(名师整理)最新数学中考《圆中角平分线问题》专题复习精品课件
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初中数学《角平分线》课件-ppt【北师大版】1
初中数学《角平分线》课件北师大版1 -精品 课件ppt (实用 版)
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过角平分线上一点向两边作垂线段
∴∠1＝∠2 (全等三角形的对应角相等).
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∴OP平分∠AOB.
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1.判定方法：角的内部到角的两边的距离相等的点在 角的平分线上． 2.书写格式：∵PD⊥OA，PE⊥OB，PD＝PE,
A．PA＝PB B．PO平分∠APB C．OA＝OB D．AB垂直平分OP
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3. 如图，在CD上求一点P，使它到边OA，OB的距离相等， 则点P是( C ) A．线段CD的中点 B．CD与过点O作CD的垂线的交点 C．CD与∠AOB的平分线的交点 D．以上均不对
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4.如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC，AD平分 ∠CAB交BC于D，DE⊥AB于E，若AB＝6 cm，则△DBE 的周长是_6_c_m__
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角的平分线上的点到角的两边的距离相等
已知：如图，OC是∠AOB的平分线，点P在 OC上，PD丄OA, PE丄OB,垂足分别为D，E. 求证：PD＝PE. 证明：∵PD丄OA，PE丄OB,垂足分别为D，E，
DA
1
2
C
角平分线的性质和判定(共张PPT)-图文
E
C
D
B
变式 已知AB ＝15cm, 求△DBE的周长
1、直线表示三条相互交叉的公路,现要建一个货物 中转站,要求它到三条公路的距离相等,则可供选择 的地址有( )
A.一处 B. 两处 C.三处 D.四处
2、已知:BD⊥AM于点D,CE⊥AN于点E,BD,CE交点
F,CF=BF, 求证:点F在∠A的平分线上.
画法：
１．以Ｏ为圆心，适当
A
长为半径作弧，交ＯＡ于Ｍ
Ｍ
，交ＯＢ于Ｎ．
Ｃ
２．分别以Ｍ，Ｎ为
圆心．大于 1/2 ＭＮ的长
为半径作弧．两弧在∠Ａ
ＯＢ的内部交于Ｃ．
３．作射线ＯＣ．
Ｂ
Ｎ
Ｏ
射线ＯＣ即为所求．
想为什一么想O：C是角平分线呢？
已知：OM=ON，MC=NC。
求证：OC平分∠AOB。
A
Ｍ 证明：在△OMC和△ONC中， Ｃ
的
又两∵边距点离F相在等∠）C. BD的平分线上，
FH⊥AD， FM⊥BC
M H
∴FM＝FH （角平分线上的点到这个角的两边距离相等）. ∴FG＝FH（等量代换）∴点F在∠DAE的平分线上
例题选析
例1：如图，D在AB上，E在AC上，且∠B =∠C， 那么补充下列一具条件后，仍无法判定 △ABE≌△ACD的是( B )
2 如图，在△ABC中，∠C=90°，DE⊥AB， ∠1=∠2，且AC=6cm，那么线段BE是△ABC 的 角的平分线 ，AE+DE= 6cm 。
3.已知△ABC中, ∠C=900,AD平分∠ CAB,且 BC=8,BD=5,求点D到AB的距离是多少？
你会吗？
C D
A
初中数学《角平分线》_精品课件-ppt【北师大版】1
初中数学《角平分线》教用课件北师 大版1- 精品课 件ppt( 实用版)
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8. 如图，DE⊥AB 的延长线于点 E，DF⊥AC 于点 F，且 BE=CF，DB=DC.求证：AD 是∠BAC 的
平分线.
证明：∵DE⊥AB的延长线于点E，DF⊥AC 于点F， ∴∠BED＝∠CFD=90°， ∴在Rt△BDE和Rt△CDF中，
平分线，PM⊥AB 于点 M，PN⊥AC 于点 N. 求
证：PA 平分∠MAN.
证明：如图，过点P作PD⊥BC于点D， ∵BP是△ABC的外角平分线. PM⊥AB，PD⊥BC， ∴PM＝PD.同理，PN＝PD. ∴PM＝PN. 又PM⊥AB，PN⊥AC， ∴PA平分∠MAN．
3. （例 2）如图，∠B=∠C=90°，M 是 BC 的中 点，DM 平分∠ADC，∠ADC=130°，求∠MAB
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∵∠NFC＝ ∠ACB=45°，∠MFN＝120°， ∴∠MFE＝15°.∴∠MEF＝75°＝∠NDF. 在△DNF 和△EMF 中，
∴△DNF≌△EMF（AAS）. ∴FE＝FD．
三级检测练
一级基础巩固练
7. 如图，DE⊥AB 于 E，DF⊥AC 于 F，若 BD=CD， BE=CF.求证：AD 平分∠BAC.
证明：∵DE⊥AB，DF⊥AC， ∴∠E＝∠DFC＝90°. 在Rt△BDE和Rt△CDF中，
∴Rt△BDE≌Rt△CDF（HL）. ∴DE＝DF.∴AD平分∠BAC．
∴∠MAB＝ ∠DAB＝25°．
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8. 如图，DE⊥AB 的延长线于点 E，DF⊥AC 于点 F，且 BE=CF，DB=DC.求证：AD 是∠BAC 的
平分线.
证明：∵DE⊥AB的延长线于点E，DF⊥AC 于点F， ∴∠BED＝∠CFD=90°， ∴在Rt△BDE和Rt△CDF中，
平分线，PM⊥AB 于点 M，PN⊥AC 于点 N. 求
证：PA 平分∠MAN.
证明：如图，过点P作PD⊥BC于点D， ∵BP是△ABC的外角平分线. PM⊥AB，PD⊥BC， ∴PM＝PD.同理，PN＝PD. ∴PM＝PN. 又PM⊥AB，PN⊥AC， ∴PA平分∠MAN．
3. （例 2）如图，∠B=∠C=90°，M 是 BC 的中 点，DM 平分∠ADC，∠ADC=130°，求∠MAB
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∵∠NFC＝ ∠ACB=45°，∠MFN＝120°， ∴∠MFE＝15°.∴∠MEF＝75°＝∠NDF. 在△DNF 和△EMF 中，
∴△DNF≌△EMF（AAS）. ∴FE＝FD．
三级检测练
一级基础巩固练
7. 如图，DE⊥AB 于 E，DF⊥AC 于 F，若 BD=CD， BE=CF.求证：AD 平分∠BAC.
证明：∵DE⊥AB，DF⊥AC， ∴∠E＝∠DFC＝90°. 在Rt△BDE和Rt△CDF中，
∴Rt△BDE≌Rt△CDF（HL）. ∴DE＝DF.∴AD平分∠BAC．
∴∠MAB＝ ∠DAB＝25°．
人教版版八年级上册 第十二章 12.3 角平分线复习课件(共20张PPT)
八年级上习题—— 角平分线复习
相关概念 ——单元复习
根本图形 方法链接
——阶段复习
开展思维 ——期末复习
请写出关于角平分线的联想——
关于角平分线的联想—— 角：角相等
线：垂线段相等
形：+垂直角平分线 +平行 角是轴对称图形
等腰△
等腰△
构造翻折式 全等△
随堂练习
如图，BG，CG是△ABC的外角的平分
根本图形
对称美
E
D
F
B
A
与角平分线有关的根本图形和常用小结论
与角平分线有关的根本图形和常用小结论
4.面积法: S A B C 1 2B C A H 1 2 A B B C C A P D
A
E
P
F
B
C DH
...
作业：
1.校本作业 2.分层作业 联想与中点有关的根本图形 归纳与中点有关的常用方法、结论
B
A
知三推二，其他组合方式
根本图形与结论
E
D AB∥DE
BF平分∠ABE
F EF平分∠BED
B
A
AB∥DE
BF平分∠ABE
BE=AB+DE
F是AD中点 BE=AB+DE
F是AD中点 EF平分∠BED
联积 想累 助丰 力富 思联 维想
随堂检测
小结： 1.几何复习三层次：概念定理、根本图形与
常用结论、思维建构 2.综合题思维建构：破题一句一思、二句一思、 多句一思、关联性思考与图形结论联想 3. 角平分线的根本图形和常用结论，不同联想 得不同的解题思路，常归纳积累不断充实
多句一思，关联性思考
B
C
不同联想， 得不同解题思路
相关概念 ——单元复习
根本图形 方法链接
——阶段复习
开展思维 ——期末复习
请写出关于角平分线的联想——
关于角平分线的联想—— 角：角相等
线：垂线段相等
形：+垂直角平分线 +平行 角是轴对称图形
等腰△
等腰△
构造翻折式 全等△
随堂练习
如图，BG，CG是△ABC的外角的平分
根本图形
对称美
E
D
F
B
A
与角平分线有关的根本图形和常用小结论
与角平分线有关的根本图形和常用小结论
4.面积法: S A B C 1 2B C A H 1 2 A B B C C A P D
A
E
P
F
B
C DH
...
作业：
1.校本作业 2.分层作业 联想与中点有关的根本图形 归纳与中点有关的常用方法、结论
B
A
知三推二，其他组合方式
根本图形与结论
E
D AB∥DE
BF平分∠ABE
F EF平分∠BED
B
A
AB∥DE
BF平分∠ABE
BE=AB+DE
F是AD中点 BE=AB+DE
F是AD中点 EF平分∠BED
联积 想累 助丰 力富 思联 维想
随堂检测
小结： 1.几何复习三层次：概念定理、根本图形与
常用结论、思维建构 2.综合题思维建构：破题一句一思、二句一思、 多句一思、关联性思考与图形结论联想 3. 角平分线的根本图形和常用结论，不同联想 得不同的解题思路，常归纳积累不断充实
多句一思，关联性思考
B
C
不同联想， 得不同解题思路
《角平分线(1)》系列课件
E B
角平分线的性质定理
角平分线上的点到这个角的两边 的距离相等．
A
D
O
1 2
P C
E B
用心想一想，马到功成
你能写出这个定理的逆命题吗?
如果有一个点到角两边的距离相等， 那么这个点必在这个角的平分线上．
这个命题是假命题．角平分线是角内 部的一条射线，而角的外部也ห้องสมุดไป่ตู้在到角两 边距离相等的点．
角平分线性质定理的逆命题：在一个 角的内部且到角的两边距离相等的点，在 这个角的角平分线上．
1.4 角平分线（一）
用心想一想
还记得角平分线上的点有什么性质 吗?你是怎样得到的?
角平分线上的点到角两边的 距离相等．
已知：如图，OC是∠AOB的平分线，点P在OC上，
PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别为D、E．
A
求证：PD=PE．
D
O
1 2
P C
证明：∵∠1=∠2，OP=OP， ∠PDO=∠PEO=90°， ∴△PDO≌△PEO(AAS)． ∴PD=PE(全等三角形的对应边相等)
F，且DE=DF，
∴AD平分∠BAC（在一个角的内部，到角的
两边距离相等的点在这个角的平分线上）. E
F
又∵ ∠BAC=60°， ∴ ∠BAD=30°.
B
C
D
在Rt △ADE中， ∠AED=90°，AD=10， ∴如D果E一= 个12 A锐D角= 1等2×于1300=°5（，在那直么角它三所角对形的中直，角
∴∠1=∠2(全等三角形对应角相等)．
P C
E B
角平分线的判定定理
在一个角的内部，且到角 两边距离相等的点，在这个角 的角平分线上．
初中数学《角平分线的性质》优质课件
M
B
D P
N C
∴ △AMP ≌ △ANP（AAS） ∴PM=PN
角平分线的性质1
角的平分线上的点到角的两边的距离相等.
应用所具备的条件：
M
B
（1）AD为角的平分线； （2）点P在该平分线上； A
D P
（3）PM⊥AB PN⊥AC
符号语言：
N C
∵AD平分∠BAC ，PM⊥AB ， PN⊥AC
∴PM=PN
作用：判断线段相等的依据.
练习一：判断正误，并说明理由：
1.如图，P是∠AOB的平分线OC上的一点，D、E分
别在OA、OB上，则PD=PE .
(×)
2.如图，P在射线OC上，PD⊥OA，PE⊥OB，
PE=PF.
A
D
O
O
PC
E B
（1题）
A D
PC
E B
（2题）
(× )
3.如图，在∠AOB的平分线OC上任取一点P，若P到 OA 的距离为3cm，则P到OB的距离边为3cm.( √ )
B
A
D
C
结论： 角是轴对称图形，角的平分线所在的
直线是它的对称轴.
活动二：探索角平分线的第一个性质
请同学们在刚才折出的角平分线AD上，任意取一点 P，
通过尺规作图，过点 P 作 PM⊥AB，PN⊥AC，垂足分
别是点 M，N，用圆规比较 PM 与 PN 的大小，你有什
么发现？说明你的理由.
M
B
D
A
P
N C
结论：角平分线上的点，到这个角的两边的距离相等.
已知：AD是∠BAC的角平分线,点P是AD上任意一点，
PM⊥AB，PN⊥AC.求证：PM=PN
专题8 圆中角平分线问题
50 ∵AF∥OD，∴ADGG＝OADF＝153＝1103，则 DG＝1233AD. ∵AD＝ AB·AF＝ 18×5103＝301313，则 DG＝1233×301313＝302313.
课堂精讲
【方法归纳】AE是⊙O的直径，点D，F、E是⊙O上的三点，在① “AD平分∠BAC”，②“OD⊥BC”，③“BC是⊙O的切线”三个论断 中，知一推二．
(3)连接EF，在Rt△BOD中，利用三角函数的定义求出圆的半径， AE，AB的长，再证明EF∥BC，得出∠B＝∠AEF，利用锐角三角 函数的定义求出AF的长，再根据AF∥OD，得出线段成比例， 求出DG的长，然后可求出AD的长，从而可求得DG的长
课堂精讲
【解】(1)证明：如图，连接OD. ∵AD为∠BAC的角平分线， ∴∠BAD＝∠CAD. ∵OA＝OD，∴∠ODA＝∠OAD. ∴∠ODA＝∠CAD.∴OD∥AC. ∵∠C＝90°，∴∠ODC＝90°. ∴OD⊥BC. ∴BC为⊙O的切线．
则B︵D的长度为601·8π0·4＝43π.
课后精练
5．(2018·泰州)如图，AB 为⊙O 的直径，C 为⊙O 上一点， ∠ABC 的平分线交⊙O 于点 D，DE⊥BC 于点 E.
(1)试判断 DE 与⊙O 的位置关系，并说明理由； (2)过点 D 作 DF⊥AB 于点 F，若 BE＝3 3，DF＝3，求图中 阴影部分的面积．
∵BE＝3 3，∴BD＝ 32＋（3 3）2＝6.
∵sin∠DBF＝sin∠EBD＝36＝12，∴∠DBA＝30°.∴∠DOF＝60°.
∴sin∠DOF＝DDOF＝D3O＝ 23.∴DO＝2 3，则 FO＝ 3.
故 S 阴影＝60π×3（602
3）2－12×
3×3＝2π－3
课堂精讲
【方法归纳】AE是⊙O的直径，点D，F、E是⊙O上的三点，在① “AD平分∠BAC”，②“OD⊥BC”，③“BC是⊙O的切线”三个论断 中，知一推二．
(3)连接EF，在Rt△BOD中，利用三角函数的定义求出圆的半径， AE，AB的长，再证明EF∥BC，得出∠B＝∠AEF，利用锐角三角 函数的定义求出AF的长，再根据AF∥OD，得出线段成比例， 求出DG的长，然后可求出AD的长，从而可求得DG的长
课堂精讲
【解】(1)证明：如图，连接OD. ∵AD为∠BAC的角平分线， ∴∠BAD＝∠CAD. ∵OA＝OD，∴∠ODA＝∠OAD. ∴∠ODA＝∠CAD.∴OD∥AC. ∵∠C＝90°，∴∠ODC＝90°. ∴OD⊥BC. ∴BC为⊙O的切线．
则B︵D的长度为601·8π0·4＝43π.
课后精练
5．(2018·泰州)如图，AB 为⊙O 的直径，C 为⊙O 上一点， ∠ABC 的平分线交⊙O 于点 D，DE⊥BC 于点 E.
(1)试判断 DE 与⊙O 的位置关系，并说明理由； (2)过点 D 作 DF⊥AB 于点 F，若 BE＝3 3，DF＝3，求图中 阴影部分的面积．
∵BE＝3 3，∴BD＝ 32＋（3 3）2＝6.
∵sin∠DBF＝sin∠EBD＝36＝12，∴∠DBA＝30°.∴∠DOF＝60°.
∴sin∠DOF＝DDOF＝D3O＝ 23.∴DO＝2 3，则 FO＝ 3.
故 S 阴影＝60π×3（602
3）2－12×
3×3＝2π－3
中考圆与角平分线有关题型
圆专题一：圆与角平分线复习目标：1、圆与角平分线问题2、垂径定理3、全等与相似三角形的性质一、圆与内角平分线例1、如图，AB是O的直径，BA与弦DC的延长线相交于点P，OD平分∠CDB。
（1）求证：CD=BD（2）若PA=5，PC=6，求tan∠PDO的值P举一反三：如图，AB是O的直径，C、D为O上的点，且OC平分∠ACD，CF⊥DB 于F,(1)求证：CA=CD(2)若DB=3BF，求tan∠BAC的值A例2、如图，RT △ABC ，∠DPB=90°，以AB 为直径做O 交AC 于D ，BD DE ，DF ⊥AE于F.(1) 求证：DF 为O 的切线(2) 若DF=3，O 的半径为5，求tan ∠BAC 的值举一反三：1、如图，RT △ABC ，∠C=90°，BD 平分∠ABC ，以AB 上一点O 为圆心，过点B 、D 两点做O ，O 交AB 于点E ，EF ⊥AC 于点F. （1） 求证：AC 为O 的切线 （2） 若EF=2，BC=4，求tan ∠A 的值A2、如图，AB 为O 的直径，点C 为O 上一点，∠BAC 的平分线交O 于D ，DE ⊥AC于F ，BN ∥AE 交ED 的延长线于N 。
（1） 求证：NE 为O 的切线 （1） 若BN=2，AC=6，求AF 的长D3、如图，RT △ABC ，∠A=90°，CD 平分∠ACB 交AB 于D 。
以BC 上一点O 为圆心，过AF点C 、D 两点做O.（3） 求证：AB 为O 的切线 （4） 若CD=5，S △ADC =6，求O 的半径B4、如图，AB 为O 的直径，AC 为弦，∠BAC 的平分线AD 交O 于D ，DE ⊥AC 交AC 的延长线于E ，OE 交AD 于点F 。
（1） 求证：DE 为O 的切线 (2) 若35AC AB ，求AFDF的值5、如图，点O 位Rt △ABC 斜边AB 上的一点，点D 是AC 边上的一点，BD 平分∠ABC ，以OB 为半径的O 经过点D ，于BC 交于点G 。
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一点，过点P作⊙O的切线，切点为C，连接AC.
• (1)若∠CPA＝30°，求PC的长；
• (2)若点P在AB的延长线上运动，∠CPA的平分线交 AC于点M.你认为∠CMP的大小是否发生变化？若变 化，请说明理由；若不变化，求出∠CMP的大小．
课后精练
解：(1)连接 OC，如图，则 OC⊥PC. 在 Rt△OCP 中，∠CPA＝30°， ∴PC＝ 3OC＝2 3.
课堂精讲
• 【解】(1)证明：如图1，连接OB， • ∵AB是⊙O的切线，∴OB⊥AB. • ∵CE⊥AB，∴OB∥CE.∴∠1＝∠3. • ∵OB＝OC，∴∠1＝∠2.∴∠2＝∠3.∴CB
平分∠ACE.
(2)如图 2，连接 BD，
课堂精讲
∵CE⊥AB，∴∠E＝90°.
∴BC＝ BE2＋CE2＝ 32＋42＝5.
• (3)连接EF，在Rt△BOD中，利用三角函数的定义求 出圆的半径，AE，AB的长，再证明EF∥BC，得出 ∠B＝∠AEF，利用锐角三角函数的定义求出AF的长 ，再根据AF∥OD，得出线段成比例，求出DG的长 ，然后可求出AD的长，从而可求得DG的长
课堂精讲
• 【解】(1)证明：如图，连接OD. • ∵AD为∠BAC的角平分线， • ∴∠BAD＝∠CAD. • ∵OA＝OD，∴∠ODA＝∠OAD. • ∴∠ODA＝∠CAD.∴OD∥AC. • ∵∠C＝90°，∴∠ODC＝90°. • ∴OD⊥BC. • ∴BC为⊙O的切线．
•
• 基本结论有： • 在①“AD平分∠BAC”，②“AE⊥ED”，③“DE
是⊙O的切线”三个论断中，知二推一．
方法提炼
• 2．如图2，Rt△ABC中，∠ACB＝90°.点O是AC 上一点，以OC为半径作⊙O交AC于点E.
• 基本结论有： • 在①“BO平分∠CBA”，②“BO∥DE”，③“AB是
课后精练
(2)如图，作 OG⊥AE 于点 G，连接 BD， 则 AG＝CG＝12AC＝2，∠OGE＝∠E＝∠ODE＝90°. ∴四边形 ODEG 是矩形． ∴OA＝OB＝OD＝CG＋CE＝2＋2＝4. ∵∠DAE＝∠BAD，∠AED＝∠ADB＝90°，∴△ADE∽△ABD. ∴AADE＝AADB，即A6D＝A8D.∴AD2＝48. 在 Rt△ABD 中，BD＝ AB2－AD2＝4. 在 Rt△ABD 中，∵AB＝2BD，∴∠BAD＝30°.∴∠BOD＝60°.
【分析】(1)证明：如图 1，连接 OB，由 AB 是⊙O 的切线，得到 OB⊥AB，由于 CE⊥AB，得 OB∥CE，于是得到∠1＝∠3，根据等腰三 角形的性质得到∠1＝∠2，通过等量代换得到结果．
(2)如图 2，连接 BD，通过证明△DBC∽△BEC，得到比例式CBDC＝BCCE， 列方程可得结果．
(1)求证：DF 是⊙O 的切线； (2)若点 M 是 OD 的中点，⊙O 的半径为 3，tan∠BOD＝2 2，求 BN 的 长．
课后精练
解：(1)证明：∵直径 AB 经过弦 CD 的中点 E， ∴AB⊥CD，B︵C＝B︵D.∴∠BOD＝2∠2. ∵∠1＝∠2，∠BOD＋∠ODE＝90°， ∴∠ODE＋∠1＋∠2＝90°. ∴∠ODF＝90°.∴DF 是⊙O 的切线．
课堂精讲
(2)连接 DF，由(1)知 BC 为⊙O 的切线， ∴∠FDC＝∠DAF.∴∠CDA＝∠CFD. ∴∠AFD＝∠ADB. ∵∠BAD＝∠DAF， ∴△ABD∽△ADF. ∴AADB＝AADF，即 AD2＝AB·AF＝xy. 则 AD＝ xy.
课堂精讲
(3)连接 EF，在 Rt△BOD 中，sin B＝OODB＝153， 设圆的半径为 r，可得r＋r 8＝153，解得 r＝5. ∴AE＝10，AB＝18. ∵AE 是直径，∴∠AFE＝∠C＝90°.∴EF∥BC.∴∠AEF＝∠B. ∴sin∠AEF＝AAEF＝153.∴AF＝AE·sin∠AEF＝10×153＝5103.
课后精练
• 解：(1)DE与⊙O相切．理由如下： • 连接DO，如图． • ∵DO＝BO，∴∠ODB＝∠OBD. • ∵BD平分∠ABC，∴∠EBD＝∠DBO. • ∴∠EBD＝∠BDO.∴DO∥BE. • ∵DE⊥BC，∴∠DEB＝∠EDO＝90°. • ∴DE与⊙O相切．
课后精练
(2)∵BD 平分∠ABC，DE⊥BE，DF⊥AB，∴DE＝DF＝3.
中点，E 为 OD 延长线上一点，且∠CAE＝2∠C，AC 与 BD 交于点 H，与
OE 交于点 F. (1)求证：AE 是⊙O 的切线；
(2)若 DH＝9，tan C＝34，求直径 AB 的长．
课后精练
解：(1)证明：∵D 是A︵C的中点，∴OE⊥AC. ∴∠AFE＝90°.∴∠E＋∠EAF＝90°. ∵∠AOE＝2∠C，∠CAE＝2∠C， ∴∠CAE＝∠AOE.∴∠E＋∠AOE＝90°. ∴∠EAO＝90°.∴AE 是⊙O 的切线．
圆中角平分线问题
考点解读
• 角平分线问题在历年中考中都占有重要地位 ，都是在大题中结合题目的背景进行综合考 查，重在考查学生对知识的应用能力．角平 分线构成的等量关系和“圆”结合的时候，可 以转化成“等角、等弧、等弦”互化问题，着 重考查熟练运用相关的定理和逻辑推理能力 .
方法提炼
• 1.如图1，AB是⊙O的直径，点D，C是⊙O上的两 点．
课后精练
1．如图，在△ABC 中，O 是 AB 边上的点，以 O 为圆心，OB 为半径的⊙O 与 AC 相切于点 D，BD 平分∠ABC，AD＝ 3OD，AB
＝12，CD 的长பைடு நூலகம்( • )A
A．2 3 B．2 C．3 3 D．4 3
课后精练
• 2．(2019·荆门)如图，△ABC内心为I，连 接AI并延长交△ABC的• 外A 接圆于D，则线 段DI与DB的关系是( )
双垂直图形.
课堂精讲
• 例 1 (2019·邵 阳 一 模 ) 如 图 ， 已 知 △ABC的边AB是⊙O的切线，切点为B.AC 经过圆心O并与圆相交于点D，C，过C作 直线CE⊥AB，交AB的延长线于点E. • (1)求证：CB平分∠ACE； • (2)若BE＝3，CE＝4，求⊙O的半径．
课堂精讲
• A．DI＝DB • C．DI＜DB
B．DI＞DB D．不确定
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• 3．(2019·菏泽)如图，AB是⊙O的直径 ，C，D是⊙O上的两点，且BC平分 ∠ABD，AD分别与BC，OC相交于点E ，F，
• •C
• 则下列结论不一定成立的是( ) • A．OC∥BD • B．AD⊥OC
课后精练
(2)连接 AD，在 Rt△ADH 中，
∵∠DAC＝∠C，∴tan∠DAC＝tan C＝34. ∵DH＝9，∴AD＝12.
在 Rt△BDA 中，∵tan B＝tan C＝34， ∴sin B＝35.∴AB＝20.
课后精练
9．如图，在⊙O 中，直径 AB 经过弦 CD 的中点 E，点 M 在 OD 上， AM 的延长线交⊙O 于点 G，交过 D 的直线于 F，∠1＝∠2，连接 BD 与 CG 交于点 N.
(2)∠CMP 的大小不发生变化． ∠CMP＝∠A＋∠MPA＝12∠COP＋12∠CPO＝12×90°＝45°. 故∠CMP 的大小恒为 45°.
课后精练
7．如图，AB 是⊙O 的直径，点 C 在 AB 的延长线上，AD 平分∠CAE 交⊙O 于点 D，且 AE⊥CD，垂足为点 E.
(1)求证：直线 CE 是⊙O 的切线． (2)若 BC＝3，CD＝3 2，求弦 AD 的长．
课堂精讲
例 2 (2018·成都)如图，在 Rt△ABC 中，∠C＝90°，AD 平分∠BAC 交 BC 于点 D，O 为 AB 上一点，经过点 A，D 的⊙O 分别交 AB，AC 于点 E，F，连接 OF 交 AD 于点 G.
(1)求证：BC 是⊙O 的切线； (2)设 AB＝x，AF＝y，试用含 x，y 的代数式表示线段 AD 的长； (3)若 BE＝8，sin B＝153，求 DG 的长．
∵CD 是⊙O 的直径，∴∠DBC＝90°.
∴∠E＝∠DBC.∴△DBC∽△BEC. ∴CBDC＝BCCE.∴BC2＝CD·CE. ∴CD＝542＝245.∴OC＝12CD＝285.∴⊙O 的半径为285.
课堂精讲
• 【方法归纳】本题考查了切线的性质， 勾股定理，相似三角形的判定和性质， 圆周角定理，平行线的判定和性质，正 确地作出辅助线是解题的关键．
课堂精讲
• 【分析】(1)连接OD，根据角平分线的性质及等腰三 角形的性质，证明∠ODC＝90°即可；
• (2)连接DF，由(1)得BC是⊙O的切线，由弦切角等 于夹弧所对的圆周角，可证得∠FDC＝∠DAF，再证 ∠CDA＝∠CFD，根据平角的定义可证得∠AFD＝ ∠ADB，从而可证得△ABD∽△ADF，得出对应边成 比例，可得出答案；
课后精练
• 解：(1)证明：连接OD，如图，
• ∵AD平分∠EAC，∴∠1＝∠3.
• ∵OA＝OD，∴∠1＝∠2.
• ∴∠3＝∠2.∴OD∥AE.
•
∵AE⊥DC，∴OD⊥CE.
•
∴CE是⊙O的切线．
课后精练
(2)连接 BD.
∵∠CDO＝∠ADB＝90°，∴∠2＝∠CDB＝∠1.
∵∠C＝∠C，∴△CDB∽△CAD.∴CCDA＝CCDB＝ABDD.
50 ∵AF∥OD，∴ADGG＝OADF＝153＝1103，则 DG＝1233AD. ∵AD＝ AB·AF＝ 18×5103＝301313，则 DG＝1233×301313＝302313.
课堂精讲
• 【方法归纳】AE是⊙O的直径，点D，F 、E是⊙O上的三点，在①“AD平分 ∠BAC”，②“OD⊥BC”，③“BC是 ⊙O的切线”三个论断中，知一推二．
∴CD2＝CB·CA，即(3 2)2＝3CA.∴CA＝6.
• (1)若∠CPA＝30°，求PC的长；
• (2)若点P在AB的延长线上运动，∠CPA的平分线交 AC于点M.你认为∠CMP的大小是否发生变化？若变 化，请说明理由；若不变化，求出∠CMP的大小．
课后精练
解：(1)连接 OC，如图，则 OC⊥PC. 在 Rt△OCP 中，∠CPA＝30°， ∴PC＝ 3OC＝2 3.
课堂精讲
• 【解】(1)证明：如图1，连接OB， • ∵AB是⊙O的切线，∴OB⊥AB. • ∵CE⊥AB，∴OB∥CE.∴∠1＝∠3. • ∵OB＝OC，∴∠1＝∠2.∴∠2＝∠3.∴CB
平分∠ACE.
(2)如图 2，连接 BD，
课堂精讲
∵CE⊥AB，∴∠E＝90°.
∴BC＝ BE2＋CE2＝ 32＋42＝5.
• (3)连接EF，在Rt△BOD中，利用三角函数的定义求 出圆的半径，AE，AB的长，再证明EF∥BC，得出 ∠B＝∠AEF，利用锐角三角函数的定义求出AF的长 ，再根据AF∥OD，得出线段成比例，求出DG的长 ，然后可求出AD的长，从而可求得DG的长
课堂精讲
• 【解】(1)证明：如图，连接OD. • ∵AD为∠BAC的角平分线， • ∴∠BAD＝∠CAD. • ∵OA＝OD，∴∠ODA＝∠OAD. • ∴∠ODA＝∠CAD.∴OD∥AC. • ∵∠C＝90°，∴∠ODC＝90°. • ∴OD⊥BC. • ∴BC为⊙O的切线．
•
• 基本结论有： • 在①“AD平分∠BAC”，②“AE⊥ED”，③“DE
是⊙O的切线”三个论断中，知二推一．
方法提炼
• 2．如图2，Rt△ABC中，∠ACB＝90°.点O是AC 上一点，以OC为半径作⊙O交AC于点E.
• 基本结论有： • 在①“BO平分∠CBA”，②“BO∥DE”，③“AB是
课后精练
(2)如图，作 OG⊥AE 于点 G，连接 BD， 则 AG＝CG＝12AC＝2，∠OGE＝∠E＝∠ODE＝90°. ∴四边形 ODEG 是矩形． ∴OA＝OB＝OD＝CG＋CE＝2＋2＝4. ∵∠DAE＝∠BAD，∠AED＝∠ADB＝90°，∴△ADE∽△ABD. ∴AADE＝AADB，即A6D＝A8D.∴AD2＝48. 在 Rt△ABD 中，BD＝ AB2－AD2＝4. 在 Rt△ABD 中，∵AB＝2BD，∴∠BAD＝30°.∴∠BOD＝60°.
【分析】(1)证明：如图 1，连接 OB，由 AB 是⊙O 的切线，得到 OB⊥AB，由于 CE⊥AB，得 OB∥CE，于是得到∠1＝∠3，根据等腰三 角形的性质得到∠1＝∠2，通过等量代换得到结果．
(2)如图 2，连接 BD，通过证明△DBC∽△BEC，得到比例式CBDC＝BCCE， 列方程可得结果．
(1)求证：DF 是⊙O 的切线； (2)若点 M 是 OD 的中点，⊙O 的半径为 3，tan∠BOD＝2 2，求 BN 的 长．
课后精练
解：(1)证明：∵直径 AB 经过弦 CD 的中点 E， ∴AB⊥CD，B︵C＝B︵D.∴∠BOD＝2∠2. ∵∠1＝∠2，∠BOD＋∠ODE＝90°， ∴∠ODE＋∠1＋∠2＝90°. ∴∠ODF＝90°.∴DF 是⊙O 的切线．
课堂精讲
(2)连接 DF，由(1)知 BC 为⊙O 的切线， ∴∠FDC＝∠DAF.∴∠CDA＝∠CFD. ∴∠AFD＝∠ADB. ∵∠BAD＝∠DAF， ∴△ABD∽△ADF. ∴AADB＝AADF，即 AD2＝AB·AF＝xy. 则 AD＝ xy.
课堂精讲
(3)连接 EF，在 Rt△BOD 中，sin B＝OODB＝153， 设圆的半径为 r，可得r＋r 8＝153，解得 r＝5. ∴AE＝10，AB＝18. ∵AE 是直径，∴∠AFE＝∠C＝90°.∴EF∥BC.∴∠AEF＝∠B. ∴sin∠AEF＝AAEF＝153.∴AF＝AE·sin∠AEF＝10×153＝5103.
课后精练
• 解：(1)DE与⊙O相切．理由如下： • 连接DO，如图． • ∵DO＝BO，∴∠ODB＝∠OBD. • ∵BD平分∠ABC，∴∠EBD＝∠DBO. • ∴∠EBD＝∠BDO.∴DO∥BE. • ∵DE⊥BC，∴∠DEB＝∠EDO＝90°. • ∴DE与⊙O相切．
课后精练
(2)∵BD 平分∠ABC，DE⊥BE，DF⊥AB，∴DE＝DF＝3.
中点，E 为 OD 延长线上一点，且∠CAE＝2∠C，AC 与 BD 交于点 H，与
OE 交于点 F. (1)求证：AE 是⊙O 的切线；
(2)若 DH＝9，tan C＝34，求直径 AB 的长．
课后精练
解：(1)证明：∵D 是A︵C的中点，∴OE⊥AC. ∴∠AFE＝90°.∴∠E＋∠EAF＝90°. ∵∠AOE＝2∠C，∠CAE＝2∠C， ∴∠CAE＝∠AOE.∴∠E＋∠AOE＝90°. ∴∠EAO＝90°.∴AE 是⊙O 的切线．
圆中角平分线问题
考点解读
• 角平分线问题在历年中考中都占有重要地位 ，都是在大题中结合题目的背景进行综合考 查，重在考查学生对知识的应用能力．角平 分线构成的等量关系和“圆”结合的时候，可 以转化成“等角、等弧、等弦”互化问题，着 重考查熟练运用相关的定理和逻辑推理能力 .
方法提炼
• 1.如图1，AB是⊙O的直径，点D，C是⊙O上的两 点．
课后精练
1．如图，在△ABC 中，O 是 AB 边上的点，以 O 为圆心，OB 为半径的⊙O 与 AC 相切于点 D，BD 平分∠ABC，AD＝ 3OD，AB
＝12，CD 的长பைடு நூலகம்( • )A
A．2 3 B．2 C．3 3 D．4 3
课后精练
• 2．(2019·荆门)如图，△ABC内心为I，连 接AI并延长交△ABC的• 外A 接圆于D，则线 段DI与DB的关系是( )
双垂直图形.
课堂精讲
• 例 1 (2019·邵 阳 一 模 ) 如 图 ， 已 知 △ABC的边AB是⊙O的切线，切点为B.AC 经过圆心O并与圆相交于点D，C，过C作 直线CE⊥AB，交AB的延长线于点E. • (1)求证：CB平分∠ACE； • (2)若BE＝3，CE＝4，求⊙O的半径．
课堂精讲
• A．DI＝DB • C．DI＜DB
B．DI＞DB D．不确定
课后精练
• 3．(2019·菏泽)如图，AB是⊙O的直径 ，C，D是⊙O上的两点，且BC平分 ∠ABD，AD分别与BC，OC相交于点E ，F，
• •C
• 则下列结论不一定成立的是( ) • A．OC∥BD • B．AD⊥OC
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(2)连接 AD，在 Rt△ADH 中，
∵∠DAC＝∠C，∴tan∠DAC＝tan C＝34. ∵DH＝9，∴AD＝12.
在 Rt△BDA 中，∵tan B＝tan C＝34， ∴sin B＝35.∴AB＝20.
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9．如图，在⊙O 中，直径 AB 经过弦 CD 的中点 E，点 M 在 OD 上， AM 的延长线交⊙O 于点 G，交过 D 的直线于 F，∠1＝∠2，连接 BD 与 CG 交于点 N.
(2)∠CMP 的大小不发生变化． ∠CMP＝∠A＋∠MPA＝12∠COP＋12∠CPO＝12×90°＝45°. 故∠CMP 的大小恒为 45°.
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7．如图，AB 是⊙O 的直径，点 C 在 AB 的延长线上，AD 平分∠CAE 交⊙O 于点 D，且 AE⊥CD，垂足为点 E.
(1)求证：直线 CE 是⊙O 的切线． (2)若 BC＝3，CD＝3 2，求弦 AD 的长．
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例 2 (2018·成都)如图，在 Rt△ABC 中，∠C＝90°，AD 平分∠BAC 交 BC 于点 D，O 为 AB 上一点，经过点 A，D 的⊙O 分别交 AB，AC 于点 E，F，连接 OF 交 AD 于点 G.
(1)求证：BC 是⊙O 的切线； (2)设 AB＝x，AF＝y，试用含 x，y 的代数式表示线段 AD 的长； (3)若 BE＝8，sin B＝153，求 DG 的长．
∵CD 是⊙O 的直径，∴∠DBC＝90°.
∴∠E＝∠DBC.∴△DBC∽△BEC. ∴CBDC＝BCCE.∴BC2＝CD·CE. ∴CD＝542＝245.∴OC＝12CD＝285.∴⊙O 的半径为285.
课堂精讲
• 【方法归纳】本题考查了切线的性质， 勾股定理，相似三角形的判定和性质， 圆周角定理，平行线的判定和性质，正 确地作出辅助线是解题的关键．
课堂精讲
• 【分析】(1)连接OD，根据角平分线的性质及等腰三 角形的性质，证明∠ODC＝90°即可；
• (2)连接DF，由(1)得BC是⊙O的切线，由弦切角等 于夹弧所对的圆周角，可证得∠FDC＝∠DAF，再证 ∠CDA＝∠CFD，根据平角的定义可证得∠AFD＝ ∠ADB，从而可证得△ABD∽△ADF，得出对应边成 比例，可得出答案；
课后精练
• 解：(1)证明：连接OD，如图，
• ∵AD平分∠EAC，∴∠1＝∠3.
• ∵OA＝OD，∴∠1＝∠2.
• ∴∠3＝∠2.∴OD∥AE.
•
∵AE⊥DC，∴OD⊥CE.
•
∴CE是⊙O的切线．
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(2)连接 BD.
∵∠CDO＝∠ADB＝90°，∴∠2＝∠CDB＝∠1.
∵∠C＝∠C，∴△CDB∽△CAD.∴CCDA＝CCDB＝ABDD.
50 ∵AF∥OD，∴ADGG＝OADF＝153＝1103，则 DG＝1233AD. ∵AD＝ AB·AF＝ 18×5103＝301313，则 DG＝1233×301313＝302313.
课堂精讲
• 【方法归纳】AE是⊙O的直径，点D，F 、E是⊙O上的三点，在①“AD平分 ∠BAC”，②“OD⊥BC”，③“BC是 ⊙O的切线”三个论断中，知一推二．
∴CD2＝CB·CA，即(3 2)2＝3CA.∴CA＝6.