角平分线的专题复习课件
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角平分线课件
DE⊥AB，∠1=∠2，且
AC=6cm，那么线段BE是∠ABC
的 角平分线 ，AE+DE= 6cm 。
3. 如图，OP 平分∠MON，PA⊥ON，
垂足为 A，PA = 2. Q是边 OM 上的
一个动点,则线段 PQ的最小值（B）
A．1 B.2 C.3 D.4
O
M Q
P
A
N
4.如图，∠1＝∠2，PD⊥OA，PE⊥OB， E
活动一：探究角的轴对称性
在纸上任意画一个∠BAC，把它沿经过点 A 的某条直 线对折，使角的两边 AB 与 AC 重合，然后把纸展开后铺 平，记折痕为 AD.你发现∠BAC 是轴对称图形吗？如果是， 它的对称轴是什么？
B
A
D
C
结论：角是轴对称图形，角的平分线所在的直线
是它的对称轴.
（二）探究新知
活动二：探索角平分线的第一个性质
应用所具备的条件：
（1）AD为角的平分线；
M
B
（2）点P在该平分线上；
（3）PM⊥AB PN⊥AC
A
D P
符号语言：
∵AD平分∠BAC PM⊥AB PN⊥AC
∴PM=PN
N C
作用：判断线段相等的依据.
测试一: 判断正误，并说明理由：
1.如图，P是∠AOB的平分线OC上的一点，D、E分
别在OA、OB上，则PD=PE
请同学们用尺规做出一个任意角的角平分线，在角
平分线上任意取一点 P，过点 P 作 PM⊥AB，PN⊥AC，
垂足分别是点 M，N，用圆规比较 PM 与 PN 的大小，
你有什么发现？说明你的理由.
M
B
D
A
P
N
AC=6cm，那么线段BE是∠ABC
的 角平分线 ，AE+DE= 6cm 。
3. 如图，OP 平分∠MON，PA⊥ON，
垂足为 A，PA = 2. Q是边 OM 上的
一个动点,则线段 PQ的最小值（B）
A．1 B.2 C.3 D.4
O
M Q
P
A
N
4.如图，∠1＝∠2，PD⊥OA，PE⊥OB， E
活动一：探究角的轴对称性
在纸上任意画一个∠BAC，把它沿经过点 A 的某条直 线对折，使角的两边 AB 与 AC 重合，然后把纸展开后铺 平，记折痕为 AD.你发现∠BAC 是轴对称图形吗？如果是， 它的对称轴是什么？
B
A
D
C
结论：角是轴对称图形，角的平分线所在的直线
是它的对称轴.
（二）探究新知
活动二：探索角平分线的第一个性质
应用所具备的条件：
（1）AD为角的平分线；
M
B
（2）点P在该平分线上；
（3）PM⊥AB PN⊥AC
A
D P
符号语言：
∵AD平分∠BAC PM⊥AB PN⊥AC
∴PM=PN
N C
作用：判断线段相等的依据.
测试一: 判断正误，并说明理由：
1.如图，P是∠AOB的平分线OC上的一点，D、E分
别在OA、OB上，则PD=PE
请同学们用尺规做出一个任意角的角平分线，在角
平分线上任意取一点 P，过点 P 作 PM⊥AB，PN⊥AC，
垂足分别是点 M，N，用圆规比较 PM 与 PN 的大小，
你有什么发现？说明你的理由.
M
B
D
A
P
N
微专题(六) 与角平分线有关的四种基本模型 课件(共19张PPT) 2024年中考数学总复习专题突破
பைடு நூலகம்
5
.所以
6
= 4 =
10
.
3
10
【答案】
3
图34
17
微专题（六） 与角平分线有关的四种基本模型
模型四 角平分线+轴对称
构造
复习讲义
全等三角形
6.如图6，在 △ 中， ∠ = 108∘ ， = ，
图6
平分 ∠ ，交 于点 .求证： = + .
B. 2 + 3
C. 2 + 3
D.3
图2
12
微专题（六） 与角平分线有关的四种基本模型
模型二 角平分线+角平分线的垂线
复习讲义
构造
等腰三角形
3.如图3，在 △ 中， < ， 平分
∠ ， ⊥ 于点 ，连接 .若 △ 的
面积为4，求 △ 的面积．
复习讲义
学习至此，请完成微专题练习（六） （第267页）
10
微专题（六） 与角平分线有关的四种基本模型
复习讲义
微专题练习（六）
与角平分线有关的四种基本模型
模型一 角平分线+边的垂线
构造
双垂直
1.如图1， 平分 ∠ ， ⊥ 于点 ，
△ = 8 ， = 2 ， = 4 ，则 的长是
= 8 ，所以 = 10 .所以 : : = : : = 3: 4: 5 .设
16
微专题（六） 与角平分线有关的四种基本模型
复习讲义
= = 3 ，则 = = 4 ， = 5 .因为 = 10 ，所以
3 + 5 + 4 = 10 .所以 =
5
.所以
6
= 4 =
10
.
3
10
【答案】
3
图34
17
微专题（六） 与角平分线有关的四种基本模型
模型四 角平分线+轴对称
构造
复习讲义
全等三角形
6.如图6，在 △ 中， ∠ = 108∘ ， = ，
图6
平分 ∠ ，交 于点 .求证： = + .
B. 2 + 3
C. 2 + 3
D.3
图2
12
微专题（六） 与角平分线有关的四种基本模型
模型二 角平分线+角平分线的垂线
复习讲义
构造
等腰三角形
3.如图3，在 △ 中， < ， 平分
∠ ， ⊥ 于点 ，连接 .若 △ 的
面积为4，求 △ 的面积．
复习讲义
学习至此，请完成微专题练习（六） （第267页）
10
微专题（六） 与角平分线有关的四种基本模型
复习讲义
微专题练习（六）
与角平分线有关的四种基本模型
模型一 角平分线+边的垂线
构造
双垂直
1.如图1， 平分 ∠ ， ⊥ 于点 ，
△ = 8 ， = 2 ， = 4 ，则 的长是
= 8 ，所以 = 10 .所以 : : = : : = 3: 4: 5 .设
16
微专题（六） 与角平分线有关的四种基本模型
复习讲义
= = 3 ，则 = = 4 ， = 5 .因为 = 10 ，所以
3 + 5 + 4 = 10 .所以 =
角平分线课件
角平分线的性质定理的证明
第四步，根据全等三角形的性质，我们知道全等 三角形的对应边相等，所以$AD = AD$，$DM = DN$，$\angle MAD = \angle NAD$。
第六步，根据全等三角形的对应边相等，我们知 道$AM = AN$。
第五步，根据三角形的全等判定定理，我们知道 如果两个三角形的三边分别相等，那么这两个三 角形全等。因此，$\triangle MAD \cong \triangle NAD$。
第七步，根据角平分线的性质定理的证明结论， 我们知道角平分线上的点到角的两边的距离相等 ，所以$DM = DN$。
05
角平分线的应用举例
利用角平分线求角度的大小
角平分线定理
角平分线将一个角分为两个相等 的角，即$\angle A = \angle B$ 。
实际应用
在几何图形中，可以利用角平分 线求角度的大小，例如在三角形 中，通过作高或利用已知角度求 解未知角度。
第二步，根据角平分线的性质定理，我们知道角平分线上的点到角的两边的距离相等，所以 $DM = DN$。
第三步，根据直角三角形的全等判定定理，我们知道如果两个直角三角形的一条直角边和斜 边分别相等，那么这两个直角三角形全等。因此，我们可以证明$\triangle MAD \cong \triangle NAD$。
角平分线与平行四边形
在平行四边形中，对角线互相平分， 因此可以利用角的平分线将平行四边 形划分为两个全等的三角形，从而简 化求解平行四边形的问题。
角平分线与梯形
在梯形中，可以利用角的平分线将梯 形划分为一个平行四边形和一个三角 形，从而利用已知的平行四边形和三 角形性质求解梯形的问题。
03
角平分线的作法
《角的平分线的性质》PPT优质课件
E B
∴∠AOP=∠BOP （全等三角形的对应角相等）.
∴点P在∠AOB的平分线上.
探究新知
判定定理：
角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上.
应用所具备的条件：
（1）位置关系：点在角的内部；
（2）数量关系：该点到角两边的距离相等.
定理的作用：判断点是否在角平分线上.
应用格式： ∵ PD⊥OA，PE⊥OB，PD=PE. O ∴点P 在∠AOB的平分线上.
O
这个点应该在角的平分线
S
探究新知
知识点 1 角平分线的判定
叙述角平分线的性质定理.
角的平分线上的点到角的两边的距离相等.
回 几何语言描述：∵ OC平分∠AOB，且PD⊥OA， PE⊥OB.
顾 旧 知
∴ PD= PE. 不必再证全等
A D
P到OA的距离PD
C P
P是角平分线上的点
O
E
B P到OB的距离PE.
证明：∵OD平分∠AOB，∠1＝∠2， 又∵OA＝OB，OD＝OD， ∴△AOD≌△BOD，∴∠3＝∠4， 又∵PM⊥DB，PN⊥DA， ∴PM＝PN.(角平分线上的点到角两边 的距离相等)
探究新知
素养考点 2 利用角平分线的性质求线段的长度
例2 如图，AM是∠BAC的平分线，点P在AM上，PD⊥AB， PE⊥AC，垂足分别是D,E，PD=4cm，则PE=___4___cm.
探究新知
猜想证明
已知：如图，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别是D,E，
PD=PE. 求证：点P在∠AOB的平分线上.
证明：作射线OP，∵PD⊥OA，PE⊥OB. ∴∠PDO=∠PEO=90°，
D
A
在Rt△PDO和Rt△PEO 中，
角平分线的性质教学课件
解析
首先利用角平分线的性质求出$angle OCP = 65^circ$，然后根据直角三角形的性质求出 $angle CPO = 90^circ$，最后利用角的和的性质求出$angle OCD = 155^circ$。
= frac{1}{2} angle AOB = 30^circ$；当点$C$在$angle AOB$外部
时，$angle BOC = angle AOB - angle AOC = 150^circ$。
进阶练习题
01
题目：已知$angle AOB = 70^circ$，点$P$是$angle AOB$的角平分线上一 点，且$PC perp OA$，$PD perp OB$，垂足分别为点$C,D$，则$angle CPD = ($ ）
详细描述
首先，以角的顶点为圆心，任意长为半径画一个圆。然后，将圆规的针脚放在圆周上，取半径长度将圆周分为两 个等分。接着，连接等分点和角的顶点，这条直线即为角的平分线。
利用角的和差作角平分线
总结词
通过角的和差性质，可以将一个角分为两个相等的角，从而作出角的平分线。
详细描述
首先，在角的内部作一条射线，使其与角的两边相交于两点。然后，利用角的和差性质，将这两个交 点与角的顶点连接起来，形成两个相等的角。最后，连接这两个相等角的顶点，这条直线即为角的平 分线。
02
答案：B
03
解析：由于点$P$是$angle AOB$的角平分线上一点，根据角平分线的性质， 我们有$angle OPC = angle OPD = frac{1}{2} angle AOB = 35^circ$。再根 据直角的性质，$angle CPD = 180^circ - angle OPC - angle OPD = 110^circ$。
首先利用角平分线的性质求出$angle OCP = 65^circ$，然后根据直角三角形的性质求出 $angle CPO = 90^circ$，最后利用角的和的性质求出$angle OCD = 155^circ$。
= frac{1}{2} angle AOB = 30^circ$；当点$C$在$angle AOB$外部
时，$angle BOC = angle AOB - angle AOC = 150^circ$。
进阶练习题
01
题目：已知$angle AOB = 70^circ$，点$P$是$angle AOB$的角平分线上一 点，且$PC perp OA$，$PD perp OB$，垂足分别为点$C,D$，则$angle CPD = ($ ）
详细描述
首先，以角的顶点为圆心，任意长为半径画一个圆。然后，将圆规的针脚放在圆周上，取半径长度将圆周分为两 个等分。接着，连接等分点和角的顶点，这条直线即为角的平分线。
利用角的和差作角平分线
总结词
通过角的和差性质，可以将一个角分为两个相等的角，从而作出角的平分线。
详细描述
首先，在角的内部作一条射线，使其与角的两边相交于两点。然后，利用角的和差性质，将这两个交 点与角的顶点连接起来，形成两个相等的角。最后，连接这两个相等角的顶点，这条直线即为角的平 分线。
02
答案：B
03
解析：由于点$P$是$angle AOB$的角平分线上一点，根据角平分线的性质， 我们有$angle OPC = angle OPD = frac{1}{2} angle AOB = 35^circ$。再根 据直角的性质，$angle CPD = 180^circ - angle OPC - angle OPD = 110^circ$。
角平分线性质定理及逆定理课件
在三角形性质研究中的应用
• 应用举例：利用角平分线性质定理研究三角形中的角平分线与中线、高线之间的关系，或者利用逆定理证明三角形中的角 平分线与边的关系。
在实际问题中的应用
• 应用举例：利用角平分线性质定理解决土地划分、道路规划 等实际问题，或者利用逆定理解决建筑结构、机械设计等实 际问题。
PART 05
习题与解答
REPORTING
WENKU DESIGN
习题部分
题目1
已知△ABC中，AD是∠BAC的角 平分线，AD交边BC于D，E、F
分别是AB、AC上的点，且 ∠DEF=∠BAD。求证：DE=DF。
题目2
在△ABC中，AD是∠BAC的角平 分线，且BD=CD。求证： AB=AC。
题目3
在△ABC中，AD是∠BAC的角平 分线，且AB=AC，AD=CD。求
逆定理的证明
证明方法一
利用相似三角形的性质，通过相 似三角形的边长比例关系证明。
证明方法二
利用余弦定理，通过余弦值之比 等于边长之比的平方证明。
逆定理的应用
01
02
03
应用一
在几何证明中，可以利用 角平分线逆定理来证明一 些与角平分线相关的几何 性质。
应用二
在三角形中，可以利用角 平分线逆定理来找到角的 平分线，进而确定其他边 的长度或角度。
如果一条射线上的点到角的两边距离相等，那么该射线就是 该角的角平分线。
PART 02
角平分线逆定理
REPORTING
WENKU DESIGN
逆定理的表述
• 角平分线逆定理：在三角形中，如果一条角的平分线与另两边 相交，则与平分线相对的两边之比等于这两边所夹的角平分线 形成的两个小三角形非夹角之比。
《角的平分线的性质》PPT课件
⑶若AB＝10，BC＝8，AC＝6，
求BE，AE的长和△AED的周长。
A E
D
B
-
C 19
再见
-
20
∴PD=PE
A
D
C P·
O
E B
-
17
A E
C
B
D
2.如图,在△ABC中，AC⊥BC，
AD为∠BAC的平分线，
DE⊥AB，AB＝7㎝，AC＝3
㎝，求BE的长。
-
18
动脑筋
3.在Rt△ABC中，BD平分∠ABC， DE⊥AB于E，则：
⑴图中相等的线段有哪些？相等的角呢？
⑵哪条线段与DE相等？为什么？
E
∴∠CAD=∠CAB（全等三角形的 对应边相等）
∴AC平分∠DAB（角平分线的定义）
-
4
活 动 3 根据角平分仪的制作原理怎样作
一个角的平分线？（不用角平分仪或
量角器）
A N
E
N
C
C E
O
M
O
B
M
-
5
如何用尺规作角的平分线？
作法：
１．以Ｏ为圆心，适当
A
长为半径作弧，交ＯＡ于Ｍ，
交ＯＢ于Ｎ．
Ｃ
Ｍ
-
7
活 动 5 探究角平分线的性质
(1)实验：将∠AOB对折，再折出一个直角三 角形（使第一条折痕为斜边），然后展开，观察 两次折叠形成的三条折痕，你能得出什么结论？
(2)猜想:角的平分线上的点到角的 两边的距离相等.
-
8
活 动 5 探究角平分线的性质
已知：如图，OC平分∠AOB，点P在OC
上，PD⊥OA于点D，PE⊥OB于点E A 求证: PD=PE
《角平分线》PPT教学课件
求证：PD=PE.
你能用什么方法说明你 的结论是正确的？
A
D C
P
O
E
B
知识讲解
方法一：
用刻度尺测量PD,PE，得到两条线段的长度相等.
A
方法二：
D C
P
O
E
B
利用角的对称性，当沿OC所在的直线对折时，
PD与PE重合，因此PD=PE.
知识讲解
方法三：
证明： ∵ PD⊥OA,PE⊥OB，
∴ ∠PDO= ∠PEO=90 °.
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试卷下载： . /shiti/
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语文课件： . /kejian/yuwen/ 数学课件： . /kejian/shuxue/
英语课件： . /kejian/yingyu/ 美术课件： . /kejian/meishu/
A
F O
E
B
D
C
随堂训练
4.如图，已知△ABC的外角∠CBD和∠BCE的平分
线相交于点F，
Байду номын сангаас
求证：点F在∠DAE的平分线上． 证明：过点F分别作FG⊥AE于点G，
FH⊥AD于点H，FM⊥BC于点M. ∵点F在∠BCE的平分线上，
E G
C
FG⊥AE， FM⊥BC. ∴FG＝FM. 又∵点F在∠CBD的平分线上， A
B
A
D
C
理由：无法确定点D在∠BAC的平分线上.
知识讲解
线段的垂直平分线的性质定理有逆定理，角的平分 线的性质定理是否也有逆定理呢？
你能用什么方法说明你 的结论是正确的？
A
D C
P
O
E
B
知识讲解
方法一：
用刻度尺测量PD,PE，得到两条线段的长度相等.
A
方法二：
D C
P
O
E
B
利用角的对称性，当沿OC所在的直线对折时，
PD与PE重合，因此PD=PE.
知识讲解
方法三：
证明： ∵ PD⊥OA,PE⊥OB，
∴ ∠PDO= ∠PEO=90 °.
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A
F O
E
B
D
C
随堂训练
4.如图，已知△ABC的外角∠CBD和∠BCE的平分
线相交于点F，
Байду номын сангаас
求证：点F在∠DAE的平分线上． 证明：过点F分别作FG⊥AE于点G，
FH⊥AD于点H，FM⊥BC于点M. ∵点F在∠BCE的平分线上，
E G
C
FG⊥AE， FM⊥BC. ∴FG＝FM. 又∵点F在∠CBD的平分线上， A
B
A
D
C
理由：无法确定点D在∠BAC的平分线上.
知识讲解
线段的垂直平分线的性质定理有逆定理，角的平分 线的性质定理是否也有逆定理呢？
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2.如图,△ABC中,AB=AC=10,BC=8,AD平分 ∠BAC交BC于点D,DE∥AB,则△CDE的 周长为(14)
8
三、角平分线+垂线，三线合一等腰现 （1）典型例题 1.如图，CE平分∠ACB，且CE⊥DE，∠DAB=∠DBA， AC=18，△CDB的周长为28，则BD的长为___8____
1
关于角平分线的模型构造
2
学习目标:
1.能够灵活运用角平分线的性质和判定解决一些综合性题目 2.掌握在角平分线的两旁添加辅助线的方法
重点 ：角平分线的性质和判定的综合运用 难点：在角平分线上添加辅助线构造全等的方法
3
角平分线的定义？ 角平分线的性质？ 角平分线的判定？
4
◆ 角平分线 ◆ 定义：像OC这样，从一个角的顶点出发，
把这个角分成相等的两个角的射线，叫作 这个角的角平分线．
A
C O
B
5
复习
性质定理 角的平分线上的点到角的两边的距离相等。
∵ OP 是 ? AOB 的平分线
PD ? OA PE ? OB
\ PD = PE
O
用途：证线段相等
D
A
C P
判定定理 角的内部到角的两边的距离 相等的点 在角的平分线上。
E B
12
变式1.如图,△PQR的外角∠PRN的平分 线PM与内角∠PQR的平分线QM交于点 M,∠QMR=40°，则∠RPM的度数为 _5_0_°.
变式2：如图，在△ABC中，D为BC中 点，DE⊥BC交∠BAC的平分线AE于E， EF⊥AB于F，EG⊥AC交AC的延长线于 G， 求证：BF=CG
13
D
∴ ∠BED=∠A=108°
∴ ∠DEC=72°
又∵A=108°, AB=AC
∴ ∠C=∠ABC=36 °
B
∴∠EDC=∠DEC=72°
∴EC= DC
∴ BC= BE+EC=AB+DC
72°
108° 72°
E
36°
C
10
模型总 结
EA
A
EA
EA
E
P
P
P
（1）
（2）
（3）
9
四、截长补短在角边，对称以后关系现
例. 如图，等腰三角形ABC中，AB=AC，∠A=108°，BD平分 ∠ABC. 求证：BC=AB+DC.
证明：在BC上截取点E，使BE=BA ，连接DE
∵ BD是∠ABC 的平分线 ∴ ∠1=∠2， 又∵BD 为公共边 ∴△ABD≌△EBD（SAS）
A
108°
2.如图，已知在△ABC中，CD是AB边上的高， BE平分∠ABC，交CD于点E，BC=5，DE=2， 则△BCE的面积等于__5_.
7
二、角平分线+平行线，等腰三角形必呈现 （1）典型例题 1.如图,OP平分∠AOB,∠AOP=15°, PC∥OA，PD⊥OA于点D，OC=4， 则PD=_2__.
（1）角平分线，作垂线，对称全等要记全
（4）
（2）角平分线平行线，等腰三角形必呈现
（3）角平分线加垂线，三线合一等腰现
（4）截长补短在角边，对称以后关系现
11
例1.如图，在△ABC中，∠ABC=60°，AD、CE 分别平分∠BAC、∠ACB，AD、CE交于O. (1)求∠AOC的度数； (2)求证：OD=OE. (3)可证AC=AE+CD
∵ PD ? OA PE ? OB PD = PE
\ OP 是 ? AOB 的平分线
用途：判定一条射线是角平分线或者两个角相等。
6
一、角平分线，作垂线，对称全等要记全 (1)典型例题： 1.如图，OP平分∠AOB，PC⊥OA于C， PD⊥OB于D，M为OP上任一点， 连接CM、DM，则有CM和DM的 大小关系是（ B ） A. CM>DM B. CM=DM C. CM<DM D. 不能确定
畅所欲言谈收获……
14
8
三、角平分线+垂线，三线合一等腰现 （1）典型例题 1.如图，CE平分∠ACB，且CE⊥DE，∠DAB=∠DBA， AC=18，△CDB的周长为28，则BD的长为___8____
1
关于角平分线的模型构造
2
学习目标:
1.能够灵活运用角平分线的性质和判定解决一些综合性题目 2.掌握在角平分线的两旁添加辅助线的方法
重点 ：角平分线的性质和判定的综合运用 难点：在角平分线上添加辅助线构造全等的方法
3
角平分线的定义？ 角平分线的性质？ 角平分线的判定？
4
◆ 角平分线 ◆ 定义：像OC这样，从一个角的顶点出发，
把这个角分成相等的两个角的射线，叫作 这个角的角平分线．
A
C O
B
5
复习
性质定理 角的平分线上的点到角的两边的距离相等。
∵ OP 是 ? AOB 的平分线
PD ? OA PE ? OB
\ PD = PE
O
用途：证线段相等
D
A
C P
判定定理 角的内部到角的两边的距离 相等的点 在角的平分线上。
E B
12
变式1.如图,△PQR的外角∠PRN的平分 线PM与内角∠PQR的平分线QM交于点 M,∠QMR=40°，则∠RPM的度数为 _5_0_°.
变式2：如图，在△ABC中，D为BC中 点，DE⊥BC交∠BAC的平分线AE于E， EF⊥AB于F，EG⊥AC交AC的延长线于 G， 求证：BF=CG
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D
∴ ∠BED=∠A=108°
∴ ∠DEC=72°
又∵A=108°, AB=AC
∴ ∠C=∠ABC=36 °
B
∴∠EDC=∠DEC=72°
∴EC= DC
∴ BC= BE+EC=AB+DC
72°
108° 72°
E
36°
C
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模型总 结
EA
A
EA
EA
E
P
P
P
（1）
（2）
（3）
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四、截长补短在角边，对称以后关系现
例. 如图，等腰三角形ABC中，AB=AC，∠A=108°，BD平分 ∠ABC. 求证：BC=AB+DC.
证明：在BC上截取点E，使BE=BA ，连接DE
∵ BD是∠ABC 的平分线 ∴ ∠1=∠2， 又∵BD 为公共边 ∴△ABD≌△EBD（SAS）
A
108°
2.如图，已知在△ABC中，CD是AB边上的高， BE平分∠ABC，交CD于点E，BC=5，DE=2， 则△BCE的面积等于__5_.
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二、角平分线+平行线，等腰三角形必呈现 （1）典型例题 1.如图,OP平分∠AOB,∠AOP=15°, PC∥OA，PD⊥OA于点D，OC=4， 则PD=_2__.
（1）角平分线，作垂线，对称全等要记全
（4）
（2）角平分线平行线，等腰三角形必呈现
（3）角平分线加垂线，三线合一等腰现
（4）截长补短在角边，对称以后关系现
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例1.如图，在△ABC中，∠ABC=60°，AD、CE 分别平分∠BAC、∠ACB，AD、CE交于O. (1)求∠AOC的度数； (2)求证：OD=OE. (3)可证AC=AE+CD
∵ PD ? OA PE ? OB PD = PE
\ OP 是 ? AOB 的平分线
用途：判定一条射线是角平分线或者两个角相等。
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一、角平分线，作垂线，对称全等要记全 (1)典型例题： 1.如图，OP平分∠AOB，PC⊥OA于C， PD⊥OB于D，M为OP上任一点， 连接CM、DM，则有CM和DM的 大小关系是（ B ） A. CM>DM B. CM=DM C. CM<DM D. 不能确定
畅所欲言谈收获……
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