角平分线的专题复习
三角形的角平分线专题复习
三角形的角平分线专题复习一、三角形两角平分线夹角与第三个角的关系1、：如图,在』ABC 中,BD 平分/ ABC CE 平分/ ACB BD 与CE 交于点P .试确定/ P 与/ A 的数量关系.A2、：如图,在』ABC 中,BP 平分/ CBD CP 平分/ BCE 试确定/ P 与/ A 的数量关系.4、：如图,在』ABC 中,BPi 平分/ ABC CR 平分/ ACD BP 2平分/ P i BC CP 2平分/ P i CD,试确定〔1〕 / P2与/A 的数量关系.〔2〕 /Pn 与/A 的数量关系.二、三角形内角或外角平分线交点与三角形三边所在直线距离的关系1、：如图,在』ABC 中,BD 平分/ ABC CE 平分/ ACB BD 与CE 交于点P .求证：点 P 在/ A 的平分线上.3、 P：如图,在』ABC 中,BP 平分/ABC CP 平分/ ACD 试确定/ P 与/ A 的数量关系.P EDA PCD A P iP 2CA练习1、找出到』ABC三边距离相等的点点P到AB边的距离为1, △ ABC的周长为10,那么△ ABC的面积为ABC的外角,BP平分/ CBD CP平分/ BCE判断点P是否在/ A的平分线上?3、：如图,/ AC皿/ABC的外角,BP平分/ ABC CP平分/ ACQ判断点P是否在/ A的平分线上练习3、找出到a, b, c 三条直线距离相等的点练习4、〔思考题〕如图,在^ ABC 中,/ ABC=105 , / ACB=40 , CE 是角平分线,F 是CB 延长线上的一点, D 是AC 上一点, / CBD=30 ,求/ ABF 和/ ADE 的度数.三、角平分线与平行线1、如图,在』AB8, / ABG 口/ ACB 勺平分线交于点 Q 过O 点作EF// BC 交AB 于E,交AC 于F, BE=5, CF =3, 求EF 的长.2、,在』ABC 中,/ ABC 的平分线与/ ACB 的外角平分线交于点 D,过D 作DE//BC 交AC 与F,交AB 于E, 求证：EF=BE- CF例1.如图,：AD 是 ABC 的角平分线,DE 、DF 分别是 ABD 和 ACD 的高. 求证：AE AF.a例2.：如图,BD 是 ABC 的平分线, AB BC , P 在BD 上,PM AD , PN CD .求证：PM PN .例4,：如图,在 ABC 中, 求证：ACCD AB .例5、如图, AB//DC , A D 90 ,点E 在AD 上,BE 平分 ABC, CE 平分 BCD .例6.：如图,在 ABC 中,BE 、CF 分别平分 求证：点O 在A 的平分线上.例3.如图,：在求证：AD EF ABC 中AD 是 BAC 的平分线, DE AB 于 E, DF AC 于 F.求证：BC AB DC .1、以下说法正确的有几个〔同步测试(1)角的平分线上的点到角的两边的距离相等； (2)三角形两个内角的平分线交点到三边距离相等； (3)三角形两个内角的平分线的交点到三个顶点的距离相等； (4)点E 、F 分别在/ AOB 的两边上,P 点到E 、F 两点距离相等,所以 P 点在/ AOB 的平分线上； (5) 假设OC 是/ AOB 的平分线,过 OC 上的点P 作OC 的垂线,交 OB 于D,交OA 于E,那么线段 PD 、PE 的长分别是P 点到角两边的距离A. 2 B 3 C 4D 5 2、在^ ABC 中,/ C= 900 , BC= 16cm, / A 的平分线 AD 交 BC 于 D ,且CD: DB=3: 5,那么D 到AB 的距离等于23、：如图 1, BD 是/ ABC 的平分线,DELAB 于 E, S ABC 36cm AB = 18cm,BC = 12cm,求 DE 的长4.如图,： BD CD, BF AC 于 F, CE AB 于 E.求证：D 在 BAC 的平分线上.5、：如图 2, /B = /C=90°, M 是BC 中点,DM 平分/ ADC求证：AM 平分/ DAB6 .如图,ABC 是等腰直角三角形,的周长. A 90 ,BD 是 ABC 的平分线,DE BC 于 E, BC 10cm,求 DEC7.如图,：在 ABC 中,外角 CBD 和求证：点F 在 DAE 的平分线上. 8、如图,AD 〃BC>^E 在线段AB 上,ADE CDE, DCE ECB,图2BCE 的平分线求证：CD AD BC.9、：如图3,在△ ABC中,/ B=60°, △ ABC的角平分线AD、CE线相交于点O 求证：AE+CD = AC A,/ACB=20° ,CE 是/ACB 的平分线,D 是BC上一点,假设/ DAC= 20° ,10.如图在^ABC 中,/BAC=100 求/CED的度数.C11.在四边形ABCD 中,BC> BA,AD= CD,BD平分/ ABC,/C= 72°,求/ BAD的度数ADBC。
微专题(六) 与角平分线有关的四种基本模型 课件(共19张PPT) 2024年中考数学总复习专题突破
5
.所以
6
= 4 =
10
.
3
10
【答案】
3
图34
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微专题（六） 与角平分线有关的四种基本模型
模型四 角平分线+轴对称
构造
复习讲义
全等三角形
6.如图6，在 △ 中， ∠ = 108∘ ， = ，
图6
平分 ∠ ，交 于点 .求证： = + .
B. 2 + 3
C. 2 + 3
D.3
图2
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微专题（六） 与角平分线有关的四种基本模型
模型二 角平分线+角平分线的垂线
复习讲义
构造
等腰三角形
3.如图3，在 △ 中， < ， 平分
∠ ， ⊥ 于点 ，连接 .若 △ 的
面积为4，求 △ 的面积．
复习讲义
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微专题（六） 与角平分线有关的四种基本模型
复习讲义
微专题练习（六）
与角平分线有关的四种基本模型
模型一 角平分线+边的垂线
构造
双垂直
1.如图1， 平分 ∠ ， ⊥ 于点 ，
△ = 8 ， = 2 ， = 4 ，则 的长是
= 8 ，所以 = 10 .所以 : : = : : = 3: 4: 5 .设
16
微专题（六） 与角平分线有关的四种基本模型
复习讲义
= = 3 ，则 = = 4 ， = 5 .因为 = 10 ，所以
3 + 5 + 4 = 10 .所以 =
线段的垂直平行线与角平分线专题复习
线段的垂直平行线与角平分线专题复习本文档将重点复线段的垂直平行线与角平分线的相关知识。
以下是考察这一专题的关键点：1. 垂直平行线：- 定义：两条直线垂直或平行的关系。
- 特点：垂直线的斜率相乘为-1；平行线的斜率相等。
- 判定方法：- 斜率判定法：比较两条直线的斜率。
- 截距判定法：比较两条直线的截距。
- 两组垂直线的特点：斜率之乘积为-1，截距之和为0。
2. 角平分线：- 定义：将一个角分成两个相等的角的直线。
- 特点：角平分线将角分成两个相等的角。
- 判定方法：- 角度判定法：两条角平分线互相垂直。
- 斜率判定法：两条角平分线的斜率的倒数相等。
3. 例题：以下例题旨在帮助你巩固对线段的垂直平行线与角平分线的理解：1. 两条直线的斜率分别为$k_1=2$和$k_2=-\frac{1}{2}$，判断它们的关系。
2. 有一个角，将其平分成两个相等的角。
该角的角度为$80^\circ$，求两个相等角的度数。
3. 给定两条直线的斜率，求它们的角平分线的斜率。
4. 答案：1. 两条直线的斜率分别为$k_1=2$和$k_2=-\frac{1}{2}$，根据斜率判定法可以判断它们为垂直关系。
2. 有一个角，将其平分成两个相等的角。
该角的角度为$80^\circ$，因为两个相等角角度相等，所以每个相等角的度数为$\frac{80^\circ}{2}=40^\circ$。
3. 给定两条直线的斜率$k_1$和$k_2$，根据斜率判定法，角平分线的斜率即为$\frac{\frac{k_1+k_2}{2}}{-1}$。
希望这份文档能够帮助你复习线段的垂直平行线与角平分线的专题。
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中考数学复习：专题4-11 角平分线的一个结论及其推广
专题11 角平分线的一个结论及其推广【专题综述】角平分线的意义及性质是三角形中的重要解题应用性质之一，也是中考题型常出现的重要性质之一，本文将三角形角平分线定理作一推广,并探讨其解平面几何题上的一些应用。
【方法解读】一、双内角平分线例1 如图，△ABC 中，∠ABC 、∠AC B 的平分线相交于点I.你能归纳出∠BIC 和∠A 的关系吗？ICBA【举一反三】（2016春•东台市月考）如图，△ABC 中，∠ABC 和∠ACB 的角平分线相交于点I ，爱动脑筋的小明同学在写作业时，发现了如下规律：（1）若∠A=50°，则∠BIC=115°=90°+250︒； （2）若∠A=90°，则∠BIC=135°=90°+290︒；（3）若∠A=130°，则∠BIC=155°=90°+2130︒；（4）根据上述规律，或∠A=150°，则∠BIC= ． （5）请你用数学表达式归纳出∠BIC 与∠A 的关系： ． （6）请证明你的结论．二、双外角平分线例2 如图，点 O 是△ABC 的外角∠DBC 和∠BCE 的平分线的交点，试判断∠BOC 和∠A 有何关系？O EDIC BA【举一反三】（2015秋•津南区校级期中）（1）如图a，在△ABC中，∠ABC，∠ACB的平分线相交于点O，①若∠ABC=40°，∠ACB=50°，则∠BOC的度数为；②若∠A=76°，则∠BOC的度数为；③你能找出∠A与∠BOC之间的数量关系吗？注明理由．（2）如图b，点O是△ABC的两外角平分线BO，CO的交点，那么∠BOC与∠A有怎样的数量关系？注明理由．三、内外角平分线例3 如图，点D是△ABC的内角∠ABC和外角∠ACE的平分线的交点，试探究∠D与∠A有何关系？【举一反三】已知如图1，∠ABC，∠ACB的平分线交于I，根据下列条件分别求出∠BIC的度数；你能发现∠BIC与∠A的关系吗？并说明理由．（1）变式一：如图2，点P是△ABC的中外两角∠DBC与∠ECB平分线的交点，试探索∠BPC与∠A的数量关系，并说明理由．（2）变式二：如图3，已知在△ABC中，BD平分∠ABC，CD平分△ABC的外角∠ACE，BD、CD相交于D，试探索∠A与∠D的数量关系，并说明理由．【强化训练】1.（探索题）如图△ABC中，∠ABC，∠ACB的平分线相交于点O．（1）若∠ABC=40°，∠ACB=80°，求∠BOC；（2）你能找出∠A与∠BOC之间的数量关系吗？2.（2017秋•抚顺县期中）如图，在△ABC中，∠ABC与∠ACB的平分线交于点O．（1）如图1，∠A=90°，则∠BOC=；（2）如图2，∠A=80°，求∠BOC的度数；（3）从上述计算中，你能发现∠BOC与∠A的关系吗？请直接写出∠B0C与∠A的关系．3.如图1，在△ABC中，∠A=72°，∠ABC与∠ACB的平分线交于I．（1）求∠BIC的度数；（2）如图2，如果∠ABC和∠ACB的三等分线分别交于点D，E，求∠BDC和∠BEC的度数；（3）设想一下，如果∠ABC和∠ACB的n等分线相交，你能求出它们所成钝角的度数吗？4.（2016•内江）问题引入：（1）如图①，在△ABC中，点O是∠ABC和∠ACB平分线的交点，若∠A=α，则∠BOC=（用α表示）；如图②，∠CBO=∠ABC，∠BCO=∠ACB，∠A=α，则∠BOC=（用α表示）拓展研究：（2）如图③，∠CBO=∠DBC ，∠BCO=∠ECB ，∠A=α，请猜想∠BOC= （用α表示），并说明理由． 类比研究：（3）BO 、CO 分别是△ABC 的外角∠DBC 、∠ECB 的n 等分线，它们交于点O ，∠CBO=n1∠DBC ，∠BCO=n1∠ECB ，∠A=α，请猜想∠BOC= ．5.（2017春•雨城区校级期中）如图，BI ，CI 分别平分△ABC 的外角∠DBC 和∠ECB ， （1）若∠ABC=40°，∠ACB=36°，求∠BIC 的大小； （2）若∠A=96°，试求∠BIC ；（3）根据前面问题的求解，请归纳∠BIC 和∠A 的数量关系并进行证明．6.已知：如图，O 是△ABC 的内角∠ABC 和外角∠ACE 的平分线的交点． （1）若∠A=46°，求∠BOC ；（2）若∠A=n°，用n 的代数式表示∠BOC 的度数．7.（2015秋•德州校级月考）如图1，在△ABC 中，∠A=40°，BP 平分∠ABC ，CP 平分∠ACB ， （1）∠BPC= 度；（2）猜想∠A 与∠P 之间有什么关系？并证明你的猜想；（3）如图2，若点P为∠ABC与外角∠ACE的角平分线的交点，试猜想并证明∠A与∠P的关系．8.（2015秋•舟山校级月考）如图，已知∠A=n°，若P1点是∠ABC和外角∠ACE的角平分线的交点，P2点是∠P1BC和外角∠P1CE的角平分线的交点，P3点是∠P2BC和外角∠P2CE的交点…依此类推，则∠P n=（）A． B． C．D．9.（2012春•相城区期中）（1）如图1，BO、CO分别是△ABC中∠ABC和∠ACB的平分线，则∠BOC与∠A的关系是（直接写出结论）；（2）如图2，BO、CO分别是△ABC两个外角∠CBD和∠BCE的平分线，则∠BOC与∠A的关系是，请证明你的结论．（3）如图3，BO、CO分别是△ABC一个内角和一个外角的平分线，则∠BOC与∠A的关系是，请证明你的结论．（4）利用以上结论完成以下问题：如图4，已知：∠DOF=90°，点A、B分别是射线OF、OD上的动点，△ABO的外角∠OBE的平分线与内角∠OAB的平分线相交于点P，猜想∠P的大小是否变化？请证明你的猜想．10.（2016春•雅安校级期中）认真阅读下面关于三角形内外角平分线所夹角的探究片段，完成所提出的问题．（1）探究1：如图1，在△ABC中，O是∠ABC与∠ACB的平分线BO和CO的交点，试分析∠BOC与∠A有怎样的关系？请说明理由．（2）探究2：如图2中，O是∠ABC与外角∠ACD的平分线BO和CO的交点，试分析∠BOC与∠A有怎样的关系？请说明理由．（3）探究3：如图3中，O是外角∠DBC与外角∠ECB的平分线BO和CO的交点，则∠BOC与∠A有怎样的关系？（直接写出结论）（4）拓展：如图4，在四边形ABCD中，O是∠ABC与∠DCB的平分线BO和CO的交点，则∠BOC与∠A+∠D有怎样的关系？（直接写出结论）．（5）运用：如图5，五边形ABCDE中，∠BCD、∠EDC的外角分别是∠FCD、∠GDC，CP、DP分别平分∠FCD和∠GDC且相交于点P，若∠A=140°，∠B=120°，∠E=90°，则∠CPD=度．。
中考数学专题复习题：角平分线
中考数学专题复习题：角平分线一、单项选择题（共7小题）1．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，以顶点A为圆心，适当长为半径画弧，分别交AC，AB于点M，N．再分别以点M，N为圆心，大于1MN的长为半径画弧，两弧交于点P，2作射线AP交边BC于点D，若CD＝4，AB＝12，则△ABD的面积是（）A．12B．24C．36D．48第1题图第2题图第3题图2．如图，在Rt△ABC中，∠A=90°，∠ABC的平分线BD交AC于点D，若AD=2，BC=6，则△DBC的面积是（）A．12B．8C．6D．23．如图，在△ABC中，BD，CD分别是∠ABC和∠ACB的角平分线，过点D作DE⊥BC于点E．已知DE=1，△ABC的周长为14，则△ABC的面积为（）A．7B．14C．8D．164．如图，在△ABC中，∠C=90°，∠B=30°，以A为圆心，任意长为半径画弧分别交AB、AC于点M和N，再分别以M、N为圆心，大于1MN的长为半径画弧，两弧交于点P，2连结AP并延长交BC于点D，则下列说法中正确的个数是（）①AD是∠BAC的平分线；②∠ADC=60°；③点D在AB的中垂线上；④BD=2CD．A．4B．3C．2D．15．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，按以下步骤作图：①以B为圆心，任意长为半径作弧，分别交BA、BC于M、N两点；②分别以M、N为圆心，以大于1MN的长为半2径作弧，两弧相交于点P；③作射线BP，交边AC于D点，若AB=5,BC=3，则线段CD的长为（）A．32B．53C．43D．85第5题图第6题图第7题图6．如图，点D是△ABC的边BC上一点，连接AD，△ABD与△ACD的面积比是5:4，AB=10，AC=8，∠BAC=50°，则∠BAD的度数为（）A．20°B．25°C．30°D．35°7．如图，在△ABC中，CD是AB边上的高，BE平分∠ABC，交CD于点E，若BC=18，DE=8，则△BCE的面积等于（）A．36B．54C．63D．72二、填空题（共5小题）8．已知：如图，在ΔABC中，∠C=90°，AD平分∠CAB，BC=9cm，BD=6cm，那么AB的长是________．9．如图，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝90°，BD是∠ABC的平分线，DE⊥BC于E，若BC＝12，则△DEC的周长为________．10．如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，按下列方式作图：①以点C为圆心，适当长为半径画弧，分别交AC，BC于点F，G；②分别以点F，G为圆心，大于12FG的长度为半径画弧，两弧交于点H；③作射线CH交AB于点E，若AE=3，BC=7，则△BEC的面积为________．第10题图第11题图11．如图所示，已知△ABC的周长是30，OB，OC分别平分∠ABC和∠ACB，OD⊥BC于D，且OD=3，则△ABC的面积是________．12．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AD平分∠BAC交BC于D．若BD：DC=3：2，点D到AB的距离为6，则BC的长是________．三、解答题（共513．如图，请在△ABC内确定一点O，使得点O到△ABC的两边AB，AC的距离相等，且点O到A、B两点的距离相等．14．如图所示，在△ABC外作△ABD和△ACE，使AD=AB，AE=AC，且∠DAB=∠EAC=α，连接BE，CD相交于P点．（1）求证：△ADC≌△ABE．（2）∠DPB=________（用含α的代数式表示）．（3）求证：点A在∠DPE的平分线上．15．如图，BD//GE，∠AFG=∠1=50°，AQ平分∠FAC，交BD的延长线于点Q，交DE于点H，∠Q=15°，求∠CAQ的度数．16．如图所示，已知射线CB∥OA，∠C＝∠OAB＝120°，E、F在CB上，且满足∠FOB＝∠AOB，OE平分∠COF．（1）求∠EOB的度数．（2）若平行移动AB，那么∠OBC：∠OFC的值是否随之变化？若变化，请找出规律；若不变，求出这个比值．（3）在平行移动AB的过程中，是否存在某种情况，使∠OEC＝∠OBA？若存在，求出∠OEC度数；若不存在，请说明理由．17．数学活动：探究利用角的对称性构造全等三角形解决问题，利用角平分线构造“全等模型”解决问题，事半功倍．【问题提出】（1）尺规作图：如图1，用直尺和圆规作已知角的平分线的示意图，说明∠CAD=∠DAB的依据是△AFD≌△AED，这两个三角形全等的判定条件是________．【问题探究】（2）①构距离，造全等如图2，在四边形ABCD中，AB∥CD，∠B=90°,∠BAD和∠CDA的平分线AE,DE交于边BC 上一点E．过点E作EF⊥AD于点F．若BC=12cm，则EF=________cm．②巧翻折，造全等如图3，在△ABC中，AB<AC,AD是△ABC的角平分线，请说明∠B>∠C；小明在AC上截取AE=AB．连接DE，则△ABD≌△AED(SAS)．请继续完成小明的解答．【问题解决】（3）如图4，在△ABC中，∠A=60°,BE,CF是△ABC的两条角平分线，且BE,CF交于点P．请判断PE与PF之间的数量关系，并说明理由．。
人教版八年级下册数学专题复习及练习(含解析)：角的平分线的性质
专题12.3 角的平分线的性质1.角平分线的定义将一个已知的角平分为两个相等的角的射线叫做这个已知角的平分线。
2.作角平分线（尺规作图，四弧一线）角平分线的作法（尺规作图）①以点O为圆心，任意长为半径画弧，交OA、OB于C、D两点；②分别以C、D为圆心，大于CD长为半径画弧，两弧交于点P；③过点P作射线OP，射线OP即为所求．3.角平分线的性质定理：角平分线上的点到角的两边的距离相等。
符号语言：∵OP平分∠AOB，AP⊥OA，BP⊥OB，∴AP=BP.4.角平分线性质定理的逆定理：到角的两边距离相等的点在角的平分线上。
符号语言：∵AP⊥OA，BP⊥OB，AP=BP，∴点P在∠AOB的平分线上.5.角平分线的综合应用（1）为推导线段相等、角相等提供依据和思路；（2）实际生活中的应用．6.证明命题基本方法（1）明确命题中的已知和求（包括隐含条件，如公共边、公共角、对顶角、角平分线、中线、高、等腰三角形等所隐含的边角关系）（2）根据题意，画出图形，并用数字符号表示已知和求证.（3）经过分析，找出由已知推出求证的途径，写出证明过程.【例题1】已知：OC平分∠MON，P是OC上任意一点，PA⊥OM，PB⊥ON，垂足分别为点A、点B．求证：PA＝PB．【例题2】已知：点P是∠MON内一点，PA⊥OM于A，PB⊥ON于B，且PA＝PB．求证：点P在∠MON的平分线上．【例题3】已知：如图，在R t△ABC中，∠C＝90°，D是AC上一点，DE⊥AB于E，且DE＝DC．（1）求证：BD平分∠ABC；（2）若∠A＝36°，求∠DBC的度数．【例题4】如图，锐角△ABC的两条高BD、CE相交于点O，且OB=OC.(1)求证：△ABC是等腰三角形；(2)判断点O是否在∠BAC的角平分线上，并说明理由.【例题5】如图，在∆ABC中，∠C=90°，AD平分∠BAC，过点D作DE AB于点E，测得BC=9，BE=3，则∆BDE的周长是( )A.15B.12C.9D.6一、选择题1．已知：如图，点P在线段AB外，且PA=PB，求证：点P在线段AB的垂直平分线上，在证明该结论时，需添加辅助线，则作法不正确的是（）A．作∠APB的平分线PC交AB于点CB．过点P作PC⊥AB于点C且AC=BCC．取AB中点C，连接PCD．过点P作PC⊥AB，垂足为C2.如图，在∆ABC中，∠C=90°，AD平分∠BAC，过点D作DE AB于点E，测得BC=9，BE=3，则∆BDE 的周长是( )A.15B.12C.9D.63．如图，在△ABC中，CD平分∠ACB交AB于点D，过点D作DE∥BC交AC于点E．若∠A=54°，∠B=48°，则∠CDE的大小为（）A．44°B．40°C．39°D．38°4．如图，△ABC中，AD是BC边上的高，AE、BF分别是∠BAC、∠ABC的平分线，∠BAC=50°，∠ABC=60°，则∠EAD+∠ACD=（）A．75°B．80°C．85°D．90°二、填空题5.如图，OC为∠AOB的平分线，CM⊥OB，OC=5，OM=4，则点C到射线OA的距离为．6．如图，∠AOE=∠BOE=15°，EF∥OB，EC⊥OB于C，若EC=1，则OF=．7．如图，在△ABC中，AF平分∠BAC，AC的垂直平分线交BC于点E，∠B=70°，∠FAE=19°，则∠C=____度．三、解答题8.如图，∠1＝∠2，AE⊥OB于E，BD⊥OA于D，AE与BD相交于点C．求证：AC＝BC．9.如图，已知点D为等腰直角△ABC内一点，∠CAD=∠CBD=15°，E为AD延长线上的一点，且CE=CA.(1)求证：DE平分∠BDC；(2)若点M在DE上，且DC=DM，求证：ME=BD.10. 如图所示，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC，DA平分∠CAB交BC于D，问能否在AB上确定一点E，使△BDE的周长等于AB的长？若能，请作出点E，并给出证明；若不能，请说明理由．11.如图,在△ABC中，AD为角平分线，DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F，AB=10 cm，AC=8 cm，△ABC的面积是45 cm2，求DE的长．12.如图，OC是∠AOB的平分线，P是OC上一点，PD⊥OA交OA于点D，PE⊥OB交OB于点E，F是OC上的另一点，连接DF，EF．求证：DF=EF．13.如图，在四边形ABDC中，∠D=∠ABD=90°，点O为BD的中点，且OA平分∠BAC．求证：（1）OC平分∠ACD；（2）OA⊥OC；（3）AB+CD=AC．14.如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠A=40°，△ABC的外角∠CBD的平分线BE交AC的延长线于点E．（1）求∠CBE的度数；（2）过点D作DF∥BE，交AC的延长线于点F，求∠F的度数．专题12.3 角的平分线的性质1.角平分线的定义将一个已知的角平分为两个相等的角的射线叫做这个已知角的平分线。
微专题复习角平分线的性质及判定
微专题：角平分线的性质及判定1. 如图OP 是∠AOB 的平分线，点P 到OA 的距离为3，点是OB 上任意一点，则线段PN 的长度取值范围为（ ）A. PN<3B.PN>3C.PN ≥3D.PN ≤32. 如图，在△ABC 中，∠C=90︒，AD 平分∠BAC ，过点D 做DE ⊥AB 于点E ， 测得BC=9，BE=3，则△BDE 的周长是 。
3. 如图，在△ABC 中，AD 是角平分线，DE ⊥AB 于点E ，△ABC 的面积为7，AB=4，DE=2，则AC 的长是（ ）A.4B.3C.6D.54.如图，AD 是△ABC 的角平分线，若AB=2AC ，则ACD ABD S S ∆∆:= 。
5.如图，在△ABD 中，AD 平分∠BAC ，AB=6，AC=4，△ABD 的面积等于6，求△ADC 的面积。
6.如图，在Rt △ABC 中，∠ACB=90︒，AB=5，BC=3，AC=4，P 是∠BAC 、∠ABC 的平分线的交点，试求P 到AB 边的距离。
7. 如图，已知∠1=∠2，BA<BC ，P 为BN 上的一点，PF ⊥BC 于点F ，PA=PC ，求证：∠PCB+∠BAP=180︒.8.如图，已知在四边形ABCD 中，BC>BA ，AD=DC ，BD 平分∠ABC ，求∠A 和∠C 的和。
9．如图，在四边形ABCD 中，AC 平分∠BAD ，过C 作CE ⊥AB 于E ，并且AE=21（AB+AD ）， 求∠ABC+∠ADC 的度数。
10.如图，AD是△ABC的角平分线，DF⊥AB，垂足为F，DE=DG，△ADG和△AED的面积分别为49和40.求△EDF的面积。
11.如图，DE⊥AB交AB的延长线于点E，DF⊥AC于点F，若BD=CD，BE=CF，求证：AD平分∠BAC。
12.如图，在∠AOB的两边OA、OB上分别取OM=ON，OD=OE，DN和EM相交于点C，求证：点C 在∠AOB的平分线上。
初中考数学专题总复习《三角形》与角平分线有关的问题
第2题图
方法三 利用角平分线，构造对称图形 方法解读 (1)截取：如图，点P是∠MON的平分线上一点，点A是射线OM上任意一点， 连接AP.
【结论】△OPB≌△OPA
(2)延长：如图，P是∠MON的平分线上一点，AP⊥OP于点P. 【结论】△AOB是等腰三角形，AP＝BP，Rt△AOP≌Rt△BOP.
方法应用 3. 如图，在△ABC中，∠BAC＝108°，AB＝AC，CD平分∠ACB交AB于点D.若BD ＝4，BC＝9，则AC＝___5_____.
第3题图
4. 如图，D为△ABC内一点，CD平分∠ACB，BD⊥CD，∠A＝∠ABD，若BD＝1， BC＝3，则AC的长为____5____．
第4题图
与角平分线有关的问题
微专题 与角平分线有关的问题
方法一 过角平分线上的点向角两边作垂线 方法解读 已知点P是∠MON平分线上的一点，PA⊥OM于点A.
【结论】BP＝AP，Rt△AOP≌Rt△BOP.
方法应用 1. 如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC，AD平分∠CAB交BC于点D，过 点D作DE⊥AB于点E.若AB＝6，则△DEB的周长为__6______．
第1题图
方法二 角平分线遇平行线，构造(找)等腰三角形 方法解读 (1)如图，点P在∠AOB的平分线上．
【结论】OQ＝PQ，△POQ是等腰三角形．
【结论】OD＝OE，△EOD是等腰三角形．
方法应用 2. 如图，已知在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠ABC＝30°，BE平分∠ABC交 AC于点E，过E作EF∥BC交AB于点F.若EC＝1，则BF＝____2____．
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2.如图,△ABC中,AB=AC=10,BC=8,AD平分∠BAC 交BC于点D,DE∥AB,则△CDE的 周长为(14)
a
8
复习应用
三、角平分线+垂线，三线合一等腰现
（1）典型例题 1.如图，CE平分∠ACB，且CE⊥DE，∠DAB=∠DBA， AC=18，△CDB的周长为28，则BD的长为___8____
a
9
复习应用
四、截长补短在角边，对称以后关系现
例. 如图，等腰三角形ABC中，AB=AC，∠A=108°，BD平分 ∠ABC. 求证：BC=AB+DC.
证明：在BC上截取点E，使BE=BA，连接DE
∵ BD是∠ABC的平分线 ∴ ∠1=∠2， 又∵BD为公共边 ∴△ABD≌△EBD（SAS）
A
108°
2.如图，已知在△ABC中，CD是AB边上的高， BE平分∠ABC，交CD于点E，BC=5，DE=2， 则△BCE的面积等于__5_.
a
7
复习应用
二、角平分线+平行线，等腰三角形必呈现 （1）典型例题 1.如图,OP平分∠AOB,∠AOP=15°, PC∥OA，PD⊥OA于点D，OC=4， 则PD=_2__.
（4）
（1）角平分线，作垂线，对称全等要记全
（2）角平分线平行线，等腰三角形必呈现 （3）角平分线加垂线，三线合一等腰现 （4）截长补短在角边，对称以后关系现
融会贯通
例1.如图，在△ABC中，∠ABC=60°，AD、CE 分别平分∠BAC、∠ACB，AD、CE交于O. (1)求∠AOC的度数； (2)求证：OD=OE. (3)可证AC=AE+CD
a
1
关于角平分线的模型构造
学习目标:
1.能够灵活运用角平分线的性质和判定解决一些综合性题目 2.掌握在角平分线的两旁添加辅助线的方法
重点 ：角平分线的性质和判定的综合运用 难点：在角平分线上添加辅助线构造全等的方法
a
3
复习回顾
角平分线的定义？ 角平分线的性质？ 角平分线的判定？
a
4
◆ 角平分线
D
∴ ∠BED=∠A=108°
∴ ∠DEC=72°
又∵A=108°, AB=AC
∴ ∠C=∠ABC=36°
B
∴∠EDC=∠DEC=72°
∴EC= DC
∴ BC= BE+EC=AB+DC
a
72°
108° 72°
E
36°
C
10
模型总结
EA
A
A E
EA
E
P
P
P
P
O
FB O
BO
（3）
∵ PDOAPEOB PD = PE
E B
\ OP 是 AOB的平分线
用途：判定一条射线是角平分线或者两个角相等。
a
6
复习应用
一、角平分线，作垂线，对称全等要记全 (1)典型例题： 1.如图，OP平分∠AOB，PC⊥OA于C， PD⊥OB于D，M为OP上任一点， 连接CM、DM，则有CM和DM的 大小关系是（ B ） A. CM>DM B. CM=DM C. CM<DM D. 不能确定
a
12
融会贯通
变式1.如图,△PQR的外角∠PRN的平分 线PM与内角∠PQR的平分线QM交于点 M,∠QMR=40°，则∠RPM的度数为___. 50°
变式2：如图，在△ABC中，D为BC中 点，DE⊥BC交∠BAC的平分线AE于E， EF⊥AB于F，EG⊥AC交AC的延长线于 G， 求证：BF=CG
a
13
畅所欲言谈收获……
a
14
◆ 定义：像OC这样，从一个角的顶点出发， 把这个角分成相等的两个角的射线，叫作 这个角的角平分线．
A C
O B
a
5
复习
性质定理 角的平分线上的点到角的两边的距离相等。
∵ OP 是 AOB的平分线
PDOA PEOB
\ PD = PE
O
用途：证线段相等
D
A
C P
判定定理 角的内部到角的两边的距离 相等的点 在角的平分线上。