角平分线-课件
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角平分线的性质教学课件
三角形中的角平分线与相对边 成比例，这是三角形中一个重 要的性质。
利用这个性质，可以解决与三 角形相关的问题，例如求边长 、角度等。
此外，三角形中的角平分线还 是三角形内切圆和外接圆的半 径的角平分线。
在日常生活中的应用
角平分线在日常生活中也有广泛的应用，例如在建筑设计、机械制造等领域。
在建筑设计方面，可以利用角平分线来设计建筑物的外观和结构，使其更加美观和 稳固。
THANK YOU
角平分线的性质教学课件
• 角平分线的定义 • 角平分线的性质定理 • 角平分线的应用 • 角平分线的相关定理 • 习题与解答
01
角平分线的定义
什么是角平分线
01
角平分线是从一个角的顶点出发 ，将该角分为两个相等的部分的 一条射线。
02
角平分线将相对边分为两等份， 形成的两个小角相等。
角平分线的作法
通过角的顶点，作一条射线，使得该 射线和角的两边相交形成的两个小角 相等。
使用量角器或三角板等工具辅助作图 。
角平分线的性质
角平分线上的点到角的两边距离 相等。
角平分线将相对边分为两等份。
角平分线上的任意一点到角的两 边的距离之和等于从角的顶点到
该点的距离。
02
角平分线的性质定理
定理内容
01
02
答案： $AB = AC$
解析：由于$AD$是$angle BAC$的角平分线，且$BD = CD$，根据等 腰三角形的性质，我们可以得出$triangle ABD cong triangle ACD$（ SAS），所以$AB = AC$。
习题答案与解析
01
答案与解析3：
02
答案： AC是$angle BCD$的角平分线。
【精品课件二】1.4角平分线
1.4 角平分线（2）
用尺规作角的平分线.
已知:∠AOB,如图. 求作:射线OC,使∠AOC=∠BOC. 作法:
1.在OAT和OB上截取OD,OE,使OD=OE.
2.分别以点D和E为圆心,以大于DE/2长为半径作弧, 两弧在 ∠AOB内交于点C.
O 3.作射线OC.
则射线OC就是∠AOB的平分线.
P C
的点,在这个角的平分线上).
E
B
老师提示:这个结论又是经常用来证明点在 直线上(或直线经过某一点)的根据之一.
从这个结果出发,你还能联想到什么?
剪一个三角形纸片通过折叠 找出每个角的平分线.
视察这三条角平分线, 你发现了什么?
结论:三角形三个角的平 分线相交于一点. 你想证明这个命题吗?
老师期望: 你能写出规范的证明过程.
到三边的距离相等. 如图,在△ABC中,
∵BM,CN,AH分别是△ABC的三
A
条角平分线,且 PD⊥AB,PE⊥BC,PF⊥AC(已知),
ND M PF
∴BM,CN,AH相交于一点P,且 PD=PE=PF(三角形的三条角平分 B 线相交于一点,并且这一点到三边
EC
的距离相等).
老师提示:
这又是一个证明三条直线交于一点的根
据之一这个交点叫做三角形的内心.
如图,在△ABC中,已知
A
AC=BC,∠C=900,AD是△ABC
的角平分线,DE⊥AB,垂足为E.
(1)如果CD=4cm,AC的长;
E
(2)求证:AB=AC+CD.
C
B
D
老师期望:
你能正确地解答并规范地写出其过程.
1.如图,已知△ABC,作△ABC一个内角和与它不相邻 的两个外角的平分线,看它们是否交于一点?这样的点 有几个?如果以这个点为圆心,这一点到三角形一边的 距离为半径作圆,你能作出这个图形吗?
用尺规作角的平分线.
已知:∠AOB,如图. 求作:射线OC,使∠AOC=∠BOC. 作法:
1.在OAT和OB上截取OD,OE,使OD=OE.
2.分别以点D和E为圆心,以大于DE/2长为半径作弧, 两弧在 ∠AOB内交于点C.
O 3.作射线OC.
则射线OC就是∠AOB的平分线.
P C
的点,在这个角的平分线上).
E
B
老师提示:这个结论又是经常用来证明点在 直线上(或直线经过某一点)的根据之一.
从这个结果出发,你还能联想到什么?
剪一个三角形纸片通过折叠 找出每个角的平分线.
视察这三条角平分线, 你发现了什么?
结论:三角形三个角的平 分线相交于一点. 你想证明这个命题吗?
老师期望: 你能写出规范的证明过程.
到三边的距离相等. 如图,在△ABC中,
∵BM,CN,AH分别是△ABC的三
A
条角平分线,且 PD⊥AB,PE⊥BC,PF⊥AC(已知),
ND M PF
∴BM,CN,AH相交于一点P,且 PD=PE=PF(三角形的三条角平分 B 线相交于一点,并且这一点到三边
EC
的距离相等).
老师提示:
这又是一个证明三条直线交于一点的根
据之一这个交点叫做三角形的内心.
如图,在△ABC中,已知
A
AC=BC,∠C=900,AD是△ABC
的角平分线,DE⊥AB,垂足为E.
(1)如果CD=4cm,AC的长;
E
(2)求证:AB=AC+CD.
C
B
D
老师期望:
你能正确地解答并规范地写出其过程.
1.如图,已知△ABC,作△ABC一个内角和与它不相邻 的两个外角的平分线,看它们是否交于一点?这样的点 有几个?如果以这个点为圆心,这一点到三角形一边的 距离为半径作圆,你能作出这个图形吗?
1.4角平分线课件
（1）如图，∵AD平分∠BAC，PE⊥AB，PF⊥AC
∴PE = PF（角平分线上的点到这个角的
两边距离相等） （对）
（2）如图，∵ PE = PF
∴ AD平分∠BAC （到角两边距离相等的
点在 这个角的平分线上）
（错）
（3）如图，∵ 点P在∠BAC 的平分线上 ∴ PE = PF（角平分线上的点到 这个角的两边距离相等）（错）
第1课时
角平分线
复习旧知
1、什么叫角平分线？ 如果一条射线把一个角分成两个相等的角， 那么这条射线叫角的平分线。
2、你还记得角平分线上的点有什么性质吗?你是怎 样得到的？
角平分线上的点到角的两边的距离相等
条件：一个点在一个角的平分线上
结论：它到角的两边的距离相等
你能证明这一结论吗?
已知：如图OC是∠AOB的平分线，点P在
的一半）
随堂练习 1
如图,AD,AE分别是△ABC中∠A的内角平分线 外角平分线,它们有什么关系?
C E
D
B
老师期望:
你能说出结论并能证明它.
A
F
课堂小结
1.角平分线的性质定理： 在角平分线上的点到角的两边的距离相等
2.角平分线的判定定理： 在角的内部，到一个角的两边的距离相等的点，在这个 角平分线上。
3.性质定理和判定定理的关系
点在角平分线上
点到角两边的距离相等
4.角平分线的性质定理是证明角相等、线段相等 的新途径.角平分线的判定定理是证明点在直线 上(或直线经过某一点)的根据之一.
布置作业
6：作业布置 课堂作业：习题1.9第1，2，3,4题．
家庭作课业堂：学作习业之：友习p1题5-116.9第1，2，3,4题 ． 家庭作业：学习之友p15-16
角的平分线课件(共16张PPT)
6.3.2.2 角的平分线
思考 如何能得到角平分线呢？ 量角器度量、折叠.
在一张半透明的纸上通过折纸作角的平分线.
6.3.2.2 角的平分线
例1 把一个周角 7 等分，每一份是多少度的角 (精确到分)？
解：360°÷7 = 51° + 3°÷7 = 51° + 180'÷7 ≈ 51°26'.
精确到分，要先取到 小数点后 1 位，然后 再四舍五入.
6.3.2.2 角的平分线
2.如图，O 是直线AB 上一点，OC 是∠AOB 的平分线，若∠COD = 31°28'，求∠AOD 的度数.
解：∵OC 是∠AOB 的平分线，∠AOB是平角. C
∴∠AOC = ∠AOB = × 180°=90°.
∴∠AOD = 12∠AOB - ∠COD.
D
=90°- 31°28' =89°60' - 31°28'
2
1
O
A
6.3.2.2 角的平分线
新知学习
思考
如图，如果∠1 =∠2，那么射线 OB 把∠AOC分成两个相等的角.你可
以写出∠AOC 和∠1 、∠2的关系式吗？
C B
∠AOC = 2∠1 = 2∠2， ∠1 = ∠2 = 1 ∠AOC
2
2
1
O
A
6.3.2.2 角的平分线
一般地，从一个角的顶点出发，把这个角分成两个相等的角的射线， 叫作这个角的平分线.
注意：度、分、秒是60进制的，要把剩余的度数化成分.
6.3.2.2 角的平分线
随堂练习
1.如图，把一个蛋糕等分成8份，每份中的角是多少度？如果 要使每份中的角是15°，这个蛋糕应等分成多少份?
角平分线课件
角平分线的性质定理的证明
第四步，根据全等三角形的性质，我们知道全等 三角形的对应边相等，所以$AD = AD$，$DM = DN$，$\angle MAD = \angle NAD$。
第六步，根据全等三角形的对应边相等，我们知 道$AM = AN$。
第五步，根据三角形的全等判定定理，我们知道 如果两个三角形的三边分别相等，那么这两个三 角形全等。因此，$\triangle MAD \cong \triangle NAD$。
第七步，根据角平分线的性质定理的证明结论， 我们知道角平分线上的点到角的两边的距离相等 ，所以$DM = DN$。
05
角平分线的应用举例
利用角平分线求角度的大小
角平分线定理
角平分线将一个角分为两个相等 的角，即$\angle A = \angle B$ 。
实际应用
在几何图形中，可以利用角平分 线求角度的大小，例如在三角形 中，通过作高或利用已知角度求 解未知角度。
第二步，根据角平分线的性质定理，我们知道角平分线上的点到角的两边的距离相等，所以 $DM = DN$。
第三步，根据直角三角形的全等判定定理，我们知道如果两个直角三角形的一条直角边和斜 边分别相等，那么这两个直角三角形全等。因此，我们可以证明$\triangle MAD \cong \triangle NAD$。
角平分线与平行四边形
在平行四边形中，对角线互相平分， 因此可以利用角的平分线将平行四边 形划分为两个全等的三角形，从而简 化求解平行四边形的问题。
角平分线与梯形
在梯形中，可以利用角的平分线将梯 形划分为一个平行四边形和一个三角 形，从而利用已知的平行四边形和三 角形性质求解梯形的问题。
03
角平分线的作法
三角形的角平分线和中线-PPT课件
OBC OCB 1 (1800 800 ) 500 ,BOC 1300
2
3
任意画一个三角形，用刻度尺画BC的中 A 点D，连接AD。
在三角形中，连结一个顶 点与它对边中点的线段， 叫做三角形的中线。
B
D
C
书写形式：∵AD是△ABC中的BC边上的中线。 ∴BD＝CD
特别提醒：（1）三角形的中线是一条线段；（2）三角
形的中线的一端平分这条边。
4
Байду номын сангаас
操作归纳：
任意画一个三角形， 然后利用刻度尺画 出这个三角形的三 条中线，你有什么 发现？
三角形的三条中线相交于一点，交点在三角形内部。
5
巩固提升：
A
1.如图，AF是ΔABC的角平分线，AE是BC边
上的中线，选择“＞”“＜”或“=”号填空：
（1）BE_=__EC
（2）∠CAF_=__
点， CF C，D如果 ACB 7，0那么下列说法中错误的
是（ B） A．CF 平分 ACE B．B、 55 C．1 4 90
D．3 4 55
5．如图，E、 F、G 分别是 AB 、BC AC 边上的中点，则
S SABC __4___ SBEF ___4_____ FGC
9
大家有疑问的，可以询问和交流
形，这两个小三角形的周长的差是2cm。你能求出AB的长吗？
解 ABD的周长 AB AD BD
A
ACD的周长 AC AD DC
AD是中线 BD DC,两三角形
的周长差为: AB AC 2, AB 7
B
C D
7
课堂巩固：
1. 如图，在 ABC 中，若 BD平分 ABC
则下列说法中不正确的是（ D ）
角平分线的性质教学课件
解析
首先利用角平分线的性质求出$angle OCP = 65^circ$，然后根据直角三角形的性质求出 $angle CPO = 90^circ$，最后利用角的和的性质求出$angle OCD = 155^circ$。
= frac{1}{2} angle AOB = 30^circ$；当点$C$在$angle AOB$外部
时，$angle BOC = angle AOB - angle AOC = 150^circ$。
进阶练习题
01
题目：已知$angle AOB = 70^circ$，点$P$是$angle AOB$的角平分线上一 点，且$PC perp OA$，$PD perp OB$，垂足分别为点$C,D$，则$angle CPD = ($ ）
详细描述
首先，以角的顶点为圆心，任意长为半径画一个圆。然后，将圆规的针脚放在圆周上，取半径长度将圆周分为两 个等分。接着，连接等分点和角的顶点，这条直线即为角的平分线。
利用角的和差作角平分线
总结词
通过角的和差性质，可以将一个角分为两个相等的角，从而作出角的平分线。
详细描述
首先，在角的内部作一条射线，使其与角的两边相交于两点。然后，利用角的和差性质，将这两个交 点与角的顶点连接起来，形成两个相等的角。最后，连接这两个相等角的顶点，这条直线即为角的平 分线。
02
答案：B
03
解析：由于点$P$是$angle AOB$的角平分线上一点，根据角平分线的性质， 我们有$angle OPC = angle OPD = frac{1}{2} angle AOB = 35^circ$。再根 据直角的性质，$angle CPD = 180^circ - angle OPC - angle OPD = 110^circ$。
首先利用角平分线的性质求出$angle OCP = 65^circ$，然后根据直角三角形的性质求出 $angle CPO = 90^circ$，最后利用角的和的性质求出$angle OCD = 155^circ$。
= frac{1}{2} angle AOB = 30^circ$；当点$C$在$angle AOB$外部
时，$angle BOC = angle AOB - angle AOC = 150^circ$。
进阶练习题
01
题目：已知$angle AOB = 70^circ$，点$P$是$angle AOB$的角平分线上一 点，且$PC perp OA$，$PD perp OB$，垂足分别为点$C,D$，则$angle CPD = ($ ）
详细描述
首先，以角的顶点为圆心，任意长为半径画一个圆。然后，将圆规的针脚放在圆周上，取半径长度将圆周分为两 个等分。接着，连接等分点和角的顶点，这条直线即为角的平分线。
利用角的和差作角平分线
总结词
通过角的和差性质，可以将一个角分为两个相等的角，从而作出角的平分线。
详细描述
首先，在角的内部作一条射线，使其与角的两边相交于两点。然后，利用角的和差性质，将这两个交 点与角的顶点连接起来，形成两个相等的角。最后，连接这两个相等角的顶点，这条直线即为角的平 分线。
02
答案：B
03
解析：由于点$P$是$angle AOB$的角平分线上一点，根据角平分线的性质， 我们有$angle OPC = angle OPD = frac{1}{2} angle AOB = 35^circ$。再根 据直角的性质，$angle CPD = 180^circ - angle OPC - angle OPD = 110^circ$。
角平分线判定课件
详细描述
在三角形中，角平分线通常与中线重合。这意味着，如果一 个线段同时是角平分线和中线，那么它将对角进行平分，并 将相对的顶点连接。这种性质在等腰三角形和直角三角形中 尤为明显。
角平分线与高的关联
总结词
角平分线与高在几何图形中也有关联，它们在特定条件下可以相互影响。
详细描述
在三角形中，角平分线和高经常交汇于一点，即三角形的内心。这一点也是三角形的三个内角的角平分线的交点 。高和角平分线的这种关系在等腰三角形和直角三角形中尤为显著。
03
角平分线的应用
在几何图形中的应用
角平分线与平行线
在几何图形中，角平分线常常与平行 线一起出现。利用角平分线可以证明 两条线平行，或者通过平行线来找到 角平分线。
角平分线与等腰三角形
角平分线与等腰三角形有着密切的联 系。在等腰三角形中，底边的两个角 相等，而角平分线可以将这个等腰三 角形分为两个相等的部分。
05
角平分线的习题与解析
基础习题
基础习题1
已知三角形ABC中，AD是角BAC的平分线，DE垂直于AB于E，DF垂直于AC于F， BD=CD，求证：BE=CF。
基础习题2
在三角形ABC中，AD是角BAC的平分线，M是BC的中点，过点D作DM垂直于BC交AB 于P，交AC于Q，求证：BP=CQ。
进阶习题
判定定理的表述
• 角平分线的判定定理：如果一个角的平分线与另 一个角的对边平行，那么这个角被判定为另一个 角的平分角。
判定定理的证明
• 证明过程：首先，根据平行线的性质，我们知道平行线之间的 同位角相等。然后，由于角的平分线将角平分，所以与平分线 相交的两边对应的同位角相等。结合这两个性质，我们可以证 明出角平分线的判定定理。
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尺规作图
用尺规作角的平分线. 已知:∠AOB 求作:射线OC,使∠AOC=∠BOC
例1: 实际问题
数学化 C
P
┒
O
数学问题源于生活实践，反过来数学又为生活实践服务
பைடு நூலகம்
例2: 已知：如图，E是∠BAC平分线上的一点， EB⊥AB，EC⊥AC，B，C分别是垂足。你能 得到哪些结论？为什么？
B
A
E
C
例3: 已知：如图所示：PA，PC分别是⊿ABC外角∠MAC与 ∠NCA平分线，它们交于P，PD⊥BM于M，PF⊥BN于F
等的点，在这个角的平分线上。
已知：如图，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别是D，E，
PD=PE.
求证：点P在∠AOB的平分线上
A
证明: 在Rt⊿ODP和 Rt⊿OEP中,
∠ODP=∠OEP=90°
O
D P
OP=OP, PD=PE Rt⊿OPD≌Rt⊿OPE (HL)
E B
E G
O D
A C
H
B
F
做一做 1
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15、最具挑战性的挑战莫过于提升自 我。。2021年3月2021/3/52021/3/52021/3/53/5/2021
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16、业余生活要有意义，不要越轨。2021/3/52021/3/5Marc h 5, 2021
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17、一个人即使已登上顶峰，也仍要 自强不 息。2021/3/52021/3/52021/3/52021/3/5
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9、有时候读书是一种巧妙地避开思考 的方法 。2021/3/52021/3/5Fr iday, March 05, 2021
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10、阅读一切好书如同和过去最杰出 的人谈 话。2021/3/52021/3/52021/3/53/5/2021 1:01:02 PM
•
11、越是没有本领的就越加自命不凡 。2021/3/52021/3/52021/3/5M ar-215- Mar-21
PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别为D，E
A
求证：PD=PE D
证明: ∵∠1=∠2 , OP=OP
∠PDO=∠PEO=90° ∴⊿PDO≌⊿PEO (AAS)
O1
2
P
C
∴PD=PE (全等三角形的对应 边相等)
E B
定理 在角的平分线上的点到这个角的两 边的距离相等。
定理的逆命题该怎么说？
逆定理：在一个角的内部，且 到角的两边距离相
谢谢观赏
You made my day!
我们，还在路上……
求证： 点P在∠MBN的平分线上
M D
A P
E
B
C FN
活动与探究:
已知：如图，∠1=∠2，P为BN上一点，且PD⊥BC 于D，AB+BC=2BD
求证：∠BAP+∠BCP=180°
M E
A
P
N
1
2
B
E' D C
E ''
1 23
结束寄语
• 严格性之于数学家,犹如道德之于人 .
• 证明的规范性在于：条理清晰，因 果相应,言必有据.这是初学证明者 谨记和遵循的原则.
问题引入
如图，浑南新区一个工厂，在公路西侧， 到公路的距离与到河岸的距离相等，并且与河 上公路桥较近桥头的距离为300米。你能尝试确 定工厂的位置吗？并说明理由。
北
比例尺1：20000
问题探究
角平分线性质
角的平分线上的点到这个角 的两边的距离相等。
已知：如图，OP是∠AOB的平分线，点P在OC上，
•
12、越是无能的人，越喜欢挑剔别人 的错儿 。2021/3/52021/3/52021/3/5Fr iday, March 05, 2021
•
13、知人者智，自知者明。胜人者有 力，自 胜者强 。2021/3/52021/3/52021/3/52021/3/53/5/2021
•
14、意志坚强的人能把世界放在手中 像泥块 一样任 意揉捏 。2021年3月5日星期 五2021/3/52021/3/52021/3/5