(完整版)中考复习2角平分线专题
【中考数学必备专题】几何辅助线大揭秘 之角平分线问题(含答案)
【中考数学必备专题】几何辅助线大揭秘之角
平分线问题
一、证明题(共3道，每道40分)
1.已知，如图，△ABC的外角∠CBD和∠BCE的平分线相交于点F.求证：点F在∠DAE的平分线上.
答案：∵BF是∠CBD的平分线∴FG=FI ∵CF是∠BCE的平分线∴FH=FI ∴FG=FH ∴点F在∠DAE的平分线上
解题思路：过F作FG⊥AD于点G，FH⊥AE于点H，FI⊥BC于点I，如图只要证明FG=FH即可
试题难度：三颗星知识点：三角形角平分线
2.如图，在△ABC中，AD为∠BAC的平分线，∠B=2∠C.求证：AC=AB+BD.
答案：∵AD是∠BAC的平分线∴∠BAD=∠EAD 在△ABD和△AED中AB=AE ∠BAD=∠EAD AD=AD ∴△ABD≌△AED（SAS）∴BD=ED，∠B=∠AED ∵∠AED=∠B=2∠C ∴∠CDE=∠AED ﹣∠C=∠C ∴DE=CE ∴BD=CE ∵AC=AE+CE ∴AC=AB+BD
解题思路：在AC上截取AE=AB，连接DE，如图只要证明BD=CE即可
试题难度：三颗星知识点：三角形角平分线
3.已知：如图，在△ABC中，BE平分∠ABC，AD⊥BE，垂足为点D.求证：∠BAD=∠DAE+∠C.
答案：∵BE平分∠ABC，AD⊥BE ∴△ABF为等腰三角形（三线合一）∴∠BAD=∠BFD ∵∠BFD 为△ACF的外角∴∠BFD=∠DAE+∠C ∴∠BAD=∠DAE+∠C
解题思路：延长AD与BC交于点F，如图只要证明∠BFD=∠BAD即可
试题难度：三颗星知识点：三角形角平分线。
2024辽宁中考数学二轮专题复习 微专题 遇到角平分线如何添加辅助线(课件)
2. 如图，AB∥CD，∠ABC的平分线与∠BCD的平分线相交于点E， AD过点E，且与AB互相垂直，点P为线段BC上一动点，连接PE.若 AD＝8，则PE的最小值为___4___．
第2题图
3. 如图，∠MON＝30°，OP平分∠MON，过点P作PQ∥OM交ON于 点Q.若OQ＝4，则点P到OM的距离为___2__．
微专题 遇到角平分线如何添加辅助线
方法一 过角平分线上一点向角两边作垂线
方法解读 如图，已知∠MON，点P是∠MON平分线上一点．
过角平分线上的点向角两边作垂线． 已知PA⊥OM， 添加辅助线，作PB⊥ON于点B.
结论：PA＝PB，OA＝OB，∠APO＝∠BPO等．
1. 如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°4 ，AD平分∠BAC交BC于点D，若 AC＝4，BC＝3，则CD的长为____3____．
第7题图
方法四 作角平分线的垂线，构造等腰三角形
方法解读 过角平分线上的点作角平分线的垂线，三线合一试试看． 已知AP⊥OP，延长AP交ON于点B.
结论：__R_t_△__A_O__P_≌__R_t_△__B_O__P_，__O_A__＝__O_B_，__A__P_＝__B_P__. __
8. 如图，D为△ABC内一点，CD平分∠ACB，BD⊥CD，∠A＝∠ABD. 若BD＝1，BC＝3，则AC的长为__5___．
结论：____△__A__O_P_≌__△__B__O_P_，__A__P_＝__B_P______
6. 如图，在△ABC中，∠A＝2∠B，CD是∠ACB的平分线，若AC＝ 16，AD＝8，则线段BC的长为__2_4___．
第6题图
7. 如图，四边形ABCD中，AC平分∠BAD，∠B＋∠ADC＝180°， 若BC＝2，则DC的长为__2___．
初三数学中考复习 三角形的角平分线 专题练习及答案
三角形的角平分线1. 在Rt△ABC中，∠C＝90°，若BC＝10，AD平分∠BAC交BC于点D，且BD∶CD＝3∶2，则点D到线段AB的距离为( )A. 3B. 4C. 5D. 62. 如图，已知DB⊥AN于点B，交AE于点O，OC⊥AM于点C，且OB＝OC，若∠EAN＝25°，则∠ADB等于( )A. 40°B. 50°C. 60°D. 75°3. 如图，AB∥CD，AD⊥DC，AE⊥BC，垂足分别为D，E，∠DAC＝35°，AD＝AE，则∠B等于( )A．50° B．60° C．70° D．80°4. 如图，在△ABC中，∠B＝30°，AD平分∠BAC，DE垂直平分AB，垂足为E，若BD＝6cm，则CD等于( )A. 1cmB. 2cmC. 3cmD. 5cm5. 如图，BO，CO分别平分∠ABC和∠ACB，OD⊥BC于点D，且OD＝3.若△ABC 的周长是22，则△ABC的面积是( )A. 28B. 30C. 32D. 336. 如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，以A为圆心，任意长为半径画弧分别交AB，AC于点M和N，再分别以M，N为圆心，大于12MN的长为半径画弧，两弧交于点P，连接AP并延长交BC于点D，则下列说法中正确的个数是( )①AD是∠BAC的平分线；②∠ADC＝60°；③点D在AB的垂直平分线上；④S△DAC∶S△ABC＝1∶3.A．1个 B．2个 C．3个 D．4个7. 如图，AB∥CD，AD⊥DC，AE⊥BC，垂足分别为D，E，∠DAC＝35°，AD＝AE，则∠B等于( )A．50° B．60° C．70° D．80°8. 如图，O为△ABC内任意一点，OD⊥AB于点D，OE⊥AC于点E，OF⊥BC于点F，若OD＝OE＝OF，连接OA，OB，OC，下列结论不一定正确的是( )A．△BOD≌△BOF B．∠OAD＝∠OBF C．∠COE＝∠CO F D．AD＝AE 9. 如图，在△ABC中，∠ABC＝120°，∠C＝26°，且DE⊥AB，DF⊥AC，DE ＝DF，则∠ADC的度数为____．10. 如图，OP平分∠MON，PA⊥ON于点A，点Q是射线OM上的一个动点，若PA＝2，则PQ的最小值为11. 如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB，垂足为E，DE＝1，则BC=12. 如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，AD是△ABC的角平分线．若CD＝3cm，则BD的长为____cm.13. 如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC，AD平分∠CAB交BC于点D，DE⊥AB 于点E，且AB＝6cm，则△BED的周长是____ cm.14. 如图，在△ABC中，∠BAC＝60°，点D在BC上，DE⊥AB于点E，DF⊥AC 于点F，且DE＝DF，若DE＝4，则AD＝____．15. 在△ABC中，∠C＝90°，O为△ABC三条角平分线的交点，OD⊥BC于点D，OE⊥AC于点E，OF⊥AB于点F，且AB＝10 cm，BC＝8 cm，AC＝6 cm，则点O到三边AB，AC，BC的距离分别为 cm， cm， cm 16. 如图，∠AOE＝∠BOE＝15°，EF∥OB，EC⊥OB，若EC＝1，则EF＝____．17. 如图，△ABC是等边三角形，P是∠ABC的平分线上一点，PE⊥AB于点E，线段BP的垂直平分线交BC于点F，垂足为点Q.若BF＝2，则PE的长为18. 如图，已知BE⊥AC，CF⊥AB，垂足分别为E，F，BE，CF相交于点D，若BD＝CD，求证：AD平分∠BAC.19. 如图，已知BD是∠ABC的平分线，AB＝BC，点P在射线BD上，PM⊥AD 于点M，PN⊥CD于点N.求证：PM＝PN.20. 如图，AD是△ABC中∠BAC的平分线，DE⊥AB于点E，S△ABC＝7，DE＝2，AB＝4，求AC的长．参考答案：11 1---8 BACCD DCB9. 137°10. 211. 312. 613. 614. 815. 2 2 216. 2 17. 318. 解：在△BDF 和△CDE 中，∠BFD ＝∠CED ＝90°，∠FDB ＝∠EDC ，BD ＝CD ，∴△BDF ≌△CDE(AAS)，∴DF ＝DE ，又∵DF ⊥AB ，DE ⊥AC ，∴AD 平分∠BAC19. 解：在△ABD 和△CBD 中，AB ＝CB ，∠ABD ＝∠CBD ，BD ＝BD ，∴△ABD ≌△CBD(SAS)，∴∠ADB ＝∠CDB ，又∵∠ADB ＋∠ADP ＝∠CDB ＋∠CDP ＝180°，∴∠ADP ＝∠CDP ，∴DP 平分∠ADC ，又∵PM ⊥AD ，PN ⊥CD ，∴PM ＝PN20. 解：过点D 作DF⊥AC，∵AD 是∠BAC 平分线，DE ⊥AB ，∴DF ＝DE ＝2，∵S △ABD ＝4×22＝4，∴S △ACD ＝7－4＝3， ∴2AC 2＝3，即AC ＝3。
2022年中考数学几何模型之角平分线的五种模型(讲+练)(解析版)
专题01 角平分线的五种模型模型一、角平分线垂两边例1.如图，AD是△ABC的角平分线，且AB：AC＝3：2，则△ABD与△ACD的面积之比为（）A．3：2B．6：4C．2：3D．不能确定【答案】A【详解】过点D作DE⊥AB于E，DF⊥AC于F．∵AD为∠BAC的平分线，∴DE=DF，又AB：AC=3：2，∴S△ABD：S△ACD=（12AB•DE）：（12AC•DF）=AB：AC=3：2．故选A．例2.如图，∠AOP＝∠BOP＝15°，PC//OA，PD⊥OA，若PC＝4，则PD的长为___．【答案】2【详解】解：过P作PE⊥OB，交OB与点E，∵∠AOP＝∠BOP，PD⊥OA，PE⊥OB，∴PD＝PE，∵PC//OA，∴∠CPO＝∠POD，又∠AOP＝∠BOP＝15°，∴∠CPO＝∠BOP＝15°，又∠ECP为△OCP的外角，∴∠ECP＝∠COP＋∠CPO ＝30°，在直角三角形CEP 中，∠ECP ＝30°，PC ＝4，∴PE ＝12PC ＝2，则PD ＝PE ＝2．故答案为：2． 【变式训练1】如图所示，在四边形ABCD 中，DC //AB ，∠DAB =90°，AC ⊥BC ，AC =BC ，∠ABC 的平分线交A D ，AC 于点E 、F ，则BFEF的值是___________.11221BCBC BC ==--【详解】解：如图，作FG ⊥AB 于点G ，∠DAB -90°，∴FG /AD ，∴BF EF =BGAGAC ⊥BC ，∴∠ACB =90° 又BF 平分∠ABC ，∴FG =FC 在Rt △BGF 和Rt △BCF 中BF BFCF GF=⎧⎨=⎩ ∴△BGF ≌△BCF （HL ），∴BC =BGAC =BC ，∴∠CBA =45°，∴AB =2BC1BF BG BC EF AG AB BG ∴====- 【变式训练2】如图，BD 平分ABC 的外角∠ABP ，DA =DC ，DE ⊥BP 于点E ，若AB =5，BC =3，求BE 的长．【答案】1【详解】解：过点D 作BA 的垂线交AB 于点H ，∵BD平分△ABC的外角∠ABP，DH⊥AB，∴DE＝DH，在Rt△DEB和Rt△DHB中，DE DHDB DB=⎧⎨=⎩，∴Rt△DEB≌Rt△DHB（HL），∴BE＝BH，在Rt△DEC和Rt△DHA中，DE DHDC DA=⎧⎨=⎩，∴Rt△DEC≌Rt△DHA（HL），∴AH＝CE，由图易知：AH＝AB−BH，CE＝BE＋BC，∴AB−BH＝BE＋BC，∴BE＋BH＝AB−BC＝5−3＝2，而BE＝BH，∴2BE＝2，故BE＝1．【变式训练3，的平分线相交于点E，过点E作交AC于点F，则EF的长为.【答案】【解析】延长FE交AB于点D G H，如图所示：四边形BDEG是矩形，平分CE平分，四边形BDEG是正，，设，则，，，解得，，即，解得，.模型二、角平分线垂中间例．如图，已知，90,,BAC AB AC BD ∠=︒=是ABC ∠的平分线，且CE BD ⊥交BD 的延长线于点E ．求证：2BD CE =． 【答案】见解析【详解】证明：如图，延长CE 与BA 的延长线相交于点F ，∵90,90EBF F ACF F ∠+∠=︒∠+∠=︒，∴EBF ACF ∠=∠，在ABD △和ACF 中，EBF ACF AB AC BAC CAF ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩，∴()ABD ACF ASA △≌△，∴BD CF =，∵BD 是ABC ∠的平分线，∴EBC EBF ∠=∠．在BCE ∆和BFE ∆中，EBC EBF BE BE CEB FEB ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩，∴()BCE BFE ASA ≌△△， ∴CE EF =，∴2CF CE =， ∴2BD CF CE ==．【变式训练1】如图，已知△ABC ，∠BAC ＝45°，在△ABC 的高BD 上取点E ，使AE ＝BC ． （1）求证：CD ＝DE ；（2）试判断AE 与BC 的位置关系？请说明理由；【答案】（1）见解析；（2）AE BC ⊥，理由见解析；（3）【详解】（1）证明：∵BD AC ⊥，45BAC ∠=︒，∴90,45EDA BDC ABD BAD ∠=∠=︒∠=∠=︒，∴AD BD =，在Rt ADE △和Rt BDC 中，∵AD BDAE BC =⎧⎨=⎩ ∴()Rt ADE Rt BDC HL ≅，∴CD ＝DE ； （2）AE BC ⊥，理由如下：如图，延长AE ，交BC 于点F ， 由（1）得,90EAD EBF EAD AED ∠=∠∠+∠=︒，∵AED AEF ∠=∠，∴90BEF EBF ∠+∠=︒，∴90EFB =︒，即AE BC ⊥；【变式训练2】如图，D 是△ABC 的BC 边的中点，AE 平分∠BAC ，AE ⊥CE 于点E ，且AB =10，AC =16，则DE 的长度为________【答案】3【解答】解：如图，延长CE ，AB 交于点F .AE 平分∠BAC ，AE ⊥EC ，∴∠F AE =∠CAE ，∠AEF =∠AEC =90°在△AFE 和△ACE 中，EAF EAC AE AE AEF AEC =⎧⎪=⎨⎪=⎩∠∠∠∠，∴△AFE ≌ACE （ASA ），∴AF =AC =16，EF =EC ，∴B F =6又D 是BC 的中点，∴BD =CD ，∴DE 是△CBF 的中位线，∴DE =12BF =3，故答案为：3. 【变式训练3】如图，在ABC ∆中，CD 是ACB ∠的平分线，AD CD ⊥于点D ,DE //BC 交AB 于点E ，求证:EA EB =.【答案】见解析【解答】证明：延长AD 交BC 于点F .CD 平分ACF ∠, ACD FCD ∴∠=∠.又,,AD CD CD CD ⊥=ADC ∴∆≌FDC ∆,AD FD ∴=. 又DE ∥BC ,EA EB ∴=.模型三、角平分线+平行线构造等腰三角形例.如图所示，在△ABC 中，BC =6，E 、F 分别是AB 、AC 的中点，动点P 在射线EF 上，BP 交CE 于D，∠CBP 的平分线交CE 于Q ，当CQ =13CE 时，EP +BP =________.【答案】12【解答】解：如图，延长BQ 交射线EF 于点M .E 、F 分别是AB 、AC 的中点，∴EF //BC ，∴∠CBM =∠EMBBM 平分∠ABC ，∴∠ABM =∠CBM ，∴∠EMB =∠EBM ，∴EB =EM ，∴EP +BP =EP +PM =EM CQ =13CE ，∴EQ =2CQ由EF //BC 得，△EMQ ∽△CBQ∴2 212 12EM EQEM BC EP BP BC CQ==∴==∴+=【变式训练1】如图，平分于点C ，，求OC 的长？【解析】如图所示：过点D 作交OA 于点E ，则，平分，，中，，.【变式训练2C=90°，AD平分∠CAB，BE平分∠ABC，AD、BE相交于点F，且，则AC=．【解析】过点E于G，连接CF，如图所示：分别是，CF是的平分线，，，由勾股定理可得.模型四、利用角平分线作对称例.平分.【答案】见解析【解析】证明：在AB上截取，连接DE，如图所示：.【变式训练】AD是△ABC的角平分线，过点D作DE⊥AB于点E，且DE＝3，S△ABC＝20．（1）如图1，若AB＝AC，求AC的长；（2）如图2，若AB＝5，请直接写出AC的长．【答案】（1）203；（2）253【详解】解：（1）如图1，作DF⊥AC于F，∵AD 是△ABC 的角平分线，DE ⊥AB ，DF ⊥AC ，∴DF ＝DE ＝3， 由题意得，12×AB ×3＋12×AC ×3＝20，解得，AC ＝AB ＝203； （2）如图2，作DF ⊥AC 于F ，∵AD 是△ABC 的角平分线，DE ⊥AB ，DF ⊥AC ，∴DF ＝DE ＝3， 由题意得，12×5×3＋12×AC ×3＝20，解得，AC ＝253． 模型五、内外模型例.如图，在△ABC 中，AB=AC ，∠A=30°，E 为BC 延长线上一点，∠ABC 与∠AC E 的平分线相交于点D ，则∠D 的度数为（ ）A ．15°B ．17.5°C ．20°D ．22.5°【答案】A4321DA【解析】∵∠ABC与∠AC E的平分线相交于点D，∴∠DCE=∠DCA，∠CBD=∠ABD，即.的外角的平分线CP与内角BP交于点P，若，则.【解析】平分平分又，过点P的延长线，垂足分别为点E、F、G，如图所示：由角平分线的性质可得，AP是.课后训练1．如图，BD是ABC的外角∠ABP的角平分线，DA＝DC，DE⊥BP于点E，若AB＝5，BC＝3，则BE 的长为（）A ．2B ．1.5C ．1D ．0【答案】C【详解】解：如图，过点D 作DF AB ⊥于F ，BD 是ABP ∠的角平分线，DF AB ⊥，DE ⊥BP ，DE DF ∴=，在Rt BDE 和Rt BDF 中，BD BDDE DF =⎧⎨=⎩，()Rt BDE Rt BDF HL ∴△≌△，BE BF ∴=，在Rt ADF 和Rt CDE △中，DA DCDE DF=⎧⎨=⎩，()Rt ADF Rt CDE HL ∴△≌△，AF CE ∴=，AF AB BF =-，CE BC BE =+，AB BF BC BE ∴-=+，2BE AB BC ∴=-，5AB =，3BC =，2532BE ∴=-=，解得：1BE =．故选：C ．2．如图，AD 是ABC 中BAC ∠的平分线，DE AB ⊥交AB 于点E ，DF AC ⊥交AC 于点F ，若7ABC S =△，32=DE ，5AB =，则AC 的长为（ ）A ．133B ．4C ．5D ．6【答案】A【详解】∵AD 是ABC ∆中BAC ∠的平分线，DE AB ⊥于点E ，DF AC ⊥交AC 于点F ，∴32DF DE ==． 又∵ABCABD ACDSSS=+，5AB =，∴1313752222AC =⨯⨯+⨯⨯，∴133AC =．故选：A ． 3．如图，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，∠BAC 的平分线交BC 于点D ，CD ＝2，BD ＝3，Q 为AB 上一动点，则DQ 的最小值为（ ）A．1B．2C．2.5D【答案】B【详解】解：作DH⊥AB于H，如图，∵AD平分∠BAC，DH⊥AB，DC⊥AC，∴DH=DC=2，∵Q为AB上一动点，∴DQ的最小值为DH的长，即DQ的最小值为2．故选：B．4．如图，已知在四边形ABCD中，∠BCD＝90°，BD平分∠ABC，AB＝6，BC＝9，CD＝4，则四边形ABCD 的面积是______．【答案】30【详解】过D作DE⊥AB，交BA的延长线于E，则∠E＝∠C＝90°，∵∠BCD＝90°，BD平分∠ABC，∴DE＝DC=4，∴四边形ABCD的面积S＝S△BCD＋S△BAD＝12×BC×CD＋12×AB×DE＝12×9×4＋12×6×4＝30，故答案为：30．5．如图，在△ABC中，AD为△ABC的角平分线，DE⊥AB，垂足为E，DF⊥AC，垂足为F，若AB=5，AC=3，DF=2，则△ABC的面积为______．【答案】8【详解】解：∵AD为△ABC的角平分线，DE⊥AB，DF⊥AC，∴DE=DF=2，∴△ABC的面积=12×5×2+12×3×2=8，故答案侍：8．6．在△ABC中，∠ABC＝62°，∠ACB＝50°，∠ACD是△ABC的外角∠ACD和∠ABC的平分线交于点E，则∠AEB＝_____︒【答案】25【详解】解：如图示：过点E ，分别作EF BD ⊥交BD 于点E ，EG AC ⊥交AC 于点G ，EH AB ⊥，交AB 延长线于点H ， ∵BE 平分ABC ∠，CE 平分ACD ∠，∴EH EF =，EG EF =，∴EH EG =，∴AE 平分HAC ∠， ∵62ABC ∠=︒，50∠=°ACB ，∴6250112HAC ABC ACB ∠=∠+∠=︒+︒=︒，∴111125622EAO HAC ∠=∠=⨯︒=︒， ∵BE 平分ABC ∠，62ABC ∠=︒∴11623122EBC ABC ∠=∠=⨯︒=︒ 在AOE △和BOC 中，OBC OCB OAE AEB ∠+∠=∠+∠∴31505625AEB OBC OCB OAE ∠=∠+∠-∠=︒+︒-︒=︒，故答案是：25． 7．如图，DE ⊥AB 于E ，DF ⊥AC 于F ，若BD =CD ，BE =CF ．（1）求证：AD 平分∠BAC ：（2）已知AC =18，BE =4，求AB 的长． 【答案】（1）见解析；（2）10AB =．【详解】（1）证明：DE AB ∵⊥，DF AC ⊥，90E DFC ∴∠=∠=︒，在Rt BED 和Rt CFD △中，BD CD BE CF =⎧⎨=⎩，∴Rt BED Rt CFD ≅()HL ，DE DF ∴=，DE AB ∵⊥，DF AC ⊥，AD ∴平分BAC ∠；（2）解：DE DF =，AD AD =，Rt ADE Rt ADF ∴≅()HL ，AE AF ∴=，AB AE BE AF BE AC CF BE =-=-=--，184410AB ∴=--=．8．如图1，在平面直角坐标系中，△ABC 的顶点A （-4，0），B （0，4），AD ⊥BC 交BC 于D 点，交y 轴正半轴于点E （0，t ）（1）当t=1时，点C 的坐标为 ； （2）如图2，求∠ADO 的度数；（3）如图3，已知点P （0，3），若PQ ⊥PC ，PQ=PC ，求Q 的坐标（用含t 的式子表示）． 【答案】（1）点C 坐标（1，0）；（2）∠ADO =45°；（3）Q （-3，3-t ）． 【详解】（1）如图1，当t =1时，点E （0，1）， ∵AD ⊥BC ， ∴∠EAO +∠BCO =90°， ∵∠CBO +∠BCO =90°，∴∠EAO =∠CBO ，在△AOE 和△BOC 中，∵90EAO CBOAO BO AOE BOC ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠︒⎩＝，∴△AOE ≌△BOC （ASA ），∴OE =OC =1，∴点C 坐标（1，0）． 故答案为：（1，0）；（2）如图2，过点O 作OM ⊥AD 于点M ，作ON ⊥BC 于点N ，∵△AOE ≌△BOC ，∴S △AOE =S △BOC ，且AE =BC ， ∵OM ⊥AE ，ON ⊥BC ，∴OM =ON ，∴OD 平分∠ADC ；AD ⊥BC ，90ADC ∴∠=︒∴∠ADO =1452ADC ∠=︒；（3）如图3，过P 作GH ∥x 轴，过C 作CG ⊥GH 于G ，过Q 作QH ⊥GH 于H ，交x 轴于F ，∵P （0，3），C （t ，0），∴CG =FH =3，PG =OC =t ， ∵∠QPC =90°，∴∠CPG +∠QPH =90°， ∵∠QPH +∠HQP =90°，∴∠CPG =∠HQP ，∵∠QHP=∠G=90°，PQ=PC，∴△PCG≌△QPH，∴CG=PH=3，PG=QH=t，∴Q（-3，3-t）．。
【2020中考数学专项复习】角平分线模型探究
【中考专项复习】角平分线模型【回归概念】（一）定理：角平分线定义（Angle bisector definition）从一个角的顶点引出一条射线，把这个角分成两个完全相同的角，这条射线叫做这个角的角平分线。
三角形三条角平分线的交点叫做三角形的内心。
三角形的内心到三边的距离相等，是该三角形内切圆的圆心。
1.角平分线分得的两个角相等，都等于该角的一半。
（定义）2·角平分线上的点到角的两边的距离相等。
3.三角形的三条角平分线交于一点，称作三角形的内心。
三角形的内心到三角形三边的距离相等。
4.三角形一个角的平分线，这个角平分线其对边所成的两条线段与这个角的两邻边对应成比例。
（二）与角平分线相关的模型1.角平分线+平行线—等腰三角形（见下图1）2.过角平分线上的点作角两边的垂线（见下图2）3.角平分线的两端过角的顶点取相等的两条线段构造全等三角形（见下图3）4.过角平分线上一点作角平分线的垂线，从而得到等腰三角形（见下图4）【规律探寻】1.两个内角平分线的夹角：三角形两内角的平分线的夹角等于90°与第三个内角的一半的和。
2.一个内角平分线和一个外角平分线的夹角三角形一内角与另外一外角的平分线的夹角等于第三个内角的一半。
3.两个外角平分线的夹角三角形两个外角的平分线的夹角等于90°与第三个内角的一半的差。
【典例解析】例题1：如图，要在S区建一个贸易市场，使它到铁路和公路距离相等，离公路与铁路交叉处500米，这个集贸市场应建在何处（比例尺为1︰20000）？【点拨】根据角平分线的判定定理，要求作的点到两边的距离相等，一般需作这两边直线形成的角的平分线，再在这条角平分线上根据要求取点.【解析】解：作夹角的角平分线OC，截取OD=2.5cm ,D即为所求.【例题2】已知：如图，△ABC的角平分线BM，CN相交于点P，求证：点P到三边AB，BC，CA的距离相等.证明：过点P作PD，PE，PF分别垂直于AB，BC，CA，垂足分别为D，E，F.∵BM是△ABC的角平分线，点P在BM上，∴PD=PE.同理PE=PF.∴PD=PE=PF.即点P到三边AB，BC，CA的距离相等.【达标检测】1. （2018·湖南省常德·3分）如图，已知BD是△ABC的角平分线，ED是BC的垂直平分线，∠BAC=90°，AD=3，则CE的长为（）A．6 B．5 C．4 D．3【分析】根据线段垂直平分线的性质得到DB=DC，根据角平分线的定义、三角形内角和定理求出∠C=∠DBC=∠ABD=30°，根据直角三角形的性质解答．【解答】解：∵ED是BC的垂直平分线，∴DB=DC，∴∠C=∠DBC，∵BD是△ABC的角平分线，∴∠ABD=∠DBC，∴∠C=∠DBC=∠ABD=30°，∴BD=2AD=6，∴CE=CD×cos∠C=3，故选：D．【点评】本题考查的是线段垂直平分线的性质、直角三角形的性质，掌握线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等是解题的关键．2. （2018•扬州）在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB于D，CE平分∠ACD交AB于E，则下列结论一定成立的是（）A．BC=EC B．EC=BE C．BC=BE D．AE=EC【分析】根据同角的余角相等可得出∠BCD=∠A，根据角平分线的定义可得出∠ACE=∠DCE，再结合∠BEC=∠A+∠ACE、∠BCE=∠BCD+∠DCE即可得出∠BEC=∠BCE，利用等角对等边即可得出BC=BE，此题得解．【解答】解：∵∠ACB=90°，CD⊥AB，∴∠ACD+∠BCD=90°，∠ACD+∠A=90°，∴∠BCD=∠A．∵CE平分∠ACD，∴∠ACE=∠DCE．又∵∠BEC=∠A+∠ACE，∠BCE=∠BCD+∠DCE，∴∠BEC=∠BCE，∴BC=BE．故选：C．3. （2019•广西北部湾经济区•3分）如图，在△ABC中，AC=BC，∠A=40°，观察图中尺规作图的痕迹，可知∠BCG的度数为（）A. 40°B. 45°C. 50°D. 60°【答案】C【分析】利用等腰三角形的性质和基本作图得到CG⊥AB，则CG平分∠ACB，利用∠A=∠B和三角形内角和计算出∠ACB，从而得到∠BCG的度数．【解析】解：由作法得CG⊥AB，∵AB=AC，∴CG平分∠ACB，∠A=∠B，∵∠ACB=180°-40°-40°=100°，∴∠BCG=∠ACB=50°．故选：C．4. （2018•山东枣庄•3分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB，垂足为D，AF平分∠CAB，交CD于点E，交CB于点F．若AC=3，AB=5，则CE的长为（）A．B．C．D．【分析】根据三角形的内角和定理得出∠CAF+∠CFA=90°，∠FAD+∠AED=90°，根据角平分线和对顶角相等得出∠CEF=∠CFE，即可得出EC=FC，再利用相似三角形的判定与性质得出答案．【解答】解：过点F作FG⊥AB于点G，∵∠ACB=90°，CD⊥AB，∴∠CDA=90°，∴∠CAF+∠CFA=90°，∠FAD+∠AED=90°，∵AF平分∠CAB，∴∠CAF=∠FAD，∴∠CFA=∠AED=∠CEF，∴CE=CF，∵AF平分∠CAB，∠ACF=∠AGF=90°，∴FC=FG，∵∠B=∠B，∠FGB=∠ACB=90°，∴△BFG∽△BAC，∴=，∵AC=3，AB=5，∠ACB=90°，∴BC=4，∴=，∵FC=FG，∴=，解得：FC=，即CE的长为．故选：A．【点评】本题考查了直角三角形性质、等腰三角形的性质和判定，三角形的内角和定理以及相似三角形的判定与性质等知识，关键是推出∠CEF=∠CFE．5. （2018•广安）如图，∠AOE=∠BOE=15°，EF∥OB，EC⊥OB于C，若EC=1，则OF= 2 ．【分析】作EH⊥OA于H，根据角平分线的性质求出EH，根据直角三角形的性质求出EF，根据等腰三角形的性质解答．【解答】解：作EH⊥OA于H，∵∠AOE=∠BOE=15°，EC⊥OB，EH⊥OA，∴EH=EC=1，∠AOB=30°，∵EF∥OB，∴∠EFH=∠AOB=30°，∠FEO=∠BOE，∴EF=2EH=2，∠FEO=∠FOE，∴OF=EF=2，故答案为：2．6. （2018•德州）如图，OC为∠AOB的平分线，CM⊥OB，OC=5，OM=4，则点C到射线OA的距离为．【分析】过C作CF⊥AO，根据勾股定理可得CM的长，再根据角的平分线上的点到角的两边的距离相等可得CF=CM，进而可得答案．【解答】解：过C作CF⊥AO，∵OC为∠AOB的平分线，CM⊥OB，∴CM=CF，∵OC=5，OM=4，∴CM=3，∴CF=3，故答案为：3．7. 如图所示，已知△ABC中，PE∥AB交BC于点E，PF∥AC交BC于点F，点P是AD上一点，且点D 到PE的距离与到PF的距离相等，判断AD是否平分∠BAC，并说明理由．解：AD平分∠BAC．理由如下：∵D到PE的距离与到PF的距离相等，∴点D在∠EPF的平分线上．∴∠1＝∠2．又∵PE∥AB，∴∠1＝∠3．同理，∠2＝∠4．∴∠3＝∠4，∴AD平分∠BAC．8. 如图，在直角△ABC中，AC=BC,∠C＝900，AP平分∠BAC，BD平分∠ABC;AP,BD交于点O，过点O 作OM⊥AC,若OM＝4.(2)若△ABC的面积为32，求△ABC的周长.解：连接OC1112221()21432642ABC AOC BOC AOBS S S S AB OE BC ON AB OM OM AB BC OM ∆∆∆∆=++=⋅+⋅+⋅=++=⨯⨯=9. （2018•宜昌）如图，在Rt △ABC 中，∠ACB=90°，∠A=40°，△ABC 的外角∠CBD 的平分线BE 交AC 的延长线于点E ． （1）求∠CBE 的度数；（2）过点D 作DF ∥BE ，交AC 的延长线于点F ，求∠F 的度数．【分析】（1）先根据直角三角形两锐角互余求出∠ABC=90°﹣∠A=50°，由邻补角定义得出∠CBD=130°．再根据角平分线定义即可求出∠CBE=∠CBD=65°；（2）先根据三角形外角的性质得出∠CEB=90°﹣65°=25°，再根据平行线的性质即可求出∠F=∠CEB=25°．【解答】解：（1）∵在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠A=40°，∴∠ABC=90°﹣∠A=50°，∴∠CBD=130°．∵BE是∠CBD的平分线，∴∠CBE=∠CBD=65°；（2）∵∠ACB=90°，∠CBE=65°，∴∠CEB=90°﹣65°=25°．∵DF∥BE，∴∠F=∠CEB=25°．10. 如图．已知在△ABC中，∠A、∠B的角平分线交于点O，过O作OP⊥BC于P，OQ⊥AC于Q，OR ⊥AB于R，AB=7，BC=8，AC=9．（1）求BP、CQ、AR的长．（2）若BO的延长线交AC于E，CO的延长线交AB于F，若∠A=60゜，求证：OE=OF．分析：（1）根据角平分线性质得出OR=OQ=OP，根据勾股定理起床AR=AQ，CQ=CP，BR=BP，得出方程组，求出即可；（2）过O作OM⊥AC于肘，ON⊥AB于N，求出OM=ON，证出△FON≌△EOM即可．解：连接AO，OB，OC，∵OP⊥BC，OQ⊥AC，OR⊥AB，∠A、∠B的角平分线交于点O，∴OR=OQ，OR=OP，∴由勾股定理得：AR2=OA2﹣OR2，AQ2=AO2﹣OQ2，∴AR=AQ，同理BR=BP，CQ=CP，即O在∠ACB角平分线上，设BP=BR=x，CP=CQ=y，AQ=AR=z，则x=3，y=5，z=4，∴BP=3，CQ=5，AR=4．（2）过O作OM⊥AC于M，ON⊥AB于N，∵O在∠A的平分线，∴OM=ON，∠ANO=∠AMO=90°，∵∠A=60°，∴∠NOM=120°，∵O在∠ACB、∠ABC的角平分线上，∴∠EBC+∠FCB=（∠ABC+∠ACB）=×（180°﹣∠A）=60°，∴∠FON=∠EOM，在△FON和△EOM中∴△FON≌△EOM，∴OE=OF．。
中考数学总复习《借助角平分线构造全等三角形》专题(含答案)
借助角平分线构造全等三角形一 、填空题1.如图，ABC △中，AD 平分BAC ∠，AB BD AC +=，则:B C ∠∠= ．二 、解答题2.如图，在ABC △中，AC BC =，90ACB ∠=︒，D 是AC 上一点，AE BD ⊥交BD 的延长线于E ，且12AE BD =．求证：BD 是ABC ∠的角平分线．3.在ABC ∆中，AB AC >，AD 是BAC ∠的平分线．P 是AD 上任意一点．求证：AB AC PB PC ->-．4.如图，P 是ABC ∆的外角EAC ∠的平分线AD 上的点（不与A 重合）求证：PB PC AB AC +>+ABDDCBAEDECBAF ABCEDDPCBAEDPCBAEDP CBAF EDP C BA5.如图，在ABC △中，2B C ∠=∠，AD 为BAC ∠的平分线．求证：AC AB BD =+．6.如图，已知ABC △中，90BAC ︒∠=，AB AC =，BE 平分ABC ∠，CE BD ⊥ 求证：2BD CE =.7.如图，AC 平分BAD ∠，CE AB ⊥，且180B D ∠+∠=︒，求证：AE AD BE =+.8.如图，ABC △中，AD 平分BAC ∠，DG BC ⊥且平分BC ，DE AB ⊥于E ，DF AC⊥于F .（1）说明BE CF =的理由；（2）如果AB a =，AC b =，求AE BE 、的长.9.如图，BC BA >，BD 平分ABC ∠，且AD CD =，求证：180A C ∠+∠=︒.D C B A EAB C D DCBAFEDCBAFEDCBAE DCBAFE D CBAGFE DC BAGFEDC BAC DABEDCBA借助角平分线构造全等三角形答案解析一 、填空题1.2:1;【解析】根据角平分线的对称性，将ABD ∆翻折，如图，则AC AE EC AB EC =+=+，BD DE =,结合已知条件“AB BD AC +=”，可得BD DE EC ==，∴DEC ∆为等腰三角形思路二，可将ADC ∆进行翻折，分析略二 、解答题2.延长BC 、AE 交于F 点，先证明AFC BDC ≌△△()SAS ，得2AF BD AE ==，则AE FE =，再证ABE FBE ≌△△．【解析】结论要证明：“BD 是ABC ∠的角平分线”，而且已知条件中有“12AE BD =”，即“2BD AE =”因此可以通过沿BD 翻折“AEB ∆”构造“2AE ”，但是，问题在于“BD 是ABC ∠的角平分线”是我们所需要证明的结论，而并非已知条件，所以辅助线的描述方式为：“延长AE 、BC 交于点F ” 3.AD 为角平分线，将APC ∆沿AD 翻折，点C 落在点E ，连接PE ，则AE AC =，PE PC =，∴可以将问题“AB AC PB PC ->-”转化为“AB AE PB PE ->-”，则用PBE ∆三边关系很容易能够解决 4.在AE 上截取一点F 使得AF AC =，其他略【解析】AD 为角平分线，将APC ∆沿AD 翻折，点C 落在点F ，连接PF ，则AF AC =，PF PC =，∴可以将问题“PB PC AB AC +>+”转化为“PB PF AB AF +>+”，则用PBF ∆三边关系很容易能够解决5.思路一、如图，在AC 上截取AE AB =，连接DE ，可证ABD AED ∆∆≌()SAS ，因此可得AB AE =，BD DE =，B AED ∠=∠，∵2B C ∠=∠ ∴2AED C ∠=∠ ∴D C ∠=∠ ∴DE EC = ∴BD EC = ∴AC AB BD =+ 思路二、略【解析】辅助线：有两个基本思路，一是将ABD ∆沿AD 进行翻折，点B 落在点E ，主要目的：构造AC AE EC AB EC =+=+,因此可将问题顺利转化为证明：“BD EC =” 二是将ADC ∆沿AD 进行翻折，基本思路同“思路一”6.延长CE 与BA 的延长线交于点F ，因为BE 为角平分线和垂线，所以显然CE EF =即2CF CE =;证ABD ACF ≌△△，所以2BD CF BD CE ==，所以 【解析】有垂直和角平分线想等腰三角形7.过C 作AD 的垂线交AD 延长线于F ，BCE DCF BE DF ⇒=≌△△EAC FAC AE AF AE AD DF AD BE ⇒==+=+≌，所以△△8.（1）连接BD 、CD ，显然=BD DF ，因为AD 为角分线，所以DE DF =，BDE CDF ≌△△，所以BE CF =（2）显然AED AFD ≌△△,所以AE AF =，所以22a b a bBE AE -+==， 【解析】构造全等9.BC 上取BE AB =所以ABD EBD BED A ∠=∠≌，所以△△，又可证180C DEC BED DEC ︒∠=∠∠+∠=，又，所以180A C ︒∠+∠=.。
(完整版)中考复习2角平分线专题
角平分线专题【类型一】角平分线倒角模型例1、把一副学生用三角板)906030(︒︒︒、、和)904545(︒︒︒、、如图(1）放置在平面直角坐标系中，点A 在y 轴正半轴上，直角边AC 与y 轴重合，斜边AD 与y 轴重合,直角边AE 交x 轴于F,斜边AB 交x 轴于G,O 是AC 中点，8=AC .(1)把图1中的AED Rt ∆绕A 点顺时针旋转α度)900(︒<≤α得图2，此时AGH ∆的面积是10,AHF ∆的面积是8,分别求F 、H 、B 三点的坐标;(2）如图3,设AHF ∠的平分线和AGH ∠的平分线交于点M ，EFH ∠的平分线和FOC ∠的平分线交于点N ，当改变α的大小时,M N ∠+∠的值是否会改变？若改变,请说明理由；若不改变,请求出其值。
检测1、如图，已知点A 是y 轴上一动点，B 是x 轴上一动点，点C 在线段OB 上，连接AC ，AC 正好是OAB ∠的角平分线，DBx ABD ∠=∠，问动点A,B 在运动的过程中，AC 与BD 所在直线的夹角是否发生变化,请说明理由；若不变，请直接写出具体值。
yx检测2、如图探究与发现：探究一：我们知道，三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和．那么，三角形的一个内角与它不相邻的两个外角的和之间存在何种数量关系呢？已知：如图1，∠FDC与∠ECD分别为△ADC的两个外角，试探究∠A与∠FDC+∠ECD的数量关系．探究二：三角形的一个内角与另两个内角的平分线所夹的钝角之间有何种关系？已知:如图2,在△ADC中，DP、CP分别平分∠ADC和∠ACD，试探究∠P与∠A的数量关系．探究三：若将△ADC改为任意四边形ABCD呢？已知：如图3，在四边形ABCD中,DP、CP分别平分∠ADC和∠BCD,试利用上述结论探究∠P与∠A+∠B的数量关系．探究四:若将上题中的四边形ABCD改为六边形ABCDEF（图4）呢？请直接写出∠P与∠A+∠B+∠E+∠F的数量关系：．【类型二】点在线，垂两边例2、如图（1），ABCCD⊥，垂足为D。
中考数学专题练习三角形的角平分线、中线和高(含解析)-精选文档
中考数学专题练习-三角形的角平分线、中线和高（含解析）一、单选题1.如果一个三角形的三条高的交点恰是三角形的一个顶点，那么这个三角形是（）A. 锐角三角形B. 钝角三角形C. 直角三角形D. 等腰三角形2.已知AD是△ABC的中线，且△ABD比△ACD的周长大3cm，则AB与AC的差为（）A. 2cmB. 3cmC. 4cmD. 6cm3.钝角三角形的高线在三角形外的数目有（）A. 3B. 2C. 1D. 04.三角形的三条中线的交点的位置为（）A. 一定在三角形内B. 一定在三角形外C. 可能在三角形内，也可能在三角形外D. 可能在三角形的一条边上5.三角形的重心是（）A. 三角形三条边上中线的交点B. 三角形三条边上高线的交点C. 三角形三条边垂直平分线的交点D. 三角形三条内角平分线的交点6.如图，△ABC中BC边上的高为（）A. AEB. BFC. ADD. CF7.下列说法正确的是（）A. 三角形的中线就是过顶点平分对边的直线B. 三角形的三条角平分线的交点有可能在三角形外部C. 三角形的三条高线的交点必在三角形内部D. 以上说法都错8.三角形的角平分线是（）A. 射线B. 直线C. 线段D. 线段或射线9.三角形一边上的中线把原三角形分成两个（）A. 形状相同的三角形B. 面积相等的三角形C. 直角三角形D. 周长相等的三角形10.如图，在△ABC中，BD，CE分别为AC，AB边上的中线，BD⊥CE，若BD=4，CE=6，则△ABC 的面积为（）A. 12B. 24C. 16D. 3211.下列说法错误的是（）．A. 锐角三角形的三条高线、三条中线、三条角平分线分别交于一点B. 钝角三角形有两条高线在三角形外部C. 直角三角形只有一条高线D. 任意三角形都有三条高线、三条中线、三条角平分线12.如图，，垂足为D，，下列说法正确的是（）A. 射线AC是的角平分线B. 直线BD是的边AD上的高C. 线段AC是的中线D. 线段AD是的边BC上的高13.在下图中，正确画出AC边上高的是( )A. B.C. D.14.如图，△ABC的角平分线AD、中线BE相交于点O，则①AO是△ABE的角平分线；②BO 是△ABD的中线；③DE是△ADC的中线；④ED是△EBC的角平分线的结论中正确的有（）A. 1 个B. 2个C. 3个D. 4个15.如图，AC⊥BC，CD⊥AB，DE⊥BC，垂足分别为C，D，E，则下列说法不正确的是（）A. AC是△ABC的高B. DE是△BCD的高C. DE是△ABE的高D. AD是△ACD的高16.三角形的角平分线、中线和高（）A. 都是线段B. 都是射线C. 都是直线D. 不都是线段17.如图，在△ABC中，CD⊥AB于点D，则CD是△ABC（）A. BC边上的高B. AB边上的高C. AC边上的高D. 以上都不对18.如图，下面的四个图形中，线段BE是△ABC的高的图是（）A. B. C. D.二、填空题19.AD是△ABC的边BC上的中线，已知AB=5cm，AC=3cm，△ABD与△ACD的周长之差为________cm.20.如图，在△ABC中，∠ABC=50°，∠ACB=80°，BP平分∠ABC，CP平分∠ACB，则∠BPC的大小是________度．21.如图所示，在△ABC中，∠1=∠2，G是AD的中点，延长BG交AC于点E，F为AB上一点，CF⊥AD交AD于点H．①AD是△ABE的角平分线；②BE是△ABD的边AD上的中线；③CH为△ACD的边AD上的高；④AH是△ACF的角平分线和高线，其中判断正确的有________.22.如图，在△ABC中，AD⊥BC，AE平分∠BAC，若∠1=30°，∠2=20°，则∠B=________23.如图，AD，BE，CF是△ABC的三条中线，则AB=2________，BD=________，AE=________．24.如图，在△ABC中，点D、E、F分别是线段BC、AD、CE的中点，且，则________cm2．25.一个等腰但不等边的三角形，它的角平分线、高、中线的总条数为________ 条．三、解答题26.如图，在△ABC中，AD是BC边上的中线，△ADC的周长比△ABD的周长多5cm，AB与AC的和为13cm，求AC的长．27.在△ABC中，AB=15，AC=13，BC边上高AD=12，试求△ABC周长。
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角平分线专题【类型一】角平分线倒角模型例1、把一副学生用三角板)906030(︒︒︒、、和)904545(︒︒︒、、如图(1)放置在平面直角坐标系中,点A 在y 轴正半轴上,直角边AC 与y 轴重合,斜边AD 与y 轴重合,直角边AE 交x 轴于F,斜边AB 交x 轴于G,O 是AC 中点,8=AC .(1)把图1中的AED Rt ∆绕A 点顺时针旋转α度)900(︒<≤α得图2,此时AGH ∆的面积是10,AHF ∆的面积是8,分别求F 、H 、B 三点的坐标;(2)如图3,设AHF ∠的平分线和AGH ∠的平分线交于点M,EFH ∠的平分线和FOC ∠的平分线交于点N,当改变α的大小时,M N ∠+∠的值是否会改变?若改变,请说明理由;若不改变,请求出其值.检测1、如图，已知点A 是y 轴上一动点，B 是x 轴上一动点，点C 在线段OB 上，连接AC ，AC 正好是OAB ∠的角平分线，DBx ABD ∠=∠，问动点A ，B 在运动的过程中，AC 与BD 所在直线的夹角是否发生变化，请说明理由；若不变，请直接写出具体值。
xy检测2、如图探究与发现：探究一：我们知道，三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和．那么，三角形的一个内角与它不相邻的两个外角的和之间存在何种数量关系呢？已知：如图1，∠FDC与∠ECD分别为△ADC的两个外角，试探究∠A与∠FDC+∠ECD的数量关系．探究二：三角形的一个内角与另两个内角的平分线所夹的钝角之间有何种关系？已知：如图2，在△ADC中，DP、CP分别平分∠ADC和∠ACD，试探究∠P与∠A的数量关系．探究三：若将△ADC改为任意四边形ABCD呢？已知：如图3，在四边形ABCD中，DP、CP分别平分∠ADC和∠BCD，试利用上述结论探究∠P 与∠A+∠B的数量关系．探究四：若将上题中的四边形ABCD改为六边形ABCDEF（图4）呢？请直接写出∠P与∠A+∠B+∠E+∠F的数量关系：．【类型二】点在线，垂两边例2、如图（1），ABCCD⊥，垂足为D。
AF平分CABACB，AB∠，交CD于点∠90Rt∆中，︒=E，交CB于点F。
（1）求证：CFCE=。
（2）将图（1）中的ADEAD∆的位置，使点E落在BC边上，其它条件不∆沿AB向右平移到''E'变，如图（2）所示。
试猜想：'BE与CF有怎样的数量关系？请证明你的结论。
检测1、如图，在△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠CAB,BC＝6cm,BD＝4cm,那么点D到直线A B的距离是_________．检测2、已知∠1=∠2，∠3=∠4，求证AP平分∠BAC。
【类型三】线被垂，顺势延例3、如图，已知等腰Rt △ABC 中，∠A ＝90°，AB ＝AC ，BD 是∠ABC 的平分线，从C 向BD 作垂线，垂足为E.求证：BD ＝2CE.变式、如图,ODC ∆中,︒=∠90D ,EC 是DCO ∠的平分线,CE OE ⊥,点E 作OC EF ⊥于点F,判断E F 与OD 之间的数量关系,并加以证明.例4、如图(a)所示,BD 、CE 分别是△ABC 的外角平分线,过点A 作BD AD ⊥,CE AE ⊥,垂足分别为D 、E,连接DE,求证:BC DE //,)(21AC BC AB DE ++=;(2)如图(b)所示,BD 、CE 分别是△ABC 的内角平分线,其他条件不变;(3)如图(c)所示,BD 为△ABC 的内角平分线,CE 为△ABC 的外角平分线,其他条件不变;则在图(b)、图(c)两种情况下,DE 与BC 还平行吗?它与△ABC 三边又有怎样的数量关系?请写出你的猜测,并对其中一种情况进行证明.检测1、如图,△ABC 中,AD 平分BAC ∠,AD CD ⊥于D,G 为BC 的中点,求证:(1)AB DG //;(2))(21AC AB DG -=.检测2、如图,在△ABC 中,AC AB 3=,BAC ∠的平分线交BC 于点D,过点B 作AD BE ⊥,垂足为E,求证:DE AD =.【类型四】遇平行，等腰现例5、(1)已知:在△ABC 中,AC AB =,BD 平分ABC ∠,CD 平分ACB ∠,过点D 作BC EF //,分别交AB 、AC 于E 、F 两点(如图1).图中共有________个等腰三角形,分别是__________;EF 与BE 、CF 之间的关系是_______．(2)若将(1)中“△ABC,AC AB =”改为“若△ABC 为不等边三角形”,其余条件不变(如图2),则图中共有_________个等腰三角形,分别是_________;EF 与BE,CF 之间的关系是________．AC AB >ABC ∠CD ACG ∠点作BC DE //,分别交AB 、AC 于E 、F 两点,则EF 与BE 、CF 之间有何关系?写出你的结论,并加以证明(4)已知:如图4,点D 在△ABC 外,BD,CD 分别平分△ABC 的外角GBC ∠和HCB ∠,过点D 作B C //DE ,分别交BG,CH 于E,F 两点,则EF 与BE,CF 之间存在怎样的关系?写出你的结论,并加以证明.检测1、(1)如图(a)所示，在△ABC 中，∠ABC 与∠ACB 的角平分线相交于点F ，过点F 作DE ∥BC ，交AB 于点D ，交AC 于点E ，若BD+CE=9，则线段DE 之长为__________。
(2)如图(b) 所示在△ABC 中，BD 、CD 分别平分∠ABC 和∠ACB ，DE ∥AB ，FD ∥AC ，如果BC=6，则△DEF 的周长为_________。
检测2、如图,已知直线CD AB //,︒=∠=∠100C A ,E 、F 在CD 上,且满足ABD DBF ∠=∠,BE 平分CBF ∠.(1)求DBE ∠的度数.(2)若平行移动AD,那么BDC BFC ∠∠:的比值是否随之发生变化?若变化,找出变化规律;若不变,求出这个比值.(3)在平行移动AD 的过程中,是否存在某种情况,使ADB BEC ∠=∠若存在,求出其度数;若不存在,请说明理由.检测3、如图，梯形ABCD 中AD//BC ，半圆O 的直径在BC 上，且与另三边相切，如果AB=2，C D=3，则BC=（ ）。
【类型五】截一边，造全等例6、阅读下列学习材料：如图(a)所示，OP平分∠MON，A为OM上一点，C为OP上一点。
连接AC，在射线ON上截取OB =OA，连接BC(如图(b)所示)，易证△AOC≌△BOC。
请根据上面的学习材料，解答下列各题：（1）如图(c)所示，在△ABC中，AD是△BAC的外角平分线，P是AD上异于点A的任意一点，试比较PB+PC与AB+AC的大小，并说明理由。
（2）如图(d)所示，AD是△ABC的内角平分线，其他条件不变，试比较PC-PB与AC-AB的大小，并说明理由。
例7、如图所示，在△ABC中，AC＝BC，∠ACB＝90°，AD平分∠CAB，求证：AC＋CD＝AB.变式1、如图所示，△ABC中，AB=AC，∠A=100°，BD平分∠ABC交AC于D.求证：BC=BD＋AD.变式2、已知,如图ACABBC+∠交AC于D,求证:CD=.A,BD平分ABC=AB=,︒∠108【综合练习】1、在平行四边形ABCD中，BAD∠的平分线交直线BC于点E，交直线DC于点F。
（1）在图1中证明CE=CF。
（2）若︒∠的度数。
ABC，G是EF的中点（如图2），直接写出BDG=∠90（3）若︒=∠120ABC ，CE FG //，CE FG =，分别连接DB 、DG （如图3），求BDG ∠的度数。
2、如图:已知︒=∠=∠9DAC BAD ,AE AD ⊥,且BE AC AB =+.则B ∠=______．【家庭作业】1、如图，∠MON=90°，点A ，B 分别在射线OM ，ON 上运动，BE 平分∠NBA ，BE 的反向延长线与∠BAO 的平分线交于点C ．则∠C 的度数是（ ）A ．30°B ．45°C ．55°D ．60°2、如图所示，直线MN与直线PQ垂直相交于点O，点A在直线PQ上运动，点B在直线MN上运动。
（1）如图1，已知AE、BE分别是BAO∠的角平分线，点A、B在运动的过程中，AEB∠和ABO∠的大小是否会发生变化？若发生变化，请说明变化的情况；若不发生变化，请说明理由，并求出AEB∠的大小。
（2）如图2，已AB不平行CD，AD、BC分别是BAP∠的角平分线，AD、BC的延长线∠和ABM交于点F。
ADC∠的角平分线CE相交于点E。
∠的角平分线DE和BCD①点A、B在运动的过程中，F∠的大小是否会发生变化？若发生变化，请说明变化的情况；若不发生变化，请说明理由。
②点A、B在运动的过程中，CED∠的大小是否会发生变化？若发生变化，请说明变化的情况；若不发生变化，请说明理由。
3、已知，如图，四边形ABCD中，∠B＋∠D=180°，BC=CD.求证：AC平分∠BAD4、已知：如图，∠BAD=∠CAD ，AB ＞AC ，CD ⊥AD 于点D ，H 是BC 中点．求证：DH=21（AB-AC ）．5、如图,在ABC ∆中,AC AB 3=,BAC ∠的平分线交BC 于点D,过点B 作AD BE ⊥,垂足为E,求证:DE AD =.6、如图,ODC ∆中,︒=∠90D ,EC 是DCO ∠的平分线,CE OE ⊥,点E 作OC EF ⊥于点F,判断EF 与OD 之间的数量关系,并加以证明.7、如图①，OP 是∠MON 的平分线，请你利用该图画一对以OP 所在直线为对称轴的全等三角形.请你参考这个作全等三角形的方法，解答下列问题：(1)如图②，在△ABC 中，∠ACB 是直角，∠B=60°，AD 、CE 分别是∠BAC 、∠BCA 的平分线，AD 、CE 相交于点F.请你判断并写出FE 与FD 之间的数量关系；(3)如图③，在△ABC中，如果∠ACB不是直角，而(1)中的其它条件不变，请问：你在(1)中所得结论是否仍然成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由.8、如图，在四边形ABCD中，AB+BC=CD+DA ，∠ABC的外角角平分线与∠CDA的外角平分线交于点P，求证：∠APB=∠CPD9、已知：如下图，在四边形中，BC＞AB，AD=CD，BD平分∠ABC，求证：∠A+∠C=180°.10、在四边形ABCD中，AC平分∠BAD，∠B+∠D=180°，求证：BC=DC.。