高等数学同济版第9章：第1课 Newest

P→ 0 P→P
lim f (P) = f (P ) 0
2) 闭域上的多元连续函数的性质: 介值定理 3) 一切多元初等函数在定义区域内连续 作业 P63: 5(3) (6)(图), 6(4)(6) 图
xy , x2 + y2 ≠ 0 2 f (x, y) = x + y2 0 , x2 + y2 = 0 在点(0 , 0) 极限不存在, 故 ( 0, 0 )为其间断点.
又如, 函数 又如
例如, 例如 函数
在圆周 x2 + y2 =1上间断. 结论: 结论 一切多元初等函数在定义区域内连续.
U( P , δ ) = {(x, y) 0
}(圆邻域)
U( P ,δ ) = {(x, y, z ) 0
在空间中,
}
(球邻域)
说明： 说明：若不需要强调邻域半径δ ,也可写成 U( P ). 0 点 P0 的去心邻域 去心邻域记为 去心邻域
0 < PP < δ 0
在讨论实际问题中也常使用方邻域, 因为方邻域与圆 邻域可以互相包含.
的连续域.
3 − x2 − y2 ≤1
y
x − y2 > 0 2 ≤ x2 + y2 ≤ 4 x > y2
o
2 2
x
例7. 证明 在全平面连续. 证: 又 为初等函数 , 故连续.
0≤
xy x2 + y2
由夹逼准则得
= f (0,0)
故函数在全平面连续 .
内容小结
1. 区域 o • 邻域 : U(P ,δ ) , U(P ,δ ) 0 0 • 区域 • Rn 空 间 2. 多元函数概念 n 元函数 u = f (P) = f (x1, x2 ,L, xn ) 连通的开集
三、多元函数的极限
定义2. 定义 设 n 元函数 f (P), P∈D ⊂ Rn , P0 是 D 的聚 点 , 若存在常数 A , 对任意正数 ε , 总存在正数δ , 对一 切 P∈D IU(P ,δ ) , 都有 0 记作
P→P 0
o
则称 A 为函数
lim f (P) = A (也称为 n 重极限)
P∈D ⊂ Rn
常用 二元函数 (图形一般为空间曲面) 三元函数
3. 多元函数的极限 lim f (P) = A 0 ， ∀ε > 0,∃δ > 0, 当 < PP <δ 时 0 P→P 0 有 f (P) − A <ε 4. 多元函数的连续性 1) 函数 f (P) 在P 连 续 0 有界定理 ; 最值定理 ;
例如， 例如，在平面上 ♣ { (x, y) x + y > 0 } ♣ { (x, y) 1 < x2 + y2 < 4 } ♣ { (x, y) x + y ≥ 0} ♣ { (x, y) 1 ≤ x2 + y2 ≤ 4 } 闭区域 开区域
y
o
y
x
o 1 2x
y
y
o
x
o 1 2x
♣ 整个平面 是最大的开域 , 也是最大的闭域； ♣ 点集 { (x, y) x >1 是开集， } 但非区域 .
例如, 二元函数 z = 1− x2 − y2 定义域为 圆域 { (x, y) x2 + y2 ≤1} 图形为中心在原点的上半球面.
o
x
2
z
1 y
又 , z = sin(xy) , (x, y) ∈R 如
2
2
三元函数 u = arcsin( x + y + z ) 定义域为 单位闭球
2
说明: 说明 二元函数 z = f (x, y), (x, y) ∈ D 的图形一般为空间曲面 Σ .
(介值定理) (一致连续性定理)
* (4) f (P) 必在D 上一致连续 .
xy +1−1 . 例5.求 lim . x→0 xy
y→0
解: 原式
1 1 = lim = x→0 xy +1 +1 2
y→0
例6. 求函数 f (x, y) = 解:
arcsin(3 − x2 − y2 )
x− y
2
x→0 y→0
Q 证： f (x, y) − 0
≤ x+ y
要证
<ε
∴ ∀ε > 0, ∃δ =ε 2,当0 <ρ = x2 + y2 <δ 时 总有 ，
lim f (x, y) = 0
故
x→0 y→0
, • 若当点 P(x, y)以不同方式趋于 P (x0 , y0 ) 时 函数 0
趋于不同值或有的极限不存在， 则可以断定函数极限 不存在 .
作 R 中 变 x 与 元 a 满 x −a →0 记 x →a. 的 元 定 足
n
邻域为 Rn中点 a 的 δ 邻域
二、多元函数的概念
引例: 引例: • 圆柱体的体积
r
h
• 三角形面积的海伦公式
b
a c
定义1. 定义 设非空点集 在 D 上的 n 元函数 , 记作
映射
称为定义
点集 D 称为函数的定义域 ; 数集 { u u = f ( P) ,P∈D} 定义域 称为函数的值域 . 值域 当 n = 2 时, 有二元函数 当 n = 3 时, 有三元函数
E
• 若对点 P 的任一 任一邻域 U(P) 既含 E中的内点也含 E 任一 的外点 , 则称 P 为 E 的边界点 . 边界点 显然, E 的内点必属于 E , E 的外点必不属于 E , E 的 边界点可能属于 E, 也可能不属于 E .
(2) 聚点 若对任意给定的δ , 点P 的去心 邻域 内总有E 中的点 , 则 称 P 是 E 的聚点 聚点. 聚点 聚点可以属于 E , 也可以不属于 E (因为聚点可以为 E 的边界点 )
。
P 0
平面上的方邻域为
U(P ,δ ) = { (x, y) 0
}
2. 区域 (1) 内点、外点、边界点 设有点集 E 及一点 P : • 若存在点 P 的某邻域 U(P)⊂ E , 则称 P 为 E 的内点 内点； 内点 • 若存在点 P 的某邻域 U(P)∩ E = ∅ , 则称 P 为 E 的外点 ; 外点
故
四、 多元函数的连续性 定义3 定义 . 设 n 元函数 f (P) 定义在 D 上, 聚 P ∈D, 点0 如果存在
P→P 0
lim f (P) = f (P ) 0
点0 则称 n 元函数 f (P) 在 P 连续, 否则称为不连续, 此时
称为间断点 . 如果函数在 D 上各点处都连续, 则称此函数在 D 上 连续.
Rn 中 点x = (x1, x2 ,L, xn ) 与 y = ( y1, y2 ,L, yn ) 的 点
的距离 距离记作 距离 规定为
Rn 中 点x = (x1, x2,L, xn )与零元 O 的距离为 的
2 2 2 x = x1 + x2 +L+ xn
当n =1, 2, 3时 x 通 记 x . , 常 作
2 2
(x2 + y2 ≠ 0)
x→0 y→0
要证
证:
<ε
∴ ∀ε > 0, ∃δ = ε ,当0 < ρ = x2 + y2 <δ 时 总有 ,
≤ x2 + y2
故
x→0 y→0
lim f (x, y) = 0
xsin 1 + y sin 1 , xy ≠ 0 y x f (x, y) = 例2. 设 0 , xy = 0 lim 求证： f (x, y) = 0.
闭域上多元连续函数有与一元函数类似的如下性质 闭域上多元连续函数有与一元函数类似的如下性质: 上多元连续函数有与一元函数类似的如下性质 定理：若 f (P) 在有界闭域 D 上连续, 则 定理
(有界性定理)
(2) f (P) 在 D 上可取得最大值 M 及最小值 m ;
(极值定理)
(3) 对任意
∃ Q∈D，
E
(3) 开区域及闭区域 • 若点集 E 的点都是内点，则称 E 为开集； • E 的边界点的全体称为 E 的边界, 记作∂E ; • 若点集 E ⊃∂E , 则称 E 为闭集； • 若集 D 中任意两点都可用一完全属于 D 的折线相连 , 则称 D 是连通的 ; • 连通的开集称为开区域 ,简称区域 ; • 开区域连同它的边界一起称为闭区域. 。 D 。
故 f (x, y)在 (0,0) 点极限不存在 .
例4. 求 解: 因 x y
2 2 1 (x2 + y2 )2 , ≤4 令 r2
= x2 + y2 , 则
4(1− cos r 2 ) ≥ r6
4(1− cos r 2 ) 2 r4 而 lim = lim 6 = ∞ r →0 r→0 r r6
y
−1o 1 x
• 对区域 D , 若存在正数 K , 使一切点 P∈D 与某定点 A 的距离 AP≤ K , 则称 D 为有界域 , 否则称为无 无 有界域 界域 .
3. n 维空间 n 元有序数组 记作 Rn ,即 的全体称为 n 维空间 维空间,
Rn = R× R×L× R
n 维空间中的每一个元素 一个点, 点 当所有坐标 O. 称为该点的第 k 个坐标 . 坐标 称该元素为 Rn中的零元, 记作 称为空间中的
xy 例3. 讨论函数 f (x, y) = 2 2 在点 (0, 0) 的极限. x +y 解: 设 P(x , y) 沿直线 y = k x 趋于点 (0, 0) , 则有
kx2 k lim f (x, y) = lim 43; k