数学建模论文：浅谈数学规划模型在经济学中的应用
数学建模在经济领域中的应用
数学建模在经济领域中的应用随着时代的发展，经济事务的处理已经变得更加复杂，需要运用更加高级的工具和方法来解决。
数学建模作为一种综合性较强的方法，已被广泛应用于经济领域。
本文将介绍数学建模在经济领域中的应用，并探讨数学建模的意义和局限性。
一、财务规划要达到财务规划的目的，必须了解不同的财务项目之间的相互影响，例如贷款、退休、投资等。
使用数学建模来研究这些问题，可以极大地提高决策者的能力。
例如，使用数学建模可以对储蓄帐户的规划进行预测，并在未来多个时间点考虑到各种费用。
二、市场分析市场分析需要分析消费和销售数据，以确定目标客户的需求。
数学建模可以将市场数据与其他因素（如时间和地理位置）结合起来，以便更好地理解市场趋势和消费者需求。
这样可以根据这些数据更好地预测客户需求，并针对性地提供产品和服务。
三、经济预测经济预测是指根据过去的趋势和预测未来的趋势，预测经济增长和衰退的发展趋势。
数学建模可以帮助预测并评估不同变量之间的关联性，进而预测未来的情况。
这种技术也可以用来帮助投资者制定投资策略和做出决策。
四、投资与分散化在投资和分散化中，数学建模可以为投资者提供更具挑战性的定量方法。
例如，使用统计方法建立资产组合模型，可以帮助投资者确定最佳投资策略，以实现最大的回报。
另外，数学建模还可以帮助投资者了解他们的投资组合在不同市场条件下的表现。
五、决策支持系统决策支持系统为企业提供了处理和分析数据的工具，以便做出更明智的决策。
数学建模是其中的关键因素之一，因为它可以提供预测模型、模拟和优化方法。
这些工具可以帮助企业管理者制定更好的商业计划和决策过程。
六、对数学建模的意义和局限性的探讨尽管数学建模被广泛应用于经济领域，但是它并非没有缺点。
数学模型的正确性取决于数据的准确性，而有时候数据可能不准确或偏差较大。
此外，建模本身也需要大量的时间和资源，以便精准而可靠地预测未来的变化。
总之，数学建模在今天的经济领域中扮演着重要的角色。
数学模型在经济学领域中的应用研究
数学模型在经济学领域中的应用研究数学模型在经济学领域中的应用研究早已成为一门重要的学科，它通过建立数学模型，分析经济现象，预测经济走势，为决策者提供科学依据。
本文将从宏观经济模型、微观经济模型和金融市场模型三个方面来探讨数学模型在经济学领域中的应用。
首先，宏观经济模型是经济学中最为重要的数学模型之一。
它以国家或地区的整体经济为研究对象，通过建立数学方程组来描述经济系统的运行规律。
其中，最著名的宏观经济模型之一是凯恩斯总需求与总供给模型。
该模型通过对消费、投资、政府支出等因素的定量分析，揭示了经济增长与就业水平之间的关系。
通过该模型，经济学家们可以预测经济增长率、通货膨胀率等重要指标，并为政府决策提供参考。
其次，微观经济模型是研究个体经济行为的数学模型。
它通过建立数学方程来描述个体的决策行为，进而分析市场供求关系、价格变动等微观经济现象。
例如，供求模型是微观经济学中最基本的模型之一。
它通过建立供给函数和需求函数，研究商品价格与市场供求关系之间的相互作用。
通过该模型，经济学家可以预测商品价格的变动趋势，为企业决策提供参考。
最后，金融市场模型是研究金融市场行为的数学模型。
它通过建立数学方程来描述金融资产的价格变动，分析投资者的决策行为，预测金融市场的波动情况。
例如，资本资产定价模型（CAPM）是金融学中最重要的模型之一。
该模型通过建立资产收益与风险之间的关系，分析投资组合的效用最大化问题，为投资者提供投资决策的参考。
综上所述，数学模型在经济学领域中的应用研究具有重要意义。
宏观经济模型、微观经济模型和金融市场模型等不同类型的数学模型，为经济学家和决策者提供了分析经济现象、预测经济走势的工具。
然而，数学模型也存在一些局限性，如对经济现象的抽象和简化，以及对参数的选择等问题。
因此，未来的研究需要进一步完善数学模型，提高其预测和决策能力，为经济学的发展做出更大的贡献。
数学建模在经济发展中的应用研究
数学建模在经济发展中的应用研究摘要：数学建模是将实际问题转化为数学模型，并通过模型求解和分析，得出对问题的解释和预测。
在经济领域，数学建模具有重要的应用价值。
本文将从宏观经济建模和微观经济建模两个方面，介绍数学建模在经济发展中的应用研究，并探讨数学建模对经济决策和政策制定的影响。
一、宏观经济建模宏观经济建模是以整个经济系统为研究对象，通过建立经济模型来分析和预测宏观经济运行规律的一种方法。
1. 求解宏观经济增长模型宏观经济增长模型是研究一个国家或地区经济增长的数学模型。
通过这种模型的建立和求解，可以预测经济增长率、生产率变化以及人口增长对经济发展的影响。
例如，经典的Solow增长模型通过考虑资本积累、劳动力增长和技术进步等因素，形成了一个能够解释实际经济增长现象的数学模型。
2. 分析宏观经济波动原因宏观经济波动是指经济系统在一定时期内出现的景气与衰退交替的现象。
通过建立宏观经济波动模型，可以分析经济波动的原因和规律。
例如，英国经济学家RBC模型表示，宏观经济波动主要受到技术进步和外部冲击的影响，通过数学建模，可以定量分析这些因素对经济稳定性的影响。
二、微观经济建模微观经济建模是以个体经济主体为研究对象，通过建立经济模型来分析和预测个体行为的一种方法。
1. 建立供需模型供需模型是分析市场行为的经济模型。
通过建立供给曲线和需求曲线的数学模型，可以预测市场价格和交易量的变化，并研究供求关系对市场均衡的影响。
例如，价格弹性模型能够定量分析价格变化对需求的影响程度，供需矩阵模型能够考虑多种产品和多个市场的需求与供给关系。
2. 分析市场竞争与垄断市场竞争与垄断是微观经济学中的重要研究领域。
通过数学建模，可以分析不同市场结构下的企业行为和市场效率。
例如，某个领域的垄断企业如何制定最佳定价策略，以最大化利润；或者在完全竞争市场下，如何确定最低成本生产量，以达到经济效益最大化。
三、数学建模对经济发展的影响1. 支持经济决策和政策制定数学建模可以为经济决策者提供定量分析和预测的依据，减少决策过程中的主观因素。
数学建模在经济学中的应用研究
数学建模在经济学中的应用研究数学建模是一种将数学理论和方法应用于实际问题的过程。
在经济学领域，数学建模被广泛应用于研究经济现象、预测经济趋势和制定经济政策等方面。
本文将介绍数学建模在经济学中的应用，并探讨其对经济学研究的影响和意义。
首先，数学建模在经济学中的应用可以帮助我们理解经济现象的本质。
经济学是研究资源配置和分配的科学，而经济现象往往涉及各种变量之间的关系。
通过建立经济模型，可以将这些变量及其之间的关系用数学方程来表示，从而更好地理解经济现象的本质。
例如，通过对供需关系的建模，我们可以推导出价格的变化对市场供求的影响，进而预测市场的波动和调整过程。
其次，数学建模在经济学中的应用可以帮助我们预测经济趋势。
经济的波动和变化往往是由多种因素所引起的，如消费者信心、金融政策、市场需求等。
通过建立经济模型并进行数据分析，可以将这些因素考虑在内，从而准确地预测经济的发展趋势。
例如，通过对GDP、物价指数等经济指标进行建模和分析，我们可以预测未来的经济增长速度、通货膨胀水平等关键经济变量的走势，从而指导政府和企业的决策。
另外，数学建模在经济学中的应用还可以帮助我们制定经济政策。
经济政策的制定需要考虑多种因素，并进行有效的评估和模拟。
通过建立适当的经济模型，政策制定者可以对各种政策进行测试和分析，从而找出最优的政策方案。
例如，在制定财政政策时，可以建立宏观经济模型，考虑不同政策措施对经济增长、就业和通货膨胀等的影响，从而做出科学合理的政策决策。
数学建模在经济学中的应用还可以促进不同学科之间的交叉研究。
经济学本身是一门复杂的学科，涉及到众多的变量和关系。
通过将数学建模与经济学相结合，可以为经济学的研究提供更严谨和精确的方法。
而数学建模的应用，则需要从经济学的角度对数学问题进行修正和解读，促进了数学与经济学之间的交流与合作。
例如，运用微分方程对经济动力系统进行建模，可以更好地揭示经济系统的运行机制和演化过程，为经济理论的研究和发展提供新的视角和新的方法。
数学建模论文：浅谈数学规划模型在经济学中的应用
浅谈数学规划模型在经济学中的应用一、 起因：经济学中的稀缺与效率经济学研究的是一个社会如何利用稀缺的资源生产有价值的物品和劳务，并将它们在不同的人中间进行分配。
经济学主要进行三点考虑；资源的稀缺性是经济学分析的前提；选择行为是经济学分析的对象；资源的有效配置是经济学分析的中心目标。
经济学最基本的两大主题即是稀缺与效率，其首要任务是利用有限的地球资源尽可能持续地开发成人类所需求的商品及其合理分配，即生产力与生产关系两个方面。
简而言之，经济学研究的是如何利用有限的资源实现分配的效率，而线性规划模型的研究对象是——(1)在现有的资源条件下，研究如何合理地计划、安排，可使某一目标达到最大化；(2)在任务确定后，研究如何合理地计划、安排, 用最低限度的人、财等资源，去实现任务。
——即线性规划可以以其特定的数学分析方法，实现体现在实际生产生活中的经济学的稀缺资源有效利用。
自1947年美国数学家丹捷格提出了求解线性规划问题的方法——单纯形法之后，线性规划在理论上趋于成熟，在实际中的应用日益广泛与深入。
特别是在能用计算机来处理成千上万个约束条件和变量的大规模线性规划问题之后，它的适用领域更广泛了。
从解决技术问题中的最优化设计到工业、农业、商业、交通运输业、军事、经济计划与管理、决策等各个领域均可发挥作用；从范围来看，小到一个小组的日常工作和计划安排，大至整个部门以致国民经济计划的最优方案的提出，都有用武之地。
它具有适应性强、应用广泛、计算技术比较简单的特点，是现代管理科学的重要基础和手段之一。
线性规划是研究线性约束条件下线性目标函数的极值问题的数学理论和方法。
它是运筹学的一个重要分支，为合理地利用有限的人力、物力、财力等资源做出的最优决策，提供科学的依据。
二、 过程：数学规划模型操作线性规划问题，即是要解决在一组线性的等式或不等式的约束之下，求一个线性函数的最大值或最小值的问题。
线性规划建模型的过程为：(1) 理解需要解决的问题，明确模型条件以及要达到的目标；(2) 针对问题定义一组决策变量，用x =(x 1, x 2, …, x n )T 表示某一方案。
数学建模在经济问题中的应用
数学建模在经济问题中的应用随着经济的发展，经济问题日益增多，如何有效而准确地处理这些问题，成为了经济学家们所关注的重点。
而在这种情况下，数学建模的应用也变得越来越重要。
数学建模是运用数学知识和方法，将现实世界的问题转化成数学模型，再通过计算机模拟等手段来解决问题的过程。
在经济领域，数学建模的应用越来越广泛，成为经济学研究的不可或缺的工具。
一、数学建模在金融风险管理中的应用金融是经济领域一个最为特殊的领域，它承担着资金配置和风险管理的重要任务。
然而，金融业存在着各种形式的风险，如市场风险、信用风险、操作风险等，这为金融风险管理带来了巨大的挑战。
数学建模在金融风险管理中的应用，成为了解决这一问题的重要途径。
常用的金融风险测度方法有VaR(Value at Risk)和ES(Expected Shortfall)。
他们都可以用来衡量金融产品的风险，通过数学建模，可以预测风险在某一置信水平下的最大损失，一定程度上降低了金融风险的管理难度。
数学建模在金融交易中也有着重要的应用。
金融交易需要根据市场实际情况制订相应的策略，数学建模可以帮助制定合理的交易策略，以获得最大的经济效益。
比如，可以用数学建模来评估不同的交易策略，确定最优策略，并且可以依据这些策略建立相应的预测模型。
二、数学建模在经济增长中的应用经济增长是一个国家发展水平的重要标志，而经济增长率的高低，又是经济增长的重要影响因素。
对于长期平稳发展经济的国家，如何让经济增长持续、稳健、可持续，成为政策制定的关键问题。
数学建模在经济增长中的应用，可以帮助我们找到最佳策略。
数学建模可以通过分析现有数据，实现经济增长的预测。
例如，用市场需求、产能、生产技术和资源获取等要素，建立了经济增长的数学模型。
通过对数学模型的预测分析，帮助经济管理者了解经济增长的潜力，以确定对应的产业结构政策、技术创新支持政策等。
数学建模在经济增长中的应用还可以涉及到国际贸易。
统计学和数学建模可以帮助分析市场数据、制定贸易政策，确定最优的经济增长模型。
数学模型在现代经济学中的应用
数学模型在现代经济学中的应用数学模型是一种抽象和理想化的工具，它可以帮助经济学家更好地理解和解释现实世界中的经济现象。
在现代经济学中，数学模型已经成为一种必不可少的工具，在经济学研究的各个领域都有广泛的应用。
本文将从宏观经济学到微观经济学，从市场竞争到资源配置等方面介绍数学模型在现代经济学中的应用。
1. 宏观经济学中的数学模型宏观经济学研究整个经济系统的运行规律和机制。
在宏观经济学中，数学模型常常被用来描述和分析宏观经济变量之间的关系，比如国民收入、通货膨胀率、失业率等。
通过建立宏观经济学模型，经济学家可以预测和解释宏观经济现象，并提出相应的政策建议。
2. 微观经济学中的数学模型微观经济学研究个体经济主体的行为和决策。
在微观经济学中，数学模型被用来描述个体的最优决策问题，比如消费者的效用最大化、厂商的利润最大化等。
通过建立微观经济学模型，经济学家可以深入分析个体经济主体的行为动机，为市场竞争和资源配置提供理论支持。
3. 数学模型在市场竞争中的应用市场竞争是现代经济学研究的一个重要领域，数学模型在这个领域中有着广泛的应用。
比如，经济学家可以通过建立博弈论模型来分析市场上的竞争行为和策略选择。
同时，运用数学模型可以帮助我们理解不完全竞争市场和垄断市场的运行机制，为政府监管和市场规制提供参考。
4. 数学模型在资源配置中的应用资源配置是经济学研究的核心问题之一，数学模型在资源配置中有着重要的应用价值。
比如，线性规划是一种常用的数学模型，它可以用来解决资源有限的情况下如何进行最优分配的问题。
通过建立线性规划模型，经济学家可以帮助政府和企业合理配置资源，提高经济效益。
5. 数学模型的局限性与挑战虽然数学模型在现代经济学中有广泛的应用，但它也存在一些局限性和挑战。
首先，数学模型往往是基于一定的假设和简化，可能不能完全反映现实经济的复杂性。
其次，数学模型的建立和求解需要大量的数据和计算资源，对研究人员的要求较高。
论数学建模在经济学中的应用
数学建模在经济学中的应用摘要数学建模是一种将现实世界的问题转化为数学问题，然后通过数学方法进行求解的过程。
在经济学领域，数学建模被广泛应用于解决各种经济问题，包括经济增长、市场竞争、资源分配等。
本文将介绍数学建模在经济学中的应用，并讨论其重要性及未来发展方向。
1. 引言数学建模作为一种重要的工具，已经成为解决经济学问题中不可缺少的手段。
经济学研究的对象和方法都具有复杂性和抽象性，因此需要借助数学来进行形式化分析。
数学建模能够帮助经济学家更好地理解经济现象，并为政策制定者提供决策支持。
本文将介绍数学建模在经济学中的具体应用。
2. 经济增长模型经济增长是研究一个国家或地区经济总体产出和生产要素增长的过程。
通过数学建模，经济学家可以构建经济增长模型，分析经济增长的原因和影响因素。
常用的经济增长模型包括Solow模型、Romer模型等。
这些模型通过引入生产要素、技术进步等变量，揭示了经济增长的机制和规律。
3. 市场竞争模型市场竞争是一种经济现象，其中买方和卖方根据供求关系自由决定产品的价格和数量。
通过数学建模，经济学家可以研究市场竞争的均衡状态、价格变动和市场结构等问题。
常用的市场竞争模型包括供求模型、垄断模型、寡头垄断模型等。
这些模型通过建立供求关系和利润最大化条件，分析市场竞争的效果和结果。
4. 资源分配模型资源分配是指将有限的资源分配给不同的经济主体，以实现最大化的利益。
通过数学建模，经济学家可以分析资源分配的效率和公平性问题。
常用的资源分配模型包括最优化模型、博弈论模型等。
这些模型通过建立约束条件和目标函数，求解最优的资源分配方案。
5. 数学建模在经济学中的重要性数学建模在经济学中具有重要的作用和意义。
首先，数学建模能够帮助经济学家更好地理解经济现象，揭示经济规律和机制。
其次，数学建模能够为政策制定者提供决策支持，帮助他们制定有效的经济政策。
此外，数学建模还能够促进学科交叉和创新，为经济学与其他学科的融合提供契机。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
浅谈数学规划模型在经济学中的应用
一、 起因：经济学中的稀缺与效率
经济学研究的是一个社会如何利用稀缺的资源生产有价值的物品和劳务，并将它们在不同的人中间进行分配。
经济学主要进行三点考虑；资源的稀缺性是经济学分析的前提；选择行为是经济学分析的对象；资源的有效配置是经济学分析的中心目标。
经济学最基本的两大主题即是稀缺与效率，其首要任务是利用有限的地球资源尽可能持续地开发成人类所需求的商品及其合理分配，即生产力与生产关系两个方面。
简而言之，经济学研究的是如何利用有限的资源实现分配的效率，而线性规划模型的研究对象是——(1)在现有的资源条件下，研究如何合理地计划、安排，可使某一目标达到最大化；(2)在任务确定后，研究如何合理地计划、安排, 用最低限度的人、财等资源，去实现任务。
——即线性规划可以以其特定的数学分析方法，实现体现在实际生产生活中的经济学的稀缺资源有效利用。
自1947年美国数学家丹捷格提出了求解线性规划问题的方法——单纯形法之后，线性规划在理论上趋于成熟，在实际中的应用日益广泛与深入。
特别是在能用计算机来处理成千上万个约束条件和变量的大规模线性规划问题之后，它的适用领域更广泛了。
从解决技术问题中的最优化设计到工业、农业、商业、交通运输业、军事、经济计划与管理、决策等各个领域均可发挥作用；从范围来看，小到一个小组的日常工作和计划安排，大至整个部门以致国民经济计划的最优方案的提出，都有用武之地。
它具有适应性强、应用广泛、计算技术比较简单的特点，是现代管理科学的重要基础和手段之一。
线性规划是研究线性约束条件下线性目标函数的极值问题的数学理论和方法。
它是运筹学的一个重要分支，为合理地利用有限的人力、物力、财力等资源做出的最优决策，提供科学的依据。
二、 过程：数学规划模型操作
线性规划问题，即是要解决在一组线性的等式或不等式的约束之下，求一个线性函数的最大值或最小值的问题。
线性规划建模型的过程为：
(1) 理解需要解决的问题，明确模型条件以及要达到的目标；
(2) 针对问题定义一组决策变量，用x =(x 1, x 2, …, x n )T 表示某一方案。
(3) 用决策变量的线性函数形式表示出所要寻求的目标，称为目标函数。
按问题的不同，要求目标函数在满足约束条件下实现最大化或最小化；
(4) 用一组含有决策变量的等式或不等式来表示在解决问题的过程中所必须遵循的约束条件。
其标准形式为：
三、 应用：具体案例结合分析
1122min n n
z c x c x c x =+++ 11112211211222221122..(1)n n n n m m mn n m
a x a x a x
b a x a x a x b s t a x a x a x b +++=⎧⎪+++=⎪⎨⎪⎪+++=⎩ 12,,,0n x x x ≥
在生产管理和经营活动中经常提出一类问题，即如何合理地利用有限的人力、物力、财力等资源，以便得到最好的经济效果。
生产组织计划问题
例某工厂在计划期内要安排生产I 、II两种产品，已知生产单位产品所需的设备台数及A、B两种原料的消耗，如下表所示。
该工厂每生产一件产品I可获利 2 元，每生产一件产品II可获利 3 元，问应如何安排生产计划使工厂获利最多？
解答：设 x 1, x 2分别表示在计划期内产品I、II的产量。
则：目标函数： max z = 2x 1 + 3 x 2
满足约束条件： x 1 + 2x 2 <8 .
4 x 1 <16
4 x 2 <12.
x 1，x 2 > 0
合理下料问题
下料问题，某一机床需要用甲、乙、丙三种规格的轴各一根，这些轴的规格分别是
2.9，2.1,1.5（m），这些轴需要用同一种圆钢来做，圆钢长度为7.4m。
现在要制造100
台机床，最少要用多少圆钢来生产这些轴？
【解】第一步：设一根圆钢切割成甲、乙、丙三种轴的根数分别为y1,y2,y3,则切割方式可用不等式2.9y1+2.1y2+1.5y3≤7.4表示，求这个不等式关于y1，y2，y3的非负整
数解。
例如y 1=2,y 2=0则y 3只能为1，余料为0.1。
象这样的非负整数解共有8组，也就是有8种下料方式，如表1-2所示。
第二步：建立线性规划数学模型。
设x j (j=1,2…,8)为第j 种下料方案所用圆钢的根数。
则数学模型为 2.9y 1+2.1y 2+1.5y 3≤7.4
如果要求余料最少，则目标函数及约束条件为：
四、 反思：线性规划在经济学中的发展及局限
一方面，我们无法忽视数学在经济学这门学科的发展中起到的至关重要的作用。
经济学中的很多问题是复杂的、抽象的，只有将影响某一要素的各项因素综合考虑进来，并且最终建立定量数学模型，用确实的数学表达式贴切的描述各项要素间错综复杂的关系，才能够有充足而坚实的理论基础来论证经济学中的理论观点。
简而言之，数学建模是为了解决经济领域中的问题而作的一个抽象的、简化的结构的数学刻画。
数学经济建模促进经济学的发展，带来了现实的生产效率。
在经济决策科学化、定量化呼声日渐高涨的今天,数学经济建模更是无处不在。
如生产厂家可根据客户提出的产品数量、质量、交货期、交货方式、交货地点等要求,根据快速报价系统与客户进行商业谈判。
而线性规划模型作为一种最为基础的重要模型，在以上各方面都有不可磨灭的作用。
不论是决定生产组织计划、生产工程配给，还是更为广阔的证券投资组合、工程建设区域效益等各类问题中，数学规划模型总能提供一定的合理依据，结合具体数字，才能造就更为客观的经济效益，真正实现有限资源的高效利用。
然而，在另一方面，经济学毕竟不是数学。
相比较高度浓缩凝练的数学表达式，经济学本身也有更多重要的经济思想，很多主观因素或不可测变量也不是仅仅由数学模型能够表达清楚的。
而线性规划模型更是要求所求问题的每个变量都可以归于一个准确的线性关系，但这在现实经济生活中往往是难以达到的，因此还需要引入更多的数学模型，甚至除数学以外的其他方法才能更准确完整地表达、分析、提供对策。
例如，环境因素和生产安排的互相影响往往是难以估量的，我们在数学模型中得到的大体结果依然要结合实际情况再做进一步的分析和调整。
对与经济学中的数学来讲，它充当的更多的是一种分析工具的作用，而不能单纯替代经济学，或者将经济学作为数学的依附，这些都会导致我们错失很多此学科本身的魅力。
总之，经济学与数学在交融中互相促进，共同发展。
经济学借助数学方法以更好地实现“有限资源充分利用”的初衷，而数学以经济实例在生活中处处展现熠熠光辉。
我们有理由相信，在彼此的相互促进发展中，现实的经济生产生活将会得到更好更快更合理的进步！ ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧⋯=≥=+++++=++++=+++82,1,0100
4323100232100
2876431765324321，j x x x x x x x x x x x x x x x x j 87654321min x x x x x x x x Z ++++++=＋87653214.18.02.01.19.03.01.0min x x x x x x x Z +++++=＋⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧⋯=≥=+++++=++++=+++82,1,010043231002321002876431
765324321，
j x x x x x x x x x x x x x x x x j。