2018数学中考专题--5-角平分线问题专题

2018年数学中考 角平分线专题
下面就以五种情况进行专题研究
1. 如图1，角平分线遇平行必有等腰三角形；
2. 如图2，垂直角平分线的直线与该角两边交成等腰三角形，并且垂足F 是GH 的中点(三线合一) ；
3. 如图3，角平分线定理；
4. 补半角成倍角，或分倍角为半角；
5. 角平分线与圆.
D
C E
B
A O
H
F G O
C B
A
K
N
M
Q
P
O
A C B
图1 图2 图3
一、 角平分线遇平行找等腰三角形
1 . 探究1 如图①，AD 为等边△ABC 的内角平分线，显然有
AC CD AB
DB
=
.
探究2 如图 ②，若△ABC 为任意三角形，线段AD 为其内角平分线，
AC
CD
AB DB
=
一定成立吗？证明你的判断.
应用：如图③，在Rt △ABC 中，∠ACB=90°，AC=24，AB=40，E 为AB 上一点且AE=15，CE 交其内角平分线
AD 于F. 试求DF
FA
的值.
C
A B
D
A
B D
C
A E
B
C
D
F
① ② ③
2. 如图 1 ，点O 是△ABC 的内心，过点O 作EF ∥AB ，与AC 、BC 分别交于点E 、F ，则（ ） A. EF AE BF >+ B. EF AE BF <+ C. EF AE BF =+ D. EF AE BF ≤+
E
D A
B C
图1 图2
3. 如图2，梯形ABCD 中，AD ∥BC ，AB=3，BC=5，连接BD ，∠BAD 的平分线交BD 于点E ，且AE ∥CD ，则AD 的长为 .
4. 如图3，在△ABC中，BC=6，E、F分别是AB、AC的中点，P在射线EF上，BP交CE于D，Q在CE上且BQ平分∠CBP. 设BP=y，PE=x.
（1）当
1
3
CQ CE
=时，求y与x之间的函数关系式；
（2）当
1
CQ CE
n
=（n为不小于2的常数）时，直接写出y与x之间的函数关系式.
Q
P F
E
A
B C
D
图3
5.（1）如图①，在四边形ABCD中，AB∥DC，E为BC边的中点，∠BAE=∠EAF，AF与CD相交于F点. 试探究线段AB与AF、CF之间的等量关系，并证明你的结论；
A
B E
F
C
D D
C
F
E
B
A
图①图②
（2）如图②，当F在DC的延长线上时（其他条件不变），请你直接写出线段AB与AF、CF之间的数量关系.
二、遇垂直角平分线找等腰三角形 (角平分线遇垂直，补全成三线合一)
6 . 在△ABC 中，点D 是BC 边的中点，AM 是△ABC 的角平分线，CE ⊥AM ，垂足为E ，连接DE. （1）当AB AC >时（如图①），求证：2AB AC DE -=；
M
A
B
C
D E
M A
B
C
D
E
A
B
D
M
E
C
图① 图② 图③
（2）当AB AC <时（如图②），请你写出AB 、AC 与DE 之间的数量关系： ；
（3）如果改AM 为△ABC 的外角平分线，其他条件不变（如图③），请写出AB 、AC 与DE 之间的数量
关系： .
7. 如图，在△ABC 中，∠A=90°，AB=AC ，BE 平分∠ABC 交AC 于D ，过C 作BE 的垂线交BE 于E ， 求证：BD=2CE.
A
B
D
C
E
8.（1）如图①，已知BD 、CE 分别是△ABC 的外角平分线，过点A 作AF ⊥BD 于F ，AG ⊥CE 于G ，连接FG ，延长AF 、AG 与直线BC 相交于M 、N. 则FG 与△ABC 三边具有的数量关系是： .
N
M
G
A
B
C
D E F
F
A
D B
C
G E
图① 图②
（2）如图②，若BD 为△ABC 的内角平分线，其他条件不变，线段FG 与△ABC 三边又有怎样的数量关系？请证明你的猜想.
三、遇倍角或半角
见半角补成倍角或等分倍角；见倍角等分之或造半角的等腰三角形
14 . 在△ABC 中，∠A=90°，点D 在线段BC 上，∠C=2∠EDB ，BE ⊥DE 于E ，DE 交AB 于点F.
（1）如图①，当AB=AC 时，1）∠EBF= ；2）探究线段BE 与FD 的数量关系，并加以证明；
（2）如图②，当AB=k AC 时，求BE
FD
的值（用含k 的式子表示）.
A
B
C D E F
E
A
B
C
D
F
图① 图②
15 . 阅读材料：如图①，在△ABC 中，∠A=2∠B ，且∠A=60°. 小明通过以下计算：
由题意知∠B=30°，∠C=90°，2c b =
，a =
，得：22222)2a b b b bc -=-==，即2
2a b bc -=.
于是小明猜想：对于任意的△ABC ，当∠A=2∠B 时，关系式2
2a b bc -=都成立.
b c
a
b c
a
c
b a A
B
C
A
B
C
A B
C
图① 图 ② 图③
（1）如图 ②，请你用等腰Rt △进行验证，判断小明的猜测是否正确，并写出验证过程； （2）如图③，你认为小明的猜想是否正确，若认为正确，请你证明；否则，请说明理由； （3）若某三角形的三边长恰为三个连续偶数，且∠A=2∠B ，请直接写出这个三角形三边的长.
四、见角平分线用性质(角关于角平分线所在直线对称，依角的对称性找（或造）全等)
16 . 如图1，在△ABC 中，三角形的外角∠DAC 和∠ACF 的平分线交于点E. （1）当∠B=47°，则∠AEC= ；（2）当∠B=α时，∠AEC= .
A
C B E
F
D E
D C
B A
M F
N A 2
A 1
A
B
C D
图1 图2 图3
17 . 如图2，在矩形ABCD 中，点E 是AD 的中点，∠EBC 的平分线交CD 于点F ，将△DEF 沿EF 折叠，点D 恰好落在BE 上M 点处，延长BC 、EF 交于点N. 有下列四个结论：① DF=CF ；② BF ⊥EN ；③ △BEN 是等边三角形；④ S △BEF =3S △DEF . 其中，结论正确的是 （填序号）
18 . 如图3，∠ACD 是△ABC 的外角，∠ABC 的平分线与∠ACD 的平分线交于点A 1，∠A 1BC 的平分线与∠A 1CD 的平分线交于点A 2，…，∠A n-1BC 的平分线与∠A n-1CD 的平分线交于点A n . 设∠A=θ. 则（1）∠A 1= ；（2）∠A n = .
19 . 已知，直线MA ∥NB ，∠MAB 与∠NBA 的平分线交于点C ，过点C 作一条直线l 与两条直线MA 、NB 分别相交于点D 、E.
（1）如图①，当直线l 与直线MA 垂直时，线段AD 、BE 、AB 满足怎样的数量关系，请证明之；
N
M
l B
A
C
D E E D
C
A
B
l M
N
图① 图 ②
（2）如图②，当直线l 与直线MA 不垂直且交点D 、E 都在AB 的同侧时，（1）中的结论是否成立？如果成立，请证明；如果不成立，请说明理由.
五、两角平分线相交用内切圆
三角形内切圆是其三个内角平分线的交点，在Rt △中，内切圆半径r 与三边a 、b 、c （a b c ≤<）的关系为1
()2
r a b c =+-.
20 . 如图1，已知Rt △ABC 中，AC=24，斜边AB=25，半径为1的⊙P 在△ABC 内部沿顺时针方向滚动，且运动过程中⊙P 一直保持与△ABC 的边相切，当 P 第一次回到它的初始位置时所经过路径的长度是（ ）
A. 563
B. 25
C. 1123
D. 56
B
C
A B
C
D
E F
图1 图2
21 . 如图2，在正方形ABCD 中，对角线AC 与BD 相交于点E ，AF 平分∠BAC ，交BD 于点F. 求证：1
2
EF AC AB
+=。