(完整版)2.3.3直线与平面垂直的性质定理
高中 直线、平面垂直的判定与性质 知识点+例题+练习
教学过程在四棱锥P－ABCD中，P A⊥底面ABCD，AB⊥AD，AC⊥CD，∠ABC＝60°，P A＝AB＝BC，E是PC的中点．证明：(1)CD⊥AE；(2)PD⊥平面ABE.规律方法证明线面垂直的方法：一是线面垂直的判定定理；二是利用面面垂直的性质定理；三是平行线法(若两条平行线中一条垂直于这个平面，则另一条也垂直于这个平面)．解题时，注意线线、线面与面面关系的相互转化；另外，在证明线线垂直时，要注意题中隐含的垂直关系，如等腰三角形的底边上的高、中线和顶角的角平分线三线合一、矩形的内角、直径所对的圆周角、菱形的对角线互相垂直、直角三角形(或给出线段长度，经计算满足勾股定理)、直角梯形等等.【训练1】(2013·江西卷改编)教学效果分析教学过程如图，直四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，AB∥CD，AD⊥AB，AB＝2，AD＝2，AA1＝3，E为CD上一点，DE＝1，EC＝3.证明：BE⊥平面BB1C1C.考点二平面与平面垂直的判定与性质【例2】(2014·深圳一模)如图，在三棱柱ABC－A1B1C1中，AA1⊥平面ABC，AB＝BC＝AA1，且AC＝2BC，点D是AB的中点．证明：平面ABC1⊥平面B1CD.规律方法证明两个平面垂直，首先要考虑直线与平面的垂直，也教学效果分析教学过程可简单地记为“证面面垂直，找线面垂直”，是化归思想的体现，这种思想方法与空间中的平行关系的证明非常类似，这种转化方法是本讲内容的显著特征，掌握化归与转化思想方法是解决这类问题的关键．【训练2】如图，在长方体ABCDA1B1C1D1中，AB＝AD＝1，AA1＝2，M是棱CC1的中点．证明：平面ABM⊥平面A1B1M.考点三平行、垂直关系的综合问题教学效果分析教学过程【例3】(2013·山东卷)如图，在四棱锥P-ABCD中，AB⊥AC，AB⊥P A，AB∥CD，AB＝2CD，E，F，G，M，N分别为PB，AB，BC，PD，PC的中点．(1)求证：CE∥平面P AD；(2)求证：平面EFG⊥平面EMN.规律方法线面关系与面面关系的证明离不开判定定理和性质定理，而形成结论的“证据链”依然是通过挖掘题目已知条件来实现的，如图形固有的位置关系、中点形成的三角形的中位线等，都为论证提供了丰富的素材．【训练3】(2013·辽宁卷)如图，AB是圆O的直径，P A垂直圆O所在的平面，C是圆O上的点．(1)求证：BC⊥平面P AC；(2)设Q为P A的中点，G为△AOC的重心，求证：QG∥平面PBC.教学效果分析1．转化思想：垂直关系的转化2．在证明两平面垂直时一般先从现有的直线中寻找平面的垂线，若这样的直线图中不存在，则可通过作辅助线来解决．如有平面垂直时，一般要用性质定理，在一个平面内作交线的垂线，使之转化为线面垂直，然后进一步转化为线线垂直．故熟练掌握“线线垂直”、“面面垂直”间的转化条件是解决这类问题的关键．创新突破6——求解立体几何中的探索性问题【典例】(2012·北京卷)如图1，在Rt△ABC中，∠C＝90°，D，E分别为AC，AB的中点，点F为线段CD上的一点．将△ADE沿DE折起到△A1DE的位置，使A1F⊥CD，如图2.(1)求证：DE∥平面A1CB；(2)求证：A1F⊥BE；(3)线段A1B上是否存在点Q，使A1C⊥平面DEQ？说明理由．[反思感悟] (1)解决探索性问题一般先假设其存在，把这个假设作已知条件，和题目的其他已知条件一起进行推理论证和计算，在推理论证和计算无误的前提下，如果得到了一个合理的结论，则说明存在，如果得到了一个不合理的结论，则说明不存在．(2)在处理空间折叠问题中，要注意平面图形与空间图形在折叠前后的相互位置关系与长度关系等，关键是点、线、面位置关系的转化与平面几何知识的应用，注意平面几何与立体几何中相关知识点的异同，盲目套用容易导致错误．【自主体验】(2014·韶关模拟)如图1，在直角梯形ABCD中，∠ADC＝90°，CD∥AB，AD＝CD＝12AB＝2，点E为AC中点，将△ADC沿AC折起，使平面ADC⊥平面ABC，得到几何体D－ABC，如图2.(1)求证：DA⊥BC；(2)在CD上找一点F，使AD∥平面EFB.基础巩固题组(建议用时：40分钟)一、填空题1．设平面α与平面β相交于直线m，直线a在平面α内，直线b 在平面β内，且b⊥m，则“α⊥β”是“a⊥b”的________条件．2．(2014·绍兴调研)设α，β为不重合的平面，m，n为不重合的直线，则下列正确命题的序号是________．①若α⊥β，α∩β＝n，m⊥n，则m⊥α；②若m⊂α，n⊂β，m⊥n，则n⊥α；③若n⊥α，n⊥β，m⊥β，则m⊥α；④若m∥α，n∥β，m⊥n，则α⊥β.3.如图，AB是圆O的直径，P A垂直于圆O所在的平面，C是圆周上不同于A，B的任一点，则图形中有________对线面垂直．4．若M是线段AB的中点，A，B到平面α的距离分别是4 cm，6 cm，则M到平面α的距离为________．5．(2014·郑州模拟)已知平面α，β，γ和直线l，m，且l⊥m，α⊥γ，α∩γ＝m，β∩γ＝l，给出下列四个结论：①β⊥γ；②l⊥α；③m⊥β；④α⊥β.其中正确的是________．6.如图，在四棱锥P ABCD中，P A⊥底面ABCD，且底面各边都相等，M是PC上的一动点，当点M满足________时，平面MBD⊥平面PCD.(只要填写一个你认为正确的条件即可)7．设α，β是空间两个不同的平面，m，n是平面α及β外的两条不同直线．从“①m⊥n；②α⊥β；③n⊥β；④m⊥α”中选取三个作为条件，余下一个作为结论，写出你认为正确的一个命题：________(用代号表示)．8.如图，P A⊥圆O所在的平面，AB是圆O的直径，C是圆O上的一点，E，F分别是点A在PB，PC上的正投影，给出下列结论：①AF⊥PB；②EF⊥PB；③AF⊥BC；④AE⊥平面PBC.其中正确结论的序号是________．二、解答题9．(2013·北京卷)如图，在四棱锥P ABCD中，AB∥CD，AB⊥AD，CD＝2AB，平面P AD⊥底面ABCD，P A⊥AD.E和F分别是CD和PC的中点．求证：(1)P A⊥底面ABCD；(2)BE∥平面P AD；(3)平面BEF⊥平面PCD.10．(2013·泉州模拟)如图所示，在直四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，DB＝BC，DB⊥AC，点M是棱BB1上一点．(1)求证：B1D1∥平面A1BD；(2)求证：MD⊥AC；(3)试确定点M的位置，使得平面DMC1⊥平面CC1D1D.能力提升题组(建议用时：25分钟)一、填空题1.如图，在斜三棱柱ABCA1B1C1中，∠BAC＝90°，BC1⊥AC，则C1在底面ABC上的射影H必在直线______上．2.如图，在四面体ABCD中，若截面PQMN是正方形，则在下列命题中，错误的为________．①AC⊥BD；②AC∥截面PQMN；③AC＝BD；④异面直线PM与BD所成的角为45°.3．(2013·南通二模)如图，已知六棱锥P ABCDEF的底面是正六边形，P A⊥平面ABC，P A＝2AB，则下列结论中：①PB⊥AE；②平面ABC⊥平面PBC；③直线BC∥平面P AE；④∠PDA＝45°.其中正确的有________(把所有正确的序号都填上)．二、解答题4．(2014·北京西城一模)。
§2.3.3直线与平面垂直的性质
B
β
A
D
E
结论
平面与平面垂直的性质定理： 两个平面垂直，则一个平面内垂直于交线的直 线与另一个平面垂直。
α C
D A B
β
l b b bl
概念巩固
判断下列命题的真假 1.若α ⊥β ，那么α 内的所有直线都垂直于β 。 × 2.两平面互相垂直，分别在这两平面内的两直 线互相垂直。 × 3.两平面互相垂直，分别在两平面内且互相垂直的 两直线一定分别与另一个平面垂直。×
直线与平面垂直的性质
平面与平面垂直的性质
复习引入
直线与平面 垂直的判定 推论
定义法 如果一条直 线垂直于一个 平面内的任何 一条直线，那 么此直线垂直 于这个平面。
如果一条 直线垂直于一 个平面，那么 它的平行线也 会垂直于这个 平面。
a //b, a b
已知a ，b ，求证a //b.
图形语言：
a
b
α
符号语言：
a ，b a // b
例1.如图，在正方体 ABCD---A1B1C1D1中，M 是AB上一点，N是A1C的 中点，MN 面A1DC. 求证（1）MN // AD1 (2)M是AB的中点
D1 B1
C1
A1
N
o
D C
AMຫໍສະໝຸດ B已知：平面 ⊥平面β ，平面 ∩平面β =AB， CD 平面 ，CD ⊥ AB, 且CD ∩ AB =D。 求证：直线CD⊥平面β 。
在平面 中：l a，l c a //c 又a ，c a //，同理b // 又a b=A //
a
B
c
证明： (反证法) 假设a与b不平行 b ， 设求b =O过点O作b//a a ， b
直线与平面垂直、平面与平面垂直的性质
D、a 或a //
应用举例
例1：在正方体ABCD A1B1C1D1中，M是AB上
一点，N是A1C上的一点，MN 平面A1DC
求证：MN // AD1
分证析明：：要证A1 AMDND//1是AD正1 , 方 只需形证明
ADA1D1 平面A1AD1DC.只需证 明CADD1垂直平于面平A1面ADA1DD1C内 的两AD条1 相C交D直线即可。
简记： 线面垂直
线线平行
作用：证明空间直线的平行。
课堂练习（一）：
判断下列命题是否正确： (1)垂直于同一条直线的两个平面互相平行。（ ）
(2)垂直于同一个平面的两条直线互相平行。（ ）
(3)平行于同一个平面的两条直线互相平行。（ ）
课堂练习（二）：
（D ）
A、a //
B、a
已则C知a、与直a线的a位,b置和关平系面是，且a b,b ,
线线垂直判定 定定 义理线面垂直性性 质质 判定定理 定理线线平行．
新知探究二：平面与平面垂直的性质
如图，在长方体ABCD—A1B1C1D1中，
平面AC 平面D1C
平面AC 平面D1C DC D1
C1
D1D 平面D1C
A1
B1
D1D CD D1D 平面AC
D A
C B
平面与平面垂直的性质定理
直则于平A面BE，是须二证面 明直角
E
线 相 件垂 交 已- C直 直 有D于 线 一平 ， 条面而，的内题故平两中可面条条过角
D
B
A
该直AB线作B辅E助线.
C
AB CD
CD , BE , BE CD B
AB
§2.3.3直线与平面垂直的性质
复习引入
判定定理 如果一条直 线垂直于一个 平面内的两条 平面内的两条 相交直线 直线， 相交直线，那 么此直线垂直 于这个平面。 于这个平面。 直线与平面 垂直的判定 推论 如果一条 直线垂直于一 个平面， 个平面，那么 它的平行线 平行线也 它的平行线也 会垂直于这个 平面。 平面。
a ⊥ α，b ⊥ α ⇒ a // b
是否成立？ 是否成立？
β
b’ a b
α
O
问题.已知a ⊥ α，b ⊥ α，求证a//b.
证明： (反证法) 假设a与b不平行Qb ⊥α， 设求b Iα=O过点O作b′//α Qa ⊥α， b′ ⊥α ∴ α 则过一点 有两 O 条直线b与 ′ ⊥α b 这与过一点有且 只有一条直线 与已知平 面垂直矛盾 可见假设 不成立 ∴a//b
练习： 练习：P79 第1、、直线和平面垂直的性质定理： 、直线和平面垂直的性质定理： 如果两条直线同垂直于一个平面， 如果两条直线同垂直于一个平面，那么 这两条直线平行. 这两条直线平行
β
图形语言： 图形语言：
a
b
α 符号语言： 符号语言： a ⊥ α，b ⊥ α ⇒ a // b
例 1.已 l ⊥α， ⊥ β， 证 //β. 知 l 求 a 证明：设l Iα=A l I β =B ， 在α内过点A取两条直线a和b l Ql Iα=A ∴l与 确 一 平 γ a 定 个 面 QB∈l ⊂ γ 且B∈β b A ∴β与 相交 γ ，设β Iγ =c α =c
定义法 如果一条直 线垂直于一个 平面内的任何 平面内的任何 一条直线 直线， 一条直线，那 么此直线垂直 于这个平面。 于这个平面。
1、线面垂直的概念 、
2.3直线、平面垂直的判定及其性质(新课知识讲解)
从一条直线出发的两个半平面所组 成的图形叫做二面角
思考:下列两个二面角在摆放上有什 么不同？
β l l
α
α
β
思考:一个二面角是由一条直线和两 个半平面组成，其中直线l叫做二面 角的棱，两个半平面α 、β 都叫做 二面角的面，二面角通常记作“二 面角α -l-β ”.那么两个相交平面共 组成几个二面角？
β
面
棱
l
α
二面角的 画法与记法 2、二面角的记法： 面1－棱－面2 （1）、以直线l 为棱，以 a , 为半平面的二面角记为：
a l
a, （2）、以直线AB 为棱，以 为半平面的二面角记为：
a AB
a
l
A
B
a
二面角的 平面角的定义、范围及作法 1、二面角的平面角： 以二面角的棱上任意一点为端点，在两个面上分别引 垂直于棱的两条射线，这两条射线所成的角叫做二面角的 平面角。 ? AOB AOB== a 注:（1）二面角的平面角与点的位置 等角定理：如果一个角的两边和另 无关，只与二面角的张角大小有关。 A 一个角的两边分别平行，并且方向相 O （2）二面角是用它的平面角来度 同，那么这两个角相等。） B l 量的，一个二面角的平面角多大，就 说这个二面角是多少度的二面角。 B O （3）平面角是直角的二面角叫做 A 直二面角。 （4）二面角的取值范围一般规定 为（0,π）。 观看动画演示
4.总结反思—提高认识
（1）通过本节课的学习，你学会了
哪些判断直线与平面垂直的方法？
（2）在证明直线与平面垂直时应注
意哪些问题？
（3）本节课你还有哪些问题？
直线与平面垂直的判定方法 1. 定义：如果一条直线垂于一个平面内的任何一条 直线，则此直线垂直于这个平面. 2.判定定理:如果一条直线垂直于一个平面内的两条 相交直线，那么此直线垂直于这个平面。 3. 如果两条平行直线中的一条垂直于一个平面，那 么另一条也垂直于同一个平面。
2.3.3_直线与平面垂直的性质1
【总53】2.3.3 直线与平面垂直的性质三维目标1.探究直线与平面垂直的性质定理，培养学生的空间想象能力、实事求是等严肃的科学态度和品质.2.掌握直线与平面垂直的性质定理的应用提高逻辑推理的能力. 重点难点直线与平面垂直的性质定理及其应用. 教学过程 一、复习直线与平面垂直的定义：一条直线和平面内的任何一条直线都垂直，我们说这条直线和这个平面互相垂直，直线叫做平面的垂线，平面叫做直线的垂面.直线和平面垂直的画法及表示如下：图1如图1，表示方法为：a ⊥α. 由直线与平面垂直的定义不难得出：⎭⎬⎫⊥⊂ααb a ⇒b ⊥a. 二、导入新课如图2，长方体ABCD —A′B′C′D′中，棱AA′、BB′、CC′、DD′所在直线都垂直所在的平面ABCD ，它们之间具有什么位置关系？图2三、新课探究 1、提出问题①回忆空间两直线平行的定义.②判断同垂直于一条直线的两条直线的位置关系？③找出恰当空间模型探究同垂直于一个平面的两条直线的位置关系. ④用三种语言描述直线与平面垂直的性质定理.⑤如何理解直线与平面垂直的性质定理的地位与作用？2、讨论结果：①如果两条直线没有公共点，我们说这两条直线平行.它的定义是以否定形式给出的，其证明方法多用反证法.②如图3，同垂直于一条直线的两条直线的位置关系可能是：相交、平行、异面.图3③如图4，长方体ABCD —A′B′C′D′中，棱AA′、BB′、CC′、DD′所在直线都垂直于所在的平面ABCD ，它们之间具有什么位置关系？图4 图5棱AA′、BB′、CC′、DD′所在直线都垂直所在的平面ABCD ，它们之间互相平行. ④直线和平面垂直的性质定理用文字语言表示为：垂直于同一个平面的两条直线平行，也可简记为线面垂直、线线平行. 直线和平面垂直的性质定理用符号语言表示为：⎭⎬⎫⊥⊥ααb a ⇒b ∥a. 直线和平面垂直的性质定理用图形语言表示为：如图5.⑤直线与平面垂直的性质定理不仅揭示了线面之间的关系，而且揭示了平行与垂直之间的内在联系. 四、应用示例例1 证明垂直于同一个平面的两条直线平行. 解:已知a ⊥α,b ⊥α. 求证：a ∥b.图6证明：（反证法）如图6，假定a 与b 不平行，且b∩α=O,作直线b′，使O ∈b′,a ∥b′. 直线b′与直线b 确定平面β，设α∩β=c,则O ∈c. ∵a ⊥α,b ⊥α,∴a ⊥c,b ⊥c.∵b′∥a,∴b′⊥c.又∵O ∈b,O ∈b′,b ⊂β,b′⊂β, a ∥b′显然不可能，因此b ∥a.例2 如图7，已知α∩β=l,EA ⊥α于点A,EB ⊥β于点B,a ⊂α,a ⊥AB. 求证:a ∥l.图7证明：⎭⎬⎫⊥⊥⇒⎭⎬⎫=⋂⊥⊥EB l EA l l EB EA βαβα,⇒l ⊥平面EAB.又∵a ⊂α,EA ⊥α,∴a ⊥EA.又∵a ⊥AB,∴a ⊥平面EAB.∴a ∥l.例3 如图9，已知PA ⊥矩形ABCD 所在平面，M 、N 分别是AB 、PC 的中点. （1）求证：MN ⊥CD ； （2）若∠PDA=45°，求证:MN ⊥面PCD.图9证明：(1)取PD 中点E,又N 为PC 中点,连接NE,则NE ∥CD,NE=21CD. 又∵AM ∥CD,AM=21CD, ∴AMNE.∴四边形AMNE 为平行四边形. ∴MN ∥AE.∵⎪⎭⎪⎬⎫⊂⊥⇒⎭⎬⎫⊥⊥⇒⎭⎬⎫⊂⊥ADP AE ADP CD AD CD PA CD ABCD CD ABCD PA 平面平面平面平面⇒CD ⊥AE.(2)当∠PDA=45°时,Rt △PAD 为等腰直角三角形, 则AE ⊥PD.又MN ∥AE, ∴MN ⊥PD,PD∩CD=D. ∴MN ⊥平面PCD. 五、达标检测1、P 是△ABC 所在平面α外一点，且P 到△ABC 三边．．的距离相等，PO⊥α于O ，O 在△ABC 内，则O 是△ABC 的（ ）A 、外心B 、内心C 、重心D 、垂心2、正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中与AD 1垂直的平面是 （ ） A 、平面DD 1C 1C B 、平面A 1DB 1 C 、平面A 1B 1C 1D 1 D 、平面A 1DB3、已知平面α外的直线b 垂直于α内的二条直线，有以下结论：○1b 一定不垂直于α；○2b 可能垂直于平面α；○3b 一定不平行于平面α，其中正确的结论有（ ） A 、0个 B 、1个 C 、2个 D 、3个4、直线l 与平面α内的两条直线都垂直，则直线l 与平面α的位置关系是 （ ） A 、平行 B 、垂直 C 、在平面α内 D 、无法确定5、下面各命题中正确的是（ ）A 、直线a ，b 异面，a ⊂α，b ⊂β，则α∥β；B 、直线a∥b，a ⊂α，b ⊂β，则α∥β；C 、直线a⊥b，a⊥α，b⊥β，则a⊥β；D 、直线a ⊂α，b ⊂β，α∥β，则a ，b 异面.6、对于已知直线a ，如果直线b 同时满足下列三个条件：①与a 是异面直线；②与a 所成的角为定值θ；③与a 距离为定值d.那么这样的直线b 有（ ）A 、1条B 、2条C 、3条D 、无数条7、从点O 出发的不共面的3条射线OA 、OB 、OC 中，如果∠AOB ＝∠AOC ，则OA 在平面BOC 上的射影落在∠BOC 的________．8、若∠AOB 在平面α内，OC 是α的斜线，∠AOC ＝∠BOC ＝60°，OC 与α成45°角，则∠AO B ＝________． 9、点A 、B ∈平面α，点P ∉α，线段AP 、PB 在α内的射影长分别为3和5，则线段AB 的最大值是________，最小值是________．10、PD 垂直于正六边形ABCDEF ，若正六边形边长为a ，PD ＝a ，则点P 到BC 的距离为________． 11、边长为a 的正四面体A —BCD ，M 是棱AB 的中点，则CM 与底面BCD 所成的角的正弦值是_______12、如图10，已知正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1的棱长为a, 求证：BD 1⊥平面B 1AC;图10证明：∵AB ⊥B 1C ，BC 1⊥B 1C,∴B 1C ⊥面ABC 1D 1. 又BD 1⊂面ABC 1D 1,∴B 1C ⊥BD 1. ∵B 1B ⊥AC ，BD ⊥AC,∴AC ⊥面BB 1D 1D.又BD 1⊂面BB 1D 1D,∴AC ⊥BD 1. ∴BD 1⊥平面B 1AC.13、 已知在梯形ABCD 中，AB ∥CD ，CD 在平面α内，AB ∶CD=4∶6，AB 到α的距离为10 cm ，求梯形对角线的交点O 到α的距离.图11解：如图所示，过B 作BE ⊥α交α于点E ，连接DE, 过O 作OF ⊥DE 交DE 于点F,∵AB ∥CD ，AB ⊄α，CD ⊂α，∴AB ∥α.又BE ⊥α, ∴BE 即为AB 到α的距离，BE=10 cm 且∠BED=90°. ∵OF ⊥DE,∴OF ∥BE,得BDODBE OF =. ∵AB ∥CD,∴△AOB ∽△COD.∴46==AB CD OB OD ，得53106==BD OD . 又BDOD BE OF =，BE=10 cm, ∴OF=53×10=6（cm ）.∵OF ∥BE ，BE ⊥α.∴OF ⊥α，即OF 即为所求距离为6 cm. 课堂小结 知识总结：利用线面垂直的性质定理将线面垂直问题转化为线线平行，然后解决证明垂直问题、平行问题、求角问题、求距离问题等.思想方法总结：转化思想，即把面面关系转化为线面关系，把空间问题转化为平面问题. 作业课本习题2.3 A 组5.6.7.8。
人教高中数学必修二2.3直线、平面垂直的判定与性质 -三垂线定理 课件
结论：a⊥OA
P
线斜垂直
线射垂直
逆定理
O α
定理
线射垂直
线斜垂直
逆定理
a
A
例1：如图，在正方体中，O是AC与BD的交点，直线D1O与AC
垂直吗？说明你的理由。
D1
C1
D1O在平面ABCD内的射影是DO
AC与BD垂直
A1
B1
D1O与AC垂直（三垂线定理 ）
你知道吗？ D1B⊥AC
D
C
线射垂直
线斜垂直 A
射影OA和a直线之间的垂直关系
α
O
2、直线a可以移动，但只能在平面内移
动。因此，直线a和斜线PA可以相交也
可以异面。
P
3、三垂线定理的实质是平面的一条斜 线和平面内的一条直线垂直的判定定理。
O α
a
A
a
A
新知探究 • 逆定理
思考：
如果将定理中的条件a⊥OA改成a⊥PA，你会得到
怎样的结果？命题一定成立吗?
P
定理
即:线射垂直
线斜垂直
O α
a
A
定理中包括三种垂直关系：
①线面垂直 ②线射垂直 ③ 线斜垂直
P PO
P
a OA
P
a PA
O Aa
O Aa
O Aa
α
α
α
直线和 平面垂直
平面内的直线 和平面一条斜 线的射影垂直
平面内的直线 和平面的一条 斜线垂直
对定理的几点说明
P
1、三垂线定理描述的是斜线PA、
如图：请说出下列图形中的垂线、斜线和射影。
P
直线PO是垂线 直线PA是斜线
(完整版)《直线与平面垂直的判定》ppt课件
符号表示：
P
m ,n
mn
m nP
l
l m, l n
定理补充 “平面内”，“相交”，“垂直”三个条件必不可少
简记为：线线垂直
线面垂直
例1 如图，已知a∥b，a⊥α，求证：b⊥α.
分析：在平面内作两条相交直线.
证明：在平面 内作两条相交 a
b
直线m，n．
因为直线 a ，
根据直线与平面垂直的定义知 m
A
B
D
C
A
B
D
C
A
B
D
C
A
B
D
C
A
B
D
C
A
B
D
C
A
B
D
C
A
B
D
C
A
B
D
C
A
B
D
C
A
B
D
C
BD,CD都在桌面内，BD∩CD=D， AD⊥CD,AD⊥BD,
直线AD所在的A直线与桌面垂直
l
B
D
C
P
mn
直线和平面垂直的判定定理
一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，
则该直线与此平面垂直．
直线也是垂直的.
C1 C
α
B1 B
直线和平面垂直的定义
如果直线l与平面α内的任意一条直线都垂直， 我们就说直线l与平面α互相垂直,记作l⊥α.
l
平面α的垂线
A
直线l的垂面 垂足
直线和平面垂直的画法 注：画直线与水平平面垂直时，通常把直线画成 与表示P
α
思考2 若直线与平面内的无数条直线垂直，则直
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例1 已知：平面 =AB，PC ，PD ，垂足分
别是C、D，求证： AB CD 。
P
DB
H
C
A
理论迁移
如图，已知 I l,CA ,
于点A，CB 于点B，a , a AB,
求证：a // l .
C β
B
α
l
A
a
例2 PA 如图，已知 PA 矩形ABCD所 在平面，M、N分别是AB、PC的中点 求证： （1）MN CD; （2）若 PDA 45，o 求证：MN 面PCD
a ,b
过o作b'// a, b'// a, a
过点A有两条直线与平面 垂直 b' , 又 b 且b b' o,
这与“过一点有且只有一条直线垂过点o有直线b和b'垂直于，
直于已知平面”矛盾。
b与a不异面，综上假设不成立。
a与b不相交。
aA b
a // b
a b' b
o
4、自主探究—深化定理 问题③：
那么：
如果两条直线同垂直于一个平面，那么 这两条直线是否平行？
直线与平面垂直的性质定理: 如果两条直线同垂直于一个平面， 那么这两条直线平行.
3、启发引导—证明定理
已知：a ,b ，求证：a // b
证明：假定b不平行于a,则b与a相交或异面。
（1）若a与b相交设 ， a b A (2)若a与b异面，设b o
二、反证法的证明思路：反设→归谬→结论
三、两条直线平行的判定方法： 1、定义法：两直线共面且没有公共点。
2、平行线的传递性 记：a // b, a // c b // c 3、线面平行的性质定理 记：a // , a , b a // b
4、面面平行的性质定理 记： // , a, b a //b
a
b
1、线面垂直的概念
1、定义
2、如何判定线面垂直？ 2、判定定理
3、例１的结论
3、在空间，过一点，有几条直线与已知 平面垂直？过一点，有几个平面与已知直 线垂直？
唯一性公理一
过一点有且只有一条直线和已知平面垂直
m A
唯一性公理二
过一点有且只有一个平面和已知直线垂直
m
ABຫໍສະໝຸດ 4、我们已经知道：如果两条平行线中的一条垂直于一个平面， 那么另一条也垂直于这个平面.
5、线面垂直的性质定理 记：a ,b a // b
如果两条直线与平面所成的角相等，则两直线平行吗？
b
a a b' b
a a bb
1
2
o o 1
A1
1
o11o1
2 oo22 A2
2
结论：平行、相交、异面
五、过程设计 (三) 线面垂直性质定理的应用
１、判断下列命题的正误。
√ （1）平行于同一直线的两条直线互相平行（ ）
（2）垂直于同一直线的两条直线互相平行（×） （3）平行于同一平面的两条直线互相平行（×）
P
A
M B
E N
D
C
练习:如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，EF是异 面直线AC与A1D的公垂线，求证：EF//BD1. 提示：异面直线的公垂线是指和两条异面直线 都垂直相交的直线
D1
C1
A1
F
B1 D
C
E
A
B
五、过程设计 (四) 总结反思——提高认识
一、直线与平面垂直的性质定理： 垂直于同一个平面的两条直线平行