!七大晶系十四种布喇菲格子

1.6 倒格子和布里渊区

第一章晶体结构
第五节七个晶系和十四种布拉菲格子
根据晶体的对称性特征划分： 32点群； 230种空间群 7个晶系 14种布拉菲格子
晶系三斜单斜正交三方四方
对称性特征只有1或 i 唯一2或 m 三个2或 m 唯一3 或唯一4 或
第一章晶体结构 a b c
C1、 Ci a b c ==90º C2、CS、C2h D2、C2V、D2h C 3 、 S6 、 D 3 C3Ｖ、D3d C4、S4、C4h、D4 C4V、D2d、D4h
晶胞参数
所属点群
Bravais格子简单三斜简单单斜底心单斜简单、底心、体心、面心正交三方简单四方体心四方六方
第五节七个晶系和十四种布拉菲格子
a b c = ＝= 90º a=b=c = ＝ 90º a=b c = ＝= 90º
六方
唯一6 或
a=b c C6、C3h、C6h、D6、 = ＝ 90º =120º C6V、D3h、D6h
第一章晶体结构
第六节倒格子和布里渊区
① ② O
③
二维正方格子的布里渊区
二维正方格子的布里渊区
①
②
二维正方格子的布里渊区
①
②
第一章晶体结构
第六节倒格子和布里渊区
二维正方格子的10个布里渊区
பைடு நூலகம்
第一章晶体结构
第六节倒格子和布里渊区
二维六方格子的10个布里渊区
第一章晶体结构
第六节倒格子和布里渊区
立方
四个3
a=b=c = ＝＝ 90º
T、Th、Td O、 Oh
简单、体心、面心立方
第一章晶体结构
第五节七个晶系和十四种布拉菲格子

布拉维晶格在三维平面上的七大晶系14种晶格

布拉维晶格在三维平面上有七大晶系，14种晶格分别为三斜晶系、单斜晶系、正交晶系、四方晶系、立方晶系、三方晶系、六角晶系。

依照简单、体心、面心及底心一、等轴晶系（立方晶系）等轴晶系的三个轴长度一样，且相互垂直，对称性最强。

这个晶系的晶体通俗地说就是方块状、几何球状，从不同的角度看高低宽窄差不多。

如正方体、八面体、四面体、菱形十二面体等，它们的相对晶面和相邻晶面都相似，这种晶体的横截面和竖截面一样。

此晶系的矿物有黄铁矿、萤石、闪锌矿、石榴石，方铅矿等。

请看这种晶系的几种常见晶体的理论形态：等轴晶系的三个晶轴(x轴y轴z轴)一样长,互相垂直常见的等轴晶系的晶体模型图等轴晶系的各种宝石金刚石晶体翠榴石黄铁矿萤石八面体和立方体的聚形的方铅矿二、四方晶系四方晶系的三个晶轴相互垂直，其中两个水平轴（x轴、y轴）长度一样，但z轴的长度可长可短。

通俗地说，四方晶系的晶体大都是四棱的柱状体，（晶体横截面为正方形，但有时四个角会发育成小柱面，称“复四方”），有的是长柱体，有的是短柱体。

再，四方晶系四个柱面是对称的，即相邻和相对的柱面都一样，但和顶端不对称（不同形）；所有主晶面交角都是九十度交角。

请看模型图：四方晶系的晶体如果z轴发育，它就是长柱状甚至针状；如果两个横轴（x、y）发育大于竖轴z轴，那么该晶体就是四方板状常见的一些四方晶系的晶体模型符山石的晶体锡石的长柱状晶体（顶端另有斜生的小晶体）。

请注意看柱体的棱角发育成窄小晶面，此种晶体又叫“复四方”——四个主柱面，四个小柱面这是短柱状锆石，柱体几乎不发育。

象个四方双锥体或假八面体三、三方晶系和六方晶系三方晶系和六方晶系有许多相似之处，一些矿物专著和科普书刊往往将二者合并在一起，或干脆就称晶体有六大晶系。

与前面讲的五个晶系最大的不同是三方/六方晶系的晶轴有四根，即一根竖直轴（z轴）三根水平横轴（x、y、u轴）。

竖轴与三根横轴的交角皆为90度垂直，三根横轴间的夹角为120度（六方晶系为60度，也可说成三横轴前端交角120度。

布拉菲点阵

关于奥古斯特·布拉菲及布拉菲点阵浅析奥古斯特·布拉菲（August Bravais，1811—1863），法国物理学家，于1845年推导出了三维晶体原子排列的所有14种点阵结构，首次将群的概念应用到物理学，为固体物理学做出了重大贡献。

这是非常有意义的结论，为了纪念他，后人称这14种点阵为布拉菲点阵。

除此之外，布拉菲还对磁性、极光、气象、植物地理学、天文学和水文学等方面进行过研究。

图1 奥古斯特·布拉菲在几何学以及晶体学中，布拉菲晶格（又译布拉菲点阵）是为了纪念奥古斯特·布拉维在固态物理学的贡献命名的。

法国晶体学家布拉菲（A.Bravais）于1850年用数学群论的方法推导出空间点阵只能有十四种: 简单三斜、简单单斜、底心单斜、简单正交、底心正交、体心正交、面心正交、简单六方、简单菱方、简单四方、体心四方、简单立方、体心立方、面心立方。

根据其对称特点，它们分别属于七个晶系。

空间点阵到底有多少种排列形式？按照“每个阵点的周围环境相同”的要求，在这样一个限定条件下，法国晶体学家布拉菲（A. Bravais）曾在1848年首先用数学方法证明，空间点阵只有14种类型。

这14种空间点阵以后就被称为布拉菲点阵。

空间点阵是一个三维空间的无限图形，为了研究方便，可以在空间点阵中取一个具有代表性的基本小单元，这个基本小单元通常是一个平行六面体，整个点阵可以看作是由这样一个平行六面体在空间堆砌而成，我们称此平行六面体为单胞。

当要研究某一类型的空间点阵时，只需选取其中一个单胞来研究即可。

在同一空间点阵中，可以选取多种不同形状和大小的平行六面体作为单胞，如下图所示：其选取方式有，1．固体物理选法：在固体物理学中，一般选取空间点阵中体积最小的平行六面体作为单胞，这样的单胞只能反映其空间点阵的周期性，但不能反映其对称性。

如面心立方点阵的固体物理单胞并不反映面心立方的特征。

2．晶体学选法：由于固体物理单胞只能反映晶体结构的周期性，不能反映其对称性，所以在晶体学中，规定了选取单胞要满足以下几点原则：①要能充分反映整个空间点阵的周期性和对称性；②在满足①的基础上，单胞要具有尽可能多的直角；③在满足①、②的基础上，所选取单胞的体积要最小。

布拉菲点阵

关于奥古斯特·布拉菲及布拉菲点阵浅析奥古斯特·布拉菲（August Bravais，1811—1863），法国物理学家，于1845年推导出了三维晶体原子排列的所有14种点阵结构，首次将群的概念应用到物理学，为固体物理学做出了重大贡献。

这是非常有意义的结论，为了纪念他，后人称这14种点阵为布拉菲点阵。

除此之外，布拉菲还对磁性、极光、气象、植物地理学、天文学和水文学等方面进行过研究。

图1 奥古斯特·布拉菲在几何学以及晶体学中，布拉菲晶格（又译布拉菲点阵）是为了纪念奥古斯特·布拉维在固态物理学的贡献命名的。

法国晶体学家布拉菲（A.Bravais）于1850年用数学群论的方法推导出空间点阵只能有十四种: 简单三斜、简单单斜、底心单斜、简单正交、底心正交、体心正交、面心正交、简单六方、简单菱方、简单四方、体心四方、简单立方、体心立方、面心立方。

根据其对称特点，它们分别属于七个晶系。

空间点阵到底有多少种排列形式？按照“每个阵点的周围环境相同”的要求，在这样一个限定条件下，法国晶体学家布拉菲（A. Bravais）曾在1848年首先用数学方法证明，空间点阵只有14种类型。

这14种空间点阵以后就被称为布拉菲点阵。

空间点阵是一个三维空间的无限图形，为了研究方便，可以在空间点阵中取一个具有代表性的基本小单元，这个基本小单元通常是一个平行六面体，整个点阵可以看作是由这样一个平行六面体在空间堆砌而成，我们称此平行六面体为单胞。

当要研究某一类型的空间点阵时，只需选取其中一个单胞来研究即可。

在同一空间点阵中，可以选取多种不同形状和大小的平行六面体作为单胞，如下图所示：其选取方式有，1．固体物理选法：在固体物理学中，一般选取空间点阵中体积最小的平行六面体作为单胞，这样的单胞只能反映其空间点阵的周期性，但不能反映其对称性。

如面心立方点阵的固体物理单胞并不反映面心立方的特征。

2．晶体学选法：由于固体物理单胞只能反映晶体结构的周期性，不能反映其对称性，所以在晶体学中，规定了选取单胞要满足以下几点原则：①要能充分反映整个空间点阵的周期性和对称性；②在满足①的基础上，单胞要具有尽可能多的直角；③在满足①、②的基础上，所选取单胞的体积要最小。

十四种布拉菲格子

晶体的十四种Bravais Bravais格子简介 §1.2.6 晶体的十四种Bravais格子简介
就目前所知，晶体多达20000多种以上，它们的几何就目前所知，晶体多达多种以上，多种以上外形更是多姿多彩、精美绝伦、奥妙无比，外形更是多姿多彩、精美绝伦、奥妙无比，足以让所有的能工巧匠叹为观止！然而，种类繁多、的能工巧匠叹为观止！然而，种类繁多、形状各异的晶体在微观结构的周期性特征上却是极其简单的，体在微观结构的周期性特征上却是极其简单的，描述晶体微观结构周期性特征的Bravais格子总共只有十四种不格子总共只有十四种不体微观结构周期性特征的格子总共只有十四种同的类型。同的类型。
Pearson记法 →
hR
7°立方(Cubic) 晶系立方(Cubic) Bravais格子之惯用元胞的几何特征为： Bravais格子之惯用元胞的几何特征为：格子之惯用元胞的几何特征为
a = b = c，α = β = γ = 90 0
格点有三种分布方式：其一，分布于惯用元胞的八个顶点上；格点有三种分布方式：其一，分布于惯用元胞的八个顶点上；其二，除顶点外，还分布于体心；其三，除顶点外，还分布于六其二，除顶点外，还分布于体心；其三，除顶点外， Bravais格子简单立方Bravais格子、个面心有三种Bravais格子，分别称为简单立方Bravais格子、 → 三种Bravais格子，分别称为简单立方Bravais格子体心立方Bravais格子和面心立方Bravais格子体心立方Bravais格子和面心立方Bravais格子 Bravais格子 Bravais cP、 cP Pearson记法 → 、
cI和cF，惯用元胞分别如图1.2.6－中的（ cI和cF，惯用元胞分别如图1.2.6－1中的（l）图、(m)图和（n） 1.2.6 (m)图图所示背景音乐：背景音乐：

十四种布拉菲格子

a = b ≠ c，α = β = γ = 90 0
格点有两种分布方式：其一，分布于惯用元胞的八个顶点上；格点有两种分布方式：其一，分布于惯用元胞的八个顶点上；
→ 两种Bravais格子，分别称其二，除顶点外，格子，其二，除顶点外，还分布于体心有两种格子
格子和为简单四方Bravais格子和体心四方简单四方格子体心四方Bravais格子 Pearson记法 → tP 格子中的（）和tI，惯用元胞分别如图，惯用元胞分别如图1.2.6－1中的（h）图和(i)图所示－中的图
背景音乐：背景音乐：
图1.2.6－1 －
十四种Bravais格子按点对称性分为七种点对称性类型，分格子按点对称性分为七种点对称性类型，十四种格子按点对称性分为七种点对称性类型七个晶系。别对应于七个晶系下面，将按晶系对这十四种Bravais格子格子别对应于七个晶系。下面，将按晶系对这十四种的主要特征逐一简介
研究晶体表面的对称分布晶体只有三十二种可能的点对称性类型1849年bravaisbravais格子只有七种可能的点对称性类型再考虑到平移对称性格子只有七种可能的点对称性类型再考虑到平移对称性bravais格子只有十四种不同的类型这十四种bravais格子的惯用元胞如图1261所示???发现??指出????进一步指出????首次导出背景音乐
背景音乐：背景音乐：
19th Cent.初，Weiss ：研究晶体表面的对称分布初晶体学坐标系：晶体学坐标系：晶体分为七个晶系 1830年， Hessel ：研究晶体表面的对称分布年三十二种可能的点对称性类型 1849年，Bravais 年
发现→ 七种
指出晶体只有 →

14种布拉维点阵的结构特征

14种布拉维点阵的结构特征布拉维点阵是描述晶体中原子、离子或分子排列方式的一种数学模型。

有14种布拉维点阵，也被称为14种布拉维格子或14种布拉维空间群。

这些点阵通过特定的对称性元素来定义。

以下是这些14种布拉维点阵的主要结构特征：1三立方格子（Triclinic）：没有垂直平面或轴的对称性。

所有晶胞边长和角度均可不同。

2单斜格子（Monoclinic）：有一个垂直平面。

一个轴有对称性。

3正交格子（Orthorhombic）：三个垂直的平面和三个垂直的轴。

所有晶胞角度均为90度。

4四方格子（Tetragonal）：一个垂直平面和一个垂直轴。

所有晶胞边长相等，两个轴长度相等。

5六方格子（Hexagonal）：六重对称性轴，垂直于平面。

六边形的基本晶胞。

6立方格子（Cubic）：三个垂直平面和三个垂直轴。

所有晶胞边长相等，所有角度均为90度。

7三斜半基心格子（Triclinic P）：没有垂直平面或轴的对称性。

所有晶胞边长和角度均可不同。

8单斜面心格子（Monoclinic P）：有一个垂直平面。

一个轴有对称性。

9正交面心格子（Orthorhombic P）：三个垂直的平面和三个垂直的轴。

所有晶胞角度均为90度。

10四方面心格子（Tetragonal P）：一个垂直平面和一个垂直轴。

所有晶胞边长相等，两个轴长度相等。

11六方面心格子（Hexagonal P）：六重对称性轴，垂直于平面。

六边形的基本晶胞。

12立方面心格子（Cubic P）：三个垂直平面和三个垂直轴。

所有晶胞边长相等，所有角度均为90度。

13三斜体心格子（Triclinic I）：没有垂直平面或轴的对称性。

所有晶胞边长和角度均可不同。

14正交体心格子（Orthorhombic I）：三个垂直的平面和三个垂直的轴。

所有晶胞角度均为90度。

这些布拉维点阵描述了晶体的结构特征，是研究材料科学和晶体学的重要工具。

晶体学基础第二章-晶体的对称分类与布拉菲点阵

2.晶系（crystal system）：7个晶系
三斜晶系：只有 1 或 1
单斜晶系：2 和 m 均不多于一个正交晶系（斜方晶系）：2 和 m 的总数不少于3个
三方晶系：唯一的一个高次轴是 3 或 3 四方晶系：唯一的一个高次轴是 4 或 4 六方晶系：唯一的一个高次轴是 6 或 6
立方晶系（等轴晶系）：有4个 3
32种点群描述的晶体对称性对应的只有14种布拉菲点阵分为7个晶系沿晶体的对称轴或对称面的法向在一般情况下它们构成斜坐标系三个晶轴之间的夹角二晶体的14种布拉菲点阵布拉菲格子
2.4 晶体的对称分类与布拉菲点阵
一、晶体的对称分类
按晶体的对称性特征晶体分类
1.晶族（crystal category）：3个晶族低级晶族：无高次轴中级晶族：只有一个高次轴高级晶族：高次轴多于一个
3.晶类: 属于同一点群的晶体。32个晶类。
二、晶体的14种布拉菲点阵（布拉菲格子）
—— 32种点群描述的晶体对称性 —— 对应的只有14种布拉菲点阵 —— 分为7个晶系

—— 单胞的三个基矢
沿晶体的对称轴或对称面
的法向，在一般情况下，它们构成斜坐标系
三个晶轴之间的夹角
7大晶系的形成