初三数学下学期第一次月考试题
九年级数学下学期第一次月考试题
-九年级数学下学期第一次月考试题一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） A 、三点确定一个圆 B 、度数相等的弧相等C 、圆周角是直角的所对弦是直径D 、相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等 2、如图1,在以O 为圆心的两个同心圆中,大圆的弦AB 交小圆于C 和D 两点,AB=10cm,CD=6cm,则AC 长为 ( )A 0.5cmB 1cmC 1.5cmD 2cm3、两圆的半径分别为R 和r ，圆心距d =3，且R ，r 是方程27100x x -+=的两个根，则这两个圆的位置关系是（ ） A ．内切B ．外切C ．相交D ．外离4、如图2，将两枚同样大小的硬币放在桌上，固定其中一枚，而另一枚则沿着其边缘滚动一周，这时滚动的硬币滚动了( ) A ．1圈 B ．1.5圈 C ．2圈 D ．2.5圈5、如图 3，⊙O 是正方形 ABCD 的外接圆，点 P 在⊙O 上，则∠APB 等于（ ）A ． 30° B． 45° C． 55° D． 60°6、若1O ⊙与2O ⊙相切，且125O O =，1O ⊙的半径12r =，则2O ⊙的半径2r 是（ ）A ． 3B ． 5C ． 7D ． 3 或77、如图，已知的半径为1，锐角内接于，于点，于点，则的值等于（ ）A ．的长B ．的长C ．的长D ．的长8、正方形网格中，AOB ∠如图5放置，则sin AOB ∠=（ ）O ⊙ABC △O ⊙BD AC ⊥D OM AB ⊥M sin CBD ∠OM 2OM CD 2CD r r第4题图OC BAD M第2 题图 C PDO BA第5题图第7题图AＡ．55Ｂ．255Ｃ．12Ｄ．29、如图，AB是半圆O的直径，点P从点O出发，沿的路径运动一周．设为，运动时间为，则下列图形能大致地刻画与之间关系的是（）10、已知二次函数2y ax bx c=++（0a≠）的图象如图7所示，有下列4个结论：①0abc>；②b a c<+；③420a b c++>；④240b ac->；其中正确的结论有（）A．1个B．2个C．3个D．4个二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）11、计算：_______________2130cos60sin00=-12、直线l与⊙O有两个公共点A，B，O到直线l的距离为5cm，AB=24cm，则⊙O的半径是 _____________cm．13、如图，AB是⊙O的直径，点C、D是圆上两点,∠AOC=100°，则∠D= 度.14、圆锥的高为33cm，底面圆半径为3cm，则它的侧面积等于．15、一个圆锥的侧面积是底面积的2倍，则该圆锥的侧面展开图扇形的圆心角度数是．16、已知二次函数（）与一次函数的图象相交于点A（－2，4），B（8，2）（如图所示），则能使成立的x的取值范围OA AB BO--OP s t s tcbxaxy++=21≠a)0(2≠+=kmkxy21yy>PAOBstOsO t Ost OstA B．C．D是．三、（本大题共3个小题，第17小题6分，第18、19小题各7分，共20分）17、如图，AB、CD是⊙O的两条弦，延长AB、CD交于点P，连接AD、BC交于点E，∠P=30°，∠ABC=50°，求∠A的度数.18、如图，在△中，∠=90°，sin=，=15，求△的周长和tan的值．19、求二次函数352442++=xxy的图像的对称轴、顶点坐标及与x轴的交点坐标.四、（本大题共2个小题，每小题8分，共16分）20、已知抛物线与x轴交于点M（-1，0）、N（2，0），且经过点（1，2），求这个函数的表达式；21、如图，一艘核潜艇在海面下500米A点处测得俯角为30°正前方的海底有黑匣子信号发出，继续在同一深度直线航行4000米后再次在B点处测得俯角为60°正前方的海底有黑匣子信号发出，求海底黑匣子C点处距离海面的深度？（精确到米，参考数据：2 1.414≈，3 1.732≈，5 2.236≈）ABC C A54AB ABC A30°60°BADC海面第21题图五、（本大题共2小题，第22小题8分，第23小题9分，共17分）22、如图，点A ，B 在直线MN 上，AB ＝11厘米，⊙A ，⊙B 的半径均为1厘米．⊙A 以每秒2厘米的速度自左向右运动，与此同时，⊙B 的半径也不断增大，其半径r （厘米）与时间t （秒）之间的关系式为r ＝1+t （t ≥0）．（1）试写出点A ，B 之间的距离d （厘米） 与时间t （秒）之间的函数表达式； （2）问点A 出发后多少秒两圆相切？23、如图，已知半径为1的1O 与x 轴交于A B ，两点，OM 为1O 的切线，切点为M ，圆心1O 的坐标为(20)，，二次函数2y x bx c =-++的图象经过A B ，两点． （1）求二次函数的解析式；（2）求切线OM 的函数解析式；（3）线段OM 上是否存在一点P ，使得以P O A ，，为顶点的三角形与1OO M △相似．若存在，请求出所有符合条件的点P 的坐标；若不存在，请说明理由．六、（本大题共2个小题，第24小题9分，第25小题10分，共19分）yxO AB MO 1ABNM24、如图，⊙O 的直径AB =4，C 为圆周上一点，AC =2，过点C 作⊙O 的切线l ，过点B 作l 的垂线BD ，垂足为D ，BD 与⊙O 交于点 E ． (1) 求∠AEC 的度数； （2）求证：四边形OBEC 是菱形．25、在△ABC 中，∠A ＝90°，AB ＝4，AC ＝3，M 是AB 上的动点（不与A ，B 重合），过M 点作MN ∥BC 交AC 于点N ．以MN 为直径作⊙O ，并在⊙O 内作内接矩形AMPN ．令AM ＝x ． （1）用含x 的代数式表示△ＭNP 的面积S ； （2）当x 为何值时，⊙O 与直线BC 相切？（3）在动点M 的运动过程中，记△ＭNP 与梯形BCNM 重合的面积为y ，试求y 关于x 的函数表达式，并求x 为何值时，y 的值最大，最大值是多少？25、在△ABC 中，∠A ＝90°，AB ＝4，AC ＝3，M 是AB 上的动点（不与A ，B 重合），过M 点作MN ∥BC交AC 于点N ．以MN 为直径作⊙O ，并在⊙O 内作内接矩形AMPN ．令AM ＝x ．ABCMND 图 2OA BC MNP图 1O AB CMN P 图 4 O ABCMNP图 3O AC D E BO（第24题l（1）用含x 的代数式表示△ＭNP 的面积S ； （2）当x 为何值时，⊙O 与直线BC 相切？（3）在动点M 的运动过程中，记△ＭNP 与梯形BCNM 重合的面积为y ，试求y 关于x 的函数表达式，并求x 为何值时，y 的值最大，最大值是多少？解：（1）∵MN ∥BC ，∴∠AMN =∠B ，∠ANM ＝∠C ． ∴ △AMN ∽ △ABC ．∴ AM AN AB AC=，即43x AN=．∴ AN ＝43x ．∴ S =2133248MNP AMN S S x x x ∆∆==⋅⋅=．（0＜x ＜4） （2）如图2，设直线BC 与⊙O 相切于点D ，连结AO ，OD ，则AO =OD =21MN ． 在Rt△ABC 中，BC ＝22AB AC +=5． 由（1）知 △AMN ∽ △ABC ．∴ AM MN AB BC =，即45x MN=．∴ 54MN x =，∴ 58OD x =．过M 点作MQ ⊥BC 于Q ，则58MQ OD x ==． 在Rt △BMQ 与Rt △BCA 中，∠B 是公共角， ∴ △BMQ ∽△BCA ． ∴ BM QM BC AC=．ABCMND 图 2O QABC MNP图 1O ABCMND 图 2OA BC MNP图 1O AB CMN P 图 4 O ACMNP 图 3O∴ 55258324xBM x ⨯==，25424AB BM MA x x =+=+=． ∴ x ＝4996． ∴ 当x ＝4996时，⊙O 与直线BC 相切． （3）随点M 的运动，当P 点落在直线BC 上时，连结AP ，则O 点为AP 的中点． ∵ MN ∥BC ，∴ ∠AMN =∠B ，∠AOM ＝∠APC ． ∴ △AMO ∽ △ABP ．∴ 12AM AO AB AP ==． AM ＝MB ＝2．故以下分两种情况讨论：① 当0＜x ≤2时，2Δ83x S y PMN ==．∴ 当x ＝2时，2332.82y =⨯=最大 ② 当2＜x ＜4时，设PM ，PN 分别交BC 于E ，F ．∵ 四边形AMPN 是矩形， ∴ PN ∥AM ，PN ＝AM ＝x ． 又∵ MN ∥BC ，∴ 四边形MBFN 是平行四边形． ∴ FN ＝BM ＝4－x ．∴ ()424PF x x x =--=-． 又△PEF ∽ △ACB ．∴ 2PEF ABCS PF AB S ∆∆⎛⎫= ⎪⎝⎭． ∴ ()2322PEF S x ∆=-． MNP PEF y S S ∆∆=-＝()222339266828x x x x --=-+-.当2＜x ＜4时，29668y x x =-+-298283x ⎛⎫=--+ ⎪⎝⎭．∴ 当83x =时，满足2＜x ＜4，2y =最大． 综上所述，当83x =时，y 值最大，最大值是2．ABCMN P图 4OE F ACMNP 图 3O。
九年级(下)第一次月考数学试题
九年级（下）第一次月考数学试卷一.选择题（本大题共20小题，在每小题给出的四个选项中，只有一个是正确的，请把正确的选项选出来，每小题选对得3分，选错.不选或选出的答案超过一个，均记零分）1．据2013年1月24日《桂林日报》报道，临桂县2012年财政收入突破18亿元，在广西各县中排名第二．将18亿用科学记数法表示为（）A．1.8×10 B．1.8×108C．1.8×109D．1.8×10102．如图，在▱ABCD中，已知AD=8cm，AB=6cm，DE平分∠ADC交BC边于点E，则BE 等于（）A．2cm B．4cm C．6cm D．8cm3．如图，给出下列四组条件：①AB=DE，BC=EF，AC=DF；②AB=DE，BC=EF，∠B=∠E；③∠B=∠E，∠C=∠F，BC=EF；④AB=DE，AC=DF，∠B=∠E．其中，能使△ABC≌△DEF的条件共有（）A．1组B．2组C．3组D．4组4．某商场试销一种新款衬衫，一周内销信情况如表所示：商场经理要了解哪种型号最畅销，则上述数据的统计量中，对商场经理来说最具有意义的是（）A．平均数B．众数C．中位数D．方差5．一个长方体的左视图、俯视图及相关数据如图所示，则其主视图的面积为（）A．6 B．8 C．12 D．246．计算2a2÷a结果是（）A．2 B．2a C．2a3D．2a27．如图，已知OA，OB均为⊙O上一点，若∠AOB=80°，则∠ACB=（）A．80°B．70°C．60°D．40°8．一个均匀的立方体六个面上分别标有数1，2，3，4，5，6．如图是这个立方体表面的展开图．抛掷这个立方体，则朝上一面上的数恰好等于朝下一面上的数的的概率是（）A．B．C．D．9．有两块面积相同的试验田，分别收获蔬菜900kg和1500kg，已知第一块试验田每亩收获蔬菜比第二块少300kg，求第一块试验田每亩收获蔬菜多少千克．设第一块试验田每亩收获蔬菜xkg，根据题意，可得方程（）A．B．C．D．10．若不等式组有解，则k的取值范围是（）A．k＜2 B．k≥2 C．k＜1 D．1≤k＜211．如图，等边△ABC的内切圆O切BC边于点D，己知等边三角形的边长为12cm，则图中阴影部分的面积为（）A．πcm2B．πcm2C．2πm2D．cm212．如图，在等腰直角△ACB中，∠ACB=90°，O是斜边AB的中点，点D、E分别在直角边AC、BC上，且∠DOE=90°，DE交OC于点P．则下列结论：（1）图形中全等的三角形只有两对；（2）△ABC的面积等于四边形CDOE的面积的2倍；（3）CD+CE=OA；（4）AD2+BE2=2OPOC．其中正确的结论有（）A．1个B．2个C．3个D．4个13．已知代数式﹣3x m﹣1y3与x n y m+n是同类项，那么m、n的值分别是（）A．B．C．D．14．如图，四边形ABCD为正方形，若AB=4，E是AD边上一点（点E与点A、D不重合），BE的中垂线交AB于M，交DC于N，设AE=x，则图中阴影部分的面积S与x的大致图象是（）A．B．C．D．15．直角三角形纸片的两直角边长分别为6，8，现将△ABC如图那样折叠，使点A与点B 重合，折痕为DE，则tan∠CBE的值是（）A．B．C．D．16．已知反比例函数的图象如图，则二次函数y=2kx2﹣x+k2的图象大致为（）A．B．C．D．17．如图所示，边长为1的小正方形构成的网格中，半径为1的⊙O的圆心O在格点上，则∠AED的正切值等于（）A．B．C．2 D．18．如图，平面直角坐标系中，OB在x轴上，∠ABO=90°，点A的坐标为（1，2），将△AOB绕点A逆时针旋转90°，点O的对应点C恰好落在双曲线y=（x＞0）上，则k的值为（）A．2 B．3 C．4 D．619．如图，以等边三角形ABC的BC边为直径画半圆，分别交AB、AC于点E、D，DF是圆的切线，过点F作BC的垂线交BC于点G．若AF的长为2，则FG的长为（）A．4 B．C．6 D．20．若二次函数y=ax2+bx+c的x与y的部分对应值如下表，则当x=1时，y的值为（）A．5 B．﹣3 C．﹣13 D．﹣27二、填空题（本大题共4个小题，满分12分，只要求填写最后结果，每小题填对的3分）21．计算的结果是．22．分解因式：m3﹣4m2+4m=．23．四边形ABCD的对角线AC、BD的长分别为m、n，可以证明当AC⊥BD时（如左图），四边形ABCD的面积S=mn，那么当AC、BD所夹的锐角为θ时（如图），四边形ABCD 的面积S=．（用含m、n、θ的式子表示）24．如图①，在△AOB中，∠AOB=90°，OA=3，OB=4．将△AOB沿x轴依次以点A、B、O为旋转中心顺时针旋转，分别得到图②、图③、…，则旋转得到的图⑩的直角顶点的坐标为．三、解答题（共48分）25．已知反比例函数y1=的图象与一次函数y2=ax+b的图象交于点A（1，4）和点B（m，﹣2），（1）求这两个函数的关系式；（2）观察图象，写出使得y1＞y2成立的自变量x的取值范围；（3）如果点C与点A关于x轴对称，求△ABC的面积．26．如图，在△ABC中，D是BC边上一点，E是AC边上一点，且满足AD=AB，∠ADE=∠C．（1）求证：∠AED=∠ADC，∠DEC=∠B；（2）求证：AB2=AEAC．27．某商店经销一种泰山旅游纪念品，4月份的营业额为2000元，为扩大销售量，5月份该商店对这种纪念品打9折销售，结果销售量增加20件，营业额增加700元．（1）求该种纪念品4月份的销售价格；（2）若4月份销售这种纪念品获利800元，5月份销售这种纪念品获利多少元？28．已知四边形ABCD中，E，F分别是AB，AD边上的点，DE与CF交于点G．（1）如图1，若四边形ABCD是矩形，且DE⊥CF．求证：；（2）如图2，若四边形ABCD是平行四边形．试探究：当∠B与∠EGC满足什么关系时，使得成立？并证明你的结论；（3）如图3，若BA=BC=6，DA=DC=8，∠BAD=90°，DE⊥CF．请直接写出的值．29．如图，抛物线经过A（﹣1，0），B（5，0），C（0，）三点．（1）求抛物线的解析式；（2）在抛物线的对称轴上有一点P，使PA+PC的值最小，求点P的坐标；（3）点M为x轴上一动点，在抛物线上是否存在一点N，使以A，C，M，N四点构成的四边形为平行四边形？若存在，求点N的坐标；若不存在，请说明理由．参考答案与试题解析一.选择题（本大题共20小题，在每小题给出的四个选项中，只有一个是正确的，请把正确的选项选出来，每小题选对得3分，选错.不选或选出的答案超过一个，均记零分）1．据2013年1月24日《桂林日报》报道，临桂县2012年财政收入突破18亿元，在广西各县中排名第二．将18亿用科学记数法表示为（）A．1.8×10 B．1.8×108C．1.8×109D．1.8×1010【考点】科学记数法—表示较大的数．【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞1时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．【解答】解：18亿=18 0000 0000=1.8×109，故选：C．【点评】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．2．如图，在▱ABCD中，已知AD=8cm，AB=6cm，DE平分∠ADC交BC边于点E，则BE 等于（）A．2cm B．4cm C．6cm D．8cm【考点】平行四边形的性质；等腰三角形的性质．【分析】由平行四边形对边平行根据两直线平行，内错角相等可得∠EDA=∠DEC，而DE 平分∠ADC，进一步推出∠EDC=∠DEC，在同一三角形中，根据等角对等边得CE=CD，则BE可求解．【解答】解：根据平行四边形的性质得AD∥BC，∴∠EDA=∠DEC，又∵DE平分∠ADC，∴∠EDC=∠ADE，∴∠EDC=∠DEC，∴CD=CE=AB=6，即BE=BC﹣EC=8﹣6=2．故选：A．【点评】本题直接通过平行四边形性质的应用，及等腰三角形的判定，属于基础题．3．如图，给出下列四组条件：①AB=DE，BC=EF，AC=DF；②AB=DE，BC=EF，∠B=∠E；③∠B=∠E，∠C=∠F，BC=EF；④AB=DE，AC=DF，∠B=∠E．其中，能使△ABC≌△DEF的条件共有（）A．1组B．2组C．3组D．4组【考点】全等三角形的判定．【分析】根据全等三角形判定的条件，可得答案．【解答】解：①AB=DE，BC=EF，AC=DF；②AB=DE，BC=EF，∠B=∠E；③∠B=∠E，∠C=∠F，BC=EF；故选：C．【点评】本题考查了全等三角形的判定，熟记全等三角形的判定是解题关键．4．某商场试销一种新款衬衫，一周内销信情况如表所示：商场经理要了解哪种型号最畅销，则上述数据的统计量中，对商场经理来说最具有意义的是（）A．平均数B．众数C．中位数D．方差【考点】统计量的选择．【分析】根据题意可知最畅销的应为众数，本题得以解决．【解答】解：由题意可知，最畅销的型号应该是销售量最多的型号，故对商场经理来说最具有意义的是众数，故选B．【点评】本题考查统计量的选择，解题的关键是明确题意，找出满足所求问题的条件．5．一个长方体的左视图、俯视图及相关数据如图所示，则其主视图的面积为（）A．6 B．8 C．12 D．24【考点】由三视图判断几何体．【分析】找到主视图中原几何体的长与高让它们相乘即可．【解答】解：主视图反映物体的长和高，左视图反映物体的宽和高，俯视图反映物体的长和宽．结合三者之间的关系从而确定主视图的长和高分别为4，2，所以面积为8，故选：B．【点评】解决本题的关键是根据所给的左视图和俯视图得到主视图的各边长．6．计算2a2÷a结果是（）A．2 B．2a C．2a3D．2a2【考点】同底数幂的除法．【分析】同底数幂的除法，底数不变，指数相减．【解答】解：2a2÷a=2a2﹣1=2a．故选B．【点评】此题考查的是同底数幂的除法：底数不变，指数相减．7．如图，已知OA，OB均为⊙O上一点，若∠AOB=80°，则∠ACB=（）A．80°B．70°C．60°D．40°【考点】圆心角、弧、弦的关系．【分析】由同弧所对的圆心角和圆周角的关系可得，∠AOB=2∠ACB，则结果即可得出．【解答】解：由题意得，∠ACB=∠AOB=×80°=40°．故选D．【点评】本题考查了圆心角、弧、弦的关系，重点是圆周角定理的应用．8．一个均匀的立方体六个面上分别标有数1，2，3，4，5，6．如图是这个立方体表面的展开图．抛掷这个立方体，则朝上一面上的数恰好等于朝下一面上的数的的概率是（）A．B．C．D．【考点】概率公式；专题：正方体相对两个面上的文字．【分析】让朝上一面上的数恰好等于朝下一面上的数的的情况数除以总情况数即为朝上一面上的数恰好等于朝下一面上的数的的概率．【解答】解：根据图看出只有6和3是对面，1和4是对面，2和5是对面；并且只有3在上面时6在下面，朝上一面上的数恰好等于朝下一面上的数的，抛掷这个立方体，朝上一面上的数恰好等于3的概率是．故选A．【点评】本题考查了统计与概率中概率的求法，要善于观察把图折成立方体时各个面是什么数字．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．9．有两块面积相同的试验田，分别收获蔬菜900kg和1500kg，已知第一块试验田每亩收获蔬菜比第二块少300kg，求第一块试验田每亩收获蔬菜多少千克．设第一块试验田每亩收获蔬菜xkg，根据题意，可得方程（）A．B．C．D．【考点】由实际问题抽象出分式方程．【分析】关键描述语是：有两块面积相同的试验田．等量关系为：第一块的亩数=第二块的亩数．【解答】解：第一块试验田的亩数为：；第二块试验田的亩数为：．那么所列方程为：=．故选：C．【点评】题中一般有三个量，已知一个量，求一个量，一定是根据另一个量来列等量关系的．找到关键描述语，找到等量关系是解决问题的关键．10．若不等式组有解，则k的取值范围是（）A．k＜2 B．k≥2 C．k＜1 D．1≤k＜2【考点】不等式的解集．【分析】根据不等式的解集，即可解答．【解答】解：∵不等式组有解，∴k＜1，故选：C．【点评】本题考查了解一元一次不等式和解一元一次不等式组的应用，解决本题的关键是熟记不等式的解集．11．如图，等边△ABC的内切圆O切BC边于点D，己知等边三角形的边长为12cm，则图中阴影部分的面积为（）A．πcm2B．πcm2C．2πm2D．cm2【考点】扇形面积的计算；等边三角形的性质；三角形的内切圆与内心．【分析】根据等边三角形的三线合一，得三角形BOD是一个由半边、内切圆的半径和外接圆的半径组成的一个30°的直角三角形，那么阴影部分的面积为圆心角为60°，半径为2的扇形．【解答】解：三角形内切圆的半径是=2cm，∴其阴影部分的面积是=2πcm2．故选C【点评】主要考查等边三角形的三线合一，得等边三角形的内心也是它的外心；需熟悉扇形的面积公式．12．如图，在等腰直角△ACB中，∠ACB=90°，O是斜边AB的中点，点D、E分别在直角边AC、BC上，且∠DOE=90°，DE交OC于点P．则下列结论：（1）图形中全等的三角形只有两对；（2）△ABC的面积等于四边形CDOE的面积的2倍；（3）CD+CE=OA；（4）AD2+BE2=2OPOC．其中正确的结论有（）A．1个B．2个C．3个D．4个【考点】等腰直角三角形；全等三角形的判定与性质；勾股定理；相似三角形的判定与性质．【分析】结论（1）错误．因为图中全等的三角形有3对；结论（2）正确．由全等三角形的性质可以判断；结论（3）正确．利用全等三角形和等腰直角三角形的性质可以判断．结论（4）正确．利用相似三角形、全等三角形、等腰直角三角形和勾股定理进行判断．【解答】解：结论（1）错误．理由如下：图中全等的三角形有3对，分别为△AOC ≌△BOC ，△AOD ≌△COE ，△COD ≌△BOE ．由等腰直角三角形的性质，可知OA=OC=OB ，易得△AOC ≌△BOC ．∵OC ⊥AB ，OD ⊥OE ，∴∠AOD=∠COE ． 在△AOD 与△COE 中，∴△AOD ≌△COE （ASA ）． 同理可证：△COD ≌△BOE ． 结论（2）正确．理由如下： ∵△AOD ≌△COE ， ∴S △AOD =S △COE ，∴S 四边形CDOE =S △COD +S △COE =S △COD +S △AOD =S △AOC =S △ABC ， 即△ABC 的面积等于四边形CDOE 的面积的2倍．结论（3）正确，理由如下： ∵△AOD ≌△COE ， ∴CE=AD ，∴CD +CE=CD +AD=AC=OA ．结论（4）正确，理由如下：∵△AOD ≌△COE ，∴AD=CE ；∵△COD ≌△BOE ，∴BE=CD ．在Rt △CDE 中，由勾股定理得：CD 2+CE 2=DE 2，∴AD 2+BE 2=DE 2．∵△AOD ≌△COE ，∴OD=OE ，又∵OD ⊥OE ，∴△DOE 为等腰直角三角形，∴DE 2=2OE 2，∠DEO=45°．∵∠DEO=∠OCE=45°，∠COE=∠COE ，∴△OEP ∽△OCE ，∴，即OPOC=OE2．∴DE2=2OE2=2OPOC，∴AD2+BE2=2OPOC．综上所述，正确的结论有3个，故选：C．【点评】本题是几何综合题，考查了等腰直角三角形、全等三角形、相似三角形和勾股定理等重要几何知识点．难点在于结论（4）的判断，其中对于“OPOC”线段乘积的形式，可以寻求相似三角形解决问题．13．已知代数式﹣3x m﹣1y3与x n y m+n是同类项，那么m、n的值分别是（）A．B．C．D．【考点】同类项；解二元一次方程组．【分析】本题考查同类项的定义，所含字母相同且相同字母的指数也相同的项是同类项，根据同类项的定义中相同字母的指数也相同，可先列出关于m和n的二元一次方程组，再解方程组求出它们的值．【解答】解：由同类项的定义，得，解得．故选C．【点评】同类项定义中的两个“相同”：（1）所含字母相同；（2）相同字母的指数相同，是易混点，因此成了中考的常考点．解题时注意运用二元一次方程组求字母的值．14．如图，四边形ABCD为正方形，若AB=4，E是AD边上一点（点E与点A、D不重合），BE的中垂线交AB于M，交DC于N，设AE=x，则图中阴影部分的面积S与x的大致图象是（）A．B．C．D．【考点】动点问题的函数图象．【分析】根据ABCD是正方形，可以证明BE=MN，阴影部分的面积等于正方形ABCD的面积减去四边形MBNE的面积，得到S关于x的二次函数，然后确定函数的大致图形．【解答】解：在△ABE中，BE==，∵ABCD是正方形，∴BE=MN，=BEMN=x2+8，∴S四边形MBNE∴阴影部分的面积S=16﹣（x2+8）=﹣x2+8．根据二次函数的图形和性质，这个函数的图形是开口向下，对称轴是Y轴，顶点是（0，8），自变量的取值范围是0＜x＜4．故选C．【点评】本题考查的是动点问题的函数图象，先根据正方形的性质得到BE=MN，然后表示出S关于x的二次函数，确定二次函数的大致图象．15．直角三角形纸片的两直角边长分别为6，8，现将△ABC如图那样折叠，使点A与点B 重合，折痕为DE，则tan∠CBE的值是（）A．B．C．D．【考点】锐角三角函数的定义；勾股定理；翻折变换（折叠问题）．【分析】折叠后形成的图形相互全等，利用三角函数的定义可求出．【解答】解：根据题意，BE=AE．设CE=x，则BE=AE=8﹣x．在Rt△BCE中，根据勾股定理得：BE2=BC2+CE2，即（8﹣x）2=62+x2解得x=，∴tan∠CBE===．故选：C．【点评】本题考查锐角三角函数的概念：在直角三角形中，正弦等于对比斜；余弦等于邻比斜；正切等于对比邻．16．已知反比例函数的图象如图，则二次函数y=2kx2﹣x+k2的图象大致为（）A．B．C．D．【考点】二次函数的图象；反比例函数的图象．【分析】根据反比例函数图象确定出k＜0，然后确定出二次函数的开口方向和对称轴以及二次函数与y轴的交点位置，从而得解．【解答】解：∵反比例函数图象在第二四象限，∴k＜0，∴二次函数图象开口向下，抛物线对称轴为直线x=﹣＜0，∵k2＞0，∴二次函数图象与y轴的正半轴相交．纵观各选项，只有D选项图象符合．故选：D．【点评】本题考查了二次函数图象，反比例函数图象，根据k的取值范围求出二次函数开口方向、对称轴和与y轴的正半轴相交是解题的关键．17．如图所示，边长为1的小正方形构成的网格中，半径为1的⊙O的圆心O在格点上，则∠AED的正切值等于（）A．B．C．2 D．【考点】圆周角定理；锐角三角函数的定义．【分析】根据同弧或等弧所对的圆周角相等来求解．【解答】解：∵∠E=∠ABD，∴tan∠AED=tan∠ABD==．故选D．【点评】本题利用了圆周角定理（同弧或等弧所对的圆周角相等）和正切的概念求解．18．如图，平面直角坐标系中，OB在x轴上，∠ABO=90°，点A的坐标为（1，2），将△AOB绕点A逆时针旋转90°，点O的对应点C恰好落在双曲线y=（x＞0）上，则k的值为（）A．2 B．3 C．4 D．6【考点】反比例函数图象上点的坐标特征；坐标与图形变化-旋转．【分析】由旋转可得点D的坐标为（3，2），那么可得到点C的坐标为（3，1），那么k 等于点C的横纵坐标的积．【解答】解：易得OB=1，AB=2，∴AD=2，∴点D的坐标为（3，2），∴点C的坐标为（3，1），∴k=3×1=3．故选：B．【点评】解决本题的关键是利用旋转的性质得到在反比例函数上的点C的坐标．19．如图，以等边三角形ABC的BC边为直径画半圆，分别交AB、AC于点E、D，DF是圆的切线，过点F作BC的垂线交BC于点G．若AF的长为2，则FG的长为（）A．4 B．C．6 D．【考点】切线的性质；等边三角形的性质；含30度角的直角三角形；勾股定理；圆周角定理．【分析】连接OD，由DF为圆的切线，利用切线的性质得到OD垂直于DF，根据三角形ABC为等边三角形，利用等边三角形的性质得到三条边相等，三内角相等，都为60°，由OD=OC，得到三角形OCD为等边三角形，进而得到OD平行与AB，由O为BC的中点，得到D为AC的中点，在直角三角形ADF中，利用30°所对的直角边等于斜边的一半求出AD的长，进而求出AC的长，即为AB的长，由AB﹣AF求出FB的长，在直角三角形FBG 中，利用30°所对的直角边等于斜边的一半求出BG的长，再利用勾股定理即可求出FG的长．【解答】解：连接OD，∵DF为圆O的切线，∴OD⊥DF，∵△ABC为等边三角形，∴AB=BC=AC，∠A=∠B=∠C=60°，∵OD=OC，∴△OCD为等边三角形，∴∠CDO=∠A=60°，∠ABC=∠DOC=60°，∴OD∥AB，∴DF⊥AB，在Rt△AFD中，∠ADF=30°，AF=2，∴AD=4，即AC=8，∴FB=AB﹣AF=8﹣2=6，在Rt△BFG中，∠BFG=30°，∴BG=3，则根据勾股定理得：FG=3．故选：B【点评】此题考查了切线的性质，等边三角形的性质，含30°直角三角形的性质，勾股定理，熟练掌握切线的性质是解本题的关键．20．若二次函数y=ax2+bx+c的x与y的部分对应值如下表，则当x=1时，y的值为（）A．5 B．﹣3 C．﹣13 D．﹣27【考点】待定系数法求二次函数解析式．【分析】由表可知，抛物线的对称轴为x=﹣3，顶点为（﹣3，5），再用待定系数法求得二次函数的解析式，再把x=1代入即可求得y的值．【解答】解：设二次函数的解析式为y=a（x﹣h）2+k，∵当x=﹣4或﹣2时，y=3，由抛物线的对称性可知h=﹣3，k=5，∴y=a（x+3）2+5，把（﹣2，3）代入得，a=﹣2，∴二次函数的解析式为y=﹣2（x+3）2+5，当x=1时，y=﹣27．故选D．【点评】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式，抛物线是轴对称图形，由表看出抛物线的对称轴为x=﹣3，顶点为（﹣3，5），是本题的关键．二、填空题（本大题共4个小题，满分12分，只要求填写最后结果，每小题填对的3分）21．计算的结果是3．【考点】二次根式的混合运算．【分析】本题只需将二次根式化为最简，然后合并同类二次根式，最后进行二次根式的除法运算即可．【解答】解：原式=（5﹣2）÷=3．故答案为：3．【点评】本题考查二次根式的混合运算，难度不大，解答此类题目时往往要先将二次根式化为最简．22．分解因式：m3﹣4m2+4m=m（m﹣2）2．【考点】提公因式法与公式法的综合运用．【分析】先提取公因式m，再对余下的多项式利用完全平方公式继续分解．【解答】解：m3﹣4m2+4m=m（m2﹣4m+4）=m（m﹣2）2．故答案为：m（m﹣2）2．【点评】本题考查了用提公因式法和公式法进行因式分解，一个多项式有公因式首先提取公因式，然后再用其他方法进行因式分解，同时因式分解要彻底，直到不能分解为止．23．四边形ABCD的对角线AC、BD的长分别为m、n，可以证明当AC⊥BD时（如左图），四边形ABCD的面积S=mn，那么当AC、BD所夹的锐角为θ时（如图），四边形ABCD的面积S=mnsinθ．（用含m、n、θ的式子表示）【考点】解直角三角形的应用．【分析】设AC 、BD 交于O 点，在①图形中，设BD=m ，OA +OC=n ，所以S 四边形ABCD =S△ABD+S △BDC ，由此可以求出四边形的面积；在②图形中，作AE ⊥BD 于E ，CF ⊥BD 于F ，由于AC 、BD 夹角为θ，所以AE=OAsin θ，CF=OCsin θ，∴S 四边形ABCD =S △ABD +S △BDC =BDAE +BDCF=BD （AE +CF ），由此也可以求出面积．【解答】解：如图，设AC 、BD 交于O 点，在①图形中，设BD=m ，OA +OC=n ，所以S 四边形ABCD =S △ABD +S △BDC =mOC +mOA=mn ； 在②图形中，作AE ⊥BD 于E ，CF ⊥BD 于F ，由于AC 、BD 夹角为θ， 所以AE=OAsin θ，CF=OCsin θ， ∴S 四边形ABCD =S △ABD +S △BDC=BDAE +BDCF=BD （AE +CF ）=mnsin θ．故填空答案： mnsin θ．【点评】此题比较难，解题时关键要找对思路，即原四边形的高已经发生了变化，只要把高求出来，一切将迎刃而解．24．如图①，在△AOB 中，∠AOB=90°，OA=3，OB=4．将△AOB 沿x 轴依次以点A 、B 、O 为旋转中心顺时针旋转，分别得到图②、图③、…，则旋转得到的图⑩的直角顶点的坐标为 （36，0） ．【考点】旋转的性质；坐标与图形性质；勾股定理．【分析】如图，在△AOB中，∠AOB=90°，OA=3，OB=4，则AB=5，每旋转3次为一循环，则图③、④的直角顶点坐标为（12，0），图⑥、⑦的直角顶点坐标为（24，0），所以，图⑨、⑩10的直角顶点为（36，0）．【解答】解：∵在△AOB中，∠AOB=90°，OA=3，OB=4，∴AB=5，∴图③、④的直角顶点坐标为（12，0），∵每旋转3次为一循环，∴图⑥、⑦的直角顶点坐标为（24，0），∴图⑨、⑩的直角顶点为（36，0）．故答案为：（36，0）．【点评】本题主要考查了旋转的性质、坐标与图形的性质及勾股定理，找出图形旋转的规律“旋转3次为一循环”，是解答本题的关键．三、解答题（共48分）25．已知反比例函数y1=的图象与一次函数y2=ax+b的图象交于点A（1，4）和点B（m，﹣2），（1）求这两个函数的关系式；（2）观察图象，写出使得y1＞y2成立的自变量x的取值范围；（3）如果点C与点A关于x轴对称，求△ABC的面积．【考点】反比例函数与一次函数的交点问题．【分析】（1）先根据点A的坐标求出反比例函数的解析式为y1=，再求出B的坐标是（﹣2，﹣2），利用待定系数法求一次函数的解析式；（2）当一次函数的值小于反比例函数的值时，直线在双曲线的下方，直接根据图象写出一次函数的值小于反比例函数的值x的取值范围x＜﹣2 或0＜x＜1．（3）根据坐标与线段的转换可得出：AC、BD的长，然后根据三角形的面积公式即可求出答案．【解答】解：（1）∵函数y1=的图象过点A（1，4），即4=，∴k=4，即y1=，又∵点B（m，﹣2）在y1=上，∴m=﹣2，∴B（﹣2，﹣2），又∵一次函数y2=ax+b过A、B两点，即，解之得．∴y2=2x+2．综上可得y1=，y2=2x+2．（2）要使y1＞y2，即函数y1的图象总在函数y2的图象上方，如图所示：当x＜﹣2 或0＜x＜1时y1＞y2．（3）由图形及题意可得：AC=8，BD=3，∴△ABC的面积S△ABC=AC×BD=×8×3=12．【点评】本题主要考查了待定系数法求反比例函数与一次函数的解析式．以及三角形面积的求法，这里体现了数形结合的思想．26．如图，在△ABC中，D是BC边上一点，E是AC边上一点，且满足AD=AB，∠ADE=∠C．（1）求证：∠AED=∠ADC，∠DEC=∠B；（2）求证：AB2=AEAC．【考点】相似三角形的判定与性质；三角形的外角性质；等腰三角形的性质．【分析】（1）根据三角形的内角和定理可证∠AED=∠ADC，∠DEC=∠B；（2）根据相似三角形的判定，由AA可证△ADE∽△ACD，得到，即AD2=AEAC．又AB=AD，即证AB2=AEAC．【解答】证明：（1）在△ADE和△ACD中，∵∠ADE=∠C，∠DAE=∠DAE，∴∠AED=180°﹣∠DAE﹣∠ADE，∠ADC=180°﹣∠DAE﹣∠C，∴∠AED=∠ADC．∵∠AED+∠DEC=180°，∠ADB+∠ADC=180°，∴∠DEC=∠ADB，又∵AB=AD，∴∠ADB=∠B，∴∠DEC=∠B．（2）在△ADE和△ACD中，由（1）知∠ADE=∠C，∠AED=∠ADC，∴△ADE∽△ACD，∴，即AD2=AEAC．又AB=AD，∴AB2=AEAC．【点评】本题考查了三角形的内角和定理，等腰三角形的性质，相似三角形的判定等知识点，难度适中．27．某商店经销一种泰山旅游纪念品，4月份的营业额为2000元，为扩大销售量，5月份该商店对这种纪念品打9折销售，结果销售量增加20件，营业额增加700元．（1）求该种纪念品4月份的销售价格；（2）若4月份销售这种纪念品获利800元，5月份销售这种纪念品获利多少元？【考点】分式方程的应用．【分析】（1）等量关系为：4月份营业数量=5月份营业数量﹣20；（2）算出4月份的数量，进而求得成本及每件的盈利，进而算出5月份的售价及每件的盈利，乘以5月份的数量即为5月份的获利．【解答】解：（1）设该种纪念品4月份的销售价格为x元．根据题意得，20x=1000解之得x=50，经检验x=50是原分式方程的解，且符合实际意义，∴该种纪念品4月份的销售价格是50元；（2）由（1）知4月份销售件数为（件），∴四月份每件盈利（元），5月份销售件数为40+20=60件，且每件售价为50×0.9=45（元），每件比4月份少盈利5元，为20﹣5=15（元），所以5月份销售这种纪念品获利60×15=900（元）．【点评】找到相应的关系式是解决问题的关键．注意求获利应求得相应的数量与单件获利．28．已知四边形ABCD中，E，F分别是AB，AD边上的点，DE与CF交于点G．（1）如图1，若四边形ABCD是矩形，且DE⊥CF．求证：；（2）如图2，若四边形ABCD是平行四边形．试探究：当∠B与∠EGC满足什么关系时，使得成立？并证明你的结论；（3）如图3，若BA=BC=6，DA=DC=8，∠BAD=90°，DE⊥CF．请直接写出的值．【考点】相似形综合题．【分析】（1）根据矩形性质得出∠A=∠FDC=90°，求出∠CFD=∠AED，证出△AED∽△DFC即可；（2）当∠B+∠EGC=180°时，=成立，证△DFG∽△DEA，得出=，证△CGD∽△CDF，得出=，即可得出答案；（3）过C作CN⊥AD于N，CM⊥AB交AB延长线于M，连接BD，设CN=x，△BAD≌△BCD，推出∠BCD=∠A=90°，证△BCM∽△DCN，求出CM=x，在Rt△CMB中，由勾股定理得出BM2+CM2=BC2，代入得出方程（x﹣6）2+（x）2=62，求出CN=，证出△AED∽△NFC，即可得出答案．【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是矩形，∴∠A=∠FDC=90°，∵CF⊥DE，∴∠DGF=90°，∴∠ADE+∠CFD=90°，∠ADE+∠AED=90°，∴∠CFD=∠AED，∵∠A=∠CDF，∴△AED∽△DFC，∴=；（2）当∠B+∠EGC=180°时，=成立．证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴∠B=∠ADC，AD∥BC，∴∠B+∠A=180°，∵∠B+∠EGC=180°，∴∠A=∠EGC=∠FGD，∵∠FDG=∠EDA，∴△DFG∽△DEA，∴=，∵∠B=∠ADC，∠B+∠EGC=180°，∠EGC+∠DGC=180°，∴∠CGD=∠CDF，∵∠GCD=∠DCF，∴△CGD∽△CDF，∴=，∴=，∴=，即当∠B+∠EGC=180°时，=成立．（3）解：=．理由是：过C作CN⊥AD于N，CM⊥AB交AB延长线于M，连接BD，设CN=x，∵∠BAD=90°，即AB⊥AD，∴∠A=∠M=∠CNA=90°，∴四边形AMCN是矩形，∴AM=CN，AN=CM，∵在△BAD和△BCD中∴△BAD≌△BCD（SSS），∴∠BCD=∠A=90°，∴∠ABC+∠ADC=180°，∵∠ABC+∠CBM=180°，∴∠MBC=∠ADC，∵∠CND=∠M=90°，∴△BCM∽△DCN，∴=，∴=，∴CM=x，。
福建省龙岩市2023-2024学年九年级下学期第一次月考数学试题
考试时间: 120分钟 满分: 150分一、选择题（本题共10小题，每小题4分，共40分）1．下列是3- 2023-2024学年第二学期第一次阶段测试九年级数学试卷的相反数是（ ）A ．3B ．13-C ．13D ．3-2．23-可表示为（ ）A ．()32-⨯B ．()33-⨯C ．()()33-+-D ．()()33-⨯-3．下列交通路口分流图案中，属于轴对称图形的是（ ）A ．B ．C ．D ．4．下列运算正确的是（ ）A ．34a a a ÷=B ．()32626a a -=C ．236a a a ⋅=D ．2235a a a +=5．关于x 的方程220x x c ++＝有两个相等的实数根，则c 的值是（ ）A ．1B ．1-C ．2D ．2-6．在平面直角坐标系中，将点()1,0A -先向左平移3个长度单位，再向上平移2个长度单位得到点B ，则点B 的坐标是（ ）A ．()2,2-B ．()2,2--C ．()4,2-D ．()4,2--7．在平面直角坐标系中，若将点()2,3P -绕原点O 顺时针旋转90︒得点Q ，则点Q 的坐标是（ ）A ．()2,3B ．()2,3--C ．()3,2D ．()3,2--8．我国古代数学著作《九章算术》卷七有下列问题：“今有共买物，人出八，盈三：人出七，不足四，问人数、物价几何？”意思是：现在有几个人共同出钱去买件物品，如果每人出8钱，则剩余3钱：如果每人出7钱，则差4钱．问有多少人，物品的价格是多少？设有x 人，物品的价格为y 元，可列方程（组）为（ ）A ．8374x y x y -=⎧⎨+=⎩B ．8374x y x y +=⎧⎨-=⎩C ．3487x x +-=D ．3487y y -+=9．函数y 与自变量x 的部分对应值如表所示，则下列函数表达式中，符合表中对应关系的可能是（ ）x124y 421A ．()0y ax b a =+<B ．(0)a y a x =<C ．2(0)y ax bx c a =++>D ．2(0)y ax bx c a =++<10．如图所示的正八边形是用八个全等的等腰三角形拼成的，2OA OB ==，则正八边形的面积为（ ）A ．B ．C ．8D ．16二、填空题（每小题4分，共24分）11．平面直角坐标系中，点()1,3P -关于原点对称的点的坐标是 ．12．分解因式：x 2－9＝ ．13．计算：1132-⎛⎫-+= ⎪⎝⎭ ．14．若把代数式223x x --化为()2x m k -+的形式，其中m ，k 为常数，则m ＋k＝ ．15．下列四个命题①一组对边平行，一组对角相等的四边形是平行四边形；②一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形；③一组对边相等，一组对角相等的四边形是平行四边形；④一组对边相等，另一组对边也相等的四边形是平行四边形．其中假命题的是 ．（只填序号）16．将一副三角板按如图方式放置在平面直角坐标系中，已知点A 的坐标为()1,0，斜边AB x ⊥轴，反比例函数(0)k y k x =>的图象恰好经过点B ，D ，则点C 的坐标为 ．三、解答题（本题共9小题，共86分）17．解不等式组：3482(1)6x x -≤⎧⎨->⎩．18．如图，在ABCD 中，点E ，F 在AC 上，AE CF =．求证：BE DF =．19．先化简，再求值：35222a a a a -⎛⎫÷+- ⎪--⎝⎭，其中a =3．20．如图，已知四边形ABCD 是矩形．（1）请用直尺和圆规在边AD 上作点E ，使得EB ＝EC ．（保留作图痕迹）（2）在（1）的条件下，若AB ＝4，AD ＝6，求EB 的长．21．某厂在某车间全体员工中随机抽取40名进行生产技能测试，并绘制了这40名员工完成规定操作的用时t （单位：s ）的频数分布直方图，如图所示．(1)根据图，请估计这40名员工完成规定操作的平均用时；(2)按该厂的评定标准，此次测试中，仅最后一组（5557t <≤）被认定为生产技能不达标．在该车间随机抽取一名员工，估计事件“该员工的生产技能达标”的概率．22．如图，点C 是 AB 的中点，直线EF 与O 相切于点 C ，直线AO 与切线EF 相交于点E ，与O 相交于另一点D ，连接AB ，CD ．(1)求证： AB EF∥(2)若 3DEF D ∠=∠，求DCF ∠的度数．23．原地正面掷实心球是初中生体育训练科目之一，实心球被掷出后的运动路线可以看作是抛物线的一部分．建立如图所示的平面直角坐标系xOy ，实心球从出手到着陆的过程中，它的竖直高度y （单位：m ）与水平距离x （单位：m ）近似满足函数关系()()20y a x h k a =-+<．小明进行了三次掷实心球训练．(1)第一次训练时，实心球的水平距离x 与竖直高度y 的几组数据如下：水平距离/mx 0123456竖直高度/m y 2.0 2.7 3.2 3.5 3.6 3.5 3.2根据上述数据，实心球竖直高度的最大值是__________m ；(2)第二次训练时，发现前方7m 处有一个高为1.1m 的障碍物，小明应该向__________（按图中方向填“左或右”）移动__________m 后进行投掷，才能使得投掷的实心球恰好越过障碍物．(3)第三次训练时，实心球的竖直高度y 与水平距离x 近似满足函数关系()20.094y x n =--+（n 为常数，且2 3.5n <<），记第一次训练实心球的着陆点的水平距离为1d ，第三次训练实心球的着陆点的水平距离为3d ，试比较1d 与3d 的大小．24．如图1，矩形ABCD 中，E 是AD 的中点，以点E 直角顶点的直角三角形EFG 的两边EF ，EG 分别过点B ，C ，∠F ＝30°.（1）求证：BE ＝CE（2）将△EFG 绕点E 按顺时针方向旋转，当旋转到EF 与AD 重合时停止转动.若EF ，EG 分别与AB ，BC 相交于点M ，N.（如图2）①求证：△BEM ≌△CEN ；②若AB ＝2，求△BMN 面积的最大值；③当旋转停止时，点B 恰好在FG 上（如图3），求sin ∠EBG 的值.25．已知直线()0y kx m k =+<与y 轴交于点M ，且过抛物线2y x bx c =++的顶点P 和抛物线上的另一点Q .（1）若点()2,2P -①求抛物线解析式；②若QM QO =，求直线解析式.（2）若2440,4b bc --<≤=，过点Q 作x 轴的平行线与抛物线的对称轴交于点E ，当2PE EQ =时，求OMQ ∆的面积S 的最大值.1．A【分析】本题考查的知识点是相反数的定义，解题关键是熟练掌握相反数．相反数：只有符号不同的两个数，根据此定义即可求解．【详解】解：根据相反数的定义可得：3-的相反数是3．故选：A ．2．B【分析】此题主要考查了有理数的乘方，正确理解乘方的意义是解题的关键．根据乘方的意义求解即可．【详解】解：()2333-=-⨯．故选：B ．3．B【分析】根据轴对称图形的概念求解．如果一个图形沿着一条直线对折后两部分完全重合，这样的图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴．【详解】A 、不是轴对称图形，不符合题意；B 、是轴对称图形，符合题意；C 、不是轴对称图形，不符合题意；D 、不是轴对称图形，不符合题意．故选B ．【点睛】本题考查了轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合．4．A【分析】根据同底数幂的除法，积的乘方，同底数幂的乘法，合并同类项的运算法则，逐项判断即可．【详解】解：A ．34a a a ÷=，原计算正确，故A 选项符合题意；B ．()32628a a -=-，原计算错误，故B 选项不符合题意；C ．235a a a ⋅=，原计算错误，故C 选项不符合题意；D ．235a a a +=，原计算错误，故D 选项不符合题意；故选：A ．【点睛】本题考查了同底数幂的除法，积的乘方，同底数幂的乘法，合并同类项，熟练掌握运算法则是解题的关键．5．A【分析】根据判别式的意义得到22 40c ∆=-=，然后解方程即可．【详解】解：根据题意得22 40c ∆=-=，解得1c =．故选： A ．【点睛】本题考查了根的判别式：一元二次方程()200ax bx c a ++=≠的根与24b ac ∆=-有如下关系：当0∆>时，方程有两个不相等的实数根；当=0∆时，方程有两个相等的实数根；当∆<0时，方程无实数根．6．C【分析】坐标系中点的平移遵循：上加下减，左减右加，据此解答即可.【详解】解：将点()1,0A -先向左平移3个长度单位，再向上平移2个长度单位得到点B ，则点B 的坐标是()4,2-；故选：C.【点睛】本题考查了坐标系中点的平移，熟知平移的规律是解题的关键.7．C【分析】建立坐标系，根据旋转定义即可找到点Q 的坐标．【详解】解：如图所示，建立坐标系，点()2,3P -，将点()2,3P -绕原点O 顺时针旋转90︒得点Q ，则点Q 坐标为()3,2，故选：C ．【点睛】本题主要考查了坐标与图形变化-旋转，解题关键在于建立坐标系，利用旋转的性质求出相应的点的位置，再根据点的坐标特征确定点的坐标．8．A【分析】设有x 人，物品的价格为y 元，根据所花总钱数不变列出方程即可．【详解】设有x 人，物品的价格为y 元，根据题意，可列方程：8374x y x y-=⎧⎨+=⎩，故选：A ．【点睛】本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程的应用，解答本题的关键是读懂题意，设出未知数，找出合适的等量关系．9．C【分析】根据反比例函数的坐标特征，一次函数的性质，二次函数的坐标特征即可判断．【详解】解：A 、若直线y ax b =+过点()()1422，，，，则422a b a b +=⎧⎨+=⎩，解得26a b =-⎧⎨=⎩，所以26y x =-+，当4x =时，=2y -，故()41，不在直线y ax b =+上，故A 不合题意；B 、由表格可知，y 与x 的每一组对应值的积是定值为4，所以y 是x 的反比例函数，40a =>，不合题意；C 、把表格中的函数y 与自变量x 的对应值代入2y ax bx c =++得44221641a b c a b c a b c ++=⎧⎪++=⎨⎪++=⎩，解得12727a b c ⎧=⎪⎪⎪=-⎨⎪=⎪⎪⎩，符合题意；D 、由C 可知，不合题意．故选：C ．【点睛】主要考查反比例函数、一次函数以及二次函数图象上点的坐标特征，熟练掌握待定系数法是解题的关键．10．A【分析】本题主要考查了正多边形和圆的有关计算；根据已知得出中心角45AOB ∠=︒是解题关键．过A 作AC OB ⊥于C ，求得90ACO ∠=︒，根据正八边形的性质得到45AOB ∠=︒，根据等腰直角三角形的性质得到OC 、AC 、与OA 的关系，根据三角形的面积公式即可得到结论．【详解】解：过A 作AC OB ⊥于C ，90ACO ∴∠=︒，360458AOB ︒∠==︒ ，OC AC ∴=∴正八边形的面积182=⨯⨯=，故选：A ．11．()1,3-【分析】根据关于原点对称的点的坐标特点：两个点关于原点对称时，它们的坐标符号相反可直接得到答案．【详解】解：点()1,3P -关于原点对称的点的坐标是()1,3-，故答案为：()1,3-．【点睛】此题主要考查了关于原点对称的点的坐标特点，关键是掌握点的坐标的变化规律．12．(x ＋3)(x －3)【详解】解：x 2-9=（x +3）（x -3），故答案为：（x +3）（x -3）.13．5【分析】本题涉及负整数指数幂、绝对值等考点．针对每个考点分别进行计算，然后根据实数的运算法则求得计算结果．【详解】1133252-⎛⎫-+=+= ⎪⎝⎭，故答案为：5．【点睛】本题考查了负整数指数幂和绝对值，正确运用运算法则是解题的关键．14．-3【分析】由完全平法公式结构可把223x x --化为()214x --，即可知道m 和k 的值，计算+m k 即可得出答案．【详解】解：()22223211314x x x x x --=-+--=--，1m ∴=，4k =-，143m k ∴+=-=-．故答案为：-3．【点睛】本题考查完全平方公式的变形，完全平方公式：222()2a b a ab b ±=±+，熟记公式的结构是解题的关键．15．②③【分析】根据平行四边形的判定，逐个判断即可．【详解】①由一组对边平行，一组对角相等可得另一组对边平行，所以是平行四边形，故命题正确；②一组对边平行，另一组对边相等的四边形不是平行四边形，故命题是假命题；③一组对边相等，一组对角相等的四边形不能证明另一组对边也相等或平行，所以该四边形不一定是平行四边形，故命题假命题；④一组对边相等，另一组对边也相等的四边形是平行四边形，故命题正确；所以②③是假命题，故答案为：②③．【点睛】考查了命题与定理的知识，解题关键是熟记平行四边形的判定定理．16．(1-【分析】作DE ⊥x 轴，CF ⊥AB ，如图，由题意可得30DAE ABD ∠=∠=︒，BC AC =，(1,)B k ，AB k =，由直角三角形的性质可得122k AD AB ==，124k DE AD ==，12CF AB AF ==，由勾股定理可得：AE =1,)4k D ，代入k y x =，求得k =，即AB =从而求得CF AF ==【详解】解：作DE ⊥x 轴，CF ⊥AB ，如图：由题意可得30DAE ABD ∠=∠=︒，BC AC =，(1,0)A ∴(1,)B k ，AB k =，由含30°的直角三角形的性质可得：122k AD AB ==，124k DE AD ==由等腰直角三角形的性质可得：12CF AB AF ==，由勾股定理可得：AE ==∴1OE =+，即1,)4k D ，代入k y x =可得1)4k k +⨯=，解得：k =∴12CF AF AB ===(1,F∴(1C -故答案为(1-【点睛】此题考查了反比例函数与几何的综合应用，解题的关键是掌握直角三角形以及反比例函数的性质．17．x ＜-2【分析】求出不等式组中各个不等式的解集，再求出这些解集的公共部分即可．【详解】3482(1)6x x -≤⎧⎨-⎩①＞②解不等式①，得4x ≤，解不等式②，得2x -＜，所以不等式组的解集为2x -＜．【点睛】本题考查了不等式组的求解问题，解题的关键是：掌握求解不等式组中各个不等式的解集的基本方法，取这些解集的公共部分即可．18．证明过程见解析【分析】根据平行四边形的性质可得AB CD =，AB CD ∥，可得BAE DCF ∠=∠，从而可证ABE CDF ≅ ，即可证明结论．【详解】证明：∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AB CD =，AB CD ∥，∴BAE DCF ∠=∠，在ABE 和CDF 中，AB CD BAE DCF AE CF =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴()ABE CDF SAS ≅△△，∴BE DF =．【点睛】本题考查平行四边形的性质、平行线的性质及全等三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键．19．13a +【分析】首先把括号内的分式进行通分相减，然后把除法转化为乘法，再进行约分化为最简形式，最后代入数值计算即可．【详解】解：原式2345222a a a a a ⎛⎫--=÷- ⎪---⎝⎭23922a a a a --=÷--()()32233a a a a a --=-+-13a =+，当a =3时，原式===【点睛】本题考查了分式的化简求值，分式混合运算要注意先去括号；分子、分母能因式分解的先因式分解；除法要统一为乘法运算；结果化为最简形式．熟知分式混合运算的法则是解答此题的关键．20．（1）画图见解析；（2）5【分析】(1)作出BC 边的垂直平分线交边AD 与点E 即可．(2)根据垂直平分线的定义可得90BFE ∠= ，BF=12BC,再根据勾股定理，即可求出结论【详解】（1）解：如图，点E 即为所求．（2）如果，设线段BC 的中垂线l BC F 交于，190BC 2BFE BF ∴∠== ，. 四边形ABCD 是矩形，A ABF 90AD=BC ∴∠=∠=︒，.在四边形ABFE 中，A ABF BFE 90∠=∠=∠=︒，∴四边形ABFE 是矩形.EF AB 4∴==.在Rt BFE ∆中，EB =EB 5∴=【点睛】本题考查了垂直平分线的作图，以及它的定义和性质，矩形的性质和勾股定理，熟练掌握相关的知识点是解题的关键．21．(1)52.5s (2)1720【分析】（1）分别用每组的中位数乘以每组的人数，再相加，最后除以总人数，即可求出平均用时；（2）用“生产技能达标”的人数除以总人数，即可求解．【详解】（1）解：由图可知，这40名员工完成规定操作的平均用时约为487504527541656640⨯+⨯+⨯+⨯+⨯()52.5s =，答：这40名员工完成规定操作的平均用时约为52.5s ；（2）解：()4063417404020P -===该员工的生产技能达标．答：在该车间随机抽取一名员工，事件“该员工的生产技能达标”的概率估计为1720．【点睛】本题主要考查了频数分布直方图，以及求概率，解题的关键是正确理解频数分布直方图，掌握概率等于所求情况数与总情况数之比．22．(1)见解析；(2)72DCF ∠=︒．【分析】（1）根据垂径定理的推论得到OC AB ⊥，再根据切线的性质得到OC EF ⊥，即可证明AB EF ∥；（2）利用切线性质得到90DEF EOC ∠+=︒，根据圆周角定理得到2EOC D ∠=∠，结合3DEF D ∠=∠建立等式，算出D ∠，推出DEF ∠，根据DCF D DEF ∠=∠+∠求解，即可解题．【详解】（1）解： 点C 是 AB 的中点，OC 为半径，∴OC AB ⊥，直线EF 与O 相切于点 C ，OC EF ∴⊥，∴AB EF ∥；（2）解：OC EF ⊥ ，∴90OCE ∠=︒，90DEF EOC ∴∠+=︒，2EOC D ∠=∠，3DEF D ∠=∠，32590D D D ∴∠+∠=∠=︒，18D ∴∠=︒，∴54DEF ∠=︒，∴185472DCF D DEF ∠=∠+∠=︒+︒=︒．【点睛】本题考查了切线的性质、垂径定理的推论、圆周角定理、三角形外角的性质，明确题意，找出所求问题需要的条件是解题的关键．23．(1)3.6(2)左； 2(3)当 3.24n 2<<时，410<，31d d <；当 3.24n =时，410=，31d d =；当3.5n 3.24<<时，410>，31d d >．【分析】（1）根据表格数据直接得出结论．（2）根据表格数据求得第一次训练的抛物线解析式，再根据平移的性质，设平移后的抛物线解析式，将点()7,1.1代入即可求出所得答案．（3）先求出第一次训练时1d 的值，再求出第三次训练3d 值，根据n 的取值范围判断即可．【详解】（1）解： 根据表中的数据可知，抛物线的顶点坐标为()4,3.6，∴实心球竖直高度的最大值是3.6m ．故答案为：3.6．（2）解：设第一次训练时抛物线的解析式为：()24 3.6y a x =-+，将表格中的()0,2代入()24 3.6y a x =-+中，16 3.6 2.0a ∴+=，0.1a ∴=-，∴第一次训练时抛物线的解析式为：()20.14 3.6y x =--+．设小明移动向右m 米后的抛物线解析式为：()20.14 3.6y x m =---+，将()7,1.1代入()20.14 3.6y x m =---+中，()20.13 3.6 1.1m ∴--+=，2m ∴=-或8m =，要求实心球越过障碍物，8m ∴=舍去．∴小明向左移动2m ．故答案为：左； 2．（3）解： 第一次训练时抛物线的解析式为：()20.14 3.6y x =--+，∴令0y =，()20.14 3.60x ∴--+=，10x ∴=或2x =-（舍去），110m d ∴=．第三次训练的抛物线解析式为：()()20.0942 3.5y x n n =--+<<，∴令0y =，()20.0940x n ∴--+=，4x ∴=+4x =，34d ∴=2 3.5n << ，<<444∴+<+<当 3.24n 2<<时，410<，31d d <当 3.24n =时，410=，31d d =当 3.5n 3.24<<时，410>，31d d >故答案为：当 3.24n 2<<时，410<，31d d <，当 3.24n =时，410=，31d d =，当 3.5n 3.24<<时，410>，31d d >．【点睛】本题主要考查了二次函数的应用，待定系数法求函数关系式，解题的关键在于读懂题意，列出函数关系式；解题的易错点在于要分析所求得值是否满足条件．24．（1）详见解析；（2）①详见解析；②2；【分析】（1）只要证明△BAE ≌△CDE 即可；（2）①利用（1）可知△EBC 是等腰直角三角形，根据ASA 即可证明；②构建二次函数，利用二次函数的性质即可解决问题；③如图3中，作EH ⊥BG 于H ．设NG=m ，则BG=2m ，，m ．利用面积法求出EH ，根据三角函数的定义即可解决问题.【详解】（1）证明：如图1中，∵四边形ABCD 是矩形，∴AB=DC，∠A=∠D=90°，∵E是AD中点，∴AE=DE，∴△BAE≌△CDE，∴BE=CE．（2）①解：如图2中，由（1）可知，△EBC是等腰直角三角形，∴∠EBC=∠ECB=45°，∵∠ABC=∠BCD=90°，∴∠EBM=∠ECN=45°，∵∠MEN=∠BEC=90°，∴∠BEM=∠CEN，∵EB=EC，∴△BEM≌△CEN；②∵△BEM≌△CEN，∴BM=CN，设BM=CN=x，则BN=4-x，∴S△BMN=12•x（4-x）=-12（x-2）2+2，∵-12＜0，∴x=2时，△BMN的面积最大，最大值为2．③解：如图3中，作EH⊥BG于H．设NG=m，则BG=2m，，m．∴（m ，∵S △BEG =12•EG•BN=12•BG•EH ，∴EH=，在Rt △EBH 中，sin ∠EBH=EH EB =【点睛】本题考查四边形综合题、矩形的性质、等腰直角三角形的判定和性质、全等三角形的判定和性质、旋转变换、锐角三角函数等知识，解题的关键是准确寻找全等三角形解决问题，学会添加常用辅助线，学会利用参数解决问题，25．（1）①242y x x =-+；②1y =；（2）1S =最大【分析】（1）根据顶点坐标求出b 、 c ，即可求出抛物线解析式，由直线与抛物线交于点P得y=kx-2k-2，联立22242y kx k y x x =--⎧⎨=-+⎩得Q 的横坐标为2k +，根据Q 点的纵坐标即可解决问题．（2）由题意可以假设直线PQ=-2x+b′，利用方程组求出点Q 坐标，分两种情形①-1≤b≤0时，②-4<b ∠-1时，构建二次函数，根据二次函数的性质即可解决问题．【详解】（1）①2y x bx c =++ （的顶点为()2,2P -），22422424b bc c b ⎧-=⎪=-⎧⎪∴⇒⎨⎨=-⎩⎪=-⎪⎩，242y x x ∴=-+；②y kx m =+过()2,2P -，22y kx k ∴=--，联立22242y kx k y x x =--⎧⎨=-+⎩⇒ ()24240x k x k +--++=，()[]220x k x ⎡⎤-+-=⎣⎦，12x k ∴=+或2x =，()2,2P - ，Q ∴的横坐标为2k +，代入22y kx k =--，得22y k =-，()22,2Q k k ∴+-，又()0,22M k -- 且QM QO =，Q ∴的纵坐标为2212k k --=--，221k k ∴-=--，∴210k k +-=，12k ∴=-0k < ，k ∴=1y x ∴=+；（2）设2PQ x b =-+'，顶点,12bP ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，代入上式得1b b -=+'，1b b ∴'=--，:21PQ y x b ∴=---，∴点()0,1M b --，由22212414y x b b x b y x bx y =---⎧⎧=-⎪⎪⇒⎨⎨-=++⎪⎪=-⎩⎩或223b x y ⎧=--⎪⎨⎪=⎩，2,32b Q ⎛⎫∴=-- ⎪⎝⎭，40b -<≤ ，① 10b -≤≤时，()12122OQM b S b ∆⎛⎫=+⋅+ ⎪⎝⎭,21516429b ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭，0x ∴=时，OQM ∆面积最大1=，② 41b -<<-时，()12122OQM b S b ⎛⎫=+⋅-+ ⎪⎝⎭,()1142b b b ⎛⎫=-+-- ⎪⎝⎭,21594516b ⎛⎫=-++ ⎪⎝⎭，104-< ，52b ∴=-时，OQM ∆面积最大为916，1S ∴=最大.故答案为（1）①242y x x =-+；②1y x =+；（2）1S =最大.【点睛】本题考查二次函数综合题，二次函数的性质，待定系数法，解题的关键是灵活运用待定系数法解决问题，学会利用方程组求交点坐标，学会分类讨论的思想，题目较难 .。
九年级（下册）第一次月考数学试卷（含答案）
第 1 页 共 27 页 九年级下册第一次月考数学试卷一．选择题：（每小题3分共30分）1．在△ABC 中，∠C=90°，∠B=2∠A ，则cosA 等于（等于（ ）A ．B ．C ．D ．2．在△ABC 中，若cosA=，tanB=，则这个三角形一定是（，则这个三角形一定是（ ） A ．直角三角形．直角三角形 B ．等腰三角形．等腰三角形 C ．钝角三角形．钝角三角形D ．锐角三角形 3．如图，AB 是⊙O 的直径，弦CD ⊥AB 于点E ，连结OC ，若OC=5，CD=8，则tan ∠COE=（ ）A ．B ．C ．D ．4．已知二次函数的图象经过点（1，10），顶点坐标为（﹣1，﹣2），则此二次函数的解析式为（数的解析式为（ ）A ．y=3x 2+6x +1B ．y=3x 2+6x ﹣1C ．y=3x 2﹣6x +1D ．y=﹣3x 2﹣6x +15．二次函数y=x 2+4x +3的图象可以由二次函数y=x 2的图象平移而得到，下列平移正确的是（移正确的是（ ）A ．先向左平移2个单位，再向上平移1个单位B ．先向左平移2个单位，再向下平移1个单位C ．先向右平移2个单位，再向上平移1个单位D ．先向右平移2个单位，再向下平移1个单位6．如图，⊙O 是△ABC 的外接圆，已知∠B=60°，则∠CAO 的度数是（的度数是（）A ．15°B ．30°C ．45°D ．60°7．二次函数y=﹣x 2﹣2x +3的图象与x 轴交于A 、B 两点（A 在B 的左边），它的顶点为C 点．连接AC 、BC ，则tan ∠CAB 的值是（的值是（ ）A ．B ．C ．D ．28．如图，△ABC 内接于⊙O ，∠OBC=40°，则∠A 的度数为（的度数为（ ）A ．80°B ．100°C ．110°110°D D ．130°9．如图，⊙O 的半径OD ⊥弦AB 于点C ，连结AO 并延长交⊙O 于点E ，连结EC ．若AB=8，CD=2，则EC 的长为（的长为（ ）A ．2B ．8C ．2D ．210．二次函数y=ax 2+bx +c （a ≠0）的图象如图所示，下列说法：①2a +b=0②当﹣1≤x ≤3时，y ＜0③若（x 1，y 1）、（x 2，y 2）在函数图象上，当x 1＜x 2时，y 1＜y 2④9a +3b +c=0其中正确的是（其中正确的是（ ）A．①②④．①②③ D．③④．①④ C．①②③．①②④ B．①④二、填空题（共6小题，每小题4分，满分24分）11．如图，AB是⊙O的直径， ==，∠COD=34°，则∠AEO的度数是的度数是 ．12．如图，△ABC的三个顶点分别在边长为1的正方形网格的格点上，则tan（α+β） tanα+tanβ．（填“＞”“=”“＜”）13．如图所示，DE是△ABC的内切圆I的切线，又BC=2cm，△ADE的周长为4cm，cm．的周长是则△ABC的周长是14．如图，直径为10的⊙A经过点C（0，6）和点O（0，0），与x轴的正半轴．的值为交于点D，B是y轴右侧圆弧上一点，则cos∠OBC的值为15．已知，A 、B 、C 三点在⊙O 上，OD ⊥BC 于点D ，∠BOD=40°，则∠BAC 的度数等于数等于 ．16．如图，在△ABC 中，∠B=90°，AB=6cm ，BC=12cm ．动点P 从A 点开始沿AB 向B 点以1cm/s 的速度运动（不与B 点重合），动点Q 从B 点开始沿BC 以2cm/s 的速度向C 点运动（不与C 重合）．如果P 、Q 同时出发，四边形APQC 的面积最小时，要经过小时，要经过 秒．三．解答题17．计算：①6tan 230°﹣sin60°﹣2cos45°②已知α是锐角，且sin （α+15°）=，计算﹣4cosα﹣（π﹣3.14）°+tanα+（）﹣1的值．18．如图，点A 是圆弧BC 上一点，用尺规作图法找出圆心O 点（保留作图痕迹，不写做法）19．如图，斜坡AB 的坡度是i=1：2，坡角B 处有一棵树BC ，某一时刻测得树BC 在斜坡AB 上的影子BD 的长度是10米，这时测得太阳光线与水平线的夹角为60°，则树BC 的高度为多少米？（结果保留根号）．20．如图，AB是⊙O的直径，点C在⊙O上（异于A、B两点），AD⊥CD．①若BC=3，AB=5，求AC的长？②若AC是∠DAB的平分线，求证：直线CD与⊙O相切．21．如图，二次函数y=﹣x2+bx+c的图象经过坐标原点，与x轴交于点A（﹣2，0）．（1）求此二次函数的顶点B的坐标；（2）在抛物线上有一点P，满足S=1，请直接写出点P的坐标．△AOP22．某商品成本价每个80元，1月销售额20000元．2月促销在1月的基础上打九折销售，结果多卖出去50个，销售额也增加了7000元．①求1月的销售单价；②如果2月搞打折销售时，折数x与销量y之间满足y=﹣50x+600．试求商场打几折时利润最大？最大利润是多少元？23．如图，已知：AB是⊙O的弦，过点B作BC⊥AB交⊙O于点C，过点C作⊙O的切线交AB的延长线于点D，取AD的中点E，过点E作EF∥BC交DC的延长线于点F，连接AF并延长交BC的延长线于点G．求证：（1）FC=FG；（2）AB2=BC•BG．24．如图，以E（3，0）为圆心，5为半径的⊙E与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点，抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）经过A、B、C三点，顶点为F．（1）求A、B、C三点的坐标；（2）求抛物线的解析式及顶点F的坐标；（3）已知P是抛物线上位于第四象限的点，且满足S△ABP=S△ABC，连接PF，判断直线PF与⊙E的位置关系并说明理由．九年级（下）第一次月考数学试卷参考答案与试题解析一．选择题：（每小题3分共30分）1．在△ABC 中，∠C=90°，∠B=2∠A ，则cosA 等于（等于（ ）A ．B ．C ．D ．【考点】特殊角的三角函数值．【分析】根据三角形内角和定理求出角的度数后解答．【解答】解：∵△ABC 中，∠C=90°，∠B=2∠A ，∴设∠A=x ，则∠B=2x ．由三角形内角和定理得：x +2x +90°90°=180°=180°，解得x=30°．∴cosA=cos30°cosA=cos30°==． 故选A ．2．在△ABC 中，若cosA=，tanB=，则这个三角形一定是（，则这个三角形一定是（ ）A ．直角三角形．直角三角形B ．等腰三角形．等腰三角形C ．钝角三角形．钝角三角形D ．锐角三角形 【考点】特殊角的三角函数值．【分析】根据特殊角的三角函数值得出∠A ，∠B 的度数，进而得出三角形的形状．【解答】解：∵cosA=，tanB=， ∴∠A=45°，∠B=60°，∴∠C=75°，则这个三角形一定是锐角三角形．故选：D ．3．如图，AB 是⊙O 的直径，弦CD ⊥AB 于点E ，连结OC ，若OC=5，CD=8，则tan ∠COE=（ ）A ．B ．C ．D ．【考点】垂径定理；勾股定理；锐角三角函数的定义．【分析】由直径AB 的长求出半径的长，再由直径AB 垂直于弦CD ，利用垂径定理得到E 为CD 的中点，由CD 的长求出CE 的长，在直角三角形OCE 中，利用勾股定理求出OE 的长，再利用锐角三角函数定义即可求出tan ∠COE 的值．【解答】解：∵直径AB=10，∴OA=OC=OB=5，∵AB ⊥CD ，∴E 为CD 的中点，又CD=8，∴CE=DE=4，在Rt △OCE 中，根据勾股定理得：OC 2=CE 2+OE 2，∴OE=3，则tan ∠COE==． 故选B ．4．已知二次函数的图象经过点（1，10），顶点坐标为（﹣1，﹣2），则此二次函数的解析式为（数的解析式为（ ）A ．y=3x 2+6x +1B ．y=3x 2+6x ﹣1C ．y=3x 2﹣6x +1D ．y=﹣3x 2﹣6x +1【考点】待定系数法求二次函数解析式．【分析】根据抛物线的顶点坐标设出，抛物线的解析式为：y=a （x +1）2﹣2，再把（1，10）代入，求出a 的值，即可得出二次函数的解析式．【解答】解：设抛物线的解析式为：y=a （x +1）2﹣2，把（1，10）代入解析式得10=4a ﹣2，解得a=3，则抛物线的解析式为：y=3（x +1）2﹣2=3x 2+6x +1．故选A ．5．二次函数y=x 2+4x +3的图象可以由二次函数y=x 2的图象平移而得到，下列平移正确的是（移正确的是（ ）A ．先向左平移2个单位，再向上平移1个单位B ．先向左平移2个单位，再向下平移1个单位C ．先向右平移2个单位，再向上平移1个单位D ．先向右平移2个单位，再向下平移1个单位【考点】二次函数图象与几何变换．【分析】把二次函数y=x 2+4x +3化为顶点坐标式，再观察它是怎样通过二次函数y=x 2的图象平移而得到．【解答】解：根据题意y=x 2+4x +3=（x +2）2﹣1，按照“左加右减，上加下减”的规律，它可以由二次函数y=x 2先向左平移2个单位，再向下平移1个单位得到． 故选B ．6．如图，⊙O 是△ABC 的外接圆，已知∠B=60°，则∠CAO 的度数是（的度数是（ ）A ．15°B ．30°C ．45°D ．60°【考点】三角形的外接圆与外心．【分析】连接OC ，根据圆周角定理求出∠AOC ，根据等腰三角形的性质、三角形内角和定理计算即可．【解答】解：连接OC ，由圆周角定理得，∠AOC=2∠B=120°，∵OA=OC ，∴∠CAO=×=30°， 故选：B．7．二次函数y=﹣x2﹣2x+3的图象与x轴交于A、B两点（A在B的左边），它的顶点为C点．连接AC、BC，则tan∠CAB的值是（的值是（）A． B． C． D．2【考点】抛物线与x轴的交点；解直角三角形．【分析】利用待定系数法求出A、B、C三点坐标，设对称轴交x轴于D，在Rt△ACD中，∠ADC=90°，AD=2，CD=4，根据tan∠CAB=，计算即可．【解答】解：对于抛物线y=﹣x2﹣2x+3，令y=0，得﹣x2﹣2x+3=0，解得x=﹣3或1，∴A（﹣3，0），B（1，0），∵y=﹣x2﹣2x+3=﹣（x+1）2+4，∴顶点C（﹣1，4），如图，设对称轴交x轴于D．在Rt△ACD中，∠ADC=90°，AD=2，CD=4，∴tan∠CAB==2，故选D．8．如图，△ABC内接于⊙O，∠OBC=40°，则∠A的度数为（的度数为（ ）110° D D．130°A．80° B．100° C．110°【考点】圆周角定理．【分析】连接OC，然后根据等边对等角可得：∠OCB=∠OBC=40°，然后根据三角形内角和定理可得∠BOC=100°，然后根据周角的定义可求：∠1=260°，然后根据圆周角定理即可求出∠A的度数．【解答】解：连接OC，如图所示，∵OB=OC，∴∠OCB=∠OBC=40°，∴∠BOC=100°，∵∠1+∠BOC=360°，∴∠1=260°，∵∠A=∠1，∴∠A=130°．故选：D．9．如图，⊙O的半径OD⊥弦AB于点C，连结AO并延长交⊙O于点E，连结EC．若AB=8，CD=2，则EC的长为（的长为（ ）A．2 B．8 C．2 D．2【考点】垂径定理；勾股定理；圆周角定理．【分析】先根据垂径定理求出AC的长，设⊙O的半径为r，则OC=r﹣2，由勾股定理即可得出r的值，故可得出AE的长，连接BE，由圆周角定理可知∠ABE=90°，在Rt△BCE中，根据勾股定理即可求出CE的长．【解答】解：∵⊙O的半径OD⊥弦AB于点C，AB=8，∴AC=AB=4，设⊙O的半径为r，则OC=r﹣2，在Rt△AOC中，∵AC=4，OC=r﹣2，∴OA2=AC2+OC2，即r2=42+（r﹣2）2，解得r=5，∴AE=2r=10，连接BE，∵AE是⊙O的直径，∴∠ABE=90°，在Rt△ABE中，∵AE=10，AB=8，∴BE===6，在Rt△BCE中，∵BE=6，BC=4，∴CE===2．故选：D．10．二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，下列说法：①2a +b=0②当﹣1≤x ≤3时，y ＜0③若（x 1，y 1）、（x 2，y 2）在函数图象上，当x 1＜x 2时，y 1＜y 2④9a +3b +c=0其中正确的是（其中正确的是（ ）A ．①②④．①②④B ．①④．①④C ．①②③．①②③D ．③④ 【考点】二次函数图象与系数的关系；二次函数图象上点的坐标特征．【分析】①函数图象的对称轴为：x=﹣==1，所以b=﹣2a ，即2a +b=0； ②由抛物线的开口方向可以确定a 的符号，再利用图象与x 轴的交点坐标以及数形结合思想得出当﹣1≤x ≤3时，y ≤0；③由图象可以得到抛物线对称轴为x=1，由此即可确定抛物线的增减性； ④由图象过点（3，0），即可得出9a +3b +c=0．【解答】解：①∵函数图象的对称轴为：x=﹣==1，∴b=﹣2a ，即2a +b=0，故①正确；②∵抛物线开口方向朝上，∴a ＞0，又∵二次函数y=ax 2+bx +c 的图象与x 轴交点为（﹣1，0）、（3，0）， ∴当﹣1≤x ≤3时，y ≤0，故②错误；③∵抛物线的对称轴为x=1，开口方向向上，∴若（x 1，y 1）、（x 2，y 2）在函数图象上，当1＜x 1＜x 2时，y 1＜y 2；当x 1＜x 2＜1时，y 1＞y 2；故③错误；④∵二次函数y=ax 2+bx +c 的图象过点（3，0），∴x=3时，y=0，即9a+3b+c=0，故④正确．故选：B．二、填空题（共6小题，每小题4分，满分24分）11．如图，AB是⊙O的直径， ==，∠COD=34°，则∠AEO的度数是的度数是 51° ．【考点】圆心角、弧、弦的关系．【分析】由==，可求得∠BOC=∠EOD=∠COD=34°，继而可求得∠AOE的度数；然后再根据等腰三角形的性质和三角形内角和定理来求∠AEO的度数．【解答】解：如图，∵==，∠COD=34°，∴∠BOC=∠EOD=∠COD=34°，∴∠AOE=180°﹣∠EOD﹣∠COD﹣∠BOC=78°．又∵OA=OE，∴∠AEO=∠OAE，∴∠AEO=×=51°．故答案为：51°．12．如图，△ABC的三个顶点分别在边长为1的正方形网格的格点上，则tan（α+β） ＞ tanα+tanβ．（填“＞”“=”“＜”）【考点】特殊角的三角函数值；等腰直角三角形；锐角三角函数的定义．【分析】根据正切的概念和正方形网格图求出tanα和tanβ，根据等腰直角三角形的性质和tan45°的值求出tan（α+β），比较即可．【解答】解：由正方形网格图可知，tanα=，tanβ=，则tanα+tanβ=+=，∵AC=BC，∠ACB=90°，∴α+β=45°，∴tan（α+β）=1，∴tan（α+β）＞tanα+tanβ，故答案为：＞．13．如图所示，DE是△ABC的内切圆I的切线，又BC=2cm，△ADE的周长为4cm，8 cm．则△ABC的周长是的周长是【考点】切线长定理．【分析】首先根据题意可得⊙I与EC、ED、BC、BD分别相切，可得EG=EH，DH=DF，BF=BM，CG=CM，根据BC=2cm，可得CG+BF=2cm，三角形ABC的周长可化为△AED的周长的周长++2倍BC的长度求解．【解答】解：∵⊙I与EC、ED、BC、BD分别相切于G、H、M、F，∴EG=EH，DH=DF，BF=BM，CG=CM，∴EG+DF=EH+DH=DE，CG+BF=CM+BM=BC，∵BC=2，AD+AE+DE=4，∴△ABC的周长=AD+AE+（EG+DF）+（CG+BF）+BC=（AD+AE+DE）+BC+BC=4+2+2=8． 故答案为：8．14．如图，直径为10的⊙A经过点C（0，6）和点O（0，0），与x轴的正半轴．交于点D，B是y轴右侧圆弧上一点，则cos∠OBC的值为的值为【考点】勾股定理；圆周角定理；锐角三角函数的定义．【分析】连接CD ，易得CD 是直径，在直角△OCD 中运用勾股定理求出OD 的长，得出cos ∠ODC 的值，又由圆周角定理，即可求得cos ∠OBC 的值．【解答】解：连接CD ，∵∠COD=90°，∴CD 是直径，即CD=10，∵点C （0，6），∴OC=6，∴OD==8，∴cos ∠ODC===，∵∠OBC=∠ODC ，∴cos ∠OBC=．故答案为：．15．已知，A 、B 、C 三点在⊙O 上，OD ⊥BC 于点D ，∠BOD=40°，则∠BAC 的度数等于数等于 40°或140° ．【考点】圆周角定理；垂径定理．【分析】由在⊙O 中，OD ⊥BC ，根据垂径定理的即可求得：=，然后利用圆周角定理求解即可求得答案．【解答】解：连接OC ，∵在⊙O 中，OD ⊥BC ，∴=，∴∠BOC=2∠BOD=80°．∴∠BAC=BOC=40°，∴∠BAʹC=180°﹣40°40°=140°=140°， ∴∠BAC 的度数等于40°或140°，故答案为：40°或140°．16．如图，在△ABC 中，∠B=90°，AB=6cm ，BC=12cm ．动点P 从A 点开始沿AB 向B 点以1cm/s 的速度运动（不与B 点重合），动点Q 从B 点开始沿BC 以2cm/s 的速度向C 点运动（不与C 重合）．如果P 、Q 同时出发，四边形APQC 的面积最小时，要经过小时，要经过 3 秒．【考点】二次函数的应用；勾股定理．【分析】设经过x 秒时，四边形APQC 的面积为y ，根据S四边形APQC =S △ABC ﹣S △PBQ列出函数解析式，配方成顶点式即可得．【解答】解：设经过x 秒时，四边形APQC 的面积为y ，则BP=6﹣x ，BQ=2x ，则y=×6×12﹣×（6﹣x ）•2x=x 2﹣6x +36=（x ﹣3）2+27，∴当x=3时，y 最大=27，故答案为：3．三．解答题17．计算：①6tan 230°﹣sin60°﹣2cos45°②已知α是锐角，且sin （α+15°）=，计算﹣4cosα﹣（π﹣3.14）°+tanα+（）﹣1的值．【考点】实数的运算；负整数指数幂；特殊角的三角函数值．【分析】①先把各个角的三角函数值代入，再求出即可；②先求出α的度数，再根据特殊角的三角函数值、再根据特殊角的三角函数值、零指数幂、零指数幂、负整数指数幂分别求出每一部分的值，再求出即可．【解答】解：①6tan 230°﹣sin60°﹣2cos45°=6×（）2﹣×﹣2×=2﹣﹣=；②∵α是锐角，sin （α+15°）=， ∴α+15°15°=60°=60°， ∴α=45°，∴﹣4cosα﹣（π﹣3.14）°+tanα+（）﹣1=2﹣4×﹣1+1+3=3．18．如图，点A 是圆弧BC 上一点，用尺规作图法找出圆心O 点（保留作图痕迹，不写做法）【考点】作图—复杂作图；垂径定理．【分析】利用垂径定理得出两弦的垂直平分线交点O 即可．【解答】解：如图所示：19．如图，斜坡AB 的坡度是i=1：2，坡角B 处有一棵树BC ，某一时刻测得树BC 在斜坡AB 上的影子BD 的长度是10米，这时测得太阳光线与水平线的夹角为60°，则树BC 的高度为多少米？（结果保留根号）．【考点】解直角三角形的应用﹣坡度坡角问题．【分析】根据题意首先利用勾股定理得出DF ，DE 的长，再利用锐角三角函数关系得出EC 的长，进而得出答案．【解答】解：过点D 作DF ⊥BG ，垂足为F ，∵斜坡AB 的坡度i=1：2，∴设DF=x ，BF=2x ，则DB=10m ，∴x 2+（2x ）2=102，解得：x=2，故DE=4，BE=DF=2，∵测得太阳光线与水平线的夹角为60°，tan60°====，∴tan60°解得：EC=4，故BC=EC+BE=（2+4）（m）．20．如图，AB是⊙O的直径，点C在⊙O上（异于A、B两点），AD⊥CD．①若BC=3，AB=5，求AC的长？②若AC是∠DAB的平分线，求证：直线CD与⊙O相切．【考点】切线的判定．【分析】①首先根据直径所对的圆周角为直角得到直角三角形，然后利用勾股定理求得AC的长即可；②连接OC，证OC⊥CD即可；利用角平分线的性质和等边对等角，可证得∠OCA=∠CAD，即可得到OC∥AD，由于AD⊥CD，那么OC⊥CD，由此得证．【解答】解：①∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB=90°，∵BC=3，AB=5，∴AC===4；②证明：连接OC∵AC是∠DAB的角平分线，∴∠DAC=∠BAC，又∵AD⊥DC，∴∠ADC=∠ACB=90°，∴△ADC∽△ACB，∴∠DCA=∠CBA，又∵OA=OC，∴∠OAC=∠OCA，∵∠OAC+∠OBC=90°，∴∠OCA+∠ACD=∠OCD=90°，∴DC是⊙O的切线．21．如图，二次函数y=﹣x2+bx+c的图象经过坐标原点，与x轴交于点A（﹣2，0）．（1）求此二次函数的顶点B的坐标；（2）在抛物线上有一点P，满足S=1，请直接写出点P的坐标．△AOP【考点】二次函数的性质．【分析】（1）把A（﹣2，0）、O（0，0）代入解析式y=﹣x2+bx+c，可得出二次函数解析式，即可得出B的坐标；（2）利用三角形的面积可得出P点的纵坐标，可求出点P的横坐标，即可得出点P的坐标．【解答】解：（1）将A（﹣2，0）、O（0，0）代入解析式y=x2+bx+c，得c=0，﹣4﹣2b+c=0，解得c=0，b=﹣2，所以二次函数解析式：y=﹣x2﹣2x=﹣（x+1）2+1，（﹣1，1）；所以，顶点B坐标坐标（2）∵AO=2，S=1，△AOP∴P点的纵坐标为：±1，∴﹣x2﹣2x=±1，当﹣x2﹣2x=1，解得：x1=x2=﹣1，当﹣x2﹣2x=﹣1时，解得：x1=1+，x2=1﹣，∴点P的坐标为（﹣1，1）或（1+，﹣1））或（1﹣，﹣1）．22．某商品成本价每个80元，1月销售额20000元．2月促销在1月的基础上打九折销售，结果多卖出去50个，销售额也增加了7000元．①求1月的销售单价；②如果2月搞打折销售时，折数x与销量y之间满足y=﹣50x+600．试求商场打几折时利润最大？最大利润是多少元？【考点】二次函数的应用．【分析】①设1月份的销售单价为x元/个，则2月的销售单价为0.9x元/个，根月份的销售量++50=2月份的销售量”列分式方程求解可得；据“1月份的销售量②根据“总利润=单件利润×销售量”列出总利润W关于折数x的函数解析式，再根据二次函数的性质可得其最值情况．【解答】解：①设1月份的销售单价为x元/个，则2月的销售单价为0.9x元/个，50=，根据题意可得： +50=解得：x=200，经检验x=200是原分式方程的解，答：1月的销售单价为200元/个；②设商场所获利润为W，则W=（﹣50x+600）=﹣1000（x﹣8）2+16000，∴当x=8时，W取得最大值，最大值为16000元，答：商场打8折时利润最大，最大利润是16000元．23．如图，已知：AB是⊙O的弦，过点B作BC⊥AB交⊙O于点C，过点C作⊙O的切线交AB的延长线于点D，取AD的中点E，过点E作EF∥BC交DC的延长线于点F，连接AF并延长交BC的延长线于点G．求证：（1）FC=FG；（2）AB2=BC•BG．【考点】相似三角形的判定与性质；垂径定理；切线的性质．【分析】（1）由平行线的性质得出EF⊥AD，由线段垂直平分线的性质得出FA=FD，由等腰三角形的性质得出∠FAD=∠D，证出∠DCB=∠G，由对顶角相等得出∠GCF=∠G，即可得出结论；（2）连接AC，由圆周角定理证出AC是⊙O的直径，由弦切角定理得出∠DCB=∠CAB，证出∠CAB=∠G，再由∠CBA=∠GBA=90°，证明△ABC∽△GBA，得出对应边成比例，即可得出结论．【解答】证明：（1）∵EF∥BC，AB⊥BG，∴EF⊥AD，∵E是AD的中点，∴FA=FD，∴∠FAD=∠D，∵GB⊥AB，∴∠GAB+∠G=∠D+∠DCB=90°，∴∠DCB=∠G，∵∠DCB=∠GCF，∴∠GCF=∠G，∴FC=FG；（2）连接AC，如图所示：∵AB⊥BG，∴AC是⊙O的直径，∵FD是⊙O的切线，切点为C，∴∠DCB=∠CAB，∵∠DCB=∠G，∴∠CAB=∠G，∵∠CBA=∠GBA=90°，∴△ABC∽△GBA，∴=，∴AB2=BC•BG．24．如图，以E（3，0）为圆心，5为半径的⊙E与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点，抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）经过A、B、C三点，顶点为F．（1）求A、B、C三点的坐标；（2）求抛物线的解析式及顶点F的坐标；（3）已知P是抛物线上位于第四象限的点，且满足S△ABP =S△ABC，连接PF，判断直线PF与⊙E的位置关系并说明理由．【考点】圆的综合题．【分析】（1）由题意可直接得到点A、B的坐标，连接CE，在Rt△OCE中，利用勾股定理求出OC的长，则得到点C的坐标；（2）已知点A、B、C的坐标，利用交点式与待定系数法求出抛物线的解析式，由解析式得到顶点F的坐标；（3）首先求出点P的坐标；连接EP，PF，过点P作PG⊥对称轴EF于点G，求出PE，推出点P在⊙E上；再利用勾股定理求出PF的长度，则利用勾股定理的逆定理可判定△EPF为直角三角形，∠EPF=90°，所以直线PF与⊙E相切． 【解答】解：（1）∵以E（3，0）为圆心，以5为半径的⊙E与x轴交于A，B 两点，∴A（﹣2，0），B（8，0）．如解答图所示，连接CE．在Rt△OCE中，OE=AE﹣OA=5﹣2=3，CE=5，由勾股定理得：OC===4，∴C（0，﹣4）．（2）∵点A（﹣2，0），B（8，0）在抛物线上，∴可设抛物线的解析式为：y=a（x+2）（x﹣8）．∵点C（0，﹣4）在抛物线上，∴﹣4=a×2×﹣8，解得a=∴抛物线的解析式为：y=（x+2）（x﹣8）=x2﹣x﹣4=（x﹣3）2﹣，∴顶点F的坐标为（3，﹣）．（3）直线PF与⊙E相切．理由如下：∵△ABC中，底边AB上的高OC=4，须满足条件：||y P|=4，∴若△ABC与△ABP面积相等，则抛物线上的点P须满足条件：∵点P在第四象限，，则 x2﹣x﹣4=﹣4，∴y p=﹣4，则整理得：x2﹣6x=0，解得x=6或x=0（与点C重合，故舍去）．∴点P的坐标为（6，﹣4），连接EP，PF，过点P作PG⊥对称轴EF于点G， 则PG=3，EG=4．在Rt△PEG中，由勾股定理得：PE===5，∴点P在⊙E上．由（2）知，顶点F的坐标（3，﹣），∴EF=，∴FG=EF﹣EG=．在Rt△PGF中，由勾股定理得：PF===．在△EFP中，∵EP2+PF2=52+（）2=（）2=EF2，∴△EFP为直角三角形，∠EPF=90°．∵点P在⊙E上，且∠EPF=90°，∴直线PF与⊙E相切．。
人教版九年级下学期第一次月考数学试卷含答案详解
九年级（下）第一次月考数学试卷一、选择题：（每小题4分，共48分）1．的值是（）A．2B．﹣2C．±2D．42．下列运算正确的是（）A．x+x=x2B．x6÷x2=x3C．x•x3=x4D．（2x2）3=6x53．如图，已知AB∥CD，∥DFE=135°，则∥ABE的度数为（）A．30°B．45°C．60°D．90°4．下列说法中正确的是（）A．想了解某种饮料中含色素的情况，宜采用抽样调查B．“打开电视，正在播放《新闻联播》”是必然事件C．数据1，1，2，2，3的众数是3D．一组数据的波动越大，方差越小5．若﹣5x2y m与x n y是同类项，则m+n的值为（）A．1B．2C．3D．46．若一个多边形的内角和等于900°，则这个多边形的边数是（）A．9B．8C．7D．67．已知关于x的方程2x+a﹣9=0的解是x=2，则a的值为（）A．2B．3C．4D．58．如图，在菱形ABCD中，对角线AC、BD交于点O，下列说法错误的是（）A．AD∥BC B．OA=OC C．AC∥BD D．AC=BD9．如图，∥ABC内接于∥O，∥OBC=40°，则∥A的度数为（）A．80°B．100°C．110°D．130°10．大年三十晚上，小六驾车从家出发到烟花燃放指定点去燃放烟花炮竹，小六驾车匀速行驶一段时间后，途中遇到堵车原地等待一会儿，然后小六加快速度继续匀速行驶，零点之前到达指定燃放地点，燃放结束后，小六按驾车匀速返回．其中，x表示小六从家出发后所用时间，y表示小六离家的距离．下面能反映y与x的函数关系的大致图象是（）A．B．C．D．11．下列图形是将正三角形按一定规律排列，则第5个图形中所有正三角形的个数有（）A．482B．483C．484D．48512．如图，已知反比函数y=的图象过Rt∥ABO斜边OB的中点D，与直角边AB相交于C，连结AD、OC，若∥ABO的周长为4+2，AD=2，则∥ACO的面积为（）A．B．C．1D．2二、填空题（每小题4分，共24分）13．我国国内生产总值约为676700亿元，请用科学记数法表示国内生产总值约为亿元．14．代数式3x2﹣4x+6的值为12，则x2﹣x+6=．15．如图，在∥ABC中，D，E分别是AB，BC上的点，且DE∥AC，AE，CD交于点F，若S∥BDE：S∥DEC=1：3，则S∥DEF：S∥AFC=．16．如图，∥ABC是∥O的内接三角形，AD是∥O的直径，∥ABC=50°，则∥CAD=．17．有五张正面分别标有数字﹣2，﹣1，0，1，2的卡片，它们除数字不同外其余全部相同．现将它们背面朝上，洗匀后从中随机抽取一张，记卡片上的数字为a，则使关于x的一元二次方程x2﹣2（a﹣1）x+a（a﹣3）=0有两个不相等的实数根，且以x为自变量的二次函数y=x2﹣（a2+1）x﹣a+2的图象不经过点（1，0）的概率是．18．如图，将正方形OABC放在平面直角坐标系中，O是原点，点A的坐标为（1，），则（1）OA的长为，（2）点C的坐标为．三、解答题：（每小题7分，共14分）19．如图，已知AB∥CD，AF=CE，∥B=∥D，证明BE和DF的关系．20．某班有50名同学，男、女生人数各占一半．在本周操行评定中，该班操行得分情况见如下统计表；其中男生操行得分情况见如下不完整的条形统计图：操行分得分1分2分3分4分5分人数2410304（1）补全条形统形图；（2）若要在操行得分为5分的4名同学中选出两名同学作“本周操行明星”，用画树状图或列表的方法求出选为“本周操行明星”的正好是一名男同学和一名女同学的概率．四、解答题：（每题10分，共40分）21．化简下列各式：（1）（x﹣1）2（x+1）2﹣1；（2）÷（﹣x+2）+．22．如图，一次函数的图象与y轴交于C（0，4），且与反比例函数y=（x＞0）的图象在第一象限内交于A（3，a），B（1，b）两点，（1）求∥AOC的面积；（2）若=2，求反比例函数和一次函数的解析式．23．如图，我国某边防哨所树立了“祖国在我心中”建筑物，它的横截面为四边形BCNM，其中BC∥CN，BM∥CN，建筑物顶上有一旗杆AB，士兵小明站在D处，由E点观察到旗杆顶部A的仰角为52°，底部B的仰角为45°，已知旗杆AB=2.8米，DE=1.8米．（参考数据：sin52°≈0.788，tan52°≈1.280）（1）求建筑物的高度BC；（2）建筑物长50米，背风坡MN的坡度i=1：0.5，为提高建筑物抗风能力，士兵们在背风坡填筑土石方加固，加固后建筑物顶部加宽4.2米，背风坡GH的坡度为i=1：1.5，施工10天后，边防居民为士兵支援的机械设备终于到达，这样工作效率提高到了原来的2倍，结果比原计划提前20天完成加固任务，士兵们原计划平均每天填筑土石方多少立方米？24．平面直角坐标系中，点P（x，y）的横坐标x的绝对值表示为|x|，纵坐标y的绝对值表示为|y|，我们把点P（x，y）的横坐标与纵坐标的绝对值之和叫做点P（x，y）的勾股值，记为「P」，即「P」=|x|+|y|．（其中的“+”是四则运算中的加法）例如：如果A（﹣1，3），那么「A」=|﹣1|+|3|=4．（1）点M在反比例函数y=的图象上，且「M」=4，求点M的坐标；（2）求满足条件「N」=3的所有点N围成的图形的面积．五、解答题：（每个小题12分，共24分）25．在∥ABC中，AB=AC，点D，点E在边BC上不同的两点，且∥ADE=75°．（1）如图1，若∥BAC=90°，CD=，求BC的长；（2）如图2，若∥BAC=90°，∥EAD=45°，求证：DC=BE；（3）如图3，若∥BAC=120°，∥EAD=60°，请问（2）中的结论还成立吗？若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由．26．如图，已知抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的对称轴为直线x=﹣1，且抛物线经过A（1，0），C（0，3）两点，与x轴交于点B．（1）若直线y=mx+n经过B、C两点，求直线BC和抛物线的解析式；（2）在抛物线的对称轴x=﹣1上找一点M，使点M到点A的距离与到点C的距离之和最小，求出点M的坐标；（3）设点P为抛物线的对称轴x=﹣1上的一个动点，求使∥BPC为直角三角形的点P的坐标．-学年重庆市开县九年级（下）第一次月考数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：（每小题4分，共48分）1．的值是（）A．2B．﹣2C．±2D．4【考点】算术平方根．【分析】根据如果一个非负数x的平方等于a，那么x是a的算术平方根，根据此定义即可求出结果．【解答】解：∥表示4的算术平方根，∥=2．故选：A．2．下列运算正确的是（）A．x+x=x2B．x6÷x2=x3C．x•x3=x4D．（2x2）3=6x5【考点】同底数幂的除法；合并同类项；同底数幂的乘法；幂的乘方与积的乘方．【分析】A、利用合并同类项法则计算；B、利用同底数幂的除法计算；C、利用同底数幂的乘法计算；D、利用积的乘方计算，再分别判断对错．【解答】解：A、x+x=2x，此选项错误；B、x6÷x2=x4，此选项错误；C、x•x3=x4，此选项正确；D、（2x2）3=8x6，此选项错误．故选C．3．如图，已知AB∥CD，∥DFE=135°，则∥ABE的度数为（）A．30°B．45°C．60°D．90°【考点】平行线的性质．【分析】先根据两角互补的性质得出∥CFE的度数，再由平行线的性质即可得出结论．【解答】解：∥∥DFE=135°，∥∥CFE=180°﹣135°=45°，∥AB∥CD，∥∥ABE=∥CFE=45°．故选B．4．下列说法中正确的是（）A．想了解某种饮料中含色素的情况，宜采用抽样调查B．“打开电视，正在播放《新闻联播》”是必然事件C．数据1，1，2，2，3的众数是3D．一组数据的波动越大，方差越小【考点】全面调查与抽样调查；众数；方差；随机事件．【分析】根据随机事件、必然事件以及众数、方差的意义即可作出判断．【解答】解：A、正确；B、打开电视，正在播放《新闻联播》”是随机事件，故选项错误；C、数据1，1，2，2，3的众数是1和2，故选项错误；D、一组数据的波动越大，方差越大，故选项错误．故选A．5．若﹣5x2y m与x n y是同类项，则m+n的值为（）A．1B．2C．3D．4【考点】同类项．【分析】根据同类项的定义（所含字母相同，相同字母的指数相同）列出方程等式，求出n，m的值，再相加即可．【解答】解：∥﹣5x2y m和x n y是同类项，∥n=2，m=1，m+n=2+1=3，故选：C．6．若一个多边形的内角和等于900°，则这个多边形的边数是（）A．9B．8C．7D．6【考点】多边形内角与外角．【分析】n边形的内角和为（n﹣2）180°，由此列方程求n的值．【解答】解：设这个多边形的边数是n，则：（n﹣2）180°=900°，解得n=7，故选C．7．已知关于x的方程2x+a﹣9=0的解是x=2，则a的值为（）A．2B．3C．4D．5【考点】一元一次方程的解．【分析】根据方程的解的定义，把x=2代入方程，解关于a的一元一次方程即可．【解答】解；∥方程2x+a﹣9=0的解是x=2，∥2×2+a﹣9=0，解得a=5．故选：D．8．如图，在菱形ABCD中，对角线AC、BD交于点O，下列说法错误的是（）A．AD∥BC B．OA=OC C．AC∥BD D．AC=BD【考点】菱形的性质．【分析】直接根据菱形的性质对各选项进行判断．【解答】解：∥四边形ABCD为菱形，∥AD∥BC，OA=OC，AC∥BD，所以A、B、C选项的说法正确，D选项的说法错误．故选D．9．如图，∥ABC内接于∥O，∥OBC=40°，则∥A的度数为（）A．80°B．100°C．110°D．130°【考点】圆周角定理．【分析】连接OC，然后根据等边对等角可得：∥OCB=∥OBC=40°，然后根据三角形内角和定理可得∥BOC=100°，然后根据周角的定义可求：∥1=260°，然后根据圆周角定理即可求出∥A的度数．【解答】解：连接OC，如图所示，∥OB=OC，∥∥OCB=∥OBC=40°，∥∥BOC=100°，∥∥1+∥BOC=360°，∥∥1=260°，∥∥A=∥1，∥∥A=130°．故选：D．10．大年三十晚上，小六驾车从家出发到烟花燃放指定点去燃放烟花炮竹，小六驾车匀速行驶一段时间后，途中遇到堵车原地等待一会儿，然后小六加快速度继续匀速行驶，零点之前到达指定燃放地点，燃放结束后，小六按驾车匀速返回．其中，x表示小六从家出发后所用时间，y表示小六离家的距离．下面能反映y与x的函数关系的大致图象是（）A．B．C．D．【考点】函数的图象．【分析】根据题意可得离家的距离越来越远，根据途中加油，可得路程不变，根据加速行驶，可得路程变化快，燃放烟花炮竹时，路程不变，时间加长，再匀速回家，离家距离越来越近．【解答】解：由题意得：离家的距离越来越远，直线呈上升趋势，根据途中加油，可得路程不变，时间加长，直线呈水平状态，后来加速行驶，可得路程变化快，直线上升快，燃放烟花炮竹时，路程不变，时间加长，直线呈水平状态，再匀速回家，离家距离越来越近，直线呈下降趋势．故选：A．11．下列图形是将正三角形按一定规律排列，则第5个图形中所有正三角形的个数有（）A．482B．483C．484D．485【考点】规律型：图形的变化类．【分析】由图可以看出：第一个图形中5个正三角形，第二个图形中5×3+2=17个正三角形，第三个图形中17×3+2=53个正三角形，由此得出第四个图形中53×3+2=161个正三角形，第五个图形中161×3+2=485个正三角形．【解答】解：第一个图形正三角形的个数为5，第二个图形正三角形的个数为5×3+2=2×32﹣1=17，第三个图形正三角形的个数为17×3+2=2×33﹣1=53，第四个图形正三角形的个数为53×3+2=2×34﹣1=161，第五个图形正三角形的个数为161×3+2=2×35﹣1=485．如果是第n个图，则有2×3n﹣1个故选：D．12．如图，已知反比函数y=的图象过Rt∥ABO斜边OB的中点D，与直角边AB相交于C，连结AD、OC，若∥ABO的周长为4+2，AD=2，则∥ACO的面积为（）A．B．C．1D．2【考点】反比例函数系数k的几何意义；反比例函数图象上点的坐标特征．【分析】在直角三角形AOB中，由斜边上的中线等于斜边的一半，求出OB的长，根据周长求出直角边之和，设其中一直角边AB=x，表示出OA，利用勾股定理求出AB与OA的长，过D作DE垂直于x轴，得到E为OA中点，求出OE的长，在直角三角形DOE中，利用勾股定理求出DE的长，利用反比例函数k的几何意义求出k的值，确定出三角形AOC面积即可．【解答】解：在Rt∥AOB中，AD=2，AD为斜边OB的中线，∥OB=2AD=4，由周长为4+2，得到AB+AO=2，设AB=x，则AO=2﹣x，根据勾股定理得：AB2+OA2=OB2，即x2+（2﹣x）2=42，整理得：x2﹣2x+2=0，解得x1=+，x2=﹣，∥AB=+，OA=﹣，过D作DE∥x轴，交x轴于点E，可得E为AO中点，∥OE=OA=（﹣）（假设OA=+，若OA=﹣，求出结果相同），在Rt∥DEO中，利用勾股定理得：DE==（+），∥k=﹣DE•OE=﹣（+）×（﹣）=﹣，∥S∥AOC=DE•OE=×（+）×（﹣）=，故选A．二、填空题（每小题4分，共24分）13．我国2015年国内生产总值约为676700亿元，请用科学记数法表示2015年国内生产总值约为 6.767×105亿元．【考点】科学记数法—表示较大的数．【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞1时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．【解答】解：将676700亿用科学记数法表示为：6.767×105亿．故答案为：6.767×105．14．代数式3x2﹣4x+6的值为12，则x2﹣x+6=8．【考点】代数式求值．【分析】将原式变形成=（3x2﹣4x）+6，根据题意知3x2﹣4x=6，整体代入上式可得．【解答】解：∥3x2﹣4x+6=12，∥3x2﹣4x=6，则x2﹣x+6=（3x2﹣4x）+6=×6+6=8，故答案为：8．15．如图，在∥ABC中，D，E分别是AB，BC上的点，且DE∥AC，AE，CD交于点F，若S∥BDE：S∥DEC=1：3，则S∥DEF：S∥AFC=1：16．【考点】相似三角形的判定与性质．【分析】由三角形的面积关系得出BE：CE=1：3，得出BE：BC=1：4，由平行线得出DE：AC=BE：BC=1：4，∥DEF∥∥AFC，由相似三角形的面积比等于相似比的平方即可得出结果．【解答】解：∥S∥BDE：S∥DEC=1：3，∥BE：CE=1：3，∥BE：BC=1：4，∥DE∥AC，∥DE：AC=BE：BC=1：4，∥DEF∥∥AFC，∥S∥DEF：S∥AFC=（）2=（）2=．故答案为：1：16．16．如图，∥ABC是∥O的内接三角形，AD是∥O的直径，∥ABC=50°，则∥CAD=40°．【考点】圆周角定理．【分析】首先连接CD，由AD是∥O的直径，根据直径所对的圆周角是直角，可求得∥ACD=90°，又由圆周角定理，可得∥D=∥ABC=50°，继而求得答案．【解答】解：连接CD，∥AD是∥O的直径，∥∥ACD=90°，∥∥D=∥ABC=50°，∥∥CAD=90°﹣∥D=40°．故答案为：40°．17．有五张正面分别标有数字﹣2，﹣1，0，1，2的卡片，它们除数字不同外其余全部相同．现将它们背面朝上，洗匀后从中随机抽取一张，记卡片上的数字为a，则使关于x的一元二次方程x2﹣2（a﹣1）x+a（a﹣3）=0有两个不相等的实数根，且以x为自变量的二次函数y=x2﹣（a2+1）x﹣a+2的图象不经过点（1，0）的概率是．【考点】概率公式；根的判别式；二次函数图象上点的坐标特征．【分析】首先根据使关于x的一元二次方程x2﹣2（a﹣1）x+a（a﹣3）=0有两个不相等的实数根，且以x为自变量的二次函数y=x2﹣（a2+1）x﹣a+2的图象不经过点（1，0）确定a的值，然后利用概率公式求解．【解答】解：∥使关于x的一元二次方程x2﹣2（a﹣1）x+a（a﹣3）=0有两个不相等的实数根，∥[﹣2（a﹣1）]2﹣4×1×a（a﹣3）＞0，解得：a＞﹣1，∥以x为自变量的二次函数y=x2﹣（a2+1）x﹣a+2的图象不经过点（1，0），∥12﹣（a2+1）﹣a+2≠0，∥a≠1且a≠﹣2，∥满足条件的a只有0和2，∥使关于x的一元二次方程x2﹣2（a﹣1）x+a（a﹣3）=0有两个不相等的实数根，且以x 为自变量的二次函数y=x2﹣（a2+1）x﹣a+2的图象不经过点（1，0）的概率是，故答案为：．18．如图，将正方形OABC放在平面直角坐标系中，O是原点，点A的坐标为（1，），则（1）OA的长为2，（2）点C的坐标为（﹣，1）．【考点】正方形的性质；坐标与图形性质．【分析】（1）利用勾股定理直接计算即可求出OA的长；（2）过点A作AD∥x轴于D，过点C作CE∥x轴于E，根据同角的余角相等求出∥OAD=∥COE，再利用“角角边”证明∥AOD和∥OCE全等，根据全等三角形对应边相等可得OE=AD，CE=OD，然后根据点C在第二象限写出坐标即可．【解答】解：（1）∥点A的坐标为（1，），∥OA==2，故答案为：2；（2）如图，过点A作AD∥x轴于D，过点C作CE∥x轴于E，∥四边形OABC是正方形，∥OA=OC，∥AOC=90°，∥∥COE+∥AOD=90°，又∥∥OAD+∥AOD=90°，∥∥OAD=∥COE，在∥AOD和∥OCE中，，∥∥AOD∥∥OCE（AAS），∥OE=AD=，CE=OD=1，∥点C在第二象限，∥点C的坐标为（﹣，1）．故答案为（﹣，1）．三、解答题：（每小题7分，共14分）19．如图，已知AB∥CD，AF=CE，∥B=∥D，证明BE和DF的关系．【考点】全等三角形的判定与性质；平行线的性质．【分析】要证相等，可利用AAS判定∥ABE∥∥CDF从而得出BE=DF．【解答】证明：∥AB∥CD，BE=DF，∥∥A=∥C，又∥AF=CE，∥AF+FE=CE+FE，即AE=CF．在∥ABE和∥CDF中，，∥∥ABE∥∥CDF（AAS），∥BE=DF．20．某班有50名同学，男、女生人数各占一半．在本周操行评定中，该班操行得分情况见如下统计表；其中男生操行得分情况见如下不完整的条形统计图：操行分得分1分2分3分4分5分人数2410304（1）补全条形统形图；（2）若要在操行得分为5分的4名同学中选出两名同学作“本周操行明星”，用画树状图或列表的方法求出选为“本周操行明星”的正好是一名男同学和一名女同学的概率．【考点】列表法与树状图法；条形统计图．【分析】（1）利用男生人数25分别减去1分、2分、3分45分的人数即可得到5分人数，即可解答；（2）首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与两位同学恰好是一名男同学和一位女同学的情况，再利用概率公式即可求得答案．【解答】解：（1）男生操行得分为5分的人数=25﹣2﹣2﹣8﹣11=2，补全统计图如下：（2）画树状图得：∥共有12种等可能的结果，所选两位同学恰好是一名男同学和一位女同学的有8种情况，∥所选两位同学恰好是一名男同学和一位女同学的概率为：=．四、解答题：（每题10分，共40分）21．化简下列各式：（1）（x﹣1）2（x+1）2﹣1；（2）÷（﹣x+2）+．【考点】分式的混合运算；整式的混合运算．【分析】（1）根据平方差公式进行计算即可；（2）先对式子能分解因式的先分解因式，对括号内的先通分再相加，然后化简即可．【解答】解：（1）（x﹣1）2（x+1）2﹣1=[（x﹣1）（x+1）]2﹣1=（x2﹣1）2﹣1=x4﹣2x2+1﹣1=x4﹣2x2；（2）÷（﹣x+2）+=======．22．如图，一次函数的图象与y轴交于C（0，4），且与反比例函数y=（x＞0）的图象在第一象限内交于A（3，a），B（1，b）两点，（1）求∥AOC的面积；（2）若=2，求反比例函数和一次函数的解析式．【考点】反比例函数与一次函数的交点问题．【分析】（1）作AD∥y轴于D，根据题意得出AD=3，OC=4，然后关键数据线面积公式即可求得；（2）根据反比例函数系数k=xy，得出3a=b，然后代入=2，即可求得a的值，求得A的坐标，从而求得k的值，然后关键待定系数即可求得一次函数的解析式．【解答】解：（1）作AD∥y轴于D，∥A（3，a），∥AD=3，∥一次函数的图象与y轴交于C（0，4），∥OC=4，∥S∥AOC=OC•AD=×4×3=6；（2）∥A（3，a），B（1，b）两点在反比例函数y=（x＞0）的图象上，∥3a=b，∥=2，∥a2﹣2ab+b2=4，∥a2﹣2a•3a+（3a）2=4，整理得，a2=1，∥a＞0，∥a=1，∥A（3，1），∥k=3×1=3，设直线的解析式为y=mx+n，∥，解得，∥反比例函数和一次函数的解析式分别为y=和y=﹣x+4．23．如图，我国某边防哨所树立了“祖国在我心中”建筑物，它的横截面为四边形BCNM，其中BC∥CN，BM∥CN，建筑物顶上有一旗杆AB，士兵小明站在D处，由E点观察到旗杆顶部A的仰角为52°，底部B的仰角为45°，已知旗杆AB=2.8米，DE=1.8米．（参考数据：sin52°≈0.788，tan52°≈1.280）（1）求建筑物的高度BC；（2）建筑物长50米，背风坡MN的坡度i=1：0.5，为提高建筑物抗风能力，士兵们在背风坡填筑土石方加固，加固后建筑物顶部加宽4.2米，背风坡GH的坡度为i=1：1.5，施工10天后，边防居民为士兵支援的机械设备终于到达，这样工作效率提高到了原来的2倍，结果比原计划提前20天完成加固任务，士兵们原计划平均每天填筑土石方多少立方米？【考点】解直角三角形的应用-坡度坡角问题；分式方程的应用．【分析】（1）根据题意得出EF=BF，进而利用tan∥AEF=即可得出答案；（2）利用坡比的定义得出QN，QH的长，进而利用梯形面积求法求出总的土方量，进而得出答案．【解答】解：（1）如图所示：过点E作EF∥BF交BC于点F，设EF=x，则EF=x，则根据题意可得：BF=x，同理可知tan∥AEF==≈1.28，解得：x=10，即BC=10+1.8=11.8（m）．答：建筑物的高度BC为11.8m；（2）如图所示：过点M，G分别作MQ、GP垂直于CN，交CN于点Q、P，根据题意可得：PH=11.8×1.5=17.7（m），QN=5.9（m），可得：NH=17.7﹣5.9+4.2=11.8（m），故可得加固所需土石方为：（MG+NH）×PG=×11.8×（4.2+16）×50=5959，则根据题意可列方程：设原方程每天填筑土石方a立方米，=20+，解得：a=198．答：士兵们原计划平均每天填筑土石方198立方米．24．平面直角坐标系中，点P（x，y）的横坐标x的绝对值表示为|x|，纵坐标y的绝对值表示为|y|，我们把点P（x，y）的横坐标与纵坐标的绝对值之和叫做点P（x，y）的勾股值，记为「P」，即「P」=|x|+|y|．（其中的“+”是四则运算中的加法）例如：如果A（﹣1，3），那么「A」=|﹣1|+|3|=4．（1）点M在反比例函数y=的图象上，且「M」=4，求点M的坐标；（2）求满足条件「N」=3的所有点N围成的图形的面积．【考点】反比例函数图象上点的坐标特征．【分析】（1）设点M的坐标为（m，），根据勾股值的定义式可得出关于m的一元二次方程，解方程即可得出m的值，将m的值代入到点M的坐标中即可得出结论；（2）设点N的坐标为（x，y），根据勾股值的定义式可分段找出y关于x的函数解析式，画出图象根据菱形的面积公式即可得出结论．【解答】解：（1）设点M的坐标为（m，），∥「M」=4=|m|+||，∥m2﹣4m+3=0，或m2+4m+3=0，解得：m1=1，m2=3，m3=﹣1，m4=﹣3．∥点M的坐标为（﹣3，﹣1），（﹣1，﹣3），（1，3）和（3，1）．（2）设点N的坐标为（x，y），∥「N」=3=|x|+|y|，∥分三种情况考虑．①xy＞0时，x+y=3（x、y均为正），或x+y=﹣3（x、y均为负）；②xy＜0时，x﹣y=3（x＞0，y＜0），或﹣x+y=3（x＜0，y＞0）；③xy=0时，x=0，y=±3，或y=0，x=±3．画出图象如图所示．点A（0，3），B（3，0），C（0，﹣3），D（﹣3，0）．围城图形的面积S=BD•AC=[3﹣（﹣3）]×[3﹣（﹣3）]=6×6=36．五、解答题：（每个小题12分，共24分）25．在∥ABC中，AB=AC，点D，点E在边BC上不同的两点，且∥ADE=75°．（1）如图1，若∥BAC=90°，CD=，求BC的长；（2）如图2，若∥BAC=90°，∥EAD=45°，求证：DC=BE；（3）如图3，若∥BAC=120°，∥EAD=60°，请问（2）中的结论还成立吗？若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由．【考点】相似形综合题．【分析】（1）作DG∥AC于G，证明出∥ABC是等腰直角三角形，进而求出AG的长，即可求出BC的长；（2）作DH∥AE于H，设DC=a，利用a表示出BC、DE和CD的长，根据线段之间的关系得到结论；（3）作DG∥AC于G，AH∥BC于H，设DC=2a，还是利用a表示出BC、DE和CD的长，即可表示出线段DC和BE之间的数量关系．【解答】解：（1）如图1所示，作DG∥AC于G，∥∥BAC=90°，AB=AC，∥∥ABC是等腰直角三角形，∥∥1=∥B=45°，∥∥ADE=75°，∥∥2=60°，∥DAG=30°，∥DG=CG=CD=1，AD=2DG=2，∥AG==，∥AC=AG+CG=+1，∥BC=AG=+；（2）如图2所示，作DH∥AE于H，设DC=a，则DG=CG=a，∥AD=2DG=a，AG=a，∥AC=AG+CG=a，∥BC=AC=（+1）a，∥∥EAD=45°，∥∥ADH是等腰直角三角形，∥AH=DH=AD=a，∥∥4=180°﹣∥ADE﹣∥DAE=60°，∥DE=2EH，∥DE=DH÷=a，∥BE=BC﹣DE﹣CD=a=DC，∥DC=BE；（3）（2）中的结论不成立，理由如下：如图3所示，作DG∥AC于G，AH∥BC于H，∥AB=AC，∥BAC=120°，∥∥B=∥C=30°，∥∥1=60°，又∥∥ADE=75°，∥DAE=60°，∥∥2=∥3=∥4=∥5=45°，设DC=2a，则DG=AG=a，CG=a，∥AC=AG+CG=（+1）a，∥EH=AH=AC=a，CH=AC=a，∥BC=2CH=（3+）a，DH=CH﹣DC=a，∥DE=EH+DH=a，∥BE=BC﹣DE﹣DC=（3+）a﹣a﹣2a=a=DC，∥DC=2BE．26．如图，已知抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的对称轴为直线x=﹣1，且抛物线经过A（1，0），C（0，3）两点，与x轴交于点B．（1）若直线y=mx+n经过B、C两点，求直线BC和抛物线的解析式；（2）在抛物线的对称轴x=﹣1上找一点M，使点M到点A的距离与到点C的距离之和最小，求出点M的坐标；（3）设点P为抛物线的对称轴x=﹣1上的一个动点，求使∥BPC为直角三角形的点P的坐标．【考点】二次函数综合题．【分析】（1）先把点A，C的坐标分别代入抛物线解析式得到a和b，c的关系式，再根据抛物线的对称轴方程可得a和b的关系，再联立得到方程组，解方程组，求出a，b，c的值即可得到抛物线解析式；把B、C两点的坐标代入直线y=mx+n，解方程组求出m和n 的值即可得到直线解析式；（2）设直线BC与对称轴x=﹣1的交点为M，则此时MA+MC的值最小．把x=﹣1代入直线y=x+3得y的值，即可求出点M坐标；（3）设P（﹣1，t），又因为B（﹣3，0），C（0，3），所以可得BC2=18，PB2=（﹣1+3）2+t2=4+t2，PC2=（﹣1）2+（t﹣3）2=t2﹣6t+10，再分三种情况分别讨论求出符合题意t值即可求出点P的坐标．【解答】解：（1）依题意得：，解之得：，∥抛物线解析式为y=﹣x2﹣2x+3∥对称轴为x=﹣1，且抛物线经过A（1，0），∥把B（﹣3，0）、C（0，3）分别代入直线y=mx+n，得，解之得：，∥直线y=mx+n的解析式为y=x+3；（2）设直线BC与对称轴x=﹣1的交点为M，则此时MA+MC的值最小．把x=﹣1代入直线y=x+3得，y=2，∥M（﹣1，2），即当点M到点A的距离与到点C的距离之和最小时M的坐标为（﹣1，2）；（3）设P（﹣1，t），又∥B（﹣3，0），C（0，3），∥BC2=18，PB2=（﹣1+3）2+t2=4+t2，PC2=（﹣1）2+（t﹣3）2=t2﹣6t+10，①若点B为直角顶点，则BC2+PB2=PC2即：18+4+t2=t2﹣6t+10解之得：t=﹣2；②若点C为直角顶点，则BC2+PC2=PB2即：18+t2﹣6t+10=4+t2解之得：t=4，③若点P为直角顶点，则PB2+PC2=BC2即：4+t2+t2﹣6t+10=18解之得：t1=，t2=；综上所述P的坐标为（﹣1，﹣2）或（﹣1，4）或（﹣1，）或（﹣1，）．2016年5月16日。
九年级下学期第一次月考数学试卷+参考答案
九年级下学期第一次月考数学试卷一、选择题：本大题共8小题，每小题3分，共24分．1．﹣的倒数是（）A．3 B．﹣3 C．D．﹣2．下列计算中正确的是（）A．a2+a3=2a5 B．a2•a3=a6C．a2•a3=a5D．（a3）2=a93．函数y=的自变量x的取值范围是（）A．x＞1 B．x＜1 C．x≥1 D．x≤14．如图，是由几个小立方体所搭成的几何体的俯视图，小正方形中的数字表示在该位置上的立方体的个数，这个几何体的正视图是（）A．B．C．D．5．关于二次函数y=2x2+3，下列说法中正确的是（）A．它的开口方向是向下B．当x＜﹣1时，y随x的增大而减小C．它的顶点坐标是（2，3）D．当x=0时，y有最大值是36．如图，已知矩形ABCD中，R、P分别是DC、BC上的点，E、F分别是AP、RP的中点，当P在BC上从B向C移动而R不动时，那么下列结论成立的是（）A．线段EF的长逐渐增大B．线段EF的长逐渐减小C．线段EF的长不改变D．线段EF的长不能确定7．已知一次函数y=kx+b的图象如图，则关于x的不等式k（x﹣4）﹣2b＞0的解集为（）A．x＞﹣2 B．x＜﹣2 C．x＞2 D．x＜38．如图，在平面直角坐标系中，正方形ABCO的顶点A、C分别在y轴、x轴上，以AB 为弦的⊙M与x轴相切，若点A的坐标为（0，﹣4），则圆心M的坐标为（）A．（﹣2，2.5）B．（2，﹣1.5）C．（2.5，﹣2）D．（2，﹣2.5）二、填空题：本大题共8小题，每小题3分，共24分．9．分解因式：4﹣y2=．10．一个圆锥的母线长为4，侧面积为12π，则这个圆锥的底面圆的半径是．11．一组数据2，﹣1，3，5，6，5的中位数是．12．已知x、y满足方程组，则y﹣x的值是．13．将抛物线y=x2+1先向左平移2个单位，再向下平移3个单位，那么所得抛物线的函数关系式是．14．如图所示，DE是△ABC的中位线，则△ADE与△ABC的周长比为．15．如图，在⊙O中，直径CD垂直弦AB于点E，连接OB，CB，已知⊙O的半径为2，AB=，则∠BCD=度．16．关于x的分式方程的解为正数，则m的取值范围是．三、解答题：本大题共10小题，172每题6分，234题每题8分，256每题10分，共72分．17．计算：（）﹣2﹣2sin60°+．18．求不等式组的整数解．19．先化简（），然后从﹣3≤x≤3的范围内选取一个合适的整数作为x的值代入求值．20．已知：如图，在▱ABCD中，点E、F在对角线AC上，且AF=CE，求证：四边形BFDE 是平行四边形．（1）将表中空缺的数据填写完整，并补全频数分布直方图；（2）这个班同学这次跳绳成绩的众数是个，中位数是个；（3）若跳满90个可得满分，学校初三年级共有720人，试估计该中学初三年级还有多少人跳绳不能得满分．22．如图，已知点E在直角△ABC的斜边AB上，以AE为直径的⊙O与直角边BC相切于点D．（1）求证：AD平分∠BAC；（2）若BE=2，BD=4，求⊙O的半径．23．如图，在平面直角坐标系中，直线y=2x+b（b＜0）与坐标轴交于A，B两点，与双曲线y=（x＞0）交于D点，过点D作DC⊥x轴，垂足为C，连接OD．已知△AOB∽△ACD，相似比为．（1）如果b=﹣2，求k的值；（2）试探究k与b的数量关系，并直接写出直线OD的解析式．24．如图，△ABC中，AB=AC，∠A=36°，BD平分∠ABC．求证：．25．我市荸荠喜获丰收，某生产基地收获荸荠40吨．经市场调查，可采用批发、零售、加15吨．（1）求y与x之间的函数关系式；（2）若零售量不超过批发量的4倍，求该生产基地按计划全部售完荸荠后获得的最大利润．26．如图所示，抛物线y=ax2+bx+3与x轴交于点A、B两点（A在B的左侧）与y轴交于C点，且OA：OC=1：3，S△ABC=6．（1）求抛物线的函数关系式；（2）抛物线上是否存在一点D（点C除外），使S△ABD=S△ABC？若存在，求出D点坐标；若不存在，说明理由．（3）抛物线上是否存在一点E（点B除外），使S△ACE=S△ABC？若存在，求出E点坐标；若不存在，说明理由．九年级下学期第一次月考数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：本大题共8小题，每小题3分，共24分．1．﹣的倒数是（）A．3 B．﹣3 C．D．﹣【考点】倒数．【分析】根据乘积为1的两个数互为倒数，可得一个数的倒数．【解答】解：﹣的倒数是﹣3，故选：B．【点评】本题考查了倒数，分子分母交换位置是求一个数的倒数的关键．2．下列计算中正确的是（）A．a2+a3=2a5 B．a2•a3=a6C．a2•a3=a5D．（a3）2=a9【考点】幂的乘方与积的乘方；合并同类项；同底数幂的乘法．【分析】根据合并同类项，可判断A，根据同底数幂的乘法，可判断B、C，根据幂的乘方，可判断D．【解答】解：A、指数不能相加，故A错误；B、底数不变指数相加，故B错误；C、底数不变指数相加，故C正确；D、底数不变指数相乘，故D错误；故选：C．【点评】本题考查了幂的乘方与积的乘方，根据法则计算是解题关键．3．函数y=的自变量x的取值范围是（）A．x＞1 B．x＜1 C．x≥1 D．x≤1【考点】函数自变量的取值范围．【专题】计算题．【分析】根据二次根式的性质，被开方数大于或等于0，可以求出x的范围．【解答】解：由题意得x﹣1≥0，解得x≥1．故选C．【点评】考查求函数自变量的取值；用到的知识点为：二次根式的被开方数为非负数．4．如图，是由几个小立方体所搭成的几何体的俯视图，小正方形中的数字表示在该位置上的立方体的个数，这个几何体的正视图是（）A．B．C．D．【考点】由三视图判断几何体；简单组合体的三视图．【分析】由俯视图想象出几何体的特征形状，然后按照三视图的要求，得出该几何体的正视图和侧视图．【解答】解：由俯视图可知，几个小立方体所搭成的几何体如图所示，故正视图为，故选D．【点评】本题是基础题，考查空间想象能力，绘图能力，常考题型．5．关于二次函数y=2x2+3，下列说法中正确的是（）A．它的开口方向是向下B．当x＜﹣1时，y随x的增大而减小C．它的顶点坐标是（2，3）D．当x=0时，y有最大值是3【考点】二次函数的性质．【分析】分别利用二次函数的性质分析得出即可．【解答】解：A、∵a=2＞0，故它的开口方向是向上，故此选项错误；B、在y轴左侧，y随x的增大而减小，故当x＜﹣1时，y随x的增大而减小，正确；C、它的顶点坐标是（0，3），故此选项错误；D、当x=0时，y有最小值是3，故此选项错误；故选：B．【点评】此题主要考查了二次函数的性质，正确把握二次函数的性质是解题关键．6．如图，已知矩形ABCD中，R、P分别是DC、BC上的点，E、F分别是AP、RP的中点，当P在BC上从B向C移动而R不动时，那么下列结论成立的是（）A．线段EF的长逐渐增大B．线段EF的长逐渐减小C．线段EF的长不改变D．线段EF的长不能确定【考点】三角形中位线定理．【专题】压轴题．【分析】因为R不动，所以AR不变．根据中位线定理，EF不变．【解答】解：连接AR．因为E、F分别是AP、RP的中点，则EF为△APR的中位线，所以EF=AR，为定值．所以线段EF的长不改变．故选：C．【点评】本题考查了三角形的中位线定理，只要三角形的边AR不变，则对应的中位线的长度就不变．7．已知一次函数y=kx+b的图象如图，则关于x的不等式k（x﹣4）﹣2b＞0的解集为（）A．x＞﹣2 B．x＜﹣2 C．x＞2 D．x＜3【考点】一次函数与一元一次不等式．【分析】根据函数图象知：一次函数过点（3，0）；将此点坐标代入一次函数的解析式中，可求出k、b的关系式；然后将k、b的关系式代入k（x﹣4）﹣2b＞0中进行求解．【解答】解：∵一次函数y=kx+b经过点（3，0），∴3k+b=0，∴b=﹣3k．将b=﹣3k代入k（x﹣4）﹣2b＞0，得k（x﹣4）﹣2×（﹣3k）＞0，去括号得：kx﹣4k+6k＞0，移项、合并同类项得：kx＞﹣2k；∵函数值y随x的增大而减小，∴k＜0；将不等式两边同时除以k，得x＜﹣2．故选B．【点评】本题考查了一次函数与不等式的关系及数形结合思想的应用．解决此类问题关键是仔细观察图形，注意几个关键点（交点、原点等），做到数形结合．8．如图，在平面直角坐标系中，正方形ABCO的顶点A、C分别在y轴、x轴上，以AB 为弦的⊙M与x轴相切，若点A的坐标为（0，﹣4），则圆心M的坐标为（）A．（﹣2，2.5）B．（2，﹣1.5）C．（2.5，﹣2）D．（2，﹣2.5）【考点】切线的性质；坐标与图形性质；正方形的性质．【分析】过M作MN⊥AB于N，连接MA，设⊙M的半径是R，根据正方形性质求出OA=AB=BC=CO=8，根据垂径定理求出AN，得出M的横坐标，在△AMN中，由勾股定理得出关于R的方程，求出R，即可得出M的纵坐标．【解答】解：∵四边形ABCO是正方形，A（0，﹣4），∴AB=OA=CO=BC=4，过M作MN⊥AB于N，连接MA，由垂径定理得：AN=AB=2，设⊙M的半径是R，则MN=8﹣R，AM=R，由勾股定理得：AM2=MN2+AN2，R2=（4﹣R）2+22，解得：R=，∵AN=2，四边形ABCO是正方形，⊙M于x轴相切，∴M的横坐标是2，即M（2，﹣）．故选D．【点评】本题考查了勾股定理、切线的性质、正方形性质，垂径定理等知识点，本题综合性比较强，是一道比较好的题目．二、填空题：本大题共8小题，每小题3分，共24分．9．分解因式：4﹣y2=（2﹣y）（2+y）．【考点】因式分解-运用公式法．【分析】直接运用平方差公式进行因式分解．【解答】解：4﹣y2=（2﹣y）（2+y）．【点评】此题考查了利用平方差公式分解因式．公式：a2﹣b2=（a+b）（a﹣b）．10．一个圆锥的母线长为4，侧面积为12π，则这个圆锥的底面圆的半径是3．【考点】圆锥的计算．【分析】根据圆锥的侧面积=底面半径×母线长×π，进而求出即可．【解答】解：∵母线为4，设圆锥的底面半径为x，∴圆锥的侧面积=π×4×x=12π．解得：x=3．故答案为：3．【点评】本题考查了圆锥的计算，熟练利用圆锥公式求出是解题关键．11．一组数据2，﹣1，3，5，6，5的中位数是4．【考点】中位数．【分析】先排序，然后计算该组数据的中位数即可．【解答】解：数据2，﹣1，3，5，6，5的中位数是（5+3）÷2=4，故答案为：4．【点评】本题考查了中位数的定义，特别是求中位数时候应先排序．12．已知x、y满足方程组，则y﹣x的值是﹣1．【考点】解二元一次方程组．【专题】计算题；一次方程（组）及应用．【分析】方程组两方程相减即可求出y﹣x的值．【解答】解：，②﹣①得：y﹣x=﹣1．故答案为：﹣1．【点评】此题考查了解二元一次方程组，熟练掌握运算法则是解本题的关键．13．将抛物线y=x2+1先向左平移2个单位，再向下平移3个单位，那么所得抛物线的函数关系式是y=（x+2）2﹣2．【考点】二次函数图象与几何变换．【分析】先求出平移后的抛物线的顶点坐标，再利用顶点式抛物线解析式写出即可．【解答】解：抛物线y=x2+1的顶点坐标为（0，1），向左平移2个单位，向下平移3个单位后的抛物线的顶点坐标为（﹣2，﹣2），所以，平移后的抛物线的解析式为y=（x+2）2﹣2．故答案为：y=（x+2）2﹣2．【点评】本题考查了二次函数图象与几何变换，要求熟练掌握平移的规律：左加右减，上加下减．并用根据规律利用点的变化确定函数解析式．14．如图所示，DE是△ABC的中位线，则△ADE与△ABC的周长比为1：2．【考点】三角形中位线定理．【分析】根据题意DE是△ABC的中位线，那么DE∥BC，再利用平行线分线段成比例定理的推论，可得△ADE∽△ABC，再利用相似三角形的周长比等于相似即可求出答案．【解答】解：∵DE是△ABC的中位线，∴DE∥BC，∴△ADE∽△ABC，∴=，根据相似三角形的性质△ADE与△ABC的周长之比是1：2．故选1：2．【点评】本题考查了相似三角形的判定，考查了相似三角形对应边比例相等的性质，本题中求证△ADE∽△ABC是解题的关键．15．如图，在⊙O中，直径CD垂直弦AB于点E，连接OB，CB，已知⊙O的半径为2，AB=，则∠BCD=30度．【考点】垂径定理；特殊角的三角函数值．【专题】计算题；压轴题．【分析】首先在直角三角形OEB中利用锐角三角函数求得∠EOB的度数，然后利用同弧所对的圆心角和圆周角之间的关系求得∠BCD的度数即可．【解答】解：∵直径CD垂直弦AB于点E，AB=，∴EB=AB=，∵⊙O的半径为2，∴sin∠EOB=，∴∠EOB=60°，∴∠BCD=30°．故答案为30．【点评】本题考查了垂径定理及特殊角的三角函数值，解题的关键是利用垂径定理得到直角三角形．16．关于x的分式方程的解为正数，则m的取值范围是m＞2且m≠3．【考点】分式方程的解．【专题】计算题．【分析】方程两边同乘以x﹣1，化为整数方程，求得x，再列不等式得出m的取值范围．【解答】解：方程两边同乘以x﹣1，得，m﹣3=x﹣1，解得x=m﹣2，∵分式方程的解为正数，∴x=m﹣2＞0且x﹣1≠0，即m﹣2＞0且m﹣2﹣1≠0，∴m＞2且m≠3，故答案为m＞2且m≠3．【点评】本题考查了分式方程的解，要注意分式的分母不为0的条件，此题是一道易错题，有点难度．三、解答题：本大题共10小题，172每题6分，234题每题8分，256每题10分，共72分．17．计算：（）﹣2﹣2sin60°+．【考点】实数的运算；负整数指数幂；特殊角的三角函数值．【专题】计算题．【分析】原式第一项利用负指数幂法则计算，第二项利用特殊角的三角函数值计算，最后一项化为最简二次根式，合并即可得到结果．【解答】解：原式=4﹣2×+2=4+．【点评】此题考查了实数的运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．18．求不等式组的整数解．【考点】一元一次不等式组的整数解．【分析】首先解每个不等式，两个不等式的解集的公共部分就是不等式组的解集，然后确定解集中的整数解即可．【解答】解：，由①得x≥3，由②得x＜5，则不等式组的解集是：3≤x＜5．整数解是3，4．【点评】本题考查了不等式组的解法及整数解的确定．求不等式组的解集，应遵循以下原则：同大取较大，同小取较小，小大大小中间找，大大小小解不了．19．先化简（），然后从﹣3≤x≤3的范围内选取一个合适的整数作为x的值代入求值．【考点】分式的化简求值．【专题】计算题．【分析】先把括号内通分和除法运算化为乘法运算，再把分子分母因式分解，然后约分得到原式=x+1，再根据分式有意义的条件把x=3代入计算即可．【解答】解：原式=•=•=x+1，当x=3时，原式=3+1=4．【点评】本题考查了分式的化简求值：先把分式化简后，再把分式中未知数对应的值代入求出分式的值．在化简的过程中要注意运算顺序和分式的化简．化简的最后结果分子、分母要进行约分，注意运算的结果要化成最简分式或整式．20．已知：如图，在▱ABCD中，点E、F在对角线AC上，且AF=CE，求证：四边形BFDE 是平行四边形．【考点】平行四边形的判定与性质．【专题】证明题．【分析】首先连接BD，交AC于O点，进而得出EO=FO，BO=DO即可得出四边形BFDE 是平行四边形．【解答】证明：连接BD，交AC于O点．∵四边形ABCD是平行四边形，O是对角线AC、BD的交点．∴AO=CO．又∵点E、F在对角线AC上，且AF=CE，∴AF﹣AO=CE﹣CO，即FO=EO①∵四边形ABCD是平行四边形，∴BO=DO②，由①②得四边形BFDE是平行四边形．【点评】此题主要考查了平行四边形的判定与性质，得出BO=DO，EO=FO是解题关键．（1）将表中空缺的数据填写完整，并补全频数分布直方图；（2）这个班同学这次跳绳成绩的众数是95个，中位数是95个；（3）若跳满90个可得满分，学校初三年级共有720人，试估计该中学初三年级还有多少人跳绳不能得满分．【考点】频数（率）分布直方图；用样本估计总体；中位数；众数．【分析】（1）首先根据直方图得到95.5﹣100.5小组共有13人，由统计表知道跳100个的有5人，从而求得跳98个的人数；（2）根据众数和中位数的定义填空即可；（3）用样本估计总体即可．【解答】解：（1）根据直方图得到95.5﹣100.5小组共有13人，由统计表知道跳100个的有5人，∴跳98个的有13﹣5=8人，跳90个的有40﹣1﹣2﹣8﹣11﹣8﹣5=5人，（2）观察统计表知：众数为95个，中位数为95个；（3）估计该中学初三年级不能得满分的有720×=54人．【点评】本题考查了频数分布表及频率分布直方图的知识，解题的关键是读懂题意并读懂两个统计图，难度中等．22．如图，已知点E在直角△ABC的斜边AB上，以AE为直径的⊙O与直角边BC相切于点D．（1）求证：AD平分∠BAC；（2）若BE=2，BD=4，求⊙O的半径．【考点】切线的性质；相似三角形的判定与性质．【分析】（1）先连接OD，再由OD⊥BC和AC⊥BC可知OD∥AC从而得证；（2）利用切割线定理可先求出AB，进而求出圆的直径，半径则可求出．【解答】（1）证明：连接OD，∵BC是⊙O的切线，∴OD⊥BC，又∵AC⊥BC，∴OD∥AC，∴∠2=∠3；∵OA=OD，∴∠1=∠3，∴∠1=∠2，∴AD平分∠BAC；（2）解：∵BC与圆相切于点D．∴BD2=BE•BA，∵BE=2，BD=4，∴BA=8，∴AE=AB﹣BE=6，∴⊙O的半径为3．【点评】本题考查了圆的切线性质和切割线定理，遇到圆的切线的问题，常通过作辅助线连接圆心和切点，利用垂直构造直角三角形解决有关问题．23．如图，在平面直角坐标系中，直线y=2x+b（b＜0）与坐标轴交于A，B两点，与双曲线y=（x＞0）交于D点，过点D作DC⊥x轴，垂足为C，连接OD．已知△AOB∽△ACD，相似比为．（1）如果b=﹣2，求k的值；（2）试探究k与b的数量关系，并直接写出直线OD的解析式．【考点】反比例函数综合题．【分析】（1）首先求出直线y=2x﹣2与坐标轴交点的坐标，然后由△AOB≌△ACD得到CD=OB，AO=AC，即可求出D坐标，由点D在双曲线y=（x＞0）的图象上求出k的值；（2）首先直线y=2x+b与坐标轴交点的坐标为A（﹣，0），B（0，b），再根据△AOB≌△ACD得到CD=DB，AO=AC，即可求出D坐标，把D点坐标代入反比例函数解析式求出k和b 之间的关系，进而也可以求出直线OD的解析式．【解答】解：（1）当b=﹣2时，直线y=2x﹣2与坐标轴交点的坐标为A（1，0），B（0，﹣2）．∵△AOB∽△ACD，∴CD=2OB，AO=2AC，∴点D的坐标为（3，4）．∵点D在双曲线y=（x＞0）的图象上，∴k=3×4=12．（2）直线y=2x+b与坐标轴交点的坐标为A（﹣，0），B（0，b）．∵△AOB∽△ACD，∴CD=2OB，AC=2AO，∴点D的坐标为（b，2b）∵点D在双曲线y=（x＞0）的图象上，∴k=（）•（2b）=3b2，即k与b的数量关系为：k=3b2．直线OD的解析式为：y=x．【点评】本题主要考查反比例函数的综合题的知识点，解答本题的关键是熟练掌握反比例函数的性质以及反比例函数图象的特征，此题难度不大，是一道不错的2016届中考试题．24．如图，△ABC中，AB=AC，∠A=36°，BD平分∠ABC．求证：．【考点】黄金分割．【专题】证明题．【分析】根据等腰三角形的性质和角平分线的定义证明△ABC∽△BDC，根据黄金分割的概念计算即可．【解答】解∵AB=AC，∠A=36°，∴∠ABC=∠C=（180°﹣36°）=72°，∵BD平分∠ABC，∴∠ABD=∠CBD=∠ABC=36°，∴DA=DB，∵∠BDC=∠A+∠ABD=72°，∴BD=BC，∴AD=BC，∵∠A=∠CBD，∠C=∠C，∴△ABC∽△BDC，∴BC：DC=AC：BC，∴AD：DC=AC：AD，∴点D为AC的黄金分割点，∴=，∴．【点评】本题考查考查的是黄金分割的概念、相似三角形的性质和等腰三角形的性质，把一条线段分成两部分，使其中较长的线段为全线段与较短线段的比例中项，这样的线段分割叫做黄金分割，它们的比值叫做黄金比．25．我市荸荠喜获丰收，某生产基地收获荸荠40吨．经市场调查，可采用批发、零售、加15吨．（1）求y与x之间的函数关系式；（2）若零售量不超过批发量的4倍，求该生产基地按计划全部售完荸荠后获得的最大利润．【考点】一次函数的应用；一元一次不等式组的应用．【专题】销售问题．【分析】（1）根据总利润=批发的利润+零售的利润+加工销售的利润就可以得出结论；（2）由（1）的解析式，根据零售量不超过批发量的4倍，建立不等式求出x的取值范围，由一次函数的性质就可以求出结论．【解答】解：（1）依题意可知零售量为（25﹣x）吨，则y=12x+22（25﹣x）+30×15∴y=﹣10x+1000；（2）依题意有：，解得：5≤x≤25．∵k=﹣10＜0，∴y随x的增大而减小．=950百元．∴当x=5时，y有最大值，且y最大∴最大利润为950百元．【点评】本题考查了总利润=批发的利润+零售的利润+加工销售的利润的运用，一元一次不等式组的运用，一次函数的性质的运用，解答时求出一次函数的解析式是关键．26．如图所示，抛物线y=ax2+bx+3与x轴交于点A、B两点（A在B的左侧）与y轴交于C点，且OA：OC=1：3，S△ABC=6．（1）求抛物线的函数关系式；（2）抛物线上是否存在一点D（点C除外），使S△ABD=S△ABC？若存在，求出D点坐标；若不存在，说明理由．（3）抛物线上是否存在一点E（点B除外），使S△ACE=S△ABC？若存在，求出E点坐标；若不存在，说明理由．【考点】二次函数综合题．【分析】（1）根据三角形的面积，可得AB的长，根据线段的和差，可得B点坐标，根据待定系数法，可得函数解析式；（2）根据平行线间的距离相等，可得D点的纵坐标，根据函数值，可得答案；（3）根据平行线的一次函数的一次项系数相等，可得BE的解析式，根据解方程组，可得E 点坐标．【解答】解：（1）当x=0时，y=3，即OC=3．由OA：OC=1：3，解得OA=1，即A点坐标为（﹣1，0）．由S△ABC=AB•OC=6，解得AB=4．﹣1+4=3，即B（3，0）．将A、B点的坐标代入函数解析式，得，解得，抛物线的解析式为y=﹣x2+2x+3；（2）如图1：，根据平行线间的距离相等，可得D点的纵坐标为3或﹣3．当y=3时，﹣x2+2x+3=3，解得x=0（不符合题意，舍），x=2，即D点的坐标为（2，3）；当y=﹣3时，﹣x2+2x+3=﹣3．解得x=1﹣，x=1+，即D点坐标为（1﹣，﹣3），（1+，﹣3）；综上所述：抛物线上存在一点D（点C除外），使S△ABD=S△ABC，D点坐标（2，3），（1﹣，﹣3），D（1+，﹣3）；（3）过点B作AC平行线，如图2，S△ACE=S△ABC，由平行线间的距离相等，得设AC的函数解析式y=kx+b，将A、C点的坐标代入函数解析式，得，解得，函数解析式为y=3x+3，由BE∥AC，设BE的解析式为y=3x+b，将B点坐标代入函数解析式，得3×3+b=0．解得b=﹣9，即BE的解析式为y=3x﹣9，联立BE与抛物线，得，解得x=﹣4，x=3（不符合题意，舍），当x=﹣4时，y=3×（﹣4）﹣9=﹣21，即E（﹣4．﹣21）．【点评】本题考查了二次函数解析式，利用待定系数法求函数解析式，利用平行线间的距离相等得出D点的纵坐标是解题关键；利用平行线间的关系得出BE的解析式是解题关键．。
最新九年级(下)第一次月考数学试卷及详细答案
最新九年级（下）第一次月考数学试卷一、选择题（本大题共10小题，共30.0分）1．（3分）下列语句中不正确的有（）①相等的圆心角所对的弧相等；②平分弦的直径垂直于弦；③圆是轴对称图形，任何一条直径都是它的对称轴；④长度相等的两条弧是等弧．A．3个 B．2个 C．1个 D．4个2．（3分）四张质地、大小相同的卡片上，分别画上如图所示的四个图形．在看不到图形的情况下从中任意抽取一张，则抽取的卡片是轴对称图形的概率为（）A．B．C．D．13．（3分）若反比例函数y=的图象在每一象限内，y随x的增大而增大，则有（）A．k≠0 B．k≠3 C．k＜3 D．k＞34．（3分）如图是一个正方体截去一角后得到的几何体，它的主视图是（）A．B．C．D．5．（3分）在Rt△ABC中，∠C=90°，若sinA=，则cosB的值是（）A．B．C．D．6．（3分）如图，将△ABC绕点P顺时针旋转90°得到△A′B′C′，则点P的坐标是（）A．（1，1） B．（1，2） C．（1，3） D．（1，4）7．（3分）如图，正方形ABCD内接于圆O点P在弧AD上，∠BPC=（）A．50°B．45°C．40°D．35°8．（3分）如果一个直角三角形的两条边长分别是6和8，另一个与它相似的直角三角形边长分别是3和4及x，那么x的值（）A．只有1个B．可以有2个C．有2个以上，但有限D．有无数个9．（3分）已知二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，对称轴为x=﹣．下列结论中，正确的是（）A．abc＞0 B．a+b=0 C．2b+c＞0 D．4a+c＜2b10．（3分）如图，动点P从点A出发，沿线段AB运动至点B后，立即按原路返回．点P在运动过程中速度大小不变．则以点A为圆心，线段AP长为半径的圆的面积S与点P的运动时间t之间的函数图象大致为（）A． B． C． D．二、填空题（本大题共4小题，共12.0分）11．（3分）已知圆上一段弧长为6π，它所对的圆心角为120°，则该圆的半径为．12．（3分）如图，小明同学在东西方向的环海路A处，测得海中灯塔P在北偏东60°方向上，在A处东500米的B处，测得海中灯塔P在北偏东30°方向上，则灯塔P到环海路的距离PC=米．（用根号表示）13．（3分）一个长方体的主视图和左视图如图（单位：cm），则其俯视图的面积是cm2．14．（3分）如图，在正方形ABCD中，△BPC是等边三角形，BP、CP的延长线分别交AD于点E、F，连结BD、DP，BD与CF相交于点H．给出下列结论：①△ABE≌△DCF；②=；③DP2=PH•PB；④=．其中正确的是．（写出所有正确结论的序号）三、解答题（本大题共1小题，共8.0分）15．（8分）已知抛物线y=（1）求出它的顶点坐标和对称轴；（2）x取何值时，抛物线在x轴上方？四、计算题（本大题共1小题，共6.0分）16．（6分）计算cos245°+sin60°．五、解答题（本大题共7小题，共56.0分）17．（8分）如图，△ABC三个定点坐标分别为A（﹣1，3），B（﹣1，1），C（﹣3，2）．（1）请画出△ABC关于y轴对称的△A1B1C1；（2）以原点O为位似中心，将△A1B1C1放大为原来的2倍，得到△A2B2C2，请在第三象限内画出△A 2B2C2，并求出的值．18．（8分）如图，将边长为6cm的正方形ABCD折叠，使点D落在AB边的中点E处，折痕为FH，点C落在Q处，EQ与BC交于点G，求△EBG的周长．19．（8分）如图，电线杆上有一盏路灯O，电线杆与三个等高的标杆整齐划一地排列在马路的一侧，AB、CD、EF是三个标杆，相邻的两个标杆之间的距离都是2 m，已知AB、CD在灯光下的影长分别为BM=1.6 m，DN=0.6m．（1）请画出路灯O的位置和标杆EF在路灯灯光下的影子；（2）求标杆EF的影长．20．（8分）如图，管中放置着三根同样的绳子AA1、BB1、CC1；（1）小明从这三根绳子中随机选一根，恰好选中绳子AA1的概率是多少？（2）小明先从左端A、B、C三个绳头中随机选两个打一个结，再从右端A1、B1、C1三个绳头中随机选两个打一个结，求这三根绳子能连结成一根长绳的概率．21．（8分）如图，在南北方向的海岸线MN上，有A、B两艘巡逻船，现均收到故障船C的求救信号．已知A、B两船相距100（+1）海里，船C在船A的北偏东60°方向上，船C在船B的东南方向上，MN上有一观测点D，测得船C正好在观测点D的南偏东75°方向上．（1）分别求出A与C，A与D间的距离AC和AD（如果运算结果有根号，请保留根号）．（2）已知距离观测点D处100海里范围内有暗礁，若巡逻船A沿直线AC去营救船C，在去营救的途中有无触礁的危险？（参考数据：≈1.41，≈1.73）22．（8分）如图，在△ABC中，∠ABC=90°，D是边AC上的一点，连接BD，使∠A=2∠1，E是BC上的一点，以BE为直径的⊙O经过点D．（1）求证：AC是⊙O的切线；（2）若∠A=60°，⊙O的半径为2，求阴影部分的面积．（结果保留根号和π）23．（8分）如图1，为美化校园环境，某校计划在一块长为60米，宽为40米的长方形空地上修建一个长方形花圃，并将花圃四周余下的空地修建成同样宽的通道，设通道宽为a米．（1）用含a的式子表示花圃的面积．（2）如果通道所占面积是整个长方形空地面积的，求出此时通道的宽．（3）已知某园林公司修建通道、花圃的造价y1（元）、y2（元）与修建面积x（m2）之间的函数关系如图2所示，如果学校决定由该公司承建此项目，并要求修建的通道的宽度不少于2米且不超过10米，那么通道宽为多少时，修建的通道和花圃的总造价最低，最低总造价为多少元？最新九年级（下）第一次月考数学详细答案一、选择题（本大题共10小题，共30.0分）1．（3分）下列语句中不正确的有（）①相等的圆心角所对的弧相等；②平分弦的直径垂直于弦；③圆是轴对称图形，任何一条直径都是它的对称轴；④长度相等的两条弧是等弧．A．3个 B．2个 C．1个 D．4个【分析】①和④、没有前提；②、注意不是直径的弦；③、注意对称轴是直线．【解答】解：①和④、错误，应强调在同圆或等圆中；②、错误，应强调不是直径的弦；③、错误，应强调过圆心的直线才是它的对称轴．故选D．【点评】在叙述命题时注意要强调命题成立的条件．2．（3分）四张质地、大小相同的卡片上，分别画上如图所示的四个图形．在看不到图形的情况下从中任意抽取一张，则抽取的卡片是轴对称图形的概率为（）A．B．C．D．1【分析】卡片共有四张，轴对称图形有等腰梯形、圆，根据概率公式即可得到抽取的卡片是轴对称图形的概率．【解答】解：四张卡片中，轴对称图形有等腰梯形、圆，根据概率公式，P（轴对称图形）==．故选A．【点评】此题考查概率的求法：如果一个事件有n种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A出现m种结果，那么事件A的概率P（A）=．3．（3分）若反比例函数y=的图象在每一象限内，y随x的增大而增大，则有（）A．k≠0 B．k≠3 C．k＜3 D．k＞3【分析】由题意及反比例函数图象的性质即可得出结果．【解答】解：∵反比例函数的图象，y随x的增大而增大，∴k﹣3＜0，则k＜3．故选C．【点评】此题主要考查反比例函数图象的性质：①、k＞0时，图象是位于一、三象限，在每个象限双曲线内，y随x的增大而减小．②、k＜0时，图象是位于二、四象限，在每个象限的双曲线内，y随x的增大而增大．4．（3分）如图是一个正方体截去一角后得到的几何体，它的主视图是（）A．B．C．D．【分析】根据主视图是从正面看到的图形判定则可．【解答】解：从正面看，主视图为．故选：C．【点评】本题考查了三视图的知识，根据主视图是从物体的正面看得到的视图得出是解题关键．5．（3分）在Rt△ABC中，∠C=90°，若sinA=，则cosB的值是（）A．B．C．D．【分析】根据互余两角的三角函数关系进行解答．【解答】解：在Rt△ABC中，∵∠C=90°，∴∠A+∠B=90°，∴cosB=sinA，∵sinA=，∴cosB=．故选：B．【点评】本题考查了互余两角的三角函数关系，熟记关系式是解题的关键．在直角三角形中，∠A+∠B=90°时，正余弦之间的关系为：①一个角的正弦值等于这个角的余角的余弦值，即sinA=cos（90°﹣∠A）；②一个角的余弦值等于这个角的余角的正弦值，即cosA=sin（90°﹣∠A）；也可以理解成若∠A+∠B=90°，那么sinA=cosB或sinB=cosA．6．（3分）如图，将△ABC绕点P顺时针旋转90°得到△A′B′C′，则点P的坐标是（）A．（1，1） B．（1，2） C．（1，3） D．（1，4）【分析】先根据旋转的性质得到点A的对应点为点A′，点B的对应点为点B′，再根据旋转的性质得到旋转中心在线段AA′的垂直平分线，也在线段BB′的垂直平分线，即两垂直平分线的交点为旋转中心．【解答】解：∵将△ABC以某点为旋转中心，顺时针旋转90°得到△A′B′C′，∴点A的对应点为点A′，点C的对应点为点C′，作线段AA′和CC′的垂直平分线，它们的交点为P（1，2），∴旋转中心的坐标为（1，2）．故选：B．【点评】本题考查了坐标与图形变化﹣旋转：图形或点旋转之后要结合旋转的角度和图形的特殊性质来求出旋转后的点的坐标．常见的是旋转特殊角度如：30°，45°，60°，90°，180°．7．（3分）如图，正方形ABCD内接于圆O点P在弧AD上，∠BPC=（）A．50°B．45°C．40°D．35°【分析】由此图可知，正方形正好把圆周长平分为四等分，即把圆心角平分为四等份，所以∠BOC=90°，继而利用圆周角定理可求出∠BPC的度数．【解答】解：连接OB、OC，∵四边形ABCD是正方形，且内接于⊙O，∴∠BOC=90°；∴∠BPC=∠BOC=45°．故选B．【点评】此题主要考查了正方形的性质及圆周角定理的应用，关键是掌握同弧所对的圆周角等于圆心角的一半．8．（3分）如果一个直角三角形的两条边长分别是6和8，另一个与它相似的直角三角形边长分别是3和4及x，那么x的值（）A．只有1个B．可以有2个C．有2个以上，但有限D．有无数个【分析】两条边长分别是6和8的直角三角形有两种可能，即已知边均为直角边或者8为斜边，运用勾股定理分别求出第三边后，和另外三角形构成相似三角形，利用对应边成比例即可解答．【解答】解：根据题意，两条边长分别是6和8的直角三角形有两种可能，一种是6和8为直角边，那么根据勾股定理可知斜边为10；另一种可能是6是直角边，而8是斜边，那么根据勾股定理可知另一条直角边为．所以另一个与它相似的直角三角形也有两种可能，第一种是，解得x=5；第二种是，解得x=．所以可以有2个．故选：B．【点评】本题考查了勾股定理和三角形相似的有关知识．本题学生常常漏掉第二种情况，是一道易错题．9．（3分）已知二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，对称轴为x=﹣．下列结论中，正确的是（）A．abc＞0 B．a+b=0 C．2b+c＞0 D．4a+c＜2b【分析】由二次函数的性质，即可确定a，b，c的符号，即可判定A是错误的；又由对称轴为x=﹣，即可求得a=b；由当x=1时，a+b+c＜0，即可判定C错误；然后由抛物线与x轴交点坐标的特点，判定D正确．【解答】解：A、∵开口向上，∴a＞0，∵抛物线与y轴交于负半轴，∴c＜0，∵对称轴在y轴左侧，∴﹣＜0，∴b＞0，∴abc＜0，故A选项错误；B、∵对称轴：x=﹣=﹣，∴a=b，故B选项错误；C、当x=1时，a+b+c=2b+c＜0，故C选项错误；D、∵对称轴为x=﹣，与x轴的一个交点的取值范围为x1＞1，∴与x轴的另一个交点的取值范围为x2＜﹣2，∴当x=﹣2时，4a﹣2b+c＜0，即4a+c＜2b，故D选项正确．故选D．【点评】此题考查了二次函数图象与系数的关系．此题难度适中，解题的关键是掌握数形结合思想的应用，注意掌握二次函数图象与系数的关系，掌握二次函数的对称性．10．（3分）如图，动点P从点A出发，沿线段AB运动至点B后，立即按原路返回．点P在运动过程中速度大小不变．则以点A为圆心，线段AP长为半径的圆的面积S与点P的运动时间t之间的函数图象大致为（）A． B． C． D．【分析】本题考查了动点问题的函数图象．【解答】解：设点P的速度是1，则AP=t，那么s=πt2，为二次函数形式；但动点P从点A出发，沿线段AB运动至点B后，立即按原路返回．说明t是先大后小，所以s也是先大后小．故选A．【点评】可设必须的量为1，再根据所给的条件求得函数形式，进而求解．二、填空题（本大题共4小题，共12.0分）11．（3分）已知圆上一段弧长为6π，它所对的圆心角为120°，则该圆的半径为9．【分析】弧长6π，根据弧长的计算公式l=得到．【解答】解：根据题意得：6π=，解得r=9，该圆的半径为9．【点评】本题考查弧长公式．正确记忆公式是解题的关键．12．（3分）如图，小明同学在东西方向的环海路A处，测得海中灯塔P在北偏东60°方向上，在A处东500米的B处，测得海中灯塔P在北偏东30°方向上，则灯塔P到环海路的距离PC=250米．（用根号表示）【分析】在图中两个直角三角形中，先根据已知角的正切函数，分别求出AC和BC，根据它们之间的关系，构建方程解答．【解答】解：由已知得，在Rt△PBC中，∠PBC=60°，PC=BCtan60°=BC．在Rt△APC中，∠PAC=30°，AC=PC=×BC=3BC=500+BC．解得，BC=250．∴PC=250（m）．故答案为：250．【点评】解一般三角形的问题一般可以转化为解直角三角形的问题，解决的方法就是作高线．13．（3分）一个长方体的主视图和左视图如图（单位：cm），则其俯视图的面积是12cm2．【分析】根据给出的长方体的主视图和左视图可得，俯视图的长方形的长与主视图的长方形的宽相等为4，俯视图的长方形的宽与左视图的长方形的宽相等为3．因此俯视图的面积是12cm2．【解答】解：俯视图是边长分别为4和3的长方形，因而其面积为12cm2．故答案为：12．【点评】考查了由三视图判断几何体及简单几何体的三视图的知识，解题的关键是能得到立体图形的三视图和学生的空间想象能力．14．（3分）如图，在正方形ABCD中，△BPC是等边三角形，BP、CP的延长线分别交AD于点E、F，连结BD、DP，BD与CF相交于点H．给出下列结论：①△ABE≌△DCF；②=；③DP2=PH•PB；④=．其中正确的是①③④．（写出所有正确结论的序号）【分析】根据等边三角形的性质和正方形的性质，得到∠ABE=∠DCF，∠A=∠ADC，AB=CD，证得△ABE≌△DCF，故①正确；由于∠FDP=∠PBD，∠DFP=∠BPC=60°，推出△DFP∽△BPH，得到===故②错误；由于∠PDH=∠PCD=30°，∠DPH=∠DPC，推出△DPH∽△CPD，得到=，PB=CD，等量代换得到PD2=PH•PB，故③正确；根据三角形面积计算公式，结合图形得到△BPD的面积=△BCP的面积+△CDP面积﹣△BCD的面积，得到=故④正确．【解答】解：∵△BPC是等边三角形，∴BP=PC=BC，∠PBC=∠PCB=∠BPC=60°，在正方形ABCD中，∵AB=BC=CD，∠A=∠ADC=∠BCD=90°∴∠ABE=∠DCF=30°，在△ABE与△CDF中，，∴△ABE≌△DCF，故①正确；∵PC=CD，∠PCD=30°，∴∠PDC=75°，∴∠FDP=15°，∵∠DBA=45°，∴∠PBD=15°，∴∠FDP=∠PBD，∵∠DFP=∠BPC=60°，∴△DFP∽△BPH，∴===，故②错误；∵∠PDH=∠PCD=30°，∵∠DPH=∠DPC，∴△DPH∽△CDP，∴=，∴PD2=PH•CD，∵PB=CD，∴PD2=PH•PB，故③正确；如图，过P作PM⊥CD，PN⊥BC，设正方形ABCD的边长是4，△BPC为正三角形，∴∠PBC=∠PCB=60°，PB=PC=BC=CD=4，∴∠PCD=30°∴PN=PB•sin60°=4×=2，PM=PC•sin30°=2，S△BPD=S四边形PBCD﹣S△BCD=S△PBC+S△PDC﹣S△BCD=×4×2+×2×4﹣×4×4=4+4﹣8=4﹣4，∴=．故答案为：①③④．【点评】本题考查的正方形的性质以及等积变换，解答此题的关键是作出辅助线，利用锐角三角函数的定义求出PE及PF的长，再根据三角形的面积公式得出结论．三、解答题（本大题共1小题，共8.0分）15．（8分）已知抛物线y=（1）求出它的顶点坐标和对称轴；（2）x取何值时，抛物线在x轴上方？【分析】（1）配方成顶点式可得其顶点坐标及对称轴；（2）先求得其与x轴的交点坐标，由开口向上可得答案．【解答】解：（1）∵y==（x2+2x+1﹣1）﹣=（x+1）2﹣2，∴抛物线的顶点坐标为（﹣1，﹣2），对称轴为直线x=﹣1；（2）当y=0时，=0，解得：x=1或x=﹣3，由抛物线的开口向上知当x＜﹣3或x＞1时，抛物线在x轴上方．【点评】本题主要考查二次函数的图象和性质及抛物线与x轴的交点，解题的关键是熟练掌握二次函数的图象和性质是解题的关键．四、计算题（本大题共1小题，共6.0分）16．（6分）计算cos245°+sin60°．【分析】根据特殊角三角函数值，可得答案．【解答】解：原式=（）2+×=+××（﹣1）=．【点评】本题考查了特殊角三角函数值，熟记特殊角三角函数值是解题关键．五、解答题（本大题共7小题，共56.0分）17．（8分）如图，△ABC三个定点坐标分别为A（﹣1，3），B（﹣1，1），C（﹣3，2）．（1）请画出△ABC关于y轴对称的△A1B1C1；（2）以原点O为位似中心，将△A1B1C1放大为原来的2倍，得到△A2B2C2，请在第三象限内画出△A 2B2C2，并求出的值．【分析】（1）根据网格结构找出点A、B、C关于y轴的对称点A1、B1、C1的位置，然后顺次连接即可；（2）连接A1O并延长至A2，使A2O=2A1O，连接B1O并延长至B2，使B2O=2B1O，连接C1O并延长至C2，使C2O=2C1O，然后顺次连接即可，再根据相似三角形面积的比等于相似比的平方解答．【解答】解：（1）△A1B1C1如图所示；（2）△A2B2C2如图所示，∵△A1B1C1放大为原来的2倍得到△A2B2C2，∴△A1B1C1∽△A2B2C2，且相似比为，∴S△A1B1C1：S△A2B2C2=（）2=．【点评】本题考查了利用旋转变换作图，利用轴对称变换作图，熟练掌握网格结构，准确找出对应点的位置是解题的关键，还利用了相似三角形面积的比等于相似比的平方的性质．18．（8分）如图，将边长为6cm的正方形ABCD折叠，使点D落在AB边的中点E处，折痕为FH，点C落在Q处，EQ与BC交于点G，求△EBG的周长．【分析】首先根据勾股定理求出EF的长度；然后证明△AEF∽△BGE，列出关于△BGE的三边长的比例式，求出三边的长度即可解决问题．【解答】解：由题意得：EF=DF（设为x），则AF=6﹣x；而AE=3，由勾股定理得：x2=32+（6﹣x）2，解得：x=；AF=6﹣=；由题意得：∠GEF=∠D=90°，∠A=∠B=90°，∴∠AEF+∠AFE=∠AEF+∠BEG，∴∠AFE=∠BEG；∴△AEF∽△BGE，∴==，∴EG==5，BG==4，∴△EBG的周长=5+4+3=12．【点评】本题考查了翻折变换的性质，勾股定理，相似三角形的判定与性质，熟记性质并求出△AEF的各边的长，然后利用相似三角形的性质求出△EBG的各边的长是解题的关键，也是本题的难点．19．（8分）如图，电线杆上有一盏路灯O，电线杆与三个等高的标杆整齐划一地排列在马路的一侧，AB、CD、EF是三个标杆，相邻的两个标杆之间的距离都是2 m，已知AB、CD在灯光下的影长分别为BM=1.6 m，DN=0.6m．（1）请画出路灯O的位置和标杆EF在路灯灯光下的影子；（2）求标杆EF的影长．【分析】解此题要借助于相似三角形的性质，相似三角形的对应边成比例，还要注意数形结合思想与方程思想的应用．【解答】解：（1）如右图．（2）过O作OH⊥MG于点H，设DH=xm，由AB∥CD∥OH得，即，解得x=1.2．设FG=ym，同理得，即，解得y=0.4．所以EF的影长为0.4m．【点评】本题只要是把实际问题抽象到相似三角形中，利用相似三角形的相似比，列出方程，通过解方程求解即可，体现了方程的思想．20．（8分）如图，管中放置着三根同样的绳子AA1、BB1、CC1；（1）小明从这三根绳子中随机选一根，恰好选中绳子AA1的概率是多少？（2）小明先从左端A、B、C三个绳头中随机选两个打一个结，再从右端A1、B1、C1三个绳头中随机选两个打一个结，求这三根绳子能连结成一根长绳的概率．【分析】（1）三根绳子选择一根，求出所求概率即可；（2）列表得出所有等可能的情况数，找出这三根绳子能连结成一根长绳的情况数，即可求出所求概率．【解答】解：（1）三种等可能的情况数，则恰好选中绳子AA1的概率是；（2）列表如下：所有等可能的情况有9种，其中这三根绳子能连结成一根长绳的情况有6种，则P==．【点评】此题考查了列表法与树状图法，用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．21．（8分）如图，在南北方向的海岸线MN上，有A、B两艘巡逻船，现均收到故障船C的求救信号．已知A、B两船相距100（+1）海里，船C在船A的北偏东60°方向上，船C在船B的东南方向上，MN上有一观测点D，测得船C正好在观测点D的南偏东75°方向上．（1）分别求出A与C，A与D间的距离AC和AD（如果运算结果有根号，请保留根号）．（2）已知距离观测点D处100海里范围内有暗礁，若巡逻船A沿直线AC去营救船C，在去营救的途中有无触礁的危险？（参考数据：≈1.41，≈1.73）【分析】（1）作CE⊥AB于E，设AE=x海里，则BE=CE=x海里．根据AB=AE+BE=x+x=100（+1），求得x的值后即可求得AC的长；过点D作DF ⊥AC于点F，同理求出AD的长；（2）根据（1）中的结论得出DF的长，再与100比较即可得到答案．【解答】解：（1）如图，作CE⊥AB于E，由题意得：∠ABC=45°，∠BAC=60°，设AE=x海里，在Rt△AEC中，CE=AE•tan60°=x；在Rt△BCE中，BE=CE=x．∴AE+BE=x+x=100（+1），解得：x=100．AC=2x=200．在△ACD中，∠DAC=60°，∠ADC=75°，则∠ACD=45°．过点D作DF⊥AC于点F，设AF=y，则DF=CF=y，∴AC=y+y=200，解得：y=100（﹣1），∴AD=2y=200（﹣1）．答：A与C之间的距离AC为200海里，A与D之间的距离AD为200（﹣1）海里．（2）由（1）可知，DF=AF=×100（﹣1）≈126.3海里，因为126.3＞100，所以巡逻船A 沿直线AC 航线，在去营救的途中没有触暗礁危险．【点评】本题考查的是解直角三角形的应用﹣方向角问题，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解答此题的关键．22．（8分）如图，在△ABC 中，∠ABC=90°，D 是边AC 上的一点，连接BD ，使∠A=2∠1，E 是BC 上的一点，以BE 为直径的⊙O 经过点D ． （1）求证：AC 是⊙O 的切线；（2）若∠A=60°，⊙O 的半径为2，求阴影部分的面积．（结果保留根号和π）【分析】（1）由OD=OB 得∠1=∠ODB ，则根据三角形外角性质得∠DOC=∠1+∠ODB=2∠1，而∠A=2∠1，所以∠DOC=∠A ，由于∠A +∠C=90°，所以∠DOC +∠C=90°，则可根据切线的判定定理得到AC 是⊙O 的切线；（2）由∠A=60°得到∠C=30°，∠DOC=60°，根据含30度的直角三角形三边的关系得CD=OD=2，然后利用阴影部分的面积=S △COD ﹣S 扇形DOE和扇形的面积公式求解． 【解答】（1）证明：连接OD ， ∵OD=OB ， ∴∠1=∠ODB ，∴∠DOC=∠1+∠ODB=2∠1， 而∠A=2∠1， ∴∠DOC=∠A ， ∵∠A +∠C=90°， ∴∠DOC +∠C=90°， ∴OD ⊥DC ，∴AC 是⊙O 的切线；（2）解：∵∠A=60°， ∴∠C=30°，∠DOC=60°， 在Rt △DOC 中，OD=2，∴CD=OD=2，∴阴影部分的面积=S △COD ﹣S 扇形DOE=×2×2﹣=2﹣．【点评】本题考查了切线的判定定理：经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线．也考查了扇形面积的计算．23．（8分）如图1，为美化校园环境，某校计划在一块长为60米，宽为40米的长方形空地上修建一个长方形花圃，并将花圃四周余下的空地修建成同样宽的通道，设通道宽为a 米．（1）用含a 的式子表示花圃的面积．（2）如果通道所占面积是整个长方形空地面积的，求出此时通道的宽． （3）已知某园林公司修建通道、花圃的造价y 1（元）、y 2（元）与修建面积x （m 2）之间的函数关系如图2所示，如果学校决定由该公司承建此项目，并要求修建的通道的宽度不少于2米且不超过10米，那么通道宽为多少时，修建的通道和花圃的总造价最低，最低总造价为多少元？【分析】（1）用含a的式子先表示出花圃的长和宽后利用其矩形面积公式列出式子即可；（2）根据通道所占面积是整个长方形空地面积的，列出方程进行计算即可；（3）根据图象，设出通道和花圃的解析式，用待定系数法求解，再根据实际问题写出自变量的取值范围即可．【解答】解：（1）由图可知，花圃的面积为（40﹣2a）（60﹣2a）；（2）由已知可列式：60×40﹣（40﹣2a）（60﹣2a）=×60×40，解以上式子可得：a1=5，a2=45（舍去），答：所以通道的宽为5米；（3）设修建的道路和花圃的总造价为y，通道宽为a；x花圃=（40﹣2a）（60﹣2a）=4a2﹣200a+2400；x通道=60×40﹣（40﹣2a）（60﹣2a）=﹣4a2+200a，由已知得y1=40（﹣4a2+200a），（2≤a≤10）y2=则y=y1+y2=当a=2时，y有最小值，最小值为105920；所以当通道宽为2米时，修建的通道和花圃的总造价最低为105920元．【点评】本题考查了一次函数的应用以及一元二次方程的应用，解题的关键是表示出花圃的长和宽．。
九年级数学下册第一次月考试题(含答案)
九年级数学下册第一次月考试题(含答案)九年级数学下册第一次月考试题(含答案)一、选择题(本大题共 8小题，每小题3分，共24 分)1.绝对值是6的有理数是 ( )A.6B.6C.-6D.2.计算的结果是 ( )A. B. C. D.3.半径为6的圆的内接正六边形的边长是 ( )A.2B.4C.6D.84.如图是一个几何体的三视图，已知主视图和左视图都是边长为2的等边三角形，则这个几何体的全面积为 ( )A. B. C. D.5.某校共有学生600 名，学生上学的方式有乘车、骑车、步行三种. 如图是该校学生乘车、骑车、步行上学人数的扇形统计图.，乘车的人数是 ( )A.180B.270C.150D.2006.函数的自变量X的取值范围是 ( )A. B. C. D.7. 如右图, 是一个下底小而上口大的圆台形容器，将水以恒速(即单位时间内注入水的体积相同)注入，设注水时间为t，容器内对应的水高度为h，则h 与t的函数图象只可能是 ( )8. 如图所示的正方体的展开图是 ( )A. B. C. D.二、填空题(本大题共7 小题，每小题3分，共21分.)9、.若分式的值为零 , 则 .10. 已知反比例函数的图象经过点 (3，-4)，则这个函数的解析式为11 已知两圆内切，圆心距，一个圆的半径，那么另一个圆的半径为12. 用科学记数法表示20 120427的结果是 (保留两位有效数字);13.二次函数的图象向右平移 1个单位，再向下平移1个单位，所得图象的与X轴的交点坐标是： ;14.如图，已知梯形ABCD，AD∥BC，对角线AC，BD相交于点O，△AOD与△BOC的面积之比为1：9，若AD=1，则BC 的长是 .15. 如图所示，把同样大小的黑色棋子摆放在正多边形的边上，按照这样的规律摆下去，则第 ( 是大于0的整数)个图形需要黑色棋子的个数是 .三、解答题(本大题共10小题，共75分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.)17、(本小题5分) 计算:18. (本小题5分)先化简，再求值，其中x= 。
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初三数学下学期第一次月考试题满分：150分 时间：1２０分钟温馨提示： 亲爱的同学，请你沉着冷静，充满自信，认真审题，仔细答卷，祝你考出好成绩!一、选择题（3'⨯8=24）1、如图1，点O 是△ABC 的内切圆的圆心，若∠BAC=80°，则∠BOC=（ ）A ．130°B ．100°C ．50°D ．65° （1） ２．已知⊙O 的半径为4cm ，A 为线段OP 的中点，当OP=7cm 时，点A 与⊙O 的位置关系是（ ）A ．点A 在⊙O 内B ．点A 在⊙O 上C ．点A 在⊙O 外D ．不能确定3、等腰三角形的顶角为100°两腰垂直平分线交于点P,则（ ）A 、 点P 在三角形内B 、 点P 在三角形底边上C 、 点P 在三角形外D 、 点P 的位置与三角形的边长无关。
4、把方程 0842=--x x 化成h k x =+2)(的形式应为（ ）A 、 8)4(2=-xB 、 4)2(2=-xC 、 4)4(2=-xD 、 12)2(2=-x 5、已知圆锥的侧面展开图的面积是15πcm 2，母线长是5cm ，则圆锥的底面半径为（ ）A ．cm 23B ．3cmC ．4cmD ．6cm 6、把二次函数23x y =的图象向左平移2个单位，再向上平移1个单位，所得到的图象对应的二次函数关系式是（ ）（A ）()1232+-=x y （B ） ()1232-+=x y（C ） ()1232--=x y （D ）()1232++=x y7、如图24—A —3，小明同学设计了一个测量圆直径的工具，标有刻度的尺子OA 、OB 在O 点钉在一起，并使它们保持垂直，在测直径时，把O 点靠在圆周上，读得刻度OE=8个单位，OF=6个单位，则圆的半径为（ ）A ．10个单位B ．3个单位C ．5个单位D ．4个单位8、小明不慎把家里的圆形玻璃打碎了，其中四块碎片如图所示，为配到与原来大小一样的圆形玻璃，小明带到商店去的一块玻璃碎片应该是（ ）（A ）第①块 （B ）第②块 （C ）第③块 （D ）第④块图24—A —3二、填空题：（每题3分，共24分）9、如图（9），已知△ABC 和△CDE 都是等边三角形，AD 、BE 交于点F ，则∠AFB 等于 ．10、如图：四边形ABCD 内接于⊙O ，∠BCD=130°则∠A= °，∠BOD= °（10） 11、二次函数2(0y ax bx c a a b c =++≠，，，是常数)中，自变量x 与函数y 的对应值（1）二次函数图象的开口方向 ，它的顶点坐标 ． （2）一元二次方程20(0axbx c a a b c ++=≠，，，是常数)的两个根12x x ，的取值范围是下列选项中的哪一个 ． ①12130222x x -<<<<， ②12151222x x -<<-<<，③12150222x x -<<<<， ④12131222x x-<<-<<， １２、如图、AB是⊙O 的直径，弦CD ⊥AB,垂足为P ，如AP ∶PB=1∶4,CD=8,则AB= ；１３. 3本小说，5本科技书和2本诗集，分类放在书架上，任意抽取紧挨着的2本书，这2本书是同一类的概率等于_________１４．如图24—B —15，正方形ABCD 的边长为1，点E 为AB 的中点，以E 为圆心，1为半径作圆，分别交AD 、BC 于M 、N 两点，与DC 切于点P ，则图中阴影部分的面积是 。
１５、已知双曲线ky x=经过点（－1，3），如果A(11,b a )，B(22,b a )两点在该双第１２题B图24—B —15曲线上，且1a ＜2a ＜0，那么1b 2b .１６.已知等腰三角形面积为4㎝2，一腰上的高为2㎝，则这条高与底边的夹角为 。
三、简答题：17、（1）、002133t a n 6048+---（2）04)5(=+-x x x （共16分）18．（10分）某社区要调查社区居民双休日的学习状况，采用下列调查方式： ①从一幢高层住宅楼中选取200名居民； ②从不同住宅楼中随机选取200名居民； ③选取社区内200名在校学生．⑴上述调查方式最合理的是_____________________；⑵将最合理的调查方式得到的数据制成扇形统计图(如图10－1)和频数 分布直方图(如图10－2)．在这个调查中，200名居民双休日在家学习的有____________人；⑶请估计该社区2 000名居民双休日学习时间不少于4小时的人数．时间 (小时)图 10-2图10 -1不学习10％在家学习60％在图书馆等场所学习30％20、（10）如图，以Rt△ABC的直角边AB为直径的半圆O，与斜边AC交于D，E是BC 边上的中点，连结DE.(1)DE与半圆O相切吗？若相切，请给出证明；若不相切，请说明理由；(2)若AD、AB的长是方程x2－10x+24=0的两个根，求直角边BC的长。
21．（10）如图24—A—19，在平面直角坐标系中，⊙C与y轴相切，且C点坐标为（1，0），直线l过点A（—1，0），与⊙C相切于点D，求直线l的解析式。
图24—B—1922．（本题10分）在电视台举行的“超级女生”比赛中，甲、乙、丙三位评委对选手的综合表现，分别给出“待定”或“通过”的结论．（1）写出三位评委给出A选手的所有可能的结论；（2）对于选手A，只有甲、乙两位评委给出相同结论的概率是多少？23、（12分）如图，AB 是⊙O 的直径，AE 平分∠BAC 交⊙O 于点E ，过E 作⊙O 的切线ME 交AC 于点D ．试判断△AED 的形状，并说明理由．24、（12分）某工厂生产某种产品按质量分为10个档次，生产第一档次（即最低档次）的产品一天生产76件，每件利润10元，每提高一个档次，利润每件增加2元。
（1）当每件利润为16元时，此产品的质量在第几档次？（2）由于生产工序不同，此产品每提高一个档次，一天产量就减少4件，若生产第x 档次的产品一天的总利润为y 元（其中x 为正整数且1≤x ≤10）,求出y 关于x 的关系式，若生产某档次产品一天的总利润为1080元。
该工厂生产的是第几档次的产品？25、（10分）图①，②是晓东同学在进行“居民楼高度、楼间距对住户采光影响问题”的研究时画的两个示意图.请你阅读相关文字，解答下面的问题. （1）图①是太阳光线与地面所成角度的示意图.冬至日正午时刻，太阳光线直射在南回归线（南纬23.5º）B 地上.在地处北纬36.5º的A 地，太阳光线与地面水平线l 所成的角为α，试借助图①，求α的度数.（2）图②是乙楼高度、楼间距对甲楼采光影响的示意图.甲楼地处A 地，其二层住户的南面窗户下沿距地面3.4米.现要在甲楼正南面建一幢高度为22.3米的乙楼，为不影响甲楼二层住户（一层为车库）的采光，两楼之间的距离至少．．应为多少米？26、（12分）蔬菜基地种植某种蔬菜，由市场行情分析知，1月份至6月份这种蔬菜的上市时间x （月份）与市场售价p （元/千克）的关系如下表：函数的图象是抛物线的一段（如图）．（1）写出上表中表示的市场售价p （元/千克）关于上市时间x （月份）的函数关系式； （2）若图中抛物线过A B C ，，点，写出抛物线对应的函数关系式；（3）由以上信息分析，哪个月上市出售这种蔬菜每千克的收益最大？最大值为多少？（收益＝市场售价－种植成本）26、如图，一次函数133+-=x y 的图象与x 轴、y 轴分别交于点A 、B ，以线段AB为边在第一象限内作等边△ABC ，(1) 求△ABC 的面积；(2) 如果在第二象限内有一点P （21,a ），试用含a 的式子表示四边形ABPO 的面积，并求出当△ABP 的面积与△ABC 的面积相等时a 的值；(3) 在x 轴上，存在这样的点M ，使△MAB 为等腰三角形请直接写出所有符合要求的点M 的坐标.26、（12分）为保证交通安全，汽车驾驶员必须知道汽车刹车后的停止距离（开始刹车到车辆停止车辆行驶的距离）与汽车行驶速度（开始刹车时的速度）的关系，以便及时刹车． 下表是某款车在平坦道路上路况良好时刹车后的停止距离与汽车行驶速度的对应值表：（1）设汽车刹车后的停止距离y （米）是关于汽车行驶速度x （千米／时）的函数，给出以下三个函数：①y ax b =+；②()0ky k x=≠；③2y ax bx =+，请选择恰当的函数来描述停止距离y （米）与汽车行驶速度x （千米／时）的关系，说明选择理由，并求出符合要求的函数的解析式；（2）根据你所选择的函数解析式，若汽车刹车后的停止距离为70米，求汽车行驶速度．29、（11分）如图1，矩形纸片ABCD 的边长分别为()a b a b <，．将纸片任意翻折（如图2），折痕为PQ ．（P 在BC 上），使顶点C 落在四边形APCD 内一点C '，PC '的延长线y交直线AD 于M ，再将纸片的另一部分翻折，使A 落在直线PM 上一点A '，且A M '所在直线与PM 所在直线重合（如图3）折痕为MN ．（1）猜想两折痕PQ MN ，之间的位置关系，并加以证明．（2）若QPC ∠的角度在每次翻折的过程中保持不变，则每次翻折后，两折痕PQ MN ，间的距离有何变化？请说明理由．（3）若QPC ∠的角度在每次翻折的过程中都为45（如图4），每次翻折后，非重叠部分的四边形MC QD '，及四边形BPA N '的周长与a b ，有何关系，为什么？26．（本小题满分8分）已知四边形ABCD 中，A B A D ⊥，BC CD ⊥，AB BC =，120ABC =∠，60MBN = ∠，MBN ∠绕B 点旋转，它的两边分别交AD DC ，（或它们的延长线）于E F ，．当MBN ∠绕B 点旋转到AE CF =时（如图1），易证AE CF EF +=．当MBN ∠绕B 点旋转到AE CF ≠时，在图2和图3这两种情况下，上述结论是否成立？若成立，请给予证明；若不成立，线段AE CF ，，EF 又有怎样的数量关系？请写出你的猜想，不需证明．A D CB a b图1图2图3 图4（第26题图1） A B CD E FMN （第26题图2）A B CDE FMN（第26题图3）AB CDE F MN28.如图，在直角坐标平面内，函数my x=（0x >，m 是常数）的图象经过(14)A ，，()B a b ，，其中1a >．过点A 作x 轴垂线，垂足为C ，过点B 作y 轴垂线，垂足为D ，连结AD ，DC ，CB ．（1）若ABD △的面积为4，求点B 的坐标；（4分） （2）求证：DC AB ∥；（2分）（3）当AD BC =时，求直线AB 的函数解析式．（427．（1）证明：DE AC ∥，BCA E ∴∠=∠． ···················································································· 1分CA 平分BCD ∠，2BCD BCA ∴∠=∠， .............................................................................. 1分 2BCD E ∴∠=∠， . (1)分又2B E ∠=∠ ，B BCD ∴∠=∠． (1)分∴梯形ABCD 是等腰梯形，即AB DC =． ··········································· 1分 （2）解：如图3，作AF BC ⊥，DG BC ⊥， 垂足分别为F G ，，则AF DG ∥．在Rt AFB △中，tg 2B =，2AF BF ∴=． (1)又AB = ，且222AB AF BF =+，2254BF BF ∴=+，得1BF =．……………………1分同理可知，在Rt DGC △中，1CG =．……………1分AD BC ∥，DAC ACB ∴∠=∠．又ACB ACD ∠=∠ ，DAC ACD ∴∠=∠，AD DC ∴=．DC AB == AD ∴ ····························································· 1分AD BC ∥，AF DG ∥，∴四边形AFGD 是平行四边形，FG AD ∴==············································································································· 1分2BC BF FG GC ∴=++=．28．（1）解： 函数(0my x x=>，m 是常数）图象经过(14)A ，，4m ∴=．············································································································· 1分设BD AC ，交于点E ，据题意，可得B 点的坐标为4a a ⎛⎫ ⎪⎝⎭，，D 点的坐标为40a ⎛⎫ ⎪⎝⎭，， E 点的坐标为41a ⎛⎫⎪⎝⎭，， (1)分1a > ，DB a ∴=，44AE a=-． 由ABD △的面积为4，即14442a a⎛⎫-= ⎪⎝⎭， ··········································· 1分 得3a =，∴点B 的坐标为433⎛⎫ ⎪⎝⎭，． ······················································ 1分 （2）证明：据题意，点C 的坐标为(10)，，1DE =， 1a > ，易得4EC a=，1BE a =-，111BE a a DE -∴==-，4414AE a a CE a -==-． ··············································· 1分BE AE DE CE∴= DC AB ∴∥． ························································································ 1分（3）解：DC AB ∥，∴当AD BC =时，有两种情况：①当AD BC ∥时，四边形ADCB 是平行四边形，由（2）得，1BE AE a DE CE==-，11a ∴-=，得2a =． ∴点B 的坐标是（2，2）． ································································· 1分 设直线AB 的函数解析式为y kx b =+，把点A B ，的坐标代入，得422k b k b =+⎧⎨=+⎩，解得26.k b =-⎧⎨=⎩， ∴直线AB 的函数解析式是26y x =-+．1分 ②当AD 与BC 所在直线不平行时，四边形ADCB 是等腰梯形，则BD AC =，4a ∴=，∴点B 的坐标是（4，1）． ····························· 1分 设直线AB 的函数解析式为y kx b =+，把点A B ，的坐标代入，得414.k b k b =+⎧⎨=+⎩，解得15k b =-⎧⎨=⎩， ∴直线AB 的函数解析式是5y x =-+．1分 综上所述，所求直线AB 的函数解析式是26y x =-+或5y x =-+．（2007 .12 .20 100以上80人 其中130几的8人）25． 解：（1）点 M（2）经过t 秒时，NB t =，2OM t =则3CN t =-，42AM t =- ∵BCA ∠=MAQ ∠=45∴ 3QN CN t ==- ∴ 1 PQ t =+ ∴11·(42)(1)22AMQ S AM PQ t t ==-+△22t t =-++ ∴2219224S t t t ⎛⎫=-++=--+ ⎪⎝⎭ ∵02t ≤≤ ∴当12t =时，S 的值最大． （3）存在．设经过t 秒时，NB =t ，OM=2t 则3CN t =-，42AM t =- ∴BCA ∠=MAQ ∠=45 ①若90AQM ∠= ，则PQ 是等腰Rt △MQA 底边MA 上的高∴PQ 是底边MA 的中线 ∴12PQ AP MA ==∴11(42)2t t +=- ∴12t = ∴点M 的坐标为（1，0） ②若90QMA ∠= ，此时QM 与QP 重合 ∴QM QP MA == ∴142t t +=-∴1t = ∴点M 的坐标为（2，0）。