材料力学弯曲内力
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《材料力学》课程讲解课件第四章弯曲内力
x
∴ 弯曲构件内力：Fs －剪力，M －弯矩。
若研究对象取m - m 截面的右段：
Y 0, Fs F FBY 0.
mC 0,
FBY
FBY (l x) F(a x) M 0.
Fs
F (l a) l
,
M F (l a) x 18 l
1. 弯矩：M 构件受弯时，横截面上
存在垂直于截面的内力偶矩 （弯矩）。
由 Fy 0, 得到：
A
FAy
a
Mc
C FSc
FAy q 2a FSc 0
FSc FAy q 2a qa
（剪力FS 的实际方向与假设方
向相反，为负剪力）
由 MC 0, 得到：
MC FAy 2a 2qa a M1 0
MC FAy 2a 2qa a M1 2qa2
F
M (x) FAY x M A
F(x L) (0 x l)
x
③根据方程画内力图
FL
x
41
§4-4 剪力方程和弯矩方程 剪力图和弯矩图
q
例题4-2
悬臂梁受均布载荷作用。
x
试写出剪力和弯矩方程，并
q
l
x
FS
M x
FS x
画出剪力图和弯矩图。
解：任选一截面x ，写出
剪力和弯矩方程
ql FS x＝qx
变形特点——杆轴线由直线变为一条平面的曲线。
P
主要产生弯曲变形的杆--- 梁。
q
M
二、平面弯曲的概念：
RA
NB
3
F1
q
F2
M
纵向对称面
平面弯曲 受力特点——作用于杆件上的外力都垂直于杆的轴线，且都在
《材料力学》第四章 弯曲内力
ql FS = R A－qx＝ －qx 2 x qlx qx 2 M = R A x－qx ⋅ ＝ － 2 2 2
M FS
F S
（3）画出FS图与M图。 画出F 图与M 剪力图为一斜直线， 剪力图为一斜直线， x=0，FS=ql/2；x=l，FS=-ql/2； ； 弯矩图为一抛物线， 弯矩图为一抛物线， 由三点来确定： 由三点来确定： x=0及x=l时，M＝0； x=l/2， M＝ql2／8。 。
M x = a, M = O a AC段 x=0， AC段：x=0，M＝0 ； l
CB段 CB段：x=a, x=l, M＝ x= , M＝0
MO M =－ b l
试作轴的简力图和弯矩图
补例1 补例1
解
（1）求支反力。 求支反力。
1 ql 2
R A = RB =
（2）用截面法求剪力和弯矩方程。 用截面法求剪力和弯矩方程。
∑ mA = 0 ∑m
B
=0
l －m－P ⋅ + YB ⋅ l = 0 2 l －YA ⋅ l－m+P ⋅ = 0 2
YA－FSC＝0 , 3 FSC＝－ P 2
5 P B 2 3 Y A =－ P 2 Y =
m
（2）计算C截面的内力。 计算C截面的内力。
∑Y = 0 ,
P
l 13 mC＝0 , YA ⋅ －m＋M C＝0 , M C＝ Pl ∑ 4 8
求反力： 解 （1）求反力：
∑ X = 0, X = 0 ∑ Y = 0, P － Y ＝0 ∑ m ＝0， m － Pa ＝0
C C C C
YC＝ P m C＝ Pa
（2）列弯矩和轴力方程。 列弯矩和轴力方程。 AB段 AB段：M(x)= Px, N(x)=0 , BC段 BC段：M(y)=mC=Pa, N(y)=P ,
M FS
F S
（3）画出FS图与M图。 画出F 图与M 剪力图为一斜直线， 剪力图为一斜直线， x=0，FS=ql/2；x=l，FS=-ql/2； ； 弯矩图为一抛物线， 弯矩图为一抛物线， 由三点来确定： 由三点来确定： x=0及x=l时，M＝0； x=l/2， M＝ql2／8。 。
M x = a, M = O a AC段 x=0， AC段：x=0，M＝0 ； l
CB段 CB段：x=a, x=l, M＝ x= , M＝0
MO M =－ b l
试作轴的简力图和弯矩图
补例1 补例1
解
（1）求支反力。 求支反力。
1 ql 2
R A = RB =
（2）用截面法求剪力和弯矩方程。 用截面法求剪力和弯矩方程。
∑ mA = 0 ∑m
B
=0
l －m－P ⋅ + YB ⋅ l = 0 2 l －YA ⋅ l－m+P ⋅ = 0 2
YA－FSC＝0 , 3 FSC＝－ P 2
5 P B 2 3 Y A =－ P 2 Y =
m
（2）计算C截面的内力。 计算C截面的内力。
∑Y = 0 ,
P
l 13 mC＝0 , YA ⋅ －m＋M C＝0 , M C＝ Pl ∑ 4 8
求反力： 解 （1）求反力：
∑ X = 0, X = 0 ∑ Y = 0, P － Y ＝0 ∑ m ＝0， m － Pa ＝0
C C C C
YC＝ P m C＝ Pa
（2）列弯矩和轴力方程。 列弯矩和轴力方程。 AB段 AB段：M(x)= Px, N(x)=0 , BC段 BC段：M(y)=mC=Pa, N(y)=P ,
材料力学-- 弯曲内力
1 q ( x2 a ) 2 0 2
y
0:
C
qlx2 M 2
1 M 2 q( x2 a) 2 qlx2 2 10
另外还可以直接利用外力简化法求解内力。 内力与外力之间的大小关系规律： （1）横截面上的剪力在数值上等于该截面左侧（或 右侧）梁上所有外力在轴线垂直方向投影的代数和。 （2）横截面上的弯矩在数值上等于该截面左侧（或 右侧）梁上所有外力对截面形心取矩的代数和。 内力符号与外力方向之间的关系规律： （1）“左上右下”的外力引起正值剪力，反之则相反。 （2）“左顺右逆”的外力偶引起正值弯矩，反之则相反 。 （3）所有向上的外力均引起正值弯矩，反之则相反。
q( x )dx dFS ( x )
x q(x) M(x) FS(x) dx
dx
M(x)+d M(x)
dFS x q x dx
剪力图上某点处的切线斜率 FS(x)+dFS(x) 等于该点处的荷载集度。
26
q(x)
dFS x q x dx
第五章
弯曲内力
1
第五章
§5.1 §5.2 §5.3 §5.4 §4.5 §5.6
弯曲内力
平面弯曲的概念 梁的计算简图 弯曲内力―剪力和弯矩 剪力、弯矩方程和剪力、弯矩图 载荷集度、剪力和弯矩间的微分关系及 其应用 用叠加法作弯矩图
2
§5.1 平面弯曲的概念
一、弯曲变形
受力特点：垂直于轴线的横向力或轴线平面内的力偶。
O FN Fs M F
q
符号规定：使轴线曲率增加的M 为正；引起拉伸变形的FN为正； 将Fs对研究对象上任一点取矩， 若力矩的转向为顺时针的，则剪 24 力为正，反之均为负。
y
0:
C
qlx2 M 2
1 M 2 q( x2 a) 2 qlx2 2 10
另外还可以直接利用外力简化法求解内力。 内力与外力之间的大小关系规律： （1）横截面上的剪力在数值上等于该截面左侧（或 右侧）梁上所有外力在轴线垂直方向投影的代数和。 （2）横截面上的弯矩在数值上等于该截面左侧（或 右侧）梁上所有外力对截面形心取矩的代数和。 内力符号与外力方向之间的关系规律： （1）“左上右下”的外力引起正值剪力，反之则相反。 （2）“左顺右逆”的外力偶引起正值弯矩，反之则相反 。 （3）所有向上的外力均引起正值弯矩，反之则相反。
q( x )dx dFS ( x )
x q(x) M(x) FS(x) dx
dx
M(x)+d M(x)
dFS x q x dx
剪力图上某点处的切线斜率 FS(x)+dFS(x) 等于该点处的荷载集度。
26
q(x)
dFS x q x dx
第五章
弯曲内力
1
第五章
§5.1 §5.2 §5.3 §5.4 §4.5 §5.6
弯曲内力
平面弯曲的概念 梁的计算简图 弯曲内力―剪力和弯矩 剪力、弯矩方程和剪力、弯矩图 载荷集度、剪力和弯矩间的微分关系及 其应用 用叠加法作弯矩图
2
§5.1 平面弯曲的概念
一、弯曲变形
受力特点：垂直于轴线的横向力或轴线平面内的力偶。
O FN Fs M F
q
符号规定：使轴线曲率增加的M 为正；引起拉伸变形的FN为正； 将Fs对研究对象上任一点取矩， 若力矩的转向为顺时针的，则剪 24 力为正，反之均为负。
材料力学(刘鸿文)第四章-弯曲内力
练习：计算下列各图中特殊截面上的内力
P a q
a
P
a
a
a M＝qa2
q
a a
P=2qa
练习：计算下列各图中特殊截面上的内力
q
a
2a
P=qa
a
a M=qa2
a
§4-4
剪力方程和弯矩方程、剪力图和弯矩
一、内力方程： 任意截面处的内力表示为截面位置的函数； q x q x 例1、悬臂梁上作用均布载荷 写内力方程，并作内力图
M ( x) m Pa
x
(0 x a )
BC段:
Fs ( x) P
M ( x) m P( x a) 2 Pa Px
( a x 2a )
Fs ( x) 0
m=Pa
P
B C
M ( x) m Pa
(0 x a )
A
Fs ( x) P
弯矩图上凸；
总结3 3、梁上没有均布载荷时：
剪力的图 弯矩图
FS
Fb / l
F C
x
水平；
斜直线；
M
Fa / l
Fab / l
且剪力大于零时， 弯矩图上升； 剪力小于零时， 弯矩图下降；
x
总结4 4、集中力的作用点处
FS
Fb / l
F
C
Fa / l
剪力图 突变； 突变量 =集中力的大小； 突变的方向 弯矩图 顺集中力的方向
固定端截面处；
FS max＝ql
M max＝ql 2 / 2
M
ql 2 / 2
x
仔细观察内力图的特点 1885年，俄国人别斯帕罗夫开 始使用弯矩图；
材料力学-第四章 弯曲内力
7 . 线是一条在该纵向对称面内的平面曲线,这种弯曲称为平面弯曲
(Internal forces in beams)
纵向对称面
F1
F2
梁的轴线
A B
FRB
FRA
梁变形后的轴线与 外力在同一平面内
8
(Internal forces in beams)
4.梁的力学模型的简化(Representing a real structure by an idealized model) （1） 梁的简化 通常取梁的轴线来代替梁。
m dx
15
+
FS
m
FS
m
-
dx
m
FS
(Internal forces in beams)
2.弯矩符号
(Sign convention for bending moment)
+
M m
M
当dx 微段的弯曲下凸（即该段的下半部 受拉 ）时,横截面m-m上的弯矩为正；
m
（受拉）
当dx 微段的弯曲上凸（即该段的下半 部受压）时,横截面m-m上的弯矩为负.
12
(Internal forces in beams)
§4-2 梁的剪力和弯矩 (Shear- force and bending- moment in beams)
一、内力计算(Calculating internal force)
[举例] 已知 如图，F，a，l. 求距A端x处截面上内力. 解: 求支座反力
3
(Internal forces in beams)
§4-1 基本概念及工程 (Basic concepts and example problems)
(Internal forces in beams)
纵向对称面
F1
F2
梁的轴线
A B
FRB
FRA
梁变形后的轴线与 外力在同一平面内
8
(Internal forces in beams)
4.梁的力学模型的简化(Representing a real structure by an idealized model) （1） 梁的简化 通常取梁的轴线来代替梁。
m dx
15
+
FS
m
FS
m
-
dx
m
FS
(Internal forces in beams)
2.弯矩符号
(Sign convention for bending moment)
+
M m
M
当dx 微段的弯曲下凸（即该段的下半部 受拉 ）时,横截面m-m上的弯矩为正；
m
（受拉）
当dx 微段的弯曲上凸（即该段的下半 部受压）时,横截面m-m上的弯矩为负.
12
(Internal forces in beams)
§4-2 梁的剪力和弯矩 (Shear- force and bending- moment in beams)
一、内力计算(Calculating internal force)
[举例] 已知 如图，F，a，l. 求距A端x处截面上内力. 解: 求支座反力
3
(Internal forces in beams)
§4-1 基本概念及工程 (Basic concepts and example problems)
材料力学第五章弯曲内力
2、判断各段Q、M图形状：
CA和DB段：q=0，Q图为水平线， M图为斜直线。
AD段：q<0， Q图为向下斜直线， M图为上凸抛物线。
3、先确定各分段点的Q 、M 值，用相应形状的线条连接。
32
§5-6 纯弯曲时的正应力
• 纯弯曲(Pure Bending):某段梁的 内力只有弯矩没有剪力时，该段 梁的变形称为纯弯曲。
如图（b）示。
qL A
x1Q1
图（a） M1
图（b）
Y qL Q1 0 Q1 qL
mA(Fi) qLx1 M1 0 M1 qLx1
17
2--2截面处截取的分离体如图（c） qL
Y qL Q2 q(x2 a) 0 Q2 qx2 a qL
剪力等于梁保留一侧横向外
②写出内力方程
Q(x)
P
Q( x ) YO P
M(x) PL
x
M( x ) YOx MO
P( x L ) x
③根据方程画内力图
20
F
a
b
A
C
x1 x2
FAY
l
FS Fb / l
Fa / l
Fab/ l
M
[例]图示简支梁C点受集中力作用。
试写出剪力和弯矩方程，并画 B 出剪力图和弯矩图。
4. 标值、单位、正负号、纵标线
31
例 外伸梁AB承受荷载如图所示，作该梁的Q---M图。
3kN
6kN m 2kN/m
A C
B D
1m
4m
FA
Q 4.2
(kN) +
E
_
3
x=3.1m
1m
FB
_
3.8
CA和DB段：q=0，Q图为水平线， M图为斜直线。
AD段：q<0， Q图为向下斜直线， M图为上凸抛物线。
3、先确定各分段点的Q 、M 值，用相应形状的线条连接。
32
§5-6 纯弯曲时的正应力
• 纯弯曲(Pure Bending):某段梁的 内力只有弯矩没有剪力时，该段 梁的变形称为纯弯曲。
如图（b）示。
qL A
x1Q1
图（a） M1
图（b）
Y qL Q1 0 Q1 qL
mA(Fi) qLx1 M1 0 M1 qLx1
17
2--2截面处截取的分离体如图（c） qL
Y qL Q2 q(x2 a) 0 Q2 qx2 a qL
剪力等于梁保留一侧横向外
②写出内力方程
Q(x)
P
Q( x ) YO P
M(x) PL
x
M( x ) YOx MO
P( x L ) x
③根据方程画内力图
20
F
a
b
A
C
x1 x2
FAY
l
FS Fb / l
Fa / l
Fab/ l
M
[例]图示简支梁C点受集中力作用。
试写出剪力和弯矩方程，并画 B 出剪力图和弯矩图。
4. 标值、单位、正负号、纵标线
31
例 外伸梁AB承受荷载如图所示，作该梁的Q---M图。
3kN
6kN m 2kN/m
A C
B D
1m
4m
FA
Q 4.2
(kN) +
E
_
3
x=3.1m
1m
FB
_
3.8
材料力学4弯曲内力
平面曲线仍与外力共面。
目录
§4-2 受弯杆件的简化
计算简图：
分析梁的内力、变形都在计算简图上进行。梁的简化包括：
1、构件几何形状的简化 将梁简化为杆，用轴线表示。
2、支座的简化 活动铰支座
固定铰支座
固定端
3、载荷的简化
集中载荷 分布载荷（常见的为均布载荷） 集中力偶
目录
工程实例——受弯构件的力学简图
P
( a< x2 < l )
ab l 2
1 Mmax 4 Pl
观察：集中力作用点、无载荷
M
( x2
)
FB
(l
x2 )
a l
P(l
x2 )
3)作Fs、M 图
( a ≤x2≤ l )
作用的梁段剪力图、弯矩图的形态
Fs
max
a l
1 qa 2
M1
—
右侧
qa
a 2
＋FB0
Fs2 左侧
＋FA
—
qa ＋ FB
qa
Fs2 qa
M2 — qa a 1 qa2
右侧
右侧
22
Fs P横向外力 左上、右下，外力为正
一侧
力的集大中小力；作弯用矩点相的等左。、右所邻以M截，O＝面不为一上截考侧面的m虑的剪O集形(力中P心不力) 相作左等用外顺，力点右(相逆的偶差(剪上) 矩集凹力为弯中。正曲)
车削工件
目录
§4-1 弯曲的概念和实例
火车轮轴
目录
§4-1 弯曲的概念和实例
弯曲特点 以弯曲变形为主的杆件通常称为梁
目录
常见受弯构件的横截 面都有竖直对称轴 y
纵向对称面：
轴线x 和竖直对称 轴y 所确定的平面。
目录
§4-2 受弯杆件的简化
计算简图：
分析梁的内力、变形都在计算简图上进行。梁的简化包括：
1、构件几何形状的简化 将梁简化为杆，用轴线表示。
2、支座的简化 活动铰支座
固定铰支座
固定端
3、载荷的简化
集中载荷 分布载荷（常见的为均布载荷） 集中力偶
目录
工程实例——受弯构件的力学简图
P
( a< x2 < l )
ab l 2
1 Mmax 4 Pl
观察：集中力作用点、无载荷
M
( x2
)
FB
(l
x2 )
a l
P(l
x2 )
3)作Fs、M 图
( a ≤x2≤ l )
作用的梁段剪力图、弯矩图的形态
Fs
max
a l
1 qa 2
M1
—
右侧
qa
a 2
＋FB0
Fs2 左侧
＋FA
—
qa ＋ FB
qa
Fs2 qa
M2 — qa a 1 qa2
右侧
右侧
22
Fs P横向外力 左上、右下，外力为正
一侧
力的集大中小力；作弯用矩点相的等左。、右所邻以M截，O＝面不为一上截考侧面的m虑的剪O集形(力中P心不力) 相作左等用外顺，力点右(相逆的偶差(剪上) 矩集凹力为弯中。正曲)
车削工件
目录
§4-1 弯曲的概念和实例
火车轮轴
目录
§4-1 弯曲的概念和实例
弯曲特点 以弯曲变形为主的杆件通常称为梁
目录
常见受弯构件的横截 面都有竖直对称轴 y
纵向对称面：
轴线x 和竖直对称 轴y 所确定的平面。
弯曲内力
（2）求剪力
5 1 qa Q2 qa RB qa ( qa) 4 4 5 Q3 qa RB qa 4
5 Q4 qa RB RD qa 4 （3）求弯矩 1 1 M 1 qa a qa 2 2 2 1 1 M 2 qa a RB 0 qa 2 2 2 3 M 3 qa a R a B 2
弯矩 —— 作用面与梁截面垂直的内力偶矩，用“ M ”表示。 剪力、弯矩的数值：
Q
RB
剪力 —— 在数值上等于截面以左（或以右）所有外力在y轴上投影代数和；
弯矩 —— 在数值上等于截面以左（或以右）所有外力对截面形心矩的代数和；
二、剪力和弯矩的正负号规定
—— 按截面处的梁微段的变形规定 1. 剪力的正负 使梁微段发生顺时针转动的剪 力Q为正，反之为负。 截面左侧：向下的Q为正，向上的Q为负； 截面右侧：向上的Q为正，向下的Q为负。
剪力： 弯矩： 取左半部分 顺时针转向的外力偶引起正的弯矩 逆时针转向的外力偶引起负的弯矩 取右半部分 逆时针转向的外力偶引起正的弯矩 顺时针转向的外力偶引起负的弯矩
M2
RA
Q2
M1
Q1
RB
例： 图示外伸梁，试求指定截面的弯矩。
解： （1）先求约束反力
M B 0, Y 0,
1 2 qa m RD 2a 0 2 qa RB RD 0
杆件的轴线由直线变成曲线， 任意两相邻截面绕垂直于轴线的 直线发生转动。 —— 杆件的这种变形称为弯曲变形。 梁：—— 以弯曲变形为主的杆件
P
P
P
(3) 平面弯曲概念 梁的截面对称轴与轴线构成的平面 —— 称为纵向对称平面。 若梁上的外载都作用在此对称平面内， 则梁弯曲变形后的轴线为纵向对称平面内 的平面曲线。 —— 这种弯曲称为平面弯曲或对称弯曲。 发生平面弯曲的条件： 截面具有纵向对称平面； 外力作用于纵向对称平面内。
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2
m1 F A 2 0
2
M2
Fs2
3 3 B
M
8 kN .m
3－3截面
F
FB
y
0; Fs 3 F B 0
Fs3
F s 3 3 kN
m
3
0; M 3 FB 2 0
M 3 6 kN .m
m1=2kN.m m2=14kN.m
1 A 1 2 3 2 3 2m C B
例1 求图示梁1、2、3、4截面的内力。
q=2kN/m 1 2 3 4 A C 1 2 D3 B 4 2m 2m 2m F=12kN
解：取整体， m B 0 ;
FA 4 F 2 2q 1 0 F A 5 kN
FA
A
FB M1
1
1
1－1截面
FA Fs1
F
y
0 ; F A F s1 0
F s左 F s右 P
q=2kN/m 1 2 3 4 A 1 2 D3 B 4 2m 2m 2m
F=12kN
4－4 截面
FA
FB Fs4
F
y
0;
4
Fs4 0
M
4
M4
4 C 4
m
0;
0
由4－4 截面的内力计算可得如下结论： ⑴ 自由端无集中力作用，端截面剪力等于零：F=0 ； ⑵ 自由端无集中力偶作用，端截面弯矩等于零：M=0 。
例2 求图示梁1、2、3 截面的内力。 m1=2kN.m m2=14kN.m
A
1 1
2 3 2 3 2m C
解：取整体， m 0 ;
B
F A 4 m1 m 2 0 F A F B 3 kN
2m
FA m1 A 1 M1 1 FA Fs1
FB
1－1截面
F
y
0 ; F A F s1 0
q ( x )d x d Fs ( x )
dFs ( x) dx
q ( x)
q(x) A B Fs(x)+d Fs(x)
x
dx
Fs(x) dx
o
M(x)+d M(x)
m
o
( Fi ) 0;
1 2 q ( x )(d x ) M ( x ) [ M ( x ) d M ( x )] 0
FA
A 2 2
FB M2 Fs2 M3
m
2
0; M
M
2
FA 2 0
2
10 kN .m
FA
P=12kN 3 A 3
3－3截面
F
Fs3
y
0; F A F s 3 P 0
FA
F s 3 7 kN
m
3
0; M
3
FA 2 0
M 3 10 kN .m
§4–3
q x l q
剪力图和弯矩图
图示梁任一截面的内力。
F
y
0;
F s ( x ) q (l x ) 0 F s ( x ) q (l x )
M(x) Fs(x) l-x
截面剪力是截面坐标的函数，称 为剪力方程。
m x 0; M ( x )
q 2
(l x ) 0
M 为二次函数，M 图为抛物线；
当M 图为抛物线时，画M 图需确定抛物线顶点
的位置和顶点的弯矩值。 由：
dM ( x ) dx Fs ( x) 0
可知弯矩抛物线顶点对应于剪力图等于零的位置。
另外： • 1、在集中力作用处剪力发生突变，弯矩的斜率发生变 化，成为一个转折点。 • 2、在集中力偶处弯矩发生变化，变化的数值等于力偶 矩数值。 • 3、 M max 的绝对值可能发生在剪力等于0处，也可能发 生在集中力作用处，还有集中力偶处。 根据M、Fs与q之间的关系，可不必列剪力方程和弯矩 方程，即可画出剪力图和弯矩图。
B A
x
Ⅰ Ⅰ
A
Ⅰ
Fs M
a
l
FAy
将梁从Ⅰ－Ⅰ位置截开，取左侧。 因内力必须与外力平衡，故内力简化结果为一力和一力 偶。该力与截面平行，称为截面的剪力，用Fs 表示之；该力 偶的力偶矩称为截面的弯矩，用M 表示之。 ⑴剪力正负的规定：使微段有顺时针转动趋势的剪力为 正，反之为负； ⑵弯矩正负的规定：使微段下面受拉、上面受压变形的
m=12kN.m q=6kN/m 1 2 3 B 1 2 3 2m C1m 3m
解：取整体
A
m
B
0; F 6 m 4 q 2 0 A 1
F A 6 kN
FA
A
FB
1 1
M1 Fs1
F
y
0; F A F B 4 q 0
F B 18 kN
FA
1－1截面
m2 M2
2 3 2 3
M3 Fs3
2m
FS2
FB
C
FA
由2、3 截面的内力计算可得如下结论： ⑴ 集中力偶两侧截面的的剪力相等；
F s左 F s右
⑵ 集中力偶两侧截面的的弯矩不等，左右截面弯矩之差
等于集中力偶矩（集中力偶矩以逆时针转为正）。
M左 M右 m
例3 求图示梁1、2、3 截面的内力。
F s 1 3 kN
m
1
0; M 1 m1 0
M 1 2 kN .m
m1=2kN.m m2=14kN.m
1 A 1 2 3 2 3 2m C B
2－2截面
F
y
0; F A Fs 2 0
F s 2 3 kN
2m
FA m1 A FA M3
2 2
FB
m
2
0; M
弯矩为正，反之为负。
Fs
⊕
Fs F s
－ ○
Fs M
⊕
MM
－ ○
M
剪力正负的规定 内力通过平衡方程计算。 x
Ⅰ
弯矩正负的规定
F
Fs M
y
0;
F Ay F s 0 ,
A
Ⅰ
F s F Ay
FAy
m
1
0;
M F Ay x 0 ,
M F Ay x
计算梁内力的步骤： ⒈ 取整体，求支座反力（悬臂梁此步可省）； ⒉ 将梁在要求内力的部位截开，选简单一側作研究对象； ⒊ 画受力图，截面的剪力、弯矩一定要按正的规定画； ⒋ 列平衡方程 Fx= 0，求剪力FS ； m= 0，求弯矩。
M max＝ql / 2
2
例题6
a
F
b
图示简支梁C点受集中力作用。
A
FAY
x1
C x2
l
B
FBY
试写出剪力和弯矩方程，并画 出剪力图和弯矩图。 解：1．确定约束力
FS
Fb / l
M
x
A
＝0，
M
B
＝0
Fa / l
M
Fab / l
FAy＝F b/ l FBy＝F a/l 2．写出剪力和弯矩方程
2
M (x)
q 2
(l x )
2
截面弯矩也是截面坐标的函数，称为弯矩方程。
q x l Fs ql 剪力图 M 弯矩图 -ql2/2 x
－ ○
剪力方程 F s ( x ) q ( l x ) 的函 数图象称为剪力图。正的剪力画在
基线上侧，负的画在下侧。
F s ( 0 ) ql , F s (l ) 0
FA m
A 2 2
FB M2 Fs2 M3
3 3
m
2
0; M
2
FA 2 m 0
2
M
24 kN .m
FA
3－3截面 q
B
Y
FB
0; F B F s 3 3q 0
Fs3
Fs3 0
m
3
0; M
3
FB 3 3q
3 2
0
M 3 27 kN .m
F s 1 5 kN
m
紧挨杆端截面的弯矩M=0。
1
0;
M1 0
由1 －1 截面的内力计算可得结论：杆端无力偶作用，
q=2kN/m 1 2 3 4 C A 1 2 D3 B 4 2m 2m 2m
F=12kN
2－2截面
F
y
0; F A F s 2 0
F s 2 5 kN
2
F s ( x )d x
略去高阶微量得：
dM ( x) dx
dFs( x) dx
Fs ( x)
d M ( x) dx
2 2
q( x)
⑴ 当q = 0 ，Fs =常数， Fs 图为平直线； M 为一次函数，M 图为斜直线；
⑵ 当q =常数 ， Fs为一次函数， Fs 图为斜直线；
AC CB x
0 x1 a M x1 Fbx1 / l 0 x1 a ＝ FS x2 Fa / l a x2 l ＝ M x2 Fal x2 / l a x2 l ＝
依方程画出剪力图和弯矩图。
FS x1 Fb / l ＝
3. 工程实例
二、平面弯曲 F1 q F2
M
纵向对称面
杆件具有纵向对称面，荷载作用在纵向对称面内，梁弯
曲后轴线弯成一条平面曲线，称为平面弯曲。在后几章中，
将主要研究平面弯曲的内力，应力及变Βιβλιοθήκη 等。三、简单静定梁 悬臂梁