化简最简二次根式的方法三种
初高中数学衔接课程教案3.3二次根式的运算与化简
3.3二次根式的运算与化简同学们,大家好:今天和大家一起来复习二次根式的运算与化简.一.二次根式的几个概念.1.二次根式 形如a(a ≥0)的式子叫二次根式.2.最简二次根式满足下列两个条件的二次根式叫最简二次根式: ⑴根号下不含分母,分母中也不含根号;⑵被开方数中每一个因数或因式都开不尽方.3.将二次根式化为最简二次根式步骤:⑴将被开方数化为积的形式,能开得尽方的因数或因式移到根号外;⑵化去根号内的分母,若被开方数中有小数,化成分数,再化简.4.同类二次根式 几个二次根式化成最简二次根式后,如果被开方数相同,这几个根式叫同类二次根式.例1 化简⑴23x 3(x ≥0); ⑵a 0.24(a 2b+a 3)(a ≥0,b ≥0). 解:⑴原式=2×3·x 2·x 32=x 6x 3. ⑵原式=a 625a 2(b+a)=a 256(a+b). 二.二次根式的性质与运算.5.二次根式的性质 ⑴(a)2=a(a ≥0); ⑵a 2=|a|=⎩⎨⎧a ，a ≥0－a ，a<0. 注:①a 2就等于|a|,它也是将a 分成两种情况,各得到一个结果.不是两个结果,也不能写成a 2=±a.6.二次根式的加减法. 将二次根式化成最简二次根式,再合并同类二次根式.7.二次根式的乘除法、乘方运算.⑴a·b=ab(a ≥0,b ≥0); ⑵a b =a b (a ≥0,b>0); ⑶(a)n =a n (a ≥0)8.分母有理化对分母中含有根号的代数式,把分母中的根号化去,叫分母有理化.分母有理化的方法是将分子,分母同乘以分母的有理化因式.两个含有二次根式的代数式相乘,如果它们的积不含二次根式,就说这两个代数式互为有理化因式.常见的互为有理化因式有:①a 与a(a ≥0);②a+b 与a －b(b ≥0);③a+b 与a －b(a ≥0,b ≥0)9.二次根式的混合运算二次根式的混合运算仍然是先乘方,再乘除,最后算加减.遇到括号时,要先算括号里面的.例2 计算⑴4a+a 3a －3a a (a ≥0); ⑵2(a)3－(a 2+a ab)÷(a+b)(a ≥0,b ≥0) 解:⑴原式=2a+a 2·a a －3a·a a·a=2a+a －3a=0. ⑵原式=2a 3－a 2+a ab a+b =2a a －(a 2+a ab)·(a －b)(a+b)·(a －b) =2a a －a 2a －a 2b+a 2b －ab a a －b=2a a －a 2a －ab a a －b =2a a －a a(a －b)a －b=2a a －a a=a a三.多重根式的化简在高中我们会遇到化简多重根式的问题,如化简3+22,2－3等,不少同学感到很困难.我们先来看一个比较简单的题目.例3 化简⑴(2+1)2;⑵(2－3)2. 解:⑴原式=|2+1|=2+1;⑵原式=|2－3|=3－ 2. 再来看.例4 化简⑴3+22; ⑵5－2 6.将例3两小题根号里式子展开,就得到这两题,这两题解法就有了.解:⑴原式=(2)2+22+1=(2+1)2=|2+1|=2+1;⑵原式=(2)2－22·3+(3)2=(2－3)2=|2－3|=3－ 2.注:②我们再遇到类似x±2y的式子,就设法将根号里的式子写成完全平方形式,就可以化简了.方法是:找两个数a,b,使x=a+b,y=ab,则x±2y=a+b±2ab=(a)2±2a b+(b)2=(a±b)2=|a±b|.例5 化简⑴6－25; ⑵7+43; ⑶2－3解:⑴原式=5+1－25=(5)2－25+1=(5－1)2=|5－1|=5－1;⑵分析:此题3前面的系数是2的倍数,可以留下一个2,将其余数平方后,移到根号里面去.原式=7+212=4+3+24×3=(4+3)2=|4+3|=2+ 3.⑶分析:此题3前面的系数不是2,可以将它的分子,分母同乘以2,配成完全平方.原式=4－232=(3－1)2×222=(3－1)22=6－22.小结:本节课我们一起学习了二次根式的几个概念,还有二次根式的加、减、乘、除、乘方运算,以及混合运算,还有多重根式的化简,这是本课的难点.下面给大家留一份课后练习,请大家及时完成.。
二次根式的化简与计算
二次根式的化简与计算【知识要点】1．最简二次根式：①被开方数的因数是整数，因式是整式即被开方数不含有分母。
②被开方数中不含有能开得尽方的因式或因数。
2．化为最简二次根式的方法：①把被开方数的分子、分母尽量分解出一些平方数或平方式；②将这些平方数或平方式，用它的算术平方根代替移到根号外；③化去被开方数中的分母。
3．同类二次根式：几个二次根式化成最简二次根式以后，如果被开方数相同，那么这几个二次根式叫做同类二次根式。
判断同类二次根式时，注意以下三点：①都是二次根式，即根指数都是2；②必须先化成最简二次根式；③被开方数相同。
4．二次根式的加减法：先把各根式化成最简二次根式，再合并同类二次根式。
合并同类二次根式的方法与合并同类项类似。
5．有理化因式：两个含有二次根式的代数式相乘，如果它们的积不含有二次根式，就说这两个代数式互为有理化因式。
有理化因式确定方法如下：=①单项二次根式：利用a理化因式。
②两项二次根式：利用平方差公式来确定。
如a与a，，6．分母有理化的方法与步骤：①先将分子、分母化成最简二次根式；②将分子、分母都乘以分母的有理化因式，使分母中不含根式；③最后结果必须化成最简二次根式或有理式。
7．二次根式的混合运算：①二次根式的混合运算的运算顺序与有理式的混合运算的顺序相同；②在二次根式的混合运算中，有理式的运算法则、定律、公式等同样适用。
【典型例题】例1 解答下列各题：（1）下列根式中，哪些是最简二次根式？哪些不是？为什么？，（其中0x >，0y >）。
（2）下列根式中，哪些是同类二次根式？为什么？（题中字母都为正数）2x ，127，（3）如果最简根式，m +m ，n 的值。
例2 计算下列各题：（1）⎛- ⎝ （2）-⎝（3例3 （1）把下列各式分母有理化：)a b ≠（2）把下列各式化简：练 习A 组1．下列各式正确的是（ ）A ===B =C a b =+D =2．下列各式正确的是（ ）A =B ()230,0a b a b =><C = D== 3．在下列二次根式中，若0,0a b >>，则属于最简二次根式的是（ ）A B C D4 ） A ．4x < B ．1x ≥ C ．14x ≤< D ．14x ≤≤5．化简的结果是（ ）A B ．3 C ． D ．a6的相反数的倒数为 。
八年级数学下册知识点归纳非常全面
八年级下册知识点归纳第十六章 二次根式1、二次根式： 形如)0(≥a a 的式子。
①二次根式必须满足：含有二次根号“”；被开方数a必须是非负数。
②非负性考点：几个非负数相加为0，那么这几个数都为0.如：-+++=2310a b c 则：30,10,0a b c -=+==2、最简二次根式：满足：①被开方数不含分母；②被开方数中不含能开得尽方的因数或因式的二次根式。
3、化最简二次根式的方法和步骤：（1）如果被开方数含分母，先利用商的算数平方根的性质把它写成分式的形式，然后利用分母有理化进行化简。
（2）如果被开方数是小数就化成分数，带分数化成假分数，是多项式就先分解因式。
4.同类二次根式：二次根式化成最简二次根式后，被开方数相同的几个二次根式就是同类二次根式。
5、二次根式有关公式 （1）)0()(2≥=a a a （2）⎩⎨⎧<-≥==)0a (a )0a (aa a 2（3）乘法公式)0,0(≥≥∙=b a b a ab （4）除法公式(0,0)a aa b b b=≥> （5）完全平方公式222()2a b a ab b ±=++ 平方差公式：22()()a b a b a b -=+- （6）01(0)a a =≠ 1-=nn aa6、二次根式的加减法则：先将二次根式化为最简，再将被开方数相同的二次根式进行合并。
7、二次根式混合运算顺序：先乘方，再乘除，最后加减，有括号的先算括号里的。
二次根式计算的最后结果必须化为最简二次根式.第十七章 勾股定理1.勾股定理：如果直角三角形的两直角边长分别为a ，b ，斜边长为c ，那么a 2＋b 2=c 2。
①已知a ，b ，求c ，则c=22a b + ②已知a ，c ，求b,则b=22c a -③已知b ，c 求a ，则a=22c b - 没有指明直角边和斜边时要分类讨论2.勾股定理逆定理：如果一个三角形三边长a,b,c 满足a 2＋b 2=c 2。
全面剖析二次根式的乘除及化简
全面剖析二次根式的乘除及化简1．二次根式的乘法法则(1)二次根式的乘法法则(性质3)： a ·b ＝ab (a ≥0，b ≥0)．观察这个式子的左边和右边，得出等号的左边是两个二次根式相乘，等号右边是得到的积，仍是二次根式．由此得出：二次根式的乘法就是把被开方数的积作为积的被开方数．(2)对于二次根式乘法的法则应注意以下几点：①要满足a ≥0，b ≥0的条件，因为只有a ，b 都是非负数，公式才能成立． ②从运算顺序看，等号左边是先分别求a ，b 两因数的算术平方根，然后再求两个算术平方根的积，等号右边是将非负数a ，b 先做乘法求积，再开方求积的算术平方根．③公式a ·b ＝ab (a ≥0，b ≥0)可以推广到3个二次根式、4个二次根式等相乘的情况．④根据这个性质可以对二次根式进行恒等变形，或将有的因式适当改变移到根号外边，或将根号外边的非负因式平方后移到根号内．当二次根式根号外都含有数字因数时，可以仿照单项式的乘法法则进行运算：系数之积作为系数，被开方数之积作为被开方数．即m a ·n b ＝mn ab (a ≥0，b ≥0)．【例1】计算：(1)0.4×3.6；(2)545×3223.分析：第(1)小题的被开方数都是小数，先将被开方数进行因数分解，第(2)小题的根号外都含有数字因数，可以仿照单项式的乘法．解：(1)0.4× 3.6＝0.4×3.6＝0.4×0.4×9＝0.4×3＝1.2. (2)545×3223＝5×32×45×23＝152×3×15×23＝15230.2．积的算术平方根的性质 (1)ab ＝a ·b (a ≥0，b ≥0)．用语言叙述为：积的算术平方根，等于积中各因式的算术平方根的积．(2)注意事项：①a≥0，b≥0是公式成立的重要条件．如(－4)×(－9)≠－4·－9，实际上公式中的a，b是限制公式右边的，对公式的左边，只要ab≥0即可．②公式中的a，b可以是数，也可以是代数式，但必须是非负的．(3)利用这个公式，同样可以达到化简二次根式的目的．(4)ab＝a·b(a≥0，b≥0)可以推广为abc＝a·b·c(a≥0，b≥0，c≥0)．计算形如(－4)×(－9)的式子时，应先确定符号，原式化为4×9，再化简．【例2】化简：(1)300；(2)21×63；(3)(－50)×(－8)；(4)96a3b6(a＞0，b＞0)．分析：根据积的算术平方根的性质：ab＝a·b(a≥0，b≥0)进行化简．解：(1)300＝102×3＝102×3＝10 3.(2)21×63＝3×7×7×9＝3×72×32＝3×7×3＝21 3.(3)(－50)×(－8)＝50×8＝202＝20.(4)96a3b6＝42·6·a2·a·(b3)2＝4ab36a.3．二次根式的除法法则对于两个二次根式a，b，如果a≥0，b＞0，那么ab＝ab.这就是二次根式的除法法则．(1)二次根式的除法法则：①数学表达式：如果a≥0，b＞0，则有a b ＝ab.②语言叙述：两个二次根式相除，将它们的被开方数(式)相除，二次根号不变．(理解并掌握)(2)在二次根式的除法中，条件a≥0，b＞0与二次根式乘法的条件a≥0，b≥0是有区别的，因为分母不能为零，所以被除式可以是非负数，而除式必须是正数，否则除法法则不成立．知识点拓展：(1)二次根式的除法法则中的a ，b 既可以代表数，也可以代表式子；(2)m a ÷n b ＝m a n b ＝mnab (a ≥0，b ＞0，n ≠0)，即系数与系数相除，被开方数与被开方数相除．点拨：在进行二次根式的除法运算时，应先确定商的符号，然后系数与系数相除，被开方数与被开方数相除，二次根号不变，但应注意的是当被开方数是带分数时，首先要把带分数化为假分数，再进行计算，并且计算的最终结果一定要化为最简形式，此外当数字与字母相乘时，要把数字放在字母的前面，如－26a 不能写成－2a 6.【例3】如果x x －1＝x x －1成立，那么( )． A ．x ≥0 B ．x ≥1C ．0≤x ≤1D ．以上答案都不对解析：本题考查二次根式的除法法则成立的条件．要求x ≥0，x －1＞0，则x ＞1.故选D.答案：D点拨：(1)逆用二次根式的除法时，一定要满足条件a ≥0，b ＞0.(2)通常去掉分母中的根号有两种方法：一是运用二次根式的性质和除法运算；二是运用二次根式的性质及乘法运算．4．二次根式除法的逆用 通过计算：(1)1625＝(45)2＝45，1625＝45，显然1625＝1625；(2)81121＝(911)2＝911，81121＝911，显然81121＝81121，从而我们可以发现：二次根式的除法法则也可以反过来运用，即如果a ≥0，b ＞0，那么a b ＝ab，也就是说，商的算术平方根，等于被除式的算术平方根除以除式的算术平方根．名师归纳：二次根式的除法法则的逆用： (1)数学表达式：如果a ≥0，b ＞0，则有a b ＝ab；(2)语言叙述：商的算术平方根，等于被除式的算术平方根除以除式的算术平方根；(3)逆用二次根式除法法则，可以把二次根式化为最简形式．(理解并掌握) 【例4】把下列各式中根号外的因数(式)移到根号内． (1)535； (2)－2a 12a ；(3)－a－1a ； (4)xyx (x ＜0，y ＜0)．分析：将根号外的因数(式)移到根号内时，要将根号外的数(式)改写成完全平方的形式作为被开方数(式)，如5＝52，实际上是运用了公式a ＝a 2(a ≥0)．同时，此题还运用了公式a ·b ＝ab (a ≥0，b ≥0)．如果根号外有负号，那么负号不能移入根号内，移到根号内的因数(式)必须是正的，但有些字母的取值范围需由隐含条件得出，如(2)，(3)小题．解：(1)535＝52×35＝52×35＝15.(2)∵12a ＞0，∴a ＞0. ∴－2a 12a ＝－(2a )2·12a ＝－(2a )2·12a ＝－2a .(3)∵－1a ＞0，∴a ＜0. ∴－a －1a ＝(－a )2·－1a＝(－a )2·(－1a )＝－a .(4)∵x ＜0，y ＜0， ∴x y x＝－(－x )2y x＝－(－x )2·y x ＝－xy .(1)要将根号外的因数(式)平方后移到根号内，应运用公式a ＝a 2(a ≥0)及a ·b ＝ab (a ≥0，b ≥0)；(2)根号外的负号不能移到根号内，如果根号外有字母，那么要判断字母的符号，如果符号是负的，那么负号要留在根号外．5．最简二次根式的概念满足下列两个条件的二次根式，叫做最简二次根式． ①被开方数的因数是整数，因式是整式； ②被开方数中不含能开得尽方的因数或因式．对最简二次根式的理解①被开方数中不含分母，即被开方数的因数是整数，因式是整式； ②被开方数中每一个因数或因式的指数都小于根指数2，即每个因数或因式的指数都是1.【例5】若二次根式－33a ＋b 与2a ＋bb 是最简同类二次根式，求a ，b 的值．分析：最简同类二次根式是指根指数相同，根号内的因式相同且不能开方的二次根式．解：由题意，得⎩⎨⎧ a ＋b ＝2，3a ＋b ＝b ，解得⎩⎨⎧a ＝0，b ＝2.所以a ，b 的值分别是0,2.本题考查的是对最简同类二次根式概念的理解．最简同类二次根式是指根指数相同，根号内的因式相同且不能开方的二次根式．6．二次根式的乘除混合运算 (1)运算顺序：二次根式的乘除混合运算顺序与整式乘除混合运算顺序相同，按照从左到右的顺序计算，有括号的先算括号里面的．(2)公式、法则：整式乘除中的公式、法则在二次根式混合运算中仍然适用． (3)运算律：整式乘法的运算律在二次根式运算中仍然适用．乘法分配律是乘法对加法的分配律，而不是乘法对除法的分配律．在进行二次根式的运算时常见的错误是：①忽略计算公式的条件； ②不注意式子的隐含条件；③除法运算时，分母开方后没写在分母的位置上； ④误认为形如a 2＋b 2的式子是能开得尽方的二次根式． 【例6】计算下列各题： (1)9145÷(3235)×12223； (2)2ab a 2b ·3a b ÷(－121a )．分析：二次根式的乘除混合运算顺序与有理数的乘除混合运算的顺序相同，按从左到右的顺序进行运算，不同的是在进行二次根式的乘除运算时，二次根式的系数要与系数相乘除，被开方数与被开方数相乘除．解：(1)9145÷(3235)×12223＝(9÷32×12)145÷35×83 ＝(9×23×12)145×53×83＝3881＝322×292＝3×292＝232； (2)2ab a 2b ·3a b ÷(－121a )＝[2ab ·3÷(－12)]a 2b ·a b ÷1a＝－12aba 2b ·a b·a ＝－12ab a 4＝－12ab ·a 2＝－12a 3b .7．二次根式的化简(1)化二次根式为最简二次根式的方法：①如果被开方数是分数(包括小数)或分式，先利用商的算术平方根的性质把它写成分式的形式，然后把分母化为有理式．②如果被开方数是整数或整式，先将它分解因数或因式，然后把它开得尽方的因数或因式开出来．(2)口诀“一分、二移、三化”“一分”即利用分解因数或分解因式的方法把被开方数(或式)的分子、分母都化成质因数(或质因式)的幂的积的形式．“二移”即把能开得尽方的因数(或因式)用它的算术平方根代替移到根号外，其中把根号内的分母中的因式移到根号外时，要注意写在分母的位置上．“三化”即化去被开方数的分母．(3)化去分母中的根号①化去分母中的根号，其依据是分式的基本性质，关键是分子、分母同乘以一个式子，使它与分母相乘得整式．②下面几种类型的两个含有二次根式的代数式相乘，它们的积不含有二次根式．a与a；a＋b与a－b；a＋b与a－b；a b＋c d与a b－c d.③化去分母中的根号时，分母要先化简．(4)在进行二次根式的运算时，结果一般都要化为最简二次根式．【例7】(1)当ab＜0时，化简ab2，得__________．(2)把代数式x－1x根号外的因式移到根号内，化简的结果为__________．(3)把－x3(x－1)2化成最简二次根式是__________．(4)化简35－2时，甲的解法是：35－2＝3(5＋2)(5－2)(5＋2)＝5＋2，乙的解法是：35－2＝(5＋2)(5－2)5－2＝5＋2，以下判断正确的是()．A．甲正确，乙不正确B．甲不正确，乙正确C．甲、乙的解法都正确D．甲、乙的解法都不正确解析：(1)在ab2中，因为ab2≥0，所以ab·b≥0.因为ab＜0，b≠0，所以b＜0，a＞0.原式＝b2·a＝－b a.(2)因为－1x≥0，又由分式的定义x≠0，得x＜0.所以原式＝－(－x)－1x＝－(－x)2(－1x)＝－－x.(3)化简时，需知道x，x－1的符号，而它们的符号可由题目的隐含条件推出．∵(x－1)2＞0(这里不能等于0)，∴－x3≥0，即x≤0,1－x＞0.故原式＝(－x)2·(－x)(1－x)2＝－x1－x－x.(4)甲是将分子和分母同乘以5＋2把分母化为整数，乙是利用3＝(5＋2)(5－2)进行约分，所以二人的解法都是正确的，故选C.答案：(1)－b a(2)－－x(3)－x1－x－x(4)C8．二次根式的乘除法的综合应用利用二次根式的乘除法可解决一些综合题目，如：(1)比较大小比较两数的大小的方法有很多种，通常有作差法、作商法等．对于比较含有二次根式的两个数的大小，一种方法是把根号外的数移到根号内，通过比较被开方数的大小来比较原数的大小；二是将要比较的两个数分别平方，比较它们的平方数．(2)化简求值对于此类题目，不应盲目地把变量的值直接代入原式中，一般地说，应先把原式化简，再代入求值．在化简过程中要注意整个化简过程得以进行的条件，如开平方时注意被开方数为非负数，分式的分母不能为零等．再者，有些二次根式的化简，从形式上看是特别麻烦的，让人一看简直无从下手，但仔细分析又是有一定规律和模式的．(3)探索规律适时运用计算器，重视计算器在探索发现数学规律中的作用． 如：借助于计算器可以求得 42＋32＝__________， 442＋332＝__________， 4442＋3332＝__________， 4 4442＋3 3332＝__________， ……__________.解析：利用计算器我们可以分别求得42＋32＝25＝5， 442＋332＝ 3 025＝55， 4442＋3332＝308 025＝555， 4 4442＋3 3332 ＝30 858 025＝5 555，2011555个.答案：5 55 555 5 555 2011555个【例8－1】已知9－x x －6＝9－xx －6，且x 为偶数，求(1＋x )x 2－5x ＋4x 2－1的值．分析：式子a b ＝ab ，只有a ≥0，b ＞0时才能成立．因此得到9－x ≥0且x－6＞0，即6＜x ≤9，又因为x 为偶数，所以x ＝8.解：由题意，得⎩⎨⎧ 9－x ≥0，x －6>0，即⎩⎨⎧x ≤9，x >6.∴6＜x ≤9.∵x 为偶数，∴x ＝8. ∴原式＝(1＋x )(x －4)(x －1)(x ＋1)(x －1)＝(1＋x )x －4x ＋1＝(1＋x )x －4x ＋1＝(1＋x )(x －4). ∴当x ＝8时，原式的值为4×9＝6. 【例8－2】观察下列各式： 223＝2＋23，338＝3＋38.验证：223＝233＝23－2＋222－1＝2(22－1)＋222－1＝2＋222－1＝2＋23；338＝338＝33－3＋332－1＝3(32－1)＋332－1＝3＋332－1＝3＋38.(1)按照上述两个等式及其验证过程的思路，猜想4415的变形结果并进行验证；(2)针对上述各式反映的规律，写出用n (n 为任意正整数且n ≥2)表示的等式，并给出证明．分析：本题是利用所学过的根式变形，去发现变形的规律，由于这种变形方法比较陌生，必须认真阅读所提供的素材，即学即用．解：(1)4415＝4＋415. 验证：4415＝4315＝43－4＋442－1＝4(42－1)＋442－1＝4＋442－1＝4＋415.(2)猜想：nnn2－1＝n＋nn2－1(n≥2，n为正整数)．证明：因为nnn2－1＝n3n2－1＝n3－n＋nn2－1＝n(n2－1)＋nn2－1＝n＋nn2－1，所以nnn2－1＝n＋nn2－1.11 / 11。
5.1.2二次根式的化简
答案： x 2 )( x 2 ) ( 答案： 2 x 3)( 2 x 3) (
习题5.1
10. 若
38 n 是整数，求自然数n的值.
38 n 4, n 34 38 n 9, n 29 38 n 16, n 22 38 n 25, n 13 38 n 36, n 2
例4
化简下列二次根式：
( 2 ) 20 ；
( 1 ) 18 ； 解 (1)
( 3 ) 72 ；
18 = 9× 2 = 9 × 2 = 3 2 ；
( 2) ( 3)
20 = 4× 5 = 4 × 5 = 2 5 . 72 = 8× 9 = 2× 22× 32 =2× 3× 2 =6 2 ；
注意：在化简时， 一定要把被开方式 中所有平方因子全 部移到根号外，否 则未完成化简。
解：令 38 n 1, n 37
结
束
单位：北京22中 姓名：赵毅虹
结论
a · b = a · b ( a≥0 , b≥0 ).
③
公式③从左到右看，是积的算术平方根的性质.
利用积的算术平方根的这一性质，可以化简二 次根式．
探究
现在你能用上面的性质说明
8 2 2 吗？
8 4 2 4 2 2 2
45
所以 类似
95 9 5 3 5
8 、 45 等这样的二次根式还能化简.
注意
被开方数有什么特点的二次根式才能化简呢？ 被开方数能写成平方因子和其它因子相乘 形式的二次根式
化简二次根式时，可以直接把根号下的每一 个平方因子去掉平方后移到根号外。
（注意：移到根号外的数必须是非负数）
例5 化简下列二次根式：
初中数学 如何将一个分数减去一个二次根式并化简为最简形式
初中数学如何将一个分数减去一个二次根式并化简为最简形式
当我们需要将一个分数减去一个二次根式并化简为最简形式时，我们可以按照以下步骤进行：
步骤1：确定二次根式的基数和指数。
假设我们要将一个分数a/b减去一个二次根式√c，其中√c的基数为c，指数为1/2。
步骤2：将分数与二次根式相减。
我们有a/b - √c。
步骤3：找到二次根式的共轭形式。
二次根式的共轭形式是指将根号内的正负号取反。
对于√c，它的共轭形式是-√c。
步骤4：将二次根式的共轭形式加到分数中。
我们有(a/b - √c) + (-√c)。
步骤5：合并同类项。
在这个例子中，-√c和-√c是同类项，它们的和为-2√c。
因此，我们可以将它们相加得到a/b - 2√c。
步骤6：化简表达式。
我们得到了a/b - 2√c，这就是最简形式。
因此，将一个分数a/b减去一个二次根式√c并化简为最简形式后，我们得到了a/b - 2√c。
这个例子展示了将一个分数减去一个二次根式并化简为最简形式的步骤。
通过理解这些步骤并进行练习，你将能够在初中数学中处理类似的问题。
记住，熟能生巧，多加练习将帮助你掌握这个技巧。
【数学课件】二次根式的化简
解 设菱形ABCD的两条对角线相交于点O.
由于AC⊥BD，因此△OAB是直角三角形.
由于
OA=
1 2
AC
=
1× 2
4
3=2
3，
OB
=
12 BD
=
1× 2
8= 4，
因此 AB2=OA2+OB2=( 2 3 )2+42
从而
=22× ( 3 )2+16 =4×3+16 =28. AB= 28 = 22× 7 = 2 7 .
最高级的技巧和艺术。——苏霍姆林斯基 5、没有时间教育儿子——就意味着没有时间做人。——（前苏联）苏霍姆林斯基
6、教育不是注满一桶水，而且点燃一把火。——叶芝 7、教育技巧的全部奥秘也就在于如何爱护儿童。——苏霍姆林斯基
8、教育的根是苦的，但其果实是甜的。——亚里士多德 9、教育的目的，是替年轻人的终生自修作准备。——R.M.H. 10、教育的目的在于能让青年人毕生进行自我教育。——哈钦斯 11、教育的实质正是在于克服自己身上的动物本能和发展人所特有的全部本性。——（前苏联）苏霍姆林斯基 12、教育的唯一工作与全部工作可以总结在这一概念之中——道德。——赫尔巴特 13、教育儿童通过周围世界的美，人的关系的美而看到的精神的高尚、善良和诚实，并在此基础上在自己身上确立美的品质。——苏霍姆林斯基 14、教育不在于使人知其所未知，而在于按其所未行而行。——园斯金 15、教育工作中的百分之一的废品，就会使国家遭受严重的损失。——马卡连柯 16、教育技巧的全部诀窍就在于抓住儿童的这种上进心，这种道德上的自勉。要是儿童自己不求上进，不知自勉，任何教育者就都不能在他的身
然后根据积的算术平方根的性质和公式②， 就可以把根号下的平方因子去掉平方号后移到根 号外面(例如， 32· a2· ab =3a ab ).
最简二次根式进阶洋葱数学
最简二次根式进阶洋葱数学最简二次根式是指，将二次根式化简为不含有平方根的形式。
这是数学中基本的操作之一，也是高中数学中的重点内容。
不过，要将二次根式进行化简，需要掌握一些技巧和方法。
下面，我们就来详细介绍一下最简二次根式的相关知识。
一、二次根式的基本特征我们知道，二次根式是指，形如√a+b或√a-b（a和b为正数）的数学表达式。
其中，a叫做根数，b叫做系数。
对于二次根式，我们有以下几个基本特征需要掌握。
1. 二次根式不能化为整数我们知道，二次根式是有理数的一种，但它往往不能化为整数，而只能以根号的形式表示。
例如，√2就是一个无理数，它的近似值为1.41421356...2. 二次根式的大小关系对于两个正实数a和b，如下关系成立：√a<√b，当且仅当a<b。
即，一个二次根式的大小关系取决于它所包含的根数大小关系。
例如，√2<√3。
3. 二次根式的加减运算对于两个二次根式√a+b和√c+d，它们的加减运算往往需要先化简，然后再合并同类项。
下面是一个例子：√40+√20=√4×10+√4×5=2√10+√204. 二次根式的乘法和除法对于两个二次根式√a+b和√c+d，它们的乘法往往需要先将它们展开，然后再合并同类项。
例如：(√2+√3)×(√2-√3)=2-3=-1而它们的除法则需要使用有理化的方法进行。
例如：(√7+√3)/(√7-√3)=[(√7+√3)×(√7+√3)]/[(√7-√3)×(√7+√3)]=[7+2√21]/4二、如何化简二次根式化简二次根式是数学中的一个基本操作，它需要我们掌握一些方法和技巧。
下面，我们列举一些常用的化简技巧，供大家参考。
1. 分解因式对于一个二次根式，如果它所包含的根数是一个完全平方数，那么我们可以尝试将它进行分解因式。
例如：√12=√4×3=2√32. 合并同类项对于两个二次根式，如果它们所包含的根数相同，那么我们可以尝试将它们合并为一个二次根式。
八年级数学下册二次根式化简
八年级数学下册二次根式化简知识点1、二次根式定义形如式子叫做二次根式；二次根式必须满足：含有二次根号；被开方数a必须是非负数（含有，且有意义）。
①被开方数可以是数，也可以是单项式、多项式、分式等代数式；②判断时一定要注意不要化简，一定要有意义。
知识点2、最简二次根式若二次根式满足：被开方数的因数是整数，因式是整式；被开方数中不含能开得尽方的因数或因式，这样的二次根式叫做最简二次根式。
①根号下无分母，分母中无根号；②被开方数中没有能开方的因数或因式。
知识点3、二次根式的性质（1）非负性√a （a≥0）是一个非负数注意：此性质可作公式记住，后面根式运算中经常用到．（2）（√a）^2=a（a≥0）注意：此性质既可正用，也可反用，反用的意义在于，可以把任意一个非负数或（3）非负代数式写成注意：（1）字母不一定是正数．（2）能开得尽方的因式移到根号外时，必须用它的算术平方根代替．知识点4、最简二次根式和同类二次根式（1）最简二次根式：☆最简二次根式的定义：①被开方数是整数，因式是整式②被开方数中不含能开得尽方的数或因式，分母中不含根号☆同类二次根式（可合并根式）：几个二次根式化成最简二次根式后，如果被开方数相同，这几个二次根式就叫做同类二次根式，即可以合并的两个根式知识点5、二次根式计算——分母有理化（1）分母有理化定义：把分母中的根号化去，叫做分母有理化。
（2）有理化因式：两个含有二次根式的代数式相乘，如果它们的积不含有二次根式，就说这两个代数式互为有理化因式。
有理化因式确定方法如下：①单项二次根式：利用来确定，如下，分别互为有理化因式。
②两项二次根式：利用平方差公式来确定。
如下列式子，互为有理化因式（3）分母有理化的方法与步骤：①先将分子、分母化成最简二次根式；②将分子、分母都乘以分母的有理化因式，使分母中不含根式；知识点6、二次根式计算——二次根式的乘除（1）积的算术平方根的性质积的算术平方根，等于积中各因式的算术平方根的积。
最简二次根式
最简二次根式什么是二次根式二次根式是指形如√a的根式，其中a是一个非负实数。
在二次根式中，a也被称为被开方数。
二次根式的化简最简二次根式是指不能再被开方的二次根式，即已经被化简到最简形式的二次根式。
化简二次根式是一种常见的数学运算。
二次根式的化简主要分为以下几种情况：情况一：a为完全平方数如果被开方数a是一个完全平方数，即存在一个整数b，使得b^2=a，那么二次根式可以直接化简成b。
示例：√4 = 2 √9 = 3情况二：a为非完全平方数如果被开方数a是一个非完全平方数，那么我们需要寻找它的最大完全平方数素因子，并将其提取出来。
以√50为例，我们可以将50分解成5乘以10，再将10分解成2乘以5。
其中5是50的最大完全平方数素因子，所以我们可以将√50化简为√(5*10)，然后再继续分解。
√(510) = √5 √10接着，我们继续寻找√10。
我们发现10不是完全平方数，但可以继续分解为2乘以5。
√(525) = √5 * √2 * √5继续分解，我们发现√2也不能被再分解，所以最终的化简形式为：√50 = √5 * √2 *√5 = 5√2情况三：出现分数当二次根式中出现分数时，我们可以将分子和分母分别进行化简，然后再进行约分。
例如，对于√(4/9)，我们可以先化简分子和分母，得到√4/√9 = 2/3。
情况四：多个二次根式的加减当多个二次根式进行加减操作时，我们需要先化简每个二次根式，然后进行合并。
例如，√2 + √8，我们先将√2和√8分别化简为最简形式：√2 = √(21) = √2 √1 = √2 √8 = √(42) = √4 √2 = 2√2然后将化简后的二次根式相加，得到最终结果为3√2。
总结最简二次根式是指已经被化简到无法再被开方的二次根式。
化简二次根式是一种常见的数学运算，涉及到被开方数的分解和提取最大完全平方数素因子的操作。
在运算过程中，我们还需要注意处理分数和多个二次根式的加减操作，以得到最终的化简形式。
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《计算二次根式，要掌握的公式》 ①公式：a a =2 （注意：无论a 为什么数，这个式子恒成立）
法则：任意数的平方的算术平方根=这个数的绝对值 ②公式：b a b a ∙=∙（注意：a ≥0，b ≥0） ； a b a b = （注意：a ＞0，b ≥0） 法则：两个数的算术平方根的积（或商）=这两个数的积（或商）的算术平方根
《化为“最简二次根式”，一般有三种情况》 情况①：形如b a ∙2的化简 例如b b b b 333322=∙=∙=∙ ；
()()b b b b 333322=∙-=∙-=∙- 【化简方法：b a b a ∙=∙2 ； 目的：根号内有可以提出来的数，要提出来】
练习1、 _______________x 52=∙ ； _______________49=x ；
()_______________72=∙-b ；()时）（当01a _____________12<-=∙-b a . 情况②：形如a b 的化简 例如333
33
3b b b
=∙∙= 【化简方法：a ab a a a b a
b
=∙∙= ； 目的：分母有根号，要化成，分母没有根号】 练习2、 _____________5=x
; _____________54=
情况①：形如a
b 例如333
3333b b b b =∙∙== 【化简方法：a ab a
a a
b a b a b =∙∙==； 目的：根号内有分数，要化成，根号内没有分数】 练习3、_____________5=x ; _____________
54= 拓展题：
()_______500595822=+∙-+∙ ； _____516595451=+++。