三次函数的所有题型

三次函数的基本题型

由于三次函数在高考中出现频率最高，且四次函数、分式函数等都可转化为三次函数来解决，故以三次函数为例来研究根的情况，设三次函数)0()(2

3

≠+++=a d cx bx ax x f

其导函数为二次函数:)0(23)(2

/

≠++=a c bx ax x f ，

判别式为：△=)3(41242

2

ac b ac b -=-，设0)(/

=x f 的两根为1x 、2x ，结合函数草图易得：

(1) 若032

≤-ac b ，则0)(=x f 恰有一个实根；

(2) 若032

>-ac b ,且0)()(21>⋅x f x f ，则0)(=x f 恰有一个实根；

(3) 若032

>-ac b ,且0)()(21=⋅x f x f ，则0)(=x f 有两个不相等的实根；

(4) 若032

>-ac b ,且0)()(21<⋅x f x f ，则0)(=x f 有三个不相等的实根.

说明:(1)(2)0)(=x f 含有一个实根的充要条件是曲线)(x f y =与x 轴只相交一次，即)(x f 在R 上为单调函数（或两极值同号），所以032

≤-ac b （或032

>-ac b ，且0)()(21>⋅x f x f ）;

(3)0)(=x f 有两个相异实根的充要条件是曲线)(x f y =与x 轴有两个公共点且其中之一为切点，所以

032>-ac b ，且0)()(21=⋅x f x f ;

(4)0)(=x f 有三个不相等的实根的充要条件是曲线)(x f y =与x 轴有三个公共点，即)(x f 有一个极大值，一个极小值，且两极值异号.所以032

>-ac b 且0)()(21<⋅x f x f .

【例题1】：设函数13-3

1)(23

++=

x x x x f ，求函数)(x f 的单调区间。 【变式1】：设函数m x x x x f ++=

3-3

1)(23

，求函数)(x f 的单调区间。 【变式2】：设函数13

1)(23

+++=

mx x x x f ，求函数)(x f 的单调区间。 【变式3】：设函数13

1)(23

+++=

x mx x x f 在∈x （-∞，+∞）为单调函数，求m 的取值范围。

【变式4】：设函数1)1(21

31)(23++++=

mx x m x x f ，求函数)(x f 的单调区间。 【变式5】：设函数c x x m mx x f ++++=23)1(2

1

31)(，求函数)(x f 的单调区间。 【变式6】：设函数c x x mx x f +++=2

32

131)(，求函数)(x f 的单调区间。

【例题2】：设函数133

1)(23

+--=x x x x f ，求)(x f 的极值。

【例题3】：设函数133

1)(23

+--=

x x x x f ，求)(x f 在[0,4]的最值。 【变式1】：【2005高考北京文第19题改编】 已知函数f (x )=－x 3＋3x 2＋9x ＋a , 若f (x )在区间[－2，2]上的最大值为20，求它在该区间上的最小值．

【变式2】：【2012高考北京文第19题改编】已知函数2

()1(0)f x ax a =+>，3

()g x x bx =+。 当3,9a b ==-时，若函数()()f x g x +在区间[,2]k 上的最大值为28，求k 的取值范围。

【例题4】：设函数133

1)(23

+--=x x x x f ，)(x f 在[0,4]的满足c x f ≤)(恒成立，求c 的取值范围。

【变式】：设函数133

1)(23

+--=x x x x f ，)(x f 在[0,4]的满足c x f ≥)(恒成立，求c 的取值范围。

【例题5】：【2014高考北京文第20题改编】已知函数3

()23f x x x =-.若过点(1,)P t 存在3条直线与曲线()y f x =相切，求t 的取值范围； 【变式】

(1)已知函数3

()23f x x x =-.若过点(1,)P t 存在2条直线与()y f x =相切，求t 的取值范围； (2)已知函数3()23f x x x =-.若过点(1,)P t 存在1条直线与()y f x =相切，求t 的取值范围 (3）问过点A (－1，2)，B (2，10)，C (0，2)分别存在几条直线与曲线y ＝f (x )相切？ 【变式】：已知函数f(x)=

3

213

x ax b -+在2-=x 处有极值. （Ⅰ）求函数f(x)的单调区间；

（Ⅱ）若函数f(x)在区间[-3,3]上有且仅有一个零点，求b 的取值范围。

【例题6】：设()323

()1312

f x x a x ax =-

+++．若函数()f x 在区间()1,4内单调递减，求a 的取值范围； 【变式】已知函数133

1(223

+-+=

x m mx x x f ）(0)m >.若函数)(x f 在区间(21,1)m m -+上单调递增，求实数m 的取值范围．

【例题7】已知函数3221

()(1)(,)3

f x x ax a x b a b =-+-+∈R 当0a ≠时，若()f x 在区间(1,1)-上不单调，

求a 的取值范围．

【例题8】ax x x x f 22131)(2

3++-

=，

若)(x f 在),32(+∞上存在单调递增区间，求a 的取值范围；

【例题9】已知函数3

22()2(2)13

f x x x a x =-+-+，其中0a >．求()f x 在区间[2,3]上的最小值．