专题16角平分线及中点问题
高中数学角平分线相关问题的解法探究
解法探究２０２３年７月上半月㊀㊀㊀高中数学角平分线相关问题的解法探究◉南京市金陵中学河西分校㊀王金辉㊀㊀摘要:思维是数学素养的灵魂,方法是数学学习的法宝．在高三数学一轮复习中,不少学生在解决与角平分线有关的解三角形㊁平面向量和解析几何等问题时,感觉困难重重,本文中通过四种常用解法的讲解,梳理了与角平分线相关的几种题型,帮助学生建构思维系统,提升数学核心素养．关键词:高中数学;核心素养;角平分线㊀㊀角平分线作为刻画三角形的一个重要要素,在高中数学解三角形㊁平面向量㊁解析几何等问题中常有出现．本文中尝试用微专题的方式,从等面积法㊁向量的线性运算和数量积运算㊁角平分线的性质和几何对称性等方面展开思考,对学生解决相关问题有明显的指导作用．１利用等面积法求解角平分线长在解三角形中,经常遇到与角平分线长度相关的问题,等面积法是一种常用且简便的方法．例１㊀(２０２２南京师大附中模拟预测 １４)在әA B C 中,A C ＝２,A B ＝１,点D 为B C 边上的点,A D是øB A C 的角平分线,则A D 的取值范围㊀㊀㊀㊀．分析:本题涉及三角形的两边及夹角,求该角的角平分线长,可以考虑由三个三角形的面积建立等量关系,求出角平分线长度的表达式．解:设øB A D ＝øC A D ＝θ,则øB A C ＝２θ,且θɪ(０,π２)．由S әA B D ＋S әA C D ＝S әA B C ,得１２A B A D s i n θ＋１２A C A D s i n θ＝１２A B A C s i n ２θ．所以３A D s i n θ＝２s i n ２θ,即A D ＝４c o s θ３．故A D 的取值范围是(０,４３)．变式㊀在әA B C 中,A C ＝２,A B ＝１,点D 为B C 边上的点,A D 三等分øB A C ,D 靠近点B ,则A D 的取值范围是㊀㊀㊀㊀．分析:将例１的平分角改编为三等分角,依然涉及三角形的两边及夹角,考虑由三个三角形的面积建立等量关系,结合二倍角公式和三倍角公式的应用,求出三等分角的平分线长度的表达式．解:设øA B D ＝α,øA C D ＝２α,则øB A C ＝３α．由０＜３α＜π,得αɪ(０,π３)．由S әA B D ＋S әA C D ＝S әA B C ,得１２|A B | |A D | s i n α＋１２|A C | |A D | s i n ２α＝１２|A B | |A C | s i n ３α．解得|A D |＝２s i n ３αs i n α＋２s i n ２α＝２(４c o s ２α－１)１＋４c o s α．令t ＝１＋４c o s α,t ɪ(３,５),则|A D |＝１２(t －３t－２)．设f (t )＝１２(t －３t－２),则f (t )在(３,５)单调递增．又t ＝３时,f (３)＝１２(３－３３－２)＝０;t ＝５时,f (５)＝１２(５－３５－２)＝６５．所以A D 的取值范围为(０,６５)．点评:例１和变式均为等分角的等分线长度相关问题,通过等面积法寻找等量关系,再结合三角函数及解三角形等相关知识解决．当然,如果对两个分角任意赋值,不一定n 等分角,但等面积法依然适用,它是这一类问题的常用方法．２利用角平分线的对称性解题角的一边上任一点关于角平分线的对称点一定在角的另一条边上．利用这一对称性质可以巧妙解决解析几何中与角平分线相关的一类问题．例２㊀已知三角形的一个顶点A (４,－１),它的两条内角平分线所在的直线方程分别为l １:x －y －１＝０和l ２:x －１＝０,则B C 边所在直线的方程为㊀㊀㊀㊀．分析:利用三角形的顶点A 关于另外两个顶点的内角平分线的对称点均在B C 上,可求出B C 上两个点的坐标,进而求出直线B C 的方程．解:易知点A 不在l １和l ２上．因为l １,l ２为øB ,øC 的平分线,所以点A 关于l １,l ２的对称点均在BC ０７Copyright ©博看网. All Rights Reserved.２０２３年７月上半月㊀解法探究㊀㊀㊀㊀边所在的直线上．易求得点A 关于l １的对称点为A １(０,３),点A 关于l ２的对称点为A ２(－２,－１)．所以B C 边所在直线的方程为y －３－１－３＝x －０－２－０,即２x －y ＋３＝０．例３㊀(２０２２深圳高二期末 ７)已知F １,F ２分别为椭圆x ２４＋y ２３＝１的左㊁右焦点,P 为椭圆上除左右顶点外的任一点,P T 为әF １P F ２的外角平分线,F ２T ʅP T ,求点T 的轨迹方程．分析:利用三角形的顶点F ２关于外角平分线的对称点在F １P 的延长线上,结合椭圆的定义,可求出M F １为定长,进而得出中位线O T 为定长．图１解:如图１所示,延长F ２T 交F １P 的延长线于点M ．因为P T 为øF １P F ２的外角平分线,F ２T ʅP T ,所以由对称性可得P F ２＝P M ,T F ２＝T M ．由椭圆的定义,得M F １＝P F １＋P M ＝P F １＋P F ２＝４．又T 为F ２M 的中点,O 为F １F ２的中点,所以在әF １F ２M 中,O T ＝１２M F １＝２．故点T 的轨迹方程是x ２＋y ２＝４(y ʂ０)．点评:对称性是角平分线的重要几何性质,在解三角形和解析几何问题中,利用这个性质,结合圆锥曲线的相关定义,可以解决许多点㊁直线㊁圆和圆锥曲线的相关问题．３利用三角形内角平分线定理 解题三角形内角平分线定理:在әA B C 中,øA 的平分线交B C 于点D ,则有B D D C ＝A BA C ．(苏教版高中数学教材必修二第９３页例５．)例４㊀[山西吕梁２０２２届高三模拟(一)理 １０]已知抛物线C :x ２＝４y 的焦点为F ,C 的准线与对称轴交于点D ,过D 的直线l 与C 交于A ,B 两点,且A B ң＝mB D ң(m ＞０),若F B 为øD F A 的角平分线,则B F ＝(㊀㊀)．A．m ㊀㊀B ．２m m ＋１㊀㊀C ．２m ＋１m ㊀㊀D．m ＋１２m分析:利用 三角形内角平分线定理 ,结合抛物线的定义和相似三角形的相似比,可巧妙地将线段的比例关系梳理清楚,进而问题得到解决．解:抛物线C :x ２＝４y ,则F (０,１),D (０,－１),所以D F ＝２．过点A ,B 分别作准线的垂线,垂足分别为A １,B １,如图２,则B B １ʊA A １．因为F B 为øD FA图２的平分线,则有A BB D＝A F D F ,又AB ң＝m B D ң,所以A F D F ＝A BB D＝m ．于是A A １＝A F ＝m D F ＝２m ．又B B １A A １＝D B D A ＝１m ＋１,所以B F ＝B B １＝１m ＋１A A １＝２mm ＋１．故选:B ．点评: 三角形内角平分线定理 是解决定比分点相关问题的常用知识点,熟练使用这个定理,结合解析几何中圆锥曲线的定义㊁方程和几何性质,在解决有关解三角形㊁解析几何等问题时可提速增效．４利用平面向量解决角平分线相关问题平面向量作为数学解题的工具,在很多领域有广泛应用．其中,单位向量㊁向量的数量积不仅是高中数学向量教学的重点和难点,有时在解决三角形的角平分线相关问题时也有巧妙的应用．例５㊀(２０２２厦门一中高一阶段测试 １６)已知әA B C ,D 为线段A C 上一点,B D 是øA B C 的角平分线,I 为直线B D 上一点,满足A I ң＝λ(A C ңA Cң－A B ңA Bң)(λ＞０),C A ң＋C B ң＝６,C A ң－C B ң＝２,则B I ң B A ң＝㊀㊀㊀㊀．分析:两个单位向量的和向量与差向量分别对应以这两个向量所在线段为邻边的菱形的两条对角线,利用菱形对角线互相垂直且平分对角的特征,得到两条角平分线交点为三角形旁心的结论,再结合平面向量数量积的几何意义可破解该题．图３解:如图３所示,由A C ңA C ң,A B ңA Bң为AC ң,A B ң方向上的单位向量,易知A I 是øB A C 外角的角平分线,又B D 是øA B C 的角平分线,即I 为әA B C 的旁心．作I O ʅB A ,垂足为点O ,由C A ң＋C B ң＝６,C A ң－C B ң＝B A ң＝２,可得B O ң＝１２(A B ң＋A C ң＋B C ң)＝４．由数量积的几何意义,可得１７Copyright ©博看网. All Rights Reserved.解法探究２０２３年７月上半月㊀㊀㊀B I ң B A ң＝B A ң B O ң＝２ˑ４ˑc o s ０＝８．例６㊀(山东实验中学２０１９届高三二模理 ２０改编)设椭圆C :x２４＋y ２＝１的左㊁右焦点分别为F １,F ２,M 为椭圆C 上异于长轴端点的一点,øF １M F ２＝２θ,әMF １F ２的内心为I ,则M I ң M F １ң＋M I ң M F ２ң＝㊀㊀㊀㊀．分析:三角形的内心是其角平分线的交点,且过圆外一点作内切圆的两条切线,切线长相等;结合椭圆的定义,可得切线长|M A |,再利用平面向量数量积的几何意义,轻松破解．解:由题意,可得|M F １|＋|M F ２|＝４,|F １F ２|＝２３．图４设圆I 与M F １,M F ２分别切于点A ,B ,连接I A ,I B ,如图４．根据切线长定理,可得|F １F ２|＝|F １A |＋|F ２B |＝２３．又|M F １|＋|M F ２|＝４,所以|M A |＝|M B |＝４－２３２＝２－３．由平面向量数量积的几何意义,可得M I ң M F １ң＋M I ң M F ２ң＝M A ң M F １ң＋M B ң M F ２ң＝|M A | |M F １|＋|M B | |M F ２|＝４(２－３)．点评:结合菱形的对角线平分对角这一特点,可以将 三角形角平分线定理 和向量问题有机结合起来,考查学生综合应用知识的能力;利用三角形内角平分线定理和向量数量积的几何意义,结合解析几何中相关定义㊁几何性质,对学生的数学综合能力提出了更高的要求．合理构建知识结构,熟练使用常用规律和方法,是解决这类问题的良好途径．５综合应用例７㊀(湖南衡阳２０２２届高三下学期二模 １１)已知F １,F ２分别是双曲线C :x ２－y ２２＝１的左㊁右焦点,点P 为C 在第一象限上的点,点M 在F １P 的延长线上,点Q 的坐标为(３３,０),且P Q 为øF １P F ２的平分线,则下列正确的是(㊀㊀)．A．|P F １||P F ２|＝２B ．øF ２P M 的角平分线所在直线的倾斜角为１５０ʎC ．әF １PF ２的内心坐标为(１,２－１)D．P Q 与双曲线相切解:在双曲线C 中,a ＝１,b ＝２,则c ＝３．因为F １(－３,０),F ２(３,０),所以|Q F １|＝４３３,|Q F ２|＝２３３．于是|P F １||P F ２|＝|Q F １||Q F ２|＝２,故选项A 正确．由|P F １|＝２|P F ２|,|P F １|－|P F ２|＝２,{得|P F １|＝４,|P F ２|＝２．{设点P 的坐标为(x ０,y ０)(x ０＞０,y ０＞０),则由x ２０－y ２０２＝１,(x ０－３)２＋y ２０＝４,ìîíïïï解得x ０＝３,y ０＝２．{图５如图５,设øF ２P M 的角平分线交x 轴于点N ,则得到øQ P F ２＋øN P F ２＝１２(øF １P F ２＋øF ２P M )＝９０ʎ,所以P N ʅP Q ．由k P Q ＝３,可得k P N ＝－１k P Q ＝－３３．所以øF ２P M 的角平分线所在直线的倾斜角为１５０ʎ,故选项B 正确．设әF １P F ２的内切圆H 与三边分别切于点R ,S ,T ,如图５,由内切圆性质,得|P R |＝|P T |,|R F １|＝|F １S |,|F ２T |＝|F ２S |,则|P F １|－|P F ２|＝|S F １|－|S F ２|＝２a ．设H (x ０．y ０),则S (x ０,０),|S F １|－|S F ２|＝x ０－(－３)[]－(３－x ０)＝２x ０＝２a ．所以x ０＝a ＝１,即H (１,y ０),代入直线P Q 的方程y ＝３x －１中,得H (１,３－１),故选项C 错误．联立y ＝３x －１,x ２－１２y ２＝１,ìîíïïï得x ２－２３x ＋３＝０．由D ＝０可知,直线P Q 与双曲线相切,故选项D 正确．故选:A B D ．点评:该题综合应用 角平分线定理 ㊁内外角平分线互相垂直的性质研究了双曲线的焦点三角形内心的特点,验证了圆锥曲线的光学性质从双曲线的一个焦点发出的光线,经双曲线反射后,反射光线的反向延长线过双曲线的另一个焦点．由此可得,过双曲线上任意一点的切线,平分该点与两焦点连线的夹角．本题综合性较强,是圆锥曲线中融合角平分线问题的典型例子．在新高考背景下,新课程强调对学生核心素养的培养．在高三数学一轮复习中,通过穿插微专题的方式,针对三角形角平分线的相关问题,深入探讨相关题型,多视角㊁多策略地处理一类问题,可以调动学生学习的积极性,帮助学生发现一类问题的解决方向和策略,构建完整的知识系统,从而培养学生良好的思维品质,提高分析问题和解决问题的能力．Z２７Copyright ©博看网. 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角平分线的性质及判定内容及典型例题[1]
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For personal use only in study and research; not for commercial use 角平分线的性质及判定内容及典型例题【典型例题】例1.如图所示，已知△ABC中，PE∥AB交BC于E，PF∥AC交BC于F，P是AD上一点，且D点到PE的距离与到PF的距离相等，判断AD是否平分∠BAC，并说明理由．例2. 如图所示，已知△ABC的角平分线BM，CN相交于点P，那么AP能否平分∠BAC？请说明理由．由此题你能得到一个什么结论？结论：三角形的三条角平分线相交于一点，并且这一点到三边的距离相等．例3.如图所示，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC，DA平分∠CAB交BC于D，问能否在AB上确定一点E，使△BDE的周长等于AB的长？若能，请作出点E，并给出证明；若不能，请说明理由．练习题一. 选择题1. 如图所示，OP平分∠AOB，PC⊥OA于C，PD⊥OB于D，则PC与PD的大小关系是（）A. PC＞PDB. PC＝PDC. PC＜PDD. 不能确定（1）（4）2. 在R t△ABC中，∠C＝90°，AD是角平分线，若BC＝10，BD∶CD＝3∶2，则点D 到AB的距离是（）A. 4B. 6C. 8D. 103. 在△ABC中，∠C＝90°，E是AB边的中点，BD是角平分线，且DE⊥AB，则（）A. BC＞AEB. BC＝AEC. BC＜AED. 以上都有可能4. 如图所示，点P是∠BAC的平分线AD上一点，PE⊥AC于点E，已知PE＝3，则点P 到AB的距离是（）A. 3B. 4C. 5D. 65. 如图所示，在△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠BAC，AE＝AC，下列结论中错误的是（）A. DC＝DE B. ∠AED＝90° C. ∠ADE＝∠ADC D. DB＝DC（5）（7）（8）6. 到三角形三边距离相等的点是（）A. 三条高的交点B. 三条中线的交点C. 三条角平分线的交点D. 不能确定7. 如图所示，△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC，AD平分∠CAB交BC于D，DE⊥AB 于E，且AB＝6cm，则△DEB的周长为（）A. 4cmB. 6cmC. 10cmD. 以上都不对8. 如图所示，三条公路两两相交，交点分别为A、B、C，现计划修一个油库，要求到三条公路的距离相等，可供选择的地址有（）A. 一处B. 二处C. 三处D. 四处二. 填空题9. 如图所示，点P是∠CAB的平分线上一点，PF⊥AB于点F，PE⊥AC于点E，如果PF＝3cm，那么PE＝__________．（9）（10）（11）10. 如图所示，DB⊥AB，DC⊥AC，BD＝DC，∠BAC＝80°，则∠BAD＝__________，∠CDA＝__________．11.如图所示，P在∠AOB的平分线上，在利用角平分线性质推证PD＝PE时，必须满足的条件是____________________．12. 如图所示，∠B＝∠C，AB＝AC，BD＝DC，则要证明AD是∠BAC的__________线．需要通过__________来证明．如果在已知条件中增加∠B与∠C互补后，就可以通过__________来证明．因为此时BD与DC已经分别是__________的距离．（12）（13）（14）13. 如图所示，C为∠DAB内一点，CD⊥AD于D，CB⊥AB于B，且CD＝CB，则点C 在__________．14. 如图所示，在R t△ACB中，∠C＝90°，AD平分∠BAC交BC于点D．（1）若BC＝8，BD＝5，则点D到AB的距离是__________．（2）若BD∶DC＝3∶2，点D到AB的距离为6，则BC的长为__________．三. 解答题15. 已知：如图，在R t△ABC中，∠C＝90°，D是AC上一点，DE⊥AB于E，且DE ＝DC．（1）求证：BD平分∠ABC；（2）若∠A＝36°，求∠DBC的度数．16. 如图：△ABC中，AD是∠BAC的平分线，E、F分别为AB、AC上的点，且∠EDF ＋∠BAF＝180°．（1）求证：DE＝DF；（2）若把最后一个条件改为：AE＞AF，且∠AED＋∠AFD＝180°，那么结论还成立吗？17. 如图，∠1＝∠2，AE⊥OB于E，BD⊥OA于D，AE与BD相交于点C．求证：AC ＝BC．18. 如图所示，某铁路MN与公路PQ相交于点O，且夹角为90°，其仓库G在A区，到公路和铁路距离相等，且到铁路图上距离为1cm．（1）在图上标出仓库G的位置．（比例尺为1∶10000，用尺规作图）（2）求出仓库G到铁路的实际距离．四. 探究题19. 有位同学发现了“角平分线”的另一种尺规作法，其方法为：（1）如图所示，以O为圆心，任意长为半径画弧交OM、ON于点A、B；（2）以O为圆心，不等于（1）中的半径长为半径画弧交OM、ON于点C、D；（3）连接AD、BC相交于点E；（4）作射线OE，则OE为∠MON的平分线．你认为他这种作法对吗？试说明理由．仅供个人用于学习、研究；不得用于商业用途。
高考数学二轮复习三角形中的中线、高线、角平分线问题ppt课件
三角形中的中线、高线、
角平分线问题
一、中线
2
2
2
2
1.中线长定理:在△ABC 中,AD 是边 BC 上的中线,则 AB +AC =2(BD +AD )
推导过程:在△ABD 中,cos B=
在△ABC 中,cos B=
+ -
+ -
·
·
,求 c.
解:(2)设 BC 边上的高为 h,由三角形的面积公式得 S△ABC= ah= ×
bcsin A=×5c×sin=
c,所以
a=
c,即 a=
a=
c,
由余弦定理得 a2=25+c2-5c,
将 a=
c 代入上式得 c2+16c-80=0,解得 c=4 或-20(舍去),所以 c=4.
→
→ → →
+ +||·||·cos∠ADB,解得
cos∠ADB=.
三角形的角平分线性质定理将分对边所成的线段比转化为对应的两边之比,
再结合共线定理的推论,就可以转化为向量.一般地,涉及三角形中“定比”
类问题,运用向量知识解决起来都较为简捷.
触类旁通2 如图,在△ABC中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c.已知b=3,c=6,
→
→
→
→
→
两边平方得 4 = + +2·,
2
2
2
角平分线类问题常用思路
BB角平分线类问题常用思路1、 轴对称性：内容：角是一个轴对称图形，它的角平分线所在的直线是它的对称轴。
思路和方法：边角等 造全等，也就是在角的两边上取相等的线段 构造全等三角形 基本结构：如图，2、 角平分线的性质定理：注意两点（1）距离相等 （2）一对全等三角形3、 定义：带来角相等。
4、 补充性质：如图，在△ABC 中，AD 平分∠BAC ，则有针对性例题：例题1：如图，AB=2AC ,∠BAD=∠DAC,DA=DB求证：DC ⊥AC例题2：如图，在△ABC 中，∠A 等于60°，BE 平分∠ABC ，CD 平分∠ACB 求证：DH=EH例题3：如图1，BC ＞AB ，BD 平分∠ABC ，且∠A+∠C=1800，求证：AD=DC ．：BA CD E思路一：利用“角平分线的对称性”来构造因为角是轴对称图形，角平分线是其对称轴，因此，题中若有角平分线，一般可以利用其对称性来构成全等三角形．证法1：如图1，在BC 上取BE=AB ，连结DE ，∵BD 平分 ∠ABC ，∴∠ABD=∠DBE ，又BD=BD ，∴△ABD ≌△EBD （SAS ）， ∴∠A=∠DBE ，AD=DE ，又∠A+∠C=1800，∠DEB+∠DEC=1800，∴∠C=∠DEC ，DE=DC ，则AD=DC ． 证法2：如图2，过A 作BD 的垂线分别交BC 、BD 于E 、F ，连结DE ，由BD 平分∠ABC ，易得△ABF ≌△EBF ，则AB=BE ，BD 平分∠ABC ，BD=BD ，∴△ABD ≌△EBD （SAS ），∴AD=ED ，∠BAD=∠DEB ，又∠BAD+∠C=1800， ∠BED+∠CED=1800，∴∠C=∠DEC ，则DE=DC ，∴AD=DC ． 说明：证法1，2，都可以看作将△ABD 沿角平分线BD 折向BC 而构成 全等三角形的．证法3：如图3，延长BA 至E ，使BE=BC ，连结DE ， ∵BD 平分∠ABC ，∴∠CBD=∠DBE ，又BD=BD ，∴△CBD ≌△EBD （SAS ）， ∴∠C=∠E ，CD=DE ，又∠BAD+∠C=1800，∠DAB+∠DAE=1800， ∴∠E=∠DAE ，DE=DA ，则AD=DC ． 说明：证法3是△CBD 沿角平分线BD 折向BA 而构成全等三角形的． 思路二：利用“角平分线的性质”来构造 由于角平分线上的点到角的两边的距离相等，所以根据这个性质，可以过角平分线上一点向角的两边作垂线而构成两个全等的直角三角形．证法4：如图4，从D 分别作BC 、BA 的垂线，垂足为E 、F ，∵BD 平分 ∠ABC ，∴DE=DF，又∠BAD+∠C=1800，∠BAD+∠FAD=1800， ∴∠FAD=∠C ，∴△FAD ≌△ECD （AAS ），则AD=DC ．例题4 已知：如图5，在△ABC 中，∠C =90°,AC =BC ,AD 平分∠CAB .求证：AC +CD =AB 证明：在AB 上截取AE=AC ，∵AD 平分∠CAB ，∴∠CAD = ∠DAB ，AD =AD ， ∴△CAD ≌△EAD ，∴∠DEA =90°，∵∠C =90°，AC =BC ，∴∠B =45°， ∴∠B =∠BDE =45°∴DE =BE ，∴AC +CD =AE +DE =AE +BE =AB ，即AC +CD =AB .例题5．已知：如图6，在Rt △ABC 中，∠C =90°，沿过B 点的一条直线BE 折叠这个三角形，使C 点与AB 边上的一点D 重合，当∠A 满足什么条件时，点D 恰为AB 中点？写出一个你认为适当的条件，并利用此条件证明D 为AB 中点.解：当∠A =30°时，点D 恰为AB 的中点.∵∠A =30°，∠C =90°(已知)，∴∠CBA =60°(直角三角形两锐角互余).又△BEC ≌△BED (已知)，∴∠CBE =∠DBE =30°，且∠EDB =∠C =90°(全等三角形对应角相等)，∴∠DBE =∠A (等量代换).∵BE =AE (等角对等边)，又∠EDB =90°， 即ED ⊥AB ，∴D 是AB 的中点(三线合一).B ACDEF 图2B ACD E图3B ACD F E图4角平分线定理使用中的几种辅助线作法一、已知角平分线，构造三角形例题、如图所示，在△ABC 中，∠ABC=3∠C ，AD 是∠BAC 的平分线，BE ⊥AD 于F 。
三角形的高、中线、角平分线
三角形的高、中线与角平分线教材分析：本节内容着重介绍了三角形的三种特殊线段，已学过的过直线外一点作已知直线的垂线、线段的中点、角的平分线等知识是学习本节新知识的基础，其中三角形的高学生从小学起已开始接触，教材从学生已有认知出发，从高入手，利用图形，给高作了具体定义，使学生了解三角形的高为线段，进而引出三角形的另外几种特殊线段——中线、角平分线。
通过本节内容学习，可使学生掌握三角形的高、中线、角平分线与垂线、角平分线的联系与区别。
通过学习作图、观察与探究，会发现三角形的三条高所在的直线、三条角平分线、三条中线都各自交于一点，这为三角形的重心及以后三角形的内心、外心等知识的学习打下一定的基础，另外，本节内容也是日后学习等腰三角形等特殊三角形的垫脚石。
故学好本节内容是十分必要的。
因此，对三角的高、中线、角平分线定义的理解及画法的掌握是本节教学的重点，而三角形的高由于三角形的形状改变而使其位置呈现多样性，学生难以掌握，故在各类三角形中作出它们是本课的难点。
教法：1、情境创设法：通过复习相关知识走进课堂，更能贴近学生实际，以激发学生对学习本节内容的求知欲，培养他们运用所学知识解决问题的能力。
2、加强学生学习的主动性与探究性在课堂中要充分调动学生自主学习的潜能，让他们自由探究中发现，从而发展他们的创新能力，让他们感受到成功的喜悦。
学生在画一画、折一折、何三个探究活动中体验数学知识的形成过程。
当学生在探究过程中遇到困难时，才取消组建的交流与合作，充分发挥学生的团队作用，以更好地激发学生的积极思维，得到更大的收获。
3、运用多媒体等作为教辅工具，增强学生的直观感受，扫除学生从形象思维难以跨越到抽象思维的障碍，突出重点，突破难点。
学法：1、本节重点是三角形的三种重要线段，难点是对三角形的角平分线、中线、高的准确理解、作图与正确运用，而突破难点的关键是运用好数形结合的数学思想从画图入手，从大量的活动入手获得三种线段的直观形象，进一步架起数与形之间的桥梁，加强知识间的相互联系。
角平分线的性质专题复习(含答案)
《角平分线的性质》专题复习本节主要通过介绍画角的平分线，引导学生发现问题：角的平分线有什么性质？通过将一个角对折的方法学习对角线的性质：在角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等．利用三角形全等来说明角平分线的判定定理：到一个角的两边的距离相等的点在这个角的平分线上．接着引导学生试做一个三角形内的三个内角的角平分线，看看有什么特点，特点是：三角形的三条角平分线交于三角形内一点，•并且这个点到三角形三边的距离相等．角的平分线的性质一课占有很重要的地位，它是证明线段相等、角相等的有利工具。
一．角的平分线的性质这是本节的重点知识，但在以后的习题中很少会单独的出现只考查角平分线的性质的题目，一般会综合的考查三角形全等、平行线等有关知识，故在【知识点击】、【典例引路】、【当堂检测】、【基础训练】中设置了相应的例题以提高解题能力。
二．性质运用在【备选题目】中，设置了角平分线与方程解决问题的题目，以提高学生的综合解题能力。
三．易错点本节知识的易错点是，把角平分线的性质及角平分线的判断混淆了，所以在【典例引路】例3题及【基础训练】第3题设置了相应的题目。
【知识点击】点击一: 角平分线性质定理：在角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等．如图：AB是∠CAD的平分线，则有：CB=BD 。
点击二: 角平分线判定定理：到一个角的两边的距离相等的点在这个角的平分线上．如图：如果有CB=BD ，则有AB是∠CAD 的平分线。
点击三: 三角形的三条角平分线交于三角形内一点，•并且这个点到三角形三边的距离相等．如图：在三角形ABC中，AD是∠BAC，BE是∠ABC的角平分线，则有IH=IG=IF 。
【典例引路】类型之一:求证角平分线的性质定理例1：三角形的三条角平分线交于一点，你知道这是为什么吗？【解析】我们知道两条直线是交于一点的，因此可以想办法证明第三条角平分线通过前两条角平分线的交点．【答案】已知：如图，△ABC的角平分线AD与BE交于点I，求证：点I在∠ACB 的平分线上．D CAE HIFGD CAE HIFG证明：过点I作IH⊥AB、IG⊥AC、IF⊥BC，垂足分别是点H、G、F．∵点I在∠BAC的角平分线AD上，且IH⊥AB、IG⊥AC∴IH=IG（角平分线上的点到角的两边距离相等）同理 IH=IF ∴IG=IF（等量代换）又IG⊥AC、IF⊥BC∴点I在∠ACB的平分线上（到一个角的两边的距离相等的点，在这个角的平分线上）即：三角形的三条角平分线交于一点．类型之二:利用角平分线的性质求线段之比例2：如图，已知：∠BAC=30，G为∠BAC的平分线上的一点，若EG ∥AC交AB于E，GD ⊥AC 于D，GD：GE=（）【解析】作GF⊥AB于F（目的是为了用定理）∵AG平分∠BAC，GD ⊥AC∴ GF=GD（角平分线的性质定理）∵ EG ∥AC ，∠BAC=300∴∠FEG=300∴FG：EG=1：2∴GD：GE=1：2【答案】1：2类型之三: 利用角平分线的性质求角的度数例3：在△ABC中，∠ABC=100，∠ACB=20，CE 平分∠ACB交 AB于 E，D在 AC上，且∠CBD=20。
三角形角平分线、中线、高线证明题
2．证题的思路：性质 1、全等三角形的对应角相等、对应边相等。
2、全等三角形的对应边上的高对应相等。
3、全等三角形的对应角平分线相等。
4、全等三角形的对应中线相等。
5、全等三角形面积相等。
6、全等三角形周长相等。
(以上可以简称:全等三角形的对应元素相等) 7、三边对应相等的两个三角形全等。
（SSS)8、两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等。
(SAS) 9、两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等。
(ASA) 10、两个角和其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等。
(AAS)11、斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等。
(HL)全等三角形问题中常见的辅助线的作法常见辅助线的作法有以下几种：1) 遇到等腰三角形，可作底边上的高，利用“三线合一”的性质解题，思维模式是全等变换中的“对折”．2) 遇到三角形的中线，倍长中线，使延长线段与原中线长相等，构造全等三角形，利用的思维模式是全等变换中的“旋转”． 3) 遇到角平分线，可以自角平分线上的某一点向角的两边作垂线，利用的思维模式是三角形全等变换中的“对折”，所考知识点常⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎧⎩⎨⎧⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧⎪⎩⎪⎨⎧⎪⎩⎪⎨⎧）找任意一边（）找两角的夹边（已知两角）找夹已知边的另一角（）找已知边的对角（）找已知角的另一边（边为角的邻边）任意角（若边为角的对边，则找已知一边一角）找第三边（）找直角（）找夹角（已知两边AAS ASA ASA AAS SAS AAS SSS HL SASD CBAED F CB A常是角平分线的性质定理或逆定理．4)过图形上某一点作特定的平分线，构造全等三角形，利用的思维模式是全等变换中的“平移”或“翻转折叠”5)截长法与补短法，具体做法是在某条线段上截取一条线段与特定线段相等，或是将某条线段延长，是之与特定线段相等，再利用三角形全等的有关性质加以说明．这种作法，适合于证明线段的和、差、倍、分等类的题目．特殊方法：在求有关三角形的定值一类的问题时，常把某点到原三角形各顶点的线段连接起来，利用三角形面积的知识解答．三角形辅助线做法图中有角平分线，可向两边作垂线。
角平分线的专题
角平分线提高
1如图，在△ABC中，4AB=5AC，AD为△ABC的角平分线，点E在BC的延长线上，EF⊥AD
于点F，点G在AF上，FG=FD，连接EG交AC于点H．若点H是AC的中点，则AG
FD
的值为
▲ ．
2如图，在△ABC中，AB=AC，BC=12，E为AC边的中点，线段BE的垂直平分线交边BC于点D．设BD=x，tan∠ACB=y，则（）
A．x﹣y2=3B．2x﹣y2=9C．3x﹣y2=15D．4x﹣y2=21 3如图1，把一张正方形纸片对折得到长方形ABCD，再沿∠ADC的平分线DE折叠，如图2，点C落在点C′处，最后按图3所示方式折叠，使点A落在DE的中点A′处，折痕是FG，若原正方形纸片的边长为6cm，则FG=cm．
4如图，正方形ABCD中，AD=4，点E是对角线AC上一点，连接DE，过点E作EF⊥ED，交AB于点F，连接DF，交AC于点G，将△EFG沿EF翻折，得到△EFM，连接DM，交EF于点N，若点F是AB的中点，则△EMN的周长是．
5如图1，在矩形纸片ABCD中，AB=AD=10，点E是CD中点，将这张纸片依次折叠两次；第一次折叠纸片使点A与点E重合，如图2，折痕为M N，连接M E/NE；第二次折叠纸片使点N与点E重合，如图3，点B落到B′处，折痕为HG，连接HE，则tan∠EHG=．
6正方形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，DE平分∠ADO交AC于点E，把△ADE
沿AD翻折，得到△ADE′，点F是DE的中点，连接AF，BF，E′F．若AE
边形ABFE′的面积是．。
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二轮复习之角平分线问题
【考点一：角平分线+平行→等腰三角形】
典例1. 已知：如图，在平行四边形ABCD 中，AB=4，AD=7，∠ABC 的平分线交AD 于点E ，则ED 的长为（ ）
A ．4
B ．3
C ．72
D ．2
关键点分析：关注题目中有无平行线环境，这个平行线环境包括题目给出来的平行线条件，也包括平行四边形中的隐性平行线环境，在这样的题目中我们要积极地寻找等腰三角形。
模型图总结：
【考点二：角平分线+垂直→等腰三角形】
典例2.如图，D 为△ABC 内一点，CD 平分∠ACB ，BD ⊥CD ，∠A ＝∠ABD ，若AC ＝5，BC ＝3，则CD 的长是（ ）
A ．2
B ．2.5
C ．2
D ．
关键点分析：关注题目中有无“双重身份”的线，即角平分线还有另外一重身份“垂线”，这样的题目中图形中也都隐藏着等腰三角形，需要我们作辅助线把这个等腰三角形找出来。
模型图总结：
【考点三：见角平分线→作双垂】
典例3． 如图，△ABC 中，BC 的垂直平分线DP 与∠BAC 的角平分线相交于点D ，垂足为点P ，∠BAC=84°，则∠BDC=_______度。
关键点分析：遇到角的平分线作双垂，应用角平分线的性质定理解题是基本的辅助线。
模型图总结：
【考点四：见角平分线→作对称】
典例4. 如图，在△ABC 中，AD 平分∠BAC ，∠C=2∠B ，若AC=3，CD=2，则AB=________。
关键点分析：轴对称性是角平分线的本质属性，所以遇到含有角平分线的题目经常需要将角平分线一侧的三角形作对称处理，利用角的轴对称性来解决问题。
模型图总结：
【模型应用】
1．已知OC 平分∠AOB ，点P 为OC 上一点，PD ⊥OA 于D ，且PD=3cm ，过点P 作PE ∥OA 交OB 于E ，∠AOB=30°，求PE 的长度为_________cm 。
2． 如图，在矩形ABCD 中，AB=5，AD=3，点M 在边CD 上，若AM 平分∠DMB ，则DM 的长是________．
3． M 是△ABC 的边BC 的中点，AN 平分∠BAC ，BN ⊥AN 于点N ，且AB=10，BC=15，MN=3，则△ABC 的周长等于___________．
4．如图，在Rt △ABC 中，∠ACB=900，CD ⊥AB ，垂足为D ，AF 平分∠CAB ，交CD 于点E ，交CB 于点F ，若AC=3，AB=5，则CE 的长为（ ）。
A ．
32 B. 43 C.53 D. 85
第1题图 第2题图 第3题图 第4题图
【分层检测】
A:
1．如图，AD 是△ABC 中∠BAC 的角平分线，DE ⊥AB 于点E ，DE=2，AC=3，则△ADC 的面积是（ ）
A ．3
B ．4
C ．5
D ．6
2．如图，在矩形ABCD 中，E 为AD 的中点，∠BED 的角平分线交BC 于F ．若AB=6，BC=16，则FC 的长度为（ ）
A ．4
B ．5
C ．6
D ．8
3. 如图，菱形ABCD 的边AB=20，面积为320，∠BAD ＜90°，⊙O 与边AB ，AD 都相切，AO=10，则⊙O 的半径长等于_________。
第1题图 第2题图 第3题图
B ：
1. 如图所示，在△ABC 中，BC=6，E 、F 分别是AB 、AC 的中点，动点P 在射线EF 上，BP 交CE 于D ，∠CBP 的平分线交CE 于Q ，当CQ= 13
CE 时，EP+BP= . 2．如图，在△ABC 中，∠C=90°，AC=8，AB=10，点P 在AC 上，AP=2，若⊙O 的圆心在线段BP 上，且⊙O 与AB 、AC 都相切，试求⊙O 的半径．
第1题图 第2题图
E
F
二轮复习之中点问题
【考点一：等腰三角形三线合一】
典例1. 如图所示，在△ABC 中，AB=AC=5，BC=6，点M 为BC 中点，MN ⊥AC 于点N ，则MN 等于________。
关键点分析：等腰三角形有底边中点时，一定联想三线合一，作出这条关键的线段。
模型图总结：
【考点二：直角三角形斜边上的中线】
典例2. 如图，△ABC 中，BC=18，若BD ⊥AC 于D ，CE ⊥AB 于E ，F 、G 分别为BC 、DE 的中点，若ED=10，则FG 的长为____________.
关键点分析：当直角三角形出现斜边中点时，我们往往要构造出斜边中线，利用直角三角形斜边中线等于斜边的一半来解题。
模型图总结：
【考点三：三角形的中位线】
典例3. M 是△ABC 的边BC 的中点，AN 平分∠BAC ，BN ⊥AN 于点N ，且AB=10，BC=15，MN=3，则△ABC 的周长等于
__________.
C
B
关键点分析：当题目中出现一个或多个线段中点时，我们常构造三角形的中位线，利用三角形的中位线平行于第三边且等于第三边的一半解题。
模型图总结：
【考点四：构造八字型全等】
典例4. 如图，在菱形ABCD 中，∠A=110°，E ，F 分别是边AB 和BC 的中点，EP ⊥CD 于点P ，则∠FPC=_________.
关键点分析： 遇到三角形一边上的中点（中线或与中点有关的线段）时，考虑倍长中线法构造全等三角形 模型图总结：
【考点五：中线等分三角形面积】
典例5. 如图，在△ABC 中，已知点D ，E ，F 分别是BC ，AD ，CE 的中点，且S △ABC ＝8，则S △DEF 等于 ．
B
B
关键点分析： 遇到面积问题，且题目中有中点条件，要联想中线等分三角形的面积
模型图总结：
【考点六：圆弧上的中点】
典例5. 如图，△ABC 内接于半圆，AB 为直径，设D 是弧AC 的中点，连接BD 交AC 于G ，过D 作DE ⊥AB 于E ，交AC 于F ．
求证：FD=FG
关键点分析： 遇到圆弧上有中点时要考虑垂径定理及圆周角定理，弧相等往线段相等和角相等转化。
模型图总结：
【模型应用】
1. 如图，在四边形ABCD 中，点P 是对角线BD 的中点，点E 、F 分别是AB 、CD 的中点，AD=BC ，∠PEF=30°，则∠PFE 的度数是_____________.
2. 如图，DE 为△ABC 的中位线，点F 在DE 上，且∠AFB=90°，若AB=6，BC=8，则EF 的长为_________.
B
3．如图，在菱形ABCD和菱形BEFG中，点A、B、E在同一直线上，P是线段DF的中点，连接PG、PC．若∠ABC=60°，AB=3，BE=1，则PG的长度=_______.
4. 如图，在⊙O的内接四边形ABCD中，AB=3，AD=5，∠BAD=60°，点C为弧BD的中点，则AC的长是______.
5. 如图：△ABD和△ACE都是Rt△，其中∠ABD＝∠ACE＝90°，C在AB上，连接DE，M是DE中点，求证：MC＝
MB．
【分层检测】
A.
1. 如图，△ABC中，AB=AC，∠BAC=120°，D为BC的中点，DE⊥AC于E，AE=2，则CE=_______。
2．如图所示，DE为△ABC的中位线，点F在DE上，且∠AFB＝90°，若AB＝5，BC＝7，则EF的长为．
3. 已知S△ABC=1，D是BC的中点，AE：EB=1：2，求△ADE的面积_____ __.
4. 如图，AB是半圆O的直径，D是弧AC的中点，∠B=50°．则∠A等于_______度
B．
1. 如图，边长为1的正方形EFGH在边长为3的正方形ABCD所在平面上移动，始终保持EF∥AB．线段CF的中点为M，DH的中点为N，则线段MN的长为（）
A. B. C. D.
2. 如图，在矩形ABCD中，AB=6cm，BC=8cm，E、F分别是BC、CD的中点，连接BF、DE，则图中阴影部分的面积是__________.
3. 【探究】如图1，在△ABC中，D是AB边的中点，AE⊥BC于点E，BF⊥AC于点F，AE，BF相交于点M，连接
DE，DF．则DE，DF的数量关系为．
【拓展】如图2，在△ABC中，CB＝CA，点D是AB边的中点，点M在△ABC的内部，且∠MBC＝∠MAC．过点M 作ME⊥BC于点E，MF⊥AC于点F，连接DE，DF．求证：DE＝DF；
【推广】如图3，若将上面【拓展】中的条件“CB＝CA”变为“CB≠CA”，其他条件不变，试探究DE与DF之间的数量关系，并证明你的结论．。