北京邮电大学附中高三数学一轮复习单元训练：概率 含答案
高考理科数学一轮复习课时卷第十章概率第二节____排列与组合(北师大版).doc
高考理科数学一轮复习课时卷：第十章概率第二节排列与组合一、选择题1．不等式A n6＜6A n5的解集为()A．[2,8] B．(6,11) C．[6,11) D．{11}答案：C解析：A n6＜6A n5∴n！(n－6)！＜6·n！(n－5)！∴n－5＜6∴n＜11又∵n≥6n≥5∴6≤n＜11，故选C.2．（全国2卷，理9)4位同学每人从甲、乙、丙3门课程中选修1门，则恰有2人选修课程甲的不同选法共有(A) 12种 (B) 24种 (C) 30种 (D)36种答案：B解析：242224⨯⨯=共有：C种3．广州亚运会组委会要从A、B、C、D、E五名志愿者中选派四人分别从事翻译、导游、礼仪、司机四项不同工作，若其中A和B只能从事前两项工作，其余三人均能从事这四项工作，则不同的选派方案共有()A．48种B．36种C．18种D．12种答案：B解析：分A和B都选中和只选中一个两种情况；当A和B都选中时，有A22·A32种选派方案；当A和B只选中一个时，有2A21·A33种选派方案，所以不同的选派方案共有A·2A32＋2A21·A33＝36种．4．(·金华联考)形如45132这样的数称为“波浪数”，即十位数字，千位数字均比与它们各自相邻的数字大，则由1,2,3,4,5可构成不重复的五位“波浪数”的个数为()A．B．18 C．16 D．11答案：C解析：由题意可得，十位和千位只能是4、5或者3、5.若十位和千位排4、5，则其他位置任意排1、2、3.则这样的数有A22A33＝12个；若十位和千位排5、3，这时4只能排在5的一边且不能和其他数字相邻，1、2在其余位置上任意排列，则这样的数有A22A22＝4个，综上，共有16个5．小张正在玩“QQ农场”游戏，他计划从仓库里的玉米、土豆、茄子、辣椒、胡萝卜这5种种子中选出4种分别种植在四块不同的空地上(一块空地只能种植一种作物)，若小张已决定在第一块空地上种茄子或辣椒，则不同的种植方案共有()A．36种B．48种C．60种D．64种答案：B解析：依题意分两类：①茄子与辣椒只有一种被选中，则不同的种植方案种数为C 21A 33＝12；②茄子与辣椒都被选中，则不同的种植方案种数为C 32C 21A 33＝36，故不同的种植方案共有48种．6．(·湖南联考)某人制定了一项旅游计划，从7个旅游城市中选5个进行游览，如果A 、B 、C 为必选城市，并且游览过程中必须按照先A 后B 再C 的次序经过A 、B 、C 三个城市(A 、B 、C 三个城市可以不相邻)，则不同的游览线路共有( )A ．80种B ．1C ．480种D ．600种答案：B解析：首先从剩余的另外4个城市选出2个，共有C 42＝6种方法，将选出的5个城市全排，则共有A 55种方法，由于要求必须按照先A 后B 再C 的顺序经过A 、B 、C 三个城市，所以需去除三座城市的全排的情况，所以不同的游览线路共有C 42×A 55A 33＝1路，故选B. 二、填空题7．如图所示，在A 、B 之间有四个焊接点，若焊接点脱落则导致电路不通，今发现A 、B 之间线路不通，则焊接点脱落的不同情况有________种．答案：13解析：四个焊接点脱落导致电路不通有四种可能：一处脱落时有C 21种可能；二处脱落时有C 42种可能；三处脱落时有C 43种可能；四处脱落时有1种情况．故共有可能的情况是C 21＋C 42＋C 43＋1＝2＋6＋4＋1＝13(种)．8．某班要从8名同学中选4人参加校运动会的4×100米接力比赛，其中甲、乙两名同学必须入选，而且甲、乙两人必须跑第一棒或最后一棒，则不同的安排方法共有________种(用数字作答)．答案：60解析：易知满足题意的不同的安排方法共有A 62A 22＝60种．9．(·武汉调研)从4个班级的学生中选出7名学生代表，若每一个班级中至少有一名代表，则选法种数为________种．答案：析：将7个名额视为7个完全一样的球，并将其排成一列，形成了6个空位，从这6个空位中任选三个插入“隔板”，每一种插入方法对应一种选法，因此相应的选法共有C 63＝三、解答题10．有5张卡片的正反面上分别写有0与1,2与3,4与5,6与7,8与9，将其中任意三张并排在一起组成三位数，共可以组成多少个不同的三位数？解：以“元素”进行分类，满足下列条件的三位数有以下三类：(1)不要0和1的有C 43·A 33·23个；(2)要1不要0的有C 42·A 33·22个；(3)要0不要1的有2C 42·22·A 22个．故共可得到不同的三位数有C 43·A 33·23＋C 42·A 33·22＋2C 42·22·A 22＝432(个)．11．有编号分别为1、2、3、4的四个盒子和四个小球，把小球全部放入盒子．问：(1)共有多少种放法？(2)恰有一个空盒，有多少种放法？(3)恰有2个盒子内不放球，有多少种放法？解：(1)1号小球可放入任意一个盒子内，有4种放法．同理，2、3、4号小球也各有4种放法，故共有44＝256种放法．(2)恰有一个空盒，则这4个盒子中只有3个盒子内有小球，且小球数只能是1、1、2.先从4个小球中任选2个放在一起，有C 42种方法，然后与其余2个小球看成三组，分别放入4个盒子中的3个盒子中，有A 43种放法．由分步计数原理，知共有C 42A 43＝144种不同的放法．(3)恰有2个盒子内不放球，也就是把4个小球只放入2个盒子内，有两类放法：①一个盒子内放1个球，另一个盒子内放3个球．先把小球分为两组，一组1个，另一组3个，有C 41种分法，再放到2个盒子内，有A 42种放法，共有C 41A 42种方法；②2个盒子内各放2个小球．先从4个盒子中选出2个盒子，有C 42种选法，然后把4个小球平均分成2组，每组2个，放入2个盒子内，也有C 42种选法，共有C 42C 42种方法．由分类计数原理知共有C 41A 42＋C 42C 42＝84种不同的放法．12．已知一组抛物线y ＝12ax 2＋bx ＋1，其中a 为2,4,6,8中任取的一个数，b 为1,3,5,7中任取的一个数，从这些抛物线中任意抽取两条，它们在与直线x ＝1交点处的切线恰好相互平行的情况有多少种？解：∵ y ′＝ax ＋b ，∴y ′|x ＝1＝a ＋b ，若a ＋b ＝5有两条抛物线，从中取出两条，有C 22种取法．若a ＋b ＝7有三条抛物线，从中取出两条，有C 32种取法．若a ＋b ＝9有四条抛物线，从中取出两条，有C 42种取法．若a ＋b ＝11有三条抛物线，从中取出两条，有C 32种取法．若a ＋b ＝13有两条抛物线，从中取出两条，有C 22种取法．由分类加法计数原理知任取两条，它们在与直线x ＝1交点处的切线恰好平行的情形共有C 22＋C 32＋C 42＋C 32＋C 22＝14种．。
高考数学一轮复习《概率》专项检测试题有答案
高考数学一轮复习《概率》专项检测试题有答案一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．设随机变量X 的分布列为3,2,1,2)(===i aii X P ，则==)2(X P ( ) A ．91 B ．61 C ． 31 D ．41【答案】C2．若随机变量X 的概率分布密度函数是),(,221)(8)1(2+∞-∞∈=--x ex f x π则(21)E X +的值是( )A ．5B ．9C ．3D ．2 【答案】C3．从2010名学生中选50人组成参观团，先用简单随机抽样方法剔除10人，再将其余2000人按系统抽样方法选取，则每人入选的概率( )A ．不全相等B 均不相等C ．都是2015 D ．都是401 【答案】C4．从装有除颜色外完全相同的2个红球和2个白球的口袋内任取2个球，那么互斥而不对立的两个事件是( )A ．至少有1个白球，都是白球B ．至少有1个白球，至少有1个红球C ．恰有1个白球，恰有2个白球D ．至少有1个白球，都是红球 【答案】C5．某游戏中，一个珠子从如右图所示的通道（图中的斜线）由上至下滑下，从最大面的六个出口出来，规定猜中出口者为胜．如果你在该游戏中，猜得珠子从出口3出来，那么你取胜的概率为( )A ．165 B ．325 C ．61 D ．以上都不对【答案】A6．设ξ是一个离散型随机变量，其分布列为：则q 等于( )A ．1B ．1±22 C ．1－22 D ．1＋22【答案】C7．下列事件：①一个口袋内装有5个红球，从中任取一球是红球；②抛掷两枚骰子，所得点数之和为9；③20()x x R ≥∈；④方程2350x x -+=有两个不相等的实数根；⑤巴西足球队会在下届世界杯足球赛中夺得冠军。
其中，随机事件的个数为( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 【答案】B8．随机变量X 服从二项分布X ～()p n B ,，且,200,300==DX EX 则p 等于( )A ．32 B ．31 C ． 1 D ． 0【答案】B9．已知随机变量X 服从正态分布N （2，2σ），8.0)4(=≤X P ，则=≤)0(X P ( )A ． 0.4B ．0.2C ．0.6D ．0.8 【答案】B10．从20的展开式中任取一项，则取到有理项的概率为( ) A ．521 B ．27 C ．310 D ．37【答案】B11．某班一学习兴趣小组在开展一次有奖答题活动中，从3道文史题和4道理科题中，不放回地抽取2道题，第一次抽到文史题，第二次也抽到文史题的概率是( )A ． 17；B.649；C.314；D. 949；【答案】A12．在长为12cm 的线段AB 上任取一点M ，并且以线段AM 为边的正方形，则这正方形的面积介于36cm2与81cm2之间的概率为( ) A ．14 B ．13C ．274D ．4512【答案】A二、填空题(本大题共4个小题，每小题5分，共20分，把正确答案填在题中横线上) 13．随机变量ξ的分布列为则ξ为奇数的概率为 ．【答案】81514．某渔船要对下月是否出海做出决策，如出海后遇到好天气，可得收益6000元，如出海后天气变坏将损失8000元，若不出海，无论天气如何都将承担1000元损失费，据气象部门的预测下月好天的概率为0．6，天气变坏的概率为0．4，则该渔船应选择_____________（填“出海”或“不出海”）． 【答案】出海15．在12个正整数（其中10个偶数，2个奇数）中，随机抽取3个的必然事件是___________________. 【答案】至少有一个是偶数16．设()f x 与g(x)都是定义在R 上的函数，且(1)(1)5()0,()(),.(1)(1)2xf fg x f x a g x g g -≠=+=-在数列(){}(1,2,,10)()f n ng n =中，任取前k 项相加，则前k 项和大于1516的概率为【答案】53 三、解答题(本大题共6个小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)17．某河流上的一座水力发电站，每年六月份的发电量Y （单位：万千瓦时）与该河上游在六月份是我降雨量X （单位：毫米）有关，据统计，当X=70时，Y=460；X 每增加10，Y 增加5．已知近20年X 的值为：140, 110, 160, 70, 200, 160, 140, 160, 220, 200, 110, 160, 160, 200, 140, 110, 160, 220, 140, 160.(Ⅰ）完成如下的频率分布表 近20年六月份降雨量频率分布表(Ⅱ）假定今年六月份的降雨量与近20年六月份降雨量的分布规律相同，并将频率是为概率，求今年六月份该水力发电站的发电量低于490（万千瓦时）或超过530（万千瓦时）的概率． 【答案】（I ）在所给数据中，降雨量为110毫米的有3个，为160毫米的有7个，为200毫米的有3个，故近20年六月份降雨量频率分布表为(II ）P （“发电量低于490万千瓦时或超过530万千瓦时”）(490530)(130210)(70)(110)(220)1323.20202010P Y Y P X X P X P X P X =<>=<>==+=+==++=或或故今年六月份该水力发电站的发电量低于490（万千瓦时）或超过530（万千瓦时）的概率为310． 18．某班同学利用国庆节进行社会实践，对[25,55]岁的人群随机抽取n 人进行了一次生活习惯是否符合低碳观念的调查，若生活习惯符合低碳观念的称为“低碳族”，否则称为“非低碳族”，得到如下统计表和各年龄段人数频率分布直方图：(1）补全频率分布直方图并求n 、a 、p 的值； (2）从[40,50)岁年龄段的“低碳族．．．”中采用分层抽样法抽取18人参加户外低碳体验活动，其中选取3人作为领队，记选取的3名领队中年龄在[40,45)岁的人数为X ，求X 的分布列和期望EX ． 【答案】（1）第二组的频率为1(0.040.040.030.020.01)50.3-++++⨯=，所以高为0.30.065=．频率直方图如下：第一组的人数为1202000.6=，频率为0.0450.2⨯=，所以20010000.2n ==．由题可知，第二组的频率为0．3，所以第二组的人数为10000.3300⨯=，所以1950.65300p ==． 第四组的频率为0.0350.15⨯=，所以第四组的人数为10000.15150⨯=，所以1500.460a =⨯=． (2）因为[40,45)岁年龄段的“低碳族”与[45,50)岁年龄段的“低碳族”的比值为60:302:1=，所以采用分层抽样法抽取18人，[40,45)岁中有12人，[45,50)岁中有6人． 随机变量X 服从超几何分布．031263185(0)204C C P X C ===，1212631815(1)68C C P X C ===， 2112631833(2)68C C P X C ===，3012631855(3)204C C P X C ===． 所以随机变量X 的分布列为∴数学期望5153355012322046868204EX =⨯+⨯+⨯+⨯=． 19．为了解今年某校高三毕业班准备报考清华大学的学生的体重情况，将所得的数据整理后，画出了频率分布直方图(如图)，已知图中从左到右的前3个小组的频率之比为1:2:3，其中第2小组的频数为12.(1）求该校报考清华大学的总人数；(2）以这所学校的样本数据来估计全省的总体数据,若从全省报考清华大学的同学中任选三人，设ξ表示体重超过60公斤的学生人数，求ξ的分布列及数学期望.【答案】（1）设报考清华大学的人数为n ,前三小组的频率分别为321,,p p p ,则由条件可得:⎪⎩⎪⎨⎧=⨯++++==15)013.0037.0(323212312p p p p p p p解得375.0,25.0,125.0321===p p p 又因为np 1225.02==，故48=n (2) 由(1)可得,一个报考学生体重超过60公斤的概率为855)013.0037.0(3=⨯++=p p 所以x 服从二项分布,kk k C k x p -==33)83()85()( · 随机变量x 的分布列为：则815512125351222525121351512270=⨯+⨯+⨯+⨯=Ex 或: 815853=⨯=Ex20．已知关于x 的一元二次函数 )0(1)(2≠+-=a bx ax x f ,设集合 },3,2,1{=P =Q }4,3,2,1,1{-,分别从集合P 和Q 中随机取一个数a 和b 得到的数对),(b a ．(1）列举出所有的数对(,)a b , 并求函数()y f x =有零点的概率；(2）求函数),1[)(+∞=在区间x f y 上是增函数的概率． 【答案】（1）),4,2(),3,2(),2,2(),1,2(),1,2(),4,1(),3,1(),2,1(),1,1(),1,1(),(--共有b a )4,3(),3,3(),2,3(),1,3(),1,3(-，15种情况函数04,)(2≥-=∆=a b x f y 有零点， 有（1，2），（1，3），（1，4），（2，3），（2，4），（3，4）共6种情况所以函数52156)(==有零点的概率为x f y (2）函数,2)(a b x x f y ==的对称轴为 ),1[+∞在区间上是增函数则有12≤ab， (1，—1），（1，1），（1，2），（2，—1），（2，1），（2，2），（2，3），（2，4）， (3，—1），（3，1），（3，2），（3，3），（3，4），共13种情况满足条件 所以函数.1513),1[)(上是增函数的概率为在区间+∞=x f y 21．用一台自动机床加工一批螺母，从中抽出100个逐个进行直径检验，结果如下：从这100个螺母中，任意抽取1个，求事件A （6.92<d ≤6.94） 事件B （6.90<d ≤6.96）、事件C （d>6.96）、事件D （d ≤6.89）的频率. 【答案】事件A 的频率P （A ）=1002617+=0.43，事件B 的频率 P （B ）=10081526171710+++++=0.93，事件C 的频率P （C ）=10022+=0.04，事件D 的频率P （D ）=1001=0.01.22． 某社区举办2010年上海世博会知识宣传活动，进行现场抽奖. 抽奖规则是:盒中装有10张大小相同的精美卡片，卡片上分别印有“世博会会徽”或“海宝”（世博会吉祥物）图案.参加者每次从盒中抽取卡片两张，若抽到两张都是“海宝”卡即可获奖.(Ⅰ）活动开始后，一位参加者问：盒中有几张“海宝”卡？主持人笑说：我只知道若从盒中抽两张都不是“海宝”卡的概率是13.求抽奖者获奖的概率； (Ⅱ）现有甲乙丙丁四人依次抽奖，抽后放回，另一人再抽.用ξ表示获奖的人数.求ξ的分布列及,E D ξξ．【答案】（Ⅰ）设“世博会会徽”卡有n 张，由221013n C C =,得n =6.故“海宝”卡有4张. 抽奖者获奖的概率为24210215C C =.(Ⅱ）2(4,)15B ξ， ξ的分布列为 44213()()()1515k k kp k C ξ-==（k=0,1,2,3,4） 或28221044,4(1)15151515225E D ξξ∴=⨯==⨯⨯-=。
统考版2022届高考数学一轮复习课后限时集训65随机事件的概率理含解析北师大版
课后限时集训(六十五) 随机事件的概率建议用时：40分钟一、选择题1．设事件A ，B ，已知P (A )＝15，P (B )＝13，P (A ＋B )＝815，则A ，B 之间的关系一定为( )A ．两个任意事件B ．互斥事件C ．非互斥事件D ．对立事件B [因为P (A )＋P (B )＝15＋13＝815＝P (A ＋B )，所以A ，B 之间的关系一定为互斥事件．故选B.]2．甲、乙两人下棋，两人下成和棋的概率是12，甲获胜的概率是13，则甲不输的概率为( )A.56 B.25 C.16D.13A [事件“甲不输”包含“和棋”和“甲获胜”这两个互斥事件，所以甲不输的概率为12＋13＝56.] 3．口袋中有100个大小相同的红球、白球、黑球，其中红球45个，从口袋中摸出一个球，摸出白球的概率为0.23，则摸出黑球的概率为( )A ．0.45B ．0.67C ．0.64D ．0.32 D [从中摸出一球，为红球的概率为45100＝0.45. 故摸出黑球的概率为1－0.45－0.23＝0.32.]4．有一个游戏，其规则是甲、乙、丙、丁四个人从同一地点随机地向东、南、西、北四个方向前进，每人一个方向．事件“甲向南”与事件“乙向南”是( )A ．互斥但非对立事件B ．对立事件C ．相互独立事件D ．以上都不对A [由于每人一个方向，事件“甲向南”与事件“乙向南”不能同时发生，但能同时不发生，故是互斥事件，但不是对立事件．]5．掷一个骰子的试验，事件A 表示“出现小于5的偶数点”，事件B 表示“出现小于5的点数”，若B 表示B 的对立事件，则一次试验中，事件A ＋B 发生的概率为( )A.13B.12C.23D.56C [掷一个骰子的试验有6种可能结果． 依题意P (A )＝26＝13，P (B )＝46＝23，∴P (B )＝1－P (B )＝1－23＝13.∵B 表示“出现5点或6点”的事件， 因此事件A 与B 互斥，从而P (A ＋B )＝P (A )＋P (B )＝13＋13＝23.]二、填空题6．根据某医疗研究所的调查，某地区居民血型的分布为：O 型50%，A 型15%，B 型30%，AB 型5%.现有一血液为A 型病人需要输血，若在该地区任选一人，那么能为病人输血的概率为________．65%[因为某地区居民血型的分布为：O型50%，A型15%，B型30%，AB型5%，现在能为A型病人输血的有O型和A型，故为病人输血的概率为50%＋15%＝65%.] 7．从一箱产品中随机地抽取一件，设事件A＝{抽到一等品}，事件B＝{抽到二等品}，事件C＝{抽到三等品}，且已知P(A)＝0.65，P(B)＝0.2，P(C)＝0.1，则事件“抽到的产品不是一等品”的概率为________，“抽到二等品或三等品”的概率为________．0.35 0.3[∵事件A＝{抽到一等品}，且P(A)＝0.65，∴事件“抽到的产品不是一等品”的概率为1－P(A)＝1－0.65＝0.35.“抽到二等品或三等品”的概率为P(B)＋P(C)＝0.2＋0.1＝0.3.”]8．某城市2020年的空气质量状况如下表所示：T≤150时，空气质量为轻微污染，则该城市2020年空气质量达到良或优的概率为________．3 5[由题意可知2020年空气质量达到良或优的概率为P＝110＋16＋13＝35.]三、解答题9．某超市随机选取1 000位顾客，记录了他们购买甲、乙、丙、丁四种商品的情况，整理成如下统计表，其中“√”表示购买，“×”表示未购买．98× √ × ×(1)(2)估计顾客在甲、乙、丙、丁中同时购买3种商品的概率；(3)如果顾客购买了甲，则该顾客同时购买乙、丙、丁中哪种商品的可能性最大？ [解] (1)从统计表可以看出，在这1 000位顾客中有200位顾客同时购买了乙和丙，所以顾客同时购买乙和丙的概率可以估计为2001 000＝0.2.(2)从统计表可以看出，在这1 000位顾客中有100位顾客同时购买了甲、丙、丁，另有200位顾客同时购买了甲、乙、丙，其他顾客最多购买了2种商品，所以顾客在甲、乙、丙、丁中同时购买3种商品的概率可以估计为100＋2001 000＝0.3.(3)与(1)同理，可得：顾客同时购买甲和乙的概率可以估计为2001 000＝0.2， 顾客同时购买甲和丙的概率可以估计为100＋200＋3001 000＝0.6，顾客同时购买甲和丁的概率可以估计为1001 000＝0.1. 所以，如果顾客购买了甲，则该顾客同时购买丙的可能性最大． 10.如图，A 地到火车站共有两条路径L 1和L 2，现随机抽取100位从A 地到达火车站的人进行调查，调查结果如下：所用时间(分钟) 10～20 20～30 30～40 40～50 50～60 选择L 1的人数 6 12 18 12 12 选择L 2的人数416164(2)分别求通过路径L 1和L 2所用时间落在上表中各时间段内的频率；(3)现甲、乙两人分别有40分钟和50分钟时间用于赶往火车站，为了尽最大可能在允许的时间内赶到火车站，试通过计算说明，他们应如何选择各自的路径．[解](1)由已知共调查了100人，其中40分钟内不能赶到火车站的有12＋12＋16＋4＝44(人)，∴用频率估计相应的概率为p＝44100＝0.44.(2)选择L1的有60人，选择L2的有40人，故由调查结果得频率为所用时间(分钟)10～2020～3030～4040～5050～60L1的频率0.10.20.30.20.2L2的频率00.10.40.40.1121212选择L1和L2时，在50分钟内赶到火车站．由(2)知P(A1)＝0.1＋0.2＋0.3＝0.6，P(A2)＝0.1＋0.4＝0.5，∵P(A1)＞P(A2)，∴甲应选择L1.同理，P(B1)＝0.1＋0.2＋0.3＋0.2＝0.8，P(B2)＝0.1＋0.4＋0.4＝0.9，∵P(B1)＜P(B2)，∴乙应选择L2.1．对一批产品的长度(单位：mm)进行抽样检测，下图为检测结果的频率分布直方图．根据标准，产品长度在区间[20,25)上的为一等品，在区间[15,20)和区间[25,30)上的为二等品，在区间[10,15)和[30,35]上的为三等品．用频率估计概率，现从该批产品中随机抽取一件，则其为二等品的概率为( )A ．0.09B ．0.20C ．0.25D ．0.45D [设[25,30)上的频率为x ，由所有矩形面积之和为1，即x ＋(0.02＋0.04＋0.03＋0.06)×5＝1，得[25,30)上的频率为0.25.所以产品为二等品的概率为0.04×5＋0.25＝0.45.]2．已知某运动员每次投篮命中的概率都为40%，现采用随机模拟的方法估计该运动员三次投篮恰有两次命中的概率：先由计算器产生0到9之间取整数值的随机数，指定1,2,3,4表示命中，5,6,7,8,9,0表示不命中；再以每三个随机数为一组，代表三次投篮的结果．经随机模拟产生了如下20组随机数：907 966 191 925 271 932 812 458 569 683 431 257 393 027 556 488 730 113 537 989 据此估计，该运动员三次投篮恰有两次命中的概率为( ) A.12 B.13 C.14 D.23C [20组随机数中表示三次投篮恰好有两次命中的是191,271,932,812,393，其频率为520＝14，以此估计该运动员三次投篮恰有两次命中的概率为14.] 3．经统计，在某储蓄所一个营业窗口等候的人数相应的概率如下：排队人数 0 1 2 3 4 ≥5 概率0.10.160.30.30.10.04(2)至少3人排队等候的概率为________．(1)0.56 (2)0.44 [记“无人排队等候”为事件A ，“1人排队等候”为事件B ，“2人排队等候”为事件C ，“3人排队等候”为事件D ，“4人排队等候”为事件E ，“5人及5人以上排队等候”为事件F ，则事件A ，B ，C ，D ，E ，F 彼此互斥．(1)记“至多2人排队等候”为事件G ，则G ＝A ＋B ＋C ， 所以P (G )＝P (A ＋B ＋C )＝P (A )＋P (B )＋P (C ) ＝0.1＋0.16＋0.3＝0.56.(2)法一：(利用互斥事件求概率)记“至少3人排队等候”为事件H ，则H ＝D ＋E ＋F ， 所以P (H )＝P (D ＋E ＋F )＝P (D )＋P (E )＋P (F ) ＝0.3＋0.1＋0.04＝0.44.法二：(利用对立事件求概率)记“至少3人排队等候”为事件H ，则其对立事件为事件G ，所以P (H )＝1－P (G )＝0.44.]4．某商店计划每天购进某商品若干件，商店每销售一件该商品可获得利润50元，若供大于求，剩余商品全部退回，但每件退回商品亏损10元；若供不应求，则从外部调剂，此时每件调剂商品可获得利润30元．(1)若商店一天购进该商品10件，求当天的利润y (单位：元)关于当天的需求量n (单位：件，n ∈N *)的函数解析式；(2)商店记录了50天该商品的日需求量n (单位：件)，整理得下表：日需求量n /件8 9 10 11 12 频数91115105(ⅰ) (ⅱ)若商店一天购进10件该商品，以50天记录的各日需求量的频率作为各日需求量的概率，求当天的利润大于500元的概率．[解] (1)当日需求量n ≥10时，利润y ＝50×10＋(n －10)×30＝30n ＋200； 当日需求量n ＜10时，利润y ＝50×n －(10－n )×10＝60n －100. 所以日利润y 关于日需求量n 的函数解析式为y ＝⎩⎪⎨⎪⎧30n ＋200n ≥10，n ∈N *，60n －100n ＜10，n ∈N *.(2)(ⅰ)由(1)及表格可知，这50天中有9天的日利润为380元，有11天的日利润为440元，有15天的日利润为500元，有10天的日利润为530元，有5天的日利润为560元，所以这50天的日利润的平均数为150×(380×9＋440×11＋500×15＋530×10＋560×5)＝477.2(元)．(ⅱ)若当天的利润大于500元，则日需求量大于10件， 则当天的利润大于500元的概率P ＝10＋550＝310.1．一只袋子中装有7个红玻璃球，3个绿玻璃球，从中无放回地任意抽取两次，每次只取一个，取得两个红球的概率为715，取得两个绿球的概率为115，则取得两个同颜色的球的概率为________；至少取得一个红球的概率为________．815 1415[由于“取得两个红球”与“取得两个绿球”是互斥事件，取得两个同色球，只需两互斥事件有一个发生即可，因而取得两个同色球的概率为P ＝715＋115＝815.由于事件A “至少取得一个红球”与事件B “取得两个绿球”是对立事件，则至少取得一个红球的概率为P (A )＝1－P (B )＝1－115＝1415.]2．某河流上的一座水力发电站，每年六月份的发电量Y (单位：万千瓦时)与该河上游在六月份的降雨量X (单位：毫米)有关．据统计，当X ＝70时，Y ＝460；X 每增加10，Y 增加5.已知近20年X 的值为140,110,160,70,200,160,140,160, 220,200,110,160,160,200,140,110,160,220, 140,160.(1)完成如下的频率分布表： 近20年六月份降雨量频率分布表降雨量70110140160200220(2)率，求今年六月份该水力发电站的发电量低于490(万千瓦时)或超过530(万千瓦时)的概率．[解](1)在所给数据中，降雨量为110毫米的有3个，为160毫米的有7个，为200毫米的有3个，故近20年六月份降雨量频率分布表为(2)由已知可得Y＝2＋425，故P(“发电量低于490万千瓦时或超过530万千瓦时”)＝P(Y<490或Y>530)＝P(X<130或X>210)＝P(X＝70)＋P(X＝110)＋P(X＝220)＝120＋320＋220＝310.。
2020版高考数学一轮复习课后限时集训58模拟方法—概率的应用文(含解析)北师大版
课后限时集训(五十八)(建议用时：60分钟) A 组 基础达标一、选择题1．在区间[0，π]上随机地取一个数x ，则事件“sin x ≤12”发生的概率为( )A ．34 B.23 C ．12D ．13D [x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π6∪⎣⎢⎡⎦⎥⎤5π6，π时，sin x ≤12，故概率为π3π＝13.]2．(2019·遂宁模拟)已知函数f (x )＝x 2－x －2，x ∈[－3,3]，在定义域内任取一点x 0，使f (x 0)≤0的概率是( )A ．13 B ．23 C ．12D ．16C [由f (x 0)≤0可得－1≤x 0≤2，所以D ＝3－(－3)＝6，d ＝2－(－1)＝3，故由几何概型的计算公式可得所求概率为P ＝d D ＝12，故选C ．]3．(2019·惠州模拟)如图所示，黑色部分和白色部分图形是由曲线y ＝1x ，y ＝－1x，y ＝x ，y ＝－x 及圆构成的．在圆内随机取一点，则此点取自黑色部分的概率是()A ．14B ．18C ．π4D ．π8A [根据图像的对称性知，黑色部分图形的面积为圆面积的四分之一，在圆内随机取一点，则此点取自黑色部分的概率是14，选A ．]4．在区间[－1,3]上随机取一个数x ，若x 满足|x |≤m 的概率为12，则实数m 为( )A ．0B ．1C ．2D ．3B [区间[－1,3]的区间长度为4. 不等式|x |≤m 的解集为[－m ，m ]， 区间长度为2m ，由2m 4＝12，则m ＝1.]5．如图，在一个棱长为2的正方体鱼缸内放入一个倒置的无底圆锥形容器，圆锥的底面圆周与鱼缸的底面正方形相切，圆锥的顶点在鱼缸的缸底上，现在向鱼缸内随机地投入一粒鱼食，则“鱼食能被鱼缸内的圆锥外面的鱼吃到”的概率是( )A ．1－π4B.π12 C ．π4D ．1－π12A [鱼缸底面正方形的面积为22＝4，圆锥底面圆的面积为π，所以“鱼食能被鱼缸内在圆锥外面的鱼吃到”的概率是1－π4，故选A ．]6．(2019·西安调研)若函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧e x，0≤x ＜1，ln x ＋e ，1≤x ≤e在区间[0，e]上随机取一个实数x ，则f (x )的值不小于常数e 的概率是( )A ．1e B ．1－1eC ．e 1＋eD ．11＋eB [当0≤x ＜1时，恒有f (x )＝e x＜e ，不满足题意．当1≤x ≤e 时，f (x )＝ln x ＋e.由ln x ＋e≥e，得1≤x ≤e.∴所求事件的概率P ＝e －1e ＝1－1e.]7．有一底面半径为1、高为2的圆柱，点O 为这个圆柱底面圆的圆心，在这个圆柱内随机取一点P ，则点P 到点O 的距离大于1的概率为( )A ．13B ．23C ．34D ．14B [设点P 到点O 的距离小于等于1的概率为P 1，由几何概型，则P 1＝V 半球V 圆柱＝2π3×13π×12×2＝13. 故点P 到点O 的距离大于1的概率P ＝1－13＝23.]二、填空题8．(2019·怀化期末)在区间[－3,5]上随机取一个实数a ，则使函数f (x )＝x 2＋4x ＋a 无零点的概率为________．18[∵函数f (x )＝x 2＋4x ＋a 无零点，∴Δ＝42－4a ＜0，即a ＞4.∵在区间[－3,5]上随机取一个实数a ，且区间[－3,5]的长度为8，∴所求事件的概率为18.]9．欧阳修的《卖油翁》中写到：“(翁)乃取一葫芦，置于地，以钱覆其口，徐以杓酌油沥之，自钱孔入，而钱不湿”，可见“行行出状元”，卖油翁的技艺让人叹为观止．若铜钱是直径为3 cm 的圆，中间有边长为1 cm 的正方形孔，若随机向铜钱上滴一滴油(油滴的直径忽略不计)，则正好落入孔中的概率是________．49π[依题意，所求概率为 P ＝12π·⎝ ⎛⎭⎪⎫322＝49π.] 10．(2019·青岛期末)已知等腰Rt△ABC 中，∠C ＝90°，在∠CAB 内作射线AM ，则使∠CAM ＜30°的概率为________．23 [如图，在∠CAB 内作射线AM 0，使∠CAM 0＝30°，于是有P (∠CAM ＜30°)＝∠CAM 0的角度∠CAB 的度数＝30°45°＝23.]B 组 能力提升1．(2019·南充月考)《九章算术》中有如下问题：“今有勾八步，股一十五步，问勾中容圆，径几何？”其大意：“已知直角三角形两直角边长分别为8步和15步，问其内切圆的直径为多少步？”现若向此三角形内随机投一粒豆子，则豆子落在其内切圆外的概率是( )A ．3π10B ．3π20C ．1－3π10D ．1－3π20D [由题意可知，直角三角形斜边长为17，由等面积，可得内切圆的半径为r ＝8×158＋15＋17＝3，所以落在内切圆内的概率为P ＝π×3212×8×15＝3π20，故落在圆外的概率为1－3π20.故选D.]2．已知线段AB 的长为10，在线段AB 上随机取两个点C 、D ，则CD ＞2的概率为( ) A ．25 B ．45 C ．425D ．1625 D [设CA ＝x ，DA ＝y ，则x ，y ∈[0,10]，CD ＝|CA －DA |＝|x －y |.由题意知点(x ，y )形成的区域是边长为10的正方形及其内部，其面积为S ＝10×10，而满足CD ＞2的区域如图中阴影部分所示，其面积为S 1＝2×12×8×8＝64，则CD ＞2的概率为P＝64100＝1625.]3．如图所示，图(2)中实线围成的部分是长方体(图(1))的平面展开图，其中四边形ABCD 是边长为1的正方形．若向虚线围成的矩形内任意抛掷一质点，它落在长方体的平面展开图的概率是14，则此长方体的体积是________．(1) (2)3 [设长方体的高为h ，由几何概型的概率计算公式可知，质点落在长方体的平面展开图内的概率P ＝2＋4hh ＋h ＋＝14，解得h ＝3(负值已舍去)，故长方体的体积为1×1×3＝3.]4．(2019·湖南娄底质检)在三棱锥P ABC 中，PA ⊥平面ABC ，PA ＝1，AB ＝AC ＝3，∠BAC ＝120°，D 为棱BC 上一个动点，设直线PD 与平面ABC 所成的角为θ，则θ不大于45°的概率为________．23[因为PA ⊥平面ABC ，所以直线PD 与平面ABC 所成二面角的平面角为∠PDA ． 因为D 为BC 上的动点，结合图形(图略)易知∠PDA 在D 点从B 运动到C 的过程中，先增后减．当∠PDA 第1次等于45°时，AD ＝PA ＝1.此时在△ABD 中，AB ＝3，∠ABC ＝30°，AD ＝1，则BD ＝1. 同理在∠PDA 第2次等于45°时，CD ＝1. 又AB ＝AC ＝3，∠BAC ＝120°，所以BC ＝3. 则θ不大于45°的概率为23.]。
北京邮电大学附中高三数学一轮复习单元训练：函数概念与基本处等函数I 含答案
所以，当v＝4.5时，E取得最小值．
即v＝4.5km/h时，鲑鱼消耗的能量最小．
17．已知f(x)是定义在(0，+∞)上的增函数，且满足f(xy)＝f(x)＋f(y)，f(2)＝1.
(1）求证：f(8)＝3 (2)求不等式f(x)－f(x－2)>3的解集.
【答案】（1）由题意得f(8)＝f(4×2)＝f(4)＋f(2)＝f(2×2)＋f(2)＝
f(2)＋f(2)＋f(2)＝3f(2)
19．对于函数
(1）判断函数的单调性(x)为奇函数？并说明理由.
【答案】(1)函数f (x)的定义域是R
证明：设x1< x2；
f (x1) – f (x2) =a (a )=
当 x1<x2 得 < 0
得f (x1) – f (x2) < 0所以f (x1) < f (x2)
(1）将鲑鱼消耗的能量E表示为v的函数；
(2）v为何值时，鲑鱼消耗的能量最少?
【答案】（1）鲑鱼逆流匀速行进100km所用的时间为t＝ ．
所以E＝kv3t＝kv3 ＝ (v(3，＋))．
(2）E＝100k ＝100k ．
令E＝0，解得v＝4.5或v＝0(舍去)．
因为k＞0，v＞3，所以当v(3，4.5)时，E＜0，当v(4.5，＋)时，E＞0．
北京邮电大学附中2013届高三数学一轮复习单元训练：函数概念与基本处等函数I
本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分．满分150分．考试时间120分钟．
第Ⅰ卷(选择题 共60分)
一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
高考数学一轮专项复习练习卷-北师大版-概率与统计的综合问题(含解析)
1．(2023·泰州模拟)第二十二届卡塔尔世界杯足球赛决赛中，阿根廷队通过扣人心弦的点球大战战胜了法国队．某校为了丰富学生课余生活，组建了足球社团．足球社团为了解学生喜欢足球是否与性别有关，随机抽取了男、女学生各100名进行调查，部分数据如表所示：喜欢足球不喜欢足球总计男生40女生30总计(1)根据所给数据完成上表，分析是否有99%的把握认为该校学生喜欢足球与性别有关？(2)社团指导老师从喜欢足球的学生中抽取了2名男生和1名女生示范点球射门．已知男生进球的概率为23，女生进球的概率为12，每人射门一次，假设各人射门相互独立，求3人进球总次数的分布列和数学期望．附：χ2＝n(ad－bc)2(a＋b)(c＋d)(a＋c)(b＋d).2．某地区区域发展指数评价指标体系基于五大发展理念构建，包括创新发展、协调发展、绿色发展、开放发展和共享发展5个一级指标．该地区区域发展指数测算方法以2015年作为基期并设指数值为100，通过时序变化，观察创新发展、协调发展、绿色发展、开放发展和共享发展5个分领域指数值的变动趋势．分别计算创新发展、协调发展、绿色发展、开放发展和共享发展5个分指数，然后合成为该地区区域发展总指数，如图所示．若X(2015年记为x＝1,2016年记为x＝2，依此类推)与发展总指数Y存在线性关系．(1)求X 与发展总指数Y 的线性回归方程；(2)若规定发展总指数大于115的年份为和谐发展年，和谐发展年中发展总指数低于130的视为良好，记1分，发展总指数大于130的视为优秀，记2分，从和谐发展年中任取三年，用ξ表示记分之和，求ξ的分布列和数学期望．参考公式和数据：线性回归方程Y ＝b ^X ＋a ^，其中a ^＝y －b ^x ，b ^＝错误!，错误!(x i －x )(y i －y )＝228.9，y ＝119.05.3．(2023·南京模拟)渔船海上外出作业受天气限制，尤其浪高对渔船安全影响最大，二月份是某海域风浪最平静的月份，浪高一般不超过3m ．某研究小组从前些年二月份各天的浪高数据中，随机抽取50天数据作为样本，制成频率分布直方图(如图)．根据海浪高度将海浪划分为如下等级：浪高(cm)(0,50)[50,100)[100,200)[200,300]海浪等级微浪小浪中浪大浪海事管理部门规定：海浪等级在“大浪”及以上禁止渔船出海作业．(1)某渔船出海作业除受浪高限制外，还受其他因素影响，根据以往经验可知，“微浪”情况下出海作业的概率为0.9，“小浪”情况下出海作业的概率为0.8，“中浪”情况下出海作业的概率为0.6，请根据上面频率分布直方图，估计二月份的某天各种海浪等级出现的概率，并求该渔船在这天出海作业的概率；(2)气象预报预计未来三天内会持续“中浪”或“大浪”，根据以往经验可知，若某天是“大浪”，则第二天是“大浪”的概率为12，“中浪”的概率为12；若某天是“中浪”，则第二天是“大浪”的概率为13，“中浪”的概率为23.现已知某天为“中浪”，记该天的后三天出现“大浪”的天数为X ，求X 的分布列和数学期望．4．(2024·葫芦岛模拟)某地相继爆发了甲型H1N1流感病毒(甲流)和诺如病毒感染潮，为了了解感染病毒类型与年龄的关系，某市疾控中心随机抽取了部分感染者进行调查．据统计，甲流患者数是诺如病毒感染者人数的2倍，在诺如病毒感染者中60岁以上患者占23，在甲流患者中60岁以上的人数是其他人数的一半．(1)若有99%的把握认为“感染病毒的类型与年龄有关”，则抽取的诺如病毒感染者至少有多少人？(2)研究发现，针对以上两种病毒比较有效的药物是奥司他韦和抗病毒口服液，并且发现奥司他韦治疗以上两种病毒有效的概率是抗病毒口服液的2倍．现对两种药物进行临床试验，对抗病毒口服液共进行两轮试验，每轮试验中若连续2次有效或试验3次时，本轮试验结束；对奥司他韦先进行3次试验，若至少2次有效，则试验结束，否则再进行3次试验后方可结束，假定两种药物每次试验是否有效均相互独立，且两种药物的每次试验费用相同．请结合以上针对两种药物的临床试验方案，估计哪种药物的试验费用较低？附：χ2＝n(ad－bc)2(a＋b)(a＋c)(c＋d)(b＋d)(其中n＝a＋b＋c＋d)．§10.7概率与统计的综合问题1．解(1)2×2列联表如下：喜欢足球不喜欢足球总计男生6040100女生3070100总计90110200由表中数据得χ2＝200×(60×70－40×30)2100×100×90×110≈18.182>6.635，所以有99%的把握认为该校学生喜欢足球与性别有关．(2)3人进球总次数ξ的所有可能取值为0,1,2,3，P (ξ＝0)×12＝118，P (ξ＝1)＝C 12×23×13×12＋12×＝518，P (ξ＝2)＝C 12×23×13×12＋×12＝49，P (ξ＝3)×12＝29，∴ξ的分布列为ξ0123P1185184929∴ξ的数学期望Eξ＝0×118＋1×518＋2×49＋3×29＝116.2．解(1)由已知x ＝1＋2＋3＋4＋5＋6＋7＋88＝4.5，所以错误!(x i －x )2＝(－3.5)2＋(－2.5)2＋(－1.5)2＋(－0.5)2＋0.52＋1.52＋2.52＋3.52＝42，又错误!(x i －x )(y i －y )＝228.9，所以b ^＝错误!＝5.45，因为y ＝119.05，所以a ^＝y －b ^x ＝94.525，所以Y ＝5.45X ＋94.525.(2)由题可知，和谐发展年有5个，其中计分为1分的年份有3个，计分为2分的年份有2个，ξ的所有可能取值为3,4,5，所以P (ξ＝3)＝1C 35＝110，P (ξ＝4)＝C 23C 12C 35＝35，P (ξ＝5)＝C 13C 22C 35＝310，所以ξ的分布列为ξ345P11035310Eξ＝3×110＋4×35＋5×310＝215.3．解(1)记这天浪级是“微浪”为事件A 1，浪级是“小浪”为事件A 2，浪级是“中浪”为事件A 3，浪级是“大浪”为事件A 4.该渔船当天出海作业为事件B ，则由题意可知，P (A 1)＝50×0.004＝0.2，P (A 2)＝50×0.006＝0.3，P (A 3)＝50×0.004＋50×0.002＝0.3，P (A 4)＝50×0.002＋50×0.002＝0.2，∴P (B )＝P (BA 1)＋P (BA 2)＋P (BA 3)＝P (B |A 1)P (A 1)＋P (B |A 2)P (A 2)＋P (B |A 3)P (A 3)＝0.9×0.2＋0.8×0.3＋0.6×0.3＝0.18＋0.24＋0.18＝0.6.(2)依题意可知，X 的所有可能取值为0,1,2,3，∴P (X ＝0)＝827，P (X ＝1)＝13×12×23＋23×13×12＋23×23×13＝1027，P (X ＝2)＝13×12×12＋13×12×13＋23×13×12＝14，P (X ＝3)＝13×12×12＝112，则X的分布列为X0123P 827102714112数学期望EX＝0×827＋1×1027＋2×14＋3×112＝121108.4．解(1)设感染诺如病毒的患者为x人，则感染甲流的患者为2x人，感染两种病毒的60岁以上的患者人数均为23 x，由题意必有χ2≥6.635，4 3x·53x·x·2x6.635，所以x≥22.11，又因为x为整数，故抽取的诺如病毒感染者至少有23人．(2)设抗病毒口服液治疗有效的概率为p，每次试验花费为m，则奥司他韦治疗有效的概率为2p<1，故0<p<1 2，设抗病毒口服液试验总花费为X，X的所有可能取值为4m,5m,6m，P(X＝4m)＝p4，P(X＝5m)＝2(p2－p4)，P(X＝6m)＝(1－p2)2，故EX＝4mp4＋10m(p2－p4)＋6m(p4－2p2＋1)＝－2mp2＋6m，设奥司他韦试验总花费为Y，Y的所有可能取值为3m,6m，P(Y＝3m)＝C23(2p)2(1－2p)＋(2p)3＝12p2－16p3，P(Y＝6m)＝1＋16p3－12p2，所以EY＝48mp3－36mp2＋6m，由0<p<1 2，所以EY－EX＝2mp2(24p－17)<0，所以EY<EX，所以奥司他韦试验的平均花费较低．。
高考第一轮复习数学概率(附答案).doc
素质能力检测（十一）一、选择题（每小题5分，共60分）1.从含有10个元素的集合的全部子集中任取一个，所取的子集是含有3个元素的集合的概率是A.103 B.121 C.6445 D.12815 解析：含有3个元素的集合个数为C 310，所有子集的个数为210， 所求概率P =103102C =12815. 答案：D2.把红、白、黑三张卡片随机地分给甲、乙、丙三人，每人一张，事件“甲分得红牌”与事件“乙分得红牌”是A.互斥非对立事件B.对立事件C.互相独立事件D.以上都不对 解析：由定义可得，选A. 答案：A3.甲、乙两人射击的命中率分别为0.8和0.7，二人同时射击互不影响，结果都命中的概率是A.0.56B.0.06C.0.14D.0.24 解析：P =0.8×0.7=0.56，选A. 答案：A4.一批零件10个，其中有8个合格品，2个次品，每次任取一个零件装配机器，若第一次取得合格品的概率是P 1，第二次取得合格品的概率是P 2，则A.P 1>P 2B.P 1=P 2C.P 1<P 2D.P 1=2P 2 解析：P 1=108=54，P 2=2101819A C C =54，所以P 1=P 2.答案：B5.袋中有红、黄、白色球各一个，每次任取一个，有放回地抽取3次，则下列事件中概率是98的是 A.颜色全同 B.颜色全不同 C.颜色无红色D.颜色不全同解析：先计算颜色全相同的概率为P =3333⨯⨯=91，所以98是颜色不全同的概率.答案：D6.（2004年江苏模拟题）一个正方体，它的表面涂满了红色.在它的每个面上切两刀，可得27个小立方块，从中任取2个，其中恰有1个一面涂有红色，1个两面涂有红色的概率为A.11716B.11732C.398 D.3916 解析：由22711216C C C =398.故选C. 答案：C7.从1，2，…，6这六个数中，随机抽取3个不同的数，则这3个数的和为偶数的概率是A.95 B.94 C.61 D.65 解析：3个数的和为偶数可能都是偶数或2个奇数1个偶数，其取法为C 33+C 23C 13.∴P =36132333C C C C ⋅+=61.故选C. 答案：C8.从3台甲型彩电和2台乙型彩电中任取2台，其中两种品牌齐全的概率是 A.51 B.52 C.53 D.54解析：品牌齐全的取法有C 13C 12，故所求概率P =251213C C C =53. 答案：C9.（2004年武汉模拟题）设两个独立事件A 和B 均不发生的概率为91，A 发生B 不发生的概率与B 发生A 不发生的概率相同，则事件A 发生的概率P （A ）是A.92 B.181C.31 D.32解析：设A 、B 发生的概率分别为p 1、p 2， 由题意知⎪⎩⎪⎨⎧-=-=--).1()1(,91)1)(1(122121p p p p p p 解得p 1=p 2=32.故选D.答案：D10.（2004年潍坊市模拟题）一次课改经验交流会打算交流试点类学校的论文5篇和非试点类学校的论文3篇.排列次序可任意排列，则最先和最后交流的论文不来自同类学校的概率是A.5615 B.2815 C.2813 D.5613 解析：最先和最后交流论文来自不同学校的取法为C 15C 13A 22A 66.∴所求概率P =8866221315A A A C C =2815. 答案：B11.甲袋内装有白球3个、黑球5个，乙袋内装有白球4个、黑球6个.现从甲袋内随机抽取一个球放入乙袋，充分掺混后再从乙袋内随机抽取一个球放入甲袋，则甲袋内白球没有减少的概率为A.4437 B.4435 C.4425 D.449 解析：分两类.（1）若从甲袋取黑球，其白球没有减少的概率P 1=1111811115C C C C .（2）若从甲袋中取白球，同样P 2=111181513C C C C .故白球没有减少的概率P =1111811115C C C C +111181513C C C C =8855+8815=4435. 答案：B12.如果一个人的生日在星期几是等可能的，那么6个人的生日都集中在一个星期中的两天，但不是都在同一天的概率是A.662772)(2C - B.662774)(2C -C.762762)(2A - D.76276)42(A -解析：（1）每个人生日都有7种可能，故共有76种；（2）集中在两天中，故为C 27（26－2）（每人生日有两种可能，集中在同一天也为2种）.所以P =66267)22(C -，故选A.答案：A二、填空题（每小题4分，共16分）13.（2004年广东，13）某班委会由4名男生与3名女生组成.现从中选出2人担任正副班长，其中至少有1名女生当选的概率是________.（用分数作答）解析：2名女生当选的取法为C 23，1名女生当选的取法为C 14C 13.∴概率为27131423C C C C +=75. 答案：7514.（年春季上海，6）某班共有40名学生，其中只有一对双胞胎，若从中一次随机抽查三位学生的作业，则这对双胞胎的作业同时被抽中的概率是________.（结果用最简分数表示）解析：∵抽查三位学生双胞胎在内的方法为C 138种， ∴P =340138C C =2601. 答案：2601 15.某厂有三个顾问，假定每个顾问发表的意见是正确的概率为0.8.现就某事可行与否征求各顾问的意见，并按顾问中多数人的意见作出决策，作出正确决策的概率是________.解析：至少有两个顾问作出正确决定即可.P =C 23·0.82·0.2+0.83=0.896.答案：0.89616.六位身高全不相同的同学拍照留念，摄影师要求前后两排各三人，则后排每人均比前排同学高的概率是________.解析：6位同学共有A 66种排法，其中后排每人均比前排同学高，共有A 33A 33种排法，故其概率为663333A A A =201. 答案：201 三、解答题（本大题共6小题，共74分）17.（12分）已知集合A ={－8，－6，－4，－2，0，1，3，5，7}，在平面直角坐标系中，点（x ，y ）的坐标x ∈A ，y ∈A ，且x ≠y ，计算：（1）点（x ，y ）正好在第二象限的概率； （2）点（x ，y ）不在x 轴上的概率.解：（1）P 1=291414A A A =92. （2）P 2=291828A A A =98（或P 2=1－29A 8=98. ∴点（x ，y ）正好在第二象限的概率是92， 点（x ，y ）不在x 轴上的概率是98. 18.（12分）某商店采用“购物摸球中奖”促销活动，摸奖处袋中装有10个号码为n （1≤n ≤10，n ∈N *），重量为f （n ）=n 2－9n +21（g ）的球.摸奖方案见下表：说明：凭购物发票到摸奖处，按规定方案摸奖；这些球以等可能性从袋中摸出；假定符合条件的顾客均参加摸奖.试比较方案①与②的中奖概率的大小. 解：当球的重量小于号码数时，有 n 2－9n +21<n ，解得3<n <7.∵n ∈N *，∴n 的取值为4，5，6.∴所求的概率为P 1=103. 设第n 号与第m 号的两个球的重量相等，不妨设n <m ，则有n 2－9n +21=m 2－9m +21， 即（n －m ）（m +n －9）=0. ∵n ≠m ，∴m +n =9.∴（n ，m ）的取值满足（1，8），（2，7），（3，6），（4，5）. ∴所求的概率为P 2=210C 4=454. ∴P 1>P 2，即方案①的中奖概率大.19.（12分）如图，电路中4个方框处均为保险匣，方框内数字为通电后在一天内保险丝不被烧断的概率，假定通电后保险丝是否烧断是互相独立的.求：（1）通电后电路在一天内A 、B 恰有一个被烧断的概率； （2）通电后电路在一天内不断路的概率.解：以A 、B 、C 、D 分别记为各处保险丝不被烧断的事件，则它们的对立事件为A 、B 、C 、D ，依题意各事件是相互独立的.（1）通电后电路在一天内A 、B 恰有一个被烧断包括两种情况： A 被烧断但B 不被烧断，即A ·B 事件发生； A 不被烧断但B 被烧断，即A ·B 事件发生. 由题意事件A ·B 与A ·B 互斥， 故所求概率为P （A ·B +A ·B ）=P （A ·B ）+P （A ·B ）=P （A ）P （B ）+P （A ）P （B ）=（1－21）×32+21×（1－32）=21. （2）左电路系统不断路的概率为1－P （A ·B ·C ）=1－P （A ）P （B ）P （C ）=1－（1－21）（1－32）（1－43）=2423. 一天内电路不断路的概率为2423×54=3023. 20.（12分）某学生骑自行车上学，从家到学校的途中有2个交通岗.假设他在这两个交通岗处遇到红灯的事件是相互独立的，并且概率都是0.6，计算：（1）2次都遇到红灯的概率； （2）至少遇到1次红灯的概率.（1）解：记“他第一次遇到红灯”为事件A ，记“他第二次遇到红灯”为事件B .由题知，A 与B 是相互独立的，因此，“他两次都遇到红灯”就是事件A ·B 发生.根据相互独立事件的概率乘法公式，得P （A ·B ）=P （A ）·P （B ）=0.6×0.6=0.36.答：他两次都遇到红灯的概率是0.36.（2）解法一：A =“他第一次没有遇到红灯”，B =“他第二次没有遇到红灯”. ∴A ·B =“他第一次没有遇到红灯，第二次遇到红灯”，A ·B =“他第一次遇到红灯，第二次没有遇到红灯”，并有A ·B 与A ·B 是互斥的，因此，他恰有一次遇到红灯的概率是P （A ·B +A ·B ）=P （A ·B ）+P （A ·B ）=（1－0.6）×0.6+0.6×（1－0.6）=0.48.∴他至少遇到1次红灯的概率是P （A ·B ）+P （A ·B +A ·B ）=0.36+0.48=0.84. 答：至少遇到1次红灯的概率是0.84.解法二：A =“他第一次没有遇到红灯”，B =“他第二次没有遇到红灯”. ∴A ·B =“他两次都没有遇到红灯”，P （A ·B ）=P （A ）·P （B ）=（1－0.6）×（1－0.6）=0.16. ∴他至少遇到1次红灯的概率是P =1－P （A ·B ）=1－0.16=0.84.答：至少遇到1次红灯的概率是0.84. 21.（12分）（理）现有5个工人独立地工作，假定每个工人在1小时内平均有12分钟需要电力.（1）求在同一时刻有3个工人需要电力的概率；（2）如果最多只能供应3个人需要的电力，求超过负荷的概率.解：（1）依题意，每名工人在1小时内需要电力的概率是P =6012=51. 因此，在同一时刻有3个工人需要电力的概率为P 1=C 35（51）3（54）2=0.0512. （2）超负荷的概率为P 2=C 45（51）4（54）+C 55（51）5=6254+31251=0.00672. （文）甲、乙两个篮球运动员，投篮命中率分别是0.7和0.8，每人投篮两次. （1）求甲进2球，乙进1球的概率；（2）若投进1球得2分，未投进得0分，求甲、乙二人得分相等的概率.解：（1）依题意，所求概率为P 1=C 220.72·C 120.8×0.2=0.1568.（2）甲、乙二人得分相等的概率为P 2=C 220.72·C 220.82+C 120.7×0.3×C 120.8×0.2+0.32×0.22=0.3136+0.1344+0.0036 =0.4516.22.有点难度哟！（14分）某数学家随身带着甲、乙两盒火柴，每盒有n 根，每次用时，随机地任取一盒，然后从中抽取一根（巴拿赫火柴问题）.求：（1）第一次发现一盒空时，另一盒恰剩r 根火柴的概率（r =0，1，…，n ）；（2）第一次用完一盒火柴（不是发现空）时另一盒恰剩r 根火柴的概率（r =1，2，…，n ）. 分析：第n +1次取到甲盒时，才发现甲盒空，但第n 次取甲盒后即已用完甲盒火柴.因此（1）（2）中的两个事件不同.解：（1）记A =“首次发现一盒空时另一盒恰剩r 根火柴”， B =“首次发现的空盒是甲盒且此时乙盒恰剩r 根火柴”， C =“首次发现的空盒是乙盒且此时甲盒恰剩r 根火柴”. 则事件B 与C 互斥，A =B +C.由于甲、乙盒所处地位相同，故P （B ）=P （C ）.为求P （B ），令D =“在甲、乙两盒中任取一盒，得到甲盒”，则P （D ）=21. 事件B 发生相当于独立重复地做了2n －r +1次试验，前2n －r 次D 恰好发生n 次、第2n －r +1次D 也发生.因此P （B ）=C n r n -2（21）n （1－21）n －r ·21 =1221+-r n C n r n -2，P （A ）=P （B ）+P （C ）=2P （B ）=rn -221C n r n -2.（2）记E =“首次用完一盒时另一盒恰有r 根”，F （G ）=“首次用完的是甲（乙）盒且此时乙（甲）盒恰有r 根火柴”. 则事件F 与G 互斥，E =F +G .事件F 发生相当于独立重复地做了2n －r 次试验，前2n －r －1次D 恰好发生n －1次，第2n －r 次D 也发生.故P （F ）=C 112---n r n （21）n －1（1－21）n －r ·21=12221--⨯r n C 112---n r n .类似（1），P （E ）=P （F ）+P （G ）=2P （F ）=1221--r n C 112---n r n .评述：改记A 为A r ，则A 0，A 1，…，A n 彼此互斥，和是必然事件，故∑=nr 0rn -221C 12--n r n =1；改记E 为E r ，则E 1，E 2，…，E n 也彼此互斥，和是必然事件，故∑=nr 1121--r n C 112---n r n =1.因此使用概率方法我们可以得到一些恒等式.（1）中分别取r =0和n ，得P （首次发现一盒空时另一盒也空）=C n n2n 221， P （首次发现一盒空时另一盒原封未动）=n 21；（2）中取r =n ，得P （用完一盒时另一盒原封未动）=121-n .。
全国统考2022高考数学一轮复习单元质检卷十二概率B理含解析北师大版
单元质检卷十二 概率(B )(时间:60分钟满分:76分)一、选择题:本题共6小题,每小题5分,共30分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.一试验田某种作物一株生长果实个数x 服从正态分布N (90,σ2),且P (x<70)=0.2,从试验田中随机抽取10株,果实个数在[90,110]的株数记作随机变量X ,且X 服从二项分布,则X 的方差为() A.3B.2.1C.0.3D.0.212.将5本不同的书全发给4名同学,每名同学至少有一本书的概率是() A.1564B.15128C.24125D.481253.(2020某某高三诊断)2020年初,新型冠状肺炎在欧洲爆发后,我国第一时间内向相关国家捐助医疗物资,并派出由医疗专家组成的医疗小组奔赴相关国家.现有四个医疗小组甲、乙、丙、丁和有4个需要援助的国家可供选择,每个医疗小组只去一个国家,设事件A=“4个医疗小组去的国家各不相同”,事件B=“小组甲独自去一个国家”,则P (A|B )=() A.29B.13C.49D.594.一个正四面体的四个面上分别标有数字1,2,3,4.掷这个四面体四次,令第i 次得到的数为a i ,若存在正整数k 使得∑i=1ka i =4的概率p=mn,其中m ,n 是互质的正整数,则log 5m-log 4n 的值为()A.1B.-1C.2D.-25.(2020某某师大附中高三月考)某部电影中有这样一个情节:故事女主人公的祖父雅克·索尼埃为了告诉孙女一个惊天的秘密又不被他人所知,就留下了一串奇异的数字13,3,2,21,1,1,8,5,将这串数字从小到大排列,就成为1,1,2,3,5,8,13,21,其特点是从第3个数字起,任何一个数字都是前面两个数字的和,它来自斐波那契数列.在如图所示的矩形ABCD中,每一个数字表示相应圆的半径,在矩形ABCD 中任投一点,则该点落在阴影部分的概率是()A.73π1092B.89π1092C.162π1092D.16π10926.(2020某某某某高三检测)《镜花缘》是清代文人李汝珍创作的长篇小说,书中有这样一个情节:一座楼阁到处挂满了五彩缤纷的灯球,灯球有两种,一种是大灯下缀2个小灯,另一种是大灯下缀4个小灯,大灯共360个,小灯共1 200个.若在这座楼阁的灯球中,随机选取两个灯球,则至少有一个灯球是大灯下缀4个小灯的概率为()A.1191077B.160359C.9581077D.289359二、填空题:本题共2小题,每小题5分,共10分.7.口袋中有形状和大小完全相同的4个球,球的编号分别为1,2,3,4,若从袋中一次随机摸出2个球,则摸出的2个球的编号之和大于4的概率为.8.甲、乙、丙三位学生用计算机联网学习数学,每天上课后独立完成6道自我检测题,甲及格的概率为45,乙及格的概率为35,丙及格的概率为710,三人各答一次,则三人中只有一人及格的概率为. 三、解答题:本题共3小题,共36分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.9.(12分)某汽车生产厂家为了解某型号电动汽车的“实际平均续航里程数”,收集了使用该型号电动汽车1年以上的部分客户的相关数据,得到他们的电动汽车的“实际平均续航里程数”.从年龄在40岁以下的客户中抽取10位归为A 组,从年龄在40岁(含40岁)以上的客户中抽取10位归为B 组,将他们的电动汽车的“实际平均续航里程数”整理成下图,其中“+”表示A 组的客户,“☉”表示B 组的客户.注:“实际平均续航里程数”是指电动汽车的行驶总里程与充电次数的比值.(1)记A ,B 两组客户的电动汽车的“实际平均续航里程数”的平均值分别为m ,n ,根据图中数据,试比较m ,n 的大小(结论不要求证明);(2)从A ,B 两组客户中随机抽取2位,求其中至少有一位是A 组的客户的概率;(3)如果客户的电动汽车的“实际平均续航里程数”不小于350,那么称该客户为“驾驶达人”.从A ,B 两组客户中,各随机抽取1位,记“驾驶达人”的人数为ξ,求随机变量ξ的分布列及其数学期望E ξ.10.(12分)(2020某某某某高三检测)过去五年,我国的扶贫工作进入了“精准扶贫”阶段.目前“精准扶贫”覆盖了全部贫困人口,东部帮西部,全国一盘棋的扶贫格局逐渐形成.到2020年底全国830个贫困县都将脱贫摘帽,最后4 335万贫困人口将全部脱贫,这将超过全球其他国家过去30年脱贫人口总和.2020年是我国打赢脱贫攻坚战收官之年,越是到关键时刻,更应该强调“精准”.为落实“精准扶贫”政策,某扶贫小组为一“对点帮扶”农户引种了一种新的经济农作物,并指导该农户于2020年初开始种植.已知该经济农作物每年每亩的种植成本为1 000元,根据前期各方面调查发现,该经济农作物的市场价格和亩产量均具有随机性,且两者互不影响,其具体情况如下表:(1)设2020年该农户种植该经济农作物一亩的纯收入为X元,求X的分布列;(2)2020年全国脱贫标准约为人均纯收入4 000元.假设该农户是一个四口之家,且该农户在2020年的家庭所有支出与其他收入正好相抵,能否凭这一亩经济农作物的纯收入,预测该农户在2020年底可以脱贫?并说明理由.11.(12分)(2020某某某某三模)法国数学家庞加莱是个喜欢吃面包的人,他每天都会购买一个面包.面包师声称自己出售的每个面包的平均质量是1 000 g,上下浮动不超过50 g.这句话用数学语言来表达就是:每个面包的质量服从期望为1 000 g,标准差为50 g的正态分布.(1)假设面包师的说法是真实的,从面包师出售的面包中任取两个,记取出的两个面包中质量大于1 000 g的个数为ξ,求ξ的分布列和数学期望;(2)作为一个善于思考的数学家,庞加莱每天都会将买来的面包称重并记录,25天后,得到数据如下表,经计算25个面包总质量为24 468 g.庞加莱购买的25个面包质量的统计数据(单位:g)尽管上述数据都落在(950,1 050)上,但庞加莱还是认为面包师撒谎,根据所附信息,从概率角度说明理由.附:①若X~N(μ,σ2),从X的取值中随机抽取25个数据,记这25个数据的平均值为Y,则由统计学知识可知:随机变量Y~N(μ,σ2);25②若η~N(μ,σ2),则P(μ-σ<η<μ+σ)=0.683,P(μ-2σ<η<μ+2σ)=0.954,P(μ-3σ<η<μ+3σ)=0.997;③通常把发生概率小于0.05的事件称为小概率事件.参考答案单元质检卷十二概率(B)1.B∵x~N(90,σ2),且P(x<70)=0.2,所以P(x>110)=0.2,∴P(90<x<110)=0.5-0.2=0.3,∴X~B(10,0.3),X的方差为10×0.3×(1-0.3)=2.1.故选B.2.A 将5本不同的书分给4名同学,共有45=1024种分法,其中每名同学至少一本的分法有C 52A 44=240种,则所求概率为2401024=1564,故选A .3.A 事件A=“4个医疗小组去的国家各不相同”,事件B=“小组甲独自去一个国家”,则P (AB )=A 4444=332,P (B )=C 41·3344=2764,P (A|B )=P(AB)P(B)=29.4.B 当k=1时,概率为14;当k=2时,4=1+3=2+2=3+1,概率为3×142;当k=3时,4=1+1+2=1+2+1=2+1+1,概率为3×143;当k=4时,4=1+1+1+1,概率为144.所以p=14+316+364+1256=64+48+12+1256=125256=5344,所以n=44,m=53,所以log 5m-log 4n=3-4=-1.故选B .5.A 由题意,阴影部分包括半径为8和半径为3的两个圆,面积分别为64π和9π,而整个长方形的宽为16+10=26,长为26+16=42,所以该点落在阴影部分的概率是64π+9π42×26=73π1092.6.C 设一大缀二小与一大缀四小这两种灯球数分别为x ,y ,则{x +y =360,2x +4y =1200,解得{x =120,y =240,若随机选取两个灯球,则至少有一个灯球是一大缀四小的概率为1-C 1202C 3602=9581077.7.23基本事件总数n=C 42=6,摸出的2个球的编号之和大于4包含的基本事件有(1,4),(2,3),(2,4),(3,4),共4个,∴摸出的2个球的编号之和大于4的概率为P=46=23.8.47250因为甲及格的概率为45,乙及格的概率为35,丙及格的概率为710,所以仅甲及格的概率为45×1-35×1-710=24250;仅乙及格的概率为1-45×35×1-710=9250;仅丙及格的概率为1-45×1-35×710=14250;三人中只有一人及格的概率为24250+9250+14250=47250. 9.解(1)m<n.(2)设“从抽取的20位客户中任意抽取2位,至少有一位是A 组的客户”为事件M ,则P (M )=C 101C 101+C 102C 202=2938.所以从抽取的20位客户中任意抽取2位至少有一位是A 组的客户的概率是2938. (3)依题意ξ的可能取值为0,1,2. 则P (ξ=0)=C 91C 81C 101C 101=1825; P (ξ=1)=C 11C 81+C 91C 21C 101C 101=1350;P (ξ=2)=C 11C 21C 101C 101=150.所以随机变量ξ的分布列为所以随机变量ξ的数学期望E (ξ)=0×1825+1×1350+2×150=310, 即E ξ=310.10.解(1)由题意知1200×20-1000=23000,1200×15-1000=17000,900×20-1000=17000,900×15-1000=12500, 所以X 的所有可能取值为23000,17000,12500. 设A 表示事件“作物产量为900kg ”,则P (A )=0.5;B 表示事件“作物市场价格为15元/kg ”,则P (B )=0.4.则P (X=23000)=P (AB )=(1-0.5)×(1-0.4)=0.3,P (X=17000)=P (A B )+P (A B )=(1-0.5)×0.4+0.5×(1-0.4)=0.5,P (X=12500)=P (AB )=0.5×0.4=0.2,所以X 的分布列为:(2)由(1)知,2020年该农户种植该经济农作物一亩的预计纯收入为EX=23000×0.3+17000×0.5+12500×0.2=17900(元),179004>4000,凭这一亩经济农作物的纯收入,该农户的人均纯收入超过了国家脱贫标准,所以,能预测该农户在2020年底可以脱贫. 11.解(1)由题意知,ξ的所有可能取值为0,1,2.P (ξ=0)=C 20(12)0(12)2=14;P (ξ=1)=C 21×12×12=12;P (ξ=2)=C 22(12)2(12)0=14.所以ξ的分布列为所以E ξ=0×14+1×12+2×14=1(个).(2)记面包师制作的每个面包的质量为随机变量X. 假设面包师没有撒谎,则X~N (1000,502).根据附①,从X 的取值中随机抽取25个数据,记这25个数据的平均值为Y ,则Y~N (1000,102).考试11 / 11 庞加莱记录的25个面包质量,相当于从X 的取值中随机抽取了25个数据,这25个数据的平均值为Y=2446825=978.72<1000-2×10=980,由附②数据知,P (Y<980)=1-0.9542=0.023<0.05,由附③知,事件“Y<980”为小概率事件,所以“假设面包师没有撒谎”有误,所以庞加莱认为面包师撒谎.。
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北京邮电大学附中2013届高三数学一轮复习单元训练：概率本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分．满分150分．考试时间120分钟．第Ⅰ卷(选择题 共60分)一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的) 1．设随机变量()2~1,5XN ，且()()02P X P X a ≤=>-，则实数a 的值为( )A ． 4B ． 6C ． 8D ．10【答案】A2．如果事件A,B 互斥，那么( )A ．A+B 是必然事件 B ． A B +是必然事件C ． A B 与互斥D ．A B 与一定不互斥【答案】B3．离散型随机变量X 的概率分布列如下：则c 等于( )A ．0.01B ．0.24C ．0.1D ．0.76【答案】C4．某班有40名学生，其中有15人是共青团员.现将全班分成4个小组，第一组有学生10人，共青团员4人，从该班任选一个学生代表．在选到的学生代表是共青团员的条件下，他又是第一组学生的概率为( ) A ．415B ．514C ．14D ．34【答案】A5．下列是随机变量ξ的分布列则随机变量ξ的数学期望是( )A ．0.44B ．0.52C ．1.40D ．条件不足【答案】C6．三位同学独立地做一道数学题，他们做出的概率分别为21、31、41，则能够将此题解答出的概率为( ) A ．0.25 B ．0.5 C ． 0.6D ． 0.75【答案】D7．某中学高考数学成绩近似地服从正态分布()100,100N ，则此校数学成绩在120~80分的考生占总人数的百分比为( ) A ．31.74﹪ B ．68.26﹪ C ．95.44﹪ D ．99.74﹪【答案】C8．随机变量ξ的分布列为：()()1aP k n n ξ==+()1,2,3,4n =，其中a 是常数，则1522P ξ⎛⎫<< ⎪⎝⎭的值为( )A ．23B ．34C ．45D ．56【答案】D9．随机变量Y ～),(p n B ，且() 3.6E Y =,16.2)(=Y D ，则( )A ． n=4 p=0.9B ． n=9 p=0.4C ．n=18 p=0.2D ． N=36 p=0.1【答案】B 10．设随机变量X ～2(,)N μδ，且()()p X c p X c ≤=>，则c 的值( )A ．0B ． 1C ．μD ．2μ【答案】C11．已知随机变量ξ服从正态分布2(2,)N σ，(4)0.84,P ξ≤=则(0)P ξ≤=( )A ．0.68B ．0.32C ．0.16D ．0.84【答案】C12．先后抛掷质地均匀的硬币三次,则至少一次正面朝上的概率是( )A ．81 B ．83 C ．85 D ．87 【答案】D第Ⅱ卷(非选择题 共90分)二、填空题(本大题共4个小题，每小题5分，共20分，把正确答案填在题中横线上) 13．有一个底面圆半径为1高为2的圆柱，点O 为这个圆柱底面圆的圆心，在这个圆柱内随机取一点P ，则点P 到点O 的距离大于1的概率为 . 【答案】2314．某篮球队员在比赛中每次罚球的命中率相同，且在两次罚球中至多命中一次的概率为1625，则该队员每次罚球的命中率为 。
【答案】53 15．为参加2012年伦敦奥运会，某旅游公司为三个旅游团提供了d c b a ,,,四条旅游线路，每个旅游团可任选其中一条线路，则选择a 线路旅游团数ξ的数学期望=ξE ； 【答案】4316．在某项测试中，测量结果ξ服从正态分布()21σ，N，若ξ在()10，内的取值的概率为0.4，则ξ在()20，内取值的概率为【答案】0.8三、解答题(本大题共6个小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤) 17．甲、乙两人同时参加某电台举办的有奖知识问答。
约定甲，乙两人分别回答4个问题，答对一题得1分，不答或答错得0分，4个问题结束后以总分决定胜负。
甲，乙回答正确的概率分别是23和34，且不相互影响。
求：(1) 甲回答4次，至少得1分的概率；(2) 甲恰好以3分的优势取胜的概率。
【答案】（1）甲回答4次，至少得1分的概率8180)321(141=--=P；(2）记事件)4,3(=iAi为甲回答正确i个题目，事件)1,0(=iBj为乙回答正确j个题目，事件C为甲以3分优势取胜，则)()()()(143143BAPBAPBABAPCP+=+=6487)431)(43()32()431()321()32(31444444334=-+--=CCCC，18．盒中装有7个零件，其中2个是使用过的，另外5个未经使用.(Ⅰ）从盒中每次随机抽取1个零件，每次观察后都将零件放回盒中，求3次抽取中恰有1次抽到使用过的零件的概率；(Ⅱ）从盒中随机抽取2个零件，使用后．．．放回盒中，记此时盒中使用过的零件个数为X，求X的分布列和数学期望.【答案】（Ⅰ）记“从盒中随机抽取1个零件，抽到的是使用过的零件”为事件A，则2()7P A=.所以3次抽取中恰有1次抽到使用过的零件的概率12325150C()()77343P==.(Ⅱ）解：随机变量X的所有取值为2,3,4.2227C1(2)C21P X===；115227C C10(3)C21P X===；2527C10(4)C21P X===.所以，随机变量X的分布列为:11010242342121217EX=⨯+⨯+⨯=.19．袋中装有大小相同的10个球，其中5个白球，3个红球，2个黑球，现在依次从中取出3个球。
(1）求取出的3个球不是同一种颜色的概率；(2）求取出的3个球中所含红球的个数ξ的分布列及期望。
【答案】（Ⅰ）记事件A：“取出的3个球不是同一种颜色”()335331011120C CP AC+==()()1091120P A P A=-=(Ⅱ）由题意知：ξ可取0、1、2、3，()3331035712024CPCξ====; ()21733106321112040C CPCξ====()1273310217212040C CPCξ====; ()3331013120CPCξ===分布列：期望：721719012324404012010Eξ=⨯+⨯+⨯+⨯=20．为加强中学生实践、创新能力和团队精神的培养，促进教育教学改革，教育部门主办了全国中学生航模竞赛. 该竞赛分为预赛和决赛两个阶段，参加决赛的队伍按照抽签方式决定出场顺序.通过预赛，选拔出甲、乙、丙和丁四支队伍参加决赛.(Ⅰ）求决赛中甲、乙两支队伍恰好排在前两位的概率；(II）求决赛中甲、乙两支队伍出场顺序相邻的概率.【答案】利用树状图列举：共有24个基本事件，符合（Ⅰ）要求的有4个基本事件，符合（II）要求的有12个基本事件，所以所求的概率分别为21,61。
21．为了构建和谐社会建立幸福指标体系，某地决定用分层抽样的方法从公务员、教师、自由职业者三个群体的相关人员中，抽取若干人组成研究小组，有关数据见下表（单位：人）．(Ⅰ）求研究小组的总人数；(Ⅱ）若从研究小组的公务员和教师中随机选2人撰写研究报告，求其中恰好有1人来自公务员的概率．【答案】（Ⅰ）依题意xy3248464==.解得3=y，2=x.研究小组的总人数为9432=++（人）.(Ⅱ）设研究小组中公务员为1a，2a，教师为1b，2b，3b，从中随机选2人，不同的选取结果有：1a2a，1a1b，1a2b，1a3b，2a1b，2a2b，2a3b，1b2b，1b3b，2b3b共10种.其中恰好有1人来自公务员的结果有：1a1b，1a2b，1a3b，2a1b，2a2b，2a3b，共6种.所以恰好有1人来自公务员的概率为53106==P（或53251312==CCCP）.22．某班同学利用国庆节进行社会实践，对[25,55]岁的人群随机抽取n人进行了一次生活习惯是否符合低碳观念的调查，若生活习惯符合低碳观念的称为“低碳族”，否则称为“非低碳族”，得到如下统计表和各年龄段人数频率分布直方图：(Ⅰ）补全频率分布直方图并求n、a、p的值；(Ⅱ）从年龄段在[40,50)的“低碳族”中采用分层抽样法抽取6人参加户外低碳体验活动，其中选取2人作为领队，求选取的2名领队中恰有1人年龄在[40,45)岁的概率。
【答案】（Ⅰ）第二组的频率为1(0.040.040.030.020.01)50.3-++++⨯=，所以高为0.30.065=．频率直方图如下：第一组的人数为1202000.6=，频率为0.0450.2⨯=，所以20010000.2n==．由题可知，第二组的频率为0．3，所以第二组的人数为10000.3300⨯=，所以1950.65300p ==． 第四组的频率为0.0350.15⨯=，所以第四组的人数为10000.15150⨯=，所以1500.460a =⨯=． (Ⅱ）因为[40,45)岁年龄段的“低碳族”与[45,50)岁年龄段的“低碳族”的比值为60:302:1=，所以采用分层抽样法抽取6人，[40,45)岁中有4人，[45,50)岁中有2人．设[40,45)岁中的4人，[45,50)岁中的2人，则选取2人作为领队的有26C =15种；其中恰有1人年龄在[40,45)岁的有4X2=8种 所以选取的2名领队中恰有1人年龄在[40,45)岁的概率为815P =．。