专题训练(四) 线段垂直平分线和角平分线的辅助线作法

专题训练(四)线段垂直平分线和角平分线的辅助线作法
►类型之一线段垂直平分线的辅助线作法
1．如图4－ZT－1，在△ABE中，∠A＝105°，AE的垂直平分线MN交BE于点C，且AB＋BC＝BE，则∠B的度数是()
A．45°B．60°C．50°D．55°
图4－ZT－1
2．如图4－ZT－2，AB＋AC＝7，D是AB上一点，若点D在BC的垂直平分线上，则△ACD的周长为________．
图4－ZT－2
3．如图4－ZT－3，在△ABC中，AB，AC的垂直平分线l1，l2相交于点O，连接OB，OC，若∠BAC等于84°，求∠OBC的度数．
图4－ZT－3
4．如图4－ZT－4，已知在△ABC中，AB＝AC，AB的垂直平分线DE交AC于点E，垂足为D，CE的垂直平分线正好经过点B，与AC交于点F，求∠A的度数．
图4－ZT－4
►类型之二角平分线的辅助线作法
5．如图4－ZT－5，在△ABC中，∠C＝90°，∠BAC的平分线交BC于点D，且DC ＝8 cm，则点D到AB的距离是()
A．16 cm B．8 cm C．6 cm D．4 cm
图4－ZT－5
6．如图4－ZT－6，已知在△ABC中，CD是AB边上的高线，BE平分∠ABC，交CD 于点E，BC＝5，DE＝2，则△BCE的面积等于()
A．10 B．7 C．5 D．4
图4－ZT－6
►类型之三线段垂直平分线和角平分线综合运用的辅助线作法
7．如图4－ZT－7所示，在等边三角形ABC中，∠ABC，∠ACB的平分线交于点O，OB和OC的垂直平分线分别交BC于点E，F，试说明：BE＝EF＝FC(提示：三个内角相等的三角形是等边三角形)．
图4－ZT－7
详解详析
1．[解析] C 如图，连接AC .因为MN 垂直平分AE ，所以AC ＝CE ，所以∠E ＝∠EAC .因为AB ＋BC ＝BE ，BC ＋CE ＝BE ，所以AB ＝CE ＝AC ，所以∠B ＝∠ACB ＝2∠E .因为∠B ＋∠E ＋105°＝180°，所以∠B ＋1
2
∠B ＋105°＝180°，解得∠B ＝50°.故选C.
2．[答案] 7
[解析] 因为点D 在BC 的垂直平分线上，所以BD ＝CD ，所以△ACD 的周长＝AD ＋CD ＋AC ＝AD ＋BD ＋AC ＝AB ＋AC ＝7.
3．解：如图，连接OA . 因为∠BAC ＝84°，
所以∠ABC ＋∠ACB ＝96°.
因为l 1，l 2分别是AB ，AC 的垂直平分线， 所以OA ＝OB ，OA ＝OC ，
所以OB ＝OC ，∠OBA ＝∠OAB ，∠OCA ＝∠OAC ， 所以∠OBA ＋∠OCA ＝∠BAC ＝84°， 所以∠OBC ＋∠OCB ＝12°， 所以∠OBC ＝6°.
4．解：连接BE ，因为△ABC 是等腰三角形，所以∠ABC ＝∠C ＝180°－∠A 2①.
因为DE 是线段AB 的垂直平分线，所以AE ＝BE ， 所以∠A ＝∠ABE .
因为CE 的垂直平分线正好经过点B ，与AC 交于点F ，可知△BCE 是等腰三角形， 所以BF 是∠EBC 的平分线，所以1
2(∠ABC －∠A )＋∠C ＝90°，
即1
2
(∠C －∠A )＋∠C ＝90°②，把①代入②解得∠C ＝72°， 所以∠A ＝36°.
5．[解析] B 如图，过点D 作DE ⊥AB 于点E .因为AD 是∠BAC 的平分线，∠C ＝90°，所以DE ＝CD ＝8 cm ，即点D 到AB 的距离是8 cm.故选B.
6．[解析] C如图，作EF⊥BC于点F，因为BE平分∠ABC，DE⊥AB，EF⊥BC，所
以EF＝DE＝2，所以S△BCE＝1
2BC·EF＝
1
2×5×2＝5.故选C.
7．解：如图，连接OE，OF.在等边三角形ABC中，
因为∠ABC，∠ACB的平分线交于点O，OB和OC的垂直平分线分别交BC于点E，F，所以∠OBC＝∠OCB＝30°，OE＝BE，OF＝FC，
所以∠BOE＝∠COF＝30°，
所以∠BEO＝∠CFO＝120°，
所以∠OEF＝∠OFE＝60°，
所以△OEF是等边三角形，
所以OE＝OF＝EF，
所以BE＝EF＝FC.。