高三数学总复习——抽象函数(1)
高三数学-专题复习-函数(1)抽象函数及题型
）抽象函数及题型无明确解析式，解()f x 的有关问题，记为抽象函数问题。
挺行总结如下 1.判断函数的奇偶性例1 已知()()2()()f x y f x y f x f y ++-=,对一切实数x 、y 都成立，且(0)0f ≠, 求证：()f x 为偶函数。
证明：令x =0, 则已知等式变为()()2(0)()f y f y f f y +-=……① 在①中令y =0则2(0)f =2(0)f∵ (0)f ≠0∴(0)f =1∴()()2()f y f y f y +-= ∴()()f y f y -=∴()f x 为偶函数。
2.求参数的取值范围例2：奇函数()f x 在定义域（-1，1）内递减，求满足2(1)(1)0f m f m -+-<的实数m 的取值范围。
解：由2(1)(1)0f m f m -+-<得2(1)(1)f m f m -<--，∵()f x 为函数，∴2(1)(1)f m f m -<-又∵()f x 在（-1，1）内递减，∴221111110111m m m m m -<-<⎧⎪-<-<⇒<<⎨⎪->-⎩3.解不定式例3：如果()f x =2ax bx c ++对任意的t 有(2)2)f t f t +=-,比较(1)(2)(4)f f f 、、的大小 解：对任意t 有(2)2)f t f t +=-∴x =2为抛物线y =2ax bx c ++的对称轴 又∵其开口向上∴f (2)最小，f (1)=f (3)∵在［2，＋∞)上，()f x 为增函数 ∴f (3)<f (4),∴f (2)<f (1)<f (4)◆方法总结：抽象函数常见考点题型解法综述1、定义域问题例1. 已知函数的定义域是［1，2］，求f(x)的定义域。
解：的定义域是［1，2］，是指，所以中的满足从而函数f(x)的定义域是［1，4］例2. 已知函数的定义域是，求函数的定义域。
抽象函数
专题复习：抽象函数一、知识要点函数是高中数学和高考的重要内容，而抽象函数（不带解析式的函数）往往与函数的奇偶性、单调性、周期性、函数图象的对称性及凹凸性等诸多性质联系在一起，以它抽象、多变和难以理解等特征成为函数的重点和难点内容．解决抽象函数问题，可以将它与学过的具体函数联系起来，“化抽象为具体”，寻求函数方程的变化方向，但要处理好特殊与一般的关系；适当的“赋值法”也是得到一些基础结论的好方法． 1．常见的抽象函数与相应模型函数2．函数的“五性” （1）奇偶性对于函数()f x 的定义域内的任意一个x ，都有()()f x f x -=，那么()f x 就叫做偶函数． 对于函数()f x 的定义域内的任意一个x ，都有()()f x f x -=-，那么()f x 就叫做奇函数． （2）单调性一般地，设函数()y f x =的定义域为I ，如果对于定义域I 内的某个区间D 内的任意两个自变量12,x x ，当12x x <时， 都有12()()f x f x <，那么就说()f x 在区间D 上是增函数．如果对于定义域I 内的某个区间D 内的任意两个自变量12,x x ，当12x x <时， 都有12()()f x f x >，那么就说()f x 在区间D 上是减函数． （3）周期性对于函数()y f x =，如果存在一个非零常数T ，使得当x 取定义域内的每一个值时，都有 )()(x f T x f =+成立，那么函数()y f x =就叫做周期函数，非零常数T 就叫做这个函数的周期．（4）函数图像的对称性①函数()y f x =的图像关于直线x a =对称⇔()(2)f x f a x =-⇔()()f a x f a x -=+；②函数()y f x =的图像关于点(,)P a b 对称⇔()(2)2f x f a x b +-=⇔()()2f a x f a x b -++=．（5）函数图像的凹凸性①函数()y f x =的图像在区间[,]a b 上是凹函数⇔ 对于任意的12,[,]x x a b ∈，当12x x ≠时都有：1212()()()22x x f x f x f ++<； ②函数()y f x =的图像在区间[,]a b 上是凸函数⇔ 对于任意的12,[,]x x a b ∈，当12x x ≠时都有：1212()()()22x x f x f x f ++>． 二、例题解析例1．若函数()y f x =的定义域为R ，且对任意的,x y R ∈都有()()()f x y f x f y +=+成立， 已知(8)4f =，求(2)f 的值．例2．已知函数()y f x =是偶函数，且在(0,)+∞上是增函数，试判断()f x 有在(,0)-∞上的 单调性，并证明你的结论．例3．若函数()y f x =是定义域为R 的奇函数，且()f x 的图像关于直线(0)x a a =>对称． 求证：()f x 是周期函数．例4．)(x f 是定义在(0,)+∞上的增函数，且对一切0,0x y >>都有等式)()()(y f x f yx f -=成立．（1）求)1(f 的值； （2）若1)2(=f ，解不等式2)1()3(<-+xf x f ．例5．设)(x f 是定义在R 上的偶函数，其图象关于直线1x =对称，对任意121,0,2x x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，都有1212()()()f x x f x f x +=，且0)1(>=a f ．（1）求1()2f 和1()4f 的值； （2）证明：)(x f 是周期函数．例6．已知定义在R 上函数()y f x =满足：()0f x ≠，当0x >时，()1f x >，且对任意的,a b R ∈， 都有()()()f a b f a f b +=．（1）证明：(0)1f =； （2）证明：对任意的x R ∈，恒有()0f x >； （3）证明：函数()y f x =是R 上的增函数； （4）解不等式2()(2)1f x f x x ->．三、巩固练习1．已知(21)y f x =+是偶函数，则函数(2)y f x =图像的对称轴为（ ）A ．1x =B ．21=x C ．21-=x D ．1-=x 2．已知定义域为(,0)(0,)-∞+∞U 的函数)(x f 是偶函数，并且在(,0)-∞上为增函数， 若0)3(=-f ，则0)(<xx f 的解集为（ ） A ．(3,0)(3,)-+∞U B ．(3,0)(0,3)-U C ．(3,)+∞ D ．(,3)-∞-3．设()f x 是R 上的偶函数，且在(,0)-∞上是增函数，已知12120,0,||||x x x x <<<，那么（ ）A ．12()()f x f x -<-B ．12()()f x f x ->-C ．12()()f x f x -=-D ．1()f x -与2()f x -大小不定4．已知)(x f 在区间(,)-∞+∞上是增函数，若,a b R ∈，且0≤+b a ，则下列式子中正确的是（ ）A ．()()[()()]f a f b f a f b +≤-+B ．()()()()f a f b f a f b +≤-+-C ．()()[()()]f a f b f a f b +≥-+D ．()()()()f a f b f a f b +≥-+- 5．若函数)(x f y =的定义域为R ，且满足下列三个条件： ①对于任意的x R ∈，都有)()4(x f x f =+；②对于[0,2]内任意12,x x ，若21x x <，则有12()()f x f x <； ③函数)(x f y =的图象关于y 轴对称．则)5.4(f ，(6.5)f ，)7(f 的大小顺序是____________________．6．定义在R 上的函数()f x 满足11()()222f x f x ++-=，则127()()()888f f f +++=L ________． 7．已知()f x 是定义在R 上的函数，且[](1)1()1()f x f x f x +-=+，(1)3f =， 则(2)f =__________，(2005)f =____________．8．设函数()f x 是定义在R 上的奇函数，并且(2)()f x f x +=，当01x ≤≤时，有()f x x =， 则(3.5)f =__________．9．设()f x 是定义在R 上的偶函数，且在(,0)-∞上是增函数，又22(21)(321)f a a f a a ++<-+， 求实数a 的取值范围．10．已知)(x f 是定义在R 上的不恒为0的函数，且对任意的,a b R ∈都满足：)()()(a bf b af b a f +=⋅．（1）求)0(f ，)1(f 的值； （2）判断)(x f 的奇偶性，并证明你的结论．11．已知函数()f x 在(1,1)-上有定义，且对任意的,(1,1)x y ∈-，都有)1()()(xyyx f y f x f ++=+． 证明：()f x 在(1,1)-上是奇函数．小结：随着高考研究的不断深入，高等数学知识的“下放”，抽象函数的题型将会增加，只要我们深刻理解函数的定义域、值域、对应法则“f ”的含义，把握住题设条件，运用函数的四性和题目涉及的有关知识，借助变量代换，取特殊值，递推归纳，广泛联想，化归转化等，就能顺利地制定出解答策略来．专题复习：抽象函数例习题答案二．例题解析例1．解：因为(8)2(4)4(2)f f f ==，所以1)8(41)2(==f f . 例2．证明：任取021<<x x ，则120x x ->->，因为)(x f 在),0[+∞是增函数，且)(x f 是偶函数，所以12()()f x f x ->-，即12()()f x f x >，因此)(x f 在(,0)-∞上是减函数．例3．证明：由于)(x f 关于直线a x =对称，所以)2()(x a f x f -=．由)(x f 是R 上的奇函数， 所以)2()()(x a f x f x f +=-=-，所以)2()2()2(a x f x a f x a f -=--=+， 则(4)()f a x f x +=，即)(x f 是以4a 为周期的函数．例4．解：（1）因为(1)()()()0xf f f x f x x==-=，所以(1)0f =； （2）因为4()(4)(2)2f f f =-，(4)2(2)2f f ==，所以由题意可得：)4()]3([)1()3(f x x f x f x f <+=-+，即3010(3)4x xx x +>⎧⎪⎪>⎨⎪+<⎪⎩，解之得：01x <<，所以，原不等式的解集为 {01}x x |<<．例5．（1）解：因为21(1)()02f f a ==>，211()()24f f =，211()()48f f =，所以1()2f =，1()4f =（2）证明：因为)(x f 关于直线1=x 对称，所以)()2(x f x f =-， 由于)(x f 在R 上是偶函数，所以，)2()()(x f x f x f -==- 即)()2(x f x f =+，所以)(x f 是以2为周期的函数．例6．（1）证明：令0a b ==得：2(0)(0)f f =，又()0f x ≠Q ，(0)1f ∴=； （2）证明：当0x >时，()10f x >>；当0x =时，()10f x =>； 令,a x b x ==-得：(0)()()1f f x f x =-=，所以1()()f x f x -=，当0x <时，0x ->，得到()10f x ->>，所以1()0()f x f x =>-， 即当0x <时，也有()0f x >；综合可知：对任意的x R ∈，恒有()0f x >；（3）证明：任取12,x x R ∈，且12x x <，则210x x ->，所以21()1f x x ->， 令21,a x b x ==-得：221211()()()()1()f x f x x f x f x f x -=-=>，又()0f x >， 所以12()()f x f x <，即函数()y f x =是R 上的增函数；（4）解：由已知，不等式2()(2)1f x f x x ->等价于2[(2)]1(0)f x x x f +->=， 因为函数()y f x =是R 上的增函数，所以22(2)30x x x x x +-=->， 解之得：03x <<，所以原不等式的解集为{03}x x |<<．三．巩固练习答案1．B 2．A 3．B 4．B 解析：1．将函数(21)f x +的图象向右平移12个单位，得到函数(2)f x 的图象． 2．利用函数图像，结合函数单调性和偶函数的性质．3．2121210,0x x x x x x ->-<<<有，，且)(x f 在),0+∞（上是减函数． 4．由a b b a -≤-≤有,。
重难点2-4-抽象函数及其性质8大题型(解析版) (1)
重难点2-4 抽象函数及其性质8大题型抽象函数是指没有给出函数的具体解析式，只给出了一些体现函数特征的式子的一个函数，由抽象函数构成的数学问题叫做抽象函数问题。
抽象函数问题能综合考查学生对函数概念和各种性质的理解，但由于其表现形式的抽象性和多变性，学生往往无从下手，这类问题是高考的一个难点，也是近几年高考的热点之一。
一、抽象函数的赋值法赋值法是求解抽象函数问题最基本的方法，复制规律一般有以下几种： 1、……-2，-1,0,1,2……等特殊值代入求解； 2、通过()()12-f x f x 的变换判定单调性；3、令式子中出现()f x 及()-f x 判定抽象函数的奇偶性；4、换x 为+x T 确定周期性. 二、判断抽象函数单调性的方法：（1）凑：凑定义或凑已知,利用定义或已知条件得出结论;（2）赋值：给变量赋值要根据条件与结论的关系.有时可能要进行多次尝试.①若给出的是“和型”抽象函数() =+y x f ，判断符号时要变形为：()()()()111212)(x f x x x f x f x f -+-=-或()()()()221212)(x x x f x f x f x f +--=-;②若给出的是“积型”抽象函数() =xy f ，判断符号时要变形为：()()()112112x f x x x f x f x f -⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅=-或()()()⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅-=-212212x x x f x f x f x f . 三、常见的抽象函数模型1、()()()+=+f x y f x f y 可看做()=f x kx 的抽象表达式；2、()()()+=f x y f x f y 可看做()=x f x a 的抽象表达式（0>a 且1≠a ）；3、()()()=+f xy f x f y 可看做()log =a f x x 的抽象表达式（0>a 且1≠a ）；4、()()()=f xy f x f y 可看做()=a f x x 的抽象表达式. 四、抽象函数中的小技巧1、很多抽象函数问题都是以抽象出某一类函数的共同特征而设计出来的，在解决问题时，可以通过类比这类函数中一些具体函数的性质去解决抽象函数的性质；2、解答抽象函数问题要注意特殊赋值法的应用，通过特殊赋值法可以找到函数的不变性质，这个不变性质往往是解决问题的突破口；3、抽象函数性质的证明是一种代数推理，和几何推理一样，要注意推理的严谨性，每一步推理都要有充分的条件，不可漏掉一些条件，更不要臆造条件，推理过程要层次分明，书写规范。
高三数学总复习——抽象函数
高三数学总复习——抽象函数所谓抽象函数，是指没有明确给出函数表达式，只给出它具有的某些特征或性质，并用一种符号表示的函数。
抽象来源于具体。
抽象函数是由特殊的、具体的函数抽象而得到的，高中大量的抽象函数都是以中学阶所学的基本函数为背景抽象而得，解题时，若能从研究抽象函数的“模型”入手，根据题设中抽象函数的性质，通过类比、猜想出它可能为某种基本函数，变抽象为具体，变陌生为熟知，常可猜测出抽象函数所蕴含的重要性质，并以此作为解题的突破口，必能为我们的解题提供思路和方法。
常见的抽象函数对应的初等函数模型如下:初等函数模型抽象函数性质正比例函数()(0)f x kx k =≠()()()f x y f x f y ±=±一次函数()(0)f x kx b k =+≠()()()f x y b f x f y ++=+幂函数()nf x x=()()()()()()x f x f xy f x f y f y f y ==或二次函数2()f x ax bx c =++（a≠0）f（x+y）=f（x）+f（y）+2axy-c指数函数()(01)xf x a a a =>≠且()()()()()()f x f x y f x f y f x y f y +=-=或对数函数()log (01)a f x x a a =>≠且()()()()()()xf xy f x f y f f x f y y=+=-或或f(x m )=mf(x)余弦函数()cos f x x=()()2()()22x y x yf x f y f f +-+=()()2()()f x y f x y f x f y ++-=正切函数()tan f x x=()()()1()()f x f y f x y f x f y ±±=下面从这一认识出发，例谈七种类型的抽象函数及其解法。
（备注：解小题可参对应的具体函数，解大题得赋值，可在草纸上借助具体函数验证赋值所得结果是否正确。
高三抽象函数总结
高三抽象函数总结抽象函数是高中数学的一个难点，也是近几年来高考的热点。
考查方法往往基于一般函数，综合考查函数的各种性质。
本节给出抽象函数中的函数性质的处理策略，供内同学们参考。
抽象函数是指只给出函数的某些性质，而未给出函数具体的解析式及图象的函数。
由于抽象函数概念抽象，性质隐而不显，技巧性强，因此学生在做有关抽象函数的题目时，往往感觉无处下手。
抽象函数常见题型讲解：一、定义域问题：解决抽象函数的定义域问题——明确定义、等价转换。
例一.若函数)1(+=x f y 的定义域为)3,2[-，求函数)21(+=xf y 的定义域。
提示：函数的定义域是指自变量的取值范围，求抽象函数的定义域的关键是括号内式子的地位等同（即同一对应法则后括号内的式子具有相同的取值范围），如本题中的1+x 与21+x的范围等同。
变式训练1：已知函数)(2x f 的定义域是［1，2］，求)(x f 的定义域。
变式训练2：已知函数)(x f 的定义域是]2,1[-，求函数)]3([log 21x f -的定义域。
二、求值问题 例二、已知定义域为的函数f(x)，同时满足下列条件：①1)2(=f ，51)6(=f ；②)()()(y f x f y x f +=⋅，求f(3)，f(9)的值。
注：通过观察已知与未知的联系，巧妙地赋值，赋值法是解此类问题的常用技巧。
变式训练3：已知R x f 是定义在)(上的函数，且R x f ∈=对任意的,1)1(都有下列两式成立：)6(,1)()(.1)()1(;5)()5(g x x f x g x f x f x f x f 则若-+=+≤++≥+的值为变式训练4:设函数))((R x x f ∈为奇函数，),2()()2(,21)1(f x f x f f +=+=则=)5(f _____变式训练5：已知)(),(x g x f 都是定义在R 上的函数，对任意y x ,满足)()()()()(y f x g y g x f y x f ⋅-⋅=- ，且0)1()2(≠=-f f ，则)1()1(-+g g =_________三、值域问题:例三、设函数f(x)定义于实数集上，对于任意实数x 、y ，)()()(y f x f y x f =+总成立，且存在21x x ≠，使得)()(21x f x f ≠，求函数)(x f 的值域。
高考数学专题复习抽象函数
高考数学专题复习抽象函数高考常考抽象函数模型：1. 正比率函数型： f (x) kx(k 0)f (x y)f ( x)f ( y)2. 一次函数型：fx kx b f xyf x f y b 幂函数型：f ( x)x 2f ( xy)f (x) f ( y) ，f ( x)f ( x)3. yf ( y) 4.指数函数型：5.对数函数型：6.三角函数型：f ( x f (x)f ( x) a xy)f ( x y)f ( x) f ( y) ， f ( y)f ( xf ( x) log a xf ( xy)f (x)) f (x) f ( y)f ( y) ，yf (x y)f ( x)f ( y)f ( x) tan x1 f ( x) f ( y)1、直线型抽象函数例1.已知函数 f (x) 对随意实数 x, y ，均有 f ( x y)f ( x) f ( y)，且当 x0 时，f ( x)0 ，f ( 1) 2 ，求 f ( x) 在2,1 的值域2、指数函数型抽象函数 f ( x)知足：对随意实数 m ， n ，总有f ( m n)f (m) f (n) ，且当 x例 2.定义在 R 上的函数时，0 f ( x) 1 ．(1) 试求f (0)的值(2) 判断f (x)的单一性并证明3、对数函数模型1; ②对随意实数 b ，f ( x b)例 3.定义在R上的函数 f ( x) 知足：① f (10)bf ( x) ，当 x 1 时，f x 0f (1), f ( 1), f ( 1)(1) 求24 x, y, f ( xy) f (x)f ( y)(2) 求证：对随意正实数(3) 求证：f (x)是R上的增函数4、幂函数模型例 4.已知函数f ( x)对随意实数 x, y 都有 f ( x y)f (x) f ( y) 且 f ( 1) 1, f (27)9.当 0x 1时，0 f (x) 1判断f ( x)的奇偶性判断 f ( x) 在 0, 上的单一性，并证明若 a 0 ，且f ( a1) 39，求 a 的取值范围5、正切函数模型1 f ( x)f ( x m)例 5.若对常数m和随意实数x，都有等式1f ( x)建立，求证: f ( x) 是周期函数14,2 . 2 f 01, nmnm. 3 f 10. f1lg 1, f 12 lg 1. f xyf 10 lg xy f m nf n22 42f 10 lg xf 10 lg yxyx2 lg xy右 4 y1fxf x ,0 xxy. f xx 3 .0 a 2f f x1f ( x m) 1 1 f ( x)15 f (x2m)f (xm) m1 f ( x)4m1 f ( x m)1 f ( x)T1 f ( x)1 f ( x)练习：1.若xR ，f ( x)知足f ( xy) f ( x)f ( y)，若 x 0 时， f x， 比较大小f2 , f 0 , f 12.若xR ， f ( x) 知足f x1x 2f x 1f x 21,，则以下说法正确的选项是（）A.fx为奇函数B.f x为偶函数C.f x1为奇函数D.f x1为偶函数3.f (x)的定义域为 R ,fxy()fx( )fy( )对一确实数x, y建立，若f (8) 4，f (2)4.f (x)定义域为 R ，对随意x, yf ( x) f ( x) f ( y)，x1 时，f (x)0 ，f ( 1) 1R，都有y2，2（ 1）求证f (x)为减函数（ 2）解不等式f ( x) f (5 x)2f (x) 是定义在 R 上的偶函数， 图像对于 x 1对称， x 1 , x 2 [ 0, 1]，有 f ( x1 x2 ) f (x 1) f ( x 2 ), f x 05.2 (1) 设f (1)2，求f ( 1)f7， f 2f 20152 ，4，3(2) 求函数yf xm. m1,2 在区间0,8上各零点之和fx 6.若f ( x)是定义在0,f x f y上的增函数，且y（ 1）求 f1 的值（ 2）若f61，解不等式 f x 3 f x27.函数f x对随意的实数m, n有f m nf mf n，当 x 0 时，有f x 0（ 1）求证 :f 0 0（ 2）求证 :f x在 R 上为减函数．（ 3）若 f 32 ，解不等式 f x 2 6f x 48.f (x)定义在 R 上不恒为零的偶函数，且对随意实数 x 都有xf ( x 1)(1 x) f (x) f ( 5)，则 2=19.已知函数fx知足：f 14 f x f yf x y f x y . x, y R ，则 f 20154 ， _____f 2 1 f 2f 2 2f 4 f 2 3 f 610.函数f ( x)知足：f ( a b)f (a ) f (b) ， f (1)2 ，则f 1f3f 5f 2 1005f 2010 f200911.函数f ( x)对随意的m, nR，都有f (m n) f (m) f (n) 1，而且当 x 0 时，f ( x) 1（ 1）求证：f ( x)在 R 上是增函数 （2）若 f (3) 4 ，解不等式 f ( a 2a 5) 2x, y ( 1,1)有 f ( x) f ( y)x y12.f ( x)在f (),1,1上为奇函数1,1上有定义，知足1xy 求证： f (x) 在13.函数f x对随意的实数m, n，有f m n f mf n，当x 0 时，有f x（ 1）求证：f 0 0（ 2）求证：f x在 R上为增函数．（ 3）若 f 11 ，解不等式 f 4 x2 x214. f ( x) 是定义在 (0, ) 上的增函数， f (xy)f ( x) f ( y) ， f (3) 1，解不等式 f ( x) f (x 8) 215.已知定义在, 1 (1, )上的奇函数，且知足：①f (3) 1②对随意的 x 2 ，均有f ( x) 0③对随意的 x, y R ，均有 f ( x 1) f ( y 1) f ( xy 1)（ 1）求f (2)的值（ 2）求证： f ( x) 在 (1,)上是单一递加16.设f ( x)是定义在 R 上的偶函数，且f x 31f ( x)，则f (7.5) 的值为 _____1 奇，f2f0 f 1.2 C.3 1,0 40，14，552, 42,1,3 2 ,32. 6 0,3,357, 16,. 8 0. 9 f 01, f 11 241111111f 2 x1 f x1f 2, f 34, f5, f67T6f2015y2x,24S40204, f44, f4. 10f x 2241 1 令 m x , n0 . f 3 3 f 12 f 12a3,2 . 12 x y0 f 00, x0 f y f y13 m n 0 f 0 0, x1m, x2x1n, n 0x2x1, 2x22x2 1 2x2x 1 f x2f x1f n014 f 9 2 f 3 2x808 x 9. 15 x y 1 f 2 0, x 0, y 1f y10f x 1 f xy 1 x x89x1xy116 f7.51f 1.5f 1.51 2。
高考专题总复习之---抽象函数ppt
） B. 增函数且最大值为 -5
y D. 减函数且最大值为 -5
5 O -7 -3 3 -5 7 x
易知选B。
回
4. 比较函数值大小 利用函数的奇偶性、对称性、周期性等性质将自变 量转化到函数的单调区间内，然后利用其单调性使 问题获解。 例4.已知函数 y f x 是偶函数，且 y f x 2 在 0, 2 上是单调减函数，则（ A ） A f 0 f 1 f 2 B f 1 f 0 f 2
对f ( x)有T 8 f (2008) f (8 251 0) f (0) 1
6. 研究函数的图象
这类问题只要利用函数图象变换的有关结论，就可获解
例13. 若函数
y f ( x 2) 是偶函数，则 y f ( x)
左移 2 个单位 右移 2 个单位
的图象关于直线_______对称。
f(x+y)=f(x)f(y)
f(x+T)=f(x) …….
f(x)=ax
周期函数
……
5. 求函数值
紧扣已知条件进行迭代变换，经有限次迭代 可直接求出结果，或者在迭代过程中发现函数具 有周期性，利用周期性使问题巧妙获解
例5. 已知 f ( x) 的定义域为 R ，且对一切正实
数x，y有 f ( x y) f ( x) f ( y) 都成立，若
定义域.
例1.函数 y f ( x)的定义域为 (， 1) ,则函 数 y f ( x 2 2) 的定义域是 。
练习已知 y f (2 x ) 的定义域为 1,1 ，求函数
y f ( x)
1 , 2 的定义域________ 。 2
抽象函数
高考数学总复习：抽象函数题型抽象函数是指没有明确给出具体的函数表达式，只是给出一些特殊关系式的函数，它是中学数学中的一个难点，因为抽象，学生解题时思维常常受阻，思路难以展开，教师对教材也难以处理，而高考中又出现过这一题型，有鉴于此，本文对这一问题进行了初步整理、归类，大概有以下几种题型：一. 求某些特殊值这类抽象函数一般给出定义域，某些性质及运算式而求特殊值。
其解法常用“特殊值法”，即在其定义域内令变量取某特殊值而获解，关键是抽象问题具体化。
例1 定义在R 上的函数f x ()满足：f x f x ()()=-4且f x f x ()()220-+-=，求f ()2000的值。
解：由f x f x ()()220-+-=， 以t x =-2代入，有f t f t ()()-=， ∴f x ()为奇函数且有f ()00= 又由f x f x ()[()]+=--44=-=-∴+=-+=f x f x f x f x f x ()()()()()84故f x ()是周期为8的周期函数， 二. 求参数范围这类参数隐含在抽象函数给出的运算式中，关键是利用函数的奇偶性和它在定义域内的增减性，去掉“f ”符号，转化为代数不等式组求解，但要特别注意函数定义域的作用。
例2 已知f x ()是定义在（-11，）上的偶函数，且在（0，1）上为增函数，满足f a f a ()()---<2402，试确定a 的取值范围。
解： f x ()是偶函数，且在（0，1）上是增函数， ∴f x ()在()-10，上是减函数，由-<-<-<-<⎧⎨⎩1211412a a 得35<<a 。
（1）当a =2时，f a f a f ()()()-=-=2402，不等式不成立。
（2）当32<<a 时，f a f a f a a a a a a ()()()-<-=-⇔-<-<-<-<->-⎧⎨⎪⎩⎪<<24412014024322222解之得，（3）当25<<a 时， f a f a ()()-<-242=-⇔<-<<-<-<-⎧⎨⎪⎩⎪<<f a a a a a a ()22240210412425解之得，综上所述，所求a 的取值范围是()()3225，， 。
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x＞0 时，f（x）＞2，f（3）＝5，求不等式
的解。
分析：由题设条件可猜测：f（x）是 y＝x＋2 的抽象函数，且 f（x）为单调增函数，如果 这一猜想正确，也就可以脱去不等式中的函数符号，从而可求得不等式的解。
解：设 即
，∵当
，∴
，
，∴f（x）为单调增函数。
∵
，
又∵f（3）＝5，∴f（1）＝3。∴
∵f（－1）＝1，∴f（－x）＝f（x），
∴ f（x）为偶函数。
（2）设
，∴
，
，
∵
时，
，∴
故 f（x）在 0，＋∞）上是增函数。
（3）∵f（27）＝9，又
∴
，∴
，∵
，∴f（x1）＜f（x2），
，∴
， ，
∵
，∴
四、二次函数型的抽象函数
，又
，故
。
例 4.定义在 R 的函数 f (x) 满足 f (x y) f (x) f ( y) 2xy ， f (1) 2 ，则 f (3) 等于
（） A．2
B．3
C．6
D．9
解 ： 法 一 ; 设 函 数 为 f (x) ax2 bx c ， 由 f (x y) f (x) f ( y) 2xy 得 到
f (x) x2 bx ，又由 f (1) 2 ， b 1，知 f (x) x2 x ， f (3) 6 ；
法二：f (3) f (1) f (2) 4 3f (1) 6,0 f (0) f (11) f (1) f (1) 2 f (1) 所以 f (3) 6
f（27）＝9，当
时，
。
（1）判断 f（x）的奇偶性；
（2）判断 f（x）在［0，＋∞）上的单调性，并给出证明；
（3）若
，求 a 的取值范围。
分析：由题设可知 f（x）是幂函数 ［0，＋∞）上是增函数。
的抽象函数，从而可猜想 f（x）是偶函数，且在
解：（1）令 y＝－1，则 f（－x）＝f（x）·f（－1），
∴ f（1）＝－f（－1）＝2，又 f（－2）＝2 f（－1）＝－4，
∴ f（x）的值域为［－4，2］。
二、以一次函数为模型的抽象函数 一次函数 y=ax+b 是满足函数恒等式 f（x+y）=f（x）+f（y）-b 的最常见的模型。
例 2、已知函数 f（x）对任意 x, y R ，满足条件 f（x）＋f（y）＝2 + f（x＋y），且当
正比例函数 y kx 是满足函数恒等式 f (x y) f (x) f ( y) 的最常见的模型。若我们
能从这个具体的模型出发，根据解题目标展开联想，给解题带来了思路。
例 1、已知函数 f (x) 对任意实数 x, y ，均有 f (x y) f (x) f ( y) ，且当 x 0 时， f (x) 0 ， f (1) 2 ，求 f (x) 在区间[－2，1]上的值域。
某种基本函数，变抽象为具体，变陌生为熟知，常可猜测出抽象函数所蕴含的重要性质，
并以此作为解题的突破口，必能为我们的解题提供思路和方法。
常见的抽象函数对应的初等函数模型如下:
初等函数模型
抽象函数性质
正比例函数 f (x) kx(k 0)
f (x y) f (x) f (y)
一次函数 f (x) kx b(k 0)
高三数学总复习——抽象函数
所谓抽象函数，是指没有明确给出函数表达式，只给出它具有的某些特征或性质，并
用一种符号表示的函数。抽象来源于具体。抽象函数是由特殊的、具体的函数抽象而得到
的，高中大量的抽象函数都是以中学阶所学的基本函数为背景抽象而得，解题时，若能从
研究抽象函数的“模型”入手，根据题设中抽象函数的性质，通过类比、猜想出它可能为
法三： 0 f (0) f (x x) f (x) f (x) 2x 2 f (1) f (1) 2
f (2) 2 f (1) 2 6
f ( 3 ) f (1 ) f ( 2 ) 4 12
f (3) f (3) 2 32
f (3) 6
f (1) 0
f (x y) f (x) f ( y)或f (x y) f (x) f (y)
f ( xy) f ( x) f ( y)或 f ( x ) f ( x) f ( y) y
或 f(xm)=mf(x)
f (x) f (y) 2 f ( x y) f ( x y)
2
2
f (x y) f (x y) 2 f (x) f (y)
分析：由题设可知，函数 f (x) 是 y kx(k 0) 的抽象函数，因此求函数
f (x) 的值域，关键在于研究它的单调性。，
∴
，即
，∴f（x）为增函数。
在条件中，令 y＝－x，则
，
再令 x＝y＝0，则 f（0）＝2 f（0），
∴ f（0）＝0，故 f（－x）＝f（x），f（x）为奇函数，
f (x y) b f (x) f (y)
幂函数 f (x) xn 二次函数 f (x) ax2 bx c （a≠0）
f (xy) f (x) f ( y)或f ( x ) f (x) y f (y)
f（x+y）=f（x）+f（y）+2axy-c
指数函数 f (x) a x (a 0且a 1) 对数函数 f (x) loga x(a 0且a 1) 余弦函数 f (x) cos x 正切函数 f (x) tan x
，∴
即
，解得不等式的解为－1 < a < 3。
三、以幂函数为模型的抽象函数
，则 ，
幂函数型抽象函数，即由幂函数抽象而得到的函数。由幂函数的运算法则知 f (x) xn 是我
们最熟悉的满足恒等式
f (xy)
f (x) f ( y)或f ( x )
f (x)
的函数。
y f (y)
例 3、已知函数 f（x）对任意实数 x、y 都有 f（xy）＝f（x）·f（y），且 f（－1）＝1，
f
(x
y)
f (x) f (y) 1 f (x) f (y)
下面从这一认识出发，例谈七种类型的抽象函数及其解法。（备注：解小题可参对应的具 体函数，解大题得赋值，可在草纸上借助具体函数验证赋值所得结果是否正确。另并不是 所有的抽象函数都能找到中学阶段所学的初等函数，此时，只能通过赋值解决问题。）
一．以正比例函数为模型的抽象函数