特征值屈曲
屈曲特征值的物理意义
屈曲特征值的物理意义屈曲特征值是力学理论中的一个非常重要的概念，它是用来描述杆件在屈曲时所承受的力和杆件本身的性质之间的关系的。
通常情况下，杆件所承受的屈曲力将随着杆件本身的特性而发生变化，因此屈曲特征值可以被用来预测杆件在屈曲时会出现什么情况。
首先，我们来看一下什么是屈曲。
屈曲指的是杆件在承受压力时由于自身刚度不够而导致的失稳变形，也就是所谓的“弯曲”。
杆件的屈曲是由于其截面的形状、尺寸和材料性质等因素共同作用的结果，因此当杆件承受不同的力时，其屈曲特征值也会相应地发生变化。
其次，我们来看一下屈曲特征值的物理意义。
屈曲特征值通常被表示为k值，它是指单位长度（通常为1米）杆件承受的屈曲力除以其截面的惯性矩所得到的比值。
在这个比值中，惯性矩可以被理解为杆件所承受的力矩对于杆件形变的抵抗能力。
因此，k值越大，杆件承受屈曲的能力就越强，杆件变形的程度就越小。
最后，我们来看一下如何计算屈曲特征值。
根据杆件在屈曲时的本构关系，我们可以得到一个方程来计算k值：k = (π^2EI)/(L^2)其中，E是杆件的弹性模量，I是杆件截面的惯性矩，L是杆件的长度。
由此可见，屈曲特征值的计算是非常依赖于杆件本身的物理特性的。
因此，在进行杆件的设计和选型时，我们需要对其所要承受的力和杆件的性质进行充分的考虑和分析，以确保最终的产品具有足够的强度和稳定性。
总之，屈曲特征值是描述杆件在承受压力时失稳变形的一个重要指标，它的物理意义在于揭示了杆件形变和承受力之间的内在联系。
只有在深刻理解和掌握了屈曲特征值的意义和计算方法之后，我们才能够有效地进行杆件的设计和选型，以满足各种工程应用的需求。
ANSYS命令流学习笔记8-特征值屈曲分析
!ANSYS命令流学习笔记8 -特征值屈曲分析--案例来自于公众号：ansys学习与应用!学习重点：!1、熟悉beam单元的建模!2、何为特征值屈曲分析Eigen Buckling增加轴向载荷(F)时, 一个理想化的端部固定的柱体将呈现下述行为。
分叉点是载荷历程中的一点,，在理想化情况下, 临界载荷(Fcr)作用时, 柱体可向左或向右屈曲。
当F < Fcr时, 柱体处于稳定平衡状态，若引入一个小的侧向扰动力，然后卸载, 柱体将返回到它的初始位置。
当F > Fcr时, 柱体处于不稳定平衡状态, 任何扰动力将引起坍塌。
当F = Fcr时, 柱体处于中性平衡状态，把这个力定义为临界载荷。
在实际结构中, 几何缺陷的存在或力的扰动将决定载荷路径的方向。
在实际结构中, 很难达到临界载荷，因为扰动和非线性行为, 低于临界载荷时结构通常变得不稳定。
特征值屈曲分析预测一个理想线弹性结构的理论屈曲强度，缺陷和非线性行为阻止大多数实际结构达到理想的弹性屈曲强度，特征值屈曲一般产生非保守解, 使用时应谨慎。
!3、特征值屈曲分析的理论计算及有限元计算!理论解，根据Euler公式。
其中μ=1。
临界载荷为44.342。
F cr=π2EI (μL)2!有限元方法，结构弹性矩阵为[K e]，在屈曲载荷{P0}作用下，产生位移{U0}，预应力{σ0}{P0}=[K e]{U0}结构同时由于预应力{σ}发生刚度变化，此时刚度矩阵为[K e(σ)]，增量平衡方程为：{ΔP}=([K e]+[K e(σ)]){ΔU}线性条件下，屈曲行为是外载荷的线性函数则有[K e(σ)]=λ[K e(σ0)]；{P}=λ{P0}；{σ}=λ{σ0}增量平衡方程又表示为：{ΔP}=([K e]+λ[K e(σ0)]){ΔU}临界载荷时达到不稳定状态，即使{ΔP}≈0，{ΔU}仍有数值，此时必须有：det([K e]+λ[K e(σ0)])=0求解λ，即可得到临界载荷{F cr}=λ{P0}!4、特征值屈曲分析的缺点与优势如上分析，特征值屈曲分析得到的是非保守解，但是具有两个优点：快捷分析，屈曲模态形状可用作非线性屈曲分析的初始几何缺陷。
施威德勒型单层球面网壳特征值屈曲特性的分析
施威德勒型单层球面网壳特征值屈曲特性的分析张宁宁1，张文明21辽宁工程技术大学土建学院，辽宁阜新（123000）2上海宝钢工程技术有限公司，上海 (201900)E-mail：znn88888888@摘要：本文主要以施威德勒型单层球面网壳为研究对象,对其进行特征值屈曲分析，预测一个理想弹性结构的理论屈曲强度，也即弹性屈曲分析方法，确定网壳结构开始变得不稳定时的临界载荷和屈曲模态的形状。
经典的屈曲分析是采用特征值屈曲分析法，它适用于对一个理想弹性结构的理想屈曲强度（歧点）进行预测，主要是使用特征值公式计算造成结构负刚度的应力刚度阵的比例因子。
分析结果表明：结构发生屈曲时，其变形方式会发生分叉，但是这对结构发生失稳时的临界载荷影响很小，在工程分析中若只需要计算结构的临界载荷，则不用过多地考虑这种分叉性。
关键词：特征值屈曲分析，结构稳定，屈曲强度，线弹性中图分类号：TU988.61.引言近年来, 网壳结构发展迅速、形式多样，网壳结构在大跨度建筑中已越来越多地被利用, 而且具有广阔的发展前景。
“穹顶结构之父”—德国工程师施威德勒在薄壳穹顶的基础上提出一种构造形式，即把穹顶壳面划分为径向的肋和纬向的水平环线，且在每个梯形网格内再用斜杆分成两个或四个三角形，使内力分布变得更加均匀，结构自重大大减小，跨度也大大增加，这就是施威德勒空间网壳结构[1]。
对网壳这种大型空间结构, 当地震发生时, 由于强烈的地面运动而迫使结构产生振动, 其惯性作用一般来说是不容忽视的。
结构产生的地震内力和位移, 可能造成结构破坏或倒塌, 因此在地震设防区必须对网壳结构进行抗震计算[2]。
对网壳结构的稳定性能研究有着重要的意义, 这也是工程实践中急待解决的问题[3]。
2.结构稳定及特征值屈曲结构失稳(屈曲)是指在外力作用下结构的平衡状态开始丧失稳定性，稍有扰动则变形迅速增大，最后使结构遭到破坏[4]。
稳定问题一般分为三类，第一类失稳是理想化情况，即达到某个荷载时，除结构原来的平衡状态可能存在外，出现第二个平衡状态，所以又称平衡分岔失稳或分枝点失稳，而数学处理上是求解特征值问题，故又称特征值屈曲。
特征值屈曲分析示例
特征值屈曲分析示例
输入压力值 100，点击 OK 后： 如果压力未以箭头形式显示，可以：
Utility Menu > PlotCtrls > Symbles … > 将 /PSF 部分 的 Surface Load Symbles 改为 Pressure; Show Pres and convect as 改为 Arrows。OK 退出对话框，然后 Replot：
如有需要，可以转换到常用后处理，查看计算结果， 然后再回到 Solution，进行屈曲分析。
特征值屈曲分析示例
求解的第二步设置为屈曲分析，但是，如果没有离 开 Solution，直接设置新的求解类型：
特征值屈曲分析示例
程序会自动退出 Solution，并出现一个警告信息， 意思是必须退出 Solution，才能重新定义新的分析类 型。点击 Close，关闭该信息框：
静力分析 – 求解
求解结束，弹出一个信息框：
静力分析 – 结果云图
下面进行结果后处理。先显示 Uy 结果：
静力分析 – 结果云图
再显示模型的 Von Mises 应力云图：
静力分析 – 查询结果
可以使用查询功能，查询模型上某个单元或节点的结果 项 – 不需要和当前显示的结果项相同。先选择要查询的 结果项：
概 述
本课程将讲述三种典型的基础分析的例子，分别是静力 分析、模态分析和屈曲分析的例子。 所有分析示例使用相同的模型：一个悬臂梁，三个方向 的尺寸分别是：10*15*100 mm； 材料性能是： 弹性模量 E = 201000 Mpa 泊松比 μ = 0.3 密度 ρ = 7.8 e-9 约束条件是：靠近坐标系原点的端面 (Z=0) 固支； 载荷条件是：另一端面 (Z=100) 受 Y 向合力 10000 N.
workbench Mechanical17.0特征值屈曲和子模型
17.0 Release第八章：特征值屈曲和子模型ANSYS Mechanical 简介第八章主题本章主题包括特征值屈曲和子模型：1.特征值屈曲概述2.几何模型和材料属性3.接触4.载荷和约束5.求解设置6.结果7.子模型概述8.Submodeling Analysis Procedure9.算例 08.1：特征值屈曲10.算例 08.2：子模型对于很多结构，需要评价其结构稳定性。
例如，对于薄柱、压缩部件和真空罐来说，稳定性是非常重要的。
失稳（屈曲）的结构，负载基本上没有变化（大于一个小负载扰动），结构的位移就会发生非常大的变化{ x} 。
F F稳定失稳特征值（线性屈曲）分析预测理想线弹性结构的理论屈曲强度。
此方法相当于教科书上的线弹性屈曲分析方法。
−特征值屈曲求解满足标准的欧拉方恒。
缺陷和非线性行为，使现实结构无法达到其理论弹性屈曲强度。
由于无法考虑这些影响因素，线性屈曲一般会得出不保守的结果。
尽管不保守，线性屈曲的优势是，对于非线性屈曲而言，其计算简单，耗时短。
对于线性屈曲分析，求解特征值问题，得到屈曲载荷因子 l i 和屈曲模态 y i ：[K] 和 [S] 为常量，即：•材料为线弹性 •小变形理论 •线性接触[][](){}0=+i i S K y l08.02 几何模型和材料属性在屈曲分析中可以使用所有 Mechanical 支持的几何模型：−实体−面体（需定义厚度）−线体（需定义截面）•对于线体，只能得到屈曲模态和位移结果。
−尽管模型中可以有点质量，但由于没有惯性载荷，所以对特征值屈曲分析没有效果；因此，可以限制使用该特征。
材料属性方面，必须定义弹性模量和泊松比。
08.03 接触在特征值屈曲分析中可以使用接触，但是，与模态分析类似，非线性接触将会退化为与之相应的线性接触。
Initially Touching Inside Pinball Region Outside Pinball Region BondedBondedBondedFree No Separation No Separation No Separation Free RoughBondedFree Free Frictionless No Separation Free Free FrictionalBondedFreeFreeContact Type Modal Analysis在静态结构分析之中，至少施加一个导致屈曲的结构载荷：−临界屈曲载荷为分析所施加的载荷乘以载荷因子（λ ）。
荷载因子=特征值、屈曲分析
荷载因子=特征值、屈曲分析只有找到临界点才能说结构屈曲了，首先加的荷载是否超过临界荷载？然后是否有点的荷载位移曲线含有零斜率的点？3.5 特征值(线性)屈曲分析3.5.1 基本知识我们已经知道应力刚度矩阵[S]可以加强或减弱结构的刚度，这依赖于刚度应力是拉应力还是压应力。
对受压情况，当F增大时，弱化效应增加，当达到某个载荷时，弱化效应超过结构的固有刚度，此时没有了净刚度，位移无限增加，结构发生屈曲。
ANSYS的线性屈曲分析使用相似的概念，使用特征值的公式计算造成结构负刚度的应力刚度矩阵的比例因子。
([K] +λ[S] ){ψ}=0其中：[K]＝刚度矩阵[S]＝应力刚度矩阵{ψ}＝位移特征矢量λ＝特征值（也叫作比例因子或载荷因子）利用上面的特征值公式可以决定结构的分叉点，分叉点是指两条或多条载荷－变形曲线的相交点。
具有分叉屈曲的结构在达到屈曲载荷之前其位移－变形曲线表现出线性关系，达到屈曲载荷之后，曲线将跟随另外的路线，分叉屈曲的典型例子是欧拉梁和薄的轴向加载的圆柱壳。
关于特征值公式的几点说明：· 特征值表示给定载荷的比例因子· 如果给定载荷是单位载荷，特征值即是屈曲载荷。
· 特征矢量是屈曲形状· 一般来说只对第一个特征值和特征矢量感兴趣由于特征值屈曲不考虑任何非线性和初始扰动，因此它只是一种学术解，利用特征值屈曲分析可以预测出屈曲载荷的上限，然而在通常情况下我们都期望得到保守载荷（下限）。
特征值屈曲分析的优点是计算快。
在进行非线性屈曲分析之前我们可以利用线性屈曲分析了解屈曲形状。
3.5.2 特征值屈曲分析的步骤再一次提醒用户，特征值屈曲分析通常产生非保守结果，故通常不应用于实际结构的设计。
若用户认为特征值屈曲分析对于自己的应用是合适的话，则可按如下步骤进行分析：1、建立模型；2、获得静力解；3、获得特征值屈曲解；4、展开解；5、观察结果。
3.5.2.1 建立模型定义作业名和分析标题，进入 PREP7 定义单元类型、单元实常数、材料性质、模型几何实体。
特征值屈曲和非线性屈曲
• • • 形开关 横向加扰动 载荷子步不要太少 关闭自动步长开关 每个子步都输出
也可以通过在特征值屈曲结果得 到以后通过前处理中的modeling 下的update geometry来实现缺 陷的施加，同学们自行练习
设定求解方法子空间法，确定提取的阶数
• 求解 • 在通用后处理中查看结果分别为三阶屈曲 临界载荷
• 3.非线性屈曲分析 • 分析类型静态 • 打开大变形开关
• 在自由端加100N压力 • 自由端加0. 5N横向力
• 求解 • 查看结果
• 时间历程后处理查看自由端位移
选择自由端的节点横向位移
1.特征值屈曲
算例：截面矩形：10*10mm 杆长=1500mm,E=69Gpa,
0.3
一端固定一段自由 求临界载荷屈曲形态
单元 载荷约束如下图
• 步骤 • 前处理 • 进入求解器
• 在自由端加轴向单位压力
• 静态分析打开预应力开关
4、求解
• 2.重新求解，分析类型选为：特征值分析
ABAQUS钢柱特征值屈曲分析
四、ABAQUS钢柱特征值屈曲分析问题描述：利用有限元软件分析咋爱不同特征值下的一个 4.2m高的钢柱的变形情况。
钢柱的截面尺寸如图所示。
钢柱的材料特性：弹性模量E=2.1e11N/m2，泊松比0.3，屈服强度f y=3.45e8 N/m2。
1.创建部件将Modeling Space设为3D，Shape设为shell，Type选择Extrusion，Approximate size项输入1，点击继续开始绘制草图。
以坐标的形式绘制线条，生成三维模型。
2.创建材料点击创建材料按钮，弹出对话框。
名称输入steel，在对话框中点击General(常规特性)-Density，在Mass Density中输入7850；点击Mechanical（力学特性）-Elasticity（弹性）-Elastic，将Young’s Modulus（弹性模量）设为2.0e11，Poisson’s Ratio为0.3。
3.创建截面属性点击创建截面按钮，将Category设为shell，Type设为Homogeneous，其余参数不变，点击继续弹出Edit section对话框，Value后面输入0.01，保持其余参数不变，完成对翼缘截面属性的定义。
同理输入0.006，完成对腹板截面属性的定义。
4.给部件赋予截面属性点击赋予截面属性按钮，分别赋予翼缘和腹板的截面属性。
5.定义装配件6.设置分析步点击创建分析步按钮，在名称后面输入load，procedure type项选择linear perturbation，下拉菜单中选择Buckle。
点击继续，弹出编辑分析步对话框，Eigensolver 项中选择Lanczos，在Number of eigenvalus requested（所需特征值数量）后输入10，即分析10个特征值下的变形情况，剩余参数不变。
7.定义荷载和边界条件●给钢柱施加边界荷载点击Create Load对话框，在名称后面输入load-1，step项中选择load，将出现的Type for Selected Step（所选分析步的荷载类型）设为Shell edge laod(壳体边缘荷载)，保持其他不变，点击继续，提示区显示选择要添加荷载的壳体边缘，选择如图所示的边界，在弹出的对话框的Magnitude（幅值）后面输入1e4，剩余参数不变。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
F F F
Fapp
可用载荷控制得到 Fapp 吗？
u
载荷控制(续)
• 在Newton-Raphson 法中使用载荷控制的困难在于求解无法越过不 稳定点。在不稳定点(Fcr) ，刚度矩阵KT 奇异 。使用载荷控制， Newton-Raphson 法将不收敛。但是，此种分析对描述结构的前屈 曲特性有益。
• 但是非理想性与非线性使大多数实际结构无法达到它们的理论弹性
屈曲强度。特征值屈曲通常得到非保守 结果，在使用时要小心。
F
歧点
前屈曲
极限载荷
理想加载路径 非理想结构的加载路径
u
特征值屈曲(续)
• 尽管特征值屈曲分析经常得到非保守解，但进行线性失稳分析有 两个优点：
– 相对经济（快速）的分析 – 失稳模态形状可用作非线性屈曲分析的初始几何缺陷。
F
歧点
极限点
前屈曲
理想的静力 特性
后屈曲
理想的加载路径 非理想结构的加载路径 实际动态响应
u
载荷控制，位移控制与弧长法
• 为计算结构的静态力位移响应，有不同的分析技巧。这些技巧包 括：
– 载荷控制 – 位移控制 – 弧长法
载荷控制
• 分析如下所示的薄拱形结构突然弯折。当用增量加载(F)的方式完成
特征值屈曲分析的基础
线性失稳分析以经典的特征值问题为基础。为求解特征值问题，首 先求解线弹性前屈曲加载状态{P0} 的载荷－位移关系；既给定{P0} ，解
以得到
{P0} = [Ke]{u0}
{u0} = 加载{P0}的位移结果，及 {s} = {u0}引起的应力结果
特征值屈曲分析的基础(续)
假设前屈曲位移很小，可给出任意状态({P}, {u}, {s})的增量平衡
第四章
稳定性分析
结构稳定性
• 许多结构需要评定它们的结构稳定性。细立柱，受压杆件，真空 容器都是需考虑结构稳定性的例子。
• 在不稳定（失稳）发生时，结构在载荷基本无变化的情况下（由 于小的载荷扰动），位移 {u} 发生很大变化。
F
稳定
F
不稳定
结构稳定性(续)
• 一个理想化的固定端柱子在逐渐增加的轴向载荷(F)作用下，将显 示出如下特性。
Fapp Fcr
KT = 0
KT < 0
Fcr 只能用载荷控 制得到。
u
位移控制
• 弧形结构受到逐渐增大的位移载荷，对应于受力载荷，求解是使用
位移控制 完成的。位移控制的优点在于它在Fcr 点外产生一个稳定
求解。（施加的位移可在不稳定点添加约束。）
UY
Fapp
UY
UY
Fapp 可通过位移控制得 到。 (Fapp 现在是施加 位移UY 的反作用力。)
[KT]{u} = l {Fa} - {Fnr}
• 为了适应增加的未知数，必须引入一个约束方程，弧长 。 弧长与载荷因子l以及Newton-Raphson 方程中的位移增量 {u}有关。
弧长法(续)
弧长法是借助一条圆 弧将载荷因子增量l 和位移增量u关联起 来。图中所示的是用 于全NewtonRaphson法中的载荷 因子增量l和位移增 量u。Fra bibliotek方程这里
{P} = [[Ke] + [Ks(s)]]{u}
[Ke] = 弹性刚度矩阵 [Ks(s)] = 在应力状态{s}下计算的初始应力矩阵
特征值屈曲分析的基础(续)
假设前屈曲特性是载荷 {P0}的线性函数，
{P} = l{P0} 我们可得到
{u} = l{u0}
{s} = l{s0}
[Ks(s)] = l[Ks(s0)]
• 弧长法可用于比例加载的静力问题。
F
• 尽管弧长法可求解复杂的力位移响 应问题，但它最适合求解不带突然
歧点的平滑响应问题。
u
弧长法(续)
• 通过在求解时引入未知数－载荷因子l (-1 < l < 1)后，弧长法 可在 Newton-Raphson 方法中对载荷与位移同时求解。 Newton-Raphson 方程可重写为,
F
线性特 征值屈曲
非线性屈曲
理想化加载路径 非理想结构的加载路径
前屈曲
u
特征值屈曲
• 特征值屈曲分析 可预测一个理想线弹性 结构的理论屈曲强度（
歧点）。
• 特征值公式决定了结构的歧点。此种方法相当于教科书上的线弹 性屈曲分析方法。一个Euler 立柱的特征值屈曲解与经典的Euler 解相匹配。
特征值屈曲(续)
(P 0) 的存在，它们会决定加载路径。
u
结构稳定性(续)
临界载荷
• 当 F < Fcr时， 立柱处于稳定平衡状态。 如果先施加一个 小的扰动力 (P 0) 然后再删除掉，立柱将会恢复到原始 位置。当 F > Fcr 时，立柱处于非稳定平衡状态，任何扰 动力都将会引起失稳。当 F = Fcr时 ，立柱处于中性平衡 状态，这就是临界载荷。
u
位移控制(续)
• 位移控制的缺点是只有你明确知道施加多大的位移时才可使用！ 如果在弧形结构上施加的不是集中载荷而是压力载荷，则不可能 使用位移控制。
P
对于一些更复杂的加载情况，
通常不知道施加的位移大小。
弧长法
• 弧长法是一种用于得到不稳定(KT 0)或负刚度矩阵(KT < 0)问题 的数值稳定解的方法。
因此，对整个前屈曲范围 表达的增量平衡方程可写为
F
F
F
歧点
不稳定平衡
Fcr u
中性平衡 稳定平衡
u
结构稳定性(续)
歧点
• 在加载历史中的某一点处,可能有两种分支的解，这一点就是所谓 的歧点。
F
F
P
• 一个理想化的一端固定的立柱，在临界载 荷(Fcr)的作用下，它将有可能向左或向右 弯曲。因此会有两种可能的加载路径。在
实际的结构中，由于几何误差或扰动载荷
结构稳定性(续)
极限载荷
• 在实际结构中，要获得临界载荷非常困难。由于几何误 差和非线性特性，结构在低于临界载荷的力的作用下就 会变得不稳定。
F
歧点
实际结构的响应，
低于临界载荷就会
Fcr
出现不稳定。
u
结构稳定性(续)
• 非线性载荷位移曲线如下图所示。此图显示了理想的加载路径， 非理想结构的加载路径及结构的动态响应。
ArLcenRgath di uun 2sl2
弧长法(续)
• 强制Newton-Raphson 迭代沿 着与平衡路径相交的圆弧收敛， 可得到承受零或负刚度的结构的解。
F
ri
ri
ri
ri
ri 弧长半径 收敛子步
平衡路径
u
前屈曲分析
前屈曲分析及破坏载荷分析的分析方法包括： • 线性特征值屈曲 • 非线性屈曲分析