (x －1)都是奇函数，则下列结论正确的是________．①f (x )是偶函数 ②f (x )是奇函数 ③f (x )＝f (x ＋2)④f (x ＋3)是奇函数解析：∵f (x ＋1)与f (x －1)都是奇函数，∴f (－x ＋1)＝－f (x ＋1)，f (－x －1)＝－f (x －1)，∴函数f (x )关于点(1，0)，及点(－1，0)对称，函数f (x )是周期T ＝2[1－(－1)]＝4的周期函数．∴f (－x －1＋4)＝－f (x －1＋4)，f (－x ＋3)＝－f (x ＋3)，即f (x ＋3)是奇函数．答案：④2．已知定义在R 上的函数f (x )满足f (x )＝－f (x ＋32)，且f (－2)＝f (－1)＝－1，f (0)＝2，f (1)＋f (2)＋…＋f (2009)＋f (2010)＝________．解析：f (x )＝－f (x ＋32)⇒f (x ＋3)＝f (x )，即周期为3，由f (－2)＝f (－1)＝－1，f (0)＝2，所以f (1)＝－1，f (2)＝－1，f (3)＝2，所以f (1)＋f (2)＋…＋f (2009)＋f (2010)＝f (2008)＋f (2009)＋f (2010)＝f (1)＋f (2)＋f (3)＝0．答案：03．(2010年浙江台州模拟)已知f (x )是定义在R 上的奇函数，且f (1)＝1，若将f (x )的图象向右平移一个单位后，得到一个偶函数的图象，则f (1)＋f (2)＋f (3)＋…＋f (2010)＝________．解析：f (x )是定义在R 上的奇函数，所以f (－x )＝－f (x )，将f (x )的图象向右平移一个单位后，得到一个偶函数的图象，则满足f (－2＋x )＝－f (x )，即f (x ＋2)＝－f (x )，所以周期为4，f (1)＝1，f (2)＝f (0)＝0，f (3)＝－f (1)＝－1，f (4)＝0，所以f (1)＋f (2)＋f (3)＋f (4)＝0，则f (1)＋f (2)＋f (3)＋…＋f (2010)＝f (4)×502＋f (2)＝0．答案：04．(2010年湖南郴州质检)已知函数f (x )是R 上的偶函数，且在(0，＋∞)上有f ′(x )>0，若f (－1)＝0，那么关于x 的不等式xf (x )<0的解集是________．解析：在(0，＋∞)上有f ′(x )>0，则在(0，＋∞)上f (x )是增函数，在(－∞，0)上是减函数，又f (x )在R 上是偶函数，且f (－1)＝0，∴f (1)＝0．从而可知x ∈(－∞，－1)时，f (x )>0；x ∈(－1，0)时，f (x )<0；x ∈(0，1)时，f (x )<0；x ∈(1，＋∞)时，f (x )>0．∴不等式的解集为(－∞，－1)∪(0，1)答案：(－∞，－1)∪(0，1)．5．(2009年高考江西卷改编)已知函数f (x )是(－∞，＋∞)上的偶函数，若对于x ≥0，都有f (x ＋2)＝f (x )，且当x ∈[0，2)时，f (x )＝log 2(x ＋1)，则f (－2009)＋f (2010)的值为________．解析：∵f (x )是偶函数，∴f (－2009)＝f (2009)．∵f (x )在x ≥0时f (x ＋2)＝f (x )，∴f (x )周期为2．∴f (－2009)＋f (2010)＝f (2009)＋f (2010)＝f (1)＋f (0)＝log 22＋log 21＝0＋1＝1．答案：16．(2010年江苏苏州模拟)已知函数f (x )是偶函数，并且对于定义域内任意的x ，满足f (x ＋2)＝－1f (x )，若当2<x <3时，f (x )＝x ，则f (2009．5)＝________．解析：由f (x ＋2)＝－1f (x )，可得f (x ＋4)＝f (x )，f (2009．5)＝f (502×4＋1．5)＝f (1．5)＝f (－2．5)∵f (x )是偶函数，∴f (2009．5)＝f (2．5)＝52．答案：527．(2010年安徽黄山质检)定义在R 上的函数f (x )在(－∞，a ]上是增函数，函数y ＝f (x ＋a )是偶函数，当x 1<a ，x 2>a ，且|x 1－a |<|x 2－a |时，则f (2a －x 1)与f (x 2)的大小关系为________．解析：∵y ＝f (x ＋a )为偶函数，∴y ＝f (x ＋a )的图象关于y 轴对称，∴y ＝f (x )的图象关于x ＝a 对称．又∵f (x )在(－∞，a ]上是增函数，∴f (x )在[a ，＋∞)上是减函数．当x 1<a ，x 2>a ，且|x 1－a |<|x 2－a |时，有a －x 1<x 2－a ，即a <2a －x 1<x 2，∴f (2a －x 1)>f (x 2)．答案：f (2a －x 1)>f (x 2)8．已知函数f (x )为R 上的奇函数，当x ≥0时，f (x )＝x (x ＋1)．若f (a )＝－2，则实数a ＝________．解析：当x ≥0时，f (x )＝x (x ＋1)>0，由f (x )为奇函数知x <0时，f (x )<0，∴a <0，f (－a )＝2，∴－a (－a ＋1)＝2，∴a ＝2(舍)或a ＝－1．答案：－19．(2009年高考山东卷)已知定义在R 上的奇函数f (x )满足f (x －4)＝－f (x )，且在区间[0，2]上是增函数．若方程f (x )＝m (m ＞0)在区间[－8，8]上有四个不同的根x 1，x 2，x 3，x 4，则x 1＋x 2＋x 3＋x 4＝________．解析：因为定义在R 上的奇函数，满足f (x －4)＝－f (x )，所以f (4－x )＝f (x )，因此，函数图象关于直线x ＝2对称且f (0)＝0．由f (x －4)＝－f (x )知f (x －8)＝f (x )，所以函数是以8为周期的周期函数．又因为f (x )在区间[0，2]上是增函数，所以f (x )在区间[－2，0]上也是增函数，如图所示，那么方程f (x )＝m (m ＞0)在区间[－8，8]上有四个不同的根x 1，x 2，x 3，x 4，不妨设x 1＜x 2＜x 3＜x 4．由对称性知x 1＋x 2＝－12，x 3＋x 4＝4，所以x 1＋x 2＋x 3＋x 4＝－12＋4＝－8．答案：-810．已知f (x )是R 上的奇函数，且当x ∈(－∞，0)时，f (x )＝－x lg(2－x )，求f (x )的解析式．解：∵f (x )是奇函数，可得f (0)＝－f (0)，∴f (0)＝0．当x >0时，－x <0，由已知f (－x )＝x lg(2＋x )，∴－f (x )＝x lg(2＋x )，即f (x )＝－x lg(2＋x ) (x >0)．∴f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x lg(2－x ) (x <0)，－x lg(2＋x ) (x ≥0).即f (x )＝－x lg(2＋|x |)(x ∈R )． 11．已知函数f (x )，当x ，y ∈R 时，恒有f (x ＋y )＝f (x )＋f (y )．(1)求证：f (x )是奇函数；(2)如果x ∈R ＋，f (x )<0，并且f (1)＝－12，试求f (x )在区间[－2，6]上的最值．解：(1)证明：∴函数定义域为R ，其定义域关于原点对称．∵f (x ＋y )＝f (x )＋f (y )，令y ＝－x ，∴f (0)＝f (x )＋f (－x )．令x ＝y ＝0，∴f (0)＝f (0)＋f (0)，得f (0)＝0．∴f (x )＋f (－x )＝0，得f (－x )＝－f (x )，∴f (x )为奇函数．(2)法一：设x ，y ∈R ＋，∵f (x ＋y )＝f (x )＋f (y )，∴f (x ＋y )－f (x )＝f (y )．∵x ∈R ＋，f (x )<0，∴f (x ＋y )－f (x )<0，∴f (x ＋y )<f (x )．∵x ＋y >x ，∴f (x )在(0，＋∞)上是减函数．又∵f (x )为奇函数，f (0)＝0，∴f (x )在(－∞，＋∞)上是减函数．∴f (－2)为最大值，f (6)为最小值．∵f (1)＝－12，∴f (－2)＝－f (2)＝－2f (1)＝1，f (6)＝2f (3)＝2[f (1)＋f (2)]＝－3．∴所求f (x )在区间[－2，6]上的最大值为1，最小值为－3．法二：设x 1<x 2，且x 1，x 2∈R ．则f (x 2－x 1)＝f [x 2＋(－x 1)]＝f (x 2)＋f (－x 1)＝f (x 2)－f (x 1)．∵x 2－x 1>0，∴f (x 2－x 1)<0．∴f (x 2)－f (x 1)<0．即f (x )在R 上单调递减．∴f (－2)为最大值，f (6)为最小值．∵f (1)＝－12，∴f (－2)＝－f (2)＝－2f (1)＝1，f (6)＝2f (3)＝2[f (1)＋f (2)]＝－3．∴所求f (x )在区间[－2，6]上的最大值为1，最小值为－3．12．已知函数f (x )的定义域为R ，且满足f (x ＋2)＝－f (x )．(1)求证：f (x )是周期函数；(2)若f (x )为奇函数，且当0≤x ≤1时，f (x )＝12x ，求使f (x )＝－12在[0，2010]上的所有x 的个数．解：(1)证明：∵f (x ＋2)＝－f (x )，∴f (x ＋4)＝－f (x ＋2)＝－[－f (x )]＝f (x )，∴f (x )是以4为周期的周期函数．(2)当0≤x ≤1时，f (x )＝12x ，设－1≤x ≤0，则0≤－x ≤1，∴f (－x )＝12(－x )＝－12x ．∵f (x )是奇函数，∴f (－x )＝－f (x )，∴－f (x )＝－12x ，即f (x )＝12x ．故f (x )＝12x (－1≤x ≤1) 又设1<x <3，则－1<x －2<1，∴f (x －2)＝12(x －2)，又∵f (x －2)＝－f (2－x )＝－f [(－x )＋2]＝－[－f (－x )]＝－f (x )，∴－f (x )＝12(x －2)，∴f (x )＝－12(x －2)(1<x <3)．∴f (x )＝⎩⎨⎧12x (－1≤x ≤1)－12(x －2) (1<x <3) 由f (x )＝－12，解得x ＝－1．∵f (x )是以4为周期的周期函数．故f (x )＝－12的所有x ＝4n －1(n ∈Z )．令0≤4n －1≤2010，则14≤n ≤50234，又∵n ∈Z ，∴1≤n ≤502(n ∈Z )，∴在[0，2010]上共有502个x 使f (x )＝－12．第三章指数函数和对数函数第一节指数函数A 组1．(2010年黑龙江哈尔滨模拟)若a >1，b <0，且a b ＋a －b ＝22，则a b －a －b 的值等于________．解析：∵a >1，b <0，∴0<a b <1，a －b >1．又∵(a b ＋a －b )2＝a 2b ＋a－2b ＋2＝8，∴a 2b ＋a －2b ＝6，∴(a b －a －b )2＝a 2b ＋a －2b －2＝4，∴a b－a －b ＝－2．答案：－22．已知f (x )＝a x ＋b 的图象如图所示，则f (3)＝________．解析：由图象知f (0)＝1＋b ＝－2，∴b ＝－3．又f (2)＝a 2－3＝0，∴a ＝3，则f (3)＝(3)3－3＝33－3．答案：33－33．函数y ＝(12)2x －x 2的值域是________．解析：∵2x －x 2＝－(x －1)2＋1≤1，∴(12)2x －x 2≥12．答案：[12，＋∞) 4．(2009年高考山东卷)若函数f (x )＝a x －x －a (a >0，且a ≠1)有两个零点，则实数a 的取值范围是________．解析：函数f (x )的零点的个数就是函数y ＝a x 与函数y ＝x ＋a 交点的个数，由函数的图象可知a >1时两函数图象有两个交点，0<a <1时两函数图象有惟一交点，故a >1．答案：(1，+∞)5．(原创题)若函数f (x )＝a x－1(a >0，a ≠1)的定义域和值域都是[0，2]，则实数a 等于________．解析：由题意知⎩⎪⎨⎪⎧ 0<a <1a 2－1＝0a 0－1＝2无解或⎩⎪⎨⎪⎧ a >1a 0－1＝0a 2－1＝2⇒a ＝3．答案： 3 6．已知定义域为R 的函数f (x )＝－2x ＋b 2x ＋1＋a是奇函数．(1)求a ，b 的值； (2)若对任意的t ∈R ，不等式f (t 2－2t )＋f (2t 2－k )<0恒成立，求k 的取值范围．解：(1)因为f (x )是R 上的奇函数，所以f (0)＝0，即－1＋b 2＋a＝0，解得b ＝1．从而有f (x )＝－2x ＋12x ＋1＋a ．又由f (1)＝－f (－1)知－2＋14＋a ＝－－12＋11＋a，解得a ＝2． (2)法一：由(1)知f (x )＝－2x ＋12x ＋1＋2＝－12＋12x ＋1，由上式易知f (x )在R 上为减函数，又因f (x )是奇函数，从而不等式f (t 2－2t )＋f (2t 2－k )<0⇔f (t 2－2t )<－f (2t 2－k )＝f (－2t 2＋k )．因f (x )是R 上的减函数，由上式推得t 2－2t >－2t 2＋k ．即对一切t ∈R 有3t 2－2t －k >0，从而Δ＝4＋12k <0，解得k <－13．法二：由(1)知f (x )＝－2x ＋12x ＋1＋2，又由题设条件得－2t 2－2t ＋12t 2－2t ＋1＋2＋－22t 2－k ＋122t 2－k ＋1＋2<0 即(22t 2－k ＋1＋2)(－2t 2－2t ＋1)＋(2t 2－2t ＋1＋2)(－22t 2－k ＋1)<0整理得23t 2－2t －k >1，因底数2>1，故3t 2－2t －k >0上式对一切t ∈R 均成立，从而判别式Δ＝4＋12k <0，解得k <－13．B 组1．如果函数f (x )＝a x ＋b －1(a >0且a ≠1)的图象经过第一、二、四象限，不经过第三象限，那么一定有________．①0<a <1且b >0 ②0<a <1且01且b <0 ④a >1且b >0解析：当0<a <1时，把指数函数f (x )＝a x 的图象向下平移，观察可知－11⇒0<a ≤1．答案：(0，1] 3．已知f (x )，g (x )都是定义在R 上的函数，且满足以下条件①f (x )＝a x ·g (x )(a >0，a ≠1)；②g (x )≠0；若f (1)g (1)＋f (－1)g (－1)＝52，则a 等于________．解析：由f (x )＝a x ·g (x )得f (x )g (x )＝a x ，所以f (1)g (1)＋f (－1)g (－1)＝52⇒a ＋a －1＝52，解得a ＝2或12．答案：2或124．(2010年北京朝阳模拟)已知函数f (x )＝a x (a >0且a ≠1)，其反函数为f －1(x )．若f (2)＝9，则f －1(13)＋f (1)的值是________．解析：因为f (2)＝a 2＝9，且a >0，∴a ＝3，则f (x )＝3x ＝13，∴x ＝－1，故f －1(13)＝－1．又f (1)＝3，所以f －1(13)＋f (1)＝2．答案：2 5．(2010年山东青岛质检)已知f (x )＝(13)x ，若f (x )的图象关于直线x ＝1对称的图象对应的函数为g (x )，则g (x )的表达式为________．解析：设y ＝g (x )上任意一点P (x ，y )，P (x ，y )关于x ＝1的对称点P ′(2－x ，y )在f (x )＝(13)x 上，∴y ＝(13)2－x ＝3x －2．答案：y ＝3x －2(x ∈R ) 6．(2009年高考山东卷改编)函数y ＝e x ＋e －xe x －e－x 的图象大致为________．解析：∵f (－x )＝e －x ＋e x e －x －e x ＝－e x ＋e －xe x －e－x ＝－f (x )，∴f (x )为奇函数，排除④．又∵y ＝e x ＋e －x e x －e －x ＝e 2x ＋1e 2x －1＝e 2x －1＋2e 2x －1＝1＋2e 2x －1在(－∞，0)、(0，＋∞)上都是减函数，排除②、③．答案：①7．(2009年高考辽宁卷改编)已知函数f (x )满足：当x ≥4时，f (x )＝(12)x ；当x <4时，f (x )＝f (x ＋1)，则f (2＋log 23)＝________．解析：∵2<3<4＝22，∴1<log 23<2．∴3<2＋log 23<4，∴f (2＋log 23)＝f (3＋log 23)＝f (log 224)＝(12)log 224＝2－log 224＝2log 2124＝124．答案：1248．(2009年高考湖南卷改编)设函数y ＝f (x )在(－∞，＋∞)内有定义，对于给定的正数K ，定义函数f K (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧f (x )，f (x )≤K ，K ， f (x )>K .取函数f (x )＝2－|x |，当K ＝12时，函数f K (x )的单调递增区间为________．。

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高三文科数学第一轮复习题
一、选择题
1．集合P={x|x 2=1}，Q={x|mx=1}，若Q ⊆P ，则m 等于
（） A ．1 B ．-1
C ．1或-1
D ．0,1或-1 2．已知函数f （x ）=
x -11
定义域为M ，g （x ）=ln （1+x ）定义域N ，则M ∩N
等于（） A ．{x|x>-1} B ．{x|x<1} C ．{x|-1<x<1} D ．φ
3．以下有关命题的说法错误的是
（）
A ．命题“若0232=+-x x 则x=1”的逆否命题为“若023,12≠+-≠x x x 则”
B ．“1=x ”是“”0232=+-x x 的充分不必要条件
C ．若q p ∧为假命题，则p 、q 均为假命题
D ．对于命题01,:,01:22≥++∈∀⌝<++∈∃x x R x p x x R x p 均有则使得
4．函数x x x f 2
)1ln()(-
+=的零点所在的大致区间是
（） A ．（3，4） B ．（2，e ） C ．（1，2） D ．（0，1）
5．函数[)⎪⎩⎪⎨⎧+∞∈--∞∈=,1,log )1,(,32
x x x y x 的值域为
（） A ．（0，3） B ．[0，3] C ．(]3,∞- D ．[)+∞,0
6．函数)1(),1|(|log >+=a x y 的图像大致是( )
A B C D
7．下列函数中，图像的一部分如右图所示的是
（）
A ．sin()6y x π
=+ O x
y O y -1 O 1 y -1 O 1 y
B ．sin(2)6y x π=-
C ．cos(4)3y x π=-
D ．cos(2)6y x π
=- 8．将函数sin 2y x =的图象向左平移
4π个单位,再向上平移1个单位,所得图象的函数解析式是
（）
A ．cos 2y x =
B ．22cos y x =
C ．)42sin(1π
++=x y D ．22sin y x =
9．已知函数23)(23+-+=x x ax x f 在R 上是减函数，则a 的取值范围是
（） A ．(-∞，-3) B ． (-∞，-3)
C ．(-3,0)
D ．[-3,0] 10．已知函数f （221)1
x x x x +=-则f （3）=
（）
A ．8
B ．9
C ．10
D ．11
二、填空题： 13．若函数f （x ）=（x-1）（x-a ）为偶函数，则a=___________．
11．若=--∈=-)sin(),0,2
(35)2cos(a a a πππ则且___________ 12．给出下列命题：
①存在实数α,使1cos sin =⋅αα；
②存在实数α，使23cos sin =+αα； ③函数)23sin(x y +=π是偶函数； ④8π=x 是函数)452sin(π+=x y 的一条对称轴方程；
⑤若βα、是第一象限的角，且βα>，则βαsin sin >；
其中正确命题的序号是_______________．
三、解答题：
13．设条件p ：2x 2-3x+1≤0，条件q ：x 2-（2a+1）x+a （a+1）≤0，若p ¬是q ¬的必要不充分条件，求实数a 的去值范围．
14．已知函数f （x ）=ax 3+bx+c (a>0)为奇函数,其图象在点(1,f(1))处的切线与直线x-6y-7=0垂直,导数f /(x)的最小值为-12,求a,b,c 的值．
15．已知函数.2
321)3(,2)0(,cos sin cos 2)(2+==+=πf f x x b x a x f 且（1）求a ，b 的值；
（2）求)(x f 的最大值及取得最大值时x 的集合；
（3）写出函数)(x f 在[0，π]上的单调递减区间．。